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2.2.2等差数列的前n项和公式3

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等差数列前N项和的公式

等差数列前N项和的公式
它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1)
若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
由(1)+(2) 得 即
Sn=n(a1+an)/2
2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
n(a1 an ) 公式1 Sn 2
n(n 1) n(n 1) 公式2 Sn na1 d nan d 2 2
熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵 活运用解决相关问题．
由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当
知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.
已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?
例4 等差数列-10，-6，-2，
2，…前多少项的和是54？ 本题实质是反用公式，解一 个关于n 的一元二次函数，注 意得到的项数n 必须是正整数.
解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列
复习回顾
(1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质: 在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
n(n 1)10 由题意，得 :100 n (n 2)180 2 解得 n=8 或 n=9（舍）

等差数列的前n项和公式第1课时课件2022-2023学年上学期高二数学选择性必修第二册

等差数列的前n项和公式第1课时课件2022-2023学年上学期高二数学选择性必修第二册
Sn，解方程即可求得n.
解: (3)把a1=

,


,

(−)
Sn=+
中的a1，d和
(−)
Sn=-5代入Sn=+
d=, 得
1
n ( n -1)
1
-5 = n +
( ).
2
2
6
2
整理，得 n - 7 n - 60 = 0.
所以 n=12.
解得 n = 12 ，或 n = -5
方法二：拿出中间项，再首尾配对.
S101 =(1+101)+(2+100)+ ⋯+(50+52)+51=102×50+51=5151.
方法三：先凑出偶数项，再首尾配对.
S101 =0+1+2+ ⋯+101
=(0+101)+(1+100)+ ⋯+(50+51)=101×51=5151.
将上述方法推广到一般，可以得到：


解: (2)因为a1=2，a2=，所以d= .
(−)
根据公式Sn=+
，可得
10 (10 -1) 1 85
S10 = 10 2 +
= .
2
2 2
例6 已知数列{an}是等差数列.
1
1
（3）若a1= ，d - ，Sn= -5，求n.
2
6
分析: 在(3)中，已知公式
)
例6 已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求S50；
5
（2）若a1=2，a2= 2 ，求S10；

数列公式汇总

数列公式汇总

人教版数学必修五第二章 数列 重难点解析第二章 课文目录2．1 数列的概念与简单表示法 2．2 等差数列2．3 等差数列的前n 项和 2．4 等比数列2．5 等比数列前n 项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。

2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

4、等差数列n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。

5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式【难点】1、根据数列的前n 项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

一、数列的概念与简单表示法⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. ⒊数列的一般形式：,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos|π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

2.2.2等差数列的通项公式(第4课时)等差数列前n项和的性质 学案(含答案)

2.2.2等差数列的通项公式(第4课时)等差数列前n项和的性质 学案(含答案)

