与圆有关的比例线段

初三数学同步辅导教材（第16讲）一、教学内容本周主要学习7.12 解决和圆有关的比例线段．二、重点、难点剖析1.和圆有关的比例线段是学习的重要内容．理解、掌握好相交弦定理、切割线定理是基本要求．运用定理解决一些有关的计算、证明问题又是考查的主要目标．和圆有关的比例线段的几个定理及推论，都是通过相似三角形的判定而获得的，如切割线定理，如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于B、C．P弄清定理间的相互关系，对于理解、掌握并应用它们解决问题是十分有益，在学习和研究中一定要注意：(1)两条弦（或延长线）及交点首先要确定；(2)由这个交点引出的四条线段要确定，因为所有定理或推论都是这四条线段间的关系．13.我们知道，直径也是弦，而且它具备特殊性；在从圆外一点引圆的无数条割线中，过圆心的一条割线是唯一的，也是特殊的，解题时对此要引起重视．Ｃ，⊙O于点的半径的一条割线，PO交⊙O已知：P是⊙O外的一点，PAB是不经过圆心O例为r，OP＝d，则PA?PB等于（）.d?(d－r) Ｂ. d?(d＋r) Ｃ.d －r Ｄ.d ＋r2222Ａ解延长PC交⊙O于点D,B则PA?PB＝PC?PD. A∵OC＝OD＝r,OP＝d，PDC o∴PC ＝d－r，PD＝d＋rPA?PD＝(d－r) ? (d＋r)＝d －r .选Ｃ．22则三、典型题例AC两弦相交于.(1)PP，C(2)AC，P(3)A1PP，PP，CPP(4)PPP (1)PP8.4 P P CPP13.4(2) AP1. CPP.P (PP4.(3)A1P8.P1P（舍去负值(4)P，P.4CPP10.说(1为了解题时避免失误，应画个草图，对照条件中的线段，正确使用定理(2由于相交弦定理的表达形式是等式，因此解这类题时常设未知数，以建立方程行求解(3注意区分所求的结论是弦长还是弦的一部分的长例如图，已知P是的切线为切点，割PD交于求证ACAB.分从条件知P，A∽PBPC∽PB由结论知，欲ACAB，即BA.CA因此，可以用“做做比比”的方法证得结论证明∵△PAB∽△PDA（想一想，为什么？）ABPA＝ . ∴ADPD又∵△PBC∽△PCD2点的切线于P的DA＝OA T3216BC2＝AC AC，则). 8(cmBC＝CD?＝＝2CD ABC中，由勾股定理得在Rt cA).AB16证法延A交于，连B A为直径AB9.BA＝BAAB＝＝AB9.E（以下证法同证法１说解题时善于从不同角度获取信息，既有助于巩固基础知识的学习，又可以活跃思维，提高.C A例如图D切于，割DC交于．求证.B A A分从结论考虑是AC与BA AC相似比的平方；又是这两个同高的三角形的B的比，因此容易想到选择通过面积的方法去解决，AB的面积设证AC的面积A.BA AC∽A（相似三角形面积的比等于相似比的平方C（同高的两三角形面积的比等于底的比BD S22CD AC＝．则2BD AB4。

第32课与圆有关的比例线段〖知识点〗相交弦定理、切割线定理及其推论〖大纲要求〗1．正误相交弦定理、切割线定理及其推论；2．了解圆幂定理的内在联系；3．熟练地应用定理解决有关问题；4．注意（1）相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似三角形结合的产物。

这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）。

使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点；（2）见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形。

