重庆市重庆一中2016-2017学年高二上学期期末考试试卷数学(文)含答案

2017-2018学年重庆一中高二上学期期末数学文试题（解析版）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1. ）D. ,【答案】B故选B2. ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A∴故选A3. ）A. 1 D. 2【答案】D【解析】试题分析：直线与圆的交点弦长可由两种方法得到:①直线与圆联立方程,故选D.考点：直线与圆的交点弦长视频4. ）【答案】C【解析】∴故选C5. ）A. B.C. D.【答案】B【解析】若故错误；若，故正确；，.故选B6. ；命题）【答案】C为假命题，故选C7. ）【答案】D故选D点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路：（1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解；（20）在该区间上恒成立.8. ，则直线）A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定【答案】B【解析】为抛物线焦点，圆心在抛物线上，由抛物线的定义，圆心到焦点的距离等于圆心到准线离，因此刚好相切.故选B9. ，则动点）【答案】A故选A点睛：本题主要考查直接法求轨迹方程，属于中档题. 求轨迹方程的常见方法有: ①直接法，设出动点的坐标②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参④本题就是利用方法①.10. 一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为（）C.【答案】A故选A．考点：三视图．11.）【答案】C∵由椭圆得定义知故选C12. ，就称函数的“小囧囧函数”。

则下列四个函数：，；，；，；，中，“小囧囧函数”的个数（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B。

