2.3等差数列的前n项和第一课时教案

n
nm
（3）在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
am+an=ap+aq
问题 1：
求和：1+2+3+4+‥ ‥ +99=？
问题2:
求和:1+2+3+4+…+n=?
记:Sn= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n 2 +1 Sn = n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 +
2Sn n(n 1)
2、利用 an：借助通项公式 an的正负情况与前 n项和S n的 变化情况， an 0且an 1 0
二.等差数列an 的首项a1 0, 公差d 0时，前n项和S n 有最小值
2 d 1、利用S n：S n d n ( a 1 2 )n.借助二次函数最值问题 2
2、利用 an：借助通项公式 an的正负情况与前 n项和S n的 变化情况， an 0且an 1 0
等差数列平均分组，各组之和仍为等差数列。
如果an 为等差数列 ，则S k , S 2k S k , S3k S 2k 也成等差数列。
新的等差数列首项为 Sk，公差为k d。
2
二、例题 例3.已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项 变式.在等差数列 an 中 ,已知第 1 项到第 10 项的和为 310 , 的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项 第 11 项到第 20 项的和为 910 , 求第 21 项到第 30 项的和 . 和的公式吗？ 解：依题意知，S10=310，S20=1220 得

前置作业： 1、 已知数列 an 是等差数列， a1 4, a8 18, n 8 ，求 S n
2、已知数列 an 是等差数列， a1 10, d 2, n 20 ，求 S n
研讨探究： 探究一：等差求和公式的推导(预习) 问题 1：计算 1 2 3 100 （思考：计算 1 2 3
2、已知数列 an 是等差数列， d 2, n 15, an 10 ，求 a1 及 S n
3、设 S n 施等差数列 an 的前 n 项和，若 S 5 25, S 10 100 ，求 an
当堂检测： 1、 （1）设 S n 施等差数列 an 的前 n 项和，已知 a2 3, a6 11 ，则 S 7
d=
总结反思：
101）
问题 2：计算 1 2 3
n
探究：数列 an 是等差数列， S n 是前 n 项和，则 S n a1 a2
an 怎么求？
探究二：求和公式的灵活应用 1、已知数列 an 是等差数列， a2 4, a7 18, n 8 ，求 S n （比较一下前置 1）
（2）若 an 中存在 am , an , ap , aq ，满足 m n p q ，则 （3）求和公式： S n = =
2、方法提点：灵活应用通项公式和求和公式解题。
重要例题示范： 例 已知数列 an 是等差数列， a5 10, S 5 30 ，求 S n
an a1 n 1 d a1 4d 10 a1 2 解：方法一：根据 ， n n 1 得： 5a 10d 30 ，解得 d d 2 1 S n a1n 2
数学学科讲学稿

99 an＝ 9×10n
n＝1 n≥2.
返回
在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
返回
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点击此图片进入 NO.1 课堂强化
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点击此图片进入 NO.2 课下检测
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1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
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nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
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[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
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[自主解答]
an＝a1＋n－1d， 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5， 解方程组得 a1＝3， n＝7， 或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
n
项 和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
返回
返回

的元素的个数，并求这些元素的和．
解答：假设a1=7，则d=7, an=7n<100. 由7n<100得最大正整数n为14， 所以元素的个数是14. 故S14=14×7+½(14×13×7)=1911, 即这些元素的和是1911.
□范例讲解 例3. 等差数列{an}的前n项和为Sn， 若S4＝16，S8＝64，求S12.
d 2 d S n n (a1 )n 2 2
用a1和an表示
☆能用基本量 a1和d表示吗？
二次函数形式
□范例讲解 例1. (1)已知等差数列{an}中，a1＝4，S8＝172，
求a8和d; (2)等差数列－10，－6，－2，2，…前多少 项的和是54？ n(a1 an ) (1)答案：a8=39，d=5; Sn
2
S n na1 n( n 1)d 2
(2)解答：
因为a1=-10，d=4, Sn=54, 则 Sn=na1+½n(n-1)d,即得n² -6n-27=0, 解得n=9. 所以前9项的和是54.
□范例讲解 例2. 求集合
M {m | m 7n, n N * 且m 100}
orLeabharlann n( n 1)d S n na1 2
2.等差数列的前n项和的性质：
在等差数列中， Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 也是等差数列.
课后作业
1. 课本P.40 第1题；
2. 作业本 1-9.
“倒序相加”法
□讲授新课 1. 数列的前n项和： 数列{an}中，
a1 a2 a3 an
称为数列{an}的前n项和，记为Sn.
Sn a1 a2 a3 an
2. 等差数列的前n项和公式