〖考查重点与常见题型〗证明等积式、等比式及混合等式等。

此种结论的证明重点考查了相似三角形，切割线定理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识。

常见题型以中档解答题为主，也有一些出现在选择题或填空题中。

〖预习练习〗1.圆内两弦相交，其中一条弦长为8cm，且被交点平分，另一条被交点分为1:4两部分，则这条弦长为（）（A）2cm （B）8cm （C）10cm （D）16cm2.自圆外一点所作过圆心的割线长是12cm，圆的半径为4cm，则过此点所引的切线长为（）（A）16cm （B）4 3 cm （C）4 2 cm （D）以上答案都不对3.如图，圆内接四边形ABCD的BA、CD的延长线交于P，AC、BD交于E，则图中相似三角形有（）（A）2对（B）3对（C）4对（D）5对4.圆内两条弦AB与CD相交于E，如果AE＝BE，CE＝9，DE＝4，那么AB＝5.从圆外一点P向圆引两条割线PAB、PCD，分别与圆相交于A、B、C、D，如果PA＝4，PC ＝3，CD＝5，那么AB＝6.Rt△ABC中两条直角边分别为6cm，8cm，则外接圆半径为,内切圆半径为7.PA、PB分别是⊙O的切线，切点分别为A、B，∠AOB＝144°，则∠P＝考点训练：1.⊙O中直径CD⊥弦AB于E，AB＝6，DE∶CE＝1∶3，则DE的长为（）(A) 3 (B) 3 (C) 2 3 (D) 62.由圆外一点作圆的切线长为6，过这点作过圆心的割线长为12，则此圆半径长为（）(A) 19cm (B) 6cm (C) 4.5cm (D)以上答案都不对3.如图1，⊙O的半径为6，PQ＝6，AR＝8则QR的长为（）(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 124. 如图2，CD 为⊙O 直径，弦AB 垂直CD 于P,AP ＝4，PD ＝2，则PO ＝___.5. 如图3，PAB 为⊙O 的割线，PC 切⊙O于C ，PC ＝10，AB ＝15，则PA长为___________.6．如图4，弦AB ⊥弦CD 于E ，若AE ＝2，BE ＝6，DE ＝3，则⊙O 的直径长＝________. 7．如图，PAB 为⊙O 的割线，PO 交⊙O 于C ，OP ＝13，PA ＝9，AB ＝7，求⊙O 直径的长.8.如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，PBC 为⊙O 的割线，求证：AB 2AC 2 ＝PBPC9.如图，在两圆公共弦AB 上，任取一点G ，过G 作直线交一圆于C,D ，交另一圆于E,F. 求证：CG ·ED ＝EG ·CF.解题指导1． 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP ∥AC ，交BA 的延长线于P ，求证：AD ·DC ＝PA ·BC.R Q A O P 1A B O C D P24r A B CO P PC2．如图，锐角△ABC ，以BC 为直径作圆，在AB 上截取AE ＝切线长AD ，过E 作AB 的垂线交AC 延长线于F ，求证：AE AB = ACAF .3. 如图，若△ABC 的∠A 平分线交BC 于D ，交其外接圆于E ，求证：AD 2＝AB ·AC －BD ·CD.4．如图，△ABC 内接于⊙O ，CP 切⊙O 于C ，交AB 延长线于P ，割线PD 交AC 于F ，CB 于E ，且CE ＝CF ， 求证：（1）PD 是∠APC 的平分线，（2）CF 2＝AF ·BE.独立训练：1．AB 是⊙O 直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切⊙O 于D ，AB ＝6，CD ＝4，则CB 的长为（ ）(A) 2 (B) 83 (C) 23(D) 32．如图1，P 在半圆O 的直径AB 延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切⊙O 于C ，CD ⊥AB 于D ，则CD 的长为（ ）(A) 2 3 (B) 3 (C) 32(D) 4 33．如图2，△ABC 中∠A ＝90°，AC ＝3，AB ＝4，半圆圆心在BC 上，与AB,AC 切于D,E，EPB D O ͼ1则⊙O 半径为（ ）(A)127 (B) 712 (C) 72(D) 2 3 4．⊙O 中直径CD 垂直弦AB 于E ，AB ＝8，DE ∶CE ＝3∶1，则DE 的长为（ ）(A)2 (B)4 (C)2 3 (D)4 3 5．如图3，AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于P ，若CD ＝a ，AP ＝b ， 则半径R ＝____. 6．如图4，AB 为⊙O 直径，CD 切⊙O 于B ，且BC ＝BD交⊙O 于E ，AB ＝8，CD ＝12，则S △CDE ＝___________.7．如图5，BE 为半圆O 直径，AD 切⊙O 于B，BC 切⊙O 于B ，BE ＝BC ＝6，则AD 长为___________. 8．如图6，以直角坐标系的原点O 为圆心作圆，A 是x 轴上一点，AB 切⊙O 于B ，若AB ＝12，AD ＝8，则点B 坐标为____________. 9．如图，AB 是⊙O 直径，BC 是弦，CD 切⊙O 于C ，AD ⊥CD 交BC 延长线于E ，AE ＝8cm ，求AB 的长。

