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第2讲圆幂定理理，圆中⽐比例例线段圆幂定理理是初中平⾯面⼏几何中重要定理理之⼀一，在有关计算和证明中应⽤用⾮非常多，尤其是在证明圆中线段⽐比例例式（或等积式）时，能有效地考查学⽣生综合运⽤用相似形和圆的有关知识分析、解决问题的能⼒力力，因⽽而成为全国各省市中考及数学竞赛命题的⼀一个热点，切实加强这⽅方⾯面知识的复习与训练，全⾯面掌握这类问题的证明思路路和⽅方法，对每⼀一个同学都⾮非常重要.此外，证明圆中线段⽐比例例式（或等积式）的基本思路路有(1)利利⽤用平⾏行行线分线段成⽐比例例定理理；(2)利利⽤用相似三⻆角形给出证明；(3)利利⽤用圆幂定理理给出证明；(4)利利⽤用⾯面积或三⻆角函数给出证明.⼀一、基础知识1、相交弦定理理如果圆内两条弦AB和CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD（如下图1）；2、割线定理理如果从圆外⼀一点P向圆引割线P AB和PCD，那么PA·PB＝PC·PD（如下图2）；3、切割线定理理如果从圆外⼀一点P向圆引割线P AB和切线PC，那么PA·PB＝PC2（如下图3）；上述三个定理理统称为圆幂定理理.实际上，可以把切割线定理理看作是割线定理理的极限情形，于是上述三个结论可以合并为：如果交点为P的两条直线与圆O相交于A、B与C、D，那么就有PA·PB＝PC·PD，这⾥里里P、A、B共线及P、C、D共线；⼆二、例例题例例1．已知，如图AB是⊙O的弦，P是AB上⼀一点，AB＝10cm，P A＝4cm，OP＝5cm，求：⊙O的半径.例例2．如图，已知⊙O1和⊙O2相交于CD两点，其外公切线AB分别切⊙O1、⊙O2于点AB，求证：直线CD 平分线段AB.例例3．如图，E是圆内弦AC、BD的交点，直线EF∥CB，交AD的延⻓长线于F，FG切圆于G，连结EG，求证：∠FEG＝∠FGE.例例4．如图，P A切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，M是P A的中点，MC交⊙O于N，PN的延⻓长线交⊙O于D，连结BD，求证：P A∥BD;例例5．如图，已知B是线段AC上任⼀一点，在AC同侧分别以AB、AC为直径作两个半圆、，若CD切半圆于点D，EB⊥AC，B为垂⾜足，且交半圆于E，M是DE的中点，求证：CM⊥DE.例例6．如图，在⊿ABC中，AB>AC，如果⊿ABC的内切圆把BC边上的中线AD三等分，求证：BC＝2AC；例例7．图中，AB是⊙O的直径，直线MN切⊙O于点C，AD⊥MN于D，AD交⊙O于E，AB的延⻓长线交MN于点P，求证：AC2＝AE·AP；例例8．如图，⊿ABC中，∠A的平分线AD交BC于D，⊙O过点A，且和BC切于点D，和AB、AC分别相交于E、F，AD与EF相交于G，求证：BD·EG＝BE·EA；例例9．如图，已知BC是圆中⼀一条弦，EF切圆于A，AD⊥BC于D，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，求证：AD2＝BE·CF；例例10（2002年年东城区中考）如图，P是⊙O的直径AB延⻓长线上⼀一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于H，CF交AB于点E，求证：P A·PB＝PO·PE；例例11．如图，已知P A、PB是⊙O的切线，切点为A、B，PCD是割线，求证：AC·BD＝AD·BC例例12．如图，BC是圆的直径，O是圆⼼心，P是BC延⻓长线上⼀一点，P A切半圆于点A，AD⊥BC于点D，求证：PD·PO＝PC·PB例例13．如图，过⊿ABC的顶点A作外接圆的切线交BC的延⻓长线于D，求证：例例14（托勒勒密定理理）求证：在圆的内接四边形ABCD中，AB·CD＋BC·AD＝AC·BD三、练习题1．如图，P A为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，P A＝10cm，PB＝5cm，求⊙O的半径.2．过⊙O外⼀一点P作⊙O的两条切线P A、PB，连结OP与AB交于D，与⊙O交于C，过C作AP的垂线，垂⾜足为E，若P A＝10cm，PC＝5cm，则CE＝_____；3．