高中数学 人教A版参数方程_ 单元检测-3

1．【2018届北京市十一校三模】若直线〔为参数)与圆(为参数)相切，则（）A. -4或6 B. -6或4 C. -1或9 D. -9或1【答案】A【解析】分析：先把参数方程化为普通方程，再利用直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径，即可求出答案.解析：把直线〔为参数)与圆(为参数)的参数方程分别化为普通方程得：直线：；圆：.此直线与该圆相切，，解得或6.故选：A.2．【2018年天津卷】已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为___________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.则.点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．3．【2018年北京卷】在极坐标系中，直线与圆相切，则a=__________．【答案】【解析】分析：根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据4．过椭圆（为参数）的右焦点作一直线交椭圆于、两点，若，则该直线斜率为__________．【答案】.【解析】分析：显得出椭圆的标准方程：故右焦点为（），然后设出直线的参数方程，由参数方程可知等价于，然后联立方程结合韦达定理即可. /详解：由题可知椭圆方程为：，右焦点为（），故可设直线的参数方程为：（t为参数），所以，联立方程：故斜率为：5．【2018年天津市河西区三模】在极坐标系中，直线的极坐标方程为，设抛物线的参数方程为（为参数，），其焦点为，点（）是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则__________．【答案】1【解析】分析：先将直线的极坐标方程和抛物线的参数方程转化为直角坐标方程，利用点在抛物线上求出点的坐标，再利用直线和圆的弦长公式和抛物线的定义进行求解.详解：将直线的方程化为，将抛物线的方程为（为参数，）化为，所以,因为，又，所以，所以，所以，解得，则.点睛：1.进行曲线的参数方程和直角坐标方程的互化时，要注意参数的选择，因为参数的不同，导致转化后的方程和曲线不同； -- /2.涉及抛物线的过焦点的弦时，往往利用抛物线的定义将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离，如抛物线上的点到焦点的距离为.6．【2018届江西省抚州市临川区第一中最后一模】以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的参数方程；（2）在曲线上任取一点，过点作轴，轴的垂直，垂足分别为，，求矩形的面积的最大值. 【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）先根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再故曲线的参数方程（为参数）；（2）由（1）可设点的坐标为，，则矩形的面积为.令，，，故当时，.点睛：利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.椭圆参数方程：，圆参数方程：，直线参数方程：7．【2018届江苏省盐城中全仿真】在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为(为参数).(I)求曲线的直角坐标方程;(I)若点在曲线上，且到直线的距离为1，求满足这样条件的点的个数.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)3个.【解析】分析：（I）利用直角坐标与极坐标间的互化关系，进行代换即可；（Ⅱ）求出圆心坐标到直线l的距离，即可得出结论.所以满足这样条件的点的个数为3个.8．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线，的普通方程；（2）求曲线上一点到曲线距离的取值范围.【答案】(1) ；.（2）.【解析】分析：（1）直接消掉参数即得普通方程；（2）求曲线上一点到曲线距离的取值范围.可借助参数方程设此点为，然后根据点到直线的距离公式得出表达式转化为三角函数求最值问当时，即，.∴取值范围为.9．【2018届云南省玉溪市适应性训练】已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线.（Ⅰ）求曲线的普通方程；；（Ⅱ）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程.【答案】(1).(2).【解析】分析：（Ⅰ）根据坐标变换，代入变换方程，即可得到变换后的参数方程，进而转化为普通方程. （Ⅱ）根据中点坐标公式求出P点的参数方程，代入普通方程得到中点的轨迹，再化为标准方程即可.详解：（Ⅰ）将代入，得的参数方程为，∴动点的轨迹方程为.10．【2018届安徽省安庆市第一中热身】在平面直角坐标系中,以原点为极点, 轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知曲线,直线.(1)将曲线上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线,请写出直线,和曲线的直角坐标方程；(2)若直线经过点且与曲线交于点,求的值.【答案】（1），；（2）2【解析】分析：（1）根据极坐标和直角坐标系间的转化公式及变换公式可得所求的方程．（2）由题意可求得直线的参数方程，将其代入曲线的方程消元后得到关于参数的二次方程，然后根据参数的几何意义可得所求．详解：（1）将代入，可得，∴直线的直角坐标方程为．设曲线上任一点坐标为，则，所以，代入得，设点对应的参数分别为，则，由直线参数的几何意义可知．点睛：直线的参数方程中参数的几何意义为求线段的长度带来了方便，但此时要求参数方程中参数的系数的平方和为1，只有在这一条件下参数的绝对值才表示直线上的点到定点的距离．11．【2018届湖北省华中师范大第一附属中 5月押题】以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为．（1）若，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值．【答案】(1)，.(2).【解析】分析：（1）将代入到直线的参数方程，消去即可得直线的普通方程，再根据，即可求得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程，根据韦达定理可得，，结合参数的几何意义及三角函数的图象与性质即可求得的最小值．详解：（1）当时，由直线的参数方程消去得，即直线的普通方程为；∵，，.∴当，即时，的最小值为．12.【2018届安徽亳州市涡阳一中最后一卷】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，线段的中点的直角坐标为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）曲线的极坐标方程中将和换成和即可得到曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入的直角坐标方程得，利用韦达定理以及直线参数方程的几何意义可得，从而可得结果.整理可得，设，所对应的参数分别为，，则，∴ ，∴ 直线的斜率，∴ 直线的方程为.点睛：本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.。