2.2.2等差数列的通项公式（第4课时）等差数列前n项和的性质学案（含答案）第4课时等差数列前n项和的性质学习目标1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n 项和的函数特征求最值知识点一等差数列an的前n项和Sn的性质性质1等差数列中依次k项之和Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为k2d的等差数列若等差数列的项数为2nnN*，则S2nnanan1，S 偶S奇nd，S奇0；性质2若等差数列的项数为2n1nN*，则S2n12n1anan是数列的中间项，S奇S偶an，S奇0知识点二等差数列an的前n项和公式与函数的关系1将公式Snna1变形，得Snn2n.若令A，a1B，则上式可以写成SnAn2Bn，1等差数列前n项和Sn不一定是关于n的二次函数当公差d0时，Snna1，不是项数为n的二次函数当d0时，此公式可看成二次项系数为，一次项系数为，常数项为0的二次函数，其图象为抛物线yx2x上的点集，坐标为n，SnnN*因此，由二次函数的性质可以得出结论当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值2关于n的二次函数也不一定是等差数列的前n项和，由SnAn2BnC，当C0时，Sn不是某等差数列的前n项和；当C0时，令A，a1B，则能解出a1和d，因此这时一定是某等差数列的前n项和2若an为等差数列，公差为d，则为等差数列，公差为.1等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数2等差数列an的前n项和SnAn2Bn.即an 的公差为2A.3若等差数列an的公差为d，前n项和为Sn.则的公差为.4数列an的前n项和Snn21，则an不是等差数列题型一等差数列前n项和的性质的应用例11等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；2已知某等差数列an共有10项，若其奇数项之和为15，偶数项之和为30，求其公差解1在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，30,70，S3m100成等差数列27030S3m100，S3m210.2依题意有a1a3a5a7a915，a2a4a6a8a1030，得5d15，d3.反思感悟等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简.化难为易.事半功倍的效果跟踪训练11等差数列an的前n项和为Sn，若S33，S69，则S9________.2等差数列an的公差为，且S100145，则奇数项的和a1a3a5a99________.答案118260解析1S3，S6S3，S9S6成等差数列，2S6S3S3S9S6，即2933S99，S918.2设a1a3a5a99S奇，a2a4a6a100S偶，则S奇S偶S100145.S偶S奇50d25.得2S奇120，S奇60.题型二Sn与函数的关系命题角度1SnAn2Bn的应用例21两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值解方法一设Snk7n22n，Tnkn23n，k0，则a5S5S4k75225k7422465k，b5T5T4k5235k423412k..方法二.2已知an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，且S77，S1575，求数列的前n项和Tn.解设等差数列an的公差为d，则Snna1d.S77，S1575，即解得a1d2，，数列是等差数列，且其首项为2，公差为.Tnn2nnN*反思感悟将等差数列前n项和公式Snna1d整理成关于n的函数，可得Snn2n.即Snna1dn2n，利用Sn与函数的关系可以使运算更简便跟踪训练21在例21的条件下，求的值2已知等差数列an的前n项和为Sn，若S33，S515，求S9.解1设Snk7n22n，Tnkn23n，则a565k，b6T6T5k6236k523514k，.2为等差数列，设公差为d，则d1，n3d1n3n2，927，S97963.命题角度2等差数列an的前n项和Sn的最值例3在等差数列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值解方法一S9S17，a125，925d1725d，解得d2.Sn25n2n226nn132169.当n13时，Sn有最大值169.方法二同方法一，求出公差d2.an25n122n27.a1250，由得又nN*，当n13时，Sn有最大值169.方法三同方法一，求出公差d2.S9S17，a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a130，a140.当n13时，Sn有最大值169.方法四同方法一，求出公差d2.设SnAn2Bn.S9S17，二次函数fxAx2Bx的对称轴为x13，且开口方向向下，当n13时，Sn取得最大值169.反思感悟1等差数列前n项和Sn取得最大小值的情形若a10，d0，则Sn 存在最大值，即所有非负项之和若a10，d0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和2求等差数列前n项和Sn最值的方法寻找正.负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找运用二次函数求最值跟踪训练3已知等差数列an中，a19，a4a70.1求数列an的通项公式；2当n为何值时，数列an的前n 项和取得最大值解1由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1n1d112nnN*2方法一由1知，a19，d2，Sn9n2n210nn5225，当n5时，Sn取得最大值方法二由1知，a19，d20，an是递减数列令an0，则112n0，解得n.nN*，n5时，an0，n6时，an0.当n5时，Sn取得最大值数形结合感悟事物本质典例在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________答案解析方法一由当且仅当n8时Sn 最大，知a80且a90，于是解得1d，故d的取值范围为.方法二Snn2n，由题意知d0，对称轴x，n8时，Sn取最大值7.58.5，即87，d.素养评析利用数形结合抓住事物本质，解决问题才能思路清晰，方法简捷等差数列ana10，d0或a10，d0中，andna1d，其图象为ydxa1d上的一系列点，要求Sn的最大小值，只需找出距x轴最近的两个点；Snn2n，其图象为yx2x上的一系列点要求Sn的最大小值，只需找出距对称轴最近的点.1若数列an的前n项和Snn22n，则an1an的值为A1B2C3D4答案B解析由Snn22n可判断an为等差数列，公差为2.an1an2.2若等差数列an的前5项和为25，则a3的值为A2B3C4D5答案D解析S55a325，a35.3设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7________.答案49解析S77749.4等差数列an中，若公差为2，a1a4a76，则a3a6a9________.答案18解析a3a6a9a1a4a7a3a1a6a4a9a76d12，a3a6a912618.5等差数列an中，公差d0，前n项和为Sn，S100，则Sn 取最小值n________.答案5解析S100，可设Snnn10，对称轴n5，且d0.n5时，Sn最小1等差数列an的前n项和Sn，有下面几种常见变形1Sn；2Snn2n；3n.2求等差数列前n项和最值的方法1二次函数法用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nN*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观2通项法当a10，d0，时，Sn取得最大值；当a10，d0，时，Sn取得最小值。

