实验六 线性分组码的信道编码和译码

标准阵列的陪集首和伴随式是一一对应的，因而码的可纠错误图样 和伴随式是一一对应的，应用此对应关系可以构成比标准阵列简单 得多的译码表，从而得到 (n,k) 线性码的一般译码步骤。 (n,k) 线性码的一般译码步骤


计算接收矢量 R 的伴随式 ST=HRT ； 根据伴随式和错误图样一一对应的关系，利用伴随式译码表， 由伴随式译出 R 的错误图样 E； 将接收字减错误图样，得发送码矢的估值 C’=R－E 。
增广：保持 n 不变，增加码字数目 k。 删信：保持 n 不变减小 k。
(3) 延长/Lengthening和缩短/Sportening
延长：同时增加 k 和 n。 缩短：同时减小 k 和 n。
2013/4/11
22/41
9. 由已知码构造新码的方法
举例： (7,4,3) 汉明码的各种修正关系如图6.2.31所示。
[证明]：

(n,k) 线性码的标准阵列有 2k 列（和码矢矢量相等），2n/2k= 2n－k 行，且任何两列和两行都没有相同的元素。 陪集：标准阵列的每一行叫做码的一个陪集。 陪集首：每个陪集的第一个元素叫做陪集首。


每一列包含 2n－k 个元素，最上面的是一个码矢，其它元素是陪 集首和该码矢之和，例如第 j 列为 接下页
8/41

2013/4/11
6. 线性分组码的译码

若发送码矢为 Cj，信道干扰的错误图样是陪集首，则接收矢量 R 必在 Dj 中； 若错误图样不是陪集首，则接收矢量 R不在 Dj 中，则译成其 它码字，造成错误译码； 当且仅当错误图样为陪集首时，译码才是正确的。 可纠正的错误图样：这 2n－k 个陪集首称为可纠正的错误图样。
2/41

◼ n位分组码用 c1,c2 ,,cn 表示，
◼ k位信息码用 d1,d2 ,,dk 表示
n=k+m， n：编码以后的位数 k：编码以前的位数，即 信息码 m=n-k：监督位或校验位
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
4
2. 线性分组码的编码
c1 = d1
c2 = d2
1 0 0
G＝0 1 0 0 1 1
1 0 1
0 0 1 1 1 0
1 1 0
1 1 1
7
由式
，得码组矩阵为：
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 C＝0
1
1 1 0
0 1
0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
0 1 1
110＝100
1 1 0
0 1 0
0 1 1
➢在编码前先把信息序列分为k 位一组（称为信息码）， 然后附加m 位监督码，形成n = k + m 位的码组。
线性
分组
• 监督码是信息码元的 线性组合。
• 监督码仅与本码组的
信息码有关。
➢ 线性码具有封闭性，即任意两个许用码组之和（模2 加），结果仍为一许用码组。
3
1. 线性分组码的概念
➢ 线性分组码：记作 (n , k)码
第八章 差错控制编码
8.2 线性分组码
线性分组码的编码
1
引言
• 信道编码，目的是提高数字通信的可靠性
– 差错率是信噪比的函数
• 信道编码，差错控制编码，抗干扰编码
• 信道编码过程：
– 信息码元序列＋监督码元→编码码组

实践教学大学计算机与通信学院2014年秋季学期计算机通信课稈设计题目：线性分组码（9 , 4）码的编译码仿真设计专业班级：_______________________________姓名：_________________________________________学号：_______________________________________指导教师：______________________________________成绩：______________________________________________摘要该系统是（9, 4）线性分组码的编码和译码的实现，它可以对输入的四位的信息码进行线性分组码编码，对于接收到的九位码字可以进行译码，从而译出四位信息码。

