九年级数学 与圆有关的比例线段例题解析

27.7与圆有关的比例线段前面，我们已经学习了和圆有关的角，现在我们通过圆内一点引圆的两条弦，他们之间又有什么关系呢？实际上，它们之间存在着数量关系．如图27.7.1，从⊙O 内一点P 引圆的两条弦AB ,CD ，我们称它们为相交弦，这时，各弦分别被P 点分成两条线段，只要联结AD ,BC ，我们马上发现这四条线段在两个△P AD 和△PBC 中，容易证得，△P AD ∽△PBC ，于是得到了PB PD PC PA =，转化成乘积式后为PD CP PB AP ⋅=⋅，便得到相交两条弦的重要性质．相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等．当圆的两条相交的弦在特殊位置时，如图27.7.2，AB 是直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，则CP =PD =21CD ,这时2CP PB AP =⋅．也就是说，如果弦和直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所得两条线段的比例中项．再来讨论两条割线相交于圆外一点时的有关比例线段．如图27.7.3，⊙O 的两条割线P AB 、PCD 交于圆外一点P ，得弦AB 、CD 以及有关线段P A 、PB 、PC 、PD ．由相交弦定理，能否也有PD CP PB AP ⋅=⋅．类似于相交弦定理的推导，可得同样结论．如图27.7.4，分别联结AD 与BC ，∵∠ADC 与∠ABC 所对的弧是AC ，∴∠ADC =∠ABC ．又∵∠P =∠P ，∴△P AD ∽△PCB ．∴PBPD PC PA =．∴PD PC PB PA ⋅=⋅． 于是，得到如下定理：割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段的积相等． 如果两条割线中的一条变为切线呢？又能得到什么结论？如图27.7.5，过⊙O 外一点P 引圆的一条割线P AB 和切线PC ，得弦AB 以及有关线段P A 、PB 、PC ．它们有怎样的关系呢？如图27.7.6，分别联结AC 与BC ．∵∠ACP 与∠ABC 所对的弧是AC ，PC 切⊙O 于点C ，∴∠ACP =∠ABC ．又∵∠P =∠P ，∴△P AC ∽△PCB ∴PB PC PC PA =． ∴PB PA PC ⋅=2．于是得到以下定理：切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项． 例1 AB 为⊙0直径，点C 在⊙O 上，过点C 引直径AB 的垂线，垂足为D ，点D 分这条直径为2：3的两部分，如果⊙O 的半径等于5，求BC 的长．解 如图27.7.7，延长CD 交⊙O 于点E ，设AD =2x ，则BD =3x （或AD =3x ，BD =2x ）．∵r =5，∴AB =10．∴2x +3x =10．即x =2．∴AD =4（或AD =6）．当AD =4时，BD =6；当AD =6时，BD =4．由相交弦定理，得BD AD ED CD ⋅=⋅．∵直径AB ⊥CE ．∴CD =ED ．∴BD AD CD ⋅=2．∴6264=⨯=CD ．当BD =6时，BC =1523624=+；当BD =4时，BC =1021624=+．例 2 已知：如图27.7.8，AE ⊥BC 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，AE 、BD 相交于点F ，求证：BD BF AE AF AB ⋅+⋅=2．证明 作△BEF 的外接圆，设圆心为0，交AB 于M ．联结FM ，由切割线定理，得AB AM AE AF ⋅=⋅． ∵∠BEF =90°，∴BF 是⊙0的直径．∴∠BMF =∠BDA ．∵∠FBM =∠ABD ．∴△BMF ∽△BDA ． ∴BD BM AB BF =, 即BM AB BD BF ⋅=⋅． ∴2AB BM AB AB AM BD BF AE AF =⋅+⋅=⋅+⋅例3 已知：如图27.7.9，P 是平行四边形ABCD 的边AB 的延长线上一点，DP 与AC 、BC 分别交于点E 、F ，EG 是过B 、F 、P 三点的圆的切线，G 为切点．