等差数列前n项和公式及性质

等差数列前n项和公式及性质

2.2 等差数列的前n项和第一课时等差数列前n项和公式及性质【选题明细表】题号知识点、方法易中等差数列前n项和公式应用1、3、9 7、8等差数列前n项和性质的应用2、4等差数列性质的综合应用5、6基础达标1.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( B )(A)40 (B)42 (C)43 (D)45解析:∵a1=2,a2+a3=13,∴3d=13-4=9,∴d=3,a4+a5+a6=S6-S3=6×2+×6×5×3-(3×2+×3×2×3)=42.故选B. 2.等差数列{a n}共有2n+1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为( B )(A)28 (B)29 (C)30 (D)31解析:∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=(n+1)a n+1,S偶=a2+a4+…+a2n=na n+1,∴S奇-S偶=a n+1=29.故选B.3.(2013南阳高二阶段性考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a8=6+a11,则S9等于( D )(A)27 (B)36 (C)45 (D)54解析:∵2a8=a5+a11=6+a11,∴a5=6,∴S9===9a5=54.故选D.4.(2012郑州四十七中月考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( B )(A)63 (B)45 (C)36 (D)27解析:由S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.故选B.5.(2013广州市铁一中第一学期期中测试)在各项均不为零的等差数列中,若a n+1-+a n-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于( A )(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2解析:由已知得2a n-=0,又a n≠0,∴a n=2,∴S2n-1===2(2n-1),∴S2n-1-4n=-2.故选A.6.等差数列{a n}中,已知a14+a15+a17+a18=82,则S31= .解析:结合已知条件,运用性质可以得出a1+a31=a14+a18=a15+a17=41,所以S31===.答案:7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5=5a3,则= .解析:设公差为d,则a1+4d=5(a1+2d),∴a1=-d,∴==×=×=-.答案:-能力提升8.(2013海州高级中学高二第一学期期中检测)在等差数列{a n}中,S n 是其前n项和,且a1=2,-=2,则数列﹛﹜的前n项和是.解析:设{a n}的公差为d,则S n=2n+d,∴=2+d,∴(2+d)-(2+d)=2,解之,得d=2,∴S n=2n+×2=n2+n,于是===-.∴数列﹛﹜的前n项和++…+=+++…+=1-=.答案:9.等差数列{a n}的前n项和记为S n,已知a10=30,a20=50.(1)求通项a n;(2)若S n=242,求n.解:(1)由a n=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组解得所以a n=2n+10.(2)由S n=na1+d,S n=242,得方程12n+×2=242,即n2+11n-242=0,解得n=11或n=-22(舍去).所以n=11.。

高二下数列知识点总结归纳

高二下数列知识点总结归纳

高二下数列知识点总结归纳数列是数学中一个重要的概念，在高中数学学习过程中也是一个关键的内容之一。

本文将对高二下学期数列的知识点进行总结归纳，帮助同学们更好地理解和掌握相关知识。

一、数列的基本概念和性质1.1 数列的定义数列是按照一定的次序排列的一列数，可以用数学符号表示为{an}，其中an表示数列中的第n个数。

1.2 数列的公式数列可以通过公式来描述，其中常见的数列有等差数列和等比数列。

1.3 数列的通项公式通项公式是数列中每一项的通用表达式，可以通过递推公式或求和公式来推导。

1.4 数列的前n项和数列的前n项和是指数列的前n个数的总和，可以通过求和公式来计算。

二、等差数列2.1 等差数列的定义和性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值为常数的数列。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

