小班数学教案数学教案-和圆有关的比例线段

数学教案－和圆有关的比例线段1. 简介本教案主要围绕着和圆有关的比例线段展开，通过引入相关概念并辅以例题和练习，帮助学生掌握解决与圆相关的比例线段问题的方法和技巧。

2. 目标与要求本教案的目标是使学生能够通过本节课程掌握以下能力： * 理解比例线段的定义和性质； * 掌握解决与圆有关的比例线段问题的方法； * 能够应用所学知识解决实际问题。

3. 知识点讲解3.1 比例线段在开始讲解和圆有关的比例线段之前，我们先回顾一下比例线段的概念。

比例线段是指当两个线段之间的比例关系保持不变时，这两个线段称为比例线段。

3.2 圆的性质和相关公式在学习和圆有关的比例线段之前，我们需要了解一些和圆相关的性质和公式，这些内容将会在本课程中用到。

圆的性质： * 圆是一个平面上的封闭曲线，由距离等于半径的所有点组成； * 圆上的任意两点与圆心的距离相等； * 圆的直径是通过圆心的一条直线，并且它的长度是半径的两倍； * 圆的周长公式：$C = 2\\pi r$； * 圆的面积公式：$S = \\pi r^2$。

3.3 求解和圆有关的比例线段问题的方法接下来，我们将学习如何求解和圆有关的比例线段问题。

下面是一般的解题步骤： 1. 确定问题中涉及的线段和圆的关系； 2. 根据已知条件，列出方程或比例关系； 3. 解方程或比例关系，求出所需的线段长度。

4. 例题分析4.1 例题一问题描述：在一个圆中，已知线段AB的长度为8，CD为12，且AB和CD 是比例线段。

求圆的半径。

解题步骤： 1. 将已知条件写出：AB / CD = 8 / 12 2. 根据圆的性质，得到AB = 2r和CD = 2r，其中r为圆的半径。

3. 代入已知条件，得到2r / 2r = 8 / 12，化简得到r = 6。

4. 因此，圆的半径为6。

4.2 例题二问题描述：已知在一个圆中，线段EF的长度为10，EF与圆的切点距离圆心的距离为6。

求圆的半径。

第四讲 与圆有关的比例线段教学目标知识与技能：证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。

过程与方法：先猜后证，猜想的获得应用了“从特殊到一般”的思想方法。

情感态度价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。

教学难点相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。

课 时 3课时一．基础知识回顾1、如图15-44，点P 为弦AB 上一点，连结OP ，过点P 作PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，若AP = 4，PB = 2，则PC 的长是（ ）．A ．2B ．2C ．22D ．3 答案:C .2、如图15-45，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，PC=3，PB=1， 则⊙O 的半径为（ ）．A ．25B ．3C ．4D ．29答案:C.3、如图15-46，PA 与圆切于点A ，割线PBC 交圆于点B 、C ，若PA=6，PB=4，AB 的度数为60︒，则BC= ，∠PCA= ︒，∠PAB= ︒． 答案:5,30,30.4、如图15-47，两个同心圆间的圆环的面积为16π，过小圆上任一点P 作大圆的弦AB ，则PA ·PB= ． 答案:16.二．典型例题讲解例1．如图15-48，已知⊙O 的半径为9cm ，OP=7cm ，弦AB 过P 点，且PA=2PB ，求AB ． 分析：这个图形比较容易联想到相交弦定理的基本图形，因此可以将线段OP 向两边延长．解：作过P 点的直径CD ，则PC=9－7=2cm ，PD=9＋7=16cm ． 