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第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.1 实数指数幂和幂函数4.1.1 有理数指数幂 4.1.2 无理数指数幂必备知识基础练1.(天津滨海新区高一期中)下列运算正确的是( ) A.a 2·a 3=a 6 B.(3a)3=9a 3 C.√a 88=aD.(-2a 2)3=-8a 62.若a<0,则化简a √-1a得( ) A.-√-a B.√-a C.-√aD.√a3.(福建福州三中高一期中)已知x 2+x -2=3,则x+x -1的值为( ) A.√5B.1C.±√5D.±14.(112)0-(1-0.5-2)÷(278)23的值为( )A.-13B.13C.43D.735.若√4a 2-4a +1=1-2a,则a 的取值范围是 .关键能力提升练6.(河北张家口张垣联盟高一联考)将根式√a √a √aa(a>0)化简为指数式是( ) A.a -18B.a 18C.a -78D.a -347.已知x 2+x -2=2√2,且x>1,则x 2-x -2的值为( ) A.2或-2 B.-2 C.√6D.28.(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.-√x =(-x )12B.√y 26=y 12(y<0)C.x-13=√x3(x≠0)D.[√(-x )23]34=x 12(x>0)9.若a>0,b>0,则化简√b 3a√a2b6的结果为 .10.化简:(2-a)[(a-2)-2(-a )12]12= . 11.化简求值:(1)0.125-13−(98)0+[(-2)2]32+(√2×√33)6;(2)(5116)0.5+√(-10)2-2√3×√276-4π0÷(34)-1.学科素养创新练12.(黑龙江大庆实验中学高一期末)已知实数x 满足3×16x +2×81x =5×36x ,则x 的值为 . 答案：1.D a 2·a 3=a 5,故A 错误;(3a)3=27a 3,故B 错误;√a 88=|a|={a ,a ≥0,-a ,a <0,故C错误;(-2a 2)3=-8a 6,故D 正确.故选D.2.A ∵a<0,∴a √-1a=-√a 2×√-1a=-√a 2(-1a)=-√-a .故选A.3.C 由(x+x -1)2=x 2+x -2+2=5,可得x+x -1=±√5.故选C.4.D 原式=1-(1-22)÷(32)2=1-(-3)×49=73.故选D.5.(-∞,12] ∵√4a 2-4a +1=√(2a -1)2=|2a-1|=1-2a,∴2a-1≤0,即a≤12.6.A√a √a √aa=a 12+14+18-1=a -18,故选A.7.D (方法1)∵x>1,∴x 2>1. 由x -2+x 2=2√2,可得x 2=√2+1, ∴x 2-x -2=√2+1-√2+1=√2+1-(√2-1)=2.(方法2)令x 2-x -2=t,① ∵x -2+x 2=2√2,②∴由①2-②2,得t 2=4.∵x>1,∴x 2>x -2, ∴t>0,于是t=2,即x 2-x -2=2,故选D. 8.CD 对于选项A,因为-√x =-x 12(x≥0), 而(-x )12=√-x (x≤0),所以A 错误;对于选项B,因为√y 26=-y 13(y<0),所以B 错误; 对于选项C,x-13=√x3(x≠0),所以C 正确;对于选项D,[√(-x )23]34=x 2×13×34=x 12(x>0),所以D 正确.9.1 √b 3a√a 2b 6=√b 3a(a 2b 6)12=√b 3a ab 3=1. 10.(-a )14由已知条件知a≤0, 则(a-2)-2=(2-a)-2,所以原式=(2-a)[(2-a)-2·(-a )12]12=(2-a)(2-a)-1(-a )14=(-a )14.11.解(1)根据指数幂与根式的运算,化简可得0.125-13−(98)0+[(-2)2]32+(√2×√33)6=[(2)-3]-13−(98)0+(22)32+(212×313)6=2-1+8+(212)6(313)6=2-1+8+8×9 =81.(2)由分数指数幂及根式的运算,化简可得(5116)0.5+√(-10)2-2√3×√276-4π0÷(34)-1=[(32)4]0.5+10-2√3×(33)16-4×34=94+10-2√3×√3-3 =94+10-6-3=134.12.0或12因为3×16x +2×81x =5×36x ,所以3×24x +2×34x =5×(2×3)2x ,则3×24x +2×34x =5×22x ×32x ,所以3×24x +2×34x -5×22x ×32x =0,即(3×22x -2×32x )(22x -32x )=0,所以3×22x -2×32x =0,或22x -32x =0,解得x=12或x=0.。
4．1.2无理数指数幂及其运算性质学习目标1.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.2.了解无理数指数幂的意义．知识点一无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．知识点二实数指数幂的运算性质1．a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈R)．2．(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈R)．3．(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈R)．预习小测自我检验1．计算(1 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝________.答案 22．下列等式一定成立的是________．(填序号)①⋅a;②1122a a-⋅＝0；③(a3)2＝a9;④11 136 2.a a a÷=答案④3．