第三讲 函数的奇偶性指数与指数幂的运算

第三讲 函数与不等式问题【考点透视】1．了解映射的概念，理解函数的概念．2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程．3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数． 4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质．5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质． 6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 7．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力．8．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式．9．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题．10．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力． 11．能较灵活的使用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．12．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、分析几何等各部分知识中的使用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在使用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．【例题分析】 1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会使用用函数的定义域解决有关问题. 例1．已知函数()f x 的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅ 命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.解：函数()f x =的定义域M={}1,x x < g(x)=ln(1)x +的定义域N={}1,x x >-∴M ∩N={|11}x x -<<． 故选C例2.函数y ( )（A ）(3,+∞) （B ）[3, +∞) （C ）(4, +∞) （D ）[4, +∞) 命题意图: 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.解：由20 4.log 20x x x >⎧⇒>⎨->⎩，故选D.2.求函数的反函数求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解.例3．函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是（ ） （A）,020xx y x ⎧≥⎪=< （B）2,00x x y x ≥⎧=< （C）,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩（D）2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ 命题意图: 本题主要考查有关分段函数的反函数的求法.()121:2,.(),(0);22,0,()0.,020.yxy x x f x x y x y f x x xx y x --=∴=∴=≥=-<∴=<⎧≥⎪∴=⎨⎪<⎩解又故选C.例4．已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ． 命题意图: 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识.解：()()11112,,.2222y x a x y a y x a x a =-∴=+∴=+=+与3y bx =+比较得a =6，1.2b =故填162；3.复合函数问题复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数分析式的求法来求复合函数的值.二是使用已知函数定义域求复合函数的定义域.例5．对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②Ｄ．③命题意图: 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力.解：22()(2),(2)f x x f x x =-∴+=是偶函数，又函数2()(2)f x x =-开口向上且在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数．故能使命题甲、乙均为真的函数仅有2()(2)f x x =-．故选Ｃ例6．函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________.命题意图: 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力. 解：由()()12f x f x +=,得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+.4.函数的单调性、奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.例7．已知函数()1,1xf x a z =-+，若()f x 为奇函数，则a =________.命题意图: 本题主要考查函数的分析式的求解以及函数的奇偶性使用. 常规解法：由f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即,0121121=+-++--x xa a .2112212112112121=++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∴-x x x x a 应填21.巧妙解法：因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即.21,01210=∴=+-a a 应填21.点评：巧妙解法巧在利用了f(x)为奇函数,所以f(0)=0,这一重要结论.例8． ()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件命题意图: 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识.解 先证充分性：因为()f x ，()g x 均为偶函数， 所以()(),f x f x -=()()g x g x -=，有()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=，所以 ()h x 为偶函数．反过来，若()h x 为偶函数，()f x ()g x 不一定是偶函数．如2()h x x =，(),f x x =2()g x x x =-，故选B.方法二：可以选取两个特殊函数进行验证． 故选B点评：对充要条件的论证，一定既要证充分性，又要证必要性，二着缺一不可．同时，对于抽象函数，有时候可以选取特殊函数进行验证． 5.函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例9．函数y=1+a x (0<a <1)的反函数的图象大致是 ( )（A ） （B ） （C ） （D ）命题意图: 本题主要考查对数函数的图象，互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识.解：∵y=1+a x (0<a <1),∴()()1log (1),01a f x x a -=-<<.此函数图象是由函数()()log ,01a f x x a =<<向右平移一个单位得到的.故选A. 6. 函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力. 例10．已知.|1|)(22kx x x x f ++-= （Ⅰ）若k = 2，求方程0)(=x f 的解；（Ⅱ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明.41121<+x x命题意图：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。

初中数学知识归纳指数与幂的运算规律指数与幂的运算规律是初中数学中的重要内容，它在数学运算中有广泛的应用。

了解和掌握指数与幂的运算规律对于学生的数学学习和应用能力的提升非常重要。

本文将对指数与幂的运算规律进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、指数与幂的基本概念及定义在进行指数与幂的运算规律前，我们需要先了解指数与幂的基本概念及定义。

指数是表示幂运算中幂的数量的上标数字，如aⁿ中的a就是指数，a叫做底数。

幂是指底数的连乘，幂运算是指数个底数的连乘，用aⁿ表示，其中a为底数，a为指数。

例如2³=2×2×2=8。

二、指数乘法规律指数乘法规律是指指数相乘时的运算规律。

当底数相同、指数相加时，可以将它们合并为一个指数。

aⁿ × aᵐ = a^(a+a)例如2² × 2³ = 2^(2+3) = 2⁵ = 32三、指数除法规律指数除法规律是指指数相除时的运算规律。

当底数相同、指数相减时，可以将它们合并为一个指数。

aⁿ ÷ aᵐ = a^(a-a)例如3⁵ ÷ 3³ = 3^(5-3) = 3² = 9四、指数的乘方规律指数的乘方规律是指指数的指数运算规律。

当幂的指数为指数时，可以将它们相乘。

(aⁿ)ᵐ = a^(a×a)例如(2³)² = 2^(3×2) = 2⁶ = 64五、乘方的乘法规律乘方的乘法规律是指乘方时幂的指数相乘的运算规律。

当底数相同，指数相乘时，可以将乘方分解成两个指数相乘的形式。

(aⁿ) × (aᵐ) = a^(a+a)例如(4²) × (4³) = 4^(2+3) = 4⁵ = 1024六、乘方的除法规律乘方的除法规律是指乘方时幂的指数相除的运算规律。