求证：EG =DE ．证明 ∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△CEF ．∴DE :EF =AE :EC ． ①又∵AP ∥DC ，∴△AEP ∽△CED ．∴AE :EC =EP :DE ． ②由①、②得，DE :EF =EP :DE ；即EP EF DE ⋅=2．而EG 是过B 、F 、P 三点的圆的切线，EFP 为此圆的割线∴EP EF EG ⋅=2．∴22EG DE =．∴DE =EG练习27．7（1）1．如图，⊙0的直径AB =10，P 是OA 上一点，弦MN 过点P ，且AP =2，MP =22，求弦心距OQ ．2．已知：如图，AB 是⊙0的直径，P 是⊙0外一点，PD ⊥AB 于D ，交⊙0于E ，P A 交⊙0于C ，BC 交PD 于F ．求证：DP DF DE ⋅=2．3．已知：如图，AB 是⊙0的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，弦AQ 交CD 于点P ．如果AB =10．CD =8，求：（1）DE 的长；（2）AE 的长；（3）AQ AP ⋅的值．4．如图，A 、B 、C 、D 在同一圆上，BC =CD ，AC 、BD 交于E ．若AC =8，CD =4，且线段BE 、ED 为正整数，求BD 的长．5．如图，P AB 为过圆心O 的割线，且P A =OA =4，PCD 为⊙0的另一条割线，且PC =DC ．求：（1）PC 的长；（2）S △P AC :S △PDB ．6．已知：△ABC 是⊙0的内接三角形，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙0于E ．求证：DC BD AD AC AB ⋅+=⋅2过一点P 做与圆有关的两条直线，点P 与圆的不同位置有两种：当点P 在圆内时，这两条直线分别交圆于A 、B 和C 、D ，则PD PC PB PA ⋅=⋅，这就是相交弦定理，如图27.7.10（1）．当点P 在圆外时，分两种情况：（1）这两条直线与圆都有两个交点，分别为A 、B 与C 、D ，则PD PC PB PA ⋅=⋅称作割线定理，如图27.7.10（2）（2）当这两条直线中一条与圆有两个交点，另一条只有一个交点（切点）M 时，得到割线定理：2PM PB PA =⋅相交弦定理、切割线定理及切割线定理的推论（割线定理），我们统称为圆幂定理．圆幂定理在形式上也可以进一步统一．如图27．7．10（3），点P 在圆内时，像所做的虚线那样，联结OP ，过点P 作弦EF ⊥OP ，交圆于E 、F ，由于PE =PF ，故222-OP r PF PF PE PD PC PB PA ==⋅=⋅=⋅，其中r 为⊙0的半径．如图27．7．10（4），点P 在圆外时，联结OM 、ON 、OP ，有222r OP PM PN PM PD PC PB PA -==⋅=⋅=⋅．综上所述，圆幂定理可以统一为|-|22OP r PB PA =⋅．换言之，圆幂定理可叙述为：通过不在⊙0上一定点P 向⊙0任作一直线交⊙0于A 、B 两点，则有|-|22OP r PB PA =⋅（22-OP r 叫做点P 对于⊙0的幂）．圆幂定理揭示了园中线段的比例关系，对于涉及相交弦，切割线的有关计算，常可利用圆幂定理去求．例1 如图27.7.11，AB 是⊙0的直径，AC 是⊙0的切线，A 为切点，割线CDF 交AB 于E ，并且CD :DE :EF =1:2:1，AC =4，求⊙0的直径AB ．解 设CD =k ，则DE =2k ，EF =k ，CF =4k ，由切割线定理，有CF CD AC ⋅=2． ∴k k 442⋅=，k =2．∴CE =6，DE =4，EF =2．在Rt △ACE 中，由勾股定理， 有52462222=-=-=AC CE AE ．根据相交弦定理，得EF DE EB AE ⋅=⋅．∴2452⨯=⋅EB ，554=EB ．。