解法3： 解法 ：
设：∵S= 1+2+···+99+100 ,
S=100+99+···+2+1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+ ···+(99+2)+(100+1) =100× =100×101 s=100× s=100×(1+100)/2 ∴S=5050 .
算术法
解法1与解法2 解法1与解法2的比较
课
题
等差数列的前n 等差数列的前n项和 第一课时
三门中学
辛颖
2007 03 19
星期一
问题1 问题1
1+2+3+4+5+···+100=？
解法1: 解法1:
∵1+100=101， 2+99=101， 3+98=101 ， 4+97=101， ··· ， ··· ， 49+52=101，50+51=101. ∴1+2+3+4+5+···+100 =50×101 =5050.
公式的应用
例1.求和： 1.求和： 求和 （1） 101 + 100 + 99 + 98 + 97 + ⋯ + 64 ； （2） 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + (2n + 4)（结果用
n表示） 表示）
中前多少项的和是9900 9900？ 例2.等差数列 2, 4, 6,⋯ 中前多少项的和是9900？ 2.等差数列
高斯 德国著名数学家高斯 （Carl Friedrich Causs 1777年~1855 年 ），10岁时曾很快 年）， 岁时曾很快 求出它的结果！ 求出它的结果！

《等差数列前n项和公式》微课教案----天津市木斋中学王珏教材选自：普通高中课程标准试验教材数学（人教A版）《必修5》“§2.3等差数列前n项和”第一课时。

一、教学目标设计《课程标准》指出本节课的学习目标是：探索并掌握等差数列前n项和公式；能在具体的问题情景中，发现数列的等差关系并能用相关知识解决相应的问题。

考虑到学生的接受能力和课容量，本节课只要求学生探索并掌握等差数列前n项和公式，并会对公式进行简单的应用。

故结合《课标》的要求，我将本节微课的教学目标确定为：知识与技能：探索并掌握等差数列前n项和公式，会用公式解决一些简单的问题；方法与过程：通过对等差数列前n项和公式的探索，体会“从特殊到一般”的数学研究方法和数形结合的数学思想方法，学会观察、归纳、反思；情感、态度与价值观：让学生亲身经历知识的建构过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

二、教学重、难点：教学重点：能从具体实例中探索并掌握等差数列前n项和公式,并用其解决一些简单的问题。

教学难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。

三、课堂结构设计新课程提倡在教学过程中，学生是一个积极的探究者，教师的作用是创设问题情境，帮助学生在积极参与中遇水架桥、逢山开路。

因此，本节课设计了如下的课堂结构。

知三求二、渗透思想分析实例，感悟生活演练反馈、提升能力总结反思，深化认识布置作业，任务延伸四、教学过程设计结合本节课的特点，我主要安排了以下六个环节：(一)问题呈现阶段1、创设情境，提出问题——展示图片（印度的泰姬陵）泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰汗为纪念其爱妃所建，历时22年，它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见上右图），奢靡之程度，可见一斑。

欣赏完如此美的故事及图案，请问：你知道这个图案一共花了多少宝石吗？设计意图：源于历史，富有人文气息；图中算数，激发学生学习兴趣和探究欲望；承上启下，探讨高斯算法.2、自主探究，合作交流此时，教师先不参与，给学生一定的思考时间和思考空间，让学生自主活动。

附件 1-4
第二届湘西州中小学青年教师教学竞赛
教学设计表
学段：高中科目：数学编号：（组委会填写）
设计意图：培养学生观察、比较、分析、归纳等能力.
问题4、从方程的角度来看，可以解决什么问题？
学情预设：知三求一的问题
设计意图：培养学生用方程（组）思想分析问题、解决问题的能力。

问题5、如何更好的记忆公式？跟以前学过的什么公式类似呢？
引导学生回忆梯形的面积公式，并作出以下的分析
设计意图：培养学生类比、反思等思维能力.
设计意图：这些问题串的设计，是为了达到：数学公式课的教学，不仅要知道公式的来龙去脉，还要知道公式是什么，记住公式且挖掘公式的内涵与外延.更重要的是公式有何用，怎样用？让学生对公式课的学习有个系统、全面的认识，形成一套科学而有效的探究公式的方法.力求体现“授之于鱼，不如授之于鱼渔”的教学价值.
（五）剖析例题，理解巩固
例1、众所周知，中国的著名运动员姚明在篮球领域中取得了巨大的成就，他是整个中国的骄傲，甚至是整个亚洲的骄傲.但是同学们了解姚明刚去NBA时的辛酸吗？初到NBA，姚明为了更快的适应NBA 的高强度对抗，给自己指定了为期10天的投篮训练计划，从第一天到第十天的投篮个数依次如下表：
600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 请问：姚明这十天一共投了几个篮？
例2、求等差数列2、4、6、8、…、142的和.
设计意图：1、从数学知识角度出发：学生要达到会选用公式从。