期末数学试卷（文科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1．（5分）命题“∀x∈R，tanx＞0”的否定是（）A．∀x∈R，tanx≤0 B．∃x∈R，tanx≤0 C．∃x∈R，tanx＞0 D．∀x∈R，tanx＞02．（5分）“a＞0，b＞0”是“方程ax2﹣by2=1表示的曲线是双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设A，B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则|AB|=（）A．1 B．C．D．24．（5分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若a∥b，a⊥α，则b⊥αC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若α⊥β，a∥α，则a⊥β5．（5分）已知命题p：若a＞b，则a2＞b2；命题q：若a＜b，则ac2＜bc2，下列命题为真的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨（￢q）D．p∨q6．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥βB．如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥βC．如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥βD．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α∥β7．（5分）若f（x）=x3+ax2+3x+1在定义域R内为单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1]B．[﹣3，3]C．[﹣，]D．[﹣，8．（5分）圆心在抛物线y2=4x上的动圆C始终过点F（1，0），则直线x=﹣1与动圆C的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．不确定9．（5分）设一动点P到直线x=3的距离与它到点A（1，0）的距离之比为，则动点P 的轨迹方程是（）A．B．C．D．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．64﹣B．64﹣C．64﹣16πD．64﹣11．（5分）如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点，若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是（）A．B．C．或D．12．（5分）关于函数f（x）=的极值的说法正确的是（）A．f（x）有极大值B．f（x）有极小值C．f（x）有极大值e D．f（x）有极小值e13．（5分）若直线y=k（x﹣2）+4与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（）B．A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．（5分）设{a n}是等差数列，a1=2且a3+a6=8，则a8=．14．（5分）一个正方体的内切球的表面积为12π，则该正方体的棱长等于．15．（5分）已知函数f（x）=x3﹣x2﹣m的图象与x轴恰有两个不同公共点，则负数m=．16．（5分）已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，过点A（t，）与抛物线C恰有一个交点的直线至多有2条，则直线AF被抛物线C所截得的弦长为．17．（5分）曲线f（x）=x2+3x在点A（2，10）处的切线斜率k=．18．（12分）已知函数f（x）=e x+ax+b（x∈R）在点A（0，f（0））处的切线l的方程为x+y ﹣2=0．（Ⅰ）求函数f（x）解析式；（Ⅱ）求f（x）在R上的极值．19．（10分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是A1C的中点，ED⊥A1C且交AC于D，A1A=AB=BC．（1）证明：B1C1∥平面A1BC；（2）证明：A1C⊥平面EDB．20．（12分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足==（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，连结A1B、A1C（如图2）．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BCED（Ⅱ）若P是线段A1B的中点，求四棱锥P﹣BCED的体积．21．（12分）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB 的中点，且△PMB为正三角形．（1）求证：BC⊥平面APC；（2）若BC=6，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．22．（12分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上点，且PC⊥平面BDE．（1）求证：BD⊥PC；（2）求三棱锥P﹣BED的体积．23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知F1（，0），F2（﹣，0）且|MF1|+|MF2|=4，记动点M（x，y）的轨迹为C（Ⅰ）求曲线C方程；（Ⅱ）过点P（0，1）的动直线l与曲线C相交A，B两点，试问在y轴上是否存在与点P （0，1）不同的定点Q，使得∠AQP=∠BQP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．24．（12分）已知函数f（x）=x2﹣x﹣clnx（c∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求证：f（x）≥0；（Ⅱ）∃x∈（1，e），f（x）＞（x+1）ln，求实数c的取值范围．25．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点P（3，t）到焦点F距离为4．（1）求抛物线方程；（2）经过点（4，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，M（﹣4，0），若直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的最小值．2017-2018学年重庆一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1．（5分）命题“∀x∈R，tanx＞0”的否定是（）A．∀x∈R，tanx≤0 B．∃x∈R，tanx≤0 C．∃x∈R，tanx＞0 D．∀x∈R，tanx＞0【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题∀x∈R，tanx＞0，的否定是：∃x ∈R，tanx≤0．故选：B．2．（5分）“a＞0，b＞0”是“方程ax2﹣by2=1表示的曲线是双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】结合双曲线的定义和方程，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若方程ax2﹣by2=1表示双曲线，则方程等价为﹣=1，∴ab＞0．即a＞0且b＞0或a＜0且b＜0，∴“a＞0，b＞0”是“方程ax2﹣by2=1表示的曲线是双曲线”的充分不必要条件故选：A．3．（5分）设A，B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则|AB|=（）A．1 B．C．D．2【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据圆心在直线y=x上，得到AB为圆的直径，根据直径等于半径的2倍，可得出|AB|的长．【解答】解：由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，∵圆心（0，0）在直线y=x上，∴弦AB为圆O的直径，则|AB|=2r=2．故选：D．4．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a=，b=，B=45°，则A=（）A．30°B．30°或150°C．60°或120°D．60°【分析】由已知利用正弦定理可求sinA的值，结合A的范围利用特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：∵a=，b=，B=45°，∴由正弦定理，可得：sinA===，∵a＞b，A∈（45°，180°），∴A=60°或120°．故选：C．5．（5分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若a∥b，a⊥α，则b⊥αC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若α⊥β，a∥α，则a⊥β【分析】在A中，b∥α或b⊂α；在B中，由线面垂直的判定定理得b⊥α；在C中，a∥α或a⊂α；在D中，a与β相交、平行或a⊂β．【解答】解：由a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，知：在A中，若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，故A错误；在B中，若a∥b，a⊥α，则由线面垂直的判定定理得b⊥α，故B正确；在C中，若α⊥β，a⊥β，则a∥α或a⊂α，故C错误；在D中，若α⊥β，a∥α，则a与β相交、平行或a⊂β，故D错误．故选：B．6．（5分）已知命题p：若a＞b，则a2＞b2；命题q：若a＜b，则ac2＜bc2，下列命题为真的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨（￢q）D．p∨q【分析】先求出命题p是假命题，命题q是假命题，由此利用复合命题的性质能求出结果．【解答】解：∵命题p：若a＞b，则a2＞b2，命题p是假命题，命题q：若a＜b，则ac2＜bc2，命题q是假命题，∴在A中，p∧q是假命题；在B中，p∧（￢q）是假命题；在C中，p∨（￢q）是真命题；在D中，p∨q是假命题．故选：C．7．（5分）若f（x）=x3+ax2+3x+1在定义域R内为单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1]B．[﹣3，3]C．[﹣，]D．[﹣，]【分析】先求出函数的导数，由f'（x）≥0在R上恒成立，得不等式△≤0，解出即可．【解答】解：由f（x）=x3+ax2+3x+1⇒f'（x）=3x2+2ax+3，若f（x）在R上单增，则f'（x）≥0在R上恒成立，则△≤0⇒a∈[﹣3，3]，故选：B．8．（5分）圆心在抛物线y2=4x上的动圆C始终过点F（1，0），则直线x=﹣1与动圆C的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．不确定【分析】由抛物线的定义，圆心到焦点的距离等于圆心到准线x=﹣1的距离，所以刚好相切．【解答】解：F（1，0）为抛物线焦点，圆心在抛物线上，由抛物线的定义，圆心到焦点的距离等于圆心到准线x=﹣1的距离，所以刚好相切，故选：B．9．（5分）设一动点P到直线x=3的距离与它到点A（1，0）的距离之比为，则动点P 的轨迹方程是（）A．B．C．D．【分析】先设点P的坐标，然后根据点P到直线x=3的距离与它到点A（1，0）的距离之比为列方程，最后整理即可．【解答】解：设点P的坐标为（x，y），则由题意得，整理得2x2+3y2=6，即，所以动点P的轨迹方程是．故选：A．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．64﹣B．64﹣C．64﹣16πD．64﹣【分析】几何体是正方体内挖去两个圆锥，且两圆锥的底面分别是正方体上、下面的内接圆，根据三视图判断正方体的边长，圆锥的底面半径与高，代入正方体与圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：、几何体是正方体内挖去两个圆锥，且两圆锥的底面分别是正方体上、下面的内接圆，两圆锥的顶点重合，∵正方体的边长为4，∴挖去两个圆锥的底面半径都为2，上圆锥的高为3，下圆锥的高为1，∴几何体的体积．故选：A．11．（5分）如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点，若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是（）A．B．C．或D．【分析】利用双曲线与椭圆的定义及其离心率计算公式即可得出．【解答】解：由双曲线C1：x2﹣=1可得a1=1，b1=，c=2．椭圆C2中，|F1A|﹣|F2A|=2a1=2，|F1A|+|F2A|=2a，∴2|F1A|=2a+2∵|F1F2|=|F1A|=2c=4，∴2×4=2a+2，解得a=3．则C2的离心率==．故选：B．12．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足：对∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）均可作为一个三角形的边长，就称函数y=f（x）是区间D上的“小囧囧函数”．则下列四个函数：y=xlnx，x∈[，2]；y=lnx，x∈[e，e2]；y=，x∈[e，e2]；y=，x∈[，2]中，“小囧囧函数”的个数（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】①根据f（x）=xlnx在x∈[，2]的值域判断由f（a）、f（b）、f（c）不能作为三边组成一个三角形；②根据f（x）=lnx（e≤x≤e2），对∀a，b，c∈[e，e2]，f（a），f（b），f（c）不能为某个三角形的三边长；③根据f（x）=，x∈[e，e2]时f（x）的单调性和值域，判断f（a），f（b），f（c）能分别为某个三角形的边长；④根据f（x）=，x∈[，2]时f（x）的单调性和值域，判断f（a），f（b），f（c）能分别为某个三角形的边长．【解答】解：对于①，y=f（x）=xlnx，x∈[，2]，∴f′（x）=lnx+1，当x∈[，2]时，f′（x）≥0，函数f（x）单调递增；f（x）的最小值为﹣，由f（a）、f（b）、f（c）不能作为三边组成一个三角形，即①不是“小囧囧函数”；对于②，y=f（x）=lnx（e≤x≤e2），对∀a，b，c∈[e，e2]，f（a），f（b），f（c）∈[1，2]，∴f（a）=f（b）=1，f（c）=2时不能为某个三角形的边长，②不是“小囧囧函数”；对于③，y=f（x）=，x∈[e，e2]；f′（x）=，x∈[e，e2]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减；且=f（e2）≤f（x）≤f（e）=，对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）∈[，]，∴f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的边长，③是“小囧囧函数”；对于④，y=f（x）=，x∈[，2]，∴f′（x）=，x∈[，1]时，f′（x）≥0，f（x）单调增，x∈（1，2]时，f′（x）＜0，f（x）是单调减，且f（x）在x=1取得最大值为f（1）=，x=2时f（x）取得最小值为f（2）=；∴f（x）的值域为[，]；对于∀a，b，c∈[，2]，f（a），f（b），f（c）能分别为某个三角形的边长，④是“小囧囧函数”；综上，函数①y=xlnx，x∈[，2]；②y=lnx，x∈[e，e2]；③y=，x∈[e，e2]；④y=，x∈[，2]中，是“小囧囧函数”的为③④，有2个．故选：B．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．（5分）设{a n}是等差数列，a1=2且a3+a6=8，则a8=6．【分析】由已知求得等差数列的公差，再由等差数列的通项公式求得a8．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a1=2且a3+a6=8，得2a1+7d=8，即7d=8﹣2a1=4，d=．∴．故答案为：6．14．（5分）一个正方体的内切球的表面积为12π，则该正方体的棱长等于2．【分析】根据正方体的内切球，可知球的直径等于棱长，即可求解．【解答】解：由题意，正方体的内切球的表面积为12π，设棱长为a．可得，∴a=．故答案为：215．（5分）已知函数f（x）=x3﹣x2﹣m的图象与x轴恰有两个不同公共点，则负数m=﹣．【分析】令x3﹣x2﹣m=0，化为m=x3﹣x2=g（x），g′（x）=3x2﹣3x=3x（x﹣1），令g′（x）=0，解得x=0或1．利用导数可得其单调性极值，根据函数f（x）=x3﹣x2﹣m的图象与x轴恰有两个不同公共点，可得负数m．【解答】解：令x3﹣x2﹣m=0，化为m=x3﹣x2=g（x），g′（x）=3x2﹣3x=3x（x﹣1），令g′（x）=0，解得x=0或1．∴函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增．g（0）=0，g（1）=﹣．∵函数f（x）=x3﹣x2﹣m的图象与x轴恰有两个不同公共点，则负数m=﹣．故答案为：﹣．16．（5分）已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，过点A（t，）与抛物线C恰有一个交点的直线至多有2条，则直线AF被抛物线C所截得的弦长为．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由题意可得A在抛物线上，求得A的坐标，以及直线AF方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求弦长．【解答】解：抛物线C：x2=8y的焦点为F（0，2），准线方程为y=﹣2，过点A（t，）与抛物线C恰有一个交点的直线至多有2条，可得A在抛物线上，即有t2=4（t﹣1），可得t=2，即A（2，），直线AF的方程为y=﹣x+2，代入抛物线x2=8y可得：x2+6x﹣16=0，可得x1+x2=﹣6，y1+y2=﹣（x1+x2）+4=+4=，则弦长为y1+y2+4=+4=，故答案为：．三.解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（10分）等比数列{a n}中，a1=2，a4=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第4项和第16项，试求数列{b n}的前项和S n．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公比为q，由等比数列的通项公式，可得公比q，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和首项，再由等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公比为q，由a1=2，a4=16得：16=2q3，解得q=2，又a1=2，所以a n=a1q n﹣1=2•2n﹣1=2n；（Ⅱ）由（I）得a3=8，a5=32，则b4=8，b16=32，设{b n}的公差为d，则有，解得b1=d=2，则数列{b n}的前n项和S n=2n+n（n﹣1）•2=n2+n．18．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a+b=5，2sinB=3sinA，且△ABC的面积为3．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求边c．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得：2b=3a，结合a+b=5，解得a，b的值，利用三角形面积公式可求sinC，结合C的范围利用特殊角的三角函数值即可得解．（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理即可解得c的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵2sinB=3sinA，∴由正弦定理可得：2b=3a，又∵a+b=5，∴可得：a=2，b=3．∴S△ABC=absinC=3，∴sinC=，∵0＜C＜，∴C=．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=14，∴解得：c=．19．（12分）已知函数f（x）=e x+ax+b（x∈R）在点A（0，f（0））处的切线l的方程为x+y ﹣2=0．（Ⅰ）求函数f（x）解析式；（Ⅱ）求f（x）在R上的极值．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由切线方程可得a，b，进而得到所求解析式；（Ⅱ）求得f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，即可得到所求极值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=e x+ax+b的导数为f′（x）=e x+a，可得在点A（0，f（0））处的切线斜率为1+a，且f（0）=1+b，由切线l的方程为x+y﹣2=0，可得1+a=﹣1，1+b=2，解得a=﹣2，b=1，则f（x）=e x﹣2x+1；（Ⅱ）f（x）=e x﹣2x+1的导数为f′（x）=e x﹣2，f′（x）=0，可得x=ln2，当x＜ln2，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x＞ln2，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）有极小值，且为f（ln2）=3﹣2ln2，无极大值．20．（12分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足==（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，连结A1B、A1C（如图2）．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BCED（Ⅱ）若P是线段A1B的中点，求四棱锥P﹣BCED的体积．【分析】（Ⅰ）推导出DE⊥AB，DE⊥A1D，从而A1D⊥DE，A1D⊥BD，由此能证明A1D⊥平面BDEC．（Ⅱ）由P是线段A1B的中点，能求出四棱锥P﹣BCED的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵等边△ABC的边长为3，且==，∴AD=1，AE=2，又∠DAE=60°，∴DE=，∴DE⊥AB，∴DE⊥A1D，又二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，平面A1DE∩平面BDE=DE，∴A1D⊥DE，A1D⊥BD，∴A1D⊥平面BDEC．解：（Ⅱ）∵P是线段A1B的中点，∴四棱锥P﹣BCED的体积V==．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知F1（，0），F2（﹣，0）且|MF1|+|MF2|=4，记动点M（x，y）的轨迹为C（Ⅰ）求曲线C方程；（Ⅱ）过点P（0，1）的动直线l与曲线C相交A，B两点，试问在y轴上是否存在与点P （0，1）不同的定点Q，使得∠AQP=∠BQP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅱ）由椭圆的定义可求得动点M运动的轨迹．（Ⅱ）通过直线l与x轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q 点坐标只能是（0，2）．然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有∠AQP=∠BQP即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：|MF1|+|MF2|=4＞|F1F2|=2∴由椭圆的定义可知：动点M运动的轨迹是：以F1，F2为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆，且短半轴长为=∴曲线C的方程为+=1．（Ⅱ）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得∠AQP=∠BQP恒成立．理由如下：当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件∠AQP=∠BQP∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0）．当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点．则M（0，），N（0，﹣），由=，有=，解得y0=1或y0=2．所以，若存在不同于点P（0，1）的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为Q（0，2）．下面证明：对任意的直线l，均有∠AQP=∠BQP．当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y﹣kx+1，A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B （x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣．因此+==2k，∴k QA==k﹣，k QB==k﹣=﹣﹣k，∴k QA+k QB=0，∴∠AQP=∠BQP22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣x﹣clnx（c∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求证：f（x）≥0；（Ⅱ）∃x∈（1，e），f（x）＞（x+1）ln，求实数c的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出c的值，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；（Ⅱ）分离参数得到c＜x+1+成立，令h（x）=，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：f′（1）=0，∴c=1，∴f（x）=x2﹣x﹣lnx，∴f′（x）=，∵x＞0，∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）≥f（1），∴f（x）≥0；（Ⅱ）法一：由题意，分离参数可得：∃x∈（1，e），使c＜x+1+成立，令h（x）=，则h′（x）=，p（x）=﹣x+1﹣lnx+2xlnx，∴p′（x）=1+2lnx ﹣，p″（x）=+＞0，∴p′（x）＞p′（1）＞0，∴p（x）＞p（1）＞0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，e）为增函数，∴k（x）在（1，e）为增函数，∴k（x）＜k（e），∴c＜e2+1；法二：由题意，分离参数可得：∃x∈（1，e），使c＜x+1+成立，令h（x）=，经过4次求导可得为其增函数，∴h（x）＜h（e），∴c＜e2+1．第21页（共21页）。