初三数学圆中比例线段【本讲主要内容】圆中比例线段包括圆中相似三角形，得出成比例线段。

【知识掌握】 【知识点精析】1. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

2. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角。

3. 过切点的半径垂直于切线。

4. 相似三角形的判定： （1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

【解题方法指导】例1. 已知：如图，AB 是圆O 直径，C 是圆O 上一点，CD ⊥AB 于D 。

求证：（1）AB AD AC 2⋅=； （2）BD BC 2=（3）AD CD 2=分析：由AB 图形”欲证AD AC 2=CD AB BD BC 2⋅=，证明：（1）∵AB 是圆O 直径， ∴∠ACB ＝90°又CD ⊥AB∴∠ADC ＝90° ∴∠ACB ＝∠ADC ∵∠CAD ＝∠CAB ∴△ABC ∽△ACDADACAC AB =∴AB AD AC AC ⋅=⋅∴即AB AD AC 2⋅= （2）∵AB 是圆O 直径， ∴∠ACB ＝90° 又CD ⊥AB ， ∴∠CDB ＝90° ∴∠ACB ＝∠CDB 又∠CBD ＝∠CBA ∴△ABC ∽△CBDAB BD BC BC BDBCBC AB ⋅=⋅∴=∴即AB BD BC 2⋅= （3）∵AB 是圆O 直径 ∴∠ACB ＝90° ∵CD ⊥AB∴∠ADC ＝∠CDB ＝90° ∠ACD ＝∠CBD ∴△ACD ∽△CBDCDADBD CD =∴DB AD CD CD ⋅=⋅∴ 即DB AD CD 2⋅=评析：当题目中给出等积式时，通常的办法先改写成比例式，再找出它们所在的两个三角形，通过证它们相似加以解决。

初三数学 有关圆的经典例题1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。

132O AB AC BAC分析：根据题意,需要自己画出图形进行解答,在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。

解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示,过O 作OD ⊥AB 于D,过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE ====323222∵，∴∠，OA OAD AD OA ===132cos cos ∠OAE AE OA ==22∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示,同理可知∠OAD=30°,∠OAE=45°， ∴∠BAC=15°点拨:本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。

例2。

如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R,⊙O 与AC 交于D ，如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ⋂（1）求证：△ABC 是直角三角形；()22求的值AD BC分析：()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ⋂则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线；（2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°,DE ⊥AB,∴△ADF∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC22122===解：（1）证明,作直径DE 交AB 于F ，交圆于E∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ⋂=又∵AD=DC∴∥，DF BC DF BC =12∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。

(2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90°而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA∴，即·AD DE DFADAD DE DF ==2∵，DE R DF BC ==212∴·，故AD BC R AD BCR 22==例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么( ）A AB CD B AB CD ..⋂>⋂⋂<⋂22C AB CD D AB CD ..⋂=⋂⋂⋂22与的大小关系不确定分析：要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：AB CD ⋂⋂2()112把的一半作出来，然后比较与的大小。

第十六讲和圆有关的比例线段【趣题引路】某建筑物上装有一块长方形广告牌,上下边相距5m,下底边距离地面5.6m.•如果人的眼部高度为 1.6m,那么从远处正对广告牌走近时,看广告牌效果最好的位置距该建筑物多远?解析广告牌AB在视线的水平线DF之上.如图,因此,可过AB•两点作一个圆,使圆与DF相切,这时可看到,当人从远处走来时,人眼在DF的水平线上,除D点外,•DF上的其余各点都在圆外 ,则当人走到DE处时∠ADB最大,看广告效果最好.那么如何求出CE的距离呢?由切割线定理可知,DF2=BF·AF,且CE=DF,因此,很容易得到D F2=4×9=36,∴DF=6(m)即人距离广告牌6m左右看广告牌的效果最好.【知识延伸】过一点P作与圆有关的两条直线,点P与圆的不同位置有两种:1.当点P在圆内时,这两条直线分别交圆于A、B和C、D,则PA·PB=PC·PD,•这就是相交弦定理,如图1.（1） (2) (3)2.当点P在圆外时,分两种情况:(1)这两条直线与圆都有两个交点,分别为A、B与C、D,则PA·PB=PC·PD 称作割线定理:如图2.(2)当这两条直线中一条与圆有两个交点,另一条只有一个交点(切点)M 时,得切割线定理:PA ·PB=PM 2.相交弦定理、切割线定理及切割线定理的推论(割线定理),•我们统称为圆幂定理.圆幂定理在形式上也可以进一步统一.如图3,点P 在圆内时,像所作的虚线那样,连OP,过点P 作弦EF ⊥OP,交圆于E 、F,由于PE=PF,故PA ·PB=PC ·PD=PE ·PF=PF 2=r 2-OP 2,其中r 为⊙O 的半径.如图4,点P 在圆外时,连OM 、ON 、OP,有 PA ·PB=PC ·PD=•PM ·PN=P M 2=OP 2-r 2. 综上所述,圆幂定理可以统一为PA ·PB=│r 2-OP 2│.换言之,•圆幂定理可叙述为:通过不在⊙O 上一定点P 向⊙O 任作一直线交⊙O 于A 、B 两点,则有PA ·PB=│r 2-OP 2│.(r 2-OP 2叫做点对于⊙O 的幂).圆幂定理揭示了圆中线段的比例关系,对于涉及相交弦,切割线的有关计算,•常可利用圆幂定理去求.例1 已知,如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,A 为切点,割线CDF 交AB 于E,并且CD:DE:EF=1:2:1,AC=4.求⊙O 的直径AB.解析 设CD=k,则DE=2k,EF=k,CF=4k.由切割线定理,有AC 2=CD ·CF.∴42=k ·4k,•k=2. ∴CE=6,DE=4,EF=2.在Rt △ACE 中,由勾股定理,有AE=22CE AC -=2264-=25,根据相交弦定理,得AE ·EB=DE ·EF. ∴25·EB=4×2，EB=455。

