2020年重庆一中高二(下)期中数学试卷解析版(文科)

数学试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合P ＝{x |x +2≥x 2}，Q ＝{x ∈N ||x |≤3}，则P ∩Q ＝（ ） A. [﹣1，2] B. [0，2] C. {0，1，2} D. {﹣1，0，1，2} 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式x +2≥x 2求出集合P ，再求出集合Q ，再利用集合的交集运算即可算出结果.【详解】解不等式x +2≥x 2，得12x -≤≤，∴集合P ＝{x |x +2≥x 2}＝{}12x x -≤≤，又∵集合Q ＝{x ∈N ||x |≤3}＝{0，1，2，3}， ∴P ∩Q ＝{0，1，2}， 故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，是容易题.2.已知向量()1,2a =，()1,b x =-，若//a b ，则b =（ ） 5 B.525 D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算计算出x ，再由模的坐标表示求模． 【详解】∵//a b ，∴12(1)0x ⨯-⨯-=，2x =-，∴22(1)(2)5b =-+-=．故选：C ．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示．属于基础题．3.复数12z i =+，若复数1z ， 2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =（ ） A. 5- B. 5C. 34i -+D. 34i -【答案】A【解析】 【分析】首先求出复数22z i =-+，再根据复数的代数形式的乘法运算法则计算可得；【详解】解：由题意可知22z i =-+，所以212(2i)(2i)4i 5z z =+-+=-+=-，故选：A ．【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，以及复数代数形式的乘法运算，属于基础题. 4.一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是（ ） A. 甲同学三个科目都达到优秀 B. 乙同学只有一个科目达到优秀 C. 丙同学只有一个科目达到优秀 D. 三位同学都达到优秀的科目是数学【答案】C 【解析】 【分析】根据题意推断出乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，甲至少有一科优秀，从而得出答案. 【详解】甲说有一个科目每个人都达到优秀，说明甲乙丙三个人每个人优秀的科目至少是一科，乙说英语没有达到优秀，说明他至多有两科达到优秀，而丙优秀的科目不如乙多，说明只能是乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，故B 错误，C 正确；至于甲有几个科目优秀，以及三人都优秀的科目到底是语文还是数学，都无法确定 故选：C【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.5.2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.3【答案】C 【解析】 分析】现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，2名护士分别记为A 、B ，3名医生分别记为a 、b、c，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可得所求事件的概率.【详解】重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，2名护士记A、B，3名医生分别记为a、b、c，所有的基本事件有：(),A B、(),A a、(),A b、(),A c、(),B a、(),B b、(),B c、(),a b、(),a c、(),b c，共10种，其中事件“恰有1名医生和1名护士被选中”所包含的基本事件有：(),A a、(),A b、(),A c、(),B a、(),B b、(),B c，共6种，因此，所求事件的概率为60.610P==.故选：C.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.6.一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都乘以()0a a>得到一组新数据，则下列说法正确的是（）A. 这组新数据的平均数为mB. 这组新数据的平均数为a m+C. 这组新数据的方差为anD.这组新数据的标准差为【答案】D 【解析】【分析】计算得到新数据的平均数为am，方差为2a n，标准差为，结合选项得到答案.【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am，方差为2a n，标准差为.故选：D【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.7.已知107700,0x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩表示的平面区域为D，若()x y D∀∈,，2x y a+≤为真命题，则实数a的取值范围是A. [)5,+∞ B. [)2,+∞C. [)1,+∞ D. [)0,+∞【答案】A【解析】【分析】本题可先通过线性规划得出平面区域D，在解出2x y+的取值范围，最后得出a的取值范围．【详解】绘制不等式组107700,0x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩表示的可行域如图所示，令2z x y=+，结合目标函数2z x y=+的几何意义可得2z x y=+在点B处取得最大值，联立直线方程可得10770x yx y-+=⎧⎨--=⎩，解得4373xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即47,33B⎛⎫⎪⎝⎭，则max472533z=⨯+=. 结合恒成立的条件可知5a≥，即实数a的取值范围是[)5,+∞，本题选择A选项．【点睛】求线性目标函数z ax by=+的最值，当b0>时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0<时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.解本题时，由线性规划知识确定2x y+的最值，然后结合恒成立的条件确定实数a的取值范围即可．8.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（）A. 183B. 182C. 123D. 243【答案】B【解析】【分析】如图所示，设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.可得πr2+πrl＝36π，2πr＝l•23π，联立解得：r，l，h22l r=-. 即可得出该圆锥的轴截面的面积S12=•2r•h＝rh.【详解】如图所示，设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.则πr2+πrl＝36π，化为：r2+rl＝36，2πr＝l•23π，可得l＝3r.解得：r＝3，l＝9，h22l r=-=62.该圆锥的轴截面的面积S12=•2r•h＝rh2=2.故选：B.【点睛】本题考查了圆锥的表面积、弧长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9.若函数f（x）＝alnx（a∈R）与函数g（x）x=a的值为（）A. 4B. 12C.2eD. e【答案】C 【解析】【分析】根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标，问题可解. 【详解】由已知得()()a f x g x x ''==，， 设切点横坐标为t，∴alnt a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22e t e a ==，.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.10.