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第32课与圆有关的比例线段〖知识点〗相交弦定理、切割线定理及其推论〖大纲要求〗1．正误相交弦定理、切割线定理及其推论；2．了解圆幂定理的内在联系；3．熟练地应用定理解决有关问题；4．注意（1）相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似三角形结合的产物。
这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）。
使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点；（2）见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形。
〖考查重点与常见题型〗证明等积式、等比式及混合等式等。
此种结论的证明重点考查了相似三角形，切割线定理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识。
常见题型以中档解答题为主，也有一些出现在选择题或填空题中。
〖预习练习〗1.圆内两弦相交，其中一条弦长为8cm，且被交点平分，另一条被交点分为1:4两部分，则这条弦长为（）（A）2cm （B）8cm （C）10cm （D）16cm2.自圆外一点所作过圆心的割线长是12cm，圆的半径为4cm，则过此点所引的切线长为（）（A）16cm （B）4 3 cm （C）4 2 cm （D）以上答案都不对3.如图，圆内接四边形ABCD的BA、CD的延长线交于P，AC、BD交于E，则图中相似三角形有（）（A）2对（B）3对（C）4对（D）5对4.圆内两条弦AB与CD相交于E，如果AE＝BE，CE＝9，DE＝4，那么AB＝5.从圆外一点P向圆引两条割线PAB、PCD，分别与圆相交于A、B、C、D，如果PA＝4，PC ＝3，CD＝5，那么AB＝6.Rt△ABC中两条直角边分别为6cm，8cm，则外接圆半径为,内切圆半径为7.PA、PB分别是⊙O的切线，切点分别为A、B，∠AOB＝144°，则∠P＝考点训练：1.⊙O中直径CD⊥弦AB于E，AB＝6，DE∶CE＝1∶3，则DE的长为（）(A) 3 (B) 3 (C) 2 3 (D) 62.由圆外一点作圆的切线长为6，过这点作过圆心的割线长为12，则此圆半径长为（）(A) 19cm (B) 6cm (C) 4.5cm (D)以上答案都不对3.如图1，⊙O的半径为6，PQ＝6，AR＝8则QR的长为（）(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 124. 如图2，CD 为⊙O 直径，弦AB 垂直CD 于P,AP ＝4，PD ＝2，则PO ＝___.5. 如图3，PAB 为⊙O 的割线，PC 切⊙O于C ，PC ＝10，AB ＝15，则PA长为___________.6．如图4，弦AB ⊥弦CD 于E ，若AE ＝2，BE ＝6，DE ＝3，则⊙O 的直径长＝________. 7．如图，PAB 为⊙O 的割线，PO 交⊙O 于C ，OP ＝13，PA ＝9，AB ＝7，求⊙O 直径的长.8.如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，PBC 为⊙O 的割线，求证：AB 2AC 2 ＝PBPC9.如图，在两圆公共弦AB 上，任取一点G ，过G 作直线交一圆于C,D ，交另一圆于E,F. 求证：CG ·ED ＝EG ·CF.解题指导1． 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP ∥AC ，交BA 的延长线于P ，求证：AD ·DC ＝PA ·BC.R Q A O P 1A B O C D P24r A B CO P PC2．如图，锐角△ABC ，以BC 为直径作圆，在AB 上截取AE ＝切线长AD ，过E 作AB 的垂线交AC 延长线于F ，求证：AE AB = ACAF .3. 如图，若△ABC 的∠A 平分线交BC 于D ，交其外接圆于E ，求证：AD 2＝AB ·AC －BD ·CD.4．如图，△ABC 内接于⊙O ，CP 切⊙O 于C ，交AB 延长线于P ，割线PD 交AC 于F ，CB 于E ，且CE ＝CF ， 求证：（1）PD 是∠APC 的平分线，（2）CF 2＝AF ·BE.独立训练：1．