2019数学二轮基本内容十大攻略第03讲函数与不等式问题的解题技巧

第三讲 函数与不等式问题【考点透视】1．了解映射的概念，理解函数的概念．2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程．3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数． 4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质．5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质． 6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 7．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力．8．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式．9．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题．10．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力． 11．能较灵活的使用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．12．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、分析几何等各部分知识中的使用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在使用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．【例题分析】 1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会使用用函数的定义域解决有关问题. 例1．已知函数()f x 的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅ 命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.解：函数()f x =的定义域M={}1,x x < g(x)=ln(1)x +的定义域N={}1,x x >-∴M ∩N={|11}x x -<<． 故选C例2.函数y ( )（A ）(3,+∞) （B ）[3, +∞) （C ）(4, +∞) （D ）[4, +∞) 命题意图: 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.解：由20 4.log 20x x x >⎧⇒>⎨->⎩，故选D.2.求函数的反函数求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解.例3．函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是（ ） （A）,020xx y x ⎧≥⎪=< （B）2,00x x y x ≥⎧=< （C）,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩（D）2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ 命题意图: 本题主要考查有关分段函数的反函数的求法.()121:2,.(),(0);22,0,()0.,020.yxy x x f x x y x y f x x xx y x --=∴=∴=≥=-<∴=<⎧≥⎪∴=⎨⎪<⎩解又故选C.例4．已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ． 命题意图: 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识.解：()()11112,,.2222y x a x y a y x a x a =-∴=+∴=+=+与3y bx =+比较得a =6，1.2b =故填162；3.复合函数问题复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数分析式的求法来求复合函数的值.二是使用已知函数定义域求复合函数的定义域.例5．对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②Ｄ．③命题意图: 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力.解：22()(2),(2)f x x f x x =-∴+=是偶函数，又函数2()(2)f x x =-开口向上且在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数．故能使命题甲、乙均为真的函数仅有2()(2)f x x =-．故选Ｃ例6．函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________.命题意图: 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力. 解：由()()12f x f x +=,得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+.4.函数的单调性、奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.例7．已知函数()1,1xf x a z =-+，若()f x 为奇函数，则a =________.命题意图: 本题主要考查函数的分析式的求解以及函数的奇偶性使用. 常规解法：由f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即,0121121=+-++--x xa a .2112212112112121=++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∴-x x x x a 应填21.巧妙解法：因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即.21,01210=∴=+-a a 应填21.点评：巧妙解法巧在利用了f(x)为奇函数,所以f(0)=0,这一重要结论.例8． ()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件命题意图: 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识.解 先证充分性：因为()f x ，()g x 均为偶函数， 所以()(),f x f x -=()()g x g x -=，有()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=，所以 ()h x 为偶函数．反过来，若()h x 为偶函数，()f x ()g x 不一定是偶函数．如2()h x x =，(),f x x =2()g x x x =-，故选B.方法二：可以选取两个特殊函数进行验证． 故选B点评：对充要条件的论证，一定既要证充分性，又要证必要性，二着缺一不可．同时，对于抽象函数，有时候可以选取特殊函数进行验证． 5.函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例9．函数y=1+a x (0<a <1)的反函数的图象大致是 ( )（A ） （B ） （C ） （D ）命题意图: 本题主要考查对数函数的图象，互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识.解：∵y=1+a x (0<a <1),∴()()1log (1),01a f x x a -=-<<.此函数图象是由函数()()log ,01a f x x a =<<向右平移一个单位得到的.故选A. 6. 函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力. 例10．已知.|1|)(22kx x x x f ++-= （Ⅰ）若k = 2，求方程0)(=x f 的解；（Ⅱ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明.41121<+x x命题意图：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。

数学不等式解题技巧数学不等式解题技巧1. 基本概念•不等式是数学中一种常见的表达形式，比较了两个数或两个式子的大小关系。

•不等式的解是使不等式成立的数的集合。

•不等式解题的目标是确定使不等式成立的数的范围或具体的数值。

2. 解不等式的基本方法•图像法：可以将不等式转化为图像，通过观察图像来得出解的范围。

•换元法：通过引入新的变量，将复杂的不等式转化为简单的形式，然后再进行解题。

•分析法：通过对不等式进行分析，找出其中的特点和规律，得出解的范围或具体的数值。

•代入法：将待求的解代入不等式，验证是否成立，进而确定是否为解。

3. 常见的不等式类型及解题技巧一次不等式•形如ax + b > c 或 ax + b < c 的不等式。

•解题思路：根据不等式的符号关系，将未知数x的系数提出，进行分析和计算，得出解的范围。

二次不等式•形如ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0的不等式。

•解题思路：通过求解方程ax^2 + bx + c = 0 的根的位置和二次函数的凹凸性来确定解的范围。

绝对值不等式•形如|ax + b| > c 或 |ax + b| < c的不等式。

•解题思路：根据绝对值的性质，将绝对值不等式拆分为条件式，并分别进行求解得出解的范围。

分式不等式•形如f(x)/g(x) > 0 或 f(x)/g(x) < 0的不等式。

•解题思路：通过不等式左右两边的符号判断，以及分式函数的定义域和零点位置，得出解的范围。

4. 注意事项•在解不等式的过程中，需要注意以下问题：–对不等式两边同时加减或乘除一个正数时，不等号的方向保持不变；–对不等式两边同时加减或乘除一个负数时，不等号的方向发生改变；–在进行平方根运算时，需要注意正负解的区别；–在进行分式运算时，需要考虑分母为0的情况。

5. 总结•解不等式是数学学习中的重要环节，掌握一定的解题技巧能够帮助我们更好地理解数学不等式的概念和性质。

第3章 一次函数与一次不等式【知识衔接】————初中知识回顾————1、形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数。

（1）它的图象是一条斜率为k ，过点（0，b ）的直线。

（2）k>0⇔是增函数；k<0⇔是减函数。

2、不等式ax>b 的解的情况：（1）当a>0时，ab x >； （2）当a<0时，a b x <； （3）当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。