如图A、B、C、D四点在同⼀一个圆周上，且BC＝CD＝4，AE＝6，线段BE和DE的⻓长都是正整数，则BD的⻓长等于________；4．在平⾏行行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若AB＝4，BE＝5，则DE＝_________；5．已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平⾏行行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC与DE交于点P，求证：EP＝PD；。
初三数学同步辅导教材（第16讲）一、教学内容本周主要学习7.12 解决和圆有关的比例线段．二、重点、难点剖析1.和圆有关的比例线段是学习的重要内容．理解、掌握好相交弦定理、切割线定理是基本要求．运用定理解决一些有关的计算、证明问题又是考查的主要目标．和圆有关的比例线段的几个定理及推论，都是通过相似三角形的判定而获得的，如切割线定理，如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于B、C．P弄清定理间的相互关系，对于理解、掌握并应用它们解决问题是十分有益，在学习和研究中一定要注意：(1)两条弦（或延长线）及交点首先要确定；(2)由这个交点引出的四条线段要确定，因为所有定理或推论都是这四条线段间的关系．13.我们知道，直径也是弦，而且它具备特殊性；在从圆外一点引圆的无数条割线中，过圆心的一条割线是唯一的，也是特殊的，解题时对此要引起重视．Ｃ，⊙O于点的半径的一条割线，PO交⊙O已知：P是⊙O外的一点，PAB是不经过圆心O例为r，OP＝d，则PA?PB等于（）.d?(d－r) Ｂ. d?(d＋r) Ｃ.d －r Ｄ.d ＋r2222Ａ解延长PC交⊙O于点D,B则PA?PB＝PC?PD. A∵OC＝OD＝r,OP＝d，PDC o∴PC ＝d－r，PD＝d＋rPA?PD＝(d－r) ? (d＋r)＝d －r .选Ｃ．22则三、典型题例AC两弦相交于.(1)PP，C(2)AC，P(3)A1PP，PP，CPP(4)PPP (1)PP8.4 P P CPP13.4(2) AP1. CPP.P (PP4.(3)A1P8.P1P（舍去负值(4)P，P.4CPP10.说(1为了解题时避免失误，应画个草图，对照条件中的线段，正确使用定理(2由于相交弦定理的表达形式是等式，因此解这类题时常设未知数，以建立方程行求解(3注意区分所求的结论是弦长还是弦的一部分的长例如图，已知P是的切线为切点，割PD交于求证ACAB.分从条件知P，A∽PBPC∽PB由结论知，欲ACAB，即BA.CA因此，可以用“做做比比”的方法证得结论证明∵△PAB∽△PDA（想一想，为什么？）ABPA＝ . ∴ADPD又∵△PBC∽△PCD2点的切线于P的DA＝OA T3216BC2＝AC AC，则). 8(cmBC＝CD?＝＝2CD ABC中，由勾股定理得在Rt cA).AB16证法延A交于，连B A为直径AB9.BA＝BAAB＝＝AB9.E（以下证法同证法１说解题时善于从不同角度获取信息，既有助于巩固基础知识的学习，又可以活跃思维，提高.C A例如图D切于，割DC交于．求证.B A A分从结论考虑是AC与BA AC相似比的平方；又是这两个同高的三角形的B的比，因此容易想到选择通过面积的方法去解决，AB的面积设证AC的面积A.BA AC∽A（相似三角形面积的比等于相似比的平方C（同高的两三角形面积的比等于底的比BD S22CD AC＝．则2BD AB4。
知识点、重点、难点在圆中,有相交弦定理、切割线定理及其推论,这些定理统称圆幂定理。
1.相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。
推论：若弦与直径垂直相交,则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。
2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推论：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。