等差数列的前n项和（第一课时）教学设计
【教学目标】
一、知识与技能
1.掌握等差数列前n项和公式；
2.体会等差数列前n项和公式的推导过程;
3.会简单运用等差数列前n项和公式。

二、过程与方法
1．通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法；
2. 通过公式的运用体会方程的思想。

三、情感态度与价值观
结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。

【教学重点】
等差数列前n项和公式的推导和应用。

【教学难点】
在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。

【重点、难点解决策略】
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。

利用数形结合、类比归
纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒
体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

【教学用具】
多媒体软件，电脑
【教学过程】
一、明确数列前n项和的定义，确定本节课中心任务:
1。

课题：2.2.3等差数列的前n项和授课教师：南京市金陵中学王友伟教材：苏教版必修5一．教学目标1.经历探索等差数列前n项和公式的过程，体会化归、分类讨论等数学思想，掌握倒序相加求和法，积累数学活动的经验；2．理解等差数列前n项和公式及不同形式，能够灵活选用恰当的形式解决问题；二．教学重难点重点：等差数列前n项和公式的推导难点：从图形直观的角度分析等差数列前n项和的公式．三．教学方法与教学手段启发式教学，探究式学习，多媒体辅助教学．四．教学过程1．创设情境，引入课题前面我们学习了数列，研究了一种特殊的数列——等差数列，与学生一起回顾等差数列中的相关知识．－a n＝d(n∈N) (a1是首项，d是公差，n是项数) 等差数列的定义：a n＋1等差数列的通项公式：a n＝a1＋(n－1)d(n∈N*，n≥2)[设计意图]通过复习，帮助学生梳理知识框架，教会学生掌握研究数学的一般方法，同时为接下来应用基本量分析具体的数列做铺垫.(播放阅兵视频)我们能否从数列的视角重新看我们的阅兵队列?[设计意图]紧贴时事与生活，在激发学生爱国热情的同时，让学生感受到数学来源于生活，教会学生用数学的眼光来重新观察世界，思考问题．给出视频中的几个队列变化的画面，抽象成点阵如下：以第三幅图中的蓝色区域为例，进行研究.问题1：对于这个方阵，你能用数列的观点发现问题、提出问题吗？[设计意图]让学生尝试着去寻找队列的人数与数列的关系，内化等差数列中的首项、项数、公差等概念，引导学生学会将实际问题中的数量用抽象的数学符号进行描述，进一步培养学生观察的能力，和从实际问题中抽象出数学知识的能力.同时，让学生自行提出问题进行研究，感受到研究等差数列的前n项和并不是“心血来潮”，而是有据可依．2．探索质询，追根溯源(1)构建研究方法问题2：如何求这个区域的总人数？(尝试用多种方法)(学生分组讨论，5分钟后小组汇报)S21＝3＋4＋…＋22＋23(预设方案1)从数的角度：3＋23＝4＋22＋…＝12＋143＋232×10＋13＝273(预设方案2)从数的角度：3＋22＝4＋21＝…12＋133＋222×10＋23＝273(预设方案3)从数的角度：S 21＝3＋4＋…＋22＋23S 21＝23＋22＋…＋4＋32 S 21＝(3＋23)＋(4＋22)＋…＋(22＋4)＋(23＋3)S 21＝3＋232×21 [设计意图]因为很多学生在小学的奥数中已经“学习”了等差数列的前n 项和的公式，但是对公式背后的意义并不是非常理解，尤其是对配对的思想更是一知半解，所以这个问题中设定了奇数项的等差数列求和，引导学生发现配对时可能出现不是整数对的情形，也为接下来的奇偶项的讨论和“倒序相加法”做好铺垫．(预设方案4)几何角度：切掉左边的两列S 21＝2×21+1+2+…+21=2×21+1+212×21(预设方案5)几何角度：切掉左边的三列S 21＝3×21+1+2+…+20=3×21+ (1+20)×10[设计意图]左边设置的常数列，让学生感受到相同的数相加可以转化成乘法，呼应了前面“配对”的思想．在学生已经拥有了“补”的方法后再抛出这一问题，比较自然的引出了“割”这样的方法，培养学生学会从几何角度给出不同的解释，也为等差数列前n 项和的第二种形式的推导做铺垫．[设计意图]这一环节的设计，让学生充分感受到可以从数和形两个角度对一个等差数列进行求和，经历自行动手推导的过程，感受配对思想在计算中的带来的便捷，同时感受到可以使用“割”“补”方法对其进行分析计算，为接下来探求一般的等差数列{a n }的前n 项和奠定基础．(2)自主探究 汇报交流问题3：如何推导出等差数列{a n }的前n 项之和S n 的公式?追问：对于一个数列，已知哪些量可以求和？①已知a 1，a n ，n ；②已知a 1，d ，n ．追问2：已知a 1，a n ，n ，如何推出？