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线性分组码

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第3章线性分组码

第3章线性分组码

8
第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
码的生成矩阵（ k 维线性子空间）
由于[n,k,d]线性分组码是一个k维线性空间。因此必 可找到k个线性无关的矢量，能张成该线性空间。设 C1 , C 2 , C k 是k个线性无关的矢量，则对任意 C ，可有：
C m1C1 m2 C 2 mk C k C1 C2 m1 , m2 , mk C k G称为该分组码的生成矩阵 mG
4
第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
线性空间的性质
零元素是唯一的 负元素是唯一的， V 关于0元素有 0 0, k 0 0, ( 1) ,
- 唯一
k ( ) k k
如果
如果 k ＝0，那么k＝0或 ＝0.
9
第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
例：一个[7, 3 ]码，m2 m1 m0 → c6 c5 c4 c3 c2 c1 c0 ，如 果码字的生成规则为：
若用矩阵形式表示这些线性方程 组， 则：
C m2 m1
1 0 0 1 1 1 0 m0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1
0 ;（β 称为 的负元素）
3
第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
数量乘法满足下列两条规则 : ⑤ 1 ⑥ k ( l ) ( kl ) 数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑦ (k l ) k l ⑧ k ( ) k k
［ n –i, k -i］缩短码的纠错能力至少与原［n, k ］码 相同。 ［n –i, k -i］缩短码是［n , k ］码缩短i位得到的， 因而码率R 比原码要小， 但纠错能力不一定比原码 强。

线性分组码

线性分组码

系统码的校验矩阵和生成矩阵可以转换。
13
线性分组码的性质
线性分组码中任意两个码字的模2加仍为一个码字，这个性 质称为码的封闭性。 零矢量必须是任一线性分组码中的一个码字，称为零码字。 生成矩阵中各行都是一个码字，且生成矩阵的各行是线性 无关的（任意两行相加不为零）。任意码字C是生成矩阵中 各行的某一线性组合。 校验矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到r个线性 无关的监督关系式，从而得不到r个独立的监督位。
23
汉明码
汉明码实际上是(2m-1, 2m-m-1)线性分组码，其校验行有m行，共有 n=2m-1列，任一列都不为零且两两互不相等，因此能纠正任何单 个错误。 汉明码的校验矩阵一般有两种构造方式： 一是校验矩阵的标准形式，即H=[PI] 式中P为m×(n-m)维矩阵，I为m×m维单位阵。按这种校验矩阵编 出的码是系统码。 二是校验矩阵的列是按二进制数的自然顺序从左到右排列的非零 列，例如，当n=7,k=4时，H中的第一列为[0 0 1]，第二列为[0 1 0]，…,第七列为[1 1 1]，按这种校验矩阵编出的码是非系统码。 发生单个错误时，伴随式是H中与错误位置对应的列，所以汉明码 伴随式二进制数的值就是错误位置的序号。
14
例题-由生成矩阵生成码字
由生成矩阵 所有码字为
m 000
1 0 0 1 1 1 0 G 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1
生成的（7，3）码的
C 0000000
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
在校验方程的矩阵形式中，令
1 1 则校验方程可以写成 H 1 0
HCT=0 或CHT=0

信息论与编码_第7章线性分组码

信息论与编码_第7章线性分组码

1 1 1 0 1 1 [000]. 0 0 1 0 0 1
17
线性分组码的校验矩阵
例7-2（续2）：求对偶码C
1 1 0 1 0 0 对偶码的生成矩阵=校验矩阵H 1 1 1 0 1 0 . 1 0 1 0 0 1
c mH , c1 m1 m2 m3 c m m 1 2 2 c3 m2 m3 c4 m1 c5 m2 c6 m3
例7-3 设一个（6,3）线性分组码C的校验矩阵为
1 1 0 1 0 0 H 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1
任何1列线性无关， 第1、2列线性相关， C的最小汉明距离 =2
23
线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
21
线性分组码的最小汉明重量
定理7-4 线性分组码C的最小汉明距离等于该码中非零 码字的最小 汉明重量 。 例7-2（续3） 全体码字为：
码字 000000 011101 110001 101100 111010 100111 001011 010110
C的最小汉明距离=3， 可以纠1个错，检2个错
对偶码C 000 000 101 001 111 010 010 011 110 100 011 101 001 110 100 111
18
线性分组码的校验矩阵
课堂练习：已知(5, 3)线性分组码的生成矩阵为G
1 0 1 1 0 G 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0
信息元
000 001 010 011 100 101 110 111

第二章 线性分组码(zhb)