《圆》经典例题分析总结经典例题透析1．垂径定理及其应用在圆这一章中，涉及垂径定理的有关知识点很多，如弓形中的有关计算、切线的性质、判定定理等，也是在各地中考中经常出现的一个考点.应用垂径定理可以进行线段的垂直、平分以及弓形面积的计算等.1．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1)请你补全这个输水管道的圆形截面图；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.总结升华：在解答有关圆的问题时，常需要运用图中已知条件寻找线段之间、角之间、弧之间的关系，从中探索出如等腰三角形、直角三角形等信息，从而达到解决问题的目的，此题还可以进一步求出阴影部分的周长或面积等.举一反三：【变式1】“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸2．圆周角及其应用圆周角与圆心角是本章中最常用的角，在中考中经常出现，一般单独考查它的题目不多，都是隐含在其他题目中.2．如图所示，△ABC内接于⊙O，点D是CA延长线上一点，若∠BOC=120°，∠BAD等于( )A.30°B.60°C.75°D.90°举一反三：【变式1】如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中与∠1相等的角有________________.【变式2】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，BC=4cm.(1)说明AC⊥OD；(2)求OD的长.3．切线的性质及判定涉及圆的切线的问题在各地中考中以各种题型出现，主要考查切线的识别方法、切线的特征以及对切线的应用能力，所以应认真理解有关切线的内容，并能用来解答实际问题.3．如图所示，直线MN是⊙O的切线，A为切点，过A的作弦交⊙O于B、C，连接BC，证明∠NAC=∠B.举一反三：【变式1】如图所示，DB切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM=________________.【变式2】如图所示，AB是⊙O的直径，是⊙O的切线，C是切点，过A、B分别作的垂线，垂足分别为E、F，证明EC=CF.4．如图所示，EB、BC是⊙O是两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A的度数是________________.答案：99°.解析：由EB=EC，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°，在⊙O中，∠BCD与∠A互补，所以∠A=180°-81°=99°.举一反三：【变式1】如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心、OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D.求证：DE∥OC；4．两圆位置的判定在各地中考试题中，单独考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的题目一般多以选择题、填空题为主，在解答题、探究题中也经常作为主要考查目标，这部分内容不仅考查基础知识，而且考查综合运用能力.5．填空题(1)已知圆的直径为13 cm，圆心到直线的距离为6cm，那么直线和这个圆的公共点的个数是______.(2)两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______________.【变式2】已知两圆的圆心距为3，的半径为1.的半径为2，则与的位置关系为________.【变式3】在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条5．弧长的计算及其应用6．如图所示，在正方形铁皮下剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图中所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径与扇形半径之问的关系为( )A. B. C. D.6．图形面积的计算及其应用与圆有关的图形面积计算问题有圆的面积、扇形面积、圆柱及圆锥的侧面积与全面积.考查题型以选择题、填空题、解答题为主，考查重点是对有关公式的灵活运用.其中是不规则图形面积的计算，应首先将其转化为规则图形，然后再进行.7．沈阳市某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A. B.72 C.36 D.727．圆与其他知识的综合运用8．如图所示，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向正东航行8海里到达C处后，又测得该灯塔在北偏东30°的方向，渔船如果不改变方向，继续向东航行，有没有触的礁危险？思路点拨：若渔船在向东航行的过程中的每一位置到A点的距离都大于7海里，则不会进入危险区域，所以只要计算航线上到A点最近的点与A点的距离.解：过点A作AD⊥BC交直线BC于D，设AD=x海里.∵∠ABD=90°-60°=30°，∠ACD=90°-30°=60°，∴AB=2x，AC=2CD.∴，，∴，.∵，∴，.即.这就是说当渔船航行到点D时，在以A为圆心、以7海里为半径的圆形暗礁内.所以，若不改变航向继续向正东航行，有触礁的危险.总结升华：解这类实际问题，只需求其最小值或最大值，与已知数据进行比较，从而得出正确的结论.9．小明要在半径为1 m、圆心角为60°的扇形铁皮中剪取一块面积尽可能大的正方形铁皮，小明在扇形铁皮上设计如图1和图2所示的甲、乙两种剪取方案，请你帮小明计算一下，按甲、乙两种方案剪取所得的正方形的面积，并估算哪个正方形的面积较大.(估算时取1.73，结果保留两个有效数字).思路点拨：要比较甲、乙两方案剪取的正方形的面积大小，关键在于求出边长.解：方案甲：如图，连接OH，设EF=x，则OE=2OF，，∴.在Rt△OGH中，OH2=GH2+OG2，即，解得.方案乙：如图所示，作于M，交于N，则M、N分别是和的中点，，连接.设，则，在中，，即，∴.若取，则，.∴x2>y2，即按甲方案剪得的正方形面积较大.总结升华：此类问题是生活中的一个实际问题，解决此类问题时，应先将实际问题转化为数学问题.10．已知射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.思路点拨：如图所示，连接OD，因为DE是⊙O的切线，故∠ODE=90°，又OA=OD，故∠A=∠ODA，∠OAP+∠OPD=90°，∠ODA+∠ADC=90°，故∠OPD=∠ADC=∠EDP，△DEP是等腰三角形.解：(1)在BF上取点P，连AP交⊙O于点D，过D作⊙O切线，交OF于E，如图即为所求.(2)∠EDP=∠DPE，或ED=EP或△PDE是等腰三角形.(3)根据题意，得△PDE是等腰三角形，∴∠EDP=∠DPE，∴，在Rt△OAP中，，∴，自变量x的取值范围是且.。