若100x＝25，则10－x＝________.答案1 5解析∵100x＝25，∴(10x)2＝52，∴10x＝5,10－x＝(10x)－1＝5－1＝1 5.4．计算：π0＋2－2×12124⎛⎫⎪⎝⎭＝________. 答案 118一、运用指数幂运算公式化简求值 例1 计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)()10.52332770.0272;1259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)1;2⎡⎛⎫⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣⎦()1.a +解 (1)()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09. (2)原式＝⎛ ⎪ ⎪⎝⎭＝322⎛==⎪⎪⎝⎭(3)＋1＝1＋1＝2.反思感悟一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．跟踪训练1计算下列各式的值(式中字母都是正数)：(1)1318-⎛⎫⎪⎝⎭×⎝⎛⎭⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6；(2)23a2÷(46a·b)·3b3.解 (1)原式＝()6611111(1)333424812223⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝314422++＋22×33＝112.(2)原式＝21133662243a a b b ⎛⎫⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21133662132a b b --⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭ 41323.2a b = 二、分数指数幂运算的综合应用 例2 (1)已知a m ＝4，a n ＝3，求a m －2n的值；(2)已知1122a a-+＝3，求下列各式的值．①a ＋a －1；②a 2＋a －2；③3322.a a -+解 (1)am －2n＝()()121222m mn n a a aa -⎡⎤⎢⎥⋅=⎢⎥⎣⎦12243⎛⎫= ⎪⎝⎭＝23. (2)①∵11223,a a-+=∴211229,a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭即a ＋2＋a －1＝9，∴a ＋a －1＝7. ②∵a ＋a －1＝7，∴(a ＋a －1)2＝49，即a 2＋2＋a －2＝49. ∴a 2＋a －2＝47. ③3333112222a aa a --⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11122(1)a a a a --⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭＝3×(7－1)＝18.延伸探究在本例(2)的条件下，求a2－a－2的值．解设y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝472－4＝2 205.所以y＝±215，即a2－a－2＝±21 5.反思感悟条件求值问题的解法(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．跟踪训练2已知x＋y＝12，xy＝9且x<y，求11221122x yx y-+的值．解211221122111111222222x yx yx y x y x y⎛⎫-⎪-⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++-⎪⎪⎝⎭⎝⎭12()2(),x y xyx y+-=-①∵x＋y＝12，xy＝9，②∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108. 又∵x<y，∴x－y＝－6 3.③将②③代入①，得111222112293 x yx y-==-+1．化简34的结果为( )A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．－5 答案 B解析33214432(5)5⎡⎤⎤=-==⎢⎥⎣⎦2．计算2332a b --⎛⎫ ⎪⎝⎭·(－3a －1b )÷5434a b --⎛⎫ ⎪⎝⎭得( )A ．－32b 2 B.32b 2 C ．7332b - D.7332b答案 A解析 原式＝143254363.24a b b a b----=-3．若10x ＝183-，10y ＝427，则102x －y ＝________. 答案 13解析 102x －y ＝(10x )2÷10y ＝2183-⎛⎫ ⎪⎝⎭÷427＝1344133.3-÷=4．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 答案 14152解析 由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝152.5．化简m π·4m π·3π4m- (m >0)＝________.答案 1解析 原式＝ππ3ππ3ππ244244m m mm-+-⋅⋅=＝m 0＝1.1．知识清单：(1)有理数指数幂的性质． (2)无理数指数幂的性质．2．方法归纳：根式的运算可先转化为幂的运算，最后再将结果转化为根式．3．常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．1．下列等式能够成立的是( ) A.⎝⎛⎭⎫n m 7＝17n ·m 7(m ≠n ，m ≠0) B.12(－3)4＝()133-C.4x 3＋y 3＝()34x y +(x ≥0，y ≥0)D.39＝133答案 D解析 因为⎝⎛⎭⎫n m 7＝n 7m 7＝n 7·m －7，所以A 错； 因为12(－3)4＝1234＝133≠()133-，所以B 错；因为4x 3＋y 3＝(x 3＋y 3)14≠(x ＋y )34，所以C 错； 因为39＝69＝133，所以D 正确．