2016-2017学年重庆市六校联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．直线λ：2x﹣y+3=0与圆C：x2+（y﹣1）2=5的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定3．直线l1：2x+（m+1）y+4=0和直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m=（）A．﹣3或2 B．2 C．﹣2或3 D．34．点P（0，1）到双曲线渐近线的距离是（）A．B．C．D．55．已知x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．46．设l是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若l∥α，l⊥β，则α⊥β7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．B．1cm3C．D．3cm38．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个半径为4cm，深2cm的空穴，则该球表面积为（）cm2．A．400πB．300πC．200πD．100π9．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，焦点为F，并且经过点M （2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则△MOF的面积为（）A．B．C．2 D．10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a（a＞1），动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱CD，AD上，若EF=1，A1F=x，DP=y，DQ=z（x，y，z均大于零），则四面体PEFQ的体积（）A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关11．已知椭圆： +=1（0＜b＜3），左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l 交椭圆于A、B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为10，则b的值是（）A．1 B．C．D．12．一个棱长为的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（）A．1 B．C．2 D．3二、填空题（每小题5分，共20分）13．焦点在（﹣2，0）和（2，0），经过点（2，3）的椭圆方程为．14．一圆锥的母线长2cm，底面半径为1cm，则该圆锥的表面积是cm2．15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，点P是面A1B1C1D1内一动点，则|PA|+|PC|的最小值为．16．设点P为有公共焦点F1、F2的椭圆M和双曲线Γ的一个交点，，椭圆M的离心率为e1，双曲线Γ的离心率为e2．若e2=2e1，则e1=．三、解答题（共6大题，共70分）17．给定两个命题p：表示焦点在x轴上的双曲线；q：关于x的方程x2﹣4x﹣a=0有实数根．如果￢p∧q为真命题，求实数a的取值范围．18．已知过点P（2，2）的直线l和圆C：（x﹣1）2+y2=6交于A，B两点．（Ⅰ）若点P恰好为线段AB的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）若，求直线l的方程．19．如图，在底面为直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，且AD∥BC，AD=DC=1，．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）求三棱锥B﹣SAD的体积．20．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥CD，平面CDFE ⊥平面ABCD，且AD=3EF，DE=DF，点G为EF中点．（Ⅰ）求证：DG⊥BC；（Ⅱ）M是线段BD上一点，若GM∥平面ADF，求DM：MB的值．21．如图，抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为（0，1），圆心M在射线y=2x（x ≥0）上且半径为2的圆M与y轴相切．（Ⅰ）求抛物线E及圆M的方程；（Ⅱ）过P（2，0）作两条相互垂直的直线，与抛物线E相交于A，B两点，与圆M相交于C，D两点，N为线段CD的中点，当，求AB所在的直线方程．22．已知椭圆的离心率为，一个短轴端点到焦点的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l：x+4y﹣2=0，过点A（2，2）作直线m交椭圆C于不同的两点E，F交直线l于点K，问：是否存在常数t，使得恒成立，并说明理由．2016-2017学年重庆市六校联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：设直线x+y﹣1=0的倾斜角为α．直线x+y﹣1=0化为．∴tanα=﹣．∵α∈[0°，180°），∴α=150°．故选：D．2．直线λ：2x﹣y+3=0与圆C：x2+（y﹣1）2=5的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线的距离，与圆半径相比较，能求出结果．【解答】解：圆C：x2+（y﹣1）2=5的圆心C（0，1），半径r=，圆心C（0，1）到直线λ：2x﹣y+3=0的距离：d==＜r=，∴直线λ：2x﹣y+3=0与圆C：x2+（y﹣1）2=5相交．故选：A．3．直线l1：2x+（m+1）y+4=0和直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m=（）A．﹣3或2 B．2 C．﹣2或3 D．3【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用直线l1：2x+（m+1）y+4=0和直线l2：mx+3y﹣2=0平行，，即可求出m的值．【解答】解：∵直线l1：2x+（m+1）y+4=0和直线l2：mx+3y﹣2=0平行，∴，解得：m=﹣3或2．故选：A．4．点P（0，1）到双曲线渐近线的距离是（）A．B．C．D．5【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得其渐近线方程，进而由点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，则其渐近线方程为：y=±2x，即2x±y=0，点P（0，1）到2x﹣y=0的距离d==，故选：B．5．已知x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：先根据约束条件，画出可行域，由得A（1，0），当直线z=2x﹣y过点A（1，0）时，z最大值是2，故选：C．6．设l是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若l∥α，l⊥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，l与β相交、平行或l⊂β；在C 中，l与β相交、平行或l⊂β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由l是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，知：在A中：若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中：若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；在C中：若α⊥β，l⊥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中：若l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．B．1cm3C．D．3cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个倒立的四棱锥，底面是一个直角梯形，上底AB=1，下底CD=2，AD⊥AB，AD=1，侧面PCD⊥底面ABCD，PC=PD．取CD 的中点O，连接PO，则PO⊥CD，PO=1．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个倒立的四棱锥，底面是一个直角梯形，上底AB=1，下底CD=2，AD⊥AB，AD=1，侧面PCD⊥底面ABCD，PC=PD．取CD的中点O，连接PO，则PO⊥CD，PO=1．∴该几何体的体积V==cm3．故选：A．8．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个半径为4cm，深2cm的空穴，则该球表面积为（）cm2．A．400πB．300πC．200πD．100π【考点】球的体积和表面积．【分析】设球的半径为Rcm，根据题意可得冰面到球心的距离为（R﹣2）cm，冰面截球得到的小圆半径为4cm，利用勾股定理建立关于R的方程，解出R，再根据球的表面积公式即可算出该球的表面积【解答】解：设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为Rcm，则CD=R﹣OD=2cm，∴Rt△OBD中，OB=Rcm，OD=（R﹣2）cm，BD=4cm．根据勾股定理，得OD2+BD2=OB2，即（R﹣2）2+42=R2，解之得R=5cm，∴该球表面积为S=4πR2=4π×52=100π．故选：D．9．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，焦点为F，并且经过点M （2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则△MOF的面积为（）A．B．C．2 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求△MOF的面积．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴y02=8∴△MOF的面积为=，故选B．10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a（a＞1），动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱CD，AD上，若EF=1，A1F=x，DP=y，DQ=z（x，y，z均大于零），则四面体PEFQ的体积（）A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】△EFQ的面A1B1CD面积的，当P点变化时，会导致四面体体积的变化．由此求出四面体PEFQ的体积与z有关，与x，y无关．【解答】解：从图中可以分析出：△EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的，而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．故若EF=1，A1F=x，DP=y，DQ=z（x，y，z均大于零），则四面体PEFQ的体积与z有关，与x，y无关．故选：D．11．已知椭圆： +=1（0＜b＜3），左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l 交椭圆于A、B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为10，则b的值是（）A．1 B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义，求得|BF2|+|AF2|=12﹣（丨AF1丨+丨BF1丨），当丨AF1丨+丨BF1丨取最小值时，|BF2|+|AF2|取最大值，则=2，即可求得b的值．【解答】解：椭圆的焦点在x轴上，由椭圆的定义可知：丨AF1丨+丨AF2丨=2a=6，丨BF1丨+丨BF2丨=2a=6，则丨AF2丨=6﹣丨AF1丨，丨BF2丨=6﹣丨BF1丨，∴|BF2|+|AF2|=12﹣（丨AF1丨+丨BF1丨）=12﹣丨AB丨，当丨AF1丨+丨BF1丨=丨AB丨取最小值时，|BF2|+|AF2|取最大值，即=2，解得：b=，b的值，故选C．12．一个棱长为的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（）A．1 B．C．2 D．3【考点】棱柱的结构特征．【分析】在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长．【解答】解：设球的半径为r，由正四面体的体积得：4×=，解得r=，设正方体的最大棱长为a，∴3a2=（2）2，解得a=2．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．焦点在（﹣2，0）和（2，0），经过点（2，3）的椭圆方程为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由焦点的坐标分析可得其焦点在x轴上，且c=2，可以设其标准方程为： +=1，将点（2，3）坐标代入椭圆方程计算可得a2的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的焦点坐标为（﹣2，0）和（2，0），则其焦点在x轴上，且c=2，设其标准方程为： +=1，又由其经过点（2，3），则有﹣=1，解可得a2=16，则其标准方程为：；故答案为：．14．一圆锥的母线长2cm，底面半径为1cm，则该圆锥的表面积是3πcm2．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积=2π×1×2÷2=2π．底面积为π该圆锥的表面积是为：2π+π=3π．故答案为：3π15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，点P是面A1B1C1D1内一动点，则|PA|+|PC|的最小值为5．【考点】棱柱的结构特征．【分析】设A关于平面A1B1C1D1的对称点为A′，则|PA|+|PC|的最小值为A″C，利用勾股定理即可求解．【解答】解：设A关于平面A1B1C1D1的对称点为A′，则|PA|+|PC|的最小值为A″C==5，故答案为5．16．设点P为有公共焦点F1、F2的椭圆M和双曲线Γ的一个交点，，椭圆M的离心率为e1，双曲线Γ的离心率为e2．若e2=2e1，则e1=．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆及双曲线的定义可知m+n=2a1，m﹣n=2a2．利用余弦定理，求得10=+，将e2=2e1，即可求得e1．【解答】解：设椭圆与双曲线的半长轴分别为a1，a2，半焦距为c．e1=，e2=．设|PF1|=m，|PF2|=n，不妨设m＞n，则m+n=2a1，m﹣n=2a2．∴m2+n2=2+2，mn=﹣4c2=m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，∴4c2=2+2﹣2（﹣）×．整理得：10c2=+9，∴10=+，又e2=2e1，∴40=13，e1∈（0，1）．解得：e1=．∴椭圆的离心率e1=．故答案为：．三、解答题（共6大题，共70分）17．给定两个命题p：表示焦点在x轴上的双曲线；q：关于x的方程x2﹣4x﹣a=0有实数根．如果￢p∧q为真命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】若命题p为真，则，解得a范围．若命题Q为真，则△≥0，解得a范围．因为¬p∧q为真命题，则P假Q真．【解答】解：若命题p为真，则，解得﹣1＜a＜2，…若命题Q为真，则△=16+4a≥0，得a≥﹣4 …因为¬p∧q为真命题，则P假Q真，…则所以实数a的取值范围是﹣4≤a≤﹣1或a≥2…18．已知过点P（2，2）的直线l和圆C：（x﹣1）2+y2=6交于A，B两点．（Ⅰ）若点P恰好为线段AB的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）若，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）若点P恰好为线段AB的中点，则l⊥CP，求出斜率，即可求直线l的方程；（Ⅱ）若，分类讨论，即可求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知l⊥CP，因为，所以，故直线l的方程为x+2y﹣6=0…（Ⅱ）设圆心C 到直线l 的距离为d ，则d=1当直线l 的斜率不存在时，符合题意，此时直线的方程为x=2；…当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为y ﹣2=k （x ﹣2），即kx ﹣y +2﹣2k=0，所以，则，此时直线的方程为3x ﹣4y +2=0综上，直线l 的方程为x=2或3x ﹣4y +2=0…19．如图，在底面为直角梯形的四棱锥S ﹣ABCD 中，且AD ∥BC ，AD=DC=1，．（Ⅰ）求证：AC ⊥SD ；（Ⅱ）求三棱锥B ﹣SAD 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（Ⅰ）设O 为AC 的中点，连接OS ，OD ，推导出OS ⊥AC ，DO ⊥AC ，从而AC ⊥平面SOD ，由此能证明AC ⊥SD ．（Ⅱ）三棱锥B ﹣SAD 的体积V B ﹣SAD =V S ﹣BAD ，由此能求出结果． 【解答】证明：（Ⅰ）设O 为AC 的中点，连接OS ，OD ， ∵SA=SC ，∴OS ⊥AC ， ∵DA=DC ，∴DO ⊥AC ，又OS ，OD ⊂平面SOD ，且OS ∩DO=O ，AC ⊥平面SOD ， 又SD ⊂平面SOD ，∴AC ⊥SD ．…解：（Ⅱ）∵O 为AC 的中点，在直角△ADC 中，DA 2+DC 2=2=AC 2，则，在△ASC 中，∵，O 为AC 的中点，∴△ASC 为正三角形，且，∵在△SOD 中，OS 2+OD 2=SD 2，∴△SOD 为直角三角形，且∠SOD=90°， ∴SO ⊥OD ，又OS ⊥AC ，且AC ∩DO=O ， ∴SO ⊥平面ABCD ．… ∴三棱锥B ﹣SAD 的体积：V B ﹣SAD =V S ﹣BAD ====．…20．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，EF ∥CD ，平面CDFE ⊥平面ABCD ，且AD=3EF ，DE=DF ，点G 为EF 中点． （Ⅰ）求证：DG ⊥BC ；（Ⅱ）M 是线段BD 上一点，若GM ∥平面ADF ，求DM ：MB 的值．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由已知可证DG ⊥EF ，又EF ∥DC ，可证DG ⊥DC ，由面面垂直证明DG ⊥平面ABCD ，即可证明DG ⊥BC ．（Ⅱ）过M 作MN ∥AB 交AD 于N ，连接FN ，证明EG ∥MN ，GM ∥FN ，可得四边形FGMN 是平行四边形，由已知可求，进而可求．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）证明：∵DE=DF ，G 是EF 的中点，∴DG⊥EF，又∵EF∥DC，∴DG⊥DC，…又∵平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF=CD，∴DG⊥平面ABCD，又∵BC在平面ABCD内，∴DG⊥BC．…（Ⅱ）过M作MN∥AB交AD于N，连接FN，∵EG∥DC，DC∥AB，∴EG∥MN，又∵GM∥平面ADF，∴GM∥FN，∴四边形FGMN是平行四边形，…∴，∵，∴．…21．如图，抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为（0，1），圆心M在射线y=2x（x ≥0）上且半径为2的圆M与y轴相切．（Ⅰ）求抛物线E及圆M的方程；（Ⅱ）过P（2，0）作两条相互垂直的直线，与抛物线E相交于A，B两点，与圆M相交于C，D两点，N为线段CD的中点，当，求AB所在的直线方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）利用抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为（0，1），圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为2的圆M与y轴相切，即可求抛物线E及圆M的方程；（Ⅱ）联立⇒x2﹣4kx+8k=0，又与直线AB垂直的直线CD与圆M相交，可得k的范围，利用，求出k，即可求AB 所在的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为（0，1），∴p=2，∴抛物线E：x2=4y，…∵圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为2的圆M与y轴相切，∴圆M的方程：（x﹣2）2+（y﹣4）2=4；…（Ⅱ）设直线AB的斜率为k（k显然存在且不为零）立⇒x2﹣4kx+8k=0又与直线AB垂直的直线CD与圆M相交，则即，而16k2﹣32k＞0，故．…（其中d表示圆心M到直线AB的距离）=…又，所以，解得或（舍）所以AB所在的直线方程为：即．…22．已知椭圆的离心率为，一个短轴端点到焦点的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l：x+4y﹣2=0，过点A（2，2）作直线m交椭圆C于不同的两点E，F交直线l于点K，问：是否存在常数t，使得恒成立，并说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意，列方程组，求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）求得K的横坐标，将直线方程代入椭圆方程，，利用韦达定理，即可求得t 的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：，解得：，∴椭圆C的方程为．…（Ⅱ）设直线m的方程为y=kx+b，有b=2﹣2k．解得点K的横坐标，…将直线m代入椭圆方程得：（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由韦达定理，得，，…所以===2．…∴存在实数t=2，使得恒成立…2017年4月21日。