2.2 等差数列的前n项和等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)来计算。

2.3 等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，例如计算数列中某一项的值、寻找数列中的特定项等。

三、等比数列3.1 等比数列的定义和性质等比数列是指数列中相邻两项之间的比值为常数的数列。

等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

3.2 等比数列的前n项和等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)来计算。

3.3 等比数列的应用等比数列在实际问题中也有广泛的应用，例如计算数列中某一项的值、寻找数列中的特定项等。

四、数列的递推关系4.1 递推关系的定义数列的递推关系是指通过前一项或多项来推导后一项的关系式。

4.2 递推关系的求解通过观察数列的规律，可以找到数列的递推关系，并利用递推关系求解数列中的任意项。

4.3 递推关系的应用递推关系在解决实际问题中经常用到，可以通过已知条件和递推关系来求解问题。

2.2.2等差数列前n项和公式

2.2.2等差数列前n项和公式

练习3 已知一个共有n项的等差数列前4项之 和为26,末四项之和为110,且所有项的和为 187，求n.
n=11
提示：a1+a2+a3+a4=26
a1+an=34
an+an-1+an-2+an-3=110
Sn

n(a1 2
an )

34n 2
187,n
11
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；（两个）
解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0
13a1+13×6d<0
24 d 3 7
(2)
∵
Sn

na1

1 2
n(n
1)d
1
n(12 2d ) n(n 1)d
2
d n2 (12 5d )n
2
2 5 12
∴Sn图象的对称轴为 n
由(1)知 24 7
+ S =100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1
2S = 101 +101+101 + … + 101 + 101 + 101
100101
S=
2
=5050
实例2
如图，表示堆放的钢管共8层，自上而下各 层的钢管数组成等差数列4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11， 求钢管的总数 .
Sn

n(a1 2
an )
Sn

na1

n(n 1) 2
d
2．等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法；

等差数列前n项和的公式

等差数列前n项和的公式

21
1
问题2
一个堆放铅笔的V形架 的最下面一层放一支铅 笔，往上每一层都比它 下面一层多放一支，最 上面一层放100支.这个 V形架上共放着多少支 铅笔？
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”
问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁 时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）
假设1+2+3+ +100=x,
【变式】若Sn=-3n2 +6n +1，求an？ 【解析】当n=1时，a1=S1=4. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =（-3n2+6n+1）-[-3（n-1）2+6(n-1) +1]
=9-6n,
a1=4不符合此式.
故an=
4(n 1) 9 6n(n 2)
.
n
1 11 1从 而a1=，3或a1=-1.
na1 2 d 35
(A)33
(B)34
(C)35
(D)36
3.数列{an}为等差数列，an=11,d=2, Sn=35,则a1等于( )
(A)5或7
(B)3或5 (C)7或-1
(D)3或-1
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=6，则S5=_______.
5.两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，若
(1)
那么100+99+98+ +1=x.
(2)
由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,
100个101
所以 2x 101100, x=5050.