当接收到的九位码字中有一位发生错误时，可以纠正这一位错码；当接收到的码字有两位发生错误时，只能纠正一位错误，但同时能检测出另一位错误不能纠正。

只有特定位有两位错误时，才能纠正两位错误。

这样就译出正确的信息码组，整个过程是用MATLAB语言实现的。

关键词：编码；译码;纠错摘要 目录1. 信道编码概述2.•…1.1信道模型 ............................................................... 2•…1.2抗干扰信道编码定理及逆定理 ............................................ 3…1.3检错与纠错的基本原理 .................................................. 4•…1.4限失真编码定理 ........................................................ 5•…2. 线性分组码的编码 ........................................................... 6 _2.1生成矩阵 ............................................................... 6•…2.2校验矩阵 ............................................................... 9•…2.3伴随式与译码 ......................................................... 1.0....3. 线性分组码编码的 Matlab 仿真 ............................................... 1.2..3.1程序流程图 ............................................................ 1.2....3.2程序执行结果 ......................................................... 12....3.2线性分组码译码的 Matlab 仿真 .......................................... 1.3.3.3结果分析 .............................................................. 1.5.... 参考文献 .................................................................... .1.6..... 总结 ......................................................................... 1.7.... 致谢 ......................................................................... 1.8.... 附录目录19刖言由于计算机、卫星通信及高速数据网的飞速发展，数据的交换、处理和存储技术得到了广泛的应用，数字信号在传输中往往由于各种原因，使得在传送的数据流中产生误码，从而使接收端产生图象跳跃、不连续、出现马赛克等现象，人们对数据传输和存储系统的可靠性提出来了越来越高的要求，经过长时间的努力，通过编译码来控制差错、提高可靠性的方式在信道传输中得到了大量的使用和发展，并形成了一门新的技术叫做纠错编码技术，纠错编码按其码字结构形式和对信息序列处理方式的不同分为两大类：分组码和卷积码。

9
case 7: { B[i][5]=1^B[i][5]; printf("\n\n 您接收的第%d 个码组有错误，正确的码组应为：",++i); i--; for(j=6;j>=0;j--) printf("%1d",B[i][j]); printf("译出的信息序列为："); for(j=6;j>2;j--) printf("%d",B[i][j]);break; } case 8: { B[i][6]=1^B[i][6]; printf("\n\n 您接收的第%d 个码组有错误，正确的码组应为：",++i); i--; for(j=6;j>=0;j--) printf("%1d",B[i][j]); printf("译出的信息序列为："); for(j=6;j>2;j--) printf("%d",B[i][j]);break; } } } printf("\n\n 总的译码结果为："); for(i=0;i<u;i++) for(j=6;j>2;j--) printf("%1d",B[i][j]); printf("\n\n 接下来您想：\n\n");/*继续选择功能*/ printf("1.用编码器 2.用译码器 3.退出\n\n"); printf("我想：");
10
scanf("%d",&Q); if(Q==0) Q=Q+4; while(Q) { if(Q==1||Q==2||Q==3)break; else { printf("对不起，您输入有误，请重新输入"); scanf("%d",&Q); } } } else if(Q==3)/*退出程序*/ { printf("\n 谢谢您的使用，欢迎再次使用！\n"); } } } 运行的结果：

一、实验目的1、通过实验掌握线性分组码的编码原理2、通过实验掌握线性分组码的译码3、了解编码与检错能力之间的关系二、实验内容1、自行设置线性分组码或汉明码的参数，计算所设计出的线性分组码或汉明码的所有码字集合；2、利用库函数译码或利用通信工具箱设计译码模块译码；3、整理好所有的程序清单或设计模块，并作注释。

三、实验结果1、写出产生（3，1）汉明码的生成矩阵，给出生成码的源程序，并给出运行结果。

(1)、源程序function f=hanmingencod(a) %对信息元a进行编码G=[1 1 1]; %（3,1）的生成矩阵t=input('输入0或1:'); %t=0时产生（3,1），汉明编码所有码字t=1时对输入序列进行编码if t==1;a=input('输入信息元序列:'); %当t=0时，则用户手动输入信息元序列c=mod(a*G,2); %对应码字disp('编码后序列为:');disp(c); %显示编码后的结果elsedisp('（3,1）汉明系统为:');%当t=0时，对for循环得到的信息元序列进行编码for i=0:1%进行for循环，得到信息元序列a=dec2bin(i,1); %生成信息源序列c=mod(a*G,2); %对信息元a进行编码disp(a); %显示信息元disp('对应码字为:');disp(c); %显示编码结果endend（2）运行结果:输入0或者1:0（3，1）汉明系统码为:对应码字为:0 0 01对应码字为: 1 1 1输入0或者1:1输入信息元序列:0编码后序列为: 0 0 0输入0或者1:1输入信息元序列:1编码后序列为: 1 1 1（3）、计算生成矩阵：由（3,1）汉明码可知：n=3,k=1;即信源符号1位一组：{}(),0,1,0,1,2,3;i i u u u i =∈=码符号3位一组：{}210(,,),0,1,0,1,2,3,4,5,6;j c c c c c j =∈=则可得其生成矩阵：[]1,1,1G = 或者校验矩阵H=⎥⎦⎤⎢⎣⎡110110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100111 所以生成矩阵[]1,1,1G =2、用encode函数对随机产生的序列进行汉明编码，给出编码结果。