3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：(1)直接应用圆幂定理； (2)找相似三角形,当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时,通常是由“三点定形法”证三角形相似,其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。
圆幂定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系,它们之间有着密切的联系,我们应当熟悉以下基本图形。
例题精讲例1：如图,已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点,过点A 作⊙1O 的切线,交⊙2O 于点C ,过点B 作两圆的割线分别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ,DE 与AC 相交于点P .当AD 与⊙2O 相切,且PA = 6,PC =2,PD =12时,求AD 的长。
解 连结AB .因为CA 切⊙1O ；于点A ,所以∠1 =∠D ．又∠1=∠E ,所以∠D =∠E .又∠2=∠3,所以△APD ∽△CPE ,所以PA PDPC PE=, 即PA ·PE = PC ·PD ．因为PA =6,PC =2,PD =12,得6×PE =2×12,得PE =4.由相交弦定理得PE ·PB =PA ·PC ,所以4PB =6×2,得PB =3.所以BD = PD －PB =9,DE =DP ＋PE =12＋4=16.因为DA 切⊙2O 于点A ,所以DA 2= DB ·DE ,即AD 2=9×16,得AD ＝12.例2：如图,已知圆内接四边形ABCD ,延长AB 、DC 交于E ,延长AD 、BC 交于F ,EM 、FN 为圆的切线,分别以E 和F 为圆心、EM 和FN 为半径作弧,两弧交于K ,求证：EK ⊥FK ．证明 连结EF ,过B 、C 、E 三点作圆交EF 于H ,连结CH .因为B 、C 、H 、E 共圆,所以∠1=∠2.因为A 、B 、C 、D 共圆,所以∠1=∠3,于是∠2 =∠3,故D 、C 、H 、F 共圆．由切割线定理得EM 2=EC ·ED=EH ·EF ,FN2= FC ·FB=FH ·FE ,所以EM2＋FN 2=(EH ＋FH )·EF =EF 2．又因为EM=EK ,FN=FK ,所以EK 2＋FK 2=EF 2．故△EKF 为直角三角形,且∠EKF =90°,即EK ⊥FK .例3：如图,⊙1O 与⊙2O 相交于P 、Q 两点,在公共弦QP 延长线上取一点M ,过M 作两圆割线分别交两圆于A 、B 、C 、D . 求证：.AD BD DMAC CB CM=证明 由切割线定理得MA ·MB = MP ·MQ =MC ·MD ,所以A 、B 、D 、C 四点共圆,可得∠ADB =∠ACB .又11sin ,sin 22ADB ACB S AD BD ADB S AC BC ACB ∆∆=∠=∠,所以.ADB ACB S AD BDS AC BC∆∆=过C 作CG ⊥MB ,垂足为G ,过D 作DH ⊥MB ,垂足为H .所以CG ∥DH ,得△MGC ∽△MHD ,得.ADB ACB S DH DMS CG CM∆∆==所以AD BD AC BC =.DMCM例4：如图,两个同心圆的圆心为O ,大圆的弦AD 交小圆于B 、C ,大 圆的弦AF 切小圆于E ,经过B 、E 的直线交大圆于M 、N ,求证：(1) AE 2= BN ·EN ；(2)若AD 经过圆心O ,且AE = EC ,求 ∠AFC 的度数。