27.7与圆有关的比例线段前面，我们已经学习了和圆有关的角，现在我们通过圆内一点引圆的两条弦，他们之间又有什么关系呢？实际上，它们之间存在着数量关系．如图27.7.1，从⊙O 内一点P 引圆的两条弦AB ,CD ，我们称它们为相交弦，这时，各弦分别被P 点分成两条线段，只要联结AD ,BC ，我们马上发现这四条线段在两个△P AD 和△PBC 中，容易证得，△P AD ∽△PBC ，于是得到了PB PD PC PA =，转化成乘积式后为PD CP PB AP ⋅=⋅，便得到相交两条弦的重要性质．相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等．当圆的两条相交的弦在特殊位置时，如图27.7.2，AB 是直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，则CP =PD =21CD ,这时2CP PB AP =⋅．也就是说，如果弦和直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所得两条线段的比例中项．再来讨论两条割线相交于圆外一点时的有关比例线段．如图27.7.3，⊙O 的两条割线P AB 、PCD 交于圆外一点P ，得弦AB 、CD 以及有关线段P A 、PB 、PC 、PD ．由相交弦定理，能否也有PD CP PB AP ⋅=⋅．类似于相交弦定理的推导，可得同样结论．如图27.7.4，分别联结AD 与BC ，∵∠ADC 与∠ABC 所对的弧是AC ，∴∠ADC =∠ABC ．又∵∠P =∠P ，∴△P AD ∽△PCB ．∴PBPD PC PA =．∴PD PC PB PA ⋅=⋅． 于是，得到如下定理：割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段的积相等． 如果两条割线中的一条变为切线呢？又能得到什么结论？如图27.7.5，过⊙O 外一点P 引圆的一条割线P AB 和切线PC ，得弦AB 以及有关线段P A 、PB 、PC ．它们有怎样的关系呢？如图27.7.6，分别联结AC 与BC ．∵∠ACP 与∠ABC 所对的弧是AC ，PC 切⊙O 于点C ，∴∠ACP =∠ABC ．又∵∠P =∠P ，∴△P AC ∽△PCB ∴PB PC PC PA =． ∴PB PA PC ⋅=2．于是得到以下定理：切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项． 例1 AB 为⊙0直径，点C 在⊙O 上，过点C 引直径AB 的垂线，垂足为D ，点D 分这条直径为2：3的两部分，如果⊙O 的半径等于5，求BC 的长．解 如图27.7.7，延长CD 交⊙O 于点E ，设AD =2x ，则BD =3x （或AD =3x ，BD =2x ）．∵r =5，∴AB =10．∴2x +3x =10．即x =2．∴AD =4（或AD =6）．当AD =4时，BD =6；当AD =6时，BD =4．由相交弦定理，得BD AD ED CD ⋅=⋅．∵直径AB ⊥CE ．∴CD =ED ．∴BD AD CD ⋅=2．∴6264=⨯=CD ．当BD =6时，BC =1523624=+；当BD =4时，BC =1021624=+．例 2 已知：如图27.7.8，AE ⊥BC 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，AE 、BD 相交于点F ，求证：BD BF AE AF AB ⋅+⋅=2．证明 作△BEF 的外接圆，设圆心为0，交AB 于M ．联结FM ，由切割线定理，得AB AM AE AF ⋅=⋅． ∵∠BEF =90°，∴BF 是⊙0的直径．∴∠BMF =∠BDA ．∵∠FBM =∠ABD ．∴△BMF ∽△BDA ． ∴BD BM AB BF =, 即BM AB BD BF ⋅=⋅． ∴2AB BM AB AB AM BD BF AE AF =⋅+⋅=⋅+⋅例3 已知：如图27.7.9，P 是平行四边形ABCD 的边AB 的延长线上一点，DP 与AC 、BC 分别交于点E 、F ，EG 是过B 、F 、P 三点的圆的切线，G 为切点．求证：EG =DE ．证明 ∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△CEF ．∴DE :EF =AE :EC ． ①又∵AP ∥DC ，∴△AEP ∽△CED ．∴AE :EC =EP :DE ． ②由①、②得，DE :EF =EP :DE ；即EP EF DE ⋅=2．而EG 是过B 、F 、P 三点的圆的切线，EFP 为此圆的割线∴EP EF EG ⋅=2．∴22EG DE =．∴DE =EG练习27．7（1）1．如图，⊙0的直径AB =10，P 是OA 上一点，弦MN 过点P ，且AP =2，MP =22，求弦心距OQ ．2．已知：如图，AB 是⊙0的直径，P 是⊙0外一点，PD ⊥AB 于D ，交⊙0于E ，P A 交⊙0于C ，BC 交PD 于F ．求证：DP DF DE ⋅=2．3．已知：如图，AB 是⊙0的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，弦AQ 交CD 于点P ．如果AB =10．CD =8，求：（1）DE 的长；（2）AE 的长；（3）AQ AP ⋅的值．4．如图，A 、B 、C 、D 在同一圆上，BC =CD ，AC 、BD 交于E ．若AC =8，CD =4，且线段BE 、ED 为正整数，求BD 的长．5．如图，P AB 为过圆心O 的割线，且P A =OA =4，PCD 为⊙0的另一条割线，且PC =DC ．求：（1）PC 的长；（2）S △P AC :S △PDB ．6．已知：△ABC 是⊙0的内接三角形，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙0于E ．求证：DC BD AD AC AB ⋅+=⋅2过一点P 做与圆有关的两条直线，点P 与圆的不同位置有两种：当点P 在圆内时，这两条直线分别交圆于A 、B 和C 、D ，则PD PC PB PA ⋅=⋅，这就是相交弦定理，如图27.7.10（1）．当点P 在圆外时，分两种情况：（1）这两条直线与圆都有两个交点，分别为A 、B 与C 、D ，则PD PC PB PA ⋅=⋅称作割线定理，如图27.7.10（2）（2）当这两条直线中一条与圆有两个交点，另一条只有一个交点（切点）M 时，得到割线定理：2PM PB PA =⋅相交弦定理、切割线定理及切割线定理的推论（割线定理），我们统称为圆幂定理．圆幂定理在形式上也可以进一步统一．如图27．7．10（3），点P 在圆内时，像所做的虚线那样，联结OP ，过点P 作弦EF ⊥OP ，交圆于E 、F ，由于PE =PF ，故222-OP r PF PF PE PD PC PB PA ==⋅=⋅=⋅，其中r 为⊙0的半径．如图27．7．10（4），点P 在圆外时，联结OM 、ON 、OP ，有222r OP PM PN PM PD PC PB PA -==⋅=⋅=⋅．综上所述，圆幂定理可以统一为|-|22OP r PB PA =⋅．换言之，圆幂定理可叙述为：通过不在⊙0上一定点P 向⊙0任作一直线交⊙0于A 、B 两点，则有|-|22OP r PB PA =⋅（22-OP r 叫做点P 对于⊙0的幂）．圆幂定理揭示了园中线段的比例关系，对于涉及相交弦，切割线的有关计算，常可利用圆幂定理去求．例1 如图27.7.11，AB 是⊙0的直径，AC 是⊙0的切线，A 为切点，割线CDF 交AB 于E ，并且CD :DE :EF =1:2:1，AC =4，求⊙0的直径AB ．解 设CD =k ，则DE =2k ，EF =k ，CF =4k ，由切割线定理，有CF CD AC ⋅=2． ∴k k 442⋅=，k =2．∴CE =6，DE =4，EF =2．在Rt △ACE 中，由勾股定理， 有52462222=-=-=AC CE AE ．根据相交弦定理，得EF DE EB AE ⋅=⋅．∴2452⨯=⋅EB ，554=EB ．。