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P 的中点，O 是坐标原点，若1OF M △周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距），13F MO π∠=，则双曲线E 的渐近线方程为（ ）A. 2y x =±B. 12y x =±C. y =D.y x = 【答案】C 【解析】 【分析】从1OF M 周长为3c a +，M 是线段1F P 的中点入手，结合双曲线的定义，将已知条件转为焦点三角形中12||,||PF PF 与a 关系，求出123F PF π∠=，用余弦定理求出,a c 关系，即可求解.【详解】连接2PF ，因为M 是线段1F P 的中点，由三角形中位线定理知21,2OM PF =2//OM PF ， 由双曲线定义知122PF PF a -=，因为1OF M 周长为111211322OF OM F M c PF PF c a ++=++=+， 所以126PF PF a +=，解得124,2PF a PF a ==，在12PF F 中， 由余弦定理得22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠， 即()()()222242242cos3c a a a a π=+-⨯⨯，整理得，223c a =，所以22222b c a a =-=，所以双曲线E 的渐近线方程为y =. 故选:C .【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查三角形中位线定理、双曲线定义以及余弦定理的应用，属于中档题.11.已知函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的图象经过点(0,1)B -，在区间(,)183ππ上为单调函数，且()f x 的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合，当12172,(,)123t t ππ∈--，且12t t ≠时，12()()f t f t =，则12()f t t +=（ ）A. B. 1-C. 1【答案】B 【解析】分析：由题意，求得,w ϕ的值，写出函数()f x 的解析式，求函数的对称轴，得到12t t +的值，再求解()12f t t +的值即可.详解：由函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的图象过点(0,1)B -，所以2sin 1ϕ=-，解得1sin 2ϕ=-，所以6πϕ=-，即()2sin()6f x x πω=-，由()f x 的图象向左平移π个单位后得()2sin[()]2sin()66g x x wx w ππωππ=+-=+-，由两函数的图象完全重合，知2w k π=，所以2,w k k Z π=∈，又3182T w πππ-≤=，所以185w ≤，所以2w =，所以()2sin(2)6f x x π=-，则其图象的对称轴为,23k x k Z ππ=+∈， 当12172,(,)123t t ππ∈--，其对称轴为73236x πππ=-⨯+=-，所以12772()63t t ππ+=⨯-=-， 所以()1277295()2sin[2()]2sin 2sin 133666f t t f πππππ+=-=⨯--=-=-=-， 故选B.点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，其中解答中根据题设条件得到函数的解析式，以及根据三角函数的对称性，求得12t t +的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 12.已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为（ ）A. 20B. 18C. 16D. 14【答案】C 【解析】 【分析】先解()0g x =，求得()f x 的值，再根据函数的解析式，利用二次函数，函数的图象的平移伸缩变换及偶函数的图像性质作图，利用数形结合方法即可得到答案. 【详解】21()8()6()10()2g x f x f x f x =-+=∴=或1()4f x = 根据函数解析式以及偶函数性质作()f x 图象， 当02x <≤时，()()21f x x =- ,是抛物线的一段， 当(]()()12,2,22,1,2,3,,22x x k k k f x f x >∈+=⋯=-时，,是由(]22,2,x k k ∈- 的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y 轴右侧的图象，再根据偶函数的图象性质得到R 上的函数()f x 的图象， 考察()y f x =的图象与直线12y =和14y =的交点个数，分别有6个和10个， ∴函数g(x)的零点个数为61016+=,故选：C【点睛】本题考查函数零点以及函数综合性质，涉及分段函数，函数的图象的平移，伸缩变换，函数的奇偶性，考查数形结合思想方法以及综合分析求解能力，属中档题. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则33S a ______.【答案】7 【解析】 【分析】结合等比数列的通项公式，由已知条件，可得到两个等式，这两个等式相除可以求出等比数列的公比，进而可以求出首项，最后根据等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则21152a a q +=，31154a q a q +=， 两式相除可得2312q q q +=+，解将12q =，12a =，1233331212712S a a a a a ++=++==.故答案为：7【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 14.已知抛物线y 2＝12x 的焦点为F ，过点P （2，1）的直线l 与该抛物线交于A ，B 两点，且点P 恰好为线段AB 的中点，则|AF |+|BF |＝_____. 【答案】10 【解析】 【分析】因为P （1，2）是A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）中点，则由中点坐标公式得x 1+x 2＝4，再利用抛物线焦半径公式得|AF |＝x 1+3，|BF |＝x 2+3，进而求出|AF |+|BF |. 【详解】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵P （2，1）是AB 中点， ∴122x x +=2，即x 1+x 2＝4. ∵F （3，0）是抛物线y 2＝12x 的焦点， ∴|AF |＝x 1+3，|BF |＝x 2+3， 则|AF |+|BF |＝x 1+x 2+3+3＝10， 故答案为：10.【点睛】本题考查中点坐标公式，抛物线焦半径公式|AF |＝x 2p+，及其运算能力，属于基础题.15.设S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n ＞0，a 1＝1，且2S n ＝a n （a n +t ）（t ∈R ，n ∈N *），则S 100＝_____.【答案】5050 【解析】 【分析】先由题设条件求出t ，再由2S n ＝a n （a n +1）得2S n ﹣1＝a n ﹣1（a n ﹣1+1），进而得出S n ，代入求S 100. 【详解】∵a n ＞0，a 1＝1，且2S n ＝a n （a n +t ）（t ∈R ，n ∈N *）， ∴当n ＝1，有2S 1＝a 1（a 1+t ），即2＝1+t ， 解得：t ＝1.∴2S n ＝a n （a n +1）①，又当n ≥2时，有2S n ﹣1＝a n ﹣1（a n ﹣1+1）②，∴①﹣②可得：2（S n ﹣S n ﹣1）＝a n （a n +1）﹣a n ﹣1（a n ﹣1+1）， 整理得：a n +a n ﹣1＝a n 2﹣a n ﹣12， ∵a n ＞0，∴a n ﹣a n ﹣1＝1.所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，公差d ＝1的等差数列， ∴其前n 项和S n ()12n n +=，∴S 100()10011002+==5050.故答案为：5050.【点睛】本题主要考查由数列的前n 项和与第n 项的关系式求其通项公式及等差数列前n 项和公式，属于中档题.16.在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是______；三棱锥P -ABC 的外接球的表面积_____. 【答案】 (1). 3 (2). 5π 【解析】 【分析】首先补全三棱锥为长方体，即可求出点P 到底面ABC 的距离，同时长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，然后即可求出外接球的表面积.