等差数列的前n项和3(第2课时) 人教课标版

等差数列的前n项和3(第2课时) 人教课标版

例2
数列 a n 的前n项和
Sn
3n2 2
205n，求数列 2
a n 的前n项和 T n .
解：a1S1101
当即令n当a n n2 时 33 ，4n a 时n 1 ，0 S 4 an32n n0 S 20n ，12得205nn33 2423n ，1222 05n1
当 n35时 ，a n3 n 0 1 0 4
等差数列吗？
引例 已知数列 a的n 前n项和为
Sn
n，2 求 1这n个数列的 2
通项公式.这个数列是等差数列吗？
当n
1时，a1
S1
3 2
当n 2时，a n SnSn12 n
1 2
而a 1 式是
3 满足上式，所以此数列是等差数列，通项公
2
an
2n 1n 1
2
【问题二】如果数列 a n 的前n项和为 Snpn2qnr，
23234222053432n2 2205n 3n2205n3502
22
【课堂小结】
你能对本节课的教学内容和解题方法作个总结吗？ 1.如果一个数列的前n项和公式是常数项为0的关于n
的二次型函数，则这个数列一定是等差数列.
2.求等差数列前n项和的最值问题，主要有两种方法：
（1）利用 a n 取值的正负情况来研究和的变化情况；
因为 n 1时也适合上式，
所以数列 a n 的通项公式为 a n 3 n 1 0 4 n 1
例2
数列 a n 的前n项和
Sn
3n2 2
205n，求数列 2
a n 的前n项和 T n .
解：a n 3 n 1 0 4 n 1
对于数列 a n 而言：
当n34时，T n a 1a2 Lan a 1 a 2 a 3 L a n

等差数列的前n项和PPT优秀课件1

等差数列的前n项和PPT优秀课件1

（2）100元“零存整取”的月利息为 100×1.725‰=0.1725（元）， 存3年的利息是
0.1725×(1+2+3+……+36)=114.885(元)， 因此李先生多收益
179.82－114.885×(1－20%)=87.912元.
答：李先生办理“教育储蓄”比“零存整 取”多收益87.912元
解：（1）100元“教育储蓄”存款的月利息是 100×2.7‰=0.27（元）， 第1个100元存36个月，得利息0.27×36（元）; 第2个100元存35个月，得利息0.27×35（元）; ………… 第36个100元存1个月，得利息0.27×1（元），
此时李先生获得利息
0.27×(1+2+3+……+36)=179.82(元)， 本息和为3600+179.82=3779.82元；
解 得 30AB2
S 3 0 9 0 0 A 3 0 B 3 0 ( 3 0 A B ) 6 0
解法三： 设a1+a2+……+a10=A， a11+a12+……+a20=B，
a21+a22+……+a30=C， 则A，B，C成等差数列， 且A=10，A+B=30, 解得B=20，
2.2.2等差数列的前n项和
如图堆放一堆钢管，最上一层放了4根， 下面每一层比上一层多放一根，共8层，这 堆钢管共有多少根？
这堆钢管从上到下的数 量组成一个等差数列。
其中a1=4，公差d=1. 最下一层中a8=11。
即求4+5+6+……+11=?
我们设想，在这堆钢管旁，如图所示堆放同 样数量的钢管，这时每层都有钢管(4+11)根.

等差数列的前n项和公式课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

等差数列的前n项和公式课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
课程目标
学法指导
1．借助教材实例了解 1．等差数列是“中心对称”的，因此在求和的时
等差数列前n项和公式 候可以从中心对称的角度来思考，这就是倒序相
的推导过程．
加法的本质，采取图示的方法有助于理解公式的
2．借助教材掌握a1， 推导．也正是因为中心对称的缘故，等差数列的
(C )
A．5114
B．581
C．9136
D．9132
(3)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S10＝100，S100＝10，试求
S110．
[分析] (1)求 n 想到 Sn＝na1＋2 an＝nam＋2an－m＋1⇒Sn－Sn－4＝an＋an －1＋an－2＋an－3，a1＋a2＋a3＋a4⇒a1＋an.
(2)求值想＋an＝ap＋aq⇒abnn＝ SS2′2nn－－11.
(3)求 S110 想到 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为 n2d 的等差数列 ⇒S10＝100，S100＝10⇒项数和公差．
[解析] (1)Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80． S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40． 两式相加得 4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30． 由 Sn＝na1＋ 2 an＝210，∴n＝14． (2)由已知SSn′n＝7nn＋＋32，ab77＝SS1′133＝9136.
解得da＝ 1＝－122，， ∴an＝－2n＋14．
②由①得 Sn＝n12＋124－2n＝－n2＋13n＝－n－1232＋1469. 当 n 取与123最接近的整数，即 6 或 7 时，Sn 有最大值，最大值为 S6 ＝S7＝－72＋13×7＝42．