2．计算(2n ＋1)2·⎝⎛⎭⎫122n ＋14n ·8－2(n ∈N *)的结果为( ) A.164 B ．22n ＋5C ．2262n n －＋D.⎝⎛⎭⎫122n －7答案 D解析 原式＝22n ＋2·2－2n －1(22)n ·(23)－2＝2122n －6＝27－2n ＝⎝⎛⎭⎫122n －7. 3．2327＋1216-－⎝⎛⎭⎫12－2－23827-⎛⎫ ⎪⎝⎭等于( )A ．3B ．6 C.14 D ．15答案 A解析 原式＝233(3)＋()1224-－(2－1)－2－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23323- ＝9＋4－1－4－⎝⎛⎭⎫23－2＝9＋14－4－94 ＝9－6＝3.4．若a >0，且a x＝3，a y＝5，则22yx a+等于( )A ．9＋ 5 B.452 C ．9 5 D ．6 5答案 C 解析 22y x a+＝(a x )2·(a y )12＝32·512＝9 5.5．设12a －12a -＝m ，则a 2＋1a等于( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值 答案 C解析 将12a －12a -＝m 两边平方，得21122a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2， 即a ＋1a ＝m 2＋2，所以a 2＋1a＝m 2＋2.6．设α，β为方程2x 2＋3x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫14α＋β＝________. 答案 8解析 由根与系数的关系得α＋β＝－32，所以⎝⎛⎭⎫14α＋β＝⎝⎛⎭⎫1432-＝(2－2)32-＝23＝8. 7________.答案 1解析＝1.8．设a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m ＝________. 答案 16解析 因为a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)， 所以a ＝b 2.由a ＋b ＝6得b 2＋b －6＝0， 解得b ＝2或b ＝－3(舍去)． 所以m ＝24＝16.9．化简下列各式(式中字母都是正数)：(1)83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)(－31134a b-)(42132a b -)÷(－21134a b -)；(3)(14x ＋14y )(14x －14y )(x ＋y )．解 (1)83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(14m )8(38n -)8＝m 2n －3＝m 2n3.(2)原式＝[－3×4÷(－2)]·121111333424a b-+--+＝6a 0b 0＝6.(3)原式＝[(14x)2－(14y )2](x ＋y )＝(12x －12y )(x ＋y ) ＝(x －y )(x ＋y ) ＝(x )2－(y )2＝x －y . 10．计算：(1)733－3324－6319＋4333；(2)0.008 114-－⎣⎡⎦⎤3×⎝⎛⎭⎫780－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤81－0.25＋⎝⎛⎭⎫33813-12-－10×0.02713.考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的四则混合运算 解 (1)原式＝7×133－3×133×2－6×233-＋(3×133)14＝133－6×233-＋133＝2×133－2×3×233-＝2×133－2×133＝0.(2)原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫310414-－(3×1)－1×⎣⎡⎦⎤3－1＋⎝⎛⎭⎫32－112-－10×(0.33)13 ＝⎝⎛⎭⎫310－1－13×⎝⎛⎭⎫13＋2312-－10×0.3＝103－13－3＝0.11．若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b 等于( ) A ．50 B ．12 C ．20 D ．1 答案 D解析 ∵100a ＝5，∴102a ＝5，∴102a ＋b ＝102a ·10b ＝5×2＝10， ∴2a ＋b ＝1，故选D.12．若a >1，b >0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b等于( )A. 6 B ．2或－2 C ．－2 D ．2答案 D解析 a >1，b >0，∴a b >1，∴a －b ＝1a b ，∴a －b ∈(0,1)，∴a b －a －b >0， ∵a b ＋a －b ＝22，∴a 2b ＋a －2b ＝6， (a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4， ∴a b －a －b ＝2.故选D.13．若2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y ＝________. 答案 27解析 ∵2x ＝8y ＋1＝(23)y ＋1＝23y ＋3， ∴x ＝3y ＋3，①又∵9y ＝3x －9＝(32)y ＝32y ， ∴x －9＝2y ，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.14．化简a23b a12-·3b÷⎝⎛⎭⎪⎫a －1b －1b a 23- (a >0，b >0)的值为________．