【详解】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ， 由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得13PP =， 即为点P 到底面ABC 的距离，由11P PP A P C ≌，得111P A PC ==，如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，13）外接球的直径，也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB =所以球的表面积为254π5π=⎝⎭.35π.【点睛】本题考查了点到面的距离和三棱锥外接球的表面积，属于一般题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图，ABC ∆是等边三角形， D 是BC 边上的动点（含端点），记BAD ∠=α,ADC β∠=.（1）求2cos cos αβ-的最大值； （2）若11,cos 7BD β==，求ABD ∆的面积. 【答案】(1)当α＝6π，即D 为BC 3233【解析】 【分析】（1）由题意可得β=α+3π，根据三角函数和差公式及辅助角公式化简即可求出其最大值． （2）根据三角函数差角公式求得sinα，再由正弦定理，求得AB 的长度；进而求得三角形面积．【详解】（1）由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋3π， 0≤α≤3π，故2cos α－cos β=2cos α－cos +3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭3sin +3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故当α＝6π，即D 为BC 3（2）由cos β＝17 ，得sin β＝437， 故sin α＝sin 3πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin βcos3π－cos βsin 3π33， 由正弦定理sin sin AB BDADB BAD=∠∠，故AB＝sinsinβαBD＝43733×1＝83，故S△ABD＝12AB·BD·sin B＝1832312323⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了三角函数和差公式、辅助角公式、正弦定理的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题．18.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1⊥A1C1，D是B1C1的中点，A1A＝A1B1＝2.（1）求证：AB1∥平面A1CD；（2）若异面直线AB1和BC所成角为60°，求四棱锥A1﹣CDB1B的体积.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）连AC1交A1C于点E，连DE.证明DE∥AB1，然后证明AB1∥平面A1CD；（2）∠C1DE或其补角为异面直线AB1和BC所成角，可得 A1D⊥平面CDB1B，求出四棱锥的底面积与高，即可求解体积.【详解】（1）证明：如图，连AC1交A1C于点E，连DE.因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是矩形，故点E是AC1中点，又D是B1C1的中点，故DE∥AB1，又AB1⊄平面A1CD，DE⊂平面A1CD，故AB1∥平面A1CD.（2）由（1）知DE∥AB1，又C1D∥BC，故∠C1DE或其补角为异面直线AB1和BC所成角.设AC＝2m，则2211112C E m CD m DE=+=+=，，故△C 1DE 为等腰三角形，故∠C 1DE ＝60°，故△C 1DE 为等边三角形，则有212m +=，得到m ＝1.故△A 1B 1C 1为等腰直角三角形，故A 1D ⊥C 1B 1， 又B 1B ⊥平面A 1B 1C 1，A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，故A 1D ⊥B 1B ， 又B 1B ∩C 1B 1＝B 1，故A 1D ⊥平面CDB 1B ，又梯形CDB 1B 的面积()11122223222CDB B S A D =⨯+⨯==梯形，， 则四棱锥A 1﹣CDB 1B 的体积1111322233CDB B V S A D =⋅=⨯⨯=梯形.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，逻辑推理能力，属于中档题.19.某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y （单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表： 使用寿命/材料类型 1个月2个月 3个月 4个月 总计A20 35 35 10 100如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？ 参考数据：6196ii y==∑ 61371i i i x y ==∑参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()()1122211ˆ=n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx====---=--∑∑∑∑【答案】(1) ˆ29yx =+ , 31百万元；(2) B 型新材料. 【解析】 【分析】(1)根据所给的数据，做出变量,x y 的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数b ,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a 的值，写出线性回归方程；将11x =代入所求线性回归方程，求出对应的y 的值即可得结果； (2)求出A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数与B 型新材料对应产品的使用寿命的平均数，比较其大小即可得结果.【详解】（1）由折线图可知统计数据(),x y 共有6组， 即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)， 计算可得1234563.56x +++++==，611191666ii y ==⨯=∑ 所以()1221ˆni i i n i i x y nxybx n x ==-==-∑∑37163.516217.5-⋅⋅=，1ˆˆ62 3.59ˆay bx =-=-⨯=， 所以月度利润y 与月份代码x 之间的线性回归方程为ˆ29y x =+. 当11x =时，211931ˆy=⨯+=.故预计甲公司2019年3月份的利润为31百万元.（2）A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为1 2.35x =，B 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为2 2.7x =，12x x < ∴，应该采购B 型新材料. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算,x y 的值；③计算回归系数ˆˆ,a b ；④写出回归直线方程为ˆˆˆybx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点2P ⎫⎪⎪⎭. （1）求椭圆的方程； （2）直线l 的斜率为12，且与椭圆相交于A ，B 两点（异于点P ），过P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q .证明：直线PQ 与坐标轴平行.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，求解即可；（2）因为PQ 平分APB ∠，欲证PQ 与坐标轴平行，即证明直线PQ的方程为x =或2y =，只需证PA ，PB 斜率都存在，且满足0PA PB k k +=即可.将直线l 的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理求解即可.【详解】（1）解：2a =，将2P ⎫⎪⎪⎭代入椭圆方程，得222214b ⎛⎫⎪⎝⎭+=， 解得1b =，故椭圆的方程为2214x y +=.