类似地，请同学们自行分析不等式ax <b 的解的情况。

————高中知识链接————一次函数y =kx +b （k ≠0，b ≠0）的图象所经过的象限有四种情况：①当k >0，b >0，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限；②当k >0，b <0，函数y =kx +b 的图象经过第一、三、四象限；③当k <0，b >0，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、四象限；④当k <0，b <0，函数y =kx +b 的图象经过第二、三、四象限．一次函数y =kx +b (k ≠0)中，|k |越大，直线y =kx +b 越靠近y 轴，即直线与x 轴正半轴的夹角越大；|k |越小，直线y =kx +b 越靠近x 轴，即直线与x 轴的夹角越小．学#科网【经典题型】初中经典题型1．一次函数y ＝(m －2)x ＋3的图象如图所示，则m 的取值范围是（ ）A．m＜2 B．0＜m＜2 C．m＜0 D．m＞2【答案】A【解析】如图所示，一次函数y=（m﹣2）x+3的图象经过第一、二、四象限，∴m﹣2＜0，解得m＜2，故选A．2．如图，把Rt∆ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将∆ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．82【答案】C3．已知点A是直线y=x+1上一点，其横坐标为﹣，若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为_____．【答案】(,)【解析】分析：利用待定系数法求出点A坐标，再利用轴对称的性质求出点B坐标即可；详解：由题意A（-，），∵A、B关于y轴对称，∴B（，），故答案为（，）．4．星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家．他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是__千米．【答案】1．5．【解析】分析：首先设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y=kt+b，然后再把（40，2）（60，0）代入可得关于k、b的方程组，解出k、b的值，进而可得函数解析式，再把t=45代入即可．点睛：本题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，掌握待定系数法求出函数解析式．5．一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求出不等式组的解集，再在数轴上表示. 详解：解不等式组得－3＜x ≤2，在数轴上表示为：故选D .点睛：解一元一次不等式组，通常采用“分开解，集中定”的方法，即单独的解每一个不等式，而后集中找它们的解的“公共部分”．在找“公共部分”的过程中，可借助数轴或口诀两种方法确定不等式组的解集．其中确定不等组解集的方法为：“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小是无解”．在数轴上表示解集时，大于向右画，小于向左画，含等号取实心点，不含等号取空心圆圈.6．若实数3是不等式2x –a –2<0的一个解，则a 可取的最小正整数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】解：根据题意，x =3是不等式的一个解，∴将x =3代入不等式，得：6﹣a ﹣2＜0，解得：a ＞4，则a 可取的最小正整数为5，故选D ．学-科网点睛：本题主要考查不等式的整数解，熟练掌握不等式解得定义及解不等式的能力是解题的关键．高中经典题型1．若函数1y ax =+在[]1,2上的最大值与最小值之差为2，则实数a =（ ）A ． 2B ． 2-C ． 2或2-D ． 0【答案】C【解析】1y ax =+，若0a =，则y 的最大与最小之差为0（舍），若0a >，则()()max 221f x f a ==+，()()min 11f x f a ==+，则()2112a a a +-+==（符合），若0a <，则()()max 11f x f a ==+， ()()min 221f x f a ==+，则()1212a a a +-+=-=，则2a =-（符合），故选C ． 2．若()()0f x ax b a =+>,且()()41ff x x =+，则()3f =__________． 【答案】193【解析】由()()()241f f x af x b a x ab b x =+=++=+， ()24,10a ab b a ∴=+=>，解得()112,,233a b f x x ==∴=+，于是()1933f =，故答案为193． 3．如图，已知函数f(x)的图象是两条直线的一部分，其定义域为(－1,0]∪(0,1)，则不等式f(x)－f(－x)>－1的解集是______________．【答案】 (－1，－ 12)∪[0,1)4．已知函数()()()110f x ax x a a =+->，且()f x 在[]0,1上的最小值为()g a ，求()g a 的最大值． 【答案】1【解析】试题分析：（1）由题意知()11f x a x a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，分三种情况讨论，即可求解函数的最小值，得出()g a 的表达式，即可求解()g a 的最大值． 试题解析：由题意知()11f x a x a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，（1）当a 1>时， 1a 0a ->，此时()f x 在[]0,1上为增函数，∴()()1g a f 0a ==；（2）当0a 1<<时， 1a 0a-<，此时()f x 在[]0,1上为减函数，∴()()g a f 1a == ；（3）当a 1=时， ()f x 1=，此时()g a 1=，∴(),01,g a { 1,1,aa a a <<=≥其在()0,1上为增函数，在[)1,∞上是减函数，又当a 1=时，有1a 1a==，∴当a 1=时， ()g a 取得最大值1． 点睛:本题考查了函数最值问题及其应用，其中解答中涉及到一次函数的单调性的应用，以及分段函数的性质，同时考查了分类讨论的思想方法，本题的解答中注意1a =的情况，容易导致错解，试题有一定的基础性，属于基础题．5．(1)求函数y ＝ax ＋1(a≠0)在[0，2]上的最值．(2)若函数y ＝ax ＋1在[0，2]上的最大值与最小值之差为2．求a 的值．【答案】(1)详见解析;(2) a ＝±1．6．某商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为4000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元．学-科网（1)求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍。

数学不等式与函数题解题技巧和思路分享数学是一门既抽象又具体的学科，其中不等式与函数是数学中的重要内容。

解题技巧和思路在数学学习中起到至关重要的作用。

本文将分享一些解决数学不等式与函数题的技巧和思路，帮助读者更好地应对这类题目。

一、不等式题解题技巧不等式题是数学中常见的题型，解题时需要注意以下几个技巧：1. 观察不等式的形式：不等式可以分为一元不等式和多元不等式。

对于一元不等式，我们可以通过图像、区间、符号等方式进行分析；对于多元不等式，需要考虑各个变量之间的关系。

2. 利用性质进行转化：有时候，我们可以通过一些性质将不等式转化为更简单的形式。

例如，对于二次不等式，可以利用平方差公式将其转化为完全平方差形式，从而更方便进行求解。

3. 运用数学方法：在解决不等式问题时，可以借助数学方法进行推导和证明。

例如，可以利用数列的性质、平均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等进行推导，从而得到更加准确的结果。

4. 注意特殊情况：在解决不等式问题时，需要注意特殊情况的存在。

例如，当不等式中的变量为负数或零时，不等式的符号可能会发生变化，需要进行特殊处理。

二、函数题解题技巧函数题是数学中的重要内容，解题时需要注意以下几个技巧：1. 理解函数的定义与性质：在解决函数题时，首先需要理解函数的定义与性质。

例如，对于一元函数，需要了解其定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，从而更好地进行分析和推导。