三 直线的参数方程[课时作业] [A 组 基础巩固]1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin 70°，y ＝2＋t cos 70°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°解析：将直线参数方程化为标准形式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 20°，y ＝2＋t sin 20°(t 为参数)，则倾斜角为20°，故选B.答案：B2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)与二次曲线交于A ，B 两点，A ，B 对应的参数值分别为t 1，t 2，则|AB |等于( )A ．|t 1＋t 2|B ．|t 1|＋|t 2|C ．|t 1－t 2|D.|t 1＋t 2|2解析：由参数t 的几何意义可知，|AB |＝|t 1－t 2|，故选C. 答案：C3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－π2t ，y ＝2＋π2t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.π2D ．－π2解析：直线参数方程一般式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，表示直线过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝b a， 故k ＝π2－π2＝－1.故选B.答案：B 4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t(t 为参数)与圆ρ＝2cos θ的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定解析：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0，圆ρ＝2cos θ的普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心到直线3x ＋4y ＋2＝0的距离d ＝1＝r ，所以直线与圆的位置关系为相切．答案：B5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16， 得t 2－8t ＋12＝0，t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4.因此中点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4，∴⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.答案：D 6．已知直线⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos 45°，y ＝1＋t sin 45°，点M (32，a )在直线上，则点M 到点(－2，1)的距离为________．解析：令32＝－2＋t cos 45°， 解得t ＝8.由t 的几何意义得点M (32，a )到点(－2，1)的距离为8. 答案：87．直线 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)上与点P (－2,4)距离等于4的点Q 的坐标为________．解析：∵直线的参数方程为标准形式，∴由t 的几何意义可知|PQ |＝|t |＝4，∴t ＝±4，当t ＝4时，⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝4＋23；当t ＝－4时，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4－2 3.答案：(－4,4＋23)或(0,4－23)8．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于M 点，则|MM 0|＝________.解析：由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ， y ＝5＋32t (t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)，根据t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)．答案：6(3＋1)9．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解析：∵直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，∴直线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t (t 为参数)，代入3x ＋2y ＝6得9＋322t ＋8＋2t ＝6，t ＝－1152，∴M 与P 0之间的距离为1152.10．已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)，则该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？解析：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25 t ′，y ＝2＋15 t ′(t ′为参数)，并代入圆的方程，得(1＋25t ′)2＋(2＋15t ′)2＝9，整理，得5t ′2＋8t ′－45＝0. 设方程的两根分别为t 1′、t 2′，则有t 1′＋t 2′＝－85，t 1′·t 2′＝－4.所以|t 1′－t 2′|＝t 1′＋t 22－4t 1′t 2′＝645＋16＝1255， 即直线被圆截得的弦长为1255.[B 组 能力提升]1．过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截圆x 2＋y 2＝4所得的弦长为( ) A.225B.425 C ．2 2 D.325解析：直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，代入圆的方程，得t 2＋2＝4，解得t 1＝－2，t 2＝ 2.所以所求弦长为|t 1－t 2|＝|－2－2|＝2 2. 答案：C2．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6B.π4C.π3D.π6或5π6解析：直线化为y x＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D3．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt(t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s(s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4.l 1⊥l 2⇒(－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1⇒k ＝－1.答案：4 －14．直线l ： ⎩⎨⎧x ＝－1＋3t ，y ＝1＋t(t 为参数)上的点P (－4，1－3)到l 与x 轴交点间的距离是________．解析：在直线l ：⎩⎨⎧x ＝－1＋3t ，y ＝1＋t中，令y ＝0，得t ＝－1.故l 与x 轴的交点为Q (－1－3，0)． 所以|PQ |＝ －1－3＋2＋－32＝3－2＝23－2.答案：23－25．(1)求过点P (－1,3)且平行于直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t(t 为参数)的直线的参数方程；(2)求过点P (－1,3)且垂直于直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t(t 为参数)的直线的参数方程．解析：(1)由题意，直线l 的斜率k ＝－3，则倾斜角θ＝120°， 所以过点P (－1,3)且平行于直线l 的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos 120°t ，y ＝3＋sin 120°t ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)．(2)由(1)知直线l 的斜率k ＝－3，则所求直线的斜率为33，故所求直线的倾斜角为30°，所以过点P (－1,3)且垂直于直线l的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos 30°t ，y ＝3＋sin 30°t ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．6．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l上．求a 的值及直线l 的直角坐标方程．解析：由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.。