&2.2.2等差数列的前n项和公式

&2.2.2等差数列的前n项和公式

等差数列前n 等差数列前n项和公式
2 S n = n(a1 + an )
an = a1 + (n − 1)d
n(a1 + an ) Sn = 2
n(n − 1) S n = na1 + d 2
1。对于这两个公式分别有四个未知数，如果 已知其中的任何三个可以求另外一个 2。请注意这两个公式的灵活运用
1 练习： 的前n项和为 练习： 已知数列 {an } 的前 项和为Sn = n + n 2 求这个数列的通项公式。 求这个数列的通项公式。这个数列是等 差数列吗？如果是，它的首项与公差分 差数列吗？如果是， 别是什么？ 别是什么？
2
练习:
• 等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,则该数列前多 少项和最小? • 在首项为正数的等差数列{an}中,它的前3项 和与前11项和相等,问此数列的前多少项和 最大? • 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12, 且S12>0,S13<0, (1)求公差d的取值范围; (2)该数列前几项的和最大.
an − an −1 = d (n ≥ 2且n ∈ N * ) 1．等差数列的定义 ．等差数列的定义：
2．等差数列的通项公式：(1)an = a1 + (n − 1)d ．等差数列的通项公式： (2)an = am + (n − m)d
a+b 3．等差中项：A = 2 ⇔ a, A, b 成等差数列 ．等差中项：
实际上高斯解决了1+ 2 + 3 + ... + n + ... 等差数列的前 n 项和的问题
1 + 2 + ... + n-1 + n n + n-1 + ... + 2 + 1

第一章 数列§2 2.2 第1课时 等差数列的前n项和 北师大版 必修五.

第一章 数列§2 2.2 第1课时 等差数列的前n项和 北师大版 必修五.
把①， ②等号两边分别相加，得
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) （共n个） n(a1 an ).
于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和
n(a1 an ) Sn . 2
这种求和的方法叫作“倒序相加法”
③
这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的 和与项数乘积的一半，参见下图.
100 (1 100) 1 2 3 99 100 5050. 2
等差数列的前n项和公式
…
…
… …
有200根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并 使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？ 根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成 等差数列： 1,2,3，…
抽象概括
设Sn是等差数列{an}的前n项和，即
Sn a1 a2 a3 an .
根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ],
再把项的次序反过来，Sn又可以写成
①
Sn an (an d ) )d ], ②
2.2 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
1.知识目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．
2.能力目标：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会 从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认 识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教 学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学生的 思维水平. 3.情感目标：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美

新人教版高中数学选择性必修第二册第四章等差数列的前n项和公式

新人教版高中数学选择性必修第二册第四章等差数列的前n项和公式
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8.在等差数列{an}中，S10＝4S5，则 ad1＝__12__.
解析 设数列{an}的公差为d， 由题意得 10a1＋12×10×9d＝45a1＋12×5×4d， 所以10a1＋45d＝20a1＋40d， 所以10a1＝5d， 所以ad1＝12.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的
前20项和等于
A.160
√B.180
C.200
D.220
解析 由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8， 由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26， S20＝12×20×(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×18＝180.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24， 则k＝___5__. 解析 因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d ＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5.
芳草欲陵芳树， 东家半落西家.
愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯.
从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？
提示 诗中文字有对称性； S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)， 根据对称性，可先取其一半来研究.其数的个数较少，大家很容易求出 答案.
√A.－32n2＋n2
B.－32n2－n2