C mG
G是一个k*n阶矩阵，称为(n,k)码的生成矩阵。
7
1 0 G 0
0 0 1 0 0 1
p11 p 21 p k1
p12 p 22 pk 2
p1( n k ) p 2( nk ) I P k pk ( nk )
n 1
u和v之间的距离表示2个码字对应位不同的数目。
如(7,3)码的两个码字：u=0011101
v=0100111
它们之间的距离d=4
4
码的最小距离的dmin ：在（n,k）线性码字集合中， 任意两个码字间的距离最小值，是衡量抗干扰能力的 重要参数，dmin越大，抗干扰能力越强。 码字的重量W：码字中非零码元符号的个数；在二元 线性码中，码字的重量是码字中含“1”的个数。 码的最小重量Wmin：线性分组码中，非零码字重量的 最小值，称为码的最小重量，表示为：
限， 性能界限，即码的译码错误概率的上、下 限。 对码距限而言，最重要的限是汉明限，普 洛特金限和吉尔伯特－瓦尔沙莫夫限，汉 明码和普洛特金限告诉我们，在给定码长n 和码的传输速率R=k/n下，最小距离可以达 到的最大值，故它们都是上限，而吉尔伯 特一瓦尔沙莫夫限给出了码的最小距离的 下限。
HC 0
T
T
r=n-k
H
阵是n列，(n-k)行的矩阵；
为了得到确定的码，r个监督方程必须是线性
无关的，即要求H阵的秩为r。
6
2. 生成矩阵G
把方程组写成矩阵的形式为
h11 h 21 h r1
h12 h1k h 22 h 2k h r2 h rk
m 信道编码
C

二、线性分组码的严格数学定义2
2. 定理1 (码的封闭性）
设CH为由监督矩阵H定义的分组码，则c1,c2CH : c1+c2CH 证明： 由c1CH，得Hc1T=0T;
由c2CH，得Hc2T=0T;
所以 H(c1+c2)T=H(c1T+c2T) =Hc1T+Hc2T=0T c1+c2满足HcT=0T，所以c1+c2 CH
+
+
考虑如何用串行方式？
三、G与H的关系4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D0
D1
+
D2
+
D3
+
D0
D1
+
D2
+
D3
+
m4m5m6
m6
m6
D0
D1
m6+m5 m6
D0
D1
m6
m6
+
D2
+
D3
+
m4m5
m6+m5
m6+m5
+
D2
m6+m5+m6
=m5
+
D3
+
m4
m5+m4
互为对偶码，若CH=CG, 则称为自对偶码（P62)
[Q In-k] [IkP]T= [QIn-k] [IkT PT]T= Q + PT = 0
所以 P= - QT 或 Q = -PT
由此得 G=[Ik P] = [ Ik –QT] H=[Q In-k]= [ -PT In-k]
三、G与H的关系2

第八章 差错控制编码
8.2 线性分组码
线性分组码的编码
1
引言
• 信道编码，目的是提高数字通信的可靠性
– 差错率是信噪比的函数
• 信道编码，差错控制编码，抗干扰编码
• 信道编码过程：
– 信息码元序列＋监督码元→编码码组
• 信道译码过程：
– 编码码组→检错或纠错→信息码元序列
2
1. 线性分组码的概念
1 0 0
G＝0 1 0 0 1 1
1 0 1
0 0 1 1 1 0
1 1 0
1 1 1
7
由式
，得码组矩阵为：
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 C＝0
1
1 1 0
0 1
0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
0 1 1
110＝100
1 1 0
0 1 0
0 1 1
6
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
例8-1 已知(6,3)码的生成矩阵为G，试求：(1) 编码码组 和各码组的码重；(2) 最小码距 d及min其差错控制能力。
解
(1) 由3位码组成的信息码组矩阵为D：
0 0
0 0
0 1
0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 1 1
D＝
ck = dk
ck +1 ck+2
= =
h11d1 h12d2 h1k dk h21d1 h22d2 h2k dk
G生成矩阵
cn = hm1d1 hm2d2 hmk dk
5
写成矩阵形式，有 C = D G ，G为生成矩阵(k*n)，且：

