第2讲 等差数列及其前n项和

第2讲等差数列及其前n项和

一、选择题

1． {a n}为等差数列，公差d＝－2，S n为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝( ) A．18 B．20

C．22 D．24

解析由S10＝S11得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.

答案 B

2．设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于( )．

A．6 B．7 C．8 D．9

解析由a4＋a6＝a1＋a9＝－11＋a9＝－6，得a9＝5，从而d＝2，所以S n＝－11n＋n(n－1)＝n2－12n＝(n－6)2－36，因此当S n取得最小值时，n＝6.

答案 A

3．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于()．A．－1 B．1 C．3 D．7

解析两式相减，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1.

答案B

4．在等差数列{a n}中，S15>0，S16<0，则使a n>0成立的n的最大值为

()．

A．6 B．7 C．8 D．9

解析依题意得S15＝15(a1＋a15)

2

＝15a8>0，即a8>0；S16＝

16(a1＋a16)

2

＝8(a1

＋a16)＝8(a8＋a9)<0，即a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使a n>0成立的n的最大值是8，选C.

答案C

5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )． A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

解析 由a 1＝1，公差d ＝2得通项a n ＝2n －1，又S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2，所以2k ＋1＋2k ＋3＝24，得k ＝5. 答案 D

6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n

＝7n ＋45

n ＋3，则

使得a n

b n

为整数的正整数的个数是

( )． A ．2 B ．3 C ．4

D ．5

解析 由A n B n ＝7n ＋45n ＋3得：a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1，要使a n

b n 为整数，则需

7n ＋19n ＋1

＝7＋

12

n ＋1

为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共有5个． 答案 D 二、填空题

7．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则

k ＝________.

解析 a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，

S k ＝k ＋

k k －1

2

×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.

答案 3

8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 3

9＝1，则公差为________． 解析 依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×2

2d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d 12－3a 1＋3d

9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案 6

9．在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小

值为________．

解析 (直接法)设公差为d ，则11(－3＋4d )＝5(－3＋7d )－13， 所以d ＝5

9

，所以数列{a n }为递增数列．

令a n ≤0，所以－3＋(n －1)·59≤0，所以n ≤32

5，

又n ∈N *，前6项均为负值， 所以S n 的最小值为－293

. 答案 －

29

3

10．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________． 解析 设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，

S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)

2＝(n ＋1)a n ＋1，

S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )

2＝na n ＋1，

∴S 奇S 偶＝n ＋1n ＝44

33，解得n ＝3，∴项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即

a 4＝44

－33＝11为所求中间项． 答案 11 7 三、解答题

11．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.

(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围． 解 (1)由题意知S 6＝

－15

S 5

＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，

所以⎩⎨

⎧

5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.

解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.

(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d

2

＋1＝0，

故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.

12．在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝S n n ＋c (n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？

若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由题设，知{a n }是等差数列，且公差d ＞0， 则由⎩⎨⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎨⎧

(a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18. 解得⎩⎨⎧

a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3(n ∈N *)．

(2)由b n ＝S n

n ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n ⎝ ⎛

⎭⎪⎫n －12n ＋c ，

∵c ≠0，∴可令c ＝－1

2，得到b n ＝2n . ∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．

即存在一个非零常数c ＝－1

2，使数列{b n }也为等差数列． 13．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .

解 (1)由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 可得{a n }是等差数列， 且公差d ＝a 4－a 14－1

＝2－8

3＝－2.