第十六讲 和圆有关的比例线段【趣题引路】某建筑物上装有一块长方形广告牌,上下边相距5m,下底边距离地面5.6m.•如果人的眼部高度为 1.6m,那么从远处正对广告牌走近时,看广告牌效果最好的位置距该建筑物多远?解析 广告牌AB 在视线的水平线DF 之上.如图,因此,可过AB•两点作一个圆,使圆与DF 相切,这时可看到,当人从远处走来时,人眼在DF 的水平线上,除D 点外,•DF 上的其余各点都在圆外 ,则当人走到DE 处时∠ADB 最大,看广告效果最好. 那么如何求出CE 的距离呢?由切割线定理可知,DF 2=BF ·AF,且CE=DF,因此,很容易得到 D F 2=4×9=36,∴DF=6(m)即人距离广告牌6m 左右看广告牌的效果最好.【知识延伸】过一点P 作与圆有关的两条直线,点P 与圆的不同位置有两种:1.当点P 在圆内时,这两条直线分别交圆于A 、B 和C 、D,则PA ·PB=PC ·PD,•这就是相交弦定理,如图1.（1） (2) (3) 2.当点P 在圆外时,分两种情况:(1)这两条直线与圆都有两个交点,分别为A 、B 与C 、D,则PA ·PB=PC ·PD称作割线定理:如图2.(2)当这两条直线中一条与圆有两个交点,另一条只有一个交点(切点)M时,得切割线定理:PA·PB=PM2.相交弦定理、切割线定理及切割线定理的推论(割线定理),•我们统称为圆幂定理.圆幂定理在形式上也可以进一步统一.如图3,点P在圆内时,像所作的虚线那样,连OP,过点P作弦EF⊥OP,交圆于E、F,由于PE=PF,故PA·PB=PC·PD=PE·PF=PF2=r2-OP2,其中r为⊙O的半径.如图4,点P在圆外时,连OM、ON、OP,有PA·PB=PC·PD=•PM·PN=P M2=OP2-r2.综上所述,圆幂定理可以统一为PA·PB=│r2-OP2│.换言之,•圆幂定理可叙述为:通过不在⊙O上一定点P向⊙O任作一直线交⊙O于A、B两点,则有PA·PB=│r2-OP2│.(r2-OP2叫做点对于⊙O的幂).圆幂定理揭示了圆中线段的比例关系,对于涉及相交弦,切割线的有关计算,•常可利用圆幂定理去求.例1已知,如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,割线CDF交AB于E,并且CD:DE:EF=1:2:1,AC=4.求⊙O的直径AB.解析设CD=k,则DE=2k,EF=k,CF=4k.由切割线定理,有AC2=CD·CF.∴42=k·4k,•k=2.∴CE=6,DE=4,EF=2.在Rt△ACE中,由勾股定理,有根据相交弦定理,得AE·EB=DE·EF.∴EB=4×2，EB=5。