考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的乘除运算 答案 1566a b-解析 原式＝1321132a b a b 2-⋅⋅÷2131212a bb a ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭＝21321132a ba b-⋅⋅÷21131122a b-----⎛⎫⎪⎝⎭＝21113223a b+-÷233322a b---⎛⎫⎪⎝⎭＝7166a b÷(ab)＝7111 66 a b--＝15 66 a b-.15．设a＝424，b＝312，c＝6，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．a<b<c 答案 D解析ab＝424312＝(23×3)14(22×3)13＝314421332323⨯⨯＝3243113423--＝11211223＝⎝⎛⎭⎫23112<1，又a>0，b>0，∴a<b，b c ＝3126＝(22×3)13(2×3)12＝213311222323⨯⨯ ＝2132112323--＝161623＝1623⎛⎫⎪⎝⎭<1， 又b >0，c >0，∴b <c ， 综上有a <b <c ，故选D. 16．已知a ＝3，求1411a+＋1411a-＋1221a+＋41＋a的值． 解1411a+＋1411a-＋1221a+＋41＋a＝1144211a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＋1221a +＋41＋a ＝1221a-＋1221a+＋41＋a＝1122411a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＋41＋a ＝41－a ＋41＋a ＝81－a 2＝－1.。
第2课时分数指数幂、无理数指数幂学习目标通过对有理数指数幂mna(a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂a x(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．知识点一分数指数幂1．规定正数的正分数指数幂的意义是：mna＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．2．规定正数的负分数指数幂的意义是：mna-＝1mna＝1n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．3．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．思考分数指数幂mna可以理解为mn个a相乘吗？答案不可以．分数指数幂mna不可以理解为mn个a相乘．事实上，它是根式的一种新写法．知识点二有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．(4)拓展：a ra s＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．知识点三无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．1．37a-(a>0)化为根式的形式为________．答案17a3解析37a-＝371a＝17a3.2．412m⎛⎫⎪⎝⎭＋(－1)0＝________.答案m2＋1解析412m⎛⎫⎪⎝⎭＋(－1)0＝m2＋1.3．化简()1223-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的结果是________．答案33解析原式＝123-＝13＝33.4．下列等式一定成立的是________．(填序号，a>0) ①3a·3a；②12a-·12a＝0；③(a3)2＝a9；④12a÷13a＝16a.答案④一、根式与分数指数幂的互化例1将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a(a>0)；(2)13x(5x2)2(x>0)；(3)23243b--⎝⎭(b>0)．解(1)12·a a32a1322a⎛⎫⎪⎝⎭＝34a.(2)2253·x x⎛⎫⎪⎝⎭435·x x935x＝19351x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝351x＝35x-.(3)原式＝213243b --⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝212343b ⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭ ＝19b . 反思感悟 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．跟踪训练1 用分数指数幂表示下列各式： (1)13a 2；(2)a －4b 23ab 2(a >0，b >0)． 解 (1)13a 2＝23a-.(2)a －4b 23ab 2()14223·a b ab-124233a b a b -11833ab -＝11463a b -.二、利用分数指数幂的运算性质化简求值 例2 计算下列各式： (1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×12124-⎛⎫ ⎪⎝⎭－(0.01)0.5；(2)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋2310227-⎛⎫ ⎪⎝⎭－3π0＋3748；(3)254－3338＋40.062 5＋22.55130.064-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦－π0. 解 (1)原式＝1＋14×23－110＝1615.(2)原式＝53＋100＋916－3＋3748＝100＋14448－3＝100.