（2）证明：∵PQ 平分APB ∠欲证PQ 与坐标轴平行，即证明直线PQ的方程为2x =或2y =只需证PA ，PB 斜率都存在，且满足0PA PB k k +=即可.当PA 或PB 斜率不存在时，即点A 或点B 为22,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎭，经检验，此时直线l 与椭圆相切，不满足题意，故PA ，PB 斜率都存在. 设直线l ：12y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立222214222012x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩， 2480m ∆=-+>，∴22m <，由韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =-，1212222222PA PBy y k k x x --+=+--()()()()12211222222222y x y x x x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-- ()()1221222222y x y x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()121212212222x x y y x y x y =-+-+++ ()12121221211112222222x x x m x m x x m x x m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()12122222m m x x x x=-+-++()()222222220m m m m =-+--+-=得证.【点睛】本题主要考查了求椭圆方程以及韦达定理的应用，属于中档题. 21.已知函数（R ）．（1）当14a =时，求函数()y f x =的单调区间； （2）若对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)；（Ⅱ）[1ln 2,)-+∞【解析】试题分析：（1）求函数的单调区间，实质上就是解不等式'()0f x >得增区间，解不等式'()0f x <得减区间；（2）函数的最大值一般与函数的单调性联系在一起，本题中[2(12)]'()(1)(1)x ax a f x x x --=>-+，其单调性要对a 进行分类，0a ≤时，函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，不合题意，故有0a >，按极值点112a-与0的大小分类研究单调性有最大值． 试题解析：（1）当14a =时，21()ln(1)4f x x x x =++-，则11(1)()1(1)122(1)x x f x x x x x -=+-=>-++'， 令()0f x '>，得10x -<<或1x >；令()0f x '<，得01x <<， ∴函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)． （2）由题意[2(12)]()(1)(1)x ax a f x x x -->-+'=，（1）当0a ≤时，函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，此时，不存在实 数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ． （2）当0a >时，令()0f x '=，有10x =，2112x a=-， ①当12a =时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，显然符合题意． ②当1102a ->即102a <<时，函数()f x 在(1,0)-和1(1,)2a -+∞上单调递增， 在1(0,1)2a-上单调递减，()f x 在0x =处取得极大值，且(0)0f =， 要使对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ， 只需(1)0f ≥，解得1ln 2a ≥-，又102a <<， 所以此时实数a 的取值范围是11ln 22a -≤<．③当1102a -<即12a >时，函数()f x 在1(1,1)2a --和(0,)+∞上单调递增， 在1(1,0)2a-上单调递减，要存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时， 函数()f x 的最大值为()f b ，需1(1)(1)2f f a-≤， 代入化简得1ln 2ln 2104a a ++-≥，① 令11()ln 2ln 21()42g a a a a =++->，因为11()(1)04g a a a =-'>恒成立， 故恒有11()()ln 2022g a g >=->，所以12a >时，①式恒成立，综上，实数a 的取值范围是[1ln 2,)-+∞． 考点：函数的单调性与最值．【名题点晴】本题实质考查导数的应用，主要围绕利用导数研究函数的单调性、极值（最值）展开，这类问题一般是设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、转化与化归思想等数学思想方法．要注意分类讨论时分类标准的确定，函数的最值与函数极值的区别与联系．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）写出1C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线04πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α.【答案】（1）4cos ρθ=（2）1tan 2α= 【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1ϕϕ+=，消去1C 的参数将1C 的参数方长化为普通方程，再根据直角坐标和极坐标转换公式，转化为极坐标方程.（2）将射线θα=分别于12,C C 的极坐标方程联立，求得,A B 两点对应的12,ρρ，由此求得AB 的表达式，求得AM 的表达式，根据||||AB AM =列方程，由此求得tan α的值.【详解】（1）∵22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）∴曲线1C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-= ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴24cos 0ρρθ-=∴曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ= （2）依题意设()1,A ρθ，()2,B ρθ， ∴由4cos θαρθ=⎧⎨=⎩得14cos ρα=.由4sin θαρθ=⎧⎨=⎩得24sin ρα=.∵04πα<<，∴12ρρ>.∴12||||||4cos 4sin AB OA OB ρραα=-=-=-. ∵OM 是圆1C 的直径，∴2OAM π∠=.∴在直角Rt OAM ∆中，||4sin AM α= ∵在直角Rt BAM ∆中，4AMB π∠=∴||||AB AM =，即4cos 4sin 4sin ααα-= ∴4cos 8sin αα=，即1tan 2α=.【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想. [选修4-5：不等式选讲]23.已知0a >，0b >，22143a b ab +=+. （1）求证：1ab ≤；（2）若b a >，求证：3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b . 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，可得2210,344>+=≥+ab a b ab ab，可得()2134+≥ab ab ，解不等式可得证明； （2）由0b a >>，所以110->a b ，要证3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b ，只需证221113++≥a ab b ，利用基本不等式可得证明；【详解】证明：（1）由条件，有2210,344>+=≥+ab a b ab ab ， 所以()2134+≥ab ab ，即()24310--≤ab ab ，所以1ab ≤.