2. 利用函数的图像进行分析：函数的图像可以直观地反映函数的性质。

通过观察函数的图像，可以获得一些关于函数的信息，从而更好地解决函数题。

3. 运用函数的性质进行推导：在解决函数题时，可以利用函数的性质进行推导和证明。

例如，可以利用导数的定义和性质进行函数的最值求解，利用函数的连续性进行函数的极限计算等。

4. 注意函数的特殊情况：在解决函数题时，需要注意函数的特殊情况。

例如，当函数的定义域存在间断点时，需要进行特殊处理；当函数存在极值点时，需要进行极值点的求解。

第3讲 不等式「考情研析」 1.利用不等式性质比较大小、利用基本不等式求最值是高考的热点． 2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围．核心知识回顾1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为□01正数)；二判(判断□02Δ的符号)；三解(解□03对应的一元二次方程)；四写(□04大于取两边，小于取中间). 2．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧□01a ＞0，□02Δ＜0Ｗ．(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧□03a ＜0，□04Δ＜0Ｗ．3．分式不等式f （x ）g （x ）＞0(＜0)⇔□01f (x )g (x )＞0(＜0)； f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧□02f （x ）g （x ）≥0（≤0），□03g （x ）≠0Ｗ．4．基本不等式(1)a ＋b2≥□a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当□02a ＝b 时取等号． (2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．热点考向探究考向1 不等式的性质及解法例1 (1)(多选)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．若ab ≠0且a <b ，则1a >1b B ．若0<a <1，则a 3<a C ．若a >b >0，则b ＋1a ＋1>baD ．若c <b <a 且ac <0，则cb 2<ab 2 答案 BC解析 A 项，取a ＝－2，b ＝1，则1a >1b 不成立．B 项，若0<a <1，则a 3－a ＝a (a 2－1)<0，∴a 3<a ，因此正确．C 项，若a >b >0，则a (b ＋1)－b (a ＋1)＝a －b >0，∴a (b ＋1)>b (a ＋1)，∴b ＋1a ＋1>ba ，正确；D 项，若c <b <a 且ac <0，则a >0，c <0，而b 可能为0，因此cb 2<ab 2不正确．故选BC.(2)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝7，若对于任意实数k ，不等式|k a ＋t b |>1恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞C ．(3，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞答案 B解析 ∵|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝7，∴(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝7，∴a ·b ＝－1，又|k a ＋t b |>1，∴(k a ＋t b )2>1，即k 2a 2＋t 2b 2＋2kt a ·b ＝k 2＋4t 2－2kt >1对于任意实数k 恒成立，∴k 2－2kt ＋4t 2－1>0对于任意实数k 恒成立，∴Δ＝(－2t )2－4(4t 2－1)<0，∴t <－33或t >33，故选B.(3)(2020·四川省成都模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案 (－3，0)∪(3，＋∞)解析 设x <0，则－x >0，由题意可得f (－x )＝－f (x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ，∴f (x )＝－x 2－2x ，故当x <0时，f (x )＝－x 2－2x .由不等式f (x )>x ， 可得⎩⎨⎧x >0，x 2－2x >x 或⎩⎨⎧x <0，－x 2－2x >x ，求得x >3或－3<x <0.即不等式f (x )>x 的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).(1)利用不等式的性质解决问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．(2)一元二次不等式的常见解法是利用“三个二次”之间的关系，借助二次函数图象得到其解集．1．(多选)(2020·海南省高三三模)设a ，b ，c 为实数且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．1a >1bB ．2020a －b >1C ．ln a >ln bD ．a (c 2＋1)>b (c 2＋1)答案 BD解析 对于A ，若a >b >0，则1a <1b ，所以A 错误；对于B ，因为a －b >0，所以2020a －b >1，故B 正确；对于C ，函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，而a ，b 不一定是正数，所以C 错误；对于D ，因为c 2＋1>0，所以a (c 2＋1)>b (c 2＋1)，所以D 正确．故选BD.2．(多选)(2020·山东省淄博模拟)设[x ]表示不小于实数x 的最小整数，则满足关于x 的不等式[x ]2＋[x ]－12≤0的解可以为( )A ．10B ．3C ．－4.5D ．－5答案 BC解析 不等式[x ]2＋[x ]－12≤0可化为([x ]＋4)([x ]－3)≤0，解得－4≤[x ]≤3，又[x ]表示不小于实数x 的最小整数，且[10]＝4，[3]＝3，[－4.5]＝－4，[－5]＝－5，所以满足不等式[x ]2＋[x ]－12≤0的解可以为B ，C.故选BC.3．定义：区间[a ，b ]，(a ，b ]，(a ，b )，[a ，b )的长度均为b －a ，若不等式1x －1＋2x －2≥m (m ≠0)的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为l ，则( )A ．当m >0时，l ＝m 2＋2m ＋9mB ．当m >0时，l ＝3mC ．当m <0时，l ＝－m 2＋2m ＋9mD ．当m <0时，l ＝－3m 答案 B解析 ①当m ＞0时，∵1x －1＋2x －2≥m ⇔mx 2－（3＋3m ）x ＋2m ＋4（x －1）（x －2）≤0，令f (x )＝mx 2－(3＋3m )x ＋2m ＋4＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，则m （x －x 1）（x －x 2）（x －1）（x －2）≤0，且x 1＋x 2＝3＋3m m ＝3＋3m .∵f (1)＝m －3－3m ＋2m ＋4＝1＞0， f (2)＝4m －6－6m ＋2m ＋4＝－2＜0， ∴1＜x 1＜2＜x 2，∴不等式的解集为(1，x 1]∪(2，x 2]，∴l ＝x 1－1＋x 2－2＝x 1＋x 2－3＝3＋3m －3＝3m . ②当m <0时，由(1)知f (1)>0，f (2)<0， 可得x 1<1<x 2<2.∴不等式的解集为(－∞，x 1]∪(1，x 2]∪(2，＋∞). ∴解集中所有区间的长度之和无穷大． 综上，故选B.考向2 基本不等式的应用例2 (1)(2020·四川省内江市、广安市等九市二诊)在△ABC 中，点P 为BC 的中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →(λ>0，μ>0)，则λ＋μ的最小值为( )A ．54B ．2C ．3D ．72答案 B解析 如图，连接AP ，∵P 为BC 的中点，AM →＝λAB →，AN →＝μAC →，且λ>0，μ>0，∴AP →＝12AB →＋12AC →＝12λAM →＋12μAN →，且M ，P ，N 三点共线，∴12λ＋12μ＝1，∴λ＋μ＝(λ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋12μ＝12＋λ2μ＋μ2λ＋12≥1＋2λ2μ·μ2λ＝2，当且仅当λ2μ＝μ2λ，即λ＝μ＝1时取等号，∴λ＋μ的最小值为2.故选B.(2)若曲线y ＝x 3－2x 2＋2在点A 处的切线方程为y ＝4x －6，且点A 在直线mx ＋ny －1＝0(其中m >0，n >0)上，则1m ＋2n 的最小值为( )A ．4 2B ．3＋2 2C ．6＋4 2D ．8 2答案 C解析 设A (x 0，y 0)，则y ′＝3x 2－4x ⇒3x 20－4x 0＝4，∴x 0＝2或x 0＝－23，分别将x 0的值代入方程y ＝x 3－2x 2＋2，得⎩⎨⎧x 0＝2，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－23，y 0＝2227．因为A (x 0，y 0)在y ＝4x －6上，所以⎩⎨⎧x 0＝2，y 0＝2，即2m ＋2n －1＝0，m ＋n ＝12，从而1m ＋2n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (m ＋n )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋n m ＋2m n ≥2⎝⎛⎭⎪⎫3＋2n m ·2m n ＝6＋42，当且仅当n ＝2m ，即m ＝2－12，n ＝2－22时取等号，即1m ＋2n 的最小值为6＋42，故选C.(3)(2020·江苏省七市高三第三次调研)已知x >1，y >1，xy ＝10，则1lg x ＋4lg y 的最小值是________．答案 9解析 因为x >1，y >1，xy ＝10，所以lg x ＋lg y ＝1，则1lg x ＋4lg y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg x ＋4lg y (lg x ＋lg y )＝5＋lg y lg x ＋4lg xlg y ≥5＋2lg y lg x ·4lg x lg y ＝9，当且仅当lg y lg x ＝4lg x lg y ，即lg y＝2lg x 且xy ＝10，即x ＝310，y ＝3100时取等号．利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值．(2)有些题目并不满足直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式，常用方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．1．设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝6，则9x ＋3y 有( ) A ．最大值27B ．