九年级数学和圆有关的比例线段例题讲解知识点、重点、难点在圆中，有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理统称圆幕定理。

1•相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。

推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。

2•切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。

3•与圆有关的比例线段问题的一般思考方法： (1)直接应用圆幕定理；(2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时，通常是由“三点定形法”证三角 形相似，其一般思路为等积式T 比例式T 中间比T 相似三角形。

圆幕定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系， 它们之间有着密切的联系， 我们应当熟悉以下基本图形。

例题精讲例1:如图，已知O O 与。

02相交于A 、B 两点，过点A 作O 的切线，交O 02于点C ,过点B 作两圆的割线 分别交O 0-\、O 02于点D 、E , DE 与AC 相交于点P.当AD 与O 02相切，且PA = 6 , PC=2, PD =12时，求AD 的长。

解 连结AB •因为CA 切O 01 ;于点A ,所以/ 1 =/D .又/仁/ E ,所以/ D= / E.又/ 2= / 3,所以△ APD即 PA • PE = PC • PD .因为 PA=6, PC=2, PD =12 ,得 6X PE=2X 12 ,得 PE =4.由相交弦定理得 PE • PB=PA • PC ,DE =DP + PE =12 + 4=16.因为 DA BO 02于点 A ，所以 DA 2 =2DB • DE ，即 AD =9X 16,得 AD = 12.证明 连结EF ，过B 、C 、E 三点作圆交 EF 于H ，连结CH .因为B 、C 、H 、E 共圆，所以/ 仁/ 2.因为A 、B 、2 2C 、D 共圆，所以/ 仁/3，于是/ 2 = / 3，故D 、C 、H 、F 共圆.由切割线定理得 EM =EC • ED =EH • EF , FN = FC • FB=FH • FE ,所以 EM 2 + FN 2 =(EH + FH) • EF =EF 2 .又因为 EM=EK , FN=FK ,所以 EK 2 + FK 2=EF 2 .故 △ EKF 为直角三角CPE ，所以PA PD PC PE所以 4PB=6X 2，得 PB=3.所以 BD = PD — PB=9, 例2:如图，已知圆内接四边形ABCD ，延长 AB 、 DC 交于E ,延长AD 、BC 交于F , EM 、FN 为圆的切线，分别以E 和F 为圆心、EM 和FN 为半径作弧，两弧交于形，且/ EKF =90。

专题22 与圆相关的比例线段阅读与思考比例线段是初中数学的一个核心问题.我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，我们可以利用相似三角形研究证明比例线段，在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上，在不同的图形中又发展为新的形式.在直角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系.在圆中，又有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系. 相交弦定理、切割线定理及其推论，它们之间有着密切的联系： 1．从定理的形式上看，都涉及两条相交直线与圆的位置关系；2．从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式. 熟悉以下基本图形和以上基本结论.TPBDCBAPP ADCBA例题与求解【例1】如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F .若DE =34CE ，AC =85，点D 为EF 的中点，则AB = . （全国初中数学联赛试题）解题思路：设法求出AE 、BE 的长，可考虑用相交弦定理，勾股定理等.例1题图 例2题图【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AC 、AB 都相切，又⊙O 与BC 的另一个交点为D ，则线段BD 的长为（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14（武汉市中考试题）解题思路：由切割线定理知BE 2=BD ·BC ，欲求BD ，应先求BE . 须加强对图形的认识，充分挖掘隐含条件.