(小组讨论，5分钟后小组汇报)(预设方案1)S n ＝a 1＋a 2 ＋…＋a n －1＋a n ，①S n ＝a n ＋a n －1＋…＋ a 2 ＋a 1，②①＋②相加得： 2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)＝n (a 1＋a n )，所以S n ＝n (a 1＋a n )2．(预设方案2)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n(1)n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a n )＋( a 2＋a n －1)＋…＝( a 1＋a n )n 2＝n (a 1＋a n )2 (2)n 为奇数时，S n ＝(a 1＋a n )＋( a 2＋a n －1)＋ …＋an ＋12＝( a 1＋a n )n －12＋(a 1＋a n )2 ＝n (a 1＋a n )2[阶段总结]我们运用倒序相加法得到了等差数列前n 项和的公式，其中的配对思想就是数学中的化归思想，将不同的数转化成相同的数相加，从而可以将加法转化为成为进行计算．[设计意图]研究完具体数列的求和后，让学生将掌握的方法迁移到一般的等差数列{a n }中，继续内化“倒序相加法”，并用最后两个追问让学生真正理解为何要配对，为何能配对(要证明)． 追问4：已知a 1，d ，n ，如何推出？(预设方案3)S n ＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋ …＋[a 1＋(n －1)d ]＝na 1＋[1＋2＋…＋(n －1)]d＝na 1＋n (n －1)2d追问：能否找到几何解释所对应的图形[阶段总结]我们运用“切割法”(分组求和)的方法得到了等差数列前n 项和的公式的另外一种形式，其中d ＋2d ＋3d ＋……＋(n －1)d 还是化归成了1＋2＋……＋(n －1)的问题．[设计意图]从“割”的角度给出了公式的形象化解释，也让学生感受到等差数列的求和问题其实就可以划归为“1＋2＋……＋n ”的问题，体现出了化归的思想．追问：两个公式等价吗？[设计意图]通过这一问题，让学生观察两个公式的特点，进而发现两公式的区别，即公式①中出现a n ，而公式②中出现d ，为后面选择恰当的公式解决问题做好铺垫．同时，也让学生感受到公式①中的a n 是由a 1和d 决定的，体会a 1和d 两个基本量的地位与作用．追问：对比几种推导S n 的方法，你觉得哪种方法简洁？[设计意图]让学生重新回顾几种推导方法，经过对比发现，前几种配对的方法中，最简约的是倒序相加法，而已知a 1，d ，n 推导S n 的方法其实归根结底就是1＋2＋…＋n 的问题，而1＋2＋…＋n 问题最简约的解法还是倒序相加法．经过这样的分析，让学生明白，推导公式其实还是为了追求简约，追求简约是数学研究的一大基本原则.3．新知运用，巩固深化例1 在等差数列{a n }中，前n 项之和为S n .(1)已知a 1＝2，a 30＝90，求S 30；(2)已知a1＝5，d＝13，求S12.[设计意图]通过例题，让学生巩固公式，会根据题设条件合理地选用公式．通过追问，让学生体会n，a1，d，a n，S n这五个量，可以知三求二，从而加深学生对公式的理解与运用．同时，对于公式的选择，其原则还是追求简约.例2 求出下列各区域的总人数.重点讲最后的黑色区域(从不同的角度看不同的等差数列)[设计意图]让学生在具体的实例中使用刚才推导出的等差数列求和，熟悉公式，学以致用．4．概括知识，总结方法回顾与反思：这节课你学到了哪些知识，蕴含了哪些思想？5．分层作业，因材施教(1)巩固运用：P47 习题2.2(2)：1，2，3，4，5．(2)拓展思考：等差数列的通项公式a n可以看成关于n的函数，你能从函数的角度研究S n吗?[设计意图]分层布置作业，“巩固运用”面向全体学生，旨在掌握等差数列前n项和公式的应用．“拓展思考”为学生提供运用函数思想研究S n的机会．五．教学设计说明等差数列的前n项和的研究是在学生已经学习了等差数列的概念、通项公式等知识的基础之上，对等差数列这一特殊数列更深层次的探索和研究．任何一章知识的学习都应符合学生的认知规律，尊重学生已有的知识储备，尤其对于等差数列的前n项和的公式而言，很多学生在小学就已经从课外得知了这一公式，所以在进行知识呈现时，教师不可完全照本宣科，而需要从全新的角度切入，引导学生重新审视原有知识架构中“冰冷”的公式，带领学生揭开公式的“神秘面纱”，剖析公式推导过程中每一步所暗含的数学思想，这样才能抓住学生，让学生参与到课堂中来．本节课从时事——今年是中华人民共和国成立70周年出发，从学生们喜爱的阅兵式入手，让学生探索队列人数与数列间的关系，感受到数学来源于生活，引导学生学会用数学的眼光看世界．整节课的设计将几何中的“割补”法作为背景，结合多媒体的使用，分别从对数的角度“配对”和从形的角度“割补”进行交叉对比，让学生学会将已有的知识和研究手段迁移到新知识的学习中，让学生经历了从数到形，再从形到数的渐进过程，找到前n项和公式的两种形式的几何支撑，加深对于抽象公式的形象化理解，在获得新知的过程中体会了数形结合、化归、分类讨论等基本思想方法．例题的设置呼应了公式的两种形式，让学生在解题时体会如何选择合适的公式，也让学生在选择中体会两种公式间的联系，而公式的选用也是为了追求简约。