根据相交弦定理得：PA ·PB=PC ·PD ． ∵PA=2PB ， ∴2PB 2=2×16． 解得：PB= 4cm ． ∴AB=PA ＋PB=8＋4=12cm ．评析：若设本题中⊙O 的半径为R ，则PC=R －OP ，PD=R ＋OP ， 那么PA ·PB=PC ·PD=（R －OP ）（R ＋OP ），即PA ·PB=R 2－OP 2.事实上，若⊙O 的半径为R ，如图所示，定点P 到圆心的距离为d ，过点P 的直线与⊙相交于A 、B 两点，则PA ·PB 是一个定值，这个定值为∣R 2-d 2∣.例2．如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2=EF ·EC . （1） 求证：∠P=∠EDF ；（2） 求证：CE ·EB=EF ·EP ；（3） 若CE : BE=3 : 2，DE=6，EF= 4，求PA 的长.分析：由CD∥AP 得∠C=∠ P ，因此要证明∠P=∠EDF ，只要证明BAP OOPBAO P · CBA图15-44ABPC· 图15-45O BCAP图15-46B图15-47P AP · BAO CD图15-48·PEOD CBAF 图15-49∠EDF=∠C ，问题进一步可以转化为证明ΔDEF ∽ΔCED ． 证明：（1）∵DE 2=EF ·EC ， ∴DE : CE=EF : ED ． ∵∠DEF 是公共角，∴ΔDEF ∽ΔCED ． ∴∠EDF=∠C ． ∵CD ∥AP ， ∴∠C=∠ P ． ∴∠P=∠EDF ．（2）∵∠P=∠EDF ， ∠DEF=∠PEA ，∴ΔDEF ∽ΔPEA ． ∴DE : PE=EF : EA ．即EF ·EP=DE ·EA ．∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE ·EA=CE ·EB ． ∴CE ·EB=EF ·EP ．（3）解：∵DE 2=EF ·EC ，DE=6，EF= 4， ∴EC=9． ∵CE : BE=3 : 2， ∴BE=6．∵CE ·EB=EF ·EP ，∴9×6=4×EP ．解得：EP=227． ∴PB=PE －BE=215， PC=PE ＋EC=245． 由切割线定理得：PA 2=PB ·PC ， ∴PA 2=215×245． ∴PA=3215．评析：本题中DE 2=EF ·EC 这一条件是解决问题的突破口.当要证明成比例的线段在同一直线上时，往往寻找过渡乘积式来解决问题.应用相交弦定理、切割线定理及推论的证明题的解决方法较多，常见的有：（1）找过渡乘积式证明等积式成立；（2）为三角形相似提供对应边成比例的条件；（3）利用等积式来证明有关线段相等.例3．已知：⊙O 1与⊙O 2相交于点A 、B ，AC 切⊙O 2于点A ，交⊙O 1于点C .直线EF 过点B ，交⊙O 1于点E ，交⊙O 2于点F ．（1）设直线EF 交线段AC 于点D （如图15-50（1））．①若ED=12，BD=25，BF=11，求DA 和DC 的长； ②求证：AD ·DE=CD ·DF ．（2）当直线EF 绕点B 旋转交线段AC 的延长线于点D 时（如图15-50（2）），试问AD ·DE=CD ·DF 是否仍然成立？证明你的结论．分析：根据条件DA 与⊙O 2相切，因此可以先通过切割线定理求出线段DA 的长，再根据相交弦定理求出线段DC 的长．解：（1）①在⊙O 2中，DA 切⊙O 2于A ，DBF 交⊙O 2于B 、F ． ∴DA 2=DB ·DF=25×（25＋11）， ∴AD=30． 在⊙O 1中，弦AC 、BD 交于D ， ∴DE ·DB=AD ·CD ．∴12×25=30×CD ． 解得CD=10． （2）证明：方法一：连结AB 、AF 、EC ．