【例3】如图，AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于D ，DE ⊥AB 于E .已知AE ∶ EB =4∶ 1，CD =2，求BC 的长.（成都市中考试题）解题思路：由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识，寻找解题的突破口.【例4】如图，AC 为⊙O 的直径且PA ⊥AC ，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，DB DP =DC DO =23. （1）求证：直线PB 是⊙O 的切线； （2）求cos ∠BCA 的值.（呼和浩特市中考试题）解题思路：对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2），将问题转化为求线段的比值.P【例5】如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点.延长BC 至D ，使CD =BC ，CE ⊥AD 于E ，BF 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P .求证：PE =PC .（太原市竞赛试题）解题思路：易证PC 为⊙O 切线，则PC 2=PF ·PA ，只需证明PE 2= PF ·PA . 证△PEF ∽△PAE ，作出常用辅助线，突破相关角.B【例6】如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线. 过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O 于A 、B 两点，与ST 交于点C .求证：1PC =12（1PA +1PB ）.（国家理科实验班招生试题）解题思路：利用切割线定理，再由三角形相似即可证.能力训练A 级1．如图，PA 切⊙O 于A 点，PC 交⊙O 于B 、C 两点，M 是BC 上一点，且PA =6，PB =BM =3，OM =2，则⊙O 的半径为 .（青岛市中考试题） 2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，且AB =AC ，直径AD 交BC 于点E ，F 是OE 的中点.如果BD ∥CF ，BC =25，则CD = .（四川省竞赛试题）PAD（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）3．如图，AB 切⊙O 于点B ，AD 交⊙O 于点C 、D ，OP ⊥CD 于点P . 若AB =4cm ，AD =8cm ，⊙O 的半径为5cm ，则OP = .（天津市中考试题）4．如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，PA =4，PB =3，PC =6，EA 切⊙O 于点A ，AE 与CD 的延长线交于点E ，AE =25，那么PE 的长为 .（成都市中考试题）5．如图，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM =MC ，若AM =1.5，BM =4，则OC 的长为（ ） A ．2 6 B ． 6 C ．2 3 D ．2 2（辽宁省中考试题）MDCB AC（第5题图） （第6题图） （第7题图）6．如图，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD =13，PD =4，则两圆组成的圆环的面积为（ ）A ．16πB ．36πC ．52πD ．81π（南京市中考试题）7．如图，两圆相交于C 、D ，AB 为公切线，若AB =12，CD =9，则MD =（ ）A ．3B ．3 3C ．6D ．6 38．如图，⊙O 的直径AB =10，E 是OB 上一点，弦CD 过点E ，且BE =2，DE =22，则弦心距OF 为（ ） A ．1 B ． 2C ．7D ． 3（包头市中考试题）B（第8题图） （第9题图） （第10题图）9．如图，已知在△ABC 中，∠C =90°，BE 是角平分线，DE ⊥BE 交AB 于D ，⊙O 是△BDE 的外接圆. （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若AD =6，AE =62，求DE 的长.（南京市中考试题）10．如图，PA 切⊙O 于A ，割线PBC 交⊙O 于B 、C 两点，D 为PC 的中点，连结AD 并延长交⊙O 于E ，已知：BE 2=DE ·EA .求证：（1）PA =PD ；（2）2BP 2=AD·DE.（天津市中考试题）11．如图，△ABC 是直角三角形，点D 在斜边BC 上，BD =4DC .已知⊙O 过点C 且与AC 相交于F ，与AB 相切于AB 的中点G .求证：AD ⊥BF .（全国初中数学联赛试题）（第11题图） （第12题图）。