⼈教A版⾼中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～3 全册章节同步检测试题⽬录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3⼆项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2⼆项分布及其应⽤第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应⽤第3章练习 3.2独⽴性检验的基本思想及其初步应⽤第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题1．⼀件⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这件⼯作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去⼄地有3班⽕车，从⼄地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅⾏⽅式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所⽰为⼀电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成⽆重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜⾊的衬⾐，3件不同花样的裙⼦，另有两套不同样式的连⾐裙．“五⼀”节需选择⼀套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择⽅式（）Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ 6．设A ，B 是两个⾮空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ⼆、填空题7．商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有种不同的选法；要买上⾐，裤⼦各⼀件，共有种不同的选法．答案：33，2708．⼗字路⼝来往的车辆，如果不允许回头，共有种⾏车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则⽅程22()()25x a y b -+-=表⽰不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A →C ，有种不同⾛法．答案：612．将三封信投⼊4个邮箱，不同的投法有种．答案：34三、解答题 13．⼀个⼝袋内装有5个⼩球，另⼀个⼝袋内装有4个⼩球，所有这些⼩球的颜⾊互不相同．（1）从两个⼝袋内任取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？（2）从两个⼝袋内各取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =?=种．14．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．（1）选其中1⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1⼈为校学⽣会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两⼈参加市⾥组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =??=种；（3）56644574N =?+?+?=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平⾯上的点，a b M ∈，．（1）()P a b ，可表⽰平⾯上多少个不同的点？（2）()P a b ，可表⽰多少个坐标轴上的点？解：（1）完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法也有6种，∴P 点个数为N =6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x 轴上（不含原点）有5个点；②y 轴上（不含原点）有5个点；③既在x 轴，⼜在y 轴上的点，即原点也适合，∴共有N =5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题 1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（） A ．30个 B ．42个 C ．36个 D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆⾄少1个，⾄多5个，则不同的分法共有（） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种答案：Ａ3．如图，⽤4种不同的颜⾊涂⼊图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂⾊不同，则不同的涂法有（） A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种答案：Ａ4．教学⼤楼共有五层，每层均有两个楼梯，由⼀层到五层的⾛法有（） A ．10种 B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的⼦集的个数是（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最⼤边长为11的三⾓形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ⼆、填空题7．平⾯内有7个点，其中有5个点在⼀条直线上，此外⽆三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直⾓三⾓形的个数为．答案：2(1)n n -9．电⼦计算机的输⼊纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产⽣种不同的信息．答案：25610．椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}{}123451234567m n ∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：20 11．已知集合{}123A ，，ü，且A 中⾄少有⼀个奇数，则满⾜条件的集合A 分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题 13．⽤0，1，2，3，4，5六个数字组成⽆重复数字的四位数，⽐3410⼤的四位数有多少个？解：本题可以从⾼位到低位进⾏分类．（1）千位数字⽐3⼤．（2）千位数字为3：①百位数字⽐4⼤；②百位数字为4： 1°⼗位数字⽐1⼤；2°⼗位数字为1→个位数字⽐0⼤．所以⽐3410⼤的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜⾊旗⼦各(3)n n >⾯，任取其中三⾯，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦中不允许有三⾯相同颜⾊的旗⼦，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦颜⾊各不相同，有多少种不同的信号？解： 1N =3×3×3=27种； 227324N =-=种； 33216N =??= 种．15．某出版社的7名⼯⼈中，有3⼈只会排版，2⼈只会印刷，还有2⼈既会排版⼜会印刷，现从7⼈中安排2⼈排版，2⼈印刷，有⼏种不同的安排⽅法．解：⾸先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版⼜会印刷”中的⼀个作为分类的标准．下⾯选择“既会排版⼜会印刷”作为分类的标准，按照被选出的⼈数，可将问题分为三类：第⼀类：2⼈全不被选出，即从只会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法；只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第⼆类：2⼈中被选出⼀⼈，有2种选法．若此⼈去排版，则再从会排版的3⼈中选1⼈，有3种选法，只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此⼈去印刷，则再从会印刷的2⼈中选1⼈，有2种选法，从会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2⼈全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷⼀．选择题：1．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种2．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语⽂、数学、英语各⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种3．某商业⼤厦有东南西3个⼤门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到⼆楼的不同⾛法种数是（）（A ） 5 （B ）7 （C ）10 （D ）124．⽤1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．⽤1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个6．3科⽼师都布置了作业，在同⼀时刻4名学⽣都做作业的可能情况有（）（A ）43种（B ）34种（C ）4×3×2种（D ） 1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每⼈最多分⼀张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A ）120种（B ）1024种（C ）625种（D ）5种8．已知集合M={l ，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取⼀个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直⾓坐标系中可表⽰第⼀、⼆象限内不同的点的个数是（）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）109．三边长均为整数，且最⼤边为11的三⾓形的个数为（）（A ）25 （B ）36 （C ）26 （D ）3710．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（）（A ）25 （B ）15 （C）13 （D ）10 ⼆．填空题：11．某书店有不同年级的语⽂、数学、英语练习册各10本，买其中⼀种有种⽅法；买其中两种有种⽅法．12．⼤⼩不等的两个正⽅形玩具，分别在各⾯上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的⾯标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正⼋边形的三个顶点组成的三⾓形中，与正⼋边形有公共边的有个．15．某班宣传⼩组要出⼀期向英雄学习的专刊，现有红、黄、⽩、绿、蓝五种颜⾊的粉笔供选⽤，要求在⿊板中A 、B 、C 、D 每⼀部分只写⼀种颜⾊，如图所⽰，相邻两块颜⾊不同，则不同颜⾊的书写⽅法共有种．三．解答题：16．现由某校⾼⼀年级四个班学⽣34⼈，其中⼀、⼆、三、四班分别为7⼈、8⼈、9⼈、10⼈，他们⾃愿组成数学课外⼩组．（1）选其中⼀⼈为负责⼈，有多少种不同的选法？（2）每班选⼀名组长，有多少种不同的选法？（3）推选⼆⼈做中⼼发⾔，这⼆⼈需来⾃不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加⾜球队，蓝球队、乒乓球队，每⼈限报其中⼀个运动队，不同的报名⽅法有⼏种？［探究与提⾼］1．甲、⼄两个正整数的最⼤公约数为60，求甲、⼄两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线⽅程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第⼀象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节⽬中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，⼄信箱中有20封．现由主持⼈抽奖确定幸运观众，若先确定⼀名幸运之星，再从两信箱中各确定⼀名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（）（A ）827n A - （B ）2734nn A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．⽤1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A ）20个（B ）19个（C ）25个（D ）30个7．甲、⼄、丙、丁四种不同的种⼦，在三块不同⼟地上试种，其中种⼦甲必须试种，那么不同的试种⽅法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）96种8．某天上午要排语⽂、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第⼀节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A ）6种（B ）9种（C ）18种（D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个⼩组，每组有⼀位司机和⼀位售票员，则不同的分组⽅案共有（）（A ）88A 种（B ）48A 种（C ）44A ·44A 种（D ）44A 种10．有4位学⽣和3位⽼师站在⼀排拍照，任何两位⽼师不站在⼀起的不同排法共有（）（A ）(4!)2种（B ）4!·3!种（C ）34A ·4!种（D ）3 5A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成⼀排，其中a ，b 两种必须排在⼀起，⽽c ，d 两种不能排在⼀起，则不同排法共有（）（A ）12种（B ）20种（C ）24种（D ）48种⼆．填空题:：12．6个⼈站⼀排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个⼈站⼀排，甲不在排头，⼄不在排尾，共有种不同排法．14．五男⼆⼥排成⼀排，若男⽣甲必须排在排头或排尾，⼆⼥必须排在⼀起，不同的排法共有种．15．将红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼩球，分别放⼊红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼝袋中，但红⼝袋不能装⼊红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法．三、解答题：17．⼀场晚会有5个唱歌节⽬和3个舞蹈节⽬，要求排出⼀个节⽬单（1）前4个节⽬中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节⽬要排在⼀起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节⽬彼此要隔开，有多少种排法？18．三个⼥⽣和五个男⽣排成⼀排．（1）如果⼥⽣必须全排在⼀起，有多少种不同的排法？（2）如果⼥⽣必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排⼥⽣，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排⼥⽣，有多少种不同的排法？（5）如果三个⼥⽣站在前排，五个男⽣站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合综合卷⼀、选择题：1．下列等式不正确的是（）（A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=- （C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11 111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．⽅程2551616x x x C C --=的解共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男⽣中挑选3⼈，4名⼥⽣中挑选2⼈，组成⼀个⼩组，不同的挑选⽅法共有（）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男⽣，3个⼥⽣中挑选4⼈参加智⼒竞赛，要求⾄少有⼀个⼥⽣参加的选法共有（）（A ）12种（B ）34种（C ）35种（D ）340种8．平⾯上有7个点，除某三点在⼀直线上外，再⽆其它三点共线，若过其中两点作⼀直线，则可作成不同的直线（）（A ）18条（B ）19条（C ）20条（D ）21条9．在9件产品中，有⼀级品4件，⼆级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，⾄少有两件⼀级品的抽法共有（）（A ）60种（B ）81种（C ）100种（D ）126种10．某电⼦元件电路有⼀个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某⼀焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）（A ）5种（B ）6种（C ）63种（D ）64种⼆．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每⼈教两个班，分配⽅案共有种。