∵DA 和⊙O 2切于点A ， ∴∠DAB=∠F ． ∵∠E=∠DAB ， ∴∠E=∠F ． ∴EC ∥AF ． ∴DE ∶DF=DC ∶DA ． ∴AD ·DE=DF ·DC ．方法二：根据圆的切割线定理和相交弦定理得：AD 2=DB ·DF ，AD ·DC=DB ·DE ． ∴AD ∶DB=DF ∶AD ，AD ∶DB=DE ∶DC ． ∴DF ∶AD=DE ∶DC ． ∴AD ·DE=DF ·DC ． （2）仍然成立.证明：方法一：连结AB 、AF 、EC ．∵ACEB 是⊙O 1的内接四边形， ∴∠DEC=∠CAB ． ∵DA 是⊙O 2的切线， ∴∠CAB=∠F ．D· O 2O 1 FE CBA· 图15-50（1）·O 2AB FDE C·O 1 图15-50（2）∴CE ∥AF ， ∴DC ∶DA=DE ∶DF ． 即： AD ·DE=DF ·DC ． 方法二：根据圆的切割线定理及其推论得：DA 2=DB ·DF ，DC ·DA=DE ·DB ， ∴AD ∶DB=DF ∶AD ，AD ∶DB=DE ∶DC ． ∴DF ∶AD=DE ∶DC ． ∴AD ·DE=DF ·DC ．评析：这是一道关于相交两圆的问题，既可以通过连结两圆的公共弦，得到角的等量关系，利用平行线的性质解题，也可以将圆的相交弦定理和切割线定理有机的结合在一起，通过等比代换证明.第（2）题的图形位置虽然发生了变化，但是使原结论成立的条件没有变化，因此结论仍然成立．三．精选试题演练1、⊙O 中，弦AB 平分弦CD 于点E ，若CD=16，AE ∶BE=3∶1，则AB= ． 答案:3332；. 2、AB 是⊙O 的直径，OA=2.5，C 是圆上一点，CD ⊥AB ，垂足为D ，且CD=2， 则AC= ．答案: 5或25.3、如图15-51，PAB 是⊙O 的割线，AB=4，AP=5，⊙O 的半径为6，则PO= ． 答案: 9.4、如图15-52，AEB 、ADC 是⊙O 的割线，AT 切⊙OY 于T ，若AD=4，DE=2，AE=3，AT=6，则DC= ，BC= ． 答案: 5，6.5、半径为5的⊙O 内有一点A ，OA=2，过点A 的弦CD 被A 分成两部分，则A C·CD= ． 答案: 21.6、如图15-53，PC 切⊙O 于C ，割线PAB 过圆心O ，∠ACP=30°，⊙O 的半径为4，则∠P= °，PC= ． 答案: 30，43.7、如图15-54，过⊙O 的直径BA 延长线上一点P 作PM 切⊙O 于M ，PM=OM ，则PA ∶PB= ． 答案:（12-）∶（12+）.8、如图15-55，⊙O 的弦CD 与直径AB 垂直，垂足为P ，过B 点的直线交⊙O 于M ，交CD 的延长线于F ，AM 交PD 于E ，且PC=6，PE=4，求EF ．提示：证ΔEFM ∽ΔEAP ，可得E F·EP=EM·EA，利用EM·EA=EC·ED 得EF=5；9、如图15-56，已知PC 切⊙O 于C ，M 为PC 中点，割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，连结BM 交⊙O 于D ，求证：∠MPD=∠PBM ．提示：证ΔMPD ∽ΔMBP ；10、如图15-57，PC 是ΔABC 外接圆的切线，C 是切点，PBD 是割线，PE ∥AB ，与AC 、BC 分别交于E 、F ，求证：P E·PF=PB·PD． 提示：证ΔPCF ∽ΔPEC ；ABPO图15-51O图15-52DATBEC· OA BP图15-53· CMOABP 图15-54 O AB P图15-55C· FED M O ABP图15-56C·M D图15-57 ABPCE DF11、如图15-58，已知PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过O 的割线，PA=10，PB=5，∠BAC 的平分线BC 和⊙O 分别交于点D 、E ，求（1）⊙O 的半径；（2）sin ∠BAP 的值；（3）AD·AE 的值．