最小值27C ．最大值54D ．最小值54答案 D解析 因为x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝6，所以9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝236＝54，当且仅当x ＝32，y ＝3时，9x ＋3y 有最小值54.2．(2020·湖南省郴州市高三一模)已知函数f (x )＝x ＋sin x ，若正实数a ，b 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2b －1＝0，则3a a －1＋4b b －2的最小值为( )A ．7B ．7＋4 3C ．5＋4 3D ．7＋2 3答案 B解析 ∵f (x )＝x ＋sin x ，∴f (－x )＝－x －sin x ＝－f (x )，即f (x )＋f (－x )＝0，∵正实数a ，b 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2b －1＝0，∴1a ＋2b ＝1，∴b ＝2a a －1>0，∴a >1，则3a a －1＋4b b －2＝7＋3a －1＋8b －2＝7＋3a －1＋82a a －1－2＝7＋3a －1＋4(a －1)≥7＋43，当且仅当4(a －1)＝3a －1，即a ＝1＋32时取等号，所以3a a －1＋4bb －2的最小值为7＋4 3.故选B.3．(2020·山东威海模拟)若∀x ∈(0，＋∞)，4x 2＋1x ≥m ，则实数m 的取值范围为__________．答案 (－∞，4]解析 因为x >0，则4x 2＋1x ＝4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x ，即x ＝12时取等号，因为4x 2＋1x ≥m ，所以4≥m ，即实数m 的取值范围为(－∞，4].真题押题『真题检验』1．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12 C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D ．a ＋b ≤ 2答案 ABD解析 对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a －b ＝2a －1>－1，所以2a －b >2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故D 正确．故选ABD.2．(2020·全国卷Ⅲ)已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b答案 A解析 ∵a ，b ，c ∈(0，1)，a b ＝log 53log 85＝lg 3lg 5·lg 8lg 5＜1（lg 5）2·⎝⎛⎭⎪⎫lg 3＋lg 822＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3＋lg 82lg 52＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 24lg 252＜1，∴a ＜b .由b ＝log 85，得8b ＝5，由55＜84，得85b ＜84，∴5b ＜4，可得b ＜45.由c ＝log 138，得13c ＝8，由134＜85，得134＜135c ，∴5c ＞4，可得c ＞45.综上所述，a ＜b ＜c .故选A.3．(2020·浙江高考)已知a ，b ∈R 且ab ≠0，若(x －a )(x －b )(x －2a －b )≥0在x ≥0上恒成立，则( )A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0答案 C解析 因为ab ≠0，所以a ≠0且b ≠0，设f (x )＝(x －a )·(x －b )(x －2a －b )，则f (x )的零点为x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝2a ＋b .当a ＞0时，x 2＜x 3，x 1＞0，要使f (x )≥0，必有2a ＋b ＝a ，且b ＜0，即b ＝－a ，且b ＜0，所以b ＜0；当a ＜0时，x 2＞x 3，x 1＜0，要使f (x )≥0，必有b ＜0.综上可得b ＜0.故选C.4．(2020·江苏高考)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． 答案 45解析 ∵5x 2y 2＋y 4＝1，∴y ≠0且x 2＝1－y 45y 2.∴x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝15y 2＋4y 25≥215y 2·4y 25＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即x 2＝310，y 2＝12时取等号．∴x 2＋y 2的最小值为45.5．(2020·天津高考)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为________．答案 4解析 ∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＞0，又ab ＝1，∴12a ＋12b ＋8a ＋b ＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2×8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b ＝4，即a ＝2－3，b ＝2＋3，或a ＝2＋3，b ＝2－3时，等号成立．故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4.6．(2019·天津高考)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则（x ＋1）（2y ＋1）xy的最小值为________．答案 4 3解析 ∵x >0，y >0，∴xy >0.∵x ＋2y ＝5，∴（x ＋1）（2y ＋1）xy＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy＝2xy ＋6xy＝2xy ＋6xy≥212＝4 3.当且仅当2xy ＝6xy时取等号． ∴（x ＋1）（2y ＋1）xy的最小值为4 3.『金版押题』7．已知函数f (x )＝|lg (x －1)|，若1<a <b 且f (a )＝f (b )，则实数2a ＋b 的取值范围是( )A ．[3＋22，＋∞)B ．(3＋22，＋∞)C ．[6，＋∞)D ．(6，＋∞)答案 A解析 作出函数f (x )＝|lg (x －1)|的图象如图所示．∵1＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，则b ＞2，1＜a ＜2，∴－lg (a －1)＝lg (b －1)，即1a －1＝b －1，可得ab －a －b ＝0，则a ＝b b －1.2a ＋b ＝2bb －1＋b ＝（2b －2）＋2b －1＋b －1＋1＝(b －1)＋2b －1＋3≥22＋3，当且仅当b ＝2＋1时取等号．满足b ＞2，故选A.8．定义域为[a ，b ]的函数y ＝f (x )图象的两个端点为A ，B ，向量ON →＝λOA →＋(1－λ)OB →，M (x ，y )是f (x )图象上任意一点，其中x ＝λa ＋(1－λ)b ，若不等式|MN |≤k 恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上满足“k 范围线性近似”，其中最小正实数k 称为该函数的线性近似阈值．若函数y ＝2x 定义在[1，2]上，则该函数的线性近似阈值是( )A ．2－ 2B ．3－2 2C ．3＋2 2D ．2＋ 2答案 B解析 作出函数y ＝2x 的图象，它的图象在[1，2]上的两个端点分别为A (1，2)，B (2，1).所以直线AB 的方程为x ＋y －3＝0，设M (x ，y )是曲线y ＝2x 上的一点，x ∈[1，2]， 其中x ＝λ×1＋(1－λ)×2＝2－λ， 故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ，22－λ. 由ON →＝λOA →＋(1－λ)OB →，可知A ，B ，N 三点共线， 所以N 点的坐标满足直线AB 的方程x ＋y －3＝0， 又OA →＝(1，2)，OB →＝(2，1)， 则ON →＝(λ＋2(1－λ)，2λ＋(1－λ))， 故N 点的坐标为(2－λ，λ＋1). M ，N 两点的横坐标相等，故|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22－λ－（λ＋1），结合图象，知|MN |＝λ＋1－22－λ.因为1≤2－λ≤2，所以0≤λ≤1. 故|MN |＝λ＋1－22－λ＝－(2－λ)－22－λ＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2－λ）＋22－λ＋3≤－22＋3. 故当且仅当2－λ＝22－λ，即λ＝2－2时等号成立． 故|MN |≤3－22恒成立．所以该函数的线性近似阈值是3－2 2.故选B.专题作业一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3答案 A解析 由题意，得A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，所以A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.2．(2020·四川省凉山州高三第三次诊断检测)若a ，b ∈R ，则“a －b >0”是“⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22>ab ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a －b >0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－ab ＝a 2＋b 2－2ab 4＝（a －b ）24>0，即⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22>ab ；若⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22>ab ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－ab ＝a 2＋b 2－2ab 4＝（a －b ）24>0，则a －b >0或a －b <0，所以若a ，b ∈R ，则“a －b >0”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22>ab ”的充分不必要条件．故选A.3．若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．4 B ．92 C ．5 D ．112答案 A解析 ∵正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，∴x ＋2y ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－8≥0，当且仅当x ＝2y 时取等号.