例 某机械传动装置在静止状态时，如图所示．连杆PB 与点B 运动所形成的交于点A ，测量得PA=4cm ，AB=5cm ，⊙O 半径为4.5cm ．求点P 到圆心O 的距离． 解：连结PO 并延长，交⊙O 于点C 、D ．根据切割线定理的推论，有PA ·PB=PC ·PD ．∵PB=PA+AB=4+5=9，PC=PO-4.5，PD=PO+4.5，∴94)5.4OP )(5.4OP (⨯=+-，25.565.2036OP 2=+=，∴OP=5.7±．又OP 为线段，取正数得OP=7.5（cm ）∴点P 到圆心O 的距离为7.5（cm ）． 说明：割线定理的在计算中的简单应用．例 已知：如图，AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上的一点，AB ＝10cm ，PA ＝4cm ，OP ＝5cm ，求⊙O 的半径．分析：由P 为AB 上的一点，且巳知PA 、PB 故联想到相交弦定理，所以需把OP 向两方延长，分别与圆相交，再利用相交弦定理解之．解：向两方延长OP ，分别交⊙O 于C 、D 由相交弦定理有： BP ·AP=CP ·DP设CO=x ，则 )5x )(5x (4)410(-+=⨯-解得：7x ±=，∵CO>0，∴CO=7（cm ）答：⊙O 半径为7cm ．说明：①相交弦定理的简单应用；②作辅助线构成基本图形．例 已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，BE 是角平分线，DE ⊥BE 交AB 于D ，⊙O 是△BDE 的外接圆。