2017年重庆市一中2018级高二下学期期末考试数学试题卷（文科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知角α终边一点(2,3)P -，则tan α的值为A ．32 B ．32- C ．23 D ．23- 2、复数212ii-+=+ A ．1- B ．1 C ．i - D ．i3、下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞内单调递增的为A ．42y x x =+B ．2xy = C ．22x x y -=- D ．12log 1y x =-4、已知命题1:(0,),sin p x x x x∀∈+∞=+，命题:,1xq x R e ∃∈<，则下列为真命题的是 A ．()p q ∧⌝ B ．()()p q ⌝∧⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．p q ∧5、已知的取值如表所示从散点图分析y 与x 的线性关系，且ˆ0.95yx a =+，则a = A ．2.2 B ．3.36 C ．2.6 D ．1.956、星星如图所示的程序框图，若输入5,2a b ==，则输出n 的值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．57、在区间[]0,2内任取一个实数a ，则使函数()21log a f x x -=在(0,)+∞ 上为减函数的概率是 A ．12 B ．14C ．16D ．188、《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶著作，全市十八卷共八十一个问题，分为九类，没类九个问题，《数学九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了三角形三边,,a b c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”，若把以上这段文字写成公式，即S =现在周长为10+ABC ∆满足sin :sin :sin A B =，则用以上给出的公式求得ABC ∆的面积为 A．．．．12 9、由2c o s 2y x =的图象向右平移a 个单位长度可以得到函数()2sin(3)3f x x π=+的图象，则a 的最小值为A ．12π B ．4π C ．3π D ．6π 10、已知,αβ为锐角，且35cos(),sin()513αβαβ+=--=-，则sin 2α=A ．3365B ．6365-C ．6365D ．3365-11、函数22sin 33([,0)(0,))1441x y x xππ=∈-+的图象大致是12、（原创）已知()3222f x x x x =+++，过点(2,)m -可作曲线()y f x =的三条切线，则m 的取值范围为 A ．64(,0)27-B ．(,0)-∞C ．64(1,)27D ．(1,)+∞ 5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13、已知函数()2,0(0,1)log ,0aa x x f x a a x x -≤⎧=>≠⎨>⎩，若((1))1f f =，则a =14、函数2sin(2)4y x π=+的对称轴是x =15、已知函数()cos f x x x =+在0x 处取得最大值，则0cos()x π-=16、（原创）定义在R 上的奇函数()y f x =满足()40f =，且当0x >时，不等式()()f x xf x '<恒成立，则函数()()1xf xg x e x=+-的零点的个数为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）已知函数()2sin cos sin f x x x x =+ . （1）求函数()f x 的递增区间；（2）若α为锐角，且()2f α=，求cos α.18、（本小题满分12分）（原创）作为重庆一中民主管理的实践之一，高三年级可以优先选择教学楼，为了调迁了解同学们的意愿，现随机调出了16名男生和14名女生，结果显示，男女生中分别有10人和5人意愿继续留在第一教学楼.（1）根据以上数据完成以下22⨯的列联表：（2）根据列联表的独立性检验，能否有90%的把握认为性别与意愿留在第一教学楼有关？ （3）如果从意愿留在第一教学楼的女生中（其中恰有3人精通制作PPT ），选取2名负责为第一教学楼各班图书角作一个总展示的PPT ，用于楼道电子显示屏的宣传，那么选出的女生中至少有1人能胜任此工作的概率是多少？19、（本小题满分12分）已知函数()()x e af x a R x-=∈ . （1）若函数()f x 在1x =时取得极值，求实数a 的值；（2）若函数()f x 在区间[]2,4上是单调增函数，求实数a 的取值范围.20、（本小题满分12分）已知()222(log )2log 3()f x x a x a R =--∈.（1）当1a =-时，解不等式()0f x <； （2）若[]2,8x ∈，求函数()f x 的最小值.21、（本小题满分12分） （原创）已知函数()312xf x e ax =-. （1）若函数()f x 在点(1,(1))f 的切线为1y kx =+，求实数k 的值； （2）若a e ≤，证明：当0x ≥时，()(1)xf x e x x ≥-+.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆221:(4C x y +=，曲线2C 的参数方程为22cos (2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），并以O 为极点，x 轴正半轴建立极坐标系.（1）写出圆1C 的圆心1C 的直角坐标，并将2C 化为极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为2(),3R C πθρ=∈与3C 相交于,A B 两点，求1ABC ∆的面积(1C 为圆1C 的圆心.23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲 已知函数()221f x x a x =-+-.（1）当3a =时，求关于x 的不等式()6f x ≤的解集； （2）当x R ∈时，求实数()213f x a a ≥--的取值范围.。

