2010年11月12日1时30分
§3.1 推理的形式结构
论证是指由一些前提出发得到某个结论， 论证是指由一些前提出发得到某个结论，在数理逻辑中 需要讨论论证的有效性 提出正确的推理规则和可行的推理方法 A1, A2,…, An为前提, B为结论 为前提 为结论 称 { A1, A2,…, An }┝ B 为推理的形式结构 ┝ 定理3.1 命题公式 1, A2,…, An推B是正确的当且仅当 命题公式A 定理 是正确的当且仅当 A1∧A2∧…∧An→B 为重言式 即 A1∧A2∧…∧An ⇒ B 为重言式, ∧ ∧ 并称B为前提 A1, A2,…, An 的有效结论 并称 为前提 或称B为前提 或称 为前提 A1, A2,…, An 的逻辑结果 但推理正确并不能保证有效结论B一定为真 当前提为真时结论也为真 , 但推理正确并不能保证有效结论 一定为真 例如： 太阳从东边落下” 例如：设p为“太阳从西边升起 q为”太阳从东边落下 为 太阳从西边升起”, 为 太阳从东边落下 p q为 “如果太阳从西边升起则太阳从东边落下 为 如果太阳从西边升起则太阳从东边落下 阳从西边升起则太阳从东边落下” 推理 {p,p q} ┝ q是正确的 即q是前提的有效结论,但q是个假命题 是正确的,即 是前提的有效结论 但 是个假命题 是正确的 是前提的有效结论
CP规则 若{A1, A2,…, An, B} ┝ C 规则
2010年11月12日1时30分
®
自然推理系统P §3.2 自然推理系统
直接证明法：由一组前提遵循 规则和 规则, 规则和T规则 直接证明法：由一组前提遵循P规则和 规则 根据已知的重言等价式 和重言蕴涵式推演出有效结论的论证方法 例1 前提： ∨ 前提：p∨q,q→r,p→s,┐s → → ┐ 结论： ∧ ∨ 结论：r∧(p∨q) 前提引入 前提引入 ①②拒取式 ①②拒取式 前提引入 ③④析取三段论 ③④析取三段论 前提引入 ⑤⑥假言推理 ⑤⑥假言推理 ⑦④合取 ⑦④合取
作为前提能推出矛盾来， ∧┐A)，则说明推理正确。 ┐B作为前提能推出矛盾来，比如说得出 ∧┐ ，则说明推理正确。 作为前提能推出矛盾来 比如说得出(A∧┐ 其原因如下： 其原因如下： (A1∧A2∧…∧Ak)→B ∧ → ⇔ ┐(A1∧A2∧…∧Ak)∨B ∧ ∨ ⇔ ┐(A1∧A2∧…∧Ak∧┐ ∧ ∧┐B) 为矛盾式， 若(A1∧A2∧…∧Ak∧┐ 为矛盾式，正说明 ∧ ∧┐B)为矛盾式 (A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式，即 (A1∧A2∧…∧Ak) ⇒ B 为重言式， ∧ → 为重言式 ∧ 原故推理是正确
2010年11月12日1时30分
®
§3.1 推理的形式结构
推理的形式结构: 推理的形式结构
重要的推理定律
前提: 前提 A1, A2,…, An 结论: 结论 B
A∧B⇒A , A∧B⇒B (化简律 ∧ ⇒ 化简律) ∧ ⇒ 化简律 (A →B)∧A ⇒ B ∧ (A→B) ∧ ┐B ⇒ ┐A → (A∨B) ∧ ┐B ⇒ A ∨ (A→B) ∧ (B →C) ⇒ A→C → → (A↔B) ∧ (B↔C) ⇒ A↔C
®
自然推理系统P §3.2 自然推理系统
在自然推理系统P中构造下面推理的证明 中构造下面推理的证明： 例2: 在自然推理系统 中构造下面推理的证明： 若数a是实数，则它不是有理数就是无理数； 不能表示成分数， 若数 是实数，则它不是有理数就是无理数；若a不能表示成分数， 是实数 不能表示成分数 则它不是有理数； 是实数且它不能表示成分数 所以a是无理数 是实数且它不能表示成分数。 是无理数。 则它不是有理数；a是实数且它不能表示成分数。所以 是无理数。 首先将简单命题符号化： 解 首先将简单命题符号化： 设 p:a是实数 , q:a是有理数 , r:a是无理数 , s:a能表示成分数 是实数 是有理数 是无理数 能表示成分数 →┐q, ∧┐ ∧┐s 推理的形式结构为 { p→(q∨r) , ┐s→┐ p∧┐ } ┝ r → ∨ →┐ 证明： p∧┐ ∧┐s 证明： ① p∧┐s ②p ③ ┐s ④ p→(q∨r) → ∨ ⑤ q∨r ∨ →┐q ⑥ ┐s→┐ →┐ ⑦ ┐q ⑧r
小张去看电影, 小王去看电影 小李去看电影 小赵去看电影 小王去看电影, 小李去看电影, 设 p:小张去看电影 q:小王去看电影 r:小李去看电影 s:小赵去看电影 小张去看电影
前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q 前提： ∧ → ┐ ∨ 结论： → 结论：s→r 证明：用附加前提证明法。 证明：用附加前提证明法。 ①s 附加前提引入 ② ┐s∨p ∨ 前提引入 ①②析取三段论 ③p ①②析取三段论 ④ (p∧q)→r 前提引入 ∧ → ⑤q 前提引入 ③⑤合取 ⑥ p∧q ∧ ③⑤合取 ④⑥假言推理 ⑦r ④⑥假言推理
2010年11月12日1时30分
第三章
命题逻辑的推理理论
漳州师范学院计算机科学与工程系
第二章 命题逻辑等值演算
