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奇函数的图形关于原点对称, 偶函数的图形关于y轴对称,如图. 1-2所示.
y
y f ( x)
( x, f ( x ))
A'
y
y f ( x)
f ( x)
x
A
( x. f ( x))
x
f ( x)
A ( x. f ( x ))
O
x
A'
y f ( x)
x
O
(b)偶函数
x
x
( x, f ( x))
如果对每一个x D, 都有惟一的y M 与之对应, 那么称 这种函数为单值函数. 否则为多值函数.
通过函数定义,可以发现,构成函数的两个重要因素为对应 关系与定义域. 显然,两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同 时,这两个函数才认为是相同的.
2.函数的定义域
定义域是构成函数的重要因素之一,因此研究函数,就必须 注意函数的定义域.在考虑实际问题时,应根据问题的实际意义 确定定义域.例如,匀速直线运动的位移s = vt ,t是时间,故只能 取非负数.对于用数学表示的函数,其定义域由函数表达式本身 来确定, 即使运算有意义.如:
例如, 上述分段函数中f (4) 4 2; f (3) -(-3)=3.
3
O
4
图1-1 分段函数f(x) 图形
二、函数的几种特性
1.函数的奇偶性
如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且对任意x都有f(-x)= -f(x) 则称f(x)为奇函数;如果f(x)的定义域关原点对称,且对任意x,都有f (-x)= f(x),则称f(x)为偶函数.如果函数既非奇函数,也非偶函数,则 称f(x)为非奇非偶函数.
1. 2. 3. 4. 5.
函数中有分式,要求分母不能为零 函数中根式,要求负数不能开偶次方 函数中有对数式,要求真数必须大于零 函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域 若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域的交集
例1 求下列函数的定义域
1 (1) y x 2; 2 4 x
是定义在区间(-,+)内的一个函数.当
x 0时f ( x) x ;当x<0时,f(x)= -x.它的图形如图 1-1 所示.
在不同的区间内用不同的式子 来表示的函数称为分段函数，即 用几个式子合在一起表示一个函 数.
y x ( 3, 3)
2
y
x
(4, 2)
求分段函数的函数值时，应将 自变量的值代入相应取值范围的 表示进行计算.
(3) 因为-1 x+1 1,所以-3 x+1 3,即-4 x 2. 3 又因为x+1 0, 所以x 1,因此函数的定义域为 1, 2 .
3.函数与函数值的记号
通常,y是x的函数,记为y = f(x),但若同一问题中,需要讨论几个 不同的函数,就要使用不同的函数记号,例如,F(x),(x),y(x), ......
(a)奇函数
图 1-2 奇函数与偶函数的图形
例3 判断函数f(x)=ln(x+ x2 +1 )的奇偶性.
解 因为f(-x)=ln (-x)+ (-x)2 1 ln( x 2 1 x)
=ln
( x 2 1 x)( x 2 1 x) x 1 x
2
ln
1 x2 1 x
=ln( x2 1 x)1 ln( x 2 1 x) f ( x) 所以f(x)=ln( x 2 1 x)为奇函数.
2.函数的单调性
如果函数y f ( x)在区间(a,b)内随着x的增大而增大(或减少), 即对于(a,b)内任意两x1及x2 ,当x1 x2时, 有f ( x1 ) f ( x2 )(或f ( x1 ) f ( x2 )), 则称函数f ( x)在区间(a,b)内单调增加(或单调减少).在定义 域内单调增加或单调减少的函数,统称单调函数,其中(a,b)叫作函 数f(x)的单调增加(或单调减少)区间,也称单调区间.
4. 函数的表示方法
表示函数的方法,最常用的有以下三种:
(1) 公式法 如y = x a ,y =sinx等;
(2) 表格法 如对数表,三角函数等; (3) 图像法 用图像表示函数;
有时会遇到一个函数在自变量不同的取值范围内用不同的式子 来表示.
例如,函数f(x)=
x , x0 x , x0
x 1 (2) y lg ; x2
x 1 (3) y arcsin x 1. 3
解(1) 因为4-x2 0, 所以x 2.又因为x 2 0, 所以x 2, 因此函数定义域为(-2,2) (2,+). x -1 (2) 因为 > 0,所以x > 2或x < 1,所以函数定义域为(-,1) x-2 (2,+)
函数y = f(x),当x = x0 D时,对应的函数值可以记为y0 = f(x0 ) . | x - 2| 例2 若f(x)= , 求f(2), f(-2), f(0), f(a), f(a +b). x=1 |-4| |-2| |a-2| 解 f (2)=0,f (-2)= 4, f (0)= 2, f(a)= , -1 1 a+1 |a +b-2| f(a +b)= . a +b+1
第一章 函数、极限与连续第一节 函数 第二节 数列极其极限 第三节 函数的极限 第四节 无穷小与无穷大 第五节 极限的运算法则 第六节 两个重要的极限 第七节 无穷小的比较 第八节 初等函数的连续性与间断性 第九节 初等函数的连续性 第十节 数学实验一 Mathmatica入门和求一元 函数的极限
第一节 函数
一、函数的概念
１.函数的定义
定义 1 设D是一个数集,如果对属于D的每一个数x,按照某个对应关 系f ,都有确定的数值y与之对应,则称y是定义在数集D上的x的函数,记作 y = f(x),x叫作自变量,数集D叫作函数的定义域,当x取遍D中的一切数时, 与它对应的函数值的集合M 叫作函数的值域. 当自变量取某一数值x0时, 函数y具有确定的对应值,则称函数在x0 有定义.