（1）求证AC 是⊙O 的切线；（2）若AD=6，AE=62，求DE 的长。

证明（1）：连结OE∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠1=∠2，又∵∠BED=∠C=90°，∴△BCE ∽△BED ， ∴∠4=∠3，又∵OE=OB ，∴∠1=∠5，∴∠4+∠5=∠1+∠3=90°， ∴OE ⊥AC ，∴AC 是⊙O 的切线．（2）∵AE 是⊙O 的切线，AE=62，AD=6，∴AB AD AE 2⋅=，∴126)26(AD AE AB 22===． ∴BD=AB-AD=12-6=6∵∠AED=∠ABE ，∠A=∠A ，∴△AED ∽△ABE ，∴221226AB AE BE DE === 设DE=x 2，BE=2x ，∵222BD BE DE =+，∴36x 4x 222=+，DPB得6x ±=（负的舍去），∴3262DE =⋅=．说明：①此题主要应用：切线的判定定理，切割线定理、相似形以及勾股定理以及相似形； 此题是与切割线定理有关的计算综合问题．例 如图，PA 切⊙O 于A ，割线PBC 交⊙O 于B 、C 两点，D 为PC 的中点，连AD 并延长交⊙O 于E ，已知：EA DE BE 2⋅=． 求证：（1）PA=PD ；（2）DE AD BP 22⋅=．分析：（1）易证∠PAD=∠PDA ；（2）关键在于利用线段之间的关系、等式性质，证出PB=BD ． 证明：(1)连结AB在△DBE 和△BAE 中 ，∵EA DE BE 2⋅=，即BEEADE BE =， 又∠BED=∠AEB ，∴△DBE ∽△BAE ∴∠2=∠3∵PA 切⊙O 于A ，∴∠1=∠E又∠PAD=∠1+∠2，∠PDA=∠3+∠E ． ∴∠PAD=∠PDA ，∴PA=PD ． (2)由切割线定理知，PC PB PA 2⋅=，又PA=PD ，PD=DC ， ∴)BD PB (2PB )BD PB (2+⋅=+， ∴PB=BD ．又DC BD DE AD ⋅=⋅ (相交弦定理)， DC=2PB ，BD=PB ，∴DE AD BP 22⋅=．说明：本题应用的知识点有：切割线定理、相交弦定理、弦切角定理、相似角形，利用等式性质证明线段的中点．典型例题五例 （北京市宣武区，2002）已知：CF 是⊙O 直径，CB 为⊙O 的弦，CB 的延长线与过点F 的⊙O 的切线交于点P .（1）如图所示，若10,45=︒=∠PF P ，求⊙O 半径的长；E（2）如图所示，若E 为BC 上一点，且满足PC PB PE ⋅=2，连结FE 并延长交⊙O 于点A ，求证：点A 为的中点.分析：证明，可以有两种证法：一可以证明BC OA ⊥，由垂径定理即可证明结论，二可证明21∠=∠，由圆周角定理结论可证．解：（1）∵ CF 是⊙O 直径，PF 切⊙O 于点F ， ∴ PF CF ⊥.又,45︒=∠P,10,45==∴︒=∠∴PF CF C∴ ⊙O 的半径的长为5. （2）证法一：连结OA .∵ PF 为⊙O 切线，PBC 为⊙O 割线， ∴ PC PB PF ⋅=2. 又∵ PC PB PE ⋅=2， ∴ PE PF =.∴ P E F P F E ∠=∠. 又∵ CEA PFE ∠=∠，,,90,,.BC OA PFE OFA CEA A A OFA OA OF CEA PFE ⊥∴︒=∠+∠=∠+∠∴∠=∠∴=∠=∠∴ ∴ 点A 为中点.证法二：连结FB .同证法一可得 PE PF =， ∴ P E F P F E ∠=∠ ∵ PF 切⊙O 于点F ， ∴ C PFB ∠=∠，又2∠+∠=∠PFB PFE ，1∠+∠=∠C PEF ， ∴ 21∠=∠，∴， 即 点A 为中点.典型例题六例 （北京市崇文区，2002）已知：如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，AB PD ⊥于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连结CE 并延长CE 交⊙O 于点F ，连结AF .1．求证：PBD ∆∽PEC ∆；2．若32tan ,12=∠=EAF AB ，求⊙O 半径的长.证明：1．∵ P A 切⊙O 于点A ， ∴ .2PC PB PA ⋅=∵ O 在AE 上， ∴ .AE PA ⊥ ∵ AB PE ⊥于D ， ∴ PAD ∆∽.PEA ∆,11...,2∠=∠=∴⋅=⋅∴⋅=∴=∴PC PDPE PB PE PD PC PB PE PD PA PEPAPA PD ∴ PBD ∆∽PEC ∆.2．∵ PBD ∆∽PEC ∆，.//.3,2.32AF PE F F ∴∠=∠∴∠=∠∠=∠作AB OG ⊥于G ，则6122121=⨯==AB AG ， ∴ .,////EAF AOC FA ED OG ∠=∠∴在Rt AOG ∆中，.32tan ==∠OG AG AOG .9,326=∴=OG OG.13311796,22222==+=∴=+AO AO OG AG∴ ⊙O 的半径长为133.说明：这是一道综合性较强的几何题，对于几何题目难点是作辅助线。