答案:（1）7.5；（2）55；（3）连结CE ，证ΔADB ∽ΔACE ，A D·AE=90；12、已知，如图15-59，⊙O 1和⊙O 2内切于点T ，⊙O 2的弦CD 切⊙O 1于点E ，连结TC 、TD 分别交⊙O 1于点A 、B ，TE 的延长线交⊙O 2与F ，连结AB 、FD ． 求证：（1）AB ∥CD ； （2）∠CTF=∠DTF ； （3）DF 2－EF 2= CE ·DE ． 提示：（1）过T 作两圆的公切线MN .∵MN 是两圆的公切线，∴∠MTC=∠ABT ，∠MTC=∠CDT ． ∴∠ABT=∠CDT ，∴AB ∥CD（2）连结BE ．∵CD 切⊙O 1于E ， ∴∠DEB=∠DTE ．∵AB ∥CD ， ∴∠DEB=∠ABE ． ∵∠ABE=∠ATE ，∴∠ATE=∠DTE ． 即：∠CTF=∠DTF ． （3）∵TF 、CD 是⊙O 2的两条相交弦，∴CE ·DE=EF ·TE=EF ·（TF －EF ）=EF ·TF －EF 2． ∵∠FDE=∠CTF=∠DTF ，∠F 是公共角，∴ΔFDE ∽ΔFTD ． ∴EF ∶DF=DF ∶TF ． ∴DF 2=EF ·TF ．∴CE ·DE=DF 2－EF 2． 即DF 2－EF 2= CE ·DE ．13、已知：如图15-60，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，O 1在⊙O 2上，⊙O 2的弦BC 切⊙O 1于B ，延长BO 1、CA 交于点P ，PB 与⊙O 1交于点D ． （1）求证：AC 是⊙O 1的切线； （2）连结AD 、O 1C .求证：AD ∥O 1C ；（3）如果PD=1，⊙O 1的半径为2，求BC 的长．提示：（1）连结O 1A ，证∠O 1AC=90°；（2）连结AB ，利用弦切角证明∠PDA=∠ABD=∠ACO 1；（3）利用切割线定理和切线长定理及AD 与O 1C 的平行关系可求得BC=25．四．教学反思1、和圆有关的比例线段指的是相交弦定理及推论、切割线定理及推论.它们的基本图形、条件及结论如下：条件：弦AB 和CD 交于⊙O 内一点P 条件：CD 是弦，AB 是直径，CD ⊥AB 于P 结论：PA ·PB = PC ·PD 结论：PC 2= PA ·PB条件：PT 切⊙O 于T ，PA 是割线， 条件：PA 、PC 是⊙O 的两条割线，分别交交⊙O 于A 、B ⊙O 于B 、DA图15-58BPCE DO · E O 2 O 1 · · TCA BFD 图15-59· O 2O 1图15-60AP DB CP· O CA BD P A·BDC O T· BAOP· PBAODC结论：PT 2= PA ·PB 结论：PA ·PB = PC ·PD2、相交弦定理、切割线定理及它们的推论和前面的切线长定理一样，揭示了和圆有关的一 些线段间的数量关系，这些定理的证明及应用又常常和相似三角形联系在一起，因此在解题 中要善于观察图形，对复杂的图形进行分解，找出基本图形和结论，从而准确地解决问题. 另外在和圆有关的比例线段的计算问题中，要注意方程的思想的运用.3、若⊙O 的半径为R ，如图所示，定点P 到圆心的距离为d ，过点P 的直线与⊙相交于A 、 B 两点，则PA ·PB 是一个定值，这个定值为∣R 2-d 2∣.4、在与圆和圆的位置关系相关的一些问题中，常常需要探求线段相等或倍分或成比例、角 相等或倍分，其实质与探求一个圆中的对应问题基本类似，只不过在两个圆中，需要仔细观 察图形，注意某些线段或角是两个圆的公共元素，解决问题时又常常通过这些公共元素将其 他元素联系在一起.另外要注意分类讨论这一思想方法的应用.BAP OOPBA。