第二讲过关检测(时间:90分钟,满分:100分)知识点分布表一、选择题(每小题4分,共40分) 1.若圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23,cos 21y x (θ为参数),直线的参数方程为⎩⎨⎧-=-=16,12t y t x (t为参数),则直线与圆的位置关系是（ ）A.过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离2.已知三个方程：①⎩⎨⎧==2,t y t x ②⎩⎨⎧==t y t x 2tan ,tan ③⎩⎨⎧==ty t x 2sin ,sin (都是以t 为参数),那么表示同一曲线的方程是（ ）A.①②③B.①②C.①③D.②③ 3.椭圆⎩⎨⎧+-=+=θθsin 42,cos 35y x （θ为参数）的离心率是（ ）A.47 B.37 C.27 D.57 4.圆锥曲线⎩⎨⎧==θθsec 3,tan 2y x (θ为参数)的准线方程是 （ ）A.13139±=y B.13139±=x C.1313±=y D.1313±=x 5.下列参数方程（t 为参数）中与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的是（ ）A.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y t x 2cos 12cos 1tanB.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y t x 2cos 12cos 1tanC.⎩⎨⎧==2||t y t xD.⎩⎨⎧==t y tx 2cos cos 答案：B6.方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=2,1y t t x （t 为参数）所表示的曲线是（ ）A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线 7.已知圆的渐开线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin ),sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x ,(φ为参数)上有一个点的坐标为（3，0），则渐开线对应的基圆的面积为（ ）A.πB.3πC.4πD.9π 8.设r ＞0,那么直线xcos θ＋ysin θ＝r 与圆⎩⎨⎧==ϕϕsin ,cos r y r x (φ是参数)的位置关系是（ ）A.相交B.相切C.相离D.视r 的大小而定9.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==11,12t t y tx （t 为参数）所表示的曲线是 （ ）10.直线⎩⎨⎧-=+=ααsin 2,cos 1:1t y t x l （t 为参数），如果α为锐角，那么直线l 1与直线l 2:x ＋1＝0的夹角是（ ） A.απ-2B.απ+2C.αD.π－α 二、填空题（每小题4分，共16分） 11.直线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=ty t x 23,22(t 为参数)上与点P(－2,3)的距离等于2的点的坐标是________. 12.椭圆⎩⎨⎧==θθαsin ,cos b y x (θ为参数),若θ∈［0,2π］,则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝________.13.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=ty t x 3,3(参数t ∈R ),圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin 2,cos 2θθy x (参数θ∈［0,2π)),则圆C 的圆心坐标为________,圆心到直线l的距离为________.14.在圆的摆线上有点(π,0)，那么在满足条件的摆线的参数方程中，使圆的半径最大的摆线上,参数4πϕ=对应的点的坐标为_____________.三、解答题(共44分) 15.(10分)求θθcos 1sin 2--=m 最小值.16.(10分)如图,已知椭圆1422=+y x 上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点,求证|OP|·|OQ|为定值.17.(12分)已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)上存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称,求p 的取值范围.18.(12分)如图,已知圆的方程为2122=+y x ,椭圆的方程为1162522=+y x ,过原点的射线交圆于A 点,交椭圆于B 点,过A 、B 分别作x 轴和y 轴的平行线,求所作两直线交点P 的轨迹方程.参考答案1解析：将圆、直线的参数方程化成普通方程，利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，可知圆心到直线的距离小于半径，并且圆心不在直线上. 答案：B2 解析：①②③的普通方程都是y ＝x 2,但①②中x 的取值范围相同，都是x ∈R ，而③中x 的取值范围是－1≤x ≤1.3 解析：将椭圆的参数方程化为普通方程，即116)2(9)5(22=++-y x ，∴a ＝4，b ＝3.由c 2＝a 2－b 2得7=c ，∴47==a c e . 答案：A4 解析：根据条件和三角函数的性质可知,对应的普通方程为14922=-x y ,表示的曲线是焦点在y 轴的双曲线.且对应的a ＝3,b ＝2,13=c ,所以,准线方程是13139±=y . 答案：A5 解析：注意参数的取值范围，可利用排除法，普通方程中的x ∈R ，y ≥0，A 中222221tan 1cot sin 2cos 2xt t t y ====，即x 2y ＝1，故排除A ；C 中x ＝|t|≥0，D 中x ＝cost ∈［－1,1］，故排除C 和D.6 解析：根据参数方程中y 为常数可知，方程表示的是平行于x 轴的直线，再利用不等式知识可以求出x 的取值范围是x ≤－2或x ≥2，可知方程表示的图形是两条射线. 答案：B7 解析：把已知点(3,0)代入参数方程得⎩⎨⎧-=+=②r ①r ),cos (sin 0),sin (cos 3ϕϕϕϕϕϕ由②得φ＝tan φ,所以，φ＝0,代入①得3＝r ·(cos0＋0)，所以,r ＝3，所以,基圆的面积为9π. 答案：D8 解析：根据已知圆的圆心在原点,半径是r,则圆心(0,0)到直线的距离为r r d =+-+=θθ22sin cos |00|,恰好等于圆的半径,所以,直线和圆相切.答案：B9 解析：将参数方程进行消参，则有x t 1=，把x t 1=，代入112-=t ty 中，得当x ＞0时，x 2＋y 2＝1，此时y ≥0；当x ＜0时，x 2＋y 2＝1，此时y ≤0.对照选项，可知D 正确.10 解析：l 1的直线可化为y －2＝－tan α(x －1),l 2的倾斜角为2π,l 1的倾斜角为π－α,∴l 1与l 2的夹角为απ-2.答案：A11 解析:可以把直线的参数方程转化为标准式,或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得222||)2()2(22±=⇒=+-t t ,将t 代入原方程,得⎩⎨⎧=-=4,3y x 或⎩⎨⎧=-=.2,1y x .∴所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2). 答案：(－3,4)或(－1,2) 12 答案：π13 解析：消参后得圆的方程为x 2＋(y －2)2＝4,所以圆心坐标为(0,2),消参数后得直线方程为x ＋y ＝6,那么圆心到直线的距离为2211|620|22=+-+.答案：(0,2) 2214 解析：首先根据摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数),把点(π,0)代入可得1cos )cos 1(0)sin (=⇒⎩⎨⎧-=-=ϕϕϕϕπr r ,则sin φ＝0,φ＝2k π(k ∈Z ),所以,k k r 212==ππ(k ∈Z ),又r ＞0,所以k ∈N ＋,当k ＝1时r 最大为21,再把4πϕ=代入即可. 答案：)422,822(--π15 解:设Q(1,2),P(cos θ,sin θ)为圆x 2＋y 2＝1上任意一点,如图,可知,θθcos 1sin 2--=m 就是直线PQ 的斜率,当过Q 的直线与圆x 2＋y 2＝1相切时,切线的斜率就是所求的最小值.设过Q 与圆x 2＋y 2＝1相切的直线方程为y －2＝k(x －1),即kx －y ＋2－k ＝0, ∵圆心O 到切线PQ 的距离等于半径1, ∴11|2|2=+-k k ,∴43=k ,∴43min =m . 16 证明:设M(2cos φ,sin φ),φ为参数, B 1(0,－1),B 2(0,1). 则MB 1的方程为x y ϕϕcos 21sin 1+=+,令y ＝0,则1sin cos 2+=ϕϕx ,即.sin 1|cos 2|||ϕϕ+=OP MB 2的方程为x y ϕϕcos 21sin 1-=-,∴|sin 1cos 2|||ϕϕ-=OQ ,∴4|sin 1cos 2||sin 1cos 2|||||=-⨯+=•ϕϕϕϕOQ OP .∴|OP|·|OQ|为定值4.17 解:设抛物线上两点A(2px 12,2px 1)、B(2px 22,2px 2). 又A 、B 两点关于直线x ＋y －1＝0对称,则有⎪⎩⎪⎨⎧=--=+++②x x p x x p ①x x p x x p .1)(2)(2,1)()(212212212221由②得x 1＋x 2＝1代入①得012221>-=+ppx x , ∴0＜p ＜1.又由2212221)2(2x x x x +>+,得211>-p p , ∴320<<p 为所求. 18 解:设)sin 22,cos 22(ααA ,B(5cos θ,4sin θ),θ为离心角,则所求轨迹的参数方程为:⎪⎩⎪⎨⎧==②y ①x ,sin 22,cos 5αθ由O 、A 、B 三点共线,知k OA ＝k OB ,从而得θαtan 54tan =③,由①得22225tan x x -=θ④,由②得222212tan y y -=α⑤,将③两边平方得θα22tan 2516tan =⑥,把④⑤代入⑥化简整理得所求轨迹方程为:8x 2＋9x 2y 2＋400y 2＝200.。