和圆有关的比例线段(二)引言在前一篇文档中，我们介绍了圆和比例线段的基本概念，并给出了一些例题来帮助读者更好地理解这些概念。

本文将继续探讨和圆有关的比例线段，介绍一些相关的性质和定理，并提供一些例题帮助读者加深理解。

一、增量法在前一篇文档中，我们提到了圆内的比例线段的特性，即相交于同一弦上的两个比例线段相等。

接下来，我们将介绍一个很有用的方法，即增量法，用于计算比例线段的长度。

当我们已知两个比例线段中的一个，以及一个边上的长度，如何求另一个比例线段的长度呢？这就是增量法的应用。

我们假设已知比例线段AB和AC，即AB:AC，以及边AB的长度a，边AC的长度b。

下面介绍求比例线段BC的长度的步骤：1.根据相似三角形的性质，我们可以得到a:AB = b:AC。

2.根据等式a:AB = b:AC，我们可以得到a * AC = b * AB。

3.我们将上式进行展开，得到a * (AB + BC) = b * AB。

4.将上述等式变形，得到BC = (b * AB - a * AC) / a。

通过上述步骤，我们可以通过已知的比例线段和边长来求得另一个比例线段的长度。

二、圆与切线圆与切线是圆的一个重要性质，也与比例线段有关。

在圆上任意取一点P，并且作P点的切线，切线与半径的交点分别为A和B。

则有以下性质成立：1.在圆上任取一点P，连接P与圆心O，并做切线PA、PB。

2.连接AO、OB。

3.则有AO ⊥ PA、OB ⊥ PB。

4.根据直角三角形的性质，我们可以得到AO:PA = OB:PB，即AO:AO + PA = OB:OB + PB。

由上述性质可知，AO:PA = OB:PB，即AO与PA的比例等于OB与PB的比例。

三、圆的外切线除了切线以外，圆还有另外一种线与圆相关，它被称为圆的外切线。

圆的外切线有以下几个重要性质：1.圆的外切线与切线相比，多了一个交点，即切点。

2.外切线上的两个切点分别在圆的两条半径上。