数学教案比例线段数学教案：比例线段一、教学目标1、理解比例线段的概念，能正确判断四条线段是否成比例。

2、掌握比例的基本性质，并能熟练地进行比例式的变形。

3、通过实际问题的解决，培养学生的数学应用意识和能力。

二、教学重难点1、重点（1）比例线段的概念。

（2）比例的基本性质及其应用。

2、难点比例式的变形和实际问题中比例关系的建立。

三、教学方法讲授法、练习法、讨论法四、教学过程（一）导入新课在日常生活中，我们经常会遇到各种各样的比例关系，比如地图上的比例尺、照片的缩放比例等等。

那么，什么是比例线段呢？今天我们就来一起学习。

（二）讲授新课1、比例线段的概念如果两条线段的长度比等于另外两条线段的长度比，那么这四条线段叫做成比例线段。

例如，有线段 a、b、c、d，如果 a:b ＝ c:d，我们就说 a、b、c、d是成比例线段。

2、比例的基本性质如果 a:b ＝ c:d，那么 ad ＝ bc。

反之，如果 ad ＝ bc（b、d 不为 0），那么 a:b ＝ c:d。

通过简单的例子来帮助学生理解，比如 2:3 ＝ 4:6，那么 2×6 ＝ 3×4。

3、比例式的变形（1）由 a:b ＝ c:d 可得，d:c ＝ b:a （交换内项）；c:d ＝ b:a （交换外项）；a:c ＝ b:d （同时交换内项和外项）。

（2）如果 a:b ＝ c:d，那么（a ＋ b)：b ＝（c ＋ d)：d （合比性质）；（a b)：b ＝（c d)：d （分比性质）。

（三）例题讲解例 1：判断下列四条线段是否成比例。

线段 a ＝ 3cm，b ＝ 6cm，c ＝ 2cm，d ＝ 4cm。

解：因为 a:b ＝ 3:6 ＝ 1:2，c:d ＝ 2:4 ＝ 1:2所以 a:b ＝ c:d，即这四条线段成比例。

例 2：已知 a:b ＝ 2:3，b:c ＝ 4:5，求 a:b:c。

解：因为 a:b ＝ 2:3 ＝ 8:12，b:c ＝ 4:5 ＝ 12:15所以 a:b:c ＝ 8:12:15例 3：如果 2a ＝ 3b，求 a:b 的值。

比例线段教案教案标题：比例线段教案教案目标：1. 学生能够理解比例线段的概念，并能够计算和应用比例线段的性质。

2. 学生能够解决与比例线段相关的问题，并能够运用比例线段解决实际生活中的问题。

3. 学生能够通过合作学习和探究活动，培养解决问题的能力和团队合作精神。

教学重点：1. 比例线段的定义和性质。

2. 比例线段的计算方法。

3. 运用比例线段解决实际问题。

教学难点：1. 学生理解比例线段的概念和性质。

2. 学生能够正确运用比例线段解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备比例线段的相关教学资料和实例。

