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一、填空题1. 设信源X 包含4个不同离散消息，当且仅当X 中各个消息出现的概率为___1/4___时，信源熵达到最大值，为__2__，此时各个消息的自信息量为__2 __。
2.如某线性分组码的最小汉明距dmin=4，则该码最多能检测出___3____个随机错，最多能纠正__1____个随机错。
3.克劳夫特不等式是唯一可译码___存在___的充要条件。
4.平均互信息量I(X;Y)与信源熵和条件熵之间的关系是___(X;Y)=H(X)-H(X/Y )___。
5._信源___提高通信的有效性，_信道____目的是提高通信的可靠性，_加密__编码的目的是保证通信的安全性。
6.信源编码的目的是提高通信的 有效性 ，信道编码的目的是提高通信的 可靠性 ，加密编码的目的是保证通信的 安全性 。
7.设信源X 包含8个不同离散消息，当且仅当X 中各个消息出现的概率为__1/8__时，信源熵达到最大值，为___3____。
8.自信息量表征信源中各个符号的不确定度，信源符号的概率越大，其自信息量越_小___。
9.信源的冗余度来自两个方面，一是信源符号之间的__相关性__，二是信源符号分布的__不均匀性__。
10.最大后验概率译码指的是 译码器要在已知r 的条件下找出可能性最大的发码 作为译码估值 ，即令 =maxP( |r)_ __。
11.常用的检纠错方法有__前向纠错___、反馈重发和混合纠错三种。
二、单项选择题1.下面表达式中正确的是（A ）。
A.∑=j i j x y p 1)/( B.∑=i i j x y p 1)/( C.∑=j j j iy y x p )(),(ω D.∑=ii j i x q y x p )(),( 2.彩色电视显像管的屏幕上有5×105 个像元，设每个像元有64种彩色度，每种彩度又有16种不同的亮度层次，如果所有的彩色品种和亮度层次的组合均以等概率出现，并且各个组合之间相互独立。
第八章线性分组码8.1 什么是检错码？什么是纠错码？两者有什么不同？答：能发现错误但不能纠正错误的码称为检错码；不仅能发现错误而且还能纠正错误的码称为纠错码。
8.2 试述分组码的概念，并说明分组码的码率r的意义。
答：分组码是把信息序列以每k个码元分组，即每k个码元组成一个信息组。
n表示码长,k 表示信息位的数目，码率r=k/n，它说明在一个码字中信息为所占的比重。
8.3 什么是码的生成矩阵和校验矩阵？一个（n，k）线性分组码的生产矩阵和校验矩阵各是几行几列的矩阵？答：线性分组码的2个码字将组成n维向量空间的一个k维子空间，而线性空间可由其基底张成，因此线性分组码的个码字完全可由k个独立的向量组成的基底张成。
设k个向量为（7.3-2）将它们写成矩阵形式：（7.3-3）（n,k）码中的任何码字，均可由这组基底的线性组合生成。
即C=MG=(mk-1,mk-2,m0)G式中M=(mk-1,mk-2,m0)是k个信息元组成的信息组。
这就是说，每给定一个信息组，通过式（7.3-3）便可求得其相应的码字。
故称这个由k 个线性无关矢量组成的基底所构成的k×n阶矩阵G为码的生成矩阵（Generator Matrix）。
校验矩阵H 的每一行代表求某一个校验位的线性方程的系数(n-k)线性分组码有r=n-k 个校验元，故须有r 个独立的线性方程，因此H 矩阵必由线性无关的r 行组成，是一个(n-k)×n 阶矩阵，一般形式为一个（n,k ）线性分组码生成矩阵有k 行n 列校验矩阵有(n-k)行n 列。
8.4 什么样的码成为系统码？系统码的生成矩阵和校验矩阵在形式上有何特点？答：若信息组为不变的形式，称在码字的任意k 位中出现的码为系统码；一个系统码的生成矩阵G ，其左边k 行k 列是一个k 阶单位方阵，系统码的校验矩阵H ，其右边r 行r 列组成一个r 阶单位方阵。
8.5 什么是对偶码？试举例说明之。
1. 在无失真的信源中，信源输出由 H (X ) 来度量；在有失真的信源中，信源输出由 R (D ) 来度量。
2. 要使通信系统做到传输信息有效、可靠和保密，必须首先 信源 编码， 然后_____加密____编码，再______信道_____编码，最后送入信道。
3. 带限AWGN 波形信道在平均功率受限条件下信道容量的基本公式，也就是有名的香农公式是log(1)C W SNR =+；当归一化信道容量C/W 趋近于零时，也即信道完全丧失了通信能力，此时E b /N 0为 -1.6 dB ，我们将它称作香农限，是一切编码方式所能达到的理论极限。
4. 保密系统的密钥量越小，密钥熵H (K )就越 小 ，其密文中含有的关于明文的信息量I (M ；C )就越 大 。
5. 已知n ＝7的循环码42()1g x x x x =+++，则信息位长度k 为 3 ，校验多项式 h(x)= 31x x ++ 。
6. 设输入符号表为X ＝{0，1}，输出符号表为Y ＝{0，1}。
输入信号的概率分布为p ＝(1/2，1/2)，失真函数为d (0，0) = d (1，1) = 0，d (0，1) =2，d (1，0) = 1，则D min ＝ 0 ，R (D min )＝ 1bit/symbol ，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x )]＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦；D max ＝ 0.5 ，R (D max )＝ 0 ，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x )]＝1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
7. 已知用户A 的RSA 公开密钥(e,n )=(3,55)，5,11p q ==,则()φn = 40 ，他的秘密密钥(d,n )＝(27,55) 。
若用户B 向用户A 发送m =2的加密消息，则该加密后的消息为 8 。
二、判断题1. 可以用克劳夫特不等式作为唯一可译码存在的判据。
（√ ）2. 线性码一定包含全零码。
（√ ）3. 算术编码是一种无失真的分组信源编码，其基本思想是将一定精度数值作为序列的 编码，是以另外一种形式实现的最佳统计匹配编码。
1. 已知一个(5, 3)线性码C 的生成矩阵为：
11001G 0
11010
1
11⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（1）求系统生成矩阵；
（2）列出C 的信息位与系统码字的映射关系；
（3）求其最小Hamming 距离，并说明其检错、纠错能力； （4）求校验矩阵H ；
（5）列出译码表，求收到r =11101时的译码步骤与译码结果。
解：
（1）线性码C 的生成矩阵经如下行变换：
23132110011
00110110101101001110
0111100111