设x ＋2y ＝t ＞0，∴t ＋14t 2－8≥0，∴t 2＋4t －32≥0，即(t ＋8)·(t －4)≥0，∴t ≥4，故x ＋2y 的最小值为4.故选A.4．(2020·陕西省汉中二模)已知直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)平分圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆周长，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．4 2B ．3＋2 2C ．4D ．6 答案 B解析 由题意，得圆的圆心(－1，2)在直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)上，∴－2a －2b ＋2＝0(a >0，b >0)，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.故选B.5．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A.(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C.(－1，0) D ．(0，1)答案 C解析 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点，又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)＜0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，解得－32＜a ＜－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )＞1，即－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.6．若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．223 B ．23 C ．33 D ．233答案 A解析 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x .由⎩⎨⎧x >0，y >0，即⎩⎨⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.7．(2020·山东济南模拟)一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱(下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上)，则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为( )A ．1B ．2C ．3D ． 3答案 D解析 由题意，可得P A ＝PB ＝AB ＝4，故圆锥的高PO ＝23，∠APO ＝30°，设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则PD ＝23－h ，故r 23－h ＝13，所以h ＝23－3r ，圆柱侧面积S ＝2πrh ＝2πr ·(23－3r )＝23πr ·(2－r )≤23π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋2－r 22＝23π，当且仅当r ＝2－r ，即r ＝1时取得最大值，此时h ＝ 3.故选D. 8．(2020·杭州期末)已知不等式2ax 2＋ax －3>0对任意的a ∈[1，3]恒成立的x 的取值集合为A ，不等式mx 2＋(m －1)x －m >0对任意的x ∈[1，3]恒成立的m 的取值集合为B ，则有( )A ．A ⊆∁RB B ．A ⊆BC ．B ⊆∁R AD ．B ⊆A答案 D解析 令f (a )＝(2x 2＋x )a －3，则关于a 的一次函数必单调，则⎩⎨⎧f （3）>0，f （1）>0，解得x <－32或x >1，即A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞).m (x 2＋x －1)>x 对任意的x ∈[1，3]恒成立⇒m >x x 2＋x －1对任意的x ∈[1，3]恒成立，又y ＝x x 2＋x －1＝1x －1x ＋1(1≤x ≤3)单调递减，故y max ＝1，故m >1，即B ＝(1，＋∞).综上B ⊆A ，故选D.二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9．若1a <1b <0，则下列不等式正确的是( ) A ．1a ＋b <1abB ．|a |＋b >0C ．a －1a >b －1b D ．ln a 2>ln b 2答案 AC解析 由1a <1b <0，可知b <a <0.A 中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <1ab ，故A 正确；B 中，因为b <a <0，所以－b >－a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故B 错误；C 中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b ，故C 正确；D 中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故D 错误．故选AC.10．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a＋b，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF⊥BC 于点F，则下列推理正确的是()A．由图1和图2面积相等可得d＝a＋babB．由AE≥AF可得a2＋b22≥a＋b2C．由AD≥AE可得a2＋b22≥21a＋1bD．由AD≥AF可得a2＋b2≥2ab答案BCD解析由题图1和题图2面积相等，得ab＝(a＋b)d，则d＝aba＋b，A错误；由题意知题图3面积为12ab＝12a2＋b2·AF，AF＝aba2＋b2，AD＝12BC＝12 a2＋b2，设题图3中正方形的边长为x，由三角形相似，得a－xx＝xb－x，解得x＝aba＋b，则AE＝2aba＋b，可以化简判断B，C，D正确．故选BCD.11．(2020·武汉部分学校联考)若0<a <b <c ，且abc ＝1，则( ) A ．2a ＋2b >4 B ．lg a ＋lg b <0 C ．a ＋c 2>2 D ．a 2＋c >2答案 BC解析 解法一：因为0<a <b <c ，abc ＝1，所以0<a <1，c >1，a ＋b >0，0<ab <1，对于A ，2a ＋2b ≥22a ＋b >2×1＝2，所以A 错误；对于B ，lg a ＋lg b ＝lg ab <0，所以B 正确；对于C ，a ＋c 2≥2ac 2>2abc ＝2，所以C 正确；对于D ，因为0<a <b <c ，abc ＝1，所以0<a b <1，c ＝1ab ，所以a 2＋c ≥2a 2c ＝2ab ，因为2ab <2，所以D错误．故选BC.解法二：(特殊值法)因为0<a <b <c ，abc ＝1，令a ＝12，b ＝1，c ＝2，则212＋21＝2＋2<4，A 错误；令a ＝23，b ＝1，c ＝32，则⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋32＝3518<2，D 错误．故选BC.12．(2020·山东部分重点中学联考)若a <b <－1，c >0，则下列不等式一定成立的是( )A ．a －1a >b －1bB ．a －1b <b －1a C ．ln (b －a )>0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a bc >⎝ ⎛⎭⎪⎫b a c答案 BD解析 解法一：对于A ，设函数g (x )＝x －1x ，x ∈(－∞，－1)，则g ′(x )＝1＋1x 2>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)上为增函数，所以当a <b <－1时，a －1a <b －1b ，故A 错误；对于B ，设函数f (x )＝x ＋1x ，x ∈(－∞，－1)，则f ′(x )＝1－1x 2，因为x ∈(－∞，－1)，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，－1)上为增函数，所以当a <b <－1时，a ＋1a <b ＋1b ，即a －1b <b －1a ，故B 正确；对于C ，因为a <b ，所以b －a >0，但不能确定b －a 与1的大小关系，故ln (b －a )与0的大小关系不能确定，故C错误；对于D ，由a <b <－1可知a b >1，0<b a <1，而c >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c >1>⎝ ⎛⎭⎪⎫b a c>0，故D正确．故选BD.解法二：(利用取特殊值法)令a ＝－3，b ＝－2，代入各选项，验证可得正确的选项为B ，D.三、填空题13．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________． 答案 (－3，3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0，∴－3<α－|β|<3. 14．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是________．答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2－1＋3x －1＝（x －1）（x ＋1）＋3x －1＝x ＋1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2(当且仅当x ＝1＋3时取“＝”)，即函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是23＋2.15．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)解析 ∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎨⎧b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎨⎧b 2<1，b >1，无解．综上可得b <－1.16．设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 a ≤－2解析 令t ＝cos x ∈[－1，1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1，1]恒成立，因此⎩⎨⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎨⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2.。

