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山东大学高等数学教学课件ppt版重积分重积分应用

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高等数学课件10-4重积分应用

高等数学课件10-4重积分应用

d 22 - 12 3 ,
D
所以
y 7 7 . 3 3
因此所求形心是 C(0, 7 ) . 3
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铃
例2 求两圆2sin和4sin之间的均匀薄片的质心. 力学解法: 设小圆质量为m, 质心(0, 1) , 则大圆质量为4m, 质心(0, 2) , 小圆关于 x 轴的静矩为 m, 大圆关于 x 轴的静矩为 8m, 图形关于 x 轴的静矩为 3my ,
所求面积为
A
D
z 2 z 2 1 + ( ) + ( ) dxdy 1 + 4 x 2 + 4 y 2 dxdy x y D
d
2 0

2 0


6
1 2 1 + 4r rdr 2 [ (1 + 4r ) ] 8 3
2
3 2 2 2 0
(17 17 - 1)
切平面方程
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x - x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y - y0 )
法线方程 x - x0 y - y0 z - z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
D D
Mx , y M (x, y)d
y(x, y)d
D
(x, y)d
D
.
分析: •P点对y轴的静矩为dMyx(x, y)d. 在点P(x, y)处取一直径很小的小薄 片, 其面积(面积元素)为d, 其质量认为 •薄片对y轴的静矩为 M y x (x, y)d . 集中于点P, 其值近似为(x, y)d. D

重积分三重积分的应用课件.ppt

重积分三重积分的应用课件.ppt

解 立体的图形为 设1为 在第一卦限内
的部分, 利用对称性得
z 1
M 4M1 4 ( x, y, z)dv
1
o
y
4( x y )dv 柱坐标变换 x
1
1
1
4 2 d rdr r(cos sin )dz
0
0
r2
4
2 (cos sin )d
1
r
2
(1
r
2
)dr
0
0
16。 15
13
设有一平面薄片占有 y
平面闭区域D, 在点(x,y)
处具有连续面密度
=(x,y)，下面利用元素
y
•d
D
法求该平面薄片对两坐
标轴的转动惯量。
O
x
x
先将物体分割为许多小部分，考虑其中的一
个部分d，它的质量元素为
dm ( x, y)d
这个部分d对于x轴以及对于y轴的转动惯
量元素为
dIx y2( x, y)d dI y x2( x, y)d
F
x, y, a 一致。
F0
x r
,
y,a rr
o x
x
y
• P(x,y,0) y
cos,cos ,cos , (r x2 y2 a2 )
dF {dFx , dFy , dFz }
{| d F | cos,| d F | cos ,| d F | cos },
( x, y)xd ( x, y) yd a( x, y)d
14
y
以这些元素为被积表达 式，在闭区域D上积分， 可得
y
•d
D
Ix y2( x, y)d ,OD源自I y x2( x, y)d

高等数学-重积分PPT课件

高等数学-重积分PPT课件

重积分的性质
线性性质
若α、β为常数，则∫[αf+βg]=α∫f+β∫g。
积分区域的可加性
若D1、D2是两个不相交的区域，则∫[D1∪D2]f=∫[D1]f+∫[D2]f。
保序性
若在D上，f(x,y)≤g(x,y)，则∫[D]f≤∫[D]g。
绝对可积性
若f在D上可积，则|f|在D上也可积，且|∫[D]f|≤∫[D]|f|。
课件内容与结构
课件内容
本课件主要介绍重积分的基本概念、性质、计算方法和应用实例，包括二重积分和三重积分的定义、性质、计算 方法和应用等。
课件结构
课件按照“概念引入-性质探讨-计算方法-应用实例”的逻辑顺序进行编排，层次分明，条理清晰，便于学生理解 和掌握。
02
重积分的定义与性质
重积分的定义
二重积分的定义
计算消费者剩余和生产者剩余
02 重积分可用于计算消费者剩余和生产者剩余，通过对
需求函数和供给函数进行积分得到。
计算社会福利
03
重积分可用于计算社会福利，通过对消费者剩余和生
产者剩余进行加总得到。
06
重积分的数值计算方法
矩形法则与梯形法则
矩形法则
将积分区间划分为若干个小矩形，每个小矩形的面积近似等于其底边长度与高的乘积，将所有小矩形 的面积相加得到积分的近似值。
计算转动惯量
重积分可用于计算物体绕某轴的 转动惯量，通过对物体质量分布 和到轴距离的平方进行积分得到。
计算引力
重积分可用于计算两个物体之间 的引力，通过对两物体间的质量 分布和距离进行积分得到。
在工程学中的应用
计算面积和体积
重积分可用于计算平面图形或立体图形的面积和体积，通过对图形 的边界函数进行积分得到。