2.3.2 等差数列前N项和公式

2.3.2 等差数列前N项和公式
2
所 S20 − S16 = S4 + (5 −1) ×32 = 129 以 因 a17 + a18 +⋯+ a20 = S20 − S16, 则 为
a17 + a18 +⋯+ a20的 为 。 值 129
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1 1、已知数列{a n }且a n > 0，n ∈ N ，前 n项的和 s n 满足 s n = ( a n + 4) 2 8 （1）求该数列的通项，并 判断该数列是否为等差 数列
∗
1 （2）若有 bn = a n − 30，求数列{bn } 的前 n项和Tn的最值与此时的 n值。 2
解 根 上 解 ： 据 例 得
(n = 1 ) p + q + r an = ) 2 pn − p + q (n〉1
只 r = 0时 数 {an}才 等 数 有 ， 列 是 差 列 首 为 a1 = p + q,公 为 d = 2 p 项 ： 差 ： 如 数 {an} 前n项 是 数 为0， 是 果 列 的 和 常 项 且
2、 用an： 助 项 式an的 负 况 前n项 Sn的 利 借 通 公 正 情 与 和 变 情 ，an ≤ 0且an+1 ≥ 0 化 况
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例 ： 知 列{an}是 差 列 sn是 前n项 和 3 已 数 等 数 ， 其 的 。 求 ：s6 , (s12 − s6 ), (s18 − s12 )也 等 数 证 成 差 列
解 设 差 列 项 a1,公 为d， 有: ： 等 数 首 为 差 则 s6 = 6a1 +15d s12 = 12a1 + 66d s18 = 18a1 +153d ∴s12 − s6 = 6a1 + 51d s18 − s12 = 6a1 + 87d ∴(s12 − s6 ) − s6 = 36d = (s18 − s12 ) − (s12 − s6 ) ∴s6 , s12, s18也 等 数 ， 差 36d 成 差 列 公 为

等差数列的前n项和公式的性质

等差数列的前n项和公式的性质
2
例 3. 项数为奇数的等差数列{an }，奇数项之和为 44，偶数项之和为
33，求这个数列的中间项及项数．
解：设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)项，偶数项
有 n 项，中间项是第(n＋1)项，即 an＋1，
1
S奇 2a1＋a2n＋1n＋1 n＋1an＋1 n＋1 44 4
解法1: 由S3=S11, 得
1
1
3 13 3 2 d 1113 1110 d
2
2
∴ d=－2
1
Sn 13n n(n 1) (2)
2
n2 14n
( n 7)2 49
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法2: 由S3=S11, 得d=－2<0
=
5+2

，则
+3

10n 3
67
7
=_______；
=_______；
2n 2
18
8
课堂小结
等差数列的前n项和公式的性质
性质1：数列{an}是等差数列⟺Sn=An2+Bn (A,B为常数)
Sn

性质2: 若数列{an}是公差为d的等差数列, 则数列 也
d
n
是等差数列, 且公差为 2 .
当m=n时，公式变化？
an S 2 n 1

bn T2 n1
例 4.已知{an},{bn}均为等差数列，其前 n 项和分别为 Sn,
5
a5
Sn 2n＋2
Tn，且T ＝
，则b ＝________.
3
n
5
n＋3
变式1. 若

等差数列的前n项和公式(第3课时)课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

等差数列的前n项和公式(第3课时)课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

【讲评】 本例中，由于“每一圈比前一圈多 9 块”，因此每一圈的石板块 数便组成了等差数列，而这 9 圈石板总数，便是该数列的前 9 项的和．因此，一 个实际问题可建立等差数列的模型的必要条件是：是离散型的变量问题，且变量 的相邻两个值的差是一个常数．
课后巩固
1．在小于 100 的自然数中，所有被 7 除余 2 的数之和为( B )
(3)由(2)知，当 n≤17 时，an≥0；当 n≥18 时，an<0. 所以当 n≤17 时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2. 当 n≥18 时， Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an) ＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn＝n2－33n＋544. 故 Sn′＝3n32－n－33nn2（＋n5≤441（7）n≥，18）.
推．”这首歌诀的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，
相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为 207 岁，请问大儿子多少岁，
其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第 n 个儿子的年龄
为 an，则 a3＝( B ) A．17
B．29
C．23
D．35
解析 依题意{an}为等差数列，且 d＝－3， S9＝9（a12＋a9）＝9a5＝207，∴a5＝23， ∴a3＝a5－2d＝29.故选 B.
方法二：由 an＋1＝2 Sn＋1，得(an＋1－1)2＝4Sn， 当 n≥2 时，(an－1)2＝4Sn－1， ∴(an＋1－1)2－(an－1)2＝4(Sn－Sn－1)＝4an. ∴an＋12－an2－2an＋1－2an＝0，即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0. ∵an>0，∴an＋1－an＝2(n≥2)． ∴{an}从第 2 项开始是以 a2＝3 为首项，2 为公差的等差数列， ∴an＝3＋2(n－2)＝2n－1(n≥2)， 又 a1＝1 满足上式，∴an＝2n－1.