2017年重庆市一中2018级高二下学期期末考试数学试题卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合2{1,3,5,7},{|35}A B x x x ==-≤，则A B =A ．{}1,3B ．{}3,5C ．{}5,7D ．{}1,72、设复数z 满足21i z=+，则z = A ．1i + B ．1i - C ．2i D ．2i -3、命题：“对任意22,ln(2)0x x R e x x ∈-++>”的否定是A ．任意22,ln(2)0x x R e x x ∈-++≤B ．存在22,ln(2)0x x R e x x ∈-++>C ．不存在22,ln(2)0x x R e x x ∈-++≤D ．存在22,ln(2)0x x R e x x ∈-++≤4、已知2(2017,)N ξσ，若(20162017)0.2P ξ≤≤=，则(2018)P ξ>等于A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.45、函数()3f x x=-的定义域为 A ．{}|3x x ≠ B ．{|3x x ≤-或3}x > C ．{|33}x x -<≤D ．{|33}x x -≤<6、函数()321313f x x x x =-+++，以下关于此函数的说法正确的是 A ．在1x =处取得极小值 B ．在1x =-处取得极大值C ．在3x =-处取得极小值D ．在3x =-处取得极大值7、一个半径为1的球对称的消去了三部分，其俯视图如图所示，那么该立体图形的表面积为A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π8、已知12,F F 是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左右焦点，P 为双曲线右支上一点，1PF与以原点为圆心a 为半径的圆相切，切点为M ，若11()2OM OF OP =+，那么该双曲线的离心率为ABCD1 9、（原创）在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人现独立思考完成，然后一起讨论，甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你作对了！”，丙说：“我也做错了！”最后老师知道了他们三人的答案和讨论后总结：“你们三人中有且只有一人做对了”，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是A ．甲做对了B ．甲说对了C ．乙作对了D ．乙说对了10、（原创）NBA 全明星周末有投篮之星、扣篮大赛、技巧挑战赛和三分大赛四种项目，某高中为了锻炼学生体质，也模仿全明星周末举行“篮球周末”活动，同样是投篮之星，扣篮大赛、技巧挑战赛和三分大赛四种项目，现在高二某班有两名同学要报名参加此次活动，每名同学最多两项（至少参加一项），那么他俩共有多少种不同的报名方式A ．96B ．100C ．144D ．22511、（原创）已知点P 为圆22(2)1x y -+=上的点，直线1l为y =，2l为y x =，P 到12l l 的距离分别为12d d ，那么12d d 的最小值为A ．12B ．13C ．29D ．1612、（原创）设函数()f x 在R 上连续可导，对任意x R ∈，有()()cos 2f x f x x -+=，当(0,)x ∈+∞ 时，()sin 20f x x +>，若()()c o s 202f m f m m π--->，则实数m 的取值范围为A ．(,)4π+∞B ．(,)4π-∞C ．(0,)4π D ．(,)44ππ- 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、设函数()22,242x x x f x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则1()(10)f f =14、闭区间[]0,5上等可能的任取一个实数x ，那么不等式220x x --≤ 成立的概率为15、已知22201221(2)(1)(1)(1),2,n n n x a a x a x a x n n N +-+=+++++++≥∈， 则24222n n a a a a -++++=16、（原创）已知,,a b c 为正整数，()(),c f x ax f x b x=+=在(0,1)x ∈上有两个不同的实数解，若这样的正整数b 有且只有2个，那么a c +的最小值为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17、（本小题满分10分）已知条件2:560p x x -+≤，条件q ：关于x 的不等式230x mx m +++>.（1）若条件q 中对于一切x R ∈恒为真，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18、（本小题满分12分）（原创）空气质量按照空气质量指数的大小分为七档（五级），相对空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况月严重，对人体危害越大.现统计了重庆某时间段连续60天空气质量指数，统计结果如下表：空气质量指数级别对人们的幸福指数有影响，若空切质量指数级别与人们行贾指数平均值对应如下表（幸福指数满分10分）（1）若某人计划到重庆10日游，预测在这10天里重庆人幸福指数平均值不超过6的天数；（2）求重庆人幸福指数平均值的分布列及期望.19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的菱形，060,DAB PAD ∠=∆为正三角形，6PB =.（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）E 为线段PB 上的点，平面PAD 与平面ACE 所成锐二面角为030,PE PB λ=，求出λ的值.20、（本小题满分12分）（原创）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，该椭圆上、左、下顶点及右焦点围成的四边形面积为12. （1）求椭圆的方程；（2）如图，若矩形ABCD 的三条边都与该椭圆相切，求矩形ABCD 面积的最大值.21、（本小题满分12分）（原创）已知函数()()11,1n x n m x f x g x m mx x +-==--（其中,,m e n me ≥为正整数，e 为自然对数的底）（1）证明：当1x >时，()0m g x >恒成立；（2）当3n m >≥时，试比较()n f m 与()m f n 的大小，并证明.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为22cos 28sin 0ρθρρθ+-=，曲线2C 的参数方程为2x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩. （1）将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线1C 与2C 相交于,A B 两点，若(0,2)P ，求PA PB ⋅的值.23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲已知函数()42f x x x =++-.（1）解不等式()8f x >；（2）设函数()f x 的最小值为a ，正实数,,m n s 满足22m m s a ++=，求222m n s ++的最小值.。