高一数学集体备课学案与教学设计
章节标题 学案作者
推导过程：
S n a1 a2 a3 an1 an
①
S n an an1 an2 a2 a1 ②
§2.3 等差数列的前 n 项和
李旭红 学案审核
计划学时 郝艾
3
①+②： 2S n (a1 an ) (a2 an1 ) (a3 an2 ) (an a1 ) ∵ a1 an a2 an1 a3 an2 ∴ 2S n n(a1 an ) 由此得： S n
三维目标
一、知识与技能：掌握等差数列前 n 项和公式的推导方法；掌握公式以及性质 的运用 二、过程与方法 1. 通过公式的探索与发现，在知识发生、发展及形成过程中培养学生观察、 联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。 2.通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学 生分析问题和解决问题的能力。 三、情感态度与价值观 通过具体的现实问题，激发学生探究的兴趣，树立求真的勇气和自信心，增强 热爱数学的情感。 教学重点：掌握等差数列前 n 项和公式的推导和相关性质的应用。 教学难点：等差数列的前 n 项和公式推导
课后作业
4
例1: 等差数列 an , S m 30, S 2m 100, 求S3m
（2） an 前n项和为 S n , bn 前n项和为 Tn ，前n项和之比为 练习：设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7＋a8＋a9＝( A．63 B．45 C．36 D．27 )
*
★ 性质5、等差数列 an 中，若前n项和为 S n , 则
例3：等差数列 an ， a5 a2 a9 ，求 S11

[等差数列前n项和公式]等差数列前n项求和公式教案篇一: 等差数列前n项求和公式教案教学设计：§2.3 等差数列的前n项和学习目标1. 通过预习课本42页，小组讨论，能说出等差数列前n项和公式的获取思路；2. 通过同桌互相提问，会背等差数列前n项和公式3. 通过例题及巩固训练会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.学习重点：等差数列前项和公式的推导及简单应用；学习难点：等差数列前项和公式的推导思路的获得。

[］评价设计：通过观察、阅读教材在学习小组内同桌互相口述等差数列求和公式证明的思路，准确记忆等差数列的前n项和求和公式。

运用教师提供的选择性评价，请同伴评价自己的学习效果，并进行自我评价，从而调整自己的学习进程。

1、对于目标1，通过课堂提问，要求学生叙述的关键词准确。

达标率100％2、对于目标2，通过课堂提问，要求学生表达的数学式子完整准确。

达标率100％3、对于目标3，通过学生练习。

达标率80％学习过程一、知识准备等差数列的通项公式是什么？二、新课导学创设情景:如图,一个堆放钢管的V形架的最下面一层放一根钢管,往上每一层都比它下面一层多放一根钢管,最上面一层放100根,这个V形架上共放着多少根钢管?自主探究：特殊的等差数列前n项和公式预习课本42页回答以下问题1. 计算1+2+…+100=?2. 如何求1+2+…+n=?新知：数列{an}的前n项和：一般地，称为数列{an}的前n项的和，用Sn表示，即Sn?合作探究：一般的等差数列前n项和公式①如何求首项为a1，第n项为an的等差数列{an}的前n项的和?②如何求首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项的和?小结：n，必须具备三个条件：. 2nd2. 用Sn?na1?，必须已知三个条件：21. 用Sn?完成目标1及目标2※典型例题例2. 等差数列?an?中，已知d?20,n?37,Sn?629，求a1和an24例3 已知等差数列5，4 ，3 ， (77)求数列｛an｝的通项公式；125数列｛an｝的前几项和为？7Sn的最大值为多少？并求出此时相应的n的值小结：等差数列前n项和公式就是一个关于an、a1、n或者a1、n、d的方程，可以做到知三求一，另外体现函数与方程思想。

