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必修二模块综合测评(一)限时：120分钟满分：150分答题表1．下列说法中正确的是()A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等2．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段()A．平行且相等B．平行不相等C．相等不平行D．既不平行也不相等3．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则P A与对角线BD的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直相交D．异面垂直4.已知M、N分别是正方体AC1的棱A1B1、A1D1的中点，如图是过M、N、A和D、N、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为()5．设长方体的对角线长是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是()A.39B．8 2C．8 3 D．16 36．已知点A、B、C、D为同一球面上的四点，且AB＝AC＝AD ＝2，AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，则这个球的表面积是() A．16π B．20πC．12π D．8π7．一圆过圆x2＋y2－2x＝0与直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是()A．x2＋y2－4x－4y＋6＝0B．x2＋y2＋4y－6＝0C．x2＋y2－2x＝0D ．x 2＋y 2＋4x －6＝08．设直线过点(0，a )，其斜率为1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则a 的值为( )A ．±4B ．±2 2C ．±2D ．±29．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值等于( )A.14B.34C.32D ．210．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11.在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BB 1＝4，长为1的线段PQ 在棱AA 1上移动，长为3的线段MN 在棱CC 1上移动，点R 在棱BB 1上移动，则四棱锥R －PQMN 的体积是( )A ．12B ．10C ．6D ．不确定12．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞二、填空题(每小题5分，共20分)13．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于________．答案1．B 2.A3．D 菱形ABCD 中，AC ⊥BD .又PC ⊥平面α. ∴PC ⊥BD ，∴BD ⊥平面P AC . 又P A ⊂平面P AC ，∴BD ⊥P A .显然P A 与BD 异面，故P A 与BD 异面垂直． 4．B 由正视图的性质知，几何体的正投影为一正方形，正面有可见的一棱和背面有不可见的一棱，故选B.5．B 设长方体的过一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，并且长为a ，b 的两条棱与对角线的夹角都是60°，则a ＝4cos60°＝2，b ＝4cos60°＝2.根据长方体的对角线性质，有a 2＋b 2＋c 2＝42，即22＋22＋c 2＝42.∴c ＝2 2.因此长方体的体积V ＝abc ＝2×2×22＝8 2.6．C 把这四点再补四点可作为一个正方体的顶点，则这八个顶点都在球面上，球为正方体的外接球，所以23＝2R ，R ＝3，S ＝4πR 2＝12π，故选C.7．B 设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋λ(x ＋2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋(λ－2)x ＋2λy －3λ＝0.依题意，－λ－22＝0，λ＝2. 故圆的方程为x 2＋y 2＋4y －6＝0. 8．C9．B y －2x －1表示圆x 2＋y 2＝1上的点P (x ，y )与A (1,2)连线的斜率．由A (1,2)作圆的两条切线，较小的斜率即为所求．10．C 圆心(3,3)到直线3x ＋4y －11＝0的距离为d ＝|3×3＋4×3－11|5＝2，圆的半径是3. ∴圆上的点到直线3x ＋4y －11＝0的距离为1的点有3个． 11．C 设四棱锥R －PQMN 的高为d ，则d ＝322，S四边形PQMN＝12(1＋3)×32＝62，V R －PQMN ＝13S 四边形PQMN ·d ＝13×62×322＝6，故选C.12．B ∵y (y －mx －m )＝0， ∴y ＝0或y －mx －m ＝0.当y ＝0时，显然与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需y －mx －m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，且m ≠0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －mx －m ＝0，x 2＋y 2－2x ＝0，消去y ，得关于x 的一元二次方程，再令Δ>0，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33.13.16π3解析：由三视图知该几何体是半径为2的半球，所以其体积为12×43π×23＝16π3.14.直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点且|AB |＝23，则实数a ＝________.15．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________．16.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是________．①CC1与B1E是异面直线；②AC⊥平面ABB1A1；③AE与B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1；④A1C1∥平面AB1E.三、解答题(写出必要的计算步骤，解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)已知一个组合体的三视图，如图所示，请根据具体的数据，计算该组合体的体积．18．(12分)在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠BAC 的角平分线所在的直线方程为y ＝0.若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．