备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题03 方程（组）、不等式（组）的解法及含参问题一讲考点——考点梳理（一）一元一次方程及其解法；二元一次方程组及其解法1．一元一次方程(1)一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1(2)一元一次方程有唯一的一个解．说明：对于以x 为未知数的最简方程ax b =，若没有给出字母a 和b 的取值范围，其解有下面三种情况： ①0a ≠时一元一次方程，有唯一解b x a =．②0a =，0b ≠时，方程无解． ③0a =，0b =时，方程有无数个解．2．二元一次方程组(1)一般形式：111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（111222a b c a b c ，，，，，不全为0） (2)解法：二元一次方程组−−−−−→代入法或加减法消元一元一次方程组． （二）用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程1．一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：20ax bx c ++=（0a ≠）．2．一元二次方程的基本解法有四种：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．（三）可化为一元一次方程．一元二次方程的分式方程的解法分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．(1)分式方程的解法①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．（五）一元二次方程根的判别式及应用一元二次方程根的判别式：24b ac ∆=-①0∆>⇒方程有两个不相等的实数根．②0∆=⇒方程有两个相等的实数根．③0∆<⇒方程无实数根．④0∆≥⇒方程有两个实数根．结论：（1）若二次三项式2ax bx c ++是完全平方式，则方程20ax bx c ++=的判别式∆=0．（2）方程20ax bx c ++=有实数根，包括两种情况：①0a ≠有两个实数根，②0a =，只有一个实数根． 说明：根的判别式最常见的用法有：①不解方程判别一元二次方程根的情况．②由方程根的情况确定某些字母的值或范围．（六）一元二次方程根与系数的关系如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是12x x ，，则12b x x a +=-，12c x x a ⋅=． ①222121212()2x x x x x x +=+-， ②21121211x x x x x x ++=，③12x x a∆-= （七）一元一次不等式（组）的解法1．一元一次不等式的解法即通过去分母．去括号．移项合并同类项，把不等式化为ax b >(或ax b <)(0a ≠)的形式，再把系数化为1得出不等式的解集．2．一元一次不等式组的解法即先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集．两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的一般情况可见下表(其中a b <)．口诀 不等式组 解集 在数轴上表示同小取小 x a x b <⎧⎨<⎩x a <a b同大取大 x ax b >⎧⎨>⎩ x b > a b大小取中 x ax b >⎧⎨<⎩ a x b <<a b二讲题型——题型解析（一）对一元一次方程及其解法、二元一次方程组及其解法的考查．例1若二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+4533y x y x 的解为⎩⎨⎧==by a x ，则=-b a （ ）A ．1B ．3 C. 41- D ．47（二）对用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的考查．例2用配方法解一元二次方程2430x x +-=时，原方程可变形为（ ）A ．2(2)1x +=B ．2(2)7x +=C ．2(2)13x +=D ．2(2)19x +=（三）对可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法的考查．例3．若关于x 的方程2230x x +-=与213x x a =+-有一个解相同，则a 的值为（ ）A ．1B ．1或﹣3C ．﹣1D ．﹣1或3（四）对一元二次方程根的判别式及应用的考查．例4．关于x 的一元二次方程280x x q ++=有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是（） A ．16q < B ．16q > C. 4q ≤ D ．4q ≥（五）对一元二次方程根与系数的关系的考查．例5．若α、β为方程22510x x --=的两个实数根，则2235ααββ++的值为的值为（）A ．﹣13B ．12C ．14D ．15（六）对不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集的考查．例6．不等式组23-42+1x x >≤⎧⎨⎩的解集表示在数轴上正确的是（ ）（七）方程、不等式中的含参问题例7．若数a 使关于x 的分式方程2411a x x +=--的解为正数，且使关于y 的不等式组21322()0y y y a +⎧->⎪⎨⎪-≤⎩的解集为y ＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16例8．已知关于x 的分式方程3133x a x -=-的解是非负数，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ≥1且a ≠9 D ．a ≤1例9．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程222240x tx t t -+-+=的两实数根，则(2)(2)m n ++的最小值是（ ）A ．7B ．11C ．12D ．16例10．若关于x 的方程2201740200x m x -+-+=存在整数解，则正整数m 的所有取值的和为 ． 三讲方法——方法点睛（一）解多元方程的基本思路是消元，方法有代入消元法和加减消元法．（二）解高次方程的基本思路是降次，方法有因式分解法和换元法．（三）解分式方程的基本思路是转化，通过去分母法或换元法将分式方程化为整式方程．解分式方程一定要检验．（四）解不等式（组），特别是含字母系数的不等式（组）可以画数轴，通过数形结合的方法解决．（五）代数式比较大小常用的方法有“差值比较法”和“商值比较法”．“差值比较法”适用于比较任何两个代数式的大小，基本步骤是“作差——变形——断号”；“商值比较法”只适用于比较两个同号代数式的大小，基本步骤是“做商——变形——判断商式与1的大小关系”．四练实题——随堂小练1．已知关于x 的方程x 2+x ﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．3D ．6 2．若21,x x 是方程01222=--+-m m mx x 的两个根，且21211x x x x -=+，则m 的值为（ ）A ．1-或2B ．1或2- C. 2- D ．13．不等式组⎩⎨⎧-≤->+②①32123x x 的解集是（ ）A ．x≥2B ．﹣1＜x≤2C ．x≤2D ．﹣1＜x≤14．若关于x ，y 的方程组24232x y x y m +=⎧⎨+=-+⎩的解满足32x y ->-，则m 的最小整数解为( ) A ．3- B ．2- C ．1- D ．05． 已知关于x 的一元二次方程280x mx +-=的一个实数根为2，则另一实数根及m 的值分别为（ ）A ．4，﹣2B ．﹣4，﹣2C ．4，2D ．﹣4，26． 已知x ，y 满足方程组612328x y x y +=⎧⎨-=⎩，则x+y 的值为（ ）A ．9B ．7C ．5D ．37．若数a 使关于x 的不等式组2122274x x x a-⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程2222a y y+=--有非负数解，则所以满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．3 B ．1 C ．0 D ．﹣38．方已知关于x 的分式方程111k x k x x ++=+-的解为负数，则k 的取值范围是 ． 9．设α、β是方程(1)(4)5x x +-=-的两实数根，则33βααβ+= ． 10．如果任意选择一对有序整数（m ，n ），其中|m |≤1，|n |≤3，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x 的方程20x nx m ++=有两个相等实数根的概率是 ．11．若关于x 的一元二次方程2(1)10a x x --+=有实数根，则a 的取值范围为 ．12．关于x 的两个方程260x x --=与213x m x =+-有一个解相同，则m= ． 13．解方程：2717=---xx x ． 14．关于x 的一元二次方程2220x x m ++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若1x ，2x 是一元二次方程2220x x m ++=的两个根，且22128x x +=，求m 的值．五练原创——预测提升1．不等式组x >12x 31-⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是( )2．不等式组x >1x >2⎧⎨⎩的解集是( ) A ． x ＞2 B ． x ＞1 C ． 1＜x ＜2 D ． 无解3．一元一次不等式组2x 1>0x 50+⎧⎨-≤⎩的解集中，整数解的个数是( ) A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 74．已知实数m 满足满足0132=+-m m ，则代数式21922++m m 的值等于 ． 5．若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为 ． 6．解方程组3x y 34x y 11+=⎧⎨-=⎩． 7．不等式组x 3>2x 1x <32-⎧⎪⎨-⎪⎩的解集是 ． 8．不等式组2x 84x 1x+2⎧⎨-⎩＜＞的解集是 . 9．已知关于x 的分式方程111k x k x x ++=+-的解为负数，则k 的取值范围是 ． 10．已知关于x 、y 的方程组11mx ny 22mx ny 5⎧-=⎪⎨⎪+=⎩的解为x 2y 3=⎧⎨=⎩，求m 、n 的值．11．阅读理解： 我们把a b c d 称作二阶行列式，规定他的运算法则为a b ad bc c d=- ，如232534245=⨯-⨯=- ． 如果有23x >01x- ，求x 的解集． 12．已知关于x 的方程22(21)10x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）若1x ，2x 满足22121216x x x x +=+，求实数k 的值．13. 已知关于x 的一元二次方程2520x x m -+=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当52m =时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径． 14．已知关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m +++-=．（1）若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且2212()21x x m -+=，求m 的值．。