AB 是⊙O 直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切⊙O 于D ，AB ＝6，CD ＝4，则CB 的长为（ ）(A) 2 (B) 83 (C) 23(D) 32．如图1，P 在半圆O 的直径AB 延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切⊙O 于C ，CD ⊥AB 于D ，则CD 的长为（ ）(A) 2 3 (B) 3 (C) 32(D) 4 33．如图2，△ABC 中∠A ＝90°，AC ＝3，AB ＝4，半圆圆心在BC 上，与AB,AC 切于D,E，EPB D O ͼ1则⊙O 半径为（ ）(A)127 (B) 712 (C) 72(D) 2 3 4．⊙O 中直径CD 垂直弦AB 于E ，AB ＝8，DE ∶CE ＝3∶1，则DE 的长为（ ）(A)2 (B)4 (C)2 3 (D)4 3 5．如图3，AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于P ，若CD ＝a ，AP ＝b ， 则半径R ＝____. 6．如图4，AB 为⊙O 直径，CD 切⊙O 于B ，且BC ＝BD交⊙O 于E ，AB ＝8，CD ＝12，则S △CDE ＝___________.7．如图5，BE 为半圆O 直径，AD 切⊙O 于B，BC 切⊙O 于B ，BE ＝BC ＝6，则AD 长为___________. 8．如图6，以直角坐标系的原点O 为圆心作圆，A 是x 轴上一点，AB 切⊙O 于B ，若AB ＝12，AD ＝8，则点B 坐标为____________. 9．如图，AB 是⊙O 直径，BC 是弦，CD 切⊙O 于C ，AD ⊥CD 交BC 延长线于E ，AE ＝8cm ，求AB 的长。
第34课 圆中的比例线段[考点透视]从圆中角的相等关系推出三角形相似，得出比例线段或由相交弦、切割线直接找出线段的比例关系；反之，由线段的比例关系推出三角形相似从而得出其他关系；会作出线段的比例中项，圆中相交弦中，已知其中三个量求另一个量，过圆外引直线与圆相交或相切时，已知其中三个量求另一个量，已知圆的直径求与这条直径垂直的弦长. [课前回顾]1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成两条线段长的积相等.2．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线.切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.3．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆交点的两线段长的积相等. [课堂选例]例1 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，A 是BD 的中点，EA 为⊙O 的切线.（1）求证：AB ·DA=CD ·BE ；（2）若点E 在CB 延长上运动，点A 在BD 上运动，使切线EA 变为割线EFA ，其他条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明） （1）证明：连结AC ，∵A是BD 的中点，∴AB = AD∵EA 切⊙O 于点A ，点C 在⊙O 上，∴∠1=∠3=∠2，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠ABE =∠D ，∴△ABE ∽△CDA ,∴DABE CD AB =.∴AB ·CA=CD ·BE（2）解：如图2，具备条件BF=DA （或BF=DA ，或∠BCF =∠DCA ，或∠BAF =∠DCA ，或FA ∥BD 等），使原结论成立.图1 图2例2 如图，由矩形ABCD 的顶点D 引一条直线分别交BC 及AB 的延长线于F ，G 连结AF 并延长交BGF ∆的外接圆于H ，连结GH ，BH . （1）求证：△DFA ∽△HBG ； （2）过A 点引圆的切线AE ，E 为切点，AE=33，CF :FB = 1:2，求AB 的长； （1）证明：∵∠1=∠2，∠2=∠3， ∴∠1=∠3∵四边形ABCD 为矩形. AB ∥CD ，AD ∥BC∴∠5=∠6,又∵∠4=∠5， ∴∠4=∠6 ∴△DFA ∽△HBG ； （2）解：∵CD ∥AB ，CD=AB ，∴21==BG CD FBCF， ∴21=BG AB ，∴31=AG AB 即AG=3AB ，∵AE 为圆的切线∴2AE AG AB ⋅=，∴27=AB ·3AB ，∴AB=3.