（2）因为0b a >>，所以110->a b， 要证3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b ， 只需证2211111113⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++≥-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b a ab b a b （*）， 只需证221113++≥a ab b 因为01ab <≤，所以221112133++≥+=≥a ab b ab ab ab，即（*）式成立， 故原不等式成立.【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，熟练掌握基本不等式的性质进行证明是解题的关键.。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={-1，0，1，2}，N={x|x2-3x＜0}．则M∩N=（）A. {0，1}B. {-1，0}C. {1，2}D. {-1，2}2.当m＜1时，复数z=2+（m-1）i在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知命题p∨q为真，￢p为真，则下列说法正确的是（）A. p真q真B. p假q真C. p真q假D. p假q假4.设函数，则=（）A. -1B. 1C.D.5.设x∈R，则“2-x≥0”是“|x+1|≤1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.x12345y a-1-10.5b+1 2.5b的值为（）A. 0.8B. -0.8C. 2.3D. -2.37.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x+a）2+y2=a2相切，则双曲线的离心率等于（）A. B. C. 2 D.8.下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（）A. f（x）=sin xB. f（x）=e x+e-xC. f（x）=x3+xD. f（x）=x lnx9.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 64+32πB. 64+64πC. 256+64πD. 256+128π10.已知函数，则不等式f（x2-2x）＜f（3x-4）的解集为（）A. （1，2）B. （1，4）C. （0，2）D.11.函数f（x）对于任意实数x，都有f（-x）＝f（x）与f（1＋x）＝f（1-x）成立，并且当0≤x≤1时，f（x）＝x2，则方程的根的个数是（）A. 2020B. 2019C. 1010D. 100912.已知函数g（x）满足g（x）=g′（1）e x-1-g（0）x+，且存在实数x0使得不等式2m-1≥g（x0）成立，则m的取值范围为（）A. （-∞，2]B. （-∞，3]C. [1，+∞）D. [0，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数f（x）的定义域为[-2，3]，则函数f（2x）的定义域是______．14.若函数f（x）=（a+1）x3-2x+a为奇函数，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为______．15.过抛物线y2=4x焦点的直线与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到抛物线的准线的距离为______．16.在正三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，则正三棱锥P-ABC的内切球的半径为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数的定义域为M．（1）求M；（2）当x∈[0，1]时，求f（x）=4x+2x的最小值．18.某校开展了知识竞赛活动．现从参加知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？（结果精确到0.001）优秀非优秀合计男生40女生50合计100参考公式及数据：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，四边形ABB1A1为正方形．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）若△ABC为等边三角形，BC=4，求点B到平面AB1D的距离．20.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中垂线交x轴于点P，求点P横坐标的取值范围．21.已知函数f（x）=e x，g（x）=x2-x-1（e为自然对数的底数）．（1）记F（x）=ln x+g（x），求函数F（x）在区间[1，3]上的最大值与最小值；（2）若k∈Z，且f（x）+g（x）-k≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．22.已知在平面直角坐标系xOy中，直线（t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为（-1，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．23.已知函数f（x）=|x+a|-|2x-1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：N={x|0＜x＜3}；∴M∩N={1，2}．故选：C．可解出集合N，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：m＜1所以m-1＜0，复数z=2+（m-1）i在复平面上对应的点位于第四象限．故选：D．由题意推出m-1＜0，易得复数z在复平面上对应的点位于的象限．本题考查复数的基本概念，考查计算能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：命题p∨q为真是真命题，有三种情况：①p、q均为真，②p真q假，③p 假q真；∵￢p也为真命题，⇒p为假命题，q为真，￢q为假命题，由逻辑连词链接的命题真假逐项判断即可．故选：B．命题p∨q为真是真命题，有三种情况：①p、q均为真，②p真q假，③p假q真；由已知条件然后逐项判断即可．本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q为真的讨论．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数值的求法，考查对数函数，考查运算求解能力，属于基础题．由＞0，得到．【解答】解：∵函数，∴=-1，故．故选：A．5.【答案】B【解析】解：由2-x≥0得x≤2，由|x+1|≤1得-1≤x+1≤1，得-2≤x≤0．则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要不充分条件，故选：B．求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．6.【答案】A【解析】解：由题意，，即，解得a=-2.3，b=0.8．故选：A．由题意列关于a，b的方程组，求解得答案．本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．7.【答案】D【解析】解：双曲线的渐近线的方程为bx±ay=0，因其与圆相切，故，所以c=2b，故e=，故选：D．求出渐近线的方程后利用圆心到其距离为可得，从该式可求离心率．圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于a，b，c的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于a，b，c的不等式或不等式组．8.【答案】C【解析】解：A．f（x）=sin x在（0，+∞）上不是单调函数，不满足条件．B．f（-x）=e-x+e x=f（x），函数f（x）为偶函数，不满足条件．C．f（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），则函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+x 是增函数，满足条件．D．f（x）的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．故选：C．