第二章 线性分组码(zhb)
1
卷积码：m中每k0个码元为一组，经编码输出n0个
码元，增加了n0-k0个监督元，编码规则不仅于此
时此刻进入编码器的码元有关，还与此刻相邻的
m时刻有关，称为卷积码。用(n0,k0，m) 表示。 目前常见的几种码：
级联码：将分组码和卷积码结合起来的码，一般用RS码为外码，卷
积码作为内码。
Turbo码：是并行结构的级联码系统码，将卷积码和随机交织器相结 合。被IS-2000标准作为第三代移动通信手机中的纠错抗干扰方案。 LDPC码：是一种线性分组码，Low-Density-Parity-CheckCodes, 它 能比其它码带来更高的编码增益。被通信公司作为第四代移动通信中
h11Cn 1 h12Cn 2 h1k Cn k Cn k 1 0 h C h C h C C 21 n 1 22 n 2 2k n k n k 2 0 h r1Cn 1 h r2Cn 2 h rk C n k C0 0
Wmin minWV, V C, V 0

线性分组码的最小距离等于它的最小重量
d min Wmin

线性分组码纠t个错误的充要条件是码的最小距离为：
d
2t 1
10
三、（n,k）码的监督矩阵H和生成矩阵G 1. 监督矩阵（也称校验矩阵）
h11 h12 h h 22 21 H h r1 h r2 h1k h 2k h rk 1 0 0 0 0 1
23
伴随式计算电路
R0 R1 R2 R3 R4 R5 R6
输入
输出
+
S0
+
S1

线性分组码

线性分组码

二、线性分组码的严格数学定义2
2. 定理1 (码的封闭性）
设CH为由监督矩阵H定义的分组码，则c1,c2CH : c1+c2CH 证明： 由c1CH，得Hc1T=0T;
由c2CH，得Hc2T=0T;
所以 H(c1+c2)T=H(c1T+c2T) =Hc1T+Hc2T=0T c1+c2满足HcT=0T，所以c1+c2 CH
+
+
考虑如何用串行方式？
三、G与H的关系4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D0
D1
+
D2
+
D3
+
D0
D1
+
D2
+
D3
+
m4m5m6
m6
m6
D0
D1
m6+m5 m6
D0
D1
m6
m6
+
D2
+
D3
+
m4m5
m6+m5
m6+m5
+
D2
m6+m5+m6
=m5
+
D3
+
m4
m5+m4
互为对偶码，若CH=CG, 则称为自对偶码（P62)
[Q In-k] [IkP]T= [QIn-k] [IkT PT]T= Q + PT = 0
所以 P= - QT 或 Q = -PT
由此得 G=[Ik P] = [ Ik –QT] H=[Q In-k]= [ -PT In-k]
三、G与H的关系2

8.2 线性分组码 线性分组码编码

8.2 线性分组码 线性分组码编码
第八章 差错控制编码
8.2 线性分组码
线性分组码的编码
1
引言
• 信道编码，目的是提高数字通信的可靠性
– 差错率是信噪比的函数
• 信道编码，差错控制编码，抗干扰编码
• 信道编码过程：
– 信息码元序列＋监督码元→编码码组
• 信道译码过程：
– 编码码组→检错或纠错→信息码元序列
2
1. 线性分组码的概念
1 0 0
G＝0 1 0 0 1 1
1 0 1
0 0 1 1 1 0
1 1 0
1 1 1
7
由式
，得码组矩阵为：
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 C＝0
1
1 1 0
0 1
0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
0 1 1
110＝100
1 1 0
0 1 0
0 1 1
6
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例8-1 已知(6,3)码的生成矩阵为G，试求：(1) 编码码组 和各码组的码重；(2) 最小码距 d及min其差错控制能力。
解
(1) 由3位码组成的信息码组矩阵为D：
0 0
0 0
0 1
0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 1 1
D＝
ck = dk
ck +1 ck+2
= =
h11d1 h12d2 h1k dk h21d1 h22d2 h2k dk
G生成矩阵
cn = hm1d1 hm2d2 hmk dk
5
写成矩阵形式，有 C = D G ，G为生成矩阵(k*n)，且：