第十六讲 和圆有关的比例线段【趣题引路】某建筑物上装有一块长方形广告牌,上下边相距5m,下底边距离地面5.6m.•如果人的眼部高度为 1.6m,那么从远处正对广告牌走近时,看广告牌效果最好的位置距该建筑物多远?解析 广告牌AB 在视线的水平线DF 之上.如图,因此,可过AB•两点作一个圆,使圆与DF 相切,这时可看到,当人从远处走来时,人眼在DF 的水平线上,除D 点外,•DF 上的其余各点都在圆外 ,则当人走到DE 处时∠ADB 最大,看广告效果最好. 那么如何求出CE 的距离呢?由切割线定理可知,DF 2=BF ·AF,且CE=DF,因此,很容易得到 D F 2=4×9=36,∴DF=6(m)即人距离广告牌6m 左右看广告牌的效果最好.【知识延伸】过一点P 作与圆有关的两条直线,点P 与圆的不同位置有两种:1.当点P 在圆内时,这两条直线分别交圆于A 、B 和C 、D,则PA ·PB=PC ·PD,•这就是相交弦定理,如图1.（1） (2) (3) 2.当点P 在圆外时,分两种情况:(1)这两条直线与圆都有两个交点,分别为A 、B 与C 、D,则PA ·PB=PC ·PD称作割线定理:如图2.(2)当这两条直线中一条与圆有两个交点,另一条只有一个交点(切点)M时,得切割线定理:PA·PB=PM2.相交弦定理、切割线定理及切割线定理的推论(割线定理),•我们统称为圆幂定理.圆幂定理在形式上也可以进一步统一.如图3,点P在圆内时,像所作的虚线那样,连OP,过点P作弦EF⊥OP,交圆于E、F,由于PE=PF,故PA·PB=PC·PD=PE·PF=PF2=r2-OP2,其中r为⊙O的半径.如图4,点P在圆外时,连OM、ON、OP,有PA·PB=PC·PD=•PM·PN=P M2=OP2-r2.综上所述,圆幂定理可以统一为PA·PB=│r2-OP2│.换言之,•圆幂定理可叙述为:通过不在⊙O上一定点P向⊙O任作一直线交⊙O于A、B两点,则有PA·PB=│r2-OP2│.(r2-OP2叫做点对于⊙O的幂).圆幂定理揭示了圆中线段的比例关系,对于涉及相交弦,切割线的有关计算,•常可利用圆幂定理去求.例1已知,如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,割线CDF交AB于E,并且CD:DE:EF=1:2:1,AC=4.求⊙O的直径AB.解析设CD=k,则DE=2k,EF=k,CF=4k.由切割线定理,有AC2=CD·CF.∴42=k·4k,•k=2.∴CE=6,DE=4,EF=2.在Rt△ACE中,由勾股定理,有根据相交弦定理,得AE·EB=DE·EF.∴EB=4×2，EB=5。
五 与圆有关的比例线段庖丁巧解牛知识·巧学一、相交弦定理1。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
2。
定理的证明：如图2-5—2,已知⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于圆内的一点P 。
图2—5-2求证:PA·PB=PC·PD.证明：连结AC 、BD ，则由圆周角定理有∠B=∠C,又∵∠BPD=∠CPA，∴△APC∽△DPB.∴PA∶PD=PC∶PB，即PA·PB=PC·PD.当然，连结AD 、BC 也能利用同样道理，证得同样结论。
3。
由于在问题的证明中，⊙O 的弦AB 、CD 是任意的，因此,PA·PB=PC·PD 成立,表明“过圆内一定点P 的弦,被P 点分成的两条线段长的积应为一个定值”.虽然过定点P 的弦有无数多条，然而在这众多的弦中有一些长度比较特殊的弦，如过点P 的最长或最短的弦，通过它们可以找到定值。
图2-5-3如图2—5-3(1），考察动弦AB ，若AB 过⊙O 的圆心O ，则AB 为过点P 的最长的弦,设⊙O 的半径为R ，则PA·PB=（R+OP ）(R —OP ）。
如图2-5—3（2）,考察过点P 的弦中最短的弦，AB 为过⊙O 内一点P 的直径,CD 为过点P 且垂直于AB 的弦，显然，由垂直定理和相交弦定理,应有PA·PB=PC·PD=（21CD)2=OC 2—OP 2= R 2-OP 2。
由于⊙O 是定圆，P 为⊙O 内一定点，故⊙O 的半径R 与OP 的长为定值.设OP=d,比较上述两式，其结论是一致的，即PA·PB=（R+d ）（R-d ）=R 2-d 2，为定值.于是，相交弦定理可进一步表述为：“圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积为一定量，它等于圆的半径与交点到圆心距离的平方差.”定圆的任一弦被定点分得两线段长的积为定值，这个定值与点P 的位置有关,对圆内不同的点P,一般来说,定值是不同的，即这个定值是相对于定点P 与定圆O 而言的。