高等数学讲义第九章重积分-PPT精选

高等数学讲义第九章重积分-PPT精选
D
其中区 D:x域 2y21,x0,y0
2020/6/4
2020/6/4
三重积分的性质类似于二重积分
dvV（的体积）
2。三重积分的计算 (1)利用直角坐标计算三重积分
方法1：先计算定积分再计算二重积分
设平行于z轴且穿过区域内部的直线与的边界 曲面相交不多于两点，域 把区投影到xoy面 上得到一个平面区 Dx域 y，以Dxy的边界曲线为准 线作母线平行z于 轴的柱面。这柱面面 与曲的 交线，把分成上、下两部分。
a y 1 (x ) z1 (x ,y)
2020/6/4
如果D 区 xy为域 x1 ： (y)xx2(y),
cyd,则
f(x ,y ,z)d vddx y 2 (y )dzx 2 (x ,y )f(x ,y ,z)dz c x 1 (y ) z 1 (x ,y )
方法2：先计算二重积分再计算定积分
D
圆域 x2y2a2。
例10.计算二重积 x分 yd，其中区D域 是由
D
第一象限x中0, yx,x2 (yb)2 b2 x2 (ya)2 a2(0ab)所围成的区域。
2020/6/4
例 11.计算二重积 R2分 x2y2d，
D
其中区 D:x域 2y2Rx
例 12.计算二重 ln积 1(x分 2y2)d，
D
D
D
性3质 :
f(x,y)df(x,y)df(x,y)d
D1D2
D1
D2
性4 质 :设 (x,y)D,f(x,y)g(x,y)
则f(x,y)dg(x,y)d
2020/6/4
D
D
性质5:设m f (x, y) M
则m f (x, y)d M

重积分说课PPT课件

重积分说课PPT课件
通过三重积分可以计算三维物体 的质量，其中被积函数表示物体
的密度。
计算质心
三重积分可用于计算三维物体的质 心坐标，其中被积函数表示物体的 密度与坐标的乘积。
计算转动惯量
通过三重积分可以计算三维物体绕 某轴的转动惯量，其中被积函数表 示物体的密度与到轴距离的平方的 乘积。
05
重积分的数值计算方法
矩形区域上的数值积分法
体积计算
二重积分可用于计算立体 体积，如旋转体、柱体等。
曲面面积计算
通过二重积分可以计算曲 面的面积，如球面、柱面 等。
二重积分在物理中的应用
质心计算
通过二重积分可以求出物体的质 心坐标。
引力计算
在万有引力定律中，利用二重积 分可以计算两物体之间的引力。
01
02
质量计算
在密度不均匀的物体中，利用二 重积分可以计算物体的质量。
球面坐标系下的三重积分
当积分区域为球体或球壳时，可将三重积分转化为球面坐标系下的 累次积分。
三重积分在几何中的应用
计算体积
通过三重积分可以计算三 维空间中任意形状的体积。
计算面积
三重积分可用于计算三维 空间中曲面的面积。
计算重心
通过三重积分可以计算三 维物体的重心坐标。
三重积分在物理中的应用
计算质量
重积分说课ppt课件
目录
• 课程介绍 • 重积分基本概念与性质 • 二重积分的计算与应用 • 三重积分的计算与应用 • 重积分的数值计算方法 • 课程总结与展望
01
课程介绍
课程目标与要求
掌握重积分的概念、 性质及计算方法
培养学生的数学素养 和解决问题的能力
理解重积分在物理学、 工程学等领域的应用