(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错． (2)在书写{an}的通项公式时，务必验证 n＝1 是否满足
an(n≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用 an＝
S1 n＝1 Sn－Sn－1n≥2
表示．
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【变式】 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n，求an. 解 a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋ 3(n－1)]＝4n＋1， 当n＝1时也适合，∴an＝4n＋1.
答：屋顶斜面共铺瓦片570块.
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【变式4】一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10， 求前110项之和． [思路探索] 解答本题可利用前n项和公式求出a1和d，即可 求出S110，或利用等差数列前n项和的性质求解．
解 法一 设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn， 则 Sn＝na1＋nn2－1d.
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n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1 ②
分析：这
其实是求 21 2 3 (n 1) n n (n 1)
一个具体
的等差数 列前n项
和.
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？
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问题分析 如何才能将
已 是知n，等第差n数项列为｛an，an求｝前的n首项项和等为S式化na. 1的简，右？项边数 Q Sn a1 a2 a3 L an ①
于是，ad1
4 6
所以
Sn
n4
n(n 1) 2
6＝3n2
n
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A．2 300 B．2 400 C．2 600 D．2 500
答案 D
解析 由 am＝a1＋(m－1)d，得 99＝1＋(m－1)×2， 解得 m＝50，所以 S50＝50×1＋50×49×2＝2 500.
2 2．记等差数列的前 n 项和为 Sn，若 S2＝4，S4＝20，则该数列的公差 d 等于( )
n＝1
时，a1＝S1＝12＋12＋1＝52不符合①式．∴an＝
2 2n－1，n≥2，n∈N*.
2
反思感悟 已知前 n 项和 Sn 求通项 an，先由 n＝1 时，a1＝S1 求得 a1，再由 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 求得 an，
最后验证 a1 是否符合 an，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示．
例 1 在等差数列{an}中：
(1)已知 a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求 S10；
(2)已知 S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求 n.
解 (1)方法一 由已知条件得
a5＋a10＝2a1＋13d＝58，
a1＝3，
解得
a4＋a9＝2a1＋11d＝50，
d＝4.
∴S10＝10a1＋10×10－1d＝10×3＋10×9×4＝210.
2
2
a5＋a10＝a1＋a10＋4d＝58， 方法二 由已知条件得
a4＋a9＝a1＋a10＋2d＝50，
∴a1＋a10＝42，
∴S10＝10a1＋a10＝5×42＝210. 2
(2)S7＝7a1＋a7＝7a4＝42，∴a4＝6. 2
∴Sn＝na1＋an＝na4＋an－3＝n6＋45＝510.∴n＝20.
解 由 Sn＝na1＋nn－1d， 2
得 na1＋nn－1×2＝35， 2

2。

3等差数列前n项和教学设计石嘴山市第三中学刘金瑞一、指导思想与理论依据学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让学生在具体问题情境中经历知识的形成和发展,让学生利用自己原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构.基于数学学科自身抽象和严谨的特点，在数学教学活动中就要引导学生自主发现问题，解决问题,培养学生的动手、动脑能力。

本堂课以个性化的教学思想为指导进行设计。

采用探究活动为主的教学方法，借助教材和教师提供的相关资料让学生亲自去探索得出结论或规律性的知识，培养学生的探究思维能力.因此，我在此堂课的教学中借助梯形面积拼接演示等差数列的前n项和公式，帮助理解，启迪思路,更加形象地揭示研究对象的性质和关系，也在教学中展示了数学的对称美.二、教材分析本节课的教学内容是人教版数学必修5第二章第三节列前n项和（第一课时），主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。

本节对“等差数列前n项和"的推导，是在学生已掌握等差数列的通项性质以及高斯算法等相关知识的基础上进行。

对本节的研究,为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加法，也为高三运用数学归纳法证明数列型的不等式奠定良好的基础，具有承上启下的重要作用。

等差数列在现实生活中比较常见，等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题.因此,等差数列求和公式的推导,是由现实情境引入数列求和的模型，再用模型解决一些实际问题，使学生能掌握“倒序相加"这一重要数学方法。