数学人教A 选修2-1第三章 空间向量与立体几何单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．已知点A (－4,8,6)，则点A 关于y 轴对称的点的坐标为( )． A ．(－4，－8,6) B ．(－4，－8，－6) C ．(－6，－8,4) D ．(4,8，－6)2．若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－23．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，a ，b 夹角的余弦值为89，则λ等于( )， A ．2 B ．－2 C ．－2或255 D ．2或255- 4．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为( )．A B C ．4 D ．8 5．如图，在四面体ABCD 中，已知AB ＝b ，AD ＝a ，AC ＝c ，12BE EC =，则DE 等于( )．A ．2133-++a b c B ．2133++a b c C ．2133-+a b c D ．2133-+a b c 6．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则二面角A －PB －C 的平面角的正切值为( )．A B C D 7．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动(O 为原点)，则当QA QB ⋅取最小值时，点Q 的坐标为( )．A ．444,,333⎛⎫⎪⎝⎭ B ．848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为( )．A ．310a B ．10a C ．10a D ．710a 二、填空题(每小题6分，共18分)9．若向量a ＝(4,2，－4)，b ＝(1，－3,2)，则2a ·(a ＋2b )＝________．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，EF ∥BC 且AE ＝2EB ，G 为BC 的中点，K 为△AFD 的外心，沿EF 将矩形折成120°的二面角A －EF －B ，此时KG 的长为__________．11．已知直线AB ，CD 是异面直线，AC ⊥AB ，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为________．三、解答题(共3小题，共34分)12．(10分)已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE ⊥b ？(O 为原点)13．(10分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．14．(14分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1．D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1．(1)求证：CD＝C1D；(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；参考答案1答案：D2答案：D 解析：a ＋λb ＝(λ，1＋λ，－1)． 由(a ＋λb )⊥a ，知(a ＋λb )·a ＝0， 所以1＋λ＋1＝0，解得λ＝－2． 3答案：C解析：由公式cos 〈a ，b 〉＝||||⋅a ba b ，知89==λ＝－2或255．4答案：A 解析：|a |＝3，|b |＝3，而a·b ＝4＝|a||b|cos ,a b ，∴cos ,a b ＝49，故sin ,a b=于是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为 S ＝|a||b|sin ,a b＝33⨯= 5答案：A 解析：DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝DA ＋AB ＋13(AC －AB )＝2133-++a b c ．6答案：A 解析：设PA ＝AB ＝2，建立空间直角坐标系，平面PAB 的一个法向量是m ＝(1,0, 0)，平面PBC 的一个法向量是n＝⎫⎪⎪⎝⎭． 则cos 〈m ，n〉＝·3||||||||3===m nm n m n ． ∴正切值tan 〈m ，n．7答案：D 解析：由题意可知OQ ＝λOP ，故可设Q (λ，λ，2λ)，∴QA ·QB ＝6λ2－16λ＋10＝242633λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴43λ=时，QA ·QB 取最小值，此时Q 的坐标为448,,333⎛⎫⎪⎝⎭． 8答案：C 解析：建立如图所示的坐标系，则A 1(a,0，a )，D 1(0,0，a )，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，B 1(a ，a ，a )，E ,,2a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 0,,02a ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面A 1D 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则11·0A D =n ，11·0A E =n ，即(x ，y ，z )·(－a,0,0)＝0，(x ，y ，z )·0,,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0， ∴－ax ＝0，02aay z -=． ∴x ＝0，2z y =． ∴n ＝0,,2z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∴10,||||2FD d ⎛ ⋅⎝==n n ． 9答案：32解析：2a·(a ＋2b )＝2|a|2＋4a·b ＝2×36＋4×(－10)＝32． 10解析：如图，过K 作KM ⊥EF ，M 为垂足，则向量MK 与FC 的夹角为120°.KG ＝KM ＋MF ＋FC ＋CG ，2KG ＝2KM ＋2MF ＋2FC ＋2CG ＋2KM ·MF ＋2FC ·CG ＋2KM ·FC ＋2KM ·CG . ∴2KG ＝1＋14＋1＋14＋0＋0＋2×1×1×cos 60°＋0＋0＋2×12×12×cos 180°＝2＋12＋1－12＝3． ∴3KG =．答案：60° 解析：设AB 与CD 所成的角为θ， 则cos θ＝cos ,AB CD ＝AB CD AB CD⋅．由于AB ·CD ＝(AC ＋CD ＋DB )·CD ＝AC ·CD ＋2CD ＋DB ·CD ＝0＋12＋0＝1，∴cos θ＝11212AB CD AB CD⋅==⨯． 由于0°＜θ≤90°，∴θ＝60°，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为60°．12答案：解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b|＝答案：解：OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋t AB ＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )．若OE ⊥b ，则OE ·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得95t =，因此存在点E ，使得OE ⊥b ，此时E 点坐标为6142,,555⎛⎫--⎪⎝⎭． 13答案：证明：连结BD ，因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点， 所以MN 是△PBD 的中位线．所以MN ∥BD ． 又因为MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以MN ∥平面ABCD ．答案：解法一：连结AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图所示．在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB＝BD＝6． 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AC ．在直角△PAC中，AC =PA =AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4，由此知各点坐标如下：A(，0,0)，B (0，－3,0)，C，0,0)，D (0,3,0)，P(0,，M 3,22⎛-- ⎝，N 3,22⎛- ⎝，Q 33⎛ ⎝⎭． 设m ＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量． 由AM＝32-⎝，AN＝32-⎝，知30,230.2x y x y -+=+=取z ＝－1，得m ＝(0，－1)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量．由QM＝32⎛- ⎝⎭，QN＝32⎛- ⎝⎭知30,62330.2x y z x y ⎧--+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 取z ＝5，得n ＝(0,5)． 于是cos 〈m ，n〉＝·||||33=m n m n ． 所以二面角A －MN －Q的平面角的余弦值为33．解法二：在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝BC ＝CD ＝DA ，BDAB ． 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥AD ． 所以PB ＝PC ＝PD ． 所以△PBC ≌△PDC ．而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MQ ＝NQ ，且AM ＝12PB ＝12PD ＝AN ． 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ， 则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角．由AB ＝PA ＝，故在△AMN 中，AM ＝AN ＝3，MN ＝12BD ＝3，得AE ＝2.在直角△PAC 中，AQ ⊥PC ，得AQ ＝QC ＝2，PQ ＝4，在△PBC 中，cos ∠BPC ＝222526PB PC BC PB PC +-=⋅，得MQ =在等腰△MQN 中，MQ ＝NQ MN ＝3，得QE ==.在△AEQ 中，2AE =，2QE =，AQ =cos ∠AEQ ＝222233AE QE AQ AE QE +-=⋅.所以二面角A －MN －Q ． 14答案：解：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．答案：解：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．设C 1D ＝x ，∵AC ∥PC 1， ∴111C P C D xAC CD x==-． 由此可得D (0,1，x )，P 0,1,01x x ⎛⎫+⎪-⎝⎭， ∴1A B ＝(1,0,1)，1A D ＝(0,1，x )，1B P ＝1,1,01x x ⎛⎫-+⎪-⎝⎭． 设平面BA 1D 的一个法向量为n 1＝(a ，b ， c )，则11110,0.A B a c A D b cx ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令c ＝－1，则n 1＝(1，x ，－1)． ∵PB 1∥平面BA 1D ，高中数学-打印版精心校对 ∴n 1·1B P ＝1×(－1)＋x ·11x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭＋(－1)×0＝0． 由此可得12x =，故CD ＝C 1D ． 答案：解：由(1)知，平面BA 1D 的一个法向量n 1＝11,,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．又n 2＝(1,0,0)为平面AA 1D 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝1212123||||312⋅==⨯n n n n ． 故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23． (3)求点C 到平面B 1DP 的距离． 答案：解：∵1PB ＝(1，－2,0)，PD ＝10,1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设平面B 1DP 的一个法向量n 3＝(a 1，b 1，c 1)， 则311113120,0.2PB a b c PD b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n 令c 1＝1，可得n 3＝11,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又10,0,2DC ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴点C 到平面B 1DP 的距离33||1||3DC d ⋅==n n ．。