答案14.0解析：因为圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝2，且|AB |＝23，故圆心到直线的距离d ＝r 2－(|AB |2)2＝4－(3)2＝1，即|a －2＋3|a 2＋1＝1，所以|a ＋1|＝a 2＋1，平方得a 2＋2a ＋1＝a 2＋1，解得a ＝0.15．(π－2)4π解析：设圆柱形水桶的底面半径为R ，高为h ，桶直立时，水的高度为x .横放时水桶底面在水内的面积为(14πR 2－12R 2)，水的体积为V 水＝(14πR 2－12R 2)h .直立时水的体积不变，则有V 水＝πR 2x ， ∴x h ＝(π－2)4π. 16．③解析：①中，直线CC 1与B 1E 都在面BCC 1B 1中，不是异面直线；②中，面ABC ⊥面ABB 1A 1，而AC 与AB 不垂直，则AC 与平面ABB 1A 1不垂直；③中，AE 与B 1C 1不平行也不相交，是异面直线，又由已知得面ABC ⊥面BCC 1B 1，由△ABC 为正三角形，且E 为BC 的中点知AE ⊥BC ，所以AE ⊥面BCC 1B 1，则AE ⊥B 1C 1；④中，A 1C 1与平面AB 1E 相交，故错误．17．解：由三视图可知此组合体的结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部也是一个圆柱，由题图中的尺寸可知：V 圆锥＝13πr 2h 1＝13π×22×2＝8π3，V 圆柱＝πr 2h 2＝π×22×10＝40π，V 圆柱′＝πr 2h 3＝π×42×1＝16π，所以此组合体的体积为V ＝8π3＋40π＋16π＝1763π.18．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.所以点A 的坐标为(－1,0)．所以直线AB 的斜率k AB ＝1，又x 轴是∠BAC 的角平分线，所以k AC ＝－1，则AC 边所在直线的方程为y ＝－(x ＋1)． ① 又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0， 故直线BC 的斜率k BC ＝－2， 所以BC 边所在的直线方程为 y －2＝－2(x －1)． ②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6，即点C 的坐标为(5，－6)．19.(12分)已知圆C 经过A (2,4)、B (3,5)两点，且圆心C 在直线2x －y －2＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋3与圆C 总有公共点，求实数k 的取值范围．20．(12分)如图，AA 1B 1B 是圆柱的轴截面，C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，AA 1＝AB ＝2.(1)求证：平面A 1AC ⊥平面BA 1C ；(2)求VA 1－ABC 的最大值．答案19.解：(1)由于AB 的中点坐标为(52，92)，k AB ＝1，则线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－x ＋7，圆心C 是直线y ＝－x ＋7与直线2x －y －2＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋7，2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，即圆心C (3,4)， 又半径为|CA |＝(2－3)2＋(4－4)2＝1，故圆C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1.(2)圆心C (3,4)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3k －4＋3|1＋k2，由题意d ≤1，化简得4k 2－3k ≤0，解得0≤k ≤34. 20．解：(1)证明：∵C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，且AB 为底面圆的直径，∴BC ⊥AC .又AA 1⊥底面ABC ，∴BC ⊥AA 1，∴BC ⊥平面A 1AC .由面面垂直的判定定理知，平面A 1AC ⊥平面BA 1C .(2)在Rt △ACB 中，设AC ＝x ，则BC ＝AB 2－AC 2＝4－x 2(0<x <2)．故VA 1－ABC ＝13S △ABC ×AA 1＝13×12AC ×BC ×AA 1＝13x 4－x 2(0<x <2)．VA 1－ABC ＝13x 4－x 2＝13x 2(4－x 2) ＝13－(x 2－2)2＋4.∵0<x <2，∴0<x 2<4.∴当x 2＝2，即x ＝2时，VA 1－ABC 的值最大，即(VA 1－ABC )max ＝23.21.(12分)已知动点M 到点A (2,0)的距离是它到点B (8,0)的距离的一半，求：(1)动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)求证：PB∥平面ACM；(2)求证：AD⊥平面P AC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．答案21.解：(1)设动点M (x ，y )为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合P ＝{M ||MA |＝12|MB |}．由两点间距离公式，点M 适合的条件可表示为(x －2)2＋y 2＝12(x －8)2＋y 2.平方后再整理，得x 2＋y 2＝16.可以验证，这就是动点M 的轨迹方程．(2)设动点N 的坐标为(x ，y )，M 的坐标是(x 1，y 1)．由于A (2,0)，且N 为线段AM 的中点，所以x ＝2＋x 12，y ＝0＋y 12.所以有x 1＝2x －2，y 1＝2y .①由(1)知，M 是圆x 2＋y 2＝16上的点，所以M 的坐标(x 1，y 1)满足x 21＋y 21＝16.②将①代入②整理，得(x －1)2＋y 2＝4.所以N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．22．解：(1)证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .(2)证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面P AC .(3)取DO 的中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝12PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 即是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12，所以DO ＝52，从而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝154＝455， 即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455.。