6.2线性分组码


线性特性：码字c的各位码元是消息m各位的线性组 合
一个（ 一个（n,k）线性分组码的码字 c可以表示为 ） 可以表示为
c=mG
其中m：长度为 的消息或 的消息或k维的消息向量 其中 ：长度为k的消息或 维的消息向量 Gk*n：k行n列的生成矩阵 列的生成矩阵 行 列的 矩阵运算采用模二加和模二乘。 矩阵运算采用模二加和模二乘。
1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 G = 0 1 0 1 1 R2 + R3 → R3 →0 1 0 1 1 R1 + R3 → R1 → 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 R1 ← → R 3 →0 1 0 1 1 = G S 0 0 1 1 1
线性分组码的性质
（1）零向量一定是一个码字，记作 θ = (0,0,L ,0) ）零向量一定是一个码字， （2）任意两码字的和仍是一个码字。 ）任意两码字的和仍是一个码字。 都可以表示为G的行向量的线性组合 （3）任意码字 都可以表示为 的行向量的线性组合。 ）任意码字c都可以表示为 的行向量的线性组合。
G的行向量是码集合中的码字（它们线性无关） 的行向量是码集合中的码字（它们线性无关） 的行向量是码集合中的码字
（4）线性分组码的最小距离等于最小非 码的码重： 码的码重： ）线性分组码的最小距离等于最小非0码的码重 码重：码字中的非0符号个数。
d min = min w(c)
c ≠θ
例：c = (0101) d = w(c)
系统码。 （1）则该码称为系统码。 ）则该码称为系统码
容易发现，若系统线性分组码的生成矩阵G 的左（右） 半部分是Ik*K的单位阵，则线性分组码的前（后）k位是 信息位，后n-k位是校验位。 若不是系统码，则可以通过简单行变换得到系统码生成 矩阵。

信息论基础——线性分组码

即校验位是由信息位线性组合得到.
17
线性分组码的基本概念
信息位 00 01 10 11 x2 x0 x1 00000 x3 x0 x x x 01101 0 1 4 码字 10111 11010
信息位k=2 码字数M=4
可见，码字的三个校验元都由其前两位线 性组合得到，即可由的线性方程组求得；
18
线性分组码的基本概念
f1 : GF (2) 2 GF (2)5
信息位 00 01 10 11 码字 00000 01101 10111 11010
1 ( 0 1 ) 1 ( 1 0 ) 1 1
f( 1 1 ) 1 1 0 1 0
1 ( 0 1 1 0 1 )1 ( 1 0 1 1 1 ) 1 1 0 1 0
30
线性分组码的基本概念

汉明距离： 指（n,k）分组码中两个码字xn 、 yn对应位取 值不同的个数；记为d（xn ， yn）.
5 5 ( 1 0 1 0 1 ) , y ( 0 1 1 1 1 ) 例： x
d(x ,y ) 3
5 5
31
线性分组码的基本概念

线性分组码的最小距离： 称（n,k）分组码中任两个码字汉明距离的最小 值，为该分组码的最小距离d.
f ( 1 ( 0 1 ) 1 ( 1 0 ) ) 1 ( 0 1 1 0 1 ) 1 ( 1 0 1 1 1 ) 线性编码
19
线性分组码的基本概念
例题1： 下面是某个（n，k）线性二元码的全部码字
x16=000000 x26=100011 x36=010101 x46=001111 x56=110110 x66=101100 x76=011010 x86=111001 求n、k的值；

第3章 线性分组码

由上式经移项运算，解出监督位为
a2 a6 a5 a4 a1 a 6 a 5 a 3 a0 a6 a4 a3
已知信息位后，就可直接计算出监督位。由此得出16个许用码组 表4-5（7，4）汉明码的许用码组 信息码 a6a5a4a3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 监督码 a2a1a0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 信息码 a6a5a4a3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 监督码 a2a1a0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
§3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
一、 码的校验矩阵与生成矩阵
– ［n ，k ，d］分组码的编码问题就是在n 维 线性空间Vn 中，如何找出满足一定要求的， 有2k 个矢量组成的k 维线性子空间Vn ，k 。 – 或者说， 在满足给定条件(码的最小距离d或 码率R)下， 如何从已知的k 个信息元求得r=n -k 个校验元。
• 二进制(5,3)码
– K位信息空间23
• • • • • • • • 000 001 010 011 100 101 110 111
n位编码空间25
00000 00100 01000 01100 10000 10100 11000 11100 00001 00101 01001 01101 10001 10101 11001 11101 00010 00110 01010 01110 10010 10110 11010 11110 00011 00111 01011 01111 10011 10111 11011 11111

103线性分组码

10.3 线性分组码10.3.1 线性分组码的基本概念1. 线性分组码及其描述方法()k n ,线性分组码是把信息码元序列的每k 个码元(Symbol)分成一组，通过线性变换，映射成由n 个码元组成的码组，且每一码组仅与本码组的k 个信息位有关，与其他码组的信息无关。