参数方程填空题11、把参数方程（t为参数）化为普通方程是＿＿＿＿＿。

2、抛物线y=x2-的顶点轨迹的普通方程为＿＿＿＿＿＿。

3、直线(t为参数)被曲线y2－3x2=0截得的线段长为____________4、抛物线y2=3x截直线所得的弦长是__________。

5、双曲线的中心坐标为____________。

6、直线y=-x＋1与圆(θ为参数)的交点坐标是____________。

7、直线(t为参数)的倾斜角为____________8、(t为参数)化成普通方程是________。

9、已知曲线的参数方程是（）（1）若为参数，则方程表示的曲线是_______，它的普通方程是________。

（2）若t为参数，则方程表示的曲线是________，它的普通方程是_______。

10、O是原点，P是椭圆上相当于的一点，则OP的倾斜角为________。

11、直线(t为参数)上与点（－2，3）的距离等于的点的坐标是________。

12、方程为参数）表示曲线的准线方程是____________。

13、双曲线的中心坐标是________。

14、已知双曲线的两个顶点为(1，-1)，(1，5)它的一条渐近线与直线(t为参数)垂直，那么双曲线的普通方程为____________________。

15、已知直线的参数方程是(t为参数)，另一条直线的方程是x－y＋3=0，则两条直线的交点与定点P(1，－2)间的距离是__________。

16、直线(t为参数)上不同的点A、B所对应的参数是t，t2，则|AB|等于____。

117、两动直线3x＋2y=6t与3tx-2ty=6相交于P，若取t为参数，则P点轨迹方程为______。

18、将下列参数方程化为普通方程(t为参数).(1)：____________;(2) ：____________.19、椭圆为参数)的焦距等于________.20、已知直线(t为参数)上点P到点(1,2)的距离为2, 则P点的坐标为____________.21、过点P(4,－1)且与直线l：(t为参数)平行的直线在y轴上的截距是____________.22、双曲线(θ为参数)的两条渐近线的夹角为________________.23、方程(t为参数)表示一条直线，它的倾斜角是____度。