线性特性：码字c的各位码元是消息m各位的线性组 合
一个（ 一个（n,k）线性分组码的码字 c可以表示为 ） 可以表示为
c=mG
其中m：长度为 的消息或 的消息或k维的消息向量 其中 ：长度为k的消息或 维的消息向量 Gk*n：k行n列的生成矩阵 列的生成矩阵 行 列的 矩阵运算采用模二加和模二乘。 矩阵运算采用模二加和模二乘。
1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 G = 0 1 0 1 1 R2 + R3 → R3 →0 1 0 1 1 R1 + R3 → R1 → 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 R1 ← → R 3 →0 1 0 1 1 = G S 0 0 1 1 1
线性分组码的性质
（1）零向量一定是一个码字，记作 θ = (0,0,L ,0) ）零向量一定是一个码字， （2）任意两码字的和仍是一个码字。 ）任意两码字的和仍是一个码字。 都可以表示为G的行向量的线性组合 （3）任意码字 都可以表示为 的行向量的线性组合。 ）任意码字c都可以表示为 的行向量的线性组合。
G的行向量是码集合中的码字（它们线性无关） 的行向量是码集合中的码字（它们线性无关） 的行向量是码集合中的码字
（4）线性分组码的最小距离等于最小非 码的码重： 码的码重： ）线性分组码的最小距离等于最小非0码的码重 码重：码字中的非0符号个数。
d min = min w(c)
c ≠θ
例：c = (0101) d = w(c)
系统码。 （1）则该码称为系统码。 ）则该码称为系统码
容易发现，若系统线性分组码的生成矩阵G 的左（右） 半部分是Ik*K的单位阵，则线性分组码的前（后）k位是 信息位，后n-k位是校验位。 若不是系统码，则可以通过简单行变换得到系统码生成 矩阵。

即校验位是由信息位线性组合得到.
17
线性分组码的基本概念
信息位 00 01 10 11 x2 x0 x1 00000 x3 x0 x x x 01101 0 1 4 码字 10111 11010
信息位k=2 码字数M=4
可见，码字的三个校验元都由其前两位线 性组合得到，即可由的线性方程组求得；
18
线性分组码的基本概念
f1 : GF (2) 2 GF (2)5
信息位 00 01 10 11 码字 00000 01101 10111 11010
1 ( 0 1 ) 1 ( 1 0 ) 1 1
f( 1 1 ) 1 1 0 1 0
1 ( 0 1 1 0 1 )1 ( 1 0 1 1 1 ) 1 1 0 1 0
30
线性分组码的基本概念

汉明距离： 指（n,k）分组码中两个码字xn 、 yn对应位取 值不同的个数；记为d（xn ， yn）.
5 5 ( 1 0 1 0 1 ) , y ( 0 1 1 1 1 ) 例： x
d(x ,y ) 3
5 5
31
线性分组码的基本概念

线性分组码的最小距离： 称（n,k）分组码中任两个码字汉明距离的最小 值，为该分组码的最小距离d.
f ( 1 ( 0 1 ) 1 ( 1 0 ) ) 1 ( 0 1 1 0 1 ) 1 ( 1 0 1 1 1 ) 线性编码
19
线性分组码的基本概念
例题1： 下面是某个（n，k）线性二元码的全部码字
x16=000000 x26=100011 x36=010101 x46=001111 x56=110110 x66=101100 x76=011010 x86=111001 求n、k的值；

H 阵的 r 行代表了 r 个监督方程，也表示由H 所确定
的码字有 r 个监督元。 为了得到确定的码，r 个监督方程（或H 阵的r 行）必 须是线性独立的，这要求H 阵的秩为 r。 若把H 阵化成标准形式，只要检查单位子阵的秩，就 能方便地确定H 阵本身的秩。