高等数学 课件 PPT 第九章 重积分

高等数学 课件 PPT 第九章 重积分
分析
若函数ρ(x,y)=常数，则薄片的质量可用公式 质量=面密度×面积 来计算.现在面密度ρ(x,y)是变化的，故不能用上述公式来求. 这时仍可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量.分为下列 几个步骤：
一、二重积分的概念
(1)分割将D分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn（小区域 的面积也用这些符号表示），第i个小块的质量记为 ΔMi(i=1,2,…,n)，则平面薄片的质量
于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-11
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例3】
计算
，D是由抛物线y2=2x与直线y=x－4所
围成的区域．
解 画出积分区域D的草图如图9-12所示．若先对x积分，
则有
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-12
一、在直角坐标系下计算二重积分
若先对y积分，则需将D分为两个区域D1和D2， 于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例1】
试将
化为两种不同次序的累次积分，其中
D是由y=x,y=2－x和x轴所围成的区域．
解 积分区域D如图9-9所示．首先说明如何用“穿线法”
确定累次积分的上、下限．如果先积x后积y，即选择Y型积
分区域，将区域D投影到y轴，得区间［0,1］，0与1就是对y
积分的下限与上限，即0≤y≤1，在［0,1］上任意取一点y，
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有类似的性质.假设 下面所出现的积分是存在的.
二、二重积分的性质
性质1
设c1,c2为常数,则
性质2
若闭区域D分为两个闭区域D1与D2，则
二、二重积分的性质
性质3
(σ为D的面积）.
性质4

高等数学随堂讲解重积分应用.pptx


I x
y 2 ( x, y)d
D
Iy
x 2 ( x, y)d
D
例5 求半径为a的均匀半圆薄片对其直径边的转动惯量.
➢空间物体的转动惯量 设物体占有空间域 , 有连续密度函数 物体的转动惯量
I x ( y2 z 2 ) (x, y, z) dxd ydz
(x2 z2)
I z (x2 y2 ) (x, y, z) dxd ydz z l
➢能用重积分解决的实际问题的特点
分布在有界闭域上的整体量 所求量是
对区域具有可加性
➢ 解题步骤 明确积分区域 确定积分元素 列出积分表达式
➢ 确定积分元素的方法 以直代曲
在微小局部 以不变代变
重积分的应用
一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
重积分的应用
一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
注 (1) 可与弧长公式 (2) 解题步骤: 明确(选择)曲面Σ的方程 明确(选择)曲面Σ的投影 求出曲面面积元素
对比记忆!
例1计算双曲抛物面
所截出的面积 A .
被柱面
例2 计算半径为 a 的球的表面积.
重积分的应用
一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
重积分的应用
一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
d
Fy
G
(x, y, z)y r3
dv
d Fz
G
(
x, r
y,
3
z)z
dv
z dv
dF r y x
r x2 y2 z2
G 为引力
常数
各引力分量:
Fx
G
(x, y, r3