三、直线的参数方程A 级 基础巩固一、选择题 1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤α<π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1，2)C ．(－2，1)D ．(2，－1)解析：由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的直线． 答案：A 2．对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°，y ＝2－t sin 30°，下列结论正确的是( )A ．是倾斜角为30°的两平行直线B ．是倾斜角为150°的两重合直线C ．是两条垂直相交于点(1，2)的直线D ．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线解析：因为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°，可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 150°，y ＝2＋t sin 150°，所以其倾斜角为150°.同理，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°，y ＝2－t sin 30°，可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋（－t ）cos 150°，y ＝2＋（－t ）sin 150°，所以其倾斜角也为150°.又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合． 答案：B3．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝( )A.83 B ．－6 C ．6D ．－83解析：由直线的参数方程可得直线的斜率为－32，由题意得直线4x ＋ky ＝1的斜率为－4k，故－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案：B4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 是参数，0≤θ<π)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α是参数)相切，则θ＝ ( )A.π3B.2π3 C.π6或5π6D.π3或2π3解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，因为直线与圆相切，所以圆心(4，0)到直线x tan θ－y ＝0的距离等于半径2，即|4tan θ|tan 2θ＋1＝2，解得tan θ＝±32，易知θ＝π6或5π6. 答案：C5．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( )A ．相交过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离解析：圆的圆心坐标是(－1，3)，半径是2，直线的普通方程是3x －y ＋2＝0，圆心到直线的距离是|－3－3＋2|10＝2105＝85<2，故直线与圆相交而不过圆心． 答案：B 二、填空题6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t (t 为参数)，则直线l 的斜率为________．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45(θ为倾斜角)，所以tan θ＝－43，即为直线斜率．答案：－437．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆心C到直线l 的距离为________．解析：直线l 的普通方程为2x －y ＋1＝0，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心为(1，0)．故圆心C 到直线l 的距离为|2－0＋1|22＋12＝355. 答案：3558．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．解析：直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ，消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3，0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 答案：3 三、解答题9．在直线坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|PA ||PB |的值． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0， 因为ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)代入曲线C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，得到t 2＋22t －3＝0，所以t 1t 3＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1t 2|＝3.10．极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的直线与x 轴的交点为P ，与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |. 解：直线ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的斜率为－1，令θ＝0，得ρ＝1，所以直线与x 轴交于点(1，0)[如令θ＝π，得ρ＝－1，将点的极坐标化为直角坐标还是(1，0)]，所以直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数)．①椭圆的普通方程为x 2＋4y 2＝4，② 将①代入②中，得5t 2－22t －6＝0，③ 因为Δ＝128>0，根据参数t 的几何意义知 |PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝65.B 级 能力提升1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：曲线C 1和C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝5，① x －y ＝1，②其中0≤x ≤5，0≤y ≤5，联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以C 1与C 2的交点坐标为(2，1)．答案：(2，1)2．已知直线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ，设曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：曲线C 2的极坐标方程可变为ρ2＝4ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，将C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1，代入，得5t 2－6t －2＝0，则t 1＋t 2＝65，t 1t 2＝－25，则|AB |＝1＋22|t 1－t 2|＝5·（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋4×25＝2955. 答案：29553．(2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6，0)，半径为5. 又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得 |－6k |1＋k2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即36k 21＋k 2＝904，整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即l 的斜率为±153.。

三、直线的参数方程A 级 基础巩固一、选择题1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤α<π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1，2)C ．(－2，1)D ．(2，－1)解析：由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的直线． 答案：A2．对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°，y ＝2－t sin 30°，下列结论正确的是( )A ．是倾斜角为30°的两平行直线B ．是倾斜角为150°的两重合直线C ．是两条垂直相交于点(1，2)的直线D ．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线解析：因为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°，可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 150°，y ＝2＋t sin 150°，所以其倾斜角为150°. 同理，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°，y ＝2－t sin 30°，可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋（－t ）cos 150°，y ＝2＋（－t ）sin 150°，所以其倾斜角也为150°.又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合． 答案：B3．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝( )A.83 B ．－6 C ．6D ．－83解析：由直线的参数方程可得直线的斜率为－32，由题意得直线4x ＋ky ＝1的斜率为－4k，故－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案：B4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 是参数，0≤θ<π)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α是参数)相切，则θ＝ ( ) A.π3B.2π3 C.π6或5π6D.π3或2π3解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，因为直线与圆相切，所以圆心(4，0)到直线x tan θ－y ＝0的距离等于半径2，即|4tan θ|tan 2θ＋1＝2，解得tan θ＝±32，易知θ＝π6或5π6. 答案：C5．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( )A ．相交过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离解析：圆的圆心坐标是(－1，3)，半径是2，直线的普通方程是3x －y ＋2＝0，圆心到直线的距离是|－3－3＋2|10＝2105＝ 85<2，故直线与圆相交而不过圆心． 答案：B 二、填空题6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t (t 为参数)，则直线l 的斜率为________．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45(θ为倾斜角)，所以tan θ＝－43，即为直线斜率．答案：－437．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆心C 到直线l 的距离为________． 解析：直线l 的普通方程为2x －y ＋1＝0，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心为(1，0)．故圆心C 到直线l 的距离为|2－0＋1|22＋12＝355.8．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．解析：直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ，消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3，0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 答案：3 三、解答题9．在直线坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|PA ||PB |的值． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0， 因为ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)代入曲线C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，得到t 2＋22t －3＝0，所以t 1t 3＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1t 2|＝3.10．极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的直线与x 轴的交点为P ，与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.解：直线ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的斜率为－1，令θ＝0，得ρ＝1，所以直线与x 轴交于点(1，0)[如令θ＝π，得ρ＝－1，将点的极坐标化为直角坐标还是(1，0)]，所以直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数)．①椭圆的普通方程为x 2＋4y 2＝4，②因为Δ＝128>0，根据参数t 的几何意义知 |PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝65.B 级 能力提升1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t(t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 解析：曲线C 1和C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝5，① x －y ＝1，②其中0≤x ≤5，0≤y ≤5，联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以C 1与C 2的交点坐标为(2，1)． 答案：(2，1)2．已知直线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ，设曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：曲线C 2的极坐标方程可变为ρ2＝4ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，将C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1，代入，得5t 2－6t －2＝0，则t 1＋t 2＝65，t 1t 2＝－25，则|AB |＝1＋22|t 1－t 2|＝5·（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋4×25＝2955. 答案：29553．(2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6，0)，半径为5. 又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得 |－6k |1＋k2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即36k 21＋k 2＝904，整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即l 的斜率为±153.。