推理的形式结构 自然推理系统P 自然推理系统 推理的形式结构、推理理论、自然系统P、 知 识 点：推理的形式结构、推理理论、自然系统 、推理规则 教学要求： 教学要求：深刻理解和掌握命题逻辑中的基本推理方法 教学重点：推理理论、推理规则 教学重点：推理理论、 学时: 学时 2
真值表法 等值演算法 将推理过程形式化
形式系统一般分为两类 一类是自然推理系统， 一类是自然推理系统，它的特点是从 任意给定的前提出发， 任意给定的前提出发，应用系统中的推理 规则进行推理演算， 规则进行推理演算，得到的最后命题公式 是推理的结论（有时称为有效的结论， 是推理的结论（有时称为有效的结论，它 可能是重言式，也可能不是） 可能是重言式，也可能不是） 一类是公理推理系统， 一类是公理推理系统，它只能从若干 给定的公理出发， 给定的公理出发，应用系统中推理规则进 行推理演算， 行推理演算，得到的结论是系统中的重言 称为系统中的定理。 式，称为系统中的定理。 证明公式 A1∧A2∧…∧An ∧ 即 证明 ( A1∧A2∧…∧An ∧ B 是重言式 B)⇔1
2010年11月12日1时30分
前提引入 ①化简律 ①化简律 前提引入 ②④假言推理 ②④假言推理 前提引入 ③⑥假言推理 ③⑥假言推理 ⑤⑦析取三段论 ⑤⑦析取三段论
®
自然推理系统P §3.2 自然推理系统
间接证明法：由一组前提遵循 规则 规则、 规则和 规则推演出有效结论, 规则和CP规则推演出有效结论 间接证明法：由一组前提遵循P规则、T规则和 规则推演出有效结论 或者将否定结论作为附加前提, 利用P规则和 规则和T规则得出矛盾式的论证 或者将否定结论作为附加前提 利用 规则和 规则得出矛盾式的论证 方法。 方法。后一种情形又称为反证法 在构造形式结构为 (A1∧A2∧…∧Ak) ┝ B的推理证明中，如果将 的推理证明中， ∧ 的推理证明中
2010年11月12日1时30分
®
自然推理系统P §3.2 自然推理系统
定义3.2 一个形式系统 由下面四个部分组成： 一个形式系统 由下面四个部分组成： 形式系统I由下面四个部分组成 定义 （1） 非空的字符表集，记作 ） 非空的字符表集，记作A(I) 中符号构造的合式公式集， （2） A(I)中符号构造的合式公式集，记作 ） 中符号构造的合式公式集 记作E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集， （3） E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作 X(I) ） 中一些特殊的公式组成的公理集 记作A （4） 推理规则集，记作 ） 推理规则集，记作R(I) 记为<A(I),E(I),AX(I),R(I)> 可以将 I 记为 其中 <A(I),E(I)>是I的形式语言系统 是 的 <AX(I),R(I)>为I的形式演算系统。 为 的形式演算系统。 定义3.3 自然推理系统 定义如下： 自然推理系统P定义如下 定义如下： 定义 1．字母表 ． （1）命题变项符号：p，q，r，…,pi，qi，ri，… ）命题变项符号： ， ， ， ， ， ， （2）联结词符号：┐,∧,∨,→, ↔ ）联结词符号： ∧ ∨ → （3）括号和逗号：( , )，， ）括号和逗号： ，， 2．合式公式 同定义 ． 同定义1.6 3．推理规则 ．
2010年11月12日1时30分
®
自然推理系统P §3.2 自然推理系统
定理3.1 {A1, A2,…, An} ┝ Ai, i = 1, 2,…, n 定理 证明 因为 A1∧A2∧…∧An ⇔ (A1∧A2∧…∧Ai–1∧Ai+1∧…∧An)∧Ai ⇒ Ai ∧ ∧ ∧ ∧ 所以 {A1, A2,…, An} ┝ Ai 定理3.2 若{A1, A2,…, An} ┝ Bi , i = 1, 2,…, m 定理 且{B1, B2,…, Bm} ┝ C , 则 {A1, A2,…, An} ┝ C 证明 由重言蕴涵的性质和题设可知 A1∧A2∧…∧An ⇒ B1∧B2∧…∧Bm ∧ ∧ 再由重言蕴涵的传递性可知 A1∧A2∧…∧An⇒ C,即{A1, A2,…, An} ┝ ∧ 即 C 定理3.3 若{A1, A2,…, An, B} ┝ C, 则{A1, A2,…, An} ┝ (B→C ) 定理 → 证明 因为{A1, A2,…, An, B} ┝ C, 所以 因为 ∨¬B∨ ⇔ ¬(A1∧A2∧…∧An)∨¬ ∨C ⇔ ¬(A1∧A2∧…∧An)∨(B→C) ∧ ∨¬ ∧ ∨ →
2010年11月12日1时30分
®
自然推理系统P §3.2 自然推理系统
在自然推理系统P中构造下面推理的证明 中构造下面推理的证明。 例3 在自然推理系统 中构造下面推理的证明。 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影； 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影；小赵不去看电影 或小张去看电影；小王去看电影。所以，当小赵去看电影时， 或小张去看电影；小王去看电影。所以，当小赵去看电影时，小李也 去看电影。 去看电影。 将简单命题符号化： 解 将简单命题符号化：