《重积分的运算》课件

重积分的运算
汇报人：PPT
单击输入目录标题 重积分的概念 重积分的运算规则 重积分的应用实例 重积分的注意事项
添加章节标题
重积分的概念
定义与性质
重积分的定义：对 多元函数在某一区 域内的积分
重积分的性质：线 性性、可加性、绝 对收敛性等
重积分的应用：计 算体积、面积、质 量等
重积分的计算方法 ：直接积分法、换 元积分法、分部积 分法等
合理选择积分区域：选择合适的积分区域可以简化计算过程 利用对称性：利用积分区域的对称性可以简化计算过程 利用积分变换：利用积分变换可以简化计算过程 利用数值积分：利用数值积分可以快速得到近似解，提高计算效率
注意事项总结
确定积分区域：选择合适的积分区域， 避免积分区域过大或过小
确定积分变量：选择合适的积分变量， 避免积分变量过多或过少
确定积分顺序：选择合适的积分顺序， 避免积分顺序错误
确定积分方法：选择合适的积分方法， 避免积分方法不当
确定积分结果：确定积分结果是否正 确，避免积分结果错误
注意积分技巧：注意积分技巧的使用， 提高积分效率
THANK YOU
汇报人：PPT
避免计算错误的方法
仔细阅读题目， 理解题意
正确使用积分 符号和积分区
间
避免积分区间 错误，如积分 区间的端点和
区间内的值
避免积分变量 错误，如积分 变量的取值范 围和积分变量
的值
避免积分函数 错误，如积分 函数的定义域 和积分函数的
值
避免积分计算 错误，如积分 计算的步骤和 积分计算的结
果
提高计算效率的技巧
几何意义
重积分可以看作是积分的推 广，将积分从一维扩展到二 维或三维
重积分是积分的一种，用于 计算曲面或曲面上的曲线的 体积或面积

《高等数学教学课件》-1 第四节 重积分应用共21页文档


d 2
R 1R2
4a2
R2
Rrdr
2 R[
R 1
R2 r2] 4a2
2(R2 R 2a3)
0
0
R2 r2
0
A (R ) 2(R 2 R 2 a 3) 0 R 2 a
A R 2 ( 2 R 3 2 R a 2 ) 4 R ( 1 3 4 R a ) 0 R 4 3 a , R 0 ( 舍 )
例4、计 算 三 重 (a x2 2积 b y2 2 分 cz2 2)2dxd,y其 dz 中 是
由 x2
y2
a2 b2
z2 c2
1所
围
成
的.立 解
体
区
域
0 2 ; 0 ;
u sin cos
v
sin
sin
w cos
x au
y
bv
z cw
u2v2w21
1 x2
Байду номын сангаас4 7
a
b
c.
第四节、重积分应用
一、几何应用 1.立体的体积
例 1、求由z曲 x2面 y2与 zxy所围立体 . 的体
解
zz x x 2 y y 2消 在 x z 去 面 o x2 yy2的 xy D 投 0 : (x( x 影 1 2 )2 1 2 )2 ( y 区 ( y 1 2 )2 1 2 ) 域 2( 2 2 ()2 2 2 .)2 .
D
D
当密度均匀,重时心坐标称为形心,(坐 x, y标 )为:
x
My
xdxdy
D
,y
Mx
ydxdy
D
.
M dxdy M dxdy
D