2016年重庆一中高2017级高二上期期末考试数 学 试 题 卷（理科） 2016.1（时间：120分钟 分数：150分）一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数31ii -（i 是虚数单位）的虚部是（ ） （A ）32i （B ）32 （C ）32i - （D ）32-2．定积分()32sin x x dx ππ-+⎰等于（ ）（A ）0 （B ）2192π- （C ）2219π- （D ）2219π+ 3．（原创）已知命题p ：R x ∈∀，04223≠+++x x e x ，则⌝p 为（ ）（A ）R x ∈∃0，使得042ln 20300=+++x x x （B ）R x ∈∃0，使得04220300≠+++x x ex （C ）R x ∈∃，使得04223=+++x x e x （D ）R x ∈∀0，使得04220300=+++x x ex4．用反证法证明结论：“曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（ ）（A ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有两个不同的交点 （B ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有一个交点 （C ）曲线()y f x =与曲线()y g x =恰有两个不同的交点 （D ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有一个交点5．已知直线()R a a ay x ∈+=+2与圆072222=---+y x y x 交于,M N 两点，则线段MN的长的最小值为（ ）（A ）24 （B ）22 （C ）2 （D ）26．()()830+-<x x 的一个充分不必要条件是（ ）（A ）38<<-x （B ）8>x （C ）3-<x （D ）8-<x 或3>x7．给出以下五个结论：①经过()()1122,,,A x y B x y 两点的直线的方程为112121y y x x y y x x --=--； ②以()()1122,,,A x y B x y 为直径的两个端点的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=；③平面上到两个定点12,F F 的距离的和为常数2a 的点的轨迹是椭圆；④平面上到两个定点12,F F 的距离的差为常数()1222||a a F F <的点的轨迹是双曲线；⑤平面上到定点F 和到定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。

2017年重庆一中高2018级高二上期期末考试数 学 试 题 卷（理科）数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：（本大题 12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。

1.椭圆22143x y +=的焦距为（ ） A.1 B.2 C.3 D.42.圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ ）A.2πB.3πC.4πD.π3.已知圆22:440C x y ax y ++++=的圆心C 在直线20x y +=上，则实数a 的值为（ ） A.1 B.1- C.2 D.2-4.已知实数,x y 满足2000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A.4B.3C.0D.25.下列命题是真命题的是（ ）A.x R ∀∈，都有210x -≥ B.平面直角坐标系中任意直线都有斜率 C.a R ∃∈，使得21a > D.过空间一点存在直线与平面平行6.人民代表人民选，现从甲地区6名候选人选出3名人大代表、乙地区5名候选人选出2名人大代表，则不同的选法有（ ） A.80种 B.100种 C.150种D.200种7.已知平面α及平面α同一侧外的不共线三点,,A B C ，则“,,A B C 三点到平面α的距离都相等”是“平面//ABC 平面α”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.如图，点O 为ABC ∆所在平面外一点，且,,OA OB OC 两两互相垂 直，1OA OC ==，点E 为棱AC 的中点，若三棱锥O ABC -的体 积为1412，则异面直线直线OA 与BE 所成角的余弦值为（ ） A.66 B.33 C.12 D.149.（原创）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱111,A D CC 的中点，在平面11BB C C 内存在点G 使得1//A G EF ，则直线AD 到平面EFG 的距离为（ ）A.55B.255C.52D.5410.（原创）已知点M 是双曲线22:1C x y -=上异于顶点的一点，O 是坐标原点，F 是双曲线C 的右焦点，且过F 作直线l 使得//l OM ，l 交双曲线C 于不同两点,A B ，则2=OM AB（ ） A.34 B.23 C.13 D.1211.（原创）如图，⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是一个三行两列的数表，现从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任选六个不同的数字填在该数表的6个方格子中，每个方格子中只填一个数字，且在这三行中只有．．第三行的两个数字之和为6，则不同的排列方法有（ ）种 A.2880 B.2156 C.3040 D.354412.（原创）已知抛物线2:4(0)y px p Γ=>，AB 为过抛物线Γ焦点的弦，AB 的中垂线交OACBE抛物线Γ于点,C D 。

秘密★启用前2016年重庆一中高2017级高二上期期末考试数 学 试 题 卷（理科） 2016.1（时间：120分钟 分数：150分）一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数31ii -（i 是虚数单位）的虚部是（ ）（A ）32i （B ）32 （C ）32i - （D ）32-2．定积分()32sin x x dx ππ-+⎰等于（ ）（A ）0 （B ）2192π- （C ）2219π- （D ）2219π+ 3．（原创）已知命题p ：R x ∈∀，04223≠+++x x e x ，则⌝p 为（ ）（A ）R x ∈∃0，使得042ln 20300=+++x x x （B ）R x ∈∃0，使得04220300≠+++x x ex （C ）R x ∈∃，使得04223=+++x x e x （D ）R x ∈∀0，使得04220300=+++x x ex4．用反证法证明结论：“曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（ ）（A ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有两个不同的交点 （B ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有一个交点 （C ）曲线()y f x =与曲线()y g x =恰有两个不同的交点 （D ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有一个交点5．已知直线()R a a ay x ∈+=+2与圆072222=---+y x y x 交于,M N 两点，则线段MN的长的最小值为（ ）（A ）24 （B ）22 （C ）2 （D ）26．()()830+-<x x 的一个充分不必要条件是（ ）（A ）38<<-x （B ）8>x （C ）3-<x （D ）8-<x 或3>x7．给出以下五个结论：①经过()()1122,,,A x y B x y 两点的直线的方程为112121y y x x y y x x --=--；②以()()1122,,,A x y B x y 为直径的两个端点的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=；③平面上到两个定点12,F F 的距离的和为常数2a 的点的轨迹是椭圆；④平面上到两个定点12,F F 的距离的差为常数()1222||a a F F <的点的轨迹是双曲线；⑤平面上到定点F 和到定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。