2019高考数学(理)二轮练习讲解--不等式选讲【2018年高考会这样考】 1、考查含绝对值不等式的解法、 2、考查有关不等式的证明、 3、利用不等式的性质求最值、 【复习指导】 本讲复习时，紧紧抓住含绝对值不等式的解法，以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明、该部分的复习以基础知识、基本方法为主，不要刻意提高难度，以课本难度为宜，关键是理解有关内容本质.基础梳理1、含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|＞a (a ＞0)⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)⇔－a ＜f (x )＜a ； (3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解、2、含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.3、基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立、定理2：如果a 、b 为正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立、定理3：如果a 、b 、c 为正数，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立、定理4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，那么a 1＋a 2＋…＋a nn≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立、 5、不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等、双基自测1、不等式1＜|x ＋1|＜3的解集为________、 答案(－4，－2)∪(0,2)2、不等式|x －8|－|x －4|＞2的解集为________、解析令：f (x )＝|x －8|－|x －4|＝⎩⎨⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4＜x ≤8，－4，x ＞8，当x ≤4时，f (x )＝4＞2；当4＜x ≤8时，f (x )＝－2x ＋12＞2，得x ＜5， ∴4＜x ＜5；当x ＞8时，f (x )＝－4＞2不成立、 故原不等式的解集为：{x |x ＜5}、4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1n a 2i )(∑i ＝1n b 2i )≥(∑i ＝1na ib i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝k b i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．答案{x |x ＜5}3、关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，那么实数k 的取值范围是________、 解析∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k ＜1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k ＜1. 答案k ＜14、假设不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，那么b 的取值范围为________、解析由|3x －b |＜4，得b －43＜x ＜b ＋43，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －43＜1，3＜b ＋43≤4，解得5＜b ＜7.答案(5,7)5、(2017·南京模拟)如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，那么实数a 的取值范围是________、解析在数轴上，结合实数绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3. 答案(－∞，－5]∪[－3，＋∞)考向一含绝对值不等式的解法【例1】►设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2；(2)求函数y ＝f (x )的最小值、[审题视点]第(1)问：采用分段函数解不等式；第(2)问：画出函数f (x )的图象可求f (x )的最小值、解(1)f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜－12，3x －3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ＜4，x ＋ 5 x ≥4.当x ＜－12时，由f (x )＝－x －5＞2得，x ＜－7.∴x ＜－7；当－12≤x ＜4时，由f (x )＝3x －3＞2，得x ＞53， ∴53＜x ＜4；当x ≥4时，由f (x )＝x ＋5＞2，得x ＞－3，∴x ≥4.故原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7或x ＞53.(2)画出f (x )的图象如图： ∴f (x )min ＝－92.(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值、(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法、 【训练1】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)假设a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围、 解(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ， x ＜－1，2， －1≤x ≤1，2x ， x ＞1.作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象、由图象可知，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≤－32或x ≥32.(2)假设a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；假设a ＜1，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ＋a ＋1， x ≤a ，1－a ， a ＜x ＜1，2x －a ＋1， x ≥1，f (x )的最小值为1－a .假设a ＞1，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1＜x ＜a ，2x －a ＋1，x ≥a ，f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2， ∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)、考向二不等式的证明【例2】►证明以下不等式：(1)设a ≥b ＞0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2； (2)a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc ；(3)a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2.[审题视点](1)作差比较；(2)综合法；(3)利用柯西不等式、 证明(1)3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )－2b 2(a －b ) ＝(a －b )(3a 2－2b 2)、∵a ≥b ＞0，∴a －b ≥0,3a 2－2b 2＞0. ∴(a －b )(3a 2－2b 2)≥0. ∴3a 2＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.(2)∵a 2＋4b 2≥2a 2·4b 2＝4ab ， a 2＋9c 2≥2a 2·9c 2＝6ac ， 4b 2＋9c 2≥24b 2·9c 2＝12bc ，∴2a 2＋8b 2＋18c 2≥4ab ＋6ac ＋12bc ， ∴a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc .(3)a 6＋8b 6＋127c 6≥33827a 6b 6c 6＝3×23a 2b 2c 2＝2a 2b 2c 2，∴a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2.(1)作差法应该是证明不等式的常用方法、作差法证明不等式的一般步骤是：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论、关键是代数式的变形能力、 (2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明、【训练2】(2017·辽宁)a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立、证明法一因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得，a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③ 所以原不等式成立、当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立、当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立、故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立、法二因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac ，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac ≥6 3.③所以原不等式成立、当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立、故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立、考向三利用基本不等式或柯西不等式求最值【例3】►a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值、 [审题视点]先将(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)平方后利用基本不等式；还可以利用柯西不等式求解、 解法一利用基本不等式∵(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2＝(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)＋23a ＋1·3b ＋1＋23b ＋1·3c ＋1＋23a ＋1·3c ＋1≤(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)＋[(3a ＋1)＋(3b ＋1)]＋[(3b ＋1)＋(3c ＋1)]＋[(3a ＋1)＋(3c ＋1)]＝3[(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)]＝18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32， ∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)max ＝3 2. 法二利用柯西不等式∵(12＋12＋12)[(3a ＋1)2＋(3b ＋1)2＋(3c ＋1)2]≥(1·3a ＋1＋1·3b ＋1＋1·3c ＋1)2∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3[3(a ＋b ＋c )＋3]、 又∵a ＋b ＋c ＝1，∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤3 2.当且仅当3a ＋1＝3b ＋1＝3c ＋1时，等号成立、 ∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)max ＝3 2.利用基本不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立、 【训练3】a ＋b ＋c ＝1，m ＝a 2＋b 2＋c 2，求m 的最小值、 解法一∵a ＋b ＋c ＝1，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝1，又∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc ，∴1＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≤3(a 2＋b 2＋c 2)、∴a 2＋b 2＋c 2≥13.当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号，∴m min ＝13. 法二利用柯西不等式∵(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)≥(1·a ＋1·b ＋1·c )＝a ＋b ＋c ＝1.∴a 2＋b 2＋c 2≥13，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立、∴m min ＝13如何求解含绝对值不等式的综合问题从近两年的新课标高考试题可以看出，高考对《不等式选讲》的考查难度要求有所降低，重点考查含绝对值不等式的解法(可能含参)或以函数为背景证明不等式，题型为填空题或解答题、【例如】►(此题总分值10分)(2017·新课标全国)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ＞0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)假设不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值、第(2)问解不等式|x －a |＋3x ≤0的解集，结果用a 表示，再由{x |x ≤－1}求a .[解答示范](1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1. (3分)故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}、(5分) (2)由f (x )≤0得，|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎨⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎨⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎨⎧x ≤a ，x ≤－a 2.(8分)因为a ＞0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a 2. 由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.(10分)此题综合考查了含绝对值不等式的解法，属于中档题、解含绝对值的不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解、含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b |＞m 或|x －a |＋|x －b |＜m (m 为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便、【试一试】(2017·辽宁)函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集、[尝试解答](1)f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎨⎧－3，x ≤2，2x －7，2＜x ＜5，3，x ≥5.当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3.所以－3≤f (x )≤3.(2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}、 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}.。