(3)原式＝12254⎛⎫⎪⎝⎭－13278⎛⎫ ⎪⎝⎭＋1462510000⎛⎫ ⎪⎝⎭＋()122.535641000⨯-⨯⎛⎫⎪⎝⎭－1＝52－32＋12＋⎝⎛⎭⎫25－1－1＝3. 反思感悟 指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质． 跟踪训练2 化简求值：(1)130.027－12164⎛⎫⎪⎝⎭＋34256＋()23－3－1＋π0；(2)(a －2b －3)×(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (3)23a ÷46ab ×3b 3.解 (1)原式＝()1330.3－12252⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＋()3444＋23322⎛⎫ ⎪⎝⎭－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝64715.(2)原式＝－4a －2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c ) ＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c.(3)原式＝132a ÷11664a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭×323b ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝11136612a b --×323b ＝146332a b . 三、整体代换法求分数指数幂 例3 (1)已知12x ＋12x -＝5，则x 2＋x －2＝________.答案 7解析 将12x ＋12x -＝5，两边平方得x ＋x －1＋2＝5，则x ＋x －1＝3，两边再平方得x 2＋x －2＋2＝9，所以x 2＋x －2＝7. (2)已知x ＋x －1＝7，求值：①12x ＋12x -；②x 2－x －2.解 ①设m ＝12x ＋12x-，两边平方得m 2＝x ＋x －1＋2＝7＋2＝9，因为m >0，所以m ＝3，即12x ＋12x -＝3.②设n ＝12x －12x-，两边平方得n 2＝x ＋x －1－2＝7－2＝5，因为n ∈R ，所以n ＝±5，即12x －12x -＝±5.所以x －x －1＝(12x ＋12x-)(12x －12x-)＝±35，x 2－x －2＝(x ＋x －1)(x －x －1)＝±21 5. (教师) 延伸探究本例(2)的条件不变，求x 3＋x －3的值． 解 由x ＋x －1＝7平方可得x 2＋x －2＝47， 所以x 3＋x －3＝(x ＋x －1)(x 2＋x －2－1)＝7×46＝322. 反思感悟 利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式． x 2＋x －2＝(x ±x －1)2 ∓2，x ＋x －1＝(12x ±12x -)2∓2，12x ＋12x -＝(14x ±14x -)2∓2.跟踪训练3 已知a 2x ＝2＋1，求a 3x ＋a －3xa x ＋a －x的值．解 令a x ＝t ，则t 2＝2＋1，所以a 3x ＋a －3x a x ＋a －x ＝t 3＋t －3t ＋t －1＝(t ＋t －1)(t 2－1＋t －2)t ＋t －1＝t 2＋t －2－1＝2＋1＋12＋1－1 ＝2＋1＋2－1－1＝22－1.1．化简()34235⎡⎤-⎢⎣的结果为( )A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．－5 答案 B解析 ()34235⎡⎤-⎢⎣＝34325＝125＝5.2.a 3a 5a 4(a >0)的值为________．答案 1710a解析 原式＝a 3·12a -·45a -＝14325a--＝1710a .3．若α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 答案 14152解析 由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝152.4．若10x ＝3,10y ＝4，则102x －y ＝________. 答案 94解析 ∵10x＝3，∴102x ＝9，∴102x －y ＝102x10y ＝94. 5．计算：0.25×⎝⎛⎭⎫－12－4－4÷20－12116-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝________.答案 －4解析 原式＝14×16－4÷1－⎝⎛⎭⎫14－1 ＝4－4－4＝－4.1．知识清单：(1)根式与分数指数幂的互化．(2)分数指数幂的运算．2．方法归纳：整体代换法．3．常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．1．若()3412x --有意义，则x 的取值范围是( )A ．R B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 D解析 将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x >0， 解得x <12.2．将3－22化为分数指数幂为( ) A ．122 B ．122- C ．122- D ．122--答案 B解析3－22＝113222⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭＝13322⎛⎫- ⎪⎝⎭＝122-.3．计算2332a b --⎛⎫ ⎪⎝⎭·(－3a －1b )÷5434a b --⎛⎫ ⎪⎝⎭得( )A ．－32b 2B.32b 2 C ．7332b -D.7332b 答案 A解析 原式＝14354364a b a b----＝－32b 2.4．