当底数相同，指数相除时，可以将乘方分解成两个指数相除的形式。

幂函数的奇偶性的总结
幂函数是数学中普遍存在的一种特殊函数，根据幂指数的正负，可以将幂函数分为奇函数和偶函数，奇偶性是其特有的性质。

下文将对幂函数的奇偶性进行总结，以期加深我们对它的理解。

首先需要明确的是，幂函数的定义是把某一个函数变换成它的多次乘方的函数，记做：f(x) = a^x。

当a>0，并且幂次x是偶数时，此时的幂函数为偶函数；当a<0，并且幂次x是奇数时，此时的幂函数为奇函数。

其次，幂函数的奇偶性也可以从幂函数的图像来看出来，如果幂次x是偶数，则定点对称，对称轴为y轴，其图像关于y轴对称；如果x是奇数，则原点对称，对称轴为x轴，其图像关于x轴对称。

此外，幂函数的奇偶性也可以通过函数的导数来看出来，即
f(x)=af^(x-1)，可以看出，当a>0，并且x是偶数时，f(x)＞0；当a<0，并且x是奇数时，f(x)＜0。

因此，我们可以根据幂函数的导数来判断其奇偶性。

再者，幂函数的奇偶性也可以通过奇偶性性质来看出来，即两个幂函数的和等于它们的差，当x取特定的值，f(x)的符号是一样的。

最后，幂函数的奇偶性也可以通过积分来看出来，即通过积分可以得到以下结果：
当a>0，x>0，并且x是偶数时，f(x)的积分为正值；当a<0，x>0，并且x是奇数时，f(x)的积分为负值。

以上就是有关幂函数的奇偶性的总结，可以看出得出幂函数的奇
偶性有多种方法，它们之间是相互关联的，通过它们可以加深对幂函数的奇偶性的理解，为使用幂函数提供帮助。

课 题 函数奇偶性与分数指数幂的运算教学目标 理解函数奇偶性的判断方法和判断要点，会使用函数的奇偶性来解答相关问题；梳理清楚分数指数幂的运算性质和计算方法，明白在解答时具体的运用和思路。

重点、难点 重点：掌握函数奇偶性、分数指数幂的重点性质和计算方法。

难点：和所学知识糅合使用，将初中知识牵扯如高中的使用中。

考点及考试要求理解并掌握函数奇偶性在解答形象问题和抽象问题时的运用办法，能够把奇偶性等问题掌握；明白分数指数幂的计算，学会分数指数幂的计算要领和方法。

教学内容知识点一：函数奇偶性1.函数奇偶性的定义函数奇偶性：（1）奇函数⎪⎩⎪⎨⎧==+--=-0)0(03)2(0)()()()()1(f x x f x f x f x f ，则可以为）若（图象关于原点对称或（2）偶函数⎩⎨⎧=--=-轴对称图象关于或y x f x f x f x f )2(0)()()()()1(例题讲解11 .若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间？2 定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减，若)2()6(a f a f <-，则a 的取值范围是如何？注意：用定义判断函数奇偶性的步骤是[来源学科网ZXXK](1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断()()f x f x -=- 或 ()()f x f x -= 是否恒成立； （3）、作出相应结论.2 函数按是否有奇偶性可分为四类：n m nm a a= (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)针对性练习一、填空题1.整数指数幂：0);1(0);(0,).n n a a a a n N a a a a n N *-*⋅⋅⋅⋅=∈=≠=≠∈个（2.整数指数幂的运算性质：（1）(,)m n a a m n Z ⋅=∈；（2）()(,)m n a m n Z =∈；（3）(,,0)mn a m n Z a a=∈≠；（4）()()m ab m Z =∈.[来源:Z#xx#]3.根式的运算性质：（1）当n 为任意正整数时，()nna =.（2）当n 为奇数时，nna =；当n为偶数时，.nna ==（3）根式的基本性质：(0).npmp a a =≥例题讲解1 化简：41233332233382()42a a b b aa b ab a--÷-⨯++a ·3a 25a ·3a(式原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()a a b a b a a aa ab b a a --⋅÷⨯+⋅+⋅ ＝51116333111336(2)2a a a a b a ba-⨯⨯-＝12233.a a a a ⨯⨯=课堂练习1 ：已知102m =，则m 等于 （ ）10.2A10.2B -10.2C10.2D ±2.：（1）下列根式与分数指数幂的互化正确的是 （ ）12.()(0)A x x x -=-> 1623.(0)B y y y =< 43341.()(0)C xx x-=> 133.(0)D x x x -=-≠3. 若0,n m <<，则222222m mn n m mn n ++--+等于（ ）.2A m .2B n .2C m - .2D n-§X§K]4.若02522<+-x x ，则2441x x +-+2 | x －2|等于 （ ） （A ） 54-x （B ）3- （C ）3 （D ）x 45-5.函数210)2()5()(--+-=x x x f 的定义域是 （ ）（A ）}2,5 ,|{≠≠∈x x R x x 且 （B ）}2|{>x x （C ）}5|{>x x （D ）}5,52|{><<x x x 或6. 计算122[(2)]--的结果是 （ ）（A ）2 （B ）2- （C ）22（D ）22-7 把322-化成分数指数幂的形式是 （ ） （A ）122--（B ）122- （C ）132-（D ）562-求值1.：求值：（1）88(2)x -； （2）33322(12)-+-；3.()41-30-0.753370.064()-2+168-⎡⎤--+⎣⎦; 4. 3-2013+26+-1.03-423-2⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;化简（1）设33,x -<<求222169x x x x -+-++的值.（2）用分式指数幂的形式表示下列各式.1..(0)a a a >2. 42233.()(0)b b -->[来源:学+科+网Z+X+X+K]课后作业试 题批 阅。