第二讲 参数方程 三 直线的参数方程 四 渐开线与摆线课时跟踪检测一、选择题1．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，则其普通方程为( )A ．3x ＋y ＋2－3＝0B ．3x －y ＋2－3＝0C ．x －3y ＋2－3＝0D ．x ＋3y ＋2－3＝0解析：由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)，得3x －y ＝3＋32t －⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32t ＝3－2，即3x －y ＋2－3＝0. 答案：B2．如果直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－t sin 25°，y ＝2＋t cos 25°(t 为参数)，那么直线l 的倾斜角是( )A ．65°B ．25°C ．155°D ．115°解析：将参数方程化为标准形式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t sin 25°＝1＋t cos 115°，y ＝2＋t cos 25°＝2＋t sin 115°，知倾斜角为115°. 答案：D3．(2019·衡水期中)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t (t 为参数)和抛物线C ：y 2＝2x ，l 与C 分别交于点P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( )A ．4＋ 3B ．2(2＋3)C ．4(2＋3)D ．8＋ 3解析：把直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2－t (t 为参数)，化为标准的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32m ，y ＝2＋12m(m 为参数)．代入抛物线C ：y 2＝2x ，得m 2＋4(2＋3)m ＋16＝0.令点P 1，P 2对应的参数分别为m 1，m 2，由根与系数的关系，知⎩⎪⎨⎪⎧m 1＋m 2＝－4(2＋3)＜0，m 1m 2＝16＞0，∴m 1＜0，m 2＜0，∴点A (0,2)到P 1，P 2两点的距离之和为|m 1|＋|m 2|＝－m 1－m 2＝－(m 1＋m 2)＝4(2＋3)，故选C ．答案：C4．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)上的点到点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)解析：将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)化为标准形式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－22t ′，y ＝3＋22t ′(t ′为参数，t ′＝2t )．设M (x ，y )到点P (－2,3)的距离为2，则对应的参数t ′＝2或t ′＝－ 2.代入直线的标准方程，得M 的坐标为(－3,4)或(－1,2)．答案：C5．已知圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)上有一点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )A ．πB ．3πC ．4πD ．9π解析：把(3,0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧3＝r (cos φ＋φsin φ)，①0＝r (sin φ－φcos φ)，②由②得tan φ＝φ，代入①得3＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos φ＋sin 2φcos φ，得r ＝3cos φ，已知sin φ＝0，∴r ＝3.故基圆的面积为9π.答案：D6．过点P (1,2)且倾斜角为45°的直线与抛物线y 2＝8x 相交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(3,4)D ．(4,3)解析：设AB 的直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)代入y 2＝8x 中，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22t ，得t 2－42t －8＝0.由韦达定理t 1＋t 2＝4 2.∴AB 的中点对应的参数t ＝t 1＋t 22＝22，代入直线参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22×22＝3，y ＝2＋22×22＝4，∴AB 的中点坐标为(3,4)． 答案：C 二、填空题7．(2019·天津市部分区质量调查)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t为参数)，若l 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0交于A 、B 两点，且|AB |＝3，则直线l 的斜率为________．解析：把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)代入圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0，得t 2－4t cos α＋3＝0.设点A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝4cos α，t 1t 2＝3，又|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝16cos 2α－12＝3，整理，得cos 2α＝1516，∴sin 2α＝116，∴tan 2α＝115.∴tan α＝±1515，即直线l 的斜率为±1515.答案：±15158．直线l 过点A (3,1)，与x 轴正向，y 轴正向分别交于M 、N 两点，则|MA |·|NA |的最小值为________．解析：设直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)．令x ＝0，得N 点对应的参数t 1＝－3cos α，令y ＝0，得M 点对应的参数t 2＝－1sin α.故|MA |·|NA |＝|t 1|·|t 2|＝|t 1t 2|＝3|sin αcos α|≥6.答案：69．(2019·天津重点中学联考)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝at ，y ＝1－2t (t 为参数)，圆C ：ρ＝－42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π4(极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同)，若圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为2，则实数a ＝________.解析：∵ρ＝－42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π4＝－42sin θcos 3π4＋cos θsin 34π＝4sin θ－4cos θ，∴ρ2＝4ρsin θ－4ρcos θ，∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y －4x ，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8，∴圆心C (－2,2)，半径r ＝2 2.将直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝1－2t (t 为参数)化为普通方程为2x ＋ay －a ＝0.∵圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为2，∴圆心C 到直线l 的距离为2，即|－4＋2a －a |4＋a2＝ 2.解得a ＝－4±2 6. 答案：－4±2 6 三、解答题10．(2019·无锡期末)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋m(t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程是ρ＝4sin θ，且直线l 与圆C 相交，求实数m 的取值范围．解：由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ. ∵ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y .化为标准方程为x 2＋(y －2)2＝4. 由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋m(t 为参数)，消去参数．得3x －y ＋m ＝0. ∵直线l 与圆C 相交，∴圆心C 到直线l 的距离d ＝|m －2|2＜2. 解得－2＜m ＜6.即实数m 的取值范围是(－2,6)．11．(2019·郑州外国语学校调研)在平面直角坐标系的xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，以射线Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－3＝0.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长． 解：(1)由x ＝2cos θ，得cos θ＝x2； 由y ＝3sin θ，得sin θ＝y 3， ∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴x 24＋y 23＝1. 即曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1. ∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴直线l 的直角坐标方程为x －y －3＝0.(2)直线l ：x －y －3＝0的斜率为1，∴其倾斜角为π4， 又∵直线l 过定点(3，0)，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos π4＝3＋22t ，y ＝t sin π4＝22t(t 为参数)．将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程， 整理得7t 2＋66t －6＝0，∵Δ＝(66)2－4×7×(－6)＝384＞0， ∴可设A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－667，t 1t 2＝－67，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝3847＝867.12．(2019·天水市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过点M (－1,0)，且与直线l 平行的直线l 1交曲线C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积．解：(1)由题知，曲线C 化为普通方程为x 23＋y 2＝1， 由22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. (2)由题知，直线l 1的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入曲线C ：x 23＋y 2＝1中，化简得2t 2－2t －2＝0， 设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1t 2＝－1，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝1.13．(2019·天津滨海区模拟)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， 化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0. 把直线l 的参数方程代入，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22t ＝0，即t 2－2t －3＝0.设t 2－2t －3＝0的两个根为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝－3. ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2－4×(－3)＝14.答案：14。