通过探索等差数列前n项和，培养学生观察、猜想、类比、归纳的学习思想，加强和提高学生解决问题的能力。

要求学生理解等差数列前n项和的求和过程，掌握公式并能用公式解决一些实际题。

三、学情分析本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质,这为倒序相加法的教学提供了基础.学生已有了函数知识，因此在教学中渗透函数思想。

大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识，并且知道此算法原理，但在高斯算法中数列1，2,3，……，100只是一个特殊的等差数列，对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知.如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍，同时,学生学习抽象理论知识存在为难的情绪.对学生学习的障碍和困难，本节采用情境导入、激发兴趣，由特殊到一般的推导方法，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识,为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。

2.3 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和
1+2+3+„+98+99+100=？ 高斯10岁时曾很快算出这一结 果，如何算的呢？ 高斯 我们先看下面的问题.
(1777—1855）
德国著名数学家
1+2+3+· · · +100=?
带着这个问题，我们进入本节课的学习！
1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； (重 点） 2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的 与前n项和有关的问题．（难点）
2
当n = 1时， 1 3 a1 = S1 = 1 + ×1 = ，也满足上式. 2 2 1 所以数列an 的通项公式为an = 2n - . 2 3 由此可知，数列an 是一个首项为 ，公差为2的等差数列. 2
2
【规律总结】 这个例题给出了等差数列通项公式的另一个求法. （ , S 1 n=1） 已知前n项和S n，可求出通项an （ . 1 n 2） S n S n 这种用数列S n的公式来确定an的方法对于任何数列 都是可行的，而且还要注意a1不一定满足由 S n S n1 an 求出的通项表达式，所以最后要验证 首项a1是否满足已求出的an .
多少个 (a ? 共有n个 (a 1+a n) 1+a n)
n(a1 an ) Sn . 因此， 2
这种求和的 方法叫倒序 相加法！
【即时练习】
根据下列条件，求相应的等差数列an 的前n项和S n . a1 5, a10 95, n 10.
10× (5 + 95) 【解析】S10 = = 500. 2
a1＝2，S3＝12，则 a6 等于( C )

等差数列的前n项和公式第一课时1.课时教学内容等差数列前n项和公式2.课时学习目标(1)会推导等差数列前n项和公式；(2)会用等差数列的前n项和公式解决简单问题。

3.教学重点与难点重点∶等差数列的前n项和的应用。

难点∶等差数列前n项和公式的推导方法。

4.教学过程设计环节一情景引入200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…＋100=？你准备怎么算呢？高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一。

他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献。

问题1：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释。

高斯的算法：（1+100）+（2+99）+…+(50+51)=101×50=5050高斯的算法实际上解决了求等差数列：1，2，3，…，n，…前100项的和问题。

等差数列中，下标和相等的两项和相等。

设a n=n,则a1=1，a2=2，a3=3，…如果数列{a n}是等差数列，p,q,s,t∈N∗且 p +q =s +t,则a p +a q =a s +a t可得：a 1+a 100=a 2+a 99=⋯=a 50+a 51问题2：你能用上述方法计算1＋2＋3＋… ＋101吗？ 解：原式=(1+101)+(2+100)+⋯+(50+52)+52 =102×50+51 =5151解法2：原式=(1+2+⋯+100)+101=[(1+100)+(2+99)+⋯+(50+51)]+101=101×50+101 =5151解法3：原式=0+1+2+⋯+100+101=(0+101)+(1+100)+⋯+(50+51)=101×51 =5151问题3：你能计算1＋2＋3＋… ＋n 吗？ 需要对项数的奇偶进行分类讨论.当n 为偶数时， S n =(1+n )+[(2+(n −1)]+⋯+[(n2+(n2−1)] =(1+n )+(1+n )…+(1+n ) =n2(1+n ) =n(1+n)2当n 为奇数数时， n －1为偶数S n =(1+n )+[(2+(n −1)]+⋯+[(n +12−1)+(n +12+1)]+ n +12=(1+n )+(1+n )…+(1+n )+ n+12=n−12(1+n )+n+12=n(1+n)2对于任意正整数n ，都有1＋2＋3＋… ＋n =n(1+n)2问题4：不分类讨论能否得到最终的结论呢？ S n = 1+ 2 + 3 +⋯+nS n = n +(n −1)+(n −2)+⋯+1 将上述两式相加，得2S n=(n+1)+[(n−1)2]+[(n−2)+3]+⋯+(1+n)=(1+n)+(1+n)+⋯+(1+n)=n(1+n)所以S n=1+2+3+⋯+n=n(1+n)2问题5:上述方法的妙处在哪里？倒序求和法S n=a1+a2+a3+⋯+a n−2+a n−1+a nS n=a n+a n−2+a n−1+⋯+a3+a2+a1 2S n=(a1+a n)+(a2+a n−1)+⋯+(a n+a1)因为：a1+a n=a2+a n−1=…=a n+a1所以：2S n=(a1+a n)+(a1+a n)+⋯+(a1+a n)=n(a1+a n)即：S n=n(1+n)2问题6:这种方法能够推广到求等差数列{a n}的前n项和吗？S n=a1+a2+a3+⋯+a n−2+a n−1+a n,S n=a n+a n−2+a n−1+⋯+a3+a2+a1.2S n=(a1+a n)+(a2+a n−1)+⋯+(a n+a1)因为：a1+a n=a2+a n−1=…=a n+a1所以：2S n=(a1+a n)+(a1+a n)+⋯+(a1+a n)=n(a1+a n)所以S n=n( a1+a n)2得到等差数列前n项和公式：S n=n( a1+a n)2追问1：你能用文字语言表达这个公式吗？首项加末项乘以项数除以2.追问2：这个公式还有什么含义？等式两边同除以n,S nn =(a1+a n)2，即a1+a2+a3+⋯+a nn =(a1+a n)2前n项平均数等于首项与第n项的平均数问题7：能不能用a1和d来表示S n呢？将a n=a1+(n−1)d代入公式整理得S n ＝na1+n(n−1)2d追问：如果不利用前面结论，你还有其他方法得到上述公式吗？S n=a1+a2+a3+⋯+a n,=a1+(a1+d)+(a1+2d)+⋯+[a1+(n−1)d]=na1+[1+2+3+(n−1)d]=na1+n(n−1)2d等差数列的前n项和公式公式S n＝n(a1+a n)2功能1：已知a1,a n,n 求S n功能2：已知S n a1,a n,n中任意3个，求第4个。