对于线性分组码，码组中任一码元都是信息码元的线性组合。

例10.3.1 设某（7，4）二进制线性分组码编码器的输入信息组（又称信息段）是m ()0123m m m m =,编码输出是A ()0123456a a a a a a a =，已知输入、输出码元之间的关系式是36m a =，25m a =，14m a =，03m a =，1232m m m a ++=，0231m m m a ++=，0130m m m a ++=，这里，“+”指模二加。

求编码时“码组到信息”间的映射关系以及输出码组集合。

解 将题中所给输入、输出码元之间的线性变换关系用线性方程组描述如下：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====o o oomm m a m m m a m m m a m a m a m a m a 1323112323142536监督位信息位 （10.3.1） 还可以将式（10.3.1）改写成矩阵形式： A []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00010110010101010011010001110123m m m m （模2加） = m G （10.3.2） 分别令信息组()0123m m m m 为（0000），（0001），…，（1111），代入上面的矩阵算式，不难算得各信息组对应的码组，列于表10.3.1 。

2. 线性分组码性质表10.3.1 反映出线性分组码所具备的基本性质：(1) 一个()k n ,线性分组码共有k 2个许用码组；(2) 对加法满足封闭性，即线性分组码中任意两个码组之和（模二加）仍是分组码中的一个码组；(3) 全零码是线性分组码中的一个码组；(4) 线性分组码各码组之间的最小码距，等于除全零码外的码组的最小重量。

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c =(1010011) e =(0100000) r =(1110011)
s = r HT = e HT = (0100000) c =(1010011) e =(1001000) r = (0011011)
101 | 1000 111 | 0100 110 | 0010 011 | 0001
T
=
G=
gk,n-1 gk,n-2
… gk,0
秩是多少？
G称为[n,k]码的生成矩阵。
G的标准形式[IkP], 称为典型生成矩阵。
三、G与H的关系
G的行矢量是码字， HgiT=0T, 有HGT= 0T, H与G所张成的空间互为零空间。 CH: H校验，G生成。 CG: G校验，H生成。 互为对偶码，若CH=CG, 则称为自对偶码（P62)
五、线性分组码的译码5
构造办法： a.按H的二进制数的顺序排列。 例GF(2)上的[7,4,3]的汉明码，m=3， 23-1=7个非零列，3维矢量按 0~7的二进制数排列 H= 1111000 1100110 1010101
b. 系统码 1110100 H= 1 1 0 1 0 1 0 1011001
+ + + +
考虑如何用串行方式？
三、G与H的关系4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D0
D1
+
D2
+
D3
+
D0
D1
+
D2
+
D3
+
m4 m5 m6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
m6
m6
D0 D1 +
m6
D2 +
m6
D3 +
m6
m4 m5 m6+m5 m6+m5
..........
cn-1 cn-2 =0 c0
HcT=0T
hn-k,n-1hn-k,n-2 … hn-k,n-k00…1
二、线性分组码的严格数学定义
1.定义
GF(q)中的元素（q为素数幂）组成的(n-k)n矩阵，其秩为n-k。满足方程 HcT=0T的矢量c=(cn-1, cn-2, …ci,… ,c0) （ ciGF(q) )的集合称为[n,k]线性分组 码。H称为监督（检验)矩阵。 HcT=0T称为（一致）监督矩阵。
d min w(c)
c[ n, k ]
c1 d(c1,c2) d(c1,c3)
定理5：GF(2)上的[n,k,d]分组码中任何码字c1,c2满足: c2 w(c1+c2) = w(c1)+w(c2)- 2(c1c2) 内积 或 d(c1,c2) w(c1)+w(c2)
d(c2,c3)
r(x) - m(x)xn-k (mod g3(x))
除法电路
（见168页）
四、线性分组码的最小距离、检错和纠错能力
1. 检、纠错的必要条件：码字在一些码元发生错误后，还没有变成其它码字。 为使码具有强的检错、纠错能力，各码字的距离差别（汉明距离）足够大。 2. 线性分组码的最小距离d(最小汉明距离） 若[n,k]线性分组码的最小距离为d, 记为[n,k,d] 定理4：[n,k]分组码的最小距离d满足 d(c1,c2)=w(c1+c2)=w(c3)
D0 D1 + D2 +
m6+m4
D3 +
m4 m 5 m6
三、G与H的关系5
x6 x5x4 100| G= 0 1 0 | 001| x3 x2x 1110 0111 1101 g1(x)=x6+x3+x2+x=x(x5+x2+x+1) 写成多项式
=x(x+1)(x4+x3+x2+1) g2(x)=x5+x2+x+1=(x+1)(x4+x3+x2+1) 4+x3+x2+1 g (x)= x 6 3 2 4 3 2 3 g1(x)=x +x +x +x= x(x+1)(x +x +x +1) =x(x+1)g3(x) g2(x)=x5+x2+x+1=(x+1)(x4+x3+x2+1) =(x+1)g3(x)
[Q In-k] [IkP]T= [QIn-k] [IkT PT]T= Q + PT = 0
所以 P= - QT 或 Q = -PT
由此得 G=[Ik P] = [ Ik –QT] H=[Q In-k]= [ -PT In-k]
三、G与H的关系2
例： 已知[7，3]码（p52, 例3.1)
101 111 110 011 |1000 |0100 |0010 |0001
第三章 线性分组码
陆以勤
2005年3月
一、线性分组码的一般性定义
定义：通过预定的线性运算将k维q元（q为素数幂）信息数组变换成n维 （n>k)码数组（称码字），由qk个码字所成的集合，称为[n,k]线性分组码， 简称分组码。 码字用 （cn-1, cn-2, … , cn-k, cn-k-1, … , c1, c0)表示。 码率（传信率，信道利用率）R=k/n表示信息位所占的比重。 最简单的情况：在后面添加n-k个监督元，叫系统码（定义3.2.2)。
r2 r3
T
s = r HT = ( r 6 r5 r4 r3 r2 r1 r0 )
r6 + r 4 + r3 r6 + r 5 + r4 + r2 = r +r +r 6 5 1 r5 + r 4 + r0
r4 r5
T
= （s3 s2 s1 s0)
#43;
S1
+
S2
+
S3
五、线性分组码的译码3
二、线性分组码的严格数学定义4
由第2章定理3可知，必存在k个线性独立的码字g1, g2, … , gk, 使cCH:
c=mn-1g1+mn-2g2+… + mn-kgk =m G g1,n-1 g1,n-2 … g1,0 g2,n-1 g2,n-2 … g2,0
..........
基不同，G不同，但 生成的空间是一样的， 不同的G的意义是什 么？
0 T 1 1 1
s = r HT = e HT = (1001000)
101 | 1000 111 | 0100 110 | 0010 011 | 0001
T
=
1 1 1 0
T
+
1 0 0 0
T
=
(0110)
五、线性分组码的译码4
若e = (0, …,0, ei, 0, … 0) s= ei hi T 若为二进制，则s =hiT 若要各列彼此区分，各列互不相同，即任意两列线性无关 H(n-k)×n
H=
c=(c6c5c4c3c2c1c0) 由HcT=0T得 c3=c6+c4 c2=c6+c5+c4 c1=c6+c5 c0=c5+c4
P= -QT= 1110 0111 1101 G=[Ik P] = 100| 1110 010| 0111 001| 1101
三、G与H的关系3
设信息组m = (m6m5m4) c6=m6 c5=m5 c4=m4 c3=m6+m4=c6+c4 c2=m6+m5+m4=c6+c5+c4 c1=m6+m5=c6+c5 c0=m5+m4=c5+c4
(3) 纠正t个错误，或检测e(t) 个错误，则要求d t+e+1 (4) 纠正t个错误和个删除，则要求d 2t+ +1 e t
e
t
t
e
1
t
1
t
t
1
e
t
t
t