解函数不等式是高中数学中的重点内容，主要涉及到对函数性质的深入理解和运用。

一般来说，解函数不等式的方法包括以下几种：1. 利用函数的单调性解不等式：当函数在其定义域上单调增加或单调减少时，可以利用这一性质来判断函数值与零点的大小关系，从而解决不等式问题。

例如，如果函数f(x)在区间[a, b]上单调增加，那么对于任意x1, x2 ∈[a, b]，如果x1 < x2，则f(x1) < f(x2)。

2. 利用函数的奇偶性解不等式：如果函数是奇函数，那么对于所有x，有f(-x) = -f(x)；如果函数是偶函数，那么对于所有x，有f(-x) = f(x)。

这种性质可以帮助我们在解不等式时，通过考虑函数在特定点的值来简化问题。

3. 利用函数图象解不等式：通过绘制函数的图象，可以直观地看出函数在各个区间内的取值情况，从而判断不等式的解集。

这种方法通常适用于一次函数、二次函数等简单函数。

4. 导数法：在已知函数f(x)的基础上，构造新函数g(x) = f'(x)，通过研究g(x)的单调性来判断f(x)的取值范围。

例如，如果f(x)在点x0处取得极值，那么可以通过研究f'(x)在x0附近的符号变化来确定f(x)的增减性。

5. 转化法：当原不等式不易直接求解时，可以通过转化，例如构造辅助函数、变量替换等方式，将原不等式转化为易于求解的形式。

以一个具体的例子来说明如何解函数不等式：假设我们需要解不等式f(x) > 0，其中f(x) = x^2 - 3x + 2。

步骤如下：-分析函数性质：f(x)是一个二次函数，开口向上，其顶点为(1.5, -0.25)。

-找出关键点：通过求导数f'(x) = 2x - 3，并找出其零点，我们可以得到关键点x=1.5。

-绘制函数图象：在坐标轴上绘制f(x)的图象，并找出其与x轴的交点（即解集）。

-分析图象：从图象上可以看出，f(x)在x < 1.5和x > 1.5的区间内是大于零的。

函数不等式解法函数不等式是函数的一类特殊问题，它需要通过解函数不等式来确定变量的取值范围。

解函数不等式的方法有很多，可以通过图像法、代数研究法、符号法等不同的方法来解决。

在本文中，我们将重点介绍图像法、代数研究法和符号法三种解函数不等式的常用方法。

一、图像法图像法是通过绘制函数图像来解决函数不等式问题的一种方法。

我们可以通过观察函数的图像来确定函数的取值范围。

以一元一次函数为例，假设有函数y = ax + b，其中a和b为常数。

要解决不等式y > ax + b的问题，可以按照以下步骤进行：1. 绘制函数y = ax + b的图像。

2. 在图像上用虚线y = ax + b标出直线。

3. 观察直线y = ax + b的上方或下方的区域，这个区域即为函数y > ax + b的解。

对于一元二次函数y = ax^2 + bx + c，要解决不等式y > ax^2 + bx + c的问题，可以按照以下步骤进行：1. 绘制函数y = ax^2 + bx + c的图像。

2. 在图像上用点y = ax^2 + bx + c标出抛物线的顶点。

3. 观察抛物线的开口方向和顶点的位置，确定函数y > ax^2 + bx + c 的解。

通过图像法解函数不等式的好处是直观、易于理解，可以通过观察图像快速确定函数的取值范围。

二、代数研究法代数研究法是通过代数的方法解决函数不等式问题的一种方法。

我们通过对不等式进行变形、移项、求导等操作，得出函数的解。

以一元一次函数为例，假设有函数y = ax + b，要解决不等式y > ax + b的问题，可以按照以下步骤进行：1. 将不等式y > ax + b移项得到ax + b < y。

2. 通过观察系数a的正负情况可以确定不等式ax + b < y中的 < 号的方向。

3. 将不等式ax + b < y换算成y - ax - b > 0的形式。

第3讲端点效应法知识与方法端点效应法是一种必要性探路法,是指对某些与函数有关的恒成立问题,通过选取函数定义域内的某些特殊值,先得到一个必要条件,初步获得参数的范围,再在该范围内进行讨论,或去验证其充分性,进而得到参数的准确范围的方法.在验证其充分性的时候,往往需要结合“矛盾区间”进行说明.“端点效应+矛盾区间”才是完整的解题过程,其重点在于说明“矛盾”.需要指出的是,必要性探路的方法求出的结果并不一定就是所求的实际范围,但可以缩小参数的讨论范围,减少分类讨论的类别.典型例题【例1】设函数f(x)=e x−1−x−ax2.（1）若a=0,求f(x)的单调区间;（2）若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.【例2】已知函数f(x)=ae x−e−x−(a+1)x(a∈R),f(x)既存在极大值,又存在极小值.(1)求实数a的取值范围;(2)当0<a<1时,x1,x2分别为f(x)的极大值点和极小值点.且f(x1)+kf(x2)>0,求实数k的取值范围.【例3】已知函数f(x)=lnx+m.x(1)探究函数f(x)单调性;(2)若f(x)≥m+1−x在[1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围.【例4】已知函数f(x)=xlnx−ax2+a(a∈R),当x>1时,关于x的不等式f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.【例5】已知函数f(x)=ae2x+(2a−1)e x−x,a为常数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若x≥0,f(x)≥(3a−1)cosx恒成立,求实数a的取值范围.【例6】已知函数f(x)=2sinx−xcosx−x,f′(x)是f(x)的导函数.(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一的零点;(2)若x∈[0,π],f(x)≥ax,求a的取值范围.强化训练1.设函数f(x)=e x−e−x.(1)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(2)若对任意的x≥0,都有f(x)≥ax,求a的取值范围.2.设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数. 若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围.3.已知函数f(x)=lnx−a(x2−x),a∈R,当x≥1时,f(x)≤0,求实数a的取值范围..4.设函数f(x)=sinx2+cosx(1)求f(x)的单调区间;(2)如果对任何x≥0,都有f(x)≤ax,求a的取值范围.。