说课—《等差数列前n项和的公式》等差数列的前n项和公式教案篇一2.3等差数列的前n项和公式（教案）一．教学目标：1、知识与技能目标了解等差数列前n项和公式，理解等差数列前n项和公式的几何意义，并且能够灵活运用其求和。

2.过程与方法目标学生经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法。

3、情感态度与价值观目标学生获得发现的成就感，优化思维品质，提高代数的推导能力。

二．教学重难点：1、重点：等差数列前n项和公式的推导，掌握及灵活运用。

2.难点：诱导学生用“倒序相加法”求等差数列前n项和。

三．教法与学法分析：1、教法分析：采用“诱导启发，自主探究式”学法为主，讲练结合为辅的教学方法。

2、学法分析：采用“自主探究式学习法”和“主动学习法”。

四．课时安排：1个课时五．教学过程（一）导入我们已经学过等差数列的定义an+1-an=d（n属于正整数），等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，等差数列的等差中项2an=an-1+an+1，还有：若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.我们应该怎样求a1+a2+…+an,其中{an}为等差数列，记Sn=a1+a2+…+an我们知道200多年前高斯的老师给他们出了一道题目，让他们计算1+2+就算出来了…+100=？当时10岁的高斯很快。

高斯是怎样做出来的呢？他使用了什么简单高明的方法？1+2+…+100=(1+100)+（2+99）+…+(50+51)=50*101,所以1+2+…+100=5050，这就是著名的高斯算法，到后来，人们就从高斯算法中得到启发，求出了等差数列1+2+…+n的前n项和的算法（二）探究新知，发现规律从高斯算法中，人们怎样求出首项为1，公差为1的等差数列1+2+3+…+n的和？首先1+2+…+n(1)n+(n-1)+…+1（2）2Sn=（n+1)+(n+1)+…+(n+1)(n个（n+1））所以1+2+…+n=n*(n+1)/2 我们把上面的方法称为“倒序相加法”，也就是说高斯当时用的就是“倒序相加法”算出了1+2+…+100的和然而这个方法可以推广到等差数列的前n项和定义：一般地，我们把a1+a2+…+an叫做等差数列的前n项和，用Sn表示即Sn=a1+a2+…+an从高斯算法中得到的启示，对于一般的等差数列，其中a1是首项，d是公差，我们可以用两种方法来表示Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…++[ a1+(n-1)d](3)Sn=an+ an-1+…+a1=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d](4)两式相加得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)，有n个(a1+an）所以Sn=n(a1+an)/2(5)将an=a1+(n-1)d带入Sn=n(a1+an)/2中即可得到Sn=na1+n(n-1)d/2(6)(5)与(6)区别：第一个公式反映了等差数列的首项与末项之和跟第n项与倒数第n项之和是相等的；第二个公式反映了等差数列的首项与公差d之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数作比较。