t
五、线性分组码的译码
1. 伴随式
c H cT = 0 T HrT= H(c+e)T= HcT+HeT= HeT 定义s rHT 称为接收字r 的伴随式（校正子）
2.再证维数为k 设cCH, 则HcT=0T. c与H的每一行矢量正交, 故c在由H的行矢量张成的n-k维线 性子空间Vn,n-k的零空间中(第2章定理17, 定理2.6.9), CH中每个码字和H张成的子 空间的矢量正交, 所以CH为H张成的子空间的零空间(第2章定理16, 定理2.6.8), 维 数为k (第2章定理18, 定理2.6.10)。
h1T h0T hn-1T hn-2T
= ei1 hi1T+ …+ei2 hi2T+…+ eit hi tT 发生错误的位所对应的列 向量的线性组合
五、线性分组码的译码2
101 | 1000 111 | 0100 例：[7，3]码， H= 110 | 0010 011 | 0001 101 | 1000 111 | 0100 110 | 0010 011 | 0001
最多可构成2n-k-1个互不相同的非零列，即必须保证 2n-k-1 n
取下限，得2n-k-1 = n，即为汉明码。
2. 汉明码
定义（定义3.3.1)：GF(2)上的线性分组码[n,k,d]称为汉明码，若满足下列条件： (1) n = 2m-1 (mN,且m3)； (2) k=2m-m-1 (3)n-k = m; (4) d=3。
二、线性分组码的严格数学定义2