2013/4/11
12/48
3. 线性分组码的生成矩阵
1. 一般概念

线性分组码的编码：线性分组码的编码过程分为两步：

把信息序列按一定长度分成若干信息码组，每组由 k 位组成；
编码器按照预定的线性规则(可由线性方程组规定)， 把信息码组变换成 n 重 (n>k) 码字，其中 (n－k) 个附 加码元是由信息码元的线性运算产生的。


信息码组长 k 位，有 2k 个不同的信息码组，则有 2k 个 码字与它们一一对应。
H 阵的每一行都代表一个监督方程，它表示与该行中“1”相对应
的码元的模2和为0。
2013/4/11
11/48
2. 一致监督方程和一致监督矩阵

H 的标准形式还说明了相应的监督元是由哪些信息元 决定的。例如 (7,3) 码的H 阵的第一行为 (1011000)，说
明此码的第一个监督元等于第一个和第三个信息元的模 2和，依此类推。

系数矩阵 H 的后四列组成一个 (4×4) 阶单位子阵，用 I4 表示，H 的其余部分用 P 表示
2013/4/11
8/48
2. 一致监督方程和一致监督矩阵

推广到一般情况：对 (n,k) 线性分组码，每个码字中的 r(r=n－k) 个监督元与信息元之间的关系可由下面的线性 方程组确定
2013/4/11

x1 + x 2 + x 4 = 0 x1 + x 3 + x 5 = 0 x + x + x = 0 3 6 2
1 1 0 1 0 0 令 H= 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1
6
则 校 验 方 程 （2） 可 写 为
H (x ) 0 或 x H
码字
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x6
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
x1 x 2 x3 x4 x 5 x6
3
译码规则
给 定 信 道 X ， Q ( y x ), Y , 设 有 函 数 F : Y X ， 对 每 一 个 输 出 符 号 y Y都 有 唯 一 确 定 的 输 入 符 号 x X与 之 对 应 ， 则 称 这 样 的 函 数 为 译 码 规则，记为
F ( y ) x, y Y , x X 显然对于同一信道，译码规则不是唯一的。
u1 u2 u3 u1 u 2 u1 u 3 u2 u3
(1) 中 构 造 的 码 字 中 x1 x 2 x 3 称 为 信 息 元 ， x 4 x 5 x 6 称 为 校 验 元 。
15
校验元由方程组
x4 = x1 + x 2 x5 = x1 + x 3 x = x + x 2 3 6
k n
G F (2 ) G F ( 2 )
k
n
它 的 一 个 线 性 变 换 ， 可 用 G F(2) 上 的 k n阶 矩 阵 表 示

线性分组码编译码及检错效果仿真实验报告一、实验目的1、通过实验掌握线性分组码中的汉明码的编码原理2、通过实验掌握汉明码的译码3、了解编码与检错能力之间的关系二、实验内容1、随即生成50组4位信息序列作为输入；2、参照书上p223.4-65给定关系构建（7,4）汉明码，计算所设计出的汉明码的所有码字集合；3、发送端采用生成矩阵对信息码列进行编码得到编码码字，该编码序列在信道上传时被随机加入噪声，用校验矩阵对收到信息进行检错。

4，比较加入的误码数和检测出的误码数，检验检错效果。

三、实验步骤与结果1、输入（可由计算机随机产生）N（N>50）组4位随机信息，可循环输入；x=round(rand(1000,3));2、每个循环内，输入的4位信息与生成矩阵相乘，得到其编码码字；G=[1 0 0 1 1 1 0;0 1 0 0 1 1 1;0 0 1 1 1 0 1];H=[1 0 1 1 0 0 0;1 1 1 0 1 0 0;1 1 0 0 0 1 0;0 1 1 0 0 0 1];y=rem(x*G,2);3、用随机函数矩阵对编码码字添加信道噪声引起的误码（0误码为1，或1误码为0），得到接收端带噪声的码字，同时统计增加了误码的码字数A；Y=rem(y+(rand(1000,7)>0.98),2);jc=Y-y;A=0;for i=1:1000for j=1:7;if((jc(i,j))~=0)A=A+1;break;endendend4、对接收端带有噪声的所有编码码字进行汉明译码，统计检查出来的错误码字数B。

c=rem(Y*H',2);w=sum(c,2);B=0;for i=1:1000if(w(i)~=0)B=B+1;endend5、计算检错率B/A。

B/A=100%6、进行纠错并统计纠错后正确的个数l for m=1:1000for u=1:7if c(m,:)==H(:,u)'Y(m,u)=~Y(m,u);endendendYl=0;for o=1:1000if Y(o,:)==y(o,:)l=l+1endend五、实验遇到的问题及解决方法之前的代码均为仿制老师的代码而成，没遇到什么太大的难题，不过在运行结果上一开始并不尽如人意，之后改变了误码率，感觉检错与纠错的情况均有明显的变化。