2. 准备黑板、白板、投影仪等教学工具。

教学步骤：引入活动：1. 教师通过展示一些实际生活中的例子，如建筑物、地图等，引导学生思考比例线段的概念和应用。

知识讲解：2. 教师简要讲解比例线段的定义和性质，包括比例线段的比例关系和比例线段的计算方法。

示范演示：3. 教师通过示范演示，解决一些简单的比例线段计算问题，引导学生理解比例线段的计算方法。

合作学习：4. 学生分组进行合作学习活动，通过小组合作解决一些实际生活中的比例线段问题，培养学生的解决问题的能力和团队合作精神。

巩固练习：5. 学生进行个人或小组练习，巩固比例线段的计算方法和应用。

展示分享：6. 学生展示和分享他们解决问题的方法和答案，教师进行点评和总结。

拓展应用：7. 学生通过实际生活中的例子，自主思考和解决更复杂的比例线段问题，拓展应用比例线段的能力。

课堂总结：8. 教师对本节课的内容进行总结，并强调比例线段的重要性和实际应用。

作业布置：9. 教师布置相关的作业，要求学生运用比例线段解决实际问题。

教学反思：10. 教师对本节课的教学效果进行总结和反思，为下节课的教学做准备。

教学扩展：可以通过引入更多实际生活中的例子和应用，拓展比例线段的相关知识和应用。

可以引导学生进行更复杂的比例线段计算和实际问题的解决。

可以通过数学游戏等形式，增加学生对比例线段的兴趣和参与度。

五与圆有关的比例线段-人教A版选修4-1 几何证明选讲教案前置知识在学习本节内容之前，需要掌握以下几个基础知识：•圆的概念、性质和相关定理•三角形的概念、性质和相关定理•线段的概念和相关性质教学目标•了解圆的切线、弦、割等概念及其相关定理；•掌握比例线段的相关知识；•运用比例线段的相关知识解决几何问题。

教学重点与难点•教学重点：比例线段的相关知识；•教学难点：运用比例线段的相关知识解决复杂几何问题。

教学过程第一步：引入新知识教师首先带领学生思考一个问题：在圆的内部，连接圆心和任意一点得到的线段与圆上的切线和弦有何相同点和不同点？通过学生的思考和讨论，教师进一步引入圆的切线、弦、割等概念，并讲解其相关定理。

第二步：比例线段的讲解和例题解析教师向学生介绍比例线段的概念和性质，包括同基异侧的两条平行线段所对应的线段比相等、圆上任意两点与圆心连线所组成的三角形，其斜边中点与周长中点重合等内容。