秘密★启用前2016年重庆一中高2017级高二下期期末考试数 学 试 题 卷（文科）2016。

7数学试题共4页. 满分150分。

考试时间120分钟。

一。

选择题 （每小题5分, 共60分）1。

已知集合{|31}A x x =-<<, 2{|20}B x x x =-≤， 则A B =（ )A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x ≤<C ．{|11}x x -<≤D ．{|21}x x -<≤2. 已知向量(3,1)a =，(sin ,cos )b αα=, 且a ∥b , 则tan α=（ ) A 。

3 B 。

3-C.13D 。

13-3.等差数列{}na 的前n 项和为nS ，若532S=，则3a =( )A ．325B ．2C ．645D ．5324。

已知 1.120.5log 3,log ,0.9x y z π-===，则 （ )A ．z y x <<B ．x y z <<C ．x z y <<D ．z x y <<5. 已知:11p x , 2:230q x x ， 则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6。

将函数()2sin 2f x x=的图像向右移动ϕ(02πϕ<<）个单位长度， 所得的部分图像如右图所示， 则ϕ的值为( )A 。

6πB 。

3πC 。

12πD 。

23π7。

直线被圆所截得的弦的长度为3, 则实数的值是( ）A．B．C．D．2-8. 右图的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法．若输入209m=, 121n=，则输出的m的值为（）A. 0 B。

11 C. 22 D。

889。

设抛物线28y x=的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点, 且PA l⊥，A为垂足, 如果直线AF的斜率为1, 则PF等于（）A．2B．4C．8D．1210. 若变量,x y满足1ln0xy-=, 则y关于x的函数图象大致是（)A. B. C。