******************实践教学******************兰州理工大学计算机与通信学院2013年秋季学期计算机通信课程设计题目：线性分组码（7,3）码的编译码仿真设计专业班级：通信工程三班姓名：彭佳峰学号： 10250302 指导教师：彭铎成绩：摘要本课题是应用C语言对（7,3）线性分组码的编译码的软件设计。

主要做了一下几项工作：对三位正确的信息码进行编码；若输入的三位信息码有错，系统输出提醒，可以重新输入；对七位接收到的码字判断是否有错，并在无错和有一位错误时进行译码，在有多位错误时输出提醒，可以选择重新输入。

关键字：线性分组码编码译码 C语言目录前言 (1)1 基本原理 (2)1.1线性分组码的基本概念 (2)1.2差错控制原理 (2)1.3线性分组码的纠检错能力 (3)2线性分组码的编码 (4)2.1监督矩阵 (4)2.2生成矩阵 (5)3线性分组码的译码 (7)4设计与仿真 (9)4.1 C语言平台简介 (9)4.2整体流程图 (9)4.3编码流程图 (10)4.4译码流程图 (10)5 仿真结果及分析 (11)设计总结 (17)参考文献 (18)致谢 (19)附录 (20)前言近年来，随着计算机、卫星通信及高速数据网的飞速发展，数据的交换、处理和存储技术得到了广泛应用，人们对数据传输和存储系统的可靠性提出了越来越高的要求。

因此，如何控制差错、提高数据传输和存储的可靠性，成为现代数字通信系统设计工作者所面临的重要课题。

香农第二定理指出，当信息传输率低于信道容量时，通过某种编译码方法，就能使错误率为任意小。

差错控制编码在此定理指导下迅速发展起来，它使得传输数据本身带有规律性，利用规律性来减少错误。

线性分组码是差错控制编码的重要一种。

它的规律性在于局限在一个码组之内，编码后长为n的一个码组中含有k位信息元和n-k位监督元，监督元是随所传输的信息元而改变的。

接收端正式通过监督元和信息元之间的规律性来发现并纠正错误的。

数字通信课程报告题目：数字通信中的线性分组码讲课老师：学生姓名：所属院系:专业：学号：1设计目的和要求0 1 1 1 0 1 1 1 0数字信号在传输中往往由于各种原因，使得在传送的数据流中产生误码，从而使接收端产生图像跳跃，不连续，出现马赛克等现象.通过信道编码可实现对数据流进行相应的处理，使系统具有一定的纠错能力和抗干扰能力，可极大地避免码流传送中误码的发生。

通过线性分组码实现信道编码,提高系统的可靠性。

2 设计原理要设计一个（6，3)线性分组码的编译码程序，最基本的是要具备对输入的信息码进行编码，让它具有抗干扰的能力。

同时，还要让它具有对接收到的整个码组中提取信息码组的功能。

但是,在实际的通信系统中，由于信道传输特性不理想以及加性噪声的影响，接收到的信息中不可避免地会发生错误，影响通信系统的传输可靠性，因而,本设计还要让该程序具有纠正错误的能力,当接收到的码组中有一位码，发生错误时可以检测到这一位错码，并且可以纠正这一位错码,并且让系统从纠正后的码组中提取正确的信息码组. 针对给定的矩阵Q=完成如下的工作：1 完成对任意信息序列的编码2 根据生成矩阵,形成监督矩阵;3 根据得到的监督矩阵，得到伴随式，并根据它进行译码；4 验证工作的正确性.2。

1 线性分组码的编码2.1.1 生成矩阵线性分组码（n ，k ）中许用码字(组)为2k 个。

定义线性分组码的加法为模二加法，乘法为二进制乘法。

即1+1=0、1+0=1、0+1=1、0+0=0；1×1=1、1×0=0、0×0=0、0×1=0.且码字与码字的运算在各个相应比特位上符合上述二进制加法运算规则。