同时，根据P90页22题进行现场例题解析，让学生了解如何运用比例线段的相关知识解决几何问题。

第三步：练习题目1.圆外一点P到圆的两个切点A、B的线段比为3:4，证明AP、BP为圆的割线，并求证AP×PB等于以P为圆心、PB为半径的圆的面积。

2.如图，AB为圆O的直径，P为BC的中点，E为AC的中点，BE与DP交于F，证明AF=FD。

3.如图，圆O的圆心为P，直径AB、CD相交于点E。

连接A、C、B、D，以H为AC和BD的交点，证明PH⊥HE。

第四步：课程小结通过本节课的学习，学生们掌握了比例线段的相关知识，并能够运用它们解决几何问题。

同时，对于圆的切线、弦、割等概念和相关定理，学生也有更深入的了解。

比例线段教案教案标题：比例线段教案教案目标：1. 理解比例线段的概念和性质。

2. 能够在给定的几何图形中找到并应用比例线段。

3. 掌握比例线段的计算方法和应用技巧。

教学资源：1. 教材：包含有关比例线段的相关知识和例题的数学教材。

2. 幻灯片：用于展示比例线段的概念、性质和例题。

3. 白板和马克笔：用于解题演示和学生互动。

教学步骤：引入活动：1. 使用幻灯片展示比例线段的概念和性质，引发学生的兴趣和好奇心。

2. 提问学生是否了解比例线段的概念，并鼓励他们分享自己的理解。

知识讲解：1. 解释比例线段的定义：当两个线段的长度之比等于另外两个线段的长度之比时，这两个线段就是比例线段。

2. 展示比例线段的性质：比例线段在图形中具有相似性质，如平行、相交等。

3. 通过幻灯片演示和示例问题，讲解比例线段的计算方法和应用技巧。

练习与巩固：1. 在白板上给出一些几何图形，要求学生找出其中的比例线段，并解释其原因。

2. 给予学生一些练习题，让他们在小组内或个人完成，并相互讨论解题思路。

3. 随机选择几个学生上台展示解题过程，并与全班共同讨论答案。

拓展与应用：1. 提供一些拓展问题，要求学生运用比例线段的知识解决实际问题，如建筑设计、地图比例等。

2. 鼓励学生自主思考和探索，分享他们的解决方法和策略。

总结与反思：1. 对本节课的内容进行总结，并强调比例线段的重要性和实际应用。

2. 鼓励学生回顾本节课的学习过程，提出问题和反思，以便加深对比例线段的理解。

教学延伸：1. 在下节课开始前，布置一些相关的家庭作业，巩固学生对比例线段的理解和应用。

2. 鼓励学生在日常生活中寻找和应用比例线段的例子，并与同学分享。

教学评估：1. 在课堂上观察学生的参与度和表现，及时给予反馈和指导。

2. 收集学生完成的练习和解答问题的答案，对其理解和应用能力进行评估。

3. 在课堂结束时，进行课堂小结和学生反馈，了解他们对本节课的理解和学习效果。

《五与圆有关的比例线段》教案教学目标1．知识与技能：(1)理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；(2)学会作两条已知线段的比例中项；2．过程与方法：师生互动，生生互动，共同探究新知；3．情感、态度、价值观：通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法．教学重、难点重点：正确理解相交弦定理及其推论难点：相交弦定理及其推论的熟练运用教学过程前面讨论了与圆有关的角之间的关系.下面我们讨论与圆有关的线段的关系及其度量问题.下面沿用从特殊到一般地思路，讨论与圆的相交弦有关的问题.探究1如图2-20，AB是⊙O的直径，CD⊥AB.AB与CD相交于P，线段P A、PB、PC、P D之间有什么关系？.∙=∙(老师引导学生完成推导过程)PA PB PC PD探究2将图2-20中的AB向上(或向下)平移，使AB不再是直径(图2-21)，探究1的结论还成立吗？连接AD、BC，请同学们自己给出证明.探究3如果CD与AB不垂直，如图2-22，CD、AB是圆内的任意两条相交弦，探究1的结论还成立吗？事实上，AB、CD是圆内的任意相交弦时，探究1仍然成立，而证方法不变.请同学们自己给出证明.由上诉探究和论证，我们有1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．探究4使圆的两条相交弦的交点P从圆内运动到圆上(图2-23)，再到圆外(图2-24)，探究1的结论是否还能成立？∙=∙(老师引导学生完成推导过程)PA PB PC PD.由上诉探究和论证，我们有2.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．探究5在图2-24中，使割线PB绕P运动到切线的位置(图2-25)，线段P A(或PB)、PC、P D之间有什么关系？2.=∙(老师引导学生完成推导过程)PA PC PD由上诉探究和论证，我们有3.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．探究6在图2-25中，使割线PD绕点P运动到切线的位置(图2-26)，可以得出什么结论？22.=(老师引导学生完成推导过程)PA PC4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两条切线的夹角．如何证明此定理？(老师引导学生完成证明过程)【自主检测】1. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为_____.2. 已知：⊙O 和不在⊙O 上的一点P ，过P 的直线交⊙O 于A 、B 两点，若P A ·PB ＝24，OP ＝5，则⊙O 的半径长为_______.3. 若P A 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 割线交⊙O 于B 、C ，若BC ＝20，P A =P C 的长为_______.4. AB 、CD 是⊙O 切线，AB ∥CD ，⊙O 的切线EF 和AB 、CD 分别交于E 、F ，则∠EOF ＝______．【例题解析】例1 如图2-28(课本第37页)，圆内的两条弦AB 、CD 相交于圆内一点P ，已知P A =PB =4，1.4PC PD =求CD 的长. 例2．如图2-29(课本第37页)，E 是圆内两弦AB 和CD 的交点，直线EF //CB ，交AD 的延长线于F ，FG 切圆于G .求证：(1)DFE EFA ∆∆；(2)EF =FG ..例3如图2-30(课本第38页)，两圆相交于A 、B 两点，P 为两圆公共弦AB 延长线上任一点，从P 引两圆的切线PC 、PD ，求证PC =PD .例4 如图2-31(课本第38页)，AB 是圆O 的直径，过A 、B 引两条弦AD 和BE ，相交于点C .求证：2.AC AD BC BE AB ∙+∙=例5 如图2-32(课本第38页)，AB 、AC 是圆O 的切线，ADE 是圆O 的割线，连接CD 、BD 、BE 、CE .问题1 有上述条件能推出哪些结论？问题2 在图2-32(课本第38页)中，使线段AC 绕A 旋转，得到图2-33(课本第39页).其中E C 交圆于G ，DC 交圆于F .此时又能推出哪些结论？问题3 在图2-33(课本第39页)中，使线段AC 继续绕A 旋转，使得割线CFD 变成切线CD ，得到图图2-34(课本第39页)，此时又能推出哪些结论？【课堂小结】回顾本课学习了哪些知识？。