等差数列的前n项和公式的性质ppt课件

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可编辑课件
22
『变式探究』
1．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足 an＋2－2an＋1＋an＝0，n∈N*. (1)求数列{an}的通项； (2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.
解析：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝0得，2an＋1＝an＋an＋2，
所以数列{an}是等差数列，d＝ a 4 a 1 = －2，
Sna 1a 2a 5(a 6a 7a n) (a 1a 2a 3a n)2 (a 1a 2a 5)
n 9n40 Sn＝2－25＋9·5＋n－52＋2 2n－10＝n2－9n＋40.
由①，②可得
Sn＝－n2－n2＋9n＋9n，40，
1≤n≤5 n≥6
可编辑课件
，n∈N*.
24
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可编辑课件
25
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且
Sn Tn
7n 2 n3
，则
a5 b5
65 12
.
可编辑课件
13
『变式探究』
1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和
Bn，且
An Bn
7n 45，则使得 n3
a b
n n
为整数的正整数n的
个数是( D )
A．2
B．3
C．4
D．5
可编辑课件
14
【题型分类 深度剖析】
题型1：等差数列前n项和性质的简单应用
一般地若数列abn那么数列a为等差数列那么是什么数列为等差数列即等差数列a项的平均值组成的数列仍然是等差数列且公差是数列aa0b2011201120112009200720092007知识探究二等差数列前n项和的性质思考1
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已知 S n 7 n 45 ，则 a n 为整数的正整数 n
Tn n 3bn来自的个数是（）A.2 B.3 C .4 D.5
例 （1）等差数列{an}的前n项和为Sn， 若S12=84，S20=460，求S28
（2）等差数列{an}中，S4=1，S8=4， 则a17+a18+a19+a20=
谢谢聆听！
2.2.2等差数列的前n项和公式3
任课教师:
&2.2.2等差数列的前n项和（3）
例1、（1）在等差数列{an}中，已知 a5+a10=58，a4+a9=50，求它的前10项 之和S10；
（2）已知{an}为等差数列，Sn=m，Sm=n， 其中m、n∈N*，求Sm+n
（3）在等差数列{an}中，公差为d，已知
例、设Sn是等差数列{an}的前n项和，
（1）S3 1，则 S6
；
S6 3
S12
（2）a5 5，则S9
。
a3 9
S5
例、设 S n , T n是等差数列 {a n }和 {bn }的前 n 项和，
已知 S n 7 n 45 ，则 a 5
。
Tn n 3
b5
变式：设 S n , T n是等差数列 {a n }和 {bn }的前 n 项和，
10
S10=4S5，则ad1
.
例2、设数列{an}为等差数列，其前n项和 为Sn，且S4=-62，S6=-75 （1）求通项an及前n项和Sn； （2）求|a1|+|a2|+|a3|+……+|an|的值。
例、
1.项数为 2n的等差数列 {an}中
求证（1） S偶 S奇 nd；
（2）S奇 an 。 S偶 an1
2.项数为 2n 1的等差数列 {an}中
求证（1） S奇 S偶 an
（2）S奇 n 。 S偶 n 1
练习: （1）已知等差数列共有10项，其奇数项 之和为15，偶数项之和为30，则其公差 为a (2)等差数列共有2n+1项，其中奇数项之和 为290，偶数项之和为261，则an+1= a （3）若a1,a2, ……,a2n+1成等差数列，奇数 项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的 项数为（ ） （A）4 （B）5 （C）9 （D）11