例3 已知：AB 是⊙O 1的直径，C 是⊙O 1上的一点，以AC 为直径作⊙O 2，交AB 于点D ，过点C 作⊙O 1的切线,交⊙O 2于点E ，直线ED 分别交⊙O 1于点F 和G ，求证：①CE =CD ； ②EF ·EG =FD ·DG C①证明：连结BC ∵AC 为⊙O 2又∵AB 为⊙O 1的直径，∴∠ACB=Rt ∠，∴ADC ∆C ∽ACB ∆， ∠ACD=∠B ，而CE 为⊙O 1切线， ∠EC A=∠B ，∴∠EC A=∠ACD ， ∴AE 与AD 等弧，∴DE ⊥AC ∴EC 与CD 等弧, ∴EC=CD ②证明：由切割线定理知2EC EG EF ⋅= 又由①知EC=CD ，∴CD 2=EF ·EG 而DB AD CD ⋅=2，DG FD DB AD ⋅=⋅ 故DG FD EG EF ⋅=⋅例4 如图，ABC ∆中，∠A 的平分线与BC 边和外接圆⊙O 分别交于D 和E . （1）求证：DE AE BE ⋅=2（2）记⊙O 半径为m ，BE=n ，试用含m ，n 的代数式表示的BCE ∠cos . （3）当AD=4DE ，且2:5:=n m 时，求作以CECD BEBD ,为根的一元二次方程（方程只取二次项系数为1的一个）①证明：∴△BED ∽△AEB ∴DE AE BE ⋅=2. ②连结EO 并延长交⊙O 于F ，连结BF.则∠BCE=∠F ，∴mn m F BCE 24cos cos 22-=∠=∠③∵BE=CE ∴BECDBE BD CECD BEBD +=+BECD BD +=BE BC =可知EF EM BE ⋅=2，∴m m m EF BE EM 252225422=== m EMBE BM 56422=-=， m BM BC 5682==. ∴645658===+m mBEBC CE CD BE BD而由①知DE AE BE ⋅=2， DE AD 4=，∴DE AE 5=， BD ·AD DE CD ⋅=得5454222==⋅=⋅⋅DE DE BE AD DE CEBE CD BD∴以CECD BEBD ⋅为根的方程为054642=+-x x . [课堂小结]1．圆幂定理是解决圆中比例线段的基本工具，也是作辅助线证题解答的基本出发点.2．“圆内相交相交弦，圆外相交切割线”是圆中比例线段求解与证明的关键.3．本节知识运用了转化的数学思想，同时渗透了函数，方程的思想.[课后测评] 一、选择题1．如图1，两圆相交于A ，B 两点，过点B 的直线与两圆分别交于C ，D 两点，若 ⊙O 的半径为5，⊙O 2的半径为2，则AC ：AD 为（ ）A ．52:3B ．3:52C ．5:2D ．2:52．圆内两弦AB ，CD 相交于点P ，PA=3，PB=4，3:1:=PD PC ，则CD 等于（ ） A ．12 B ．8 C ．4 D ．23．如图2，已知四边形AB ＣＤ外接⊙O 外接⊙O 的半径为5，对角线AC 与BD 的交点为E 且AC AE AB ⋅=2，BD=8，则ABD ∆的面积为（ ）A ．16B ．8C ．4D ．24 A A D C C B B C P C B D D DA如图1 如图2 如图3 如图4 L 二、填空题4．如图3，BC 是⊙O 直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ，若3:2:=DB AD ，AC=10，则=B sin .5．如图4⊙A 、⊙B 外切于点C ，它们的半径分别为4和1，直线l 与⊙A 、⊙B 都相切，则直线AB 与A C 所成锐角的正弦值是 . 三、解答题6．如图，⊙O 与⊙O 1相交于点A ，B ，⊙O 过O 点，P 为⊙O 1上一点，连结OA ，PA ，PO 交AB 于C 点，交⊙O 于D 点.（1）求证：OP OC OA ⋅=2；（2）若4=PD ，2=CD ，求OC 长.O7．如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点P ，AB 是两圆的外公切线，A ，B 为切点，AB 与O 1O 2的延长线相交于点C ，AC CE ⊥，AP 的延长线交⊙O 2（1）求证：AC AB AE AP ⋅=⋅；（2）求证：CP （3）若2,34==PD AB ，求CECB 的值.8．如图，过∠BAC 顶点A 作⊙O,交角的两边于点B ，C ，交该角的平分线于点D ，DE 切⊙O 于点D ，交AC 边于点E . （1）求证：CE AB BD ⋅=2（2）若23=BD ，12=+CE DE ，23=AC AB ，求DE 的长。