线性分组码具有如下性质（n,k）的性质：1、封闭性。

任意两个码组的和还是许用的码组。

2、码的最小距离等于非零码的最小码重。

对于码组长度为n、信息码元为k位、监督码元为r＝n－k位的分组码，常记作(n，k）码，如果满足2r－1≥n，则有可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码。

线性分组码实验报告综合性设计性实验报告专业：学号：姓名：实验所属课程：信息论与编码实验室(中心)：信息技术软件实验室指导教师：2一、题目线性分组码编译码实验二、仿真要求1.分别用不同的生成矩阵进行（7,4）线性分组码的编码，经调制解调后译码，并比较两种线性分组码的纠错能力。

2.掌握线性分组码的编码原理、编码步骤和译码方法。

3.熟悉matlab软件的基本操作，学会用matlab软件进行线性分组码的编码和译码。

三、仿真方案详细设计编码：本实验采用的是（7，4）线性分组码，线性分组码的编码由监督矩阵和生成矩阵实现，监督矩阵H为（3×4）的矩阵，由监督方程和（4×4）的单位矩阵构成，生成矩阵G为（4×7）的矩阵，由（4×4）的单位矩阵和监督矩阵的转置矩阵构成。

实现过程为：1、将要编码的序列先整形，整为4列2、如果序列不能被4整除在后边补0使其能被4整除3、将整形后的序列与生成矩阵G相乘即得到编码后的码字在本实验中，分别生成两种生成矩阵，在产生了生成矩阵后根据输入的四位信息位和生成矩阵相乘即可得到编码矩阵。

译码：在译码过程中，我们利用错误图样和伴随式来进行纠错。

1、设一个接收码字矩阵为R，R*H'=S（模2乘），则S为码字对应的伴随式矩阵如果S=0则说明接受码字无差错；2、如果S不为0，查看矩阵S中不为0的那行所在行数，该行即收码字错误所在行i；3、将S转置，将不为0的一列与H每一列进行比较，找到H中相同列，该列的列数即为错误所在列；4、由步骤2和3得到错误具体位置，模2加对应的错误图样就可得到正确码字。

BPSK调制:BPSK调制利用载波的相位变化来传递数字信息，振幅和频率保持不变。

双极性的全占空矩形脉冲序列与正弦载波相乘就得到调制信号。

因此进行调制时首先进行码形变换变为双极性的，再经乘法器与载波相乘得到调制信号。

其具体实现方法如下：1、将0、1序列变为-1、1序列；2、将序列与载波相乘，为‘1’时与载波相位相同，为‘-1’时与载波相位相反。

所有非零码字重量都是2m－１ ，称为最大长度码、
等距码或单型码。
例１. (7,4)汉明码，其系统码
1 0 0 0 1 0 1 G 0 1 0 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 1 0 0 H 0 1 1 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0 1
的倍式。 若 h(x) ≠f (x)g(x) , 则有如下欧几里德除法原理成立，
存在商式q (x) 和余式r(x)使 0 or(x) o f (x) h(x) ＝ q(x) f (x)+r(x) ,
称h(x)与r(x)模f (x)相等，r(x)称为h(x)模f (x)的余式。 h(x) ＝ r(x) mod f (x)
g1 g2
G2
g1
g3
,
g2 g3
G3 g1 g2 g3
本次课内容： ➢设计和构造编码方法：修正法。 ➢循环码
✓循环码的多项式描述 ✓循环码的生成矩阵
设计和构造编码方法：修正法。 ① 扩展。 ② 打孔（删余）。 ③ 增广。 ④ 删信。 ⑤ 延长。 ⑥ 缩短。 ⑦ 乘积。 ⑧ 级联。 ⑨ 交织。
定理2： g(x) 是(n , k)循环码的生成多项式，当且仅
当g(x) 是 xn 1的r = n － k 次因式。
证明：必要性证明。 g(x) 是(n , k)循环码的生成多项式，
则由欧几里德除法原理有
xk g(x) 1(xn 1) r(x) or(x) n
(5)
则 r(x) xk g(x) mod xn 1
, ,
an2 ) an1, a0
,
a1
,aaL1980
aa1910