根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．∴该几何体的体积V=8×8×4+π×42×4=256+64π．故选：C．由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．据此即可计算出．由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，易得f（x）在R上为增函数，f（x2-2x）＜f（3x-4）⇒x2-2x＜3x-4，变形可得x2-5x+4＜0，解可得1＜x＜4，即不等式的解集为（1，4），故选：B．根据题意，分析易得f（x）在R上为增函数，据此分析可得f（x2-2x）＜f（3x-4）⇒x2-2x ＜3x-4，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性的判定以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性及周期性，方程的解及函数图象的交点个数的转化，属中档题．由函数的奇偶性及周期性，方程的解及函数图象的交点个数的转化即可得解．【解答】解：由函数f（x）对于任意实数x，都有f（-x）=f（x），则函数f（x）为偶函数.又f（1+x）=f（1-x）成立，所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以f（x）=f（2+x）,即函数f（x）为周期为2的周期函数.由当0≤x≤1时，f（x）＝x2，则函数y=f（x）的图象与直线y=在[0，1]有两个交点，在（1，3]有两个交点，在（3，5]有两个交点…在（2017，2019]有两个交点，在（2019，+∞）无交点，在（-∞，0）无交点，即交点个数为2020，故选：A．12.【答案】C【解析】解：∵g（x）=g′（1）e x-1-g（0）x+，∴g′（x）=g′（1）e x-1-g（0）+x，∴g′（1）=g′（1）-g（0）+1，解得：g（0）=1，g（0）=g′（1）e-1，解得：g′（1）=e，∴g（x）=e x-x+x2，∴g′（x）=e x-1+x，g″（x）=e x+1＞0，∴g′（x）在R递增，而g′（0）=0，∴g′（x）＜0在（-∞，0）恒成立，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，∴g（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，∴g（x）min=g（0）=1，若存在实数x0使得不等式2m-1≥g（x0）成立，只需2m-1≥g（x）min=1即可，解得：m≥1，故选：C．分别求出g（0），g′（1），求出g（x）的表达式，求出g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出g（x）的最小值，问题转化为只需2m-1≥g（x）min=1即可，求出m的范围即可．本题考查了求函数的表达式问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道中档题．13.【答案】[-1，]【解析】解：∵函数f（x）的定义域为[-2，3]，∴由-2≤2x≤3，得-1≤x≤，即函数f（2x）的定义域是[-1，]，故答案为：[-1，]根据复合函数的定义域之间的关系进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，结合复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键．14.【答案】y=x-2【解析】解：根据题意，函数f（x）=（a+1）x3-2x+a为奇函数，且其定义域为R，则有f（0）=a=0，则f（x）=x3-2x，其导数f′（x）=3x2-2，则f′（1）=1，即曲线在点（1，f（1））处切线的斜率k=1，又由f（1）=-1，则切点的坐标为（1，-1），故切线的方程为y-（-1）=x-1，变形可得y=x-2；故答案为：y=x-2．根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=a=0，即函数函数的解析式，求出函数的导数，分析可得切线的斜率以及切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案．本题考查利用导数计算切线的方程，涉及函数奇偶性的性质，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：抛物线y=4x的交点F（1，0），直线y=k（x-1）过焦点F，联立消去x得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=1，根据抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=+2=4，即=0，此方程无解，说明斜率k不存在，此时直线与x轴垂直，此时弦AB的中点为F，F到准线的距离为2．故答案为：2．设直线AB的方程，将其代入抛物线，利用弦长公式求得弦长与已知弦长相等列方程可得．本题考查了抛物线的性质，属中档题．16.【答案】【解析】解：如图，在正三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，∴AB=BC=AC=，则．设正三棱锥P-ABC的内切球的球心为O，内切球半径为r，则，解得r=．故答案为：．由题意画出图形，设出内切球半径，利用等积法求解．本题考查多面体内切球表面积的求法，训练了等积法的应用，是中档题．17.【答案】解：（1）由得，∴x＜0或x＞3，所以M={x|x＜0或x＞3}．（2）由x∈[0，1]，2x∈[1，2]，所以f（x）=（2x）2+2x，当2x=1即x=0时，f（x）min=2．【解析】（1）根据二次根式有意义和对数有意义求定义域．（2）再利用二次函数求最小值．本题考查不等式的解法和指数函数及二次函数最值求法．18.【答案】解：（1）由频率分布直方图可得，（0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010）×10=1，解得a=0.025；（2）在抽取的100名学生中，比赛成绩“优秀”的有100×0.35=35（人），由此可得2×2列联表如下；优秀非优秀合计男生104050女生252550合计3565100计算K2==≈9.890＜10.828，所以没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．【解析】（1）由频率和为1列方程求出a的值；（2）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）如图，连接BA1，交AB1于点E，再连接DE，由已知得，四边形ABB1A1为正方形，E为AB1的中点，∵D是BC的中点，∴DE∥A1C，又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ABC，且BC为它们的交线，又AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，法1、过B作BH⊥B1D于H，又AD⊥BH，AD∩B1D=D，∴BH⊥平面AB1D故在Rt△B1BD中，BB1=4，BD=2，∴点B到平面AB1D的距离为．法2、设点B到平面AB1D的距为离h，由等体积法可得：，即，即，∴．即点B到平面AB1D的距离为．【解析】（Ⅰ）连接BA1，交AB1于点E，再连接DE，推导出DE∥A1C，由此能证明A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）推导出AD⊥平面BCC1B1，法1、过B作BH⊥B1D于H，推导出BH⊥平面AB1D，由此能求出点B到平面AB1D的距离．法2、设点B到平面AB1D的距为离h，由等体积法可得：，由此能求出点B到平面AB1D的距离．本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）设所求的椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），由题意⇒，所以所求椭圆方程为：+=1．（2）设弦AB的中点为M（x0，y0），直线l：y=x+m，联立⇒x2+mx+m2-3=0，由△＞0得-2＜m＜2．又得，l的中垂线方程为：y-y0=-2（x-x0），当y=0时，得x=x0+=-，所以点P的横坐标的取值范围为（-，）【解析】（1）根据椭圆的几何性质列方程组可解得a2，b=，从而可得椭圆C的标准方程；（2）将直线l的方程代入椭圆的方程，利用△＞0得k的范围，利用AB的中点坐标和斜率可得中垂线方程，再令y=0可得P的横坐标，再求取值范围．