用运动的观点展示知识的形成——《和圆有关的比例线段》教案设计教案设计目标：通过引导学生进行实际的运动活动，以观察和圆有关的比例线段的特征，帮助学生深入理解并运用相关概念。

教案设计步骤：引入活动：在课堂开始前，将教室的桌椅推到一边，划出一个较大的圆形区域。

在黑板上写上今天的主题：和圆有关的比例线段。

运动活动一：让学生两两成组，每组两人站在圆周上任意两个点，学生A站在圆周上的某一点，学生B站在另一个点。

要求学生A向学生B投掷一个球，然后学生B接球。

学生A每投掷一次，学生B退后一步。

让学生观察每次投掷后，学生B退后的距离与学生A到圆心的距离之间的关系，并记录下来。

讨论分析：引导学生观察自己记录的数据，并进行讨论。

指导学生发现，学生A到圆心的距离与学生B退后的距离成正比例关系。

并引导学生总结，当学生A到圆心的距离是圆的半径的一半时，学生B退后的距离也是圆的半径的一半。

运动活动二：将学生分成几个小组，每组再次站在圆周上的不同位置。

这一次，学生A保持不动，而学生B固定站在圆上的某一点，以学生A为中心，绕圆周移动。

学生B在每个位置上都用手在学生A面前戳一下，直到一圈结束后回到最初位置。

讨论分析：引导学生观察并分享他们的观察结果。

指导学生发现，当学生B在圆上的不同位置上用手戳学生A时，戳过的位置和圆心的连线上的点是成一条线的。

并引导学生总结，这条线段被称为和圆有关的比例线段。

运动活动三：让学生再次成组，每组三人。

其中一人作为固定的中心点，另外两人站在圆周上。

此时，让学生B和学生C同时开始移动，学生B向右移动，学生C向左移动，同时保持和圆心的距离相等。

在移动的过程中，学生A观察学生B和学生C之间形成的线段的比例关系。

讨论分析：引导学生观察并分享他们的观察结果。

指导学生发现，当学生B和学生C同时移动时，他们所形成的线段的比例与他们与固定中心点的距离有关，并且这个比例是不变的。

并引导学生总结，这个比例与和圆有关的比例线段的特征相同。

和圆有关的比例线段(二)数学教案
标题：和圆有关的比例线段（二）
一、教学目标
1. 让学生理解并掌握与圆相关的比例线段的概念。

2. 培养学生的观察力和分析问题的能力。

3. 提高学生的几何直觉和空间想象能力。

二、教学重点和难点
重点：理解和掌握与圆相关的比例线段的性质和应用。

难点：如何运用这些性质解决实际问题。

三、教学过程
1. 导入新课
通过回顾上节课的内容，引出本节课的主题——与圆相关的比例线段。

2. 新课讲解
(1) 介绍圆的相关概念和性质，如半径、直径、弦、弧等。

(2) 引入比例线段的概念，并举例说明。

(3) 探讨与圆相关的比例线段的性质，如圆周角定理、切割线定理、相交弦定理等。

(4) 通过例题进行演示，让学生理解并掌握这些性质的应用。

3. 练习与讨论
设计一系列的练习题，让学生在实践中加深对所学知识的理解和掌握。

同时，鼓励学生之间的交流和讨论，培养他们的合作精神和团队意识。

四、课堂小结
回顾本节课的主要内容，强调重点和难点，帮助学生巩固所学知识。

五、课后作业
布置一些相关的问题，让学生在课后继续思考和练习，以提高他们独立解决问题的能力。

六、教学反思
在教学过程中，教师应时刻关注学生的学习情况，及时调整教学方法和策略，以达到最佳的教学效果。