重积分高等数学课件.ppt


于是 ln(x2 y2 ) d x d y 0
x y 1
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第三节 三重积分
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
第九章
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一、三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为(x, y, z) C,求分布在 内的物质的
的正负号.
y
D3 D2 o 1 32 x
D1
舍去此项
猜想结果为负
D1 d x d y
但不好估计 .
3 2 (4 3) (1 3 2) 0
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例3. 估计下列积分之值
I
D
dxd y 100 cos2 x cos2
y
D : x y 10
y
解: D 的面积为 (10 2)2 200
体积, 则存在 ( ,, ) , 使得
f (x, y, z) d v f ( ,, )V
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二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f (x, y, z) 0, 并将它看作某物体
的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:
n
M
lim
0 k 1
(k , k
) k
(k ,k )
x
k
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两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”
(2) 所求量的结构式相同
曲顶柱体体积:
n
V
lim
0 k 1
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2acos 4a2r2rdr
0
0
O
2a x
32a3
2 1sin3d
30
16a3 4
3 3
2a y
2.曲面面积 设曲面S : zz(x,y)
在D上有连续偏导数
D为 S 在 xoy 面上的投影区域.
微元法: 在D上任取小区域 d,
相应的得到S上小曲面dS.
dsdA
d cos
用切平面 近似代替
设薄板占有平面区域D,面密度 (x, y)在D上连续.
在D上任取小区域 d 及其上面任意一点
(x , y),
d 的质量 dM (x,y)d
y
D
d 对 x 轴 y 轴的静力矩分别为:
x
dx M y(x ,y ) d,dyM x(x ,y ) d,
M x y (x ,y )d ,M y x (x ,y )d ,
例4.半径为1的半圆形薄板,各点处的密度等于该点到圆心的距 离,求此半圆的重心.
(x,y) x2y2
由对称性: x 0
y
y(x,y)d y x2y2d
y D
D
x
(x,y)d x2y2d
D
D
1
d rsin rrdr
0
0
d
1r2dr
3 2
0
0
于是重心:
(0,
3
2
)
2.转动惯量 (1).平面薄板:设薄板占有平面区域D,面密度 (x, y)在D上连续.
a
ab
c
V
dv
a b(1x)
c(1xy)
dx a dy a b dz
00
0
b
abc 6
a
例 3.求 x2y22a与 x 球 x2面 y2z24a2所围的体积。
设 1为 的第一卦 ,由限 对部 称分 性知z
2a
V 4 dV
1
2ac os
4a2r2
4 2 2d
Dzx
S 在 zox 面上投影区域
例3 计算例1中立体的表面积.
由对称性,只要求出第一卦限 阴影部分的面积,再乘以16倍.
曲面方程 z R2 x2,
D :0xR ,0yR 2x2,
A1 1zx2zy2d
D
D
R dxdy R2 x2
R2
A1A 611R 62
二.物理应用 1.物体重心 (1).平面薄板:
则绕 z 轴的转动惯量为:
Iz (x2y2)dv
2ddRr4si3n dr
0
0
0
8 R5 2 mR 2
15
5
m 4 R3为均匀球体的质量
3
1zx2 zy2d 面积微元
S dA
d
A 1zx2zy2d
D
同理,若曲面 S 的方程为 x = x( y,z ) 或 y = y( z,x ),
可分别把 S 投影到 yoz 面或 zox 面上,得面积公式:
A 1xy2 xz2dydz
Dy z
S 在 yoz 面上投影区域
或 A 1yz2 yx2dzdx
看作曲顶柱体
D :0xR ,0yR 2x2, 曲顶 z R2 x2,
V 1f(x,y)dR2x2d
D
D
R
R2x2
dx
R2x2dy 2 R 3
00
3
V
8V1
16R3 3
例2
计算由
x a
y b
z c
1和三个坐标面围成的四面体体积.
:0 x a ,0 y b ( 1 x )0 ,z c ( 1 x y )
Ix (y2z2)(x,y,z)d,vIy (z2x2)(x,y,z)d,v
Iz (x2y2)(x,y,z)d,vIo(x2y2z2)(x,y,z)dv
Ixo y z2(x,y,z)d,vIyo z x2(x,y,z)d,vIzoxy2(x,y,z)dv
例5.求均匀球体绕其直径的转动惯量.
设半径为R,密度为 ,球心在原点,
第四节 重积分的应用
第四节 重积分的应用
一.几何应用 1.立体体积 两种解法
解法一:将立体看作曲顶柱体,利用二重积分计算.
Vf(x,y)d
D
解法二:利用三重积分性质计算. V dv
例1 计算由 x2 y2 R2和 x2z2R2围成的立体体积. 由对称性,只要求出第一卦限 部分的体积,再乘以8倍即可.
由静力学及微元法,薄板对x 轴, y 轴以及原点的转动惯量分别为:
I x y 2 ( x ,y ) d ,I y x 2 ( x ,y ) d , I o ( x 2 y 2 )( x ,y ) d ,
D
D
D
(2).空间物体:
同理,物体对坐标轴,坐标面以及原点的转动惯量分别为:
D
D
于是平面薄板的重心为:
xMy Dx(x,y)d;yMxDy(x,y)d M (x,y)d M (x,y)d
D
D
(2).空间物体:
物体占有空间区域,密度 (x,y,z)在上连续.
则物体的重心为:
x(x,y,z)dv y(x,y,z)dv z(x,y,z)dv
x(x,y,z)d;vy(x,y,z)d;vz(x,y,z)dv