本题考查了椭圆的性质，属中档题．21.【答案】解：（1）∵F（x）=ln x+g（x）=ln x+-，∴F′（x）=，令F′（x）=0，则，（1分）所以函数F（x）在区间（1，2）上单调递减，在区间（2，3）单调递增，（2分）∴F（x）min=F（2）=-4+ln2，F（x）max=max{F（1），F（3）}=-4+ln3．（4分）（2）∵f（x）+g（x）-k＞0对任意x∈R恒成立，∴对任意x∈R恒成立，∴k≤对任意x∈R恒成立．（6分）令h（x）=e x+-，则．由于h''（x）=e x+1＞0，所以h′（x）在R上单调递增．又，＞0，，，所以存在唯一的x0∈（），使得h′（x0）=0，且当x∈（-∞，x0）时，h′（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0．即h（x）在（-∞，x0）单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴h（x）min=h（x0）=+．（9分）又h′（x0）=0，即=0，∴．∴-1=．∵，∴h（x0）∈（-，-）．又∵k≤对任意x∈R恒成立，∴k≤h（x0），又k∈Z，∴k max=-1．（12分）【解析】（1）F（x）=ln x+g（x）=ln x+-，从而F′（x）=，利用导数性质能求出函数F（x）在区间[1，3]上的最大值与最小值．（2）由f（x）+g（x）-k＞0对任意x∈R恒成立，得到k≤对任意x∈R恒成立．令h（x）=e x+-，则．利用导数性质推导出存在唯一的x0∈（），使得h′（x0）=0，h（x）在（-∞，x0）单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．从而h（x）min=h（x0）=+，由此能求出k的最大值．本题考查函数的最值的求法，考查实数的最大值的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．22.【答案】解（1）由消去参数t可得直线l的普通方程：3x+4y-5=0；由ρ=2sin（θ+）得ρ=2cosθ+2sinθ，得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0．（2）直线l的参数方程的标准形式为（t为参数），将其代入曲线C的方程并整理得：5t2+22t+15=0．设A，B对应的参数为t1，t2，则|PA||PB|=|t1||t2|=|t1t2|=3．【解析】（1）消去参数t可得直线l的普通方程，利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程．（2）将直线l的参数方程化成标准形式并代入曲线C，利用参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x+1|-|2x-1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x-1|，可得（x+1+2x-1）（x+1-2x+1）＞0，即3x（x-2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）=|x+a|-|2x-1|=|x+a|-|x-|-|x-|≤|x+a-x+|-0=|a+|，可得f（x）的最大值为|a+|=a+，（a＞0），则a+＜1，解得0＜a＜．【解析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1＞f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。

重庆市第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 文本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）1．直线2y x =-的倾斜角是（ ） A.6π B.4π C.2π D.34π 2．抛物线216y x =的准线方程是（ ）A ．4x =-B ．4y =- C.8x = D ．8y =-3．双曲线22143x y -=的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．2y x =±C ． 12y x =± D.3y x =± 4．已知命题p ：x R ∀∈，cos 1x ≤，则p ⌝：（ ）A ．x R ∃∈，cos 1x ≥B ．x R ∀∈，cos 1x ≥C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x R ∀∈,cos 1x >5．过点）（1,3且与直线032=--y x 平行的直线方程是（ ）A ．072=-+y xB ．052=-+y xC ．012=--y xD ．052=--y x6．设x R ∈,“1x >”则是“23410x x -+>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.设,,m n l 为空间不重合的直线，αβγ，，是空间不重合的平面，则下列说法正确的个数是（ ） ①//,//m l n l ，则//m n②//,//αγβγ，则//αβ ③//,//m l m α，则//l α ④//,,l m l m αβ⊂⊂，则//αβ⑤,//,,//m m l l αββα⊂⊂，则//αβA ．0B ．1C ．2D ．3 8．过点(3,1)P 向圆()2211x y -+=作两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，则弦AB 所在直线的方程为（ ）A ．230x y +-= B.210x y -+= C ．230x y ++= D.230x y --=9．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4的等边三角形，俯视图是一个圆，那么其表面积为（ ）A. 8πB. 20πC. 10πD.12π10.(改编)如图，球面上有A 、B 、C 三点，∠ABC=90°，BA=BC=3，球心O 到平面ABC 则球体的体积是（ ）O A C B A ．72π B. 36π C.18π D.8π 11．设1F 、2F 是双曲线C ：12222=-b y a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的离心率是（ ）A. 32B.2C.5D.3 12. （改编）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，直线l 过焦点F 且斜率为2，与抛物线交于A 、B （其中A在第一象限）两点，(,0)2p M -,则tan AMF ∠=( ) A ．3 B.255 C.63 D.33 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题.(共4小题,每小题5分,共20分)13．原点到直线34100x y ++=的距离为 .14．圆222280x y x y ++--=截直线02=++y x 所得弦长为 . 15．经过点(4,1)M 作直线l 交双曲线1222=-y x 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为y = .16．（改编）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>与直线1x y +=交于,M N 两点，且OM 0ON ⋅=u u u u r u u u r （O 为坐标原点），当椭圆的离心率52[,]2e ∈时，椭圆的长轴的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卷相应的位置上．17．（本题满分10分）已知命题p ：方程220x x m -+=有实根，命题q ：m [-1,5]∈（1）当命题p 为真命题时，求实数m 的取值范围；（2）若q p ∧为假命题，q p ∨为真命题，求实数m 的取值范围．18．（本题满分12分）如图，在直三棱柱中，是的中点.（1）求证：平面；（2）若，，，求三棱锥1C ABC -的体积.19．（本题满分12分）已知，圆C ：012822=+-+y y x ，直线l ：02=++a y ax .(1) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22=AB 时，求直线l 的方程. 20．（本题满分12分）已知椭圆4422=+y x ，直线l ：y x m =+(1)若l 与椭圆有一个公共点，求m 的值；(2)若l 与椭圆相交于P ，Q 两点，且|PQ|等于椭圆的长半轴长，求m 的值．