2016—2017学年重庆一中高二（上）期中数学试卷(文科)一、选择题（共10小题,每小题5分，满分50分)1．抛物线x2=2y的焦点坐标是（）A．B．C．（1，0）D．（0，1）2．经过（3，0）,（0，4)两点的直线方程是(）A．3x+4y﹣12=0 B．3x﹣4y+12=0 C．4x﹣3y+12=0 D．4x+3y﹣12=03．直线2x﹣3y+10=0的法向量的坐标可以是(）A．（﹣2,3）B．（2,3) C．（2，﹣3) D．（﹣2，﹣3)4．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（)A．相离 B．相交 C．外切 D．内切5．左支上一点,F1是双曲线的左焦点，且｜PF1｜=17，则P点到左准线的距离是（)A．B． C．D．6．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离,则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．已知点P1（0，2），P2（3,0），在线段P1P2上取一点P，使得，则P点坐标为（）A． B． C． D．8．圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y﹣=0 B．x2+y2+x﹣2y+1=0C．x2+y2﹣x﹣2y+1=0 D．x2+y2﹣x﹣2y+=09．过双曲线x2﹣=1的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点，若｜AB｜=4，则这样的直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条10．F1、F2是椭圆的两个焦点,M是椭圆上任一点，从任一焦点向△F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线二、填空题(共5小题，每小题5分，满分25分）11．双曲线﹣=1的渐近线方程是．12．已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A｜+｜F2B｜=12，则｜AB｜=．13．已知x,y满足方程(x﹣2)2+y2=1,则的最大值为．14．直线y=mx+1与双曲线x2﹣y2=1有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是．15．已知抛物线C:y=2x2与直线y=kx+2交于A，B两点,M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若,则k=．三、解答题(16-18每小题13分,19-21每小题13分，共75分）16．已知圆心为（2,1）的圆C与直线l:x=3相切．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆C与圆O：x2+y2=4相交于A,B两点，求直线AB的方程．（用一般式表示）17．已知直线l1:ax﹣y+2a=0,l2：（2a﹣3）x+ay+a=0（1）若l1∥l2，求实数a的值；（2）若l1⊥l2，求实数a的值．18．过点P(2，1）作抛物线y2=4x的弦AB，若弦恰被P点平分(1）求直线AB所在直线方程；（用一般式表示）(2）求弦长|AB|．19．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4,设点P的轨迹为C．（1）写出C的方程；（2)设直线y=kx+1与C交于A、B两点,k为何值时？20．已知椭圆的焦点为F1、F2，抛物线y2=px(p＞0）与椭圆在第一象限的交点为Q,若∠F1QF2=60°．(1）求△F1QF2的面积；（2）求此抛物线的方程．21．已知点P为圆周x2+y2=4的动点，过P点作PH⊥x轴,垂足为H,设线段PH的中点为E,记点E的轨迹方程为C，点A（0，1）(1)求动点E的轨迹方程C；（2）若斜率为k的直线l经过点A（0，1）且与曲线C的另一个交点为B，求△OAB面积的最大值及此时直线l的方程;（3）是否存在方向向量=(1，k）（k≠0）的直线l，使得l与曲线C交与两个不同的点M,N，且有||=｜？若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由．2016—2017学年重庆一中高二（上）期中数学试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．抛物线x2=2y的焦点坐标是（)A．B．C．（1，0）D．(0，1）【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义可得，x2=2py（p＞0）的焦点坐标（0,)可直接求解【解答】解：根据抛物线的定义可得,x2=2y的焦点坐标（0，)故选B．2．经过(3，0），(0，4）两点的直线方程是（)A．3x+4y﹣12=0 B．3x﹣4y+12=0 C．4x﹣3y+12=0 D．4x+3y﹣12=0【考点】直线的截距式方程；直线的两点式方程．【分析】直接利用直线的截距式方程求解即可．【解答】解：因为直线经过（3，0），（0，4）两点，所以所求直线方程为：，即4x+3y﹣12=0．故选D．3．直线2x﹣3y+10=0的法向量的坐标可以是（）A．（﹣2，3) B．（2，3) C．（2，﹣3) D．（﹣2，﹣3）【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系．【分析】先求出直线的斜率，可得其方向向量的坐标,再结合向量垂直即可得到结论．【解答】解：因为直线2x﹣3y+10=0,斜率为．∴其方向向量为：(1，）．设其法向量坐标为（x,y）由因为方向向量和法向量垂直，∴x+y=0；符合要求的只有答案C．故选:C．4．圆O1:x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出半径，求出圆心,看两个圆的圆心距与半径的关系即可．【解答】解:圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1,0)，半径是r1=1圆O2：x2+y2﹣4y=0,即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2(0，2）,半径是r2=2∵｜O1O2｜=，故|r1﹣r2｜＜｜O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选B5．左支上一点,F1是双曲线的左焦点，且｜PF1|=17,则P点到左准线的距离是(）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的定义，建立方程，即可得出结论．【解答】解：设P点到左准线的距离是d，则∵左支上一点,F1是双曲线的左焦点,且｜PF1｜=17，∴∴d=故选A．6．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离,则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】确定椭圆的两准线间的距离、两焦点间的距离，利用两焦点三等分椭圆两准线间的距离,建立方程，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：两准线间的距离为，两焦点间的距离2c，∵两焦点三等分椭圆两准线间的距离，∴2c=•，即：6c2=2a2,e=，或e=﹣（舍去）故选B．7．已知点P1(0，2)，P2（3，0）,在线段P1P2上取一点P，使得，则P点坐标为（）A． B． C． D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【分析】设P（x,y），由题意知，得=（x，y﹣2），=(3﹣x，﹣y)利用向量相等的条件得列出关于x，y的方程组，解出点P坐标．【解答】解：设P(x，y），由题意知，得=（x，y﹣2)，=（3﹣x，﹣y）因为，所以解得所以P点坐标为（2,）故选A8．圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是() A．x2+y2﹣x﹣2y﹣=0 B．x2+y2+x﹣2y+1=0C．x2+y2﹣x﹣2y+1=0 D．x2+y2﹣x﹣2y+=0【考点】圆的一般方程．【分析】所求圆圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切，不难由抛物线的定义知道,圆心、半径可得结果．【解答】解：圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x=，即圆心(，1）,半径是1，所以排除A、B、C．故选D．9．过双曲线x2﹣=1的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4，则这样的直线l有(）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4,过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，做出直线与双曲线交点的纵标,得到也是一条长度等于4的线段．【解答】解：∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，过双曲线的焦点一定有两条直线使得两交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，有3﹣，解得y=±2，∴此时直线AB的长度是4，即只与右支有交点的弦长为4的线仅有一条．综上可知有三条直线满足｜AB｜=4，故选C．10．F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从任一焦点向△F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为（)A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，延长F1P，与F2M的延长线交于B点，连接PO．根据等腰三角形“三线合一"和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出OP的长恰好等于椭圆的长半轴a，得动点P的轨迹方程为x2+y2=a2，由此可得本题答案．【解答】解:如图所示延长F1P，与F2M的延长线交于B点，连接PO,∵MP是∠F1MB的平分线，且PM⊥BF1∴△F1MB中，｜MF1|=｜BM|且P为BF1的中点由三角形中位线定理，得|OP|=|BF2|=（｜BM|+｜MF2|）∵由椭圆的定义，得|MF1|+｜MF2|=2a，（2a是椭圆的长轴)可得｜BM|+｜MF2|=2a，∴|OP｜=（｜MF1｜+｜MF2|）=a，可得动点P的轨迹方程为x2+y2=a2为以原点为圆心半径为a的圆故选：A二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值,再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：双曲线，∴a=2，b=3，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x=±x，故答案为y=±．12．已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若｜F2A|+|F2B|=12，则|AB｜=8．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长,即可得到AB的长．【解答】解：椭圆=1的a=5，由题意的定义,可得，｜AF1｜+|AF2｜=｜BF1｜+｜BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+｜F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为:813．已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，则的最大值为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的圆心坐标，圆的半径，利用圆心到直线的距离等于半径求出k的值即可．【解答】解：x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1,圆的圆心（2,0），半径为1，设，即kx﹣y=0,要求x，y满足方程(x﹣2）2+y2=1，的最大值，就是求圆的圆心到直线的距离等于半径,即：，解得k=，所求的最大值为:．故答案为:．14．直线y=mx+1与双曲线x2﹣y2=1有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是且m≠±1．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】联立直线与曲线方程，由题意可得，方程有2个不等的实数根，由此能求出实数k 的取值的集合．【解答】解：由消去y得（1﹣m2）x2﹣2mx﹣2=0．由题意可得1﹣m2≠0，且△=（2m）2+8(1﹣m2）＞0，解可得，且m≠±1故答案为且m≠±115．已知抛物线C：y=2x2与直线y=kx+2交于A,B两点，M是线段AB的中点，过M作x 轴的垂线，垂足为N，若，则k=．【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算．【分析】把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0由韦达定理得x1+x2=，x1•x2=﹣1，求出M（），进一步得到N点的坐标为(）．表示出,利用向量的数量积根式求出，根据已知列出方程求出k的值．【解答】解：设A(x1，2x12），B（x2,2x22),把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0由韦达定理得x1+x2=，x1•x2=﹣1,所以M(），所以N点的坐标为（)．，，所以===﹣1=3因为，所以3=0所以k=故答案为:三、解答题（16—18每小题13分,19-21每小题13分,共75分）16．已知圆心为（2，1）的圆C与直线l：x=3相切．（1）求圆C的标准方程；（2)若圆C与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点,求直线AB的方程．（用一般式表示）【考点】相交弦所在直线的方程；直线与圆的位置关系．【分析】(1）直线l:x=3与圆C相切，可得直线l到点C的距离等于圆C的半径，用距离公式可以求得圆C的半径等于1，最后用圆的标准方程公式得到圆C的标准方程；（2）圆C与圆O：x2+y2=4相交于A,B两点，线段AB即为两圆的公共弦．将两圆的一般方程的左边相减，得到二元一次方程，即为公共弦弦AB所在直线的方程．【解答】解：（1）∵圆C与直线l：x=3相切．∴圆心C（2，1）到直线l的距离等于圆的半径．因此半径r=｜3﹣2|=1∴圆C的标准方程为（x﹣2)2+（y﹣1）2=1(2）将圆C与圆O的方程联解，由两式相减得方程：2x+y﹣4=0，∵圆C与圆O相交于A,B两点，∴直线AB的方程即为2x+y﹣4=017．已知直线l1：ax﹣y+2a=0,l2：(2a﹣3）x+ay+a=0（1)若l1∥l2,求实数a的值；（2）若l1⊥l2，求实数a的值．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）先求出两直线的法向量，由l1∥l2所以得a2+2a﹣3=0，从而解得a的值．最后经检验满足l1∥l2 ．（2）由得a(2a﹣3）﹣a=0，即可求得a的值．【解答】解：(1）直线l1的法向量为，直线l2的法向量为因l1∥l2所以即a2+2a﹣3=0得a=﹣3或1经检验均符合题意，故a=﹣3或1(2）故a（2a﹣3)﹣a=0，∴a=0或2．18．过点P(2，1)作抛物线y2=4x的弦AB，若弦恰被P点平分(1）求直线AB所在直线方程;（用一般式表示)（2）求弦长|AB｜．【考点】直线与圆锥曲线的关系；两点间的距离公式．【分析】(1）设A(x1，y1），B(x2,y2），利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．（2）把直线方程与抛物线的方程联立，利用弦长公式即可得出．【解答】解：(1）设A（x1，y1）,B(x2,y2）,则⇒（y1+y2）（y1﹣y2）=4(x1﹣x2）由于直线的斜率存在，故，从而直线AB的方程为：y﹣1=2（x﹣2）,即2x﹣y﹣3=0．(2）⇒(2x﹣3）2=4x即4x2﹣16x+9=0，因△＞0，故于是．19．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（1）写出C的方程；（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点,k为何值时？【考点】圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由题意可知P点的轨迹为椭圆，并且得到，求出b后可得椭圆的标准方程；(2）把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后得到判别式大于0,然后利用根与系数关系得到直线和椭圆两个交点的横坐标的和与积，写出两个向量垂直的坐标表示，最后代入根与系数的关系后可求得k的值．【解答】解:（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，其中，所以b2=a2﹣c2==1．故轨迹C的方程为：；(2）设A（x1,y1），B（x2，y2）由⇒（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx﹣3=0由△=16k2+48＞0，可得：，再由,即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0,所以,．20．已知椭圆的焦点为F1、F2,抛物线y2=px（p＞0）与椭圆在第一象限的交点为Q，若∠F1QF2=60°．(1）求△F1QF2的面积;（2）求此抛物线的方程．【考点】圆锥曲线的综合．【分析】(1）由Q在椭圆上，知|QF1｜+|QF2|=4．在△QF1F2中,，所以，由此能求出△F1QF2的面积．（2)设Q（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），，故．又Q点在椭圆上,所以,故．由Q点在抛物线上,能求出抛物线方程．【解答】解:（1）∵Q在椭圆上，∴｜QF1｜+｜QF2|=4，∴=16，…①在△QF1F2中，∵∠F1QF2=60°，∴…②①﹣②，得:,∴．（2）设Q（x0,y0）,（x0＞0，y0＞0）由（1)知,=,∵｜F1F2|=2c=2=2，∴,故，又Q点在椭圆上,所以,即,故．又Q点在抛物线上，所以,∴，所以抛物线方程为．21．已知点P为圆周x2+y2=4的动点，过P点作PH⊥x轴,垂足为H，设线段PH的中点为E，记点E的轨迹方程为C，点A(0，1）（1)求动点E的轨迹方程C；（2)若斜率为k的直线l经过点A（0,1）且与曲线C的另一个交点为B，求△OAB面积的最大值及此时直线l的方程；(3）是否存在方向向量=(1，k）（k≠0）的直线l，使得l与曲线C交与两个不同的点M，N，且有|｜=｜?若存在，求出k的取值范围；若不存在,说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用;轨迹方程．【分析】（1）欲求动点E的轨迹方程，设E（x，y）,只须求出其坐标x，y的关系式即可,利用P(x，2y)点在圆上，即可得到答案；（2)根据三角形的面积公式得，欲求面积的最大值,只须考虑|x B｜的最大值即可．由此求出直线l的方程；（3）先假设存在符合题设条件的直线l，设其方程为：y=kx+m，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式，求出k 的取值范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】解:（1）设E（x，y），则P（x，2y），而P点在圆上所以x2+4y2=4，即（2）而｜x B|≤2，故当x B=±2时，△OAB面积的最大值为1此时，直线l的方程为：x﹣2y+2=0或x+2y﹣2=0（3）假设存在符合题设条件的直线l，设其方程为：y=kx+m，M(x1,y1）,N(x2,y2），MN的中点Q（x0，y0）于是⇒（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0△=64k2m2﹣4（1+4k2)（4m2﹣4)＞04k2﹣m2+1＞0…①而故从而而故k AQ•k=﹣1可得:3m=﹣4k2﹣1…②由①②得:﹣3＜m＜0 故2016年11月26日。