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( ) A ．()131-和()261- B ．0－2和120 C ．122和144D ．324-和⎝⎛⎭⎫12－3答案 C解析 选项A 中，()131-和()261-均不符合分数指数幂的定义，且()131-＝3－1＝－1，()261-＝6(－1)2＝1，故A 不满足题意；选项B 中，0的负指数幂没有意义，故B 不满足题意； 选项D 中，324-和⎝⎛⎭⎫12－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D 不满足题意；选项C 中，122＝2，144＝422＝122＝2，满足题意．故选C.5．已知ab ＝－5，则a－b a ＋b －ab的值是( ) A ．2 5 B ．0 C ．－2 5 D ．±2 5 答案 B解析 由题意知ab <0， a －ba ＋b －a b＝a －ab a 2＋b －ab b 2＝a5a 2＋b 5b 2＝a 5|a |＋b 5|b |＝0.6＝________.答案解析＝7＝________.答案 1解析＝1.8．已知12a －12a -＝3，则12a ＋12a-＝________.答案13解析因为21122a a-⎛⎫+⎪⎝⎭＝a＋a－1＋2＝21122a a-⎛⎫-⎪⎝⎭＋4＝9＋4＝13.又因为12a＋12a->0，所以12a＋12a-＝13.9．计算下列各式：(1)11212133363232x y x y x y--⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)11134423x x y-⎛⎫- ⎪⎝⎭÷43326x y--⎛⎫- ⎪⎝⎭．解(1)11212133363232x y x y x y--⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝[－1×3×(－2)]111122 326333 x y-+-++＝6x0y1＝6y.(2)11134423x x y-⎛⎫- ⎪⎝⎭÷43326x y--⎛⎫- ⎪⎝⎭＝[2×(－3)÷(－6)]1411333442x y-+++＝x2y.10．计算：(1)733－3324－6319＋4333；(2)140.0081-－⎣⎡⎦⎤3×⎝⎛⎭⎫780－1×11230.2538138---⎡⎤⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦－10×130.027.解(1)原式＝7×133－3×133×2－6×233-＋114333⎛⎫⨯⎪⎝⎭＝133－6×233-＋133＝2×133－2×3×233-＝2×133－2×133＝0.(2)原式＝144310-⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－(3×1)－1×1121332---⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－10×()1330.3＝⎝⎛⎭⎫310－1－13×121233-⎛⎫+ ⎪⎝⎭ －10×0.3＝103－13－3＝0.11．(36a 9)4(63a 9)4(a >0)等于( )A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 2 答案 C 解析 原式＝9191446336aa⨯⨯⨯⨯＝a 2a 2＝a 2＋2＝a 4.12．已知2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析 由题意得m >0，∵2a＝m,5b＝m ，∴2＝1am ，5＝1bm ，∵2×5＝1a m ·1b m ＝11a bm +，∴m 2＝10，∴m ＝10.13．已知2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y ＝________. 答案 27解析 由2x ＝8y ＋1，得2x ＝23y ＋3， 所以x ＝3y ＋3.①由9y ＝3x －9，得32y ＝3x －9， 所以2y ＝x －9.②由①②联立方程组，解得x ＝21，y ＝6， 所以x ＋y ＝27.14．已知a 2m ＋n ＝2－2，a m －n ＝28(a >0，且a ≠1)，则a 4m ＋n的值为________．答案 4解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2m ＋n ＝2－2， ①a m －n ＝28， ②所以①×②得a3m＝26，所以a m＝22.将a m＝22代入②得22·a－n＝28，所以a n＝2－6，所以a4m＋n＝a4m·a n＝(a m)4·a n＝(22)4·2－6＝22＝4.15．已知m＝2，n＝3，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3m2n－3n·3m－2÷m n－4n m－23的值是________．答案227解析m＝2，n＝3，则原式＝32312322213····m n m nn mn m----⎡⎤⎛⎫⎢⎥÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝34531322···m n m n--⎛⎫⎪⎝⎭＝m·n－3＝2×3－3＝227.16．对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有a x＝b y＝c z＝70ω，1ω＝1x＋1y＋1z，求a，b，c的值．解∵a x＝70ω，且x，ω为非零实数，∴()1x x aω＝()170xωω，∴1aω＝170x.同理，可得1bω＝170y，1cω＝170z.∴1aω·1bω·1cω＝170x·170y·170z，即()1abcω＝11170x y z++.又1x＋1y＋1z＝1ω，a，b，c为正整数，∴abc＝70＝2×5×7.∵a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.。