指数与指数函数指数与指数函数1.1 指数与指数幂的运算1) 根式的概念如果$x=a$，$a\in R$，$x\in R$，$n>1$，且$n\in N^+$，那么$x$叫做$a$的$n$次方根。

当$n$是奇数时，$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示，负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。

当$n$是偶数时，正数$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示，负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。

负数$a$没有$n$次方根。

式子$n\sqrt{a}$叫做根式，这里$n$叫做根指数，$a$叫做被开方数。

当$n$为奇数时，$a$为任意实数；当$n$为偶数时，$a\geq0$。

根式的性质：$(n\sqrt{a})^n=a$；当$n$为奇数时，$n\sqrt{a^n}=a$；当$n$为偶数时，$n\sqrt{a^2}=|a|$，即$\begin{cases}a&(a\geq0)\\-a&(a<0)\end{cases}$。

2) 分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$。

正数的负分数指数幂的意义是：$a^{-m/n}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$。

正分数$a^{1/m}=\sqrt[m]{a}$，负分数指数幂没有意义。

注意口诀：底数取倒数，指数取相反数。

3) 分数指数幂的运算性质a^r\cdot a^s=a^{r+s}$（$a>0,r,s\in R$）。

a^r)^s=a^{rs}$（$a>0,r,s\in R$）。

ab)^r=a^rb^r$（$a>0,b>0,r\in R$）。

例题精讲例1】求下列各式的值：1) $n(3-\pi)$（$n>1$，且$n\in N^+$）；2) $(x-y)^2$。

1) 当$n$为奇数时，$n\sqrt{3-\pi}=|\sqrt{3-\pi}|=\sqrt{3-\pi}$。

指数与幂的运算与应用指数与幂是数学中非常重要的概念，其运算规则和应用广泛存在于数学、物理、经济学等领域。

本文将从定义、运算规则和应用三个方面来介绍指数与幂的相关知识。

一、指数与幂的定义指数是用来表示乘方运算的方式，幂则是指数运算的结果。

在数学中，指数是一个正整数，表示底数连乘的次数。

例如，表示底数a连乘n次，可以写成aⁿ，其中a为底数，n为指数，aⁿ表示a的n次方。

二、指数与幂的运算规则1. 相同底数相乘：当底数相同时，指数相加。

例如，aⁿ × aᵐ= aⁿ⁺ᵐ。

2. 相同底数相除：当底数相同时，指数相减。

例如，aⁿ ÷ aᵐ= aⁿ⁻ᵐ。

3. 倍数相乘：底数的倍数相乘，指数不变。

例如，(ak)ⁿ = aⁿᵏ。

4. 幂的乘方：幂的乘方，指数相乘。

例如，(aⁿ)ᵐ= aⁿᵐ。

5. 幂的除法：幂的除法，指数相除。

例如，(aⁿ)÷ᵐ= aⁿ⁄ᵐ。

6. 乘方的乘方：指数相乘。

例如，(aⁿ)ⁿ = aⁿⁿ = aⁿⁿ（n为自然数）。

三、指数与幂的应用1. 科学计数法：科学计数法是一种常见的应用之一，它用于表示非常大或非常小的数。

科学计数法将一个数表示为一个介于1和10之间的数字与10的幂的乘积。

例如，1.23 × 10⁵表示为12300。

2. 几何问题：指数与幂在几何问题中也有应用。

例如，正方体的体积公式为V = a³，其中a为正方体的边长。

这个公式中的指数就是幂运算的应用。

3. 市场增长：在经济学中，指数和幂广泛应用于描述市场的增长。

例如，年复合增长率（Compound Annual Growth Rate，CAGR）用指数和幂来计算公司或市场的增长速度。

4. 银行利息：在金融领域，指数和幂用于计算复利利息。

复利是指将利息加到本金上，再计算下一周期的利息。

复利计算中的指数和幂运算是必不可少的。

5. 科学研究：指数和幂在科学研究中也经常使用，特别是在物理学和化学中。