001101101010100011100111⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥−−−−−−→⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−−→⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
将第、加到第行
将第加到第行
得到线性码C 的系统生成矩阵为
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111000*********S G （2）码字),,,(110-=n c c c c 的编码函数为
[][][]111000*********)(210m m m m f c ++==
生成了的8个码字如下
(3) 最小汉明距离d =2，所以可检1个错，但不能纠错。
(4) 由],[],,[)()(k n T
k n k k n k k n I A H A I G --⨯-⨯-==，得校验矩阵
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=1010101111H
(5) 消息序列m =000,001,010,011,100,101,110,111，由c =mGs 得码字序列
c 0=00000, c 1=00111,c 2=01010, c 3=01101, c 4=10011, c 5=10100,c 6=11001, c 7=11110
则译码表如下：
当接收到r =(11101)时，查找码表发现它所在的列的子集头为(01101)，所以将它译为c =01101。
2．设（7, 3）线性码的生成矩阵如下
010101000101111001101G ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（1）求系统生成矩阵；
（2）求校验矩阵； （3）求最小汉明距离； （4）列出伴随式表。
解：
（1）生成矩阵G 经如下行变换
13
23
01010101
0011010010111001011110011010
10101010011011
0011010010111010101001010100010111⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥−−−−→⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−→⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
交换第、行交换第、行
得到系统生成矩阵：
100110101010100010111S G ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（2）由],[],,[)()(k n T
k n k k n k k n I A H A I G --⨯-⨯-==，得校验矩阵为
1101000101010001100101010001H ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
（3）由于校验矩阵H 的任意两列线性无关，3列则线性相关，所以最小汉明距离d =3。
（4）（7, 3）线性码的消息序列m =000,001,010,011,100,101,110,111，由c =mGs 得码字序列：c 0=0000000，c 1=0010111，c 2=0101010，c 3=0111101，c 4=1001101，c 5=1011010，c 6=1100111，c 7=1110000。
又因伴随式有
24=16
种组合，差错图样为1的有771=⎛⎫
⎪⎝⎭
种，
差错图样为2的有7212=⎛⎫ ⎪⎝⎭
种，而由T
T
Hr He =，则计算陪集首的伴随式，构造伴
随表如下：
3．已知一个(6, 3)线性码C 的生成矩阵为：
.0 1 1 1 0 01 1 0 0 1 01 0 1
0 0 1G ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=
（1） 写出它所对应的监督矩阵H ；
（2） 求消息M =(101)的码字；
（3） 若收到码字为101010，计算伴随式，并求最有可能的发送码字。
解：
（1）线性码C 的生成矩阵G 就是其系统生成矩阵G S ，所以其监督矩阵H 直接得出：
101100011010110001H =⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（2）消息M =(m 0,m 1,m 2)=(101)，则码字c 为：
[][][]()100101001110101011c f m ==+=
（3）收到码字r =(101010)，则伴随式
()()101011110101010001100010001T
rH ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
又（6, 3）线性码的消息序列m =000,001,010,011,100,101,110,111，由c =mGs 得码字序列：c 0=000000，c 1=001110，c 2=010011，c 3=011101，c 4=100101，c 5=101011，c 6=110110，c 7=111000。
伴随式有23=8种情况，则计算伴随式得到伴随表如下：
伴随式（001）对应陪集首为（000001），而c=r+e ，则由收到的码字r =(101010)，最有可能发送的码字c 为：c =（101011）。
4．设(6, 3)线性码的信息元序列为x 1x 2x 3，它满足如下监督方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00
631
532421x x x x x x x x x （1）求校验矩阵，并校验10110是否为一个码字； （2）求生成矩阵，并由信息码元序列101生成一个码字。
解：
（1）由监督方程直接得监督矩阵即校验矩阵为：
110100011010101001H =⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
因为收到的序列10110为5位，而由（6, 3）线性码生成的码字为6位，所以10110不是码字。
（2）由],[],,[)()(k n T
k n k k n k k n I A H A I G --⨯-⨯-==，则生成矩阵为：
100101010110001011S G G =⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
信息码元序列M=（101），由c =mGs 得码字为c ：
()()()()012100101010110001011101110c m m m =++=。