21. （本题满分12分）已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，点(4,2)A 为抛物线内一定点，点P 为抛物线上一动点，PA PF +最小值为8．（1）求该抛物线的方程；（2）若直线30x y --=与抛物线交于B 、C 两点，求BFC ∆的面积．22．(改编)（本题满分12分）若椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，椭圆上有一动点P ，P 到椭圆C 右焦点2F 的最小距离等于21-，且椭圆的离心率2e =（I ）求椭圆的方程； （II ）若过点M （2，0）的直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B ，OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r （o 为坐标原点）且25||3PA PB -<u u u r u u u r ，求实数t 的取值范围．2020学年重庆一中高2018级高二上期半期考试数 学（文科） 参考答案一．选择题1-5BAACC 6-10ACADB 11-12 DB二．填空题13. 2 14.42 15.318-x 16.3[26]2，三．解答题17解：（1）p 为真命题=4-4m 0∆≥m 1∴≤（2）Θp ∧q 为假命题， p ∨q 为真命题，q p ，∴一真一假当p 真q 假时， m 11m>5m ≤⎧⎨<-⎩或m 1∴<- 当p 假q 真时，m>115m ⎧⎨-≤≤⎩1m 5∴<≤ 综上所述，实数m 的取值范围是：--∞⋃（，1）（1,5]18. 解：（1）证明：连接，与交于点O ， 1A 1B1C连接DO.由直三棱柱性质可知，侧棱垂直于底面，侧面为矩形，所以O 为中点，则 又因为平面，平面， 所以，平面；（2）113C ABC V -=.19. 解：(1) 若直线l 与圆C 相切，则有21|24|2=++a a .解得43-=a . (2) 过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====+++=.221,2,1|24|22222AB DA AC DA CD a a CD解得1,7--=a .∴直线l 的方程是0147=+-y x 或02=+-y x .20.解：（1）联立直线与椭圆方程⎩⎨⎧+==+mx y y x 4422得：04-48522=++m mx x ，5,016-802±===∆m m 所以。

2020学年重庆市大学城第一中学校高二下学期期中数学试题一、单选题1．集合{}1,2,3A =，集合{}3,4B =，全集{}1,2,3,4,5U =，则()U A B ⋃=（ ） A ．{}1,2 B ．{}3,5C ．{}1,2,3,5D ．{}1,2,3,4,5【答案】C【解析】根据集合运算的定义计算． 【详解】 由题意U{1,2,5}B =，∴U (){1,2,3,5}A B =．故选：C. 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题． 2．下列推断错误的是( )A ．命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”B ．命题:p 存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则非:p 任意x ∈R ，都有210x x ++≥C ．若p 且q 为假命题，则,p q 均为假命题D ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 【答案】C【解析】【详解】试题分析：原命题:若p 则q 的逆否命题为若q ⌝则p ⌝，所以A 显然正确；特称命题的否定为全称命题，所以B 显然正确；若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，所以C 的推断不正确；23201x x x -+>⇒<或2x >，所以“1x <”是“”的充分不必要条件．所以D 正确． 故选C ．【考点】1命题；2充分必要条件． 3．已知A ，B 两点的极坐标分别为6,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭和48,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则线段AB 中点的直角坐标为（ ）A ．1,22⎛- ⎝⎭B ．1,22⎛-- ⎝⎭C ．21⎫-⎪⎪⎝⎭D ．21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】先求线段AB 中点的极坐标为41,3π⎛⎫⎪⎝⎭，再由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩计算即可。

【详解】易知线段AB 中点的极坐标为41,3π⎛⎫⎪⎝⎭，根据互化公式，得41cos cos 32x ρθπ===-，4sin sin 3y ρθπ===为1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 故选B. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。

重庆市一中2020-2020学年高二文科数学下学期期中试题数学试题共3页。

总分值150分。

考试时刻120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必需利用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必需利用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必需在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一.选择题.(本大题共10小题,每题5分,共50分)1.假设A,B 为互斥事件,且()0.3,()0.7P A P A B =+=,那么()P B =( )B.0.5 C2.样本1,2,3,2,3,0,1---的方差是( )A.0B.2C.2D.43.某单位有职工200人,其中老年人30人,中年人120人,青年人50人,要用分层抽样方式抽取一个容量为20的样本,那么应抽取老年人的人数为( )A.3B.4C.5D.124.假设6234560123456(12)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++,那么123456a a a a a a +++++等于( )A.1-B.0C.1D.25.在1, 2, 3, 4, 5这五个数字组成的没有重复的数字三位数中,列位数字之和为奇数的共有( )个.A.36B.18C.24D.66.正方体的表面积为S,那么它的体积是( )A.S SB.8SC.12S SD.636S S 7.已知正三棱锥P —ABC 中,PA=2, AB=3,那么侧棱与底面所成的角等于( )A.2πB.6πC.4πD.3π 8.从5位同窗当选4人在礼拜五,礼拜六,礼拜日参加公益活动,每人一天,假设礼拜五有2人参加,礼拜六,礼拜日各有1人参加,那么不同的选法有( )种.A.40B.60C.100D.1209.如图,长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AB=2,AD=1,点E 、F 、G 别离是DD 1, AB, CC 1的中点,那么异面直线A 1E 与GF 所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°10.某地为“唱红歌”特组织了6支不同的队伍,其中3支青年队,2支中年队,1支老年队.现将其排成一个节目单,要求同龄的队伍不相邻,那么不同的排法有( )种.A.48B.60C.120D.320二.填空题.(本大题共5个小题,每题5分,共25分)11.二项式261()x x -的展开式的常数项为 .12.五种不同的商品在货架上排成一排,其中,a b 两种必需排在一路,而,c d 两种不能排在一路,那么不同的排法共有 种.(用数字作答)13.一次测量中,显现正误差和负误差的概率均为12,那么在5次测量中,至少3次显现正误差的概率是 . 14.球面上的两点A,B 均在北纬45°圈上,点A 位于西径40°,点B 位于东径50°,且通过A,B 两点的球面距离为3π,那么那个球的体积为 . 15.北京大学今年实施校长实名推荐制,某中学取得推荐4名学生的资格,校长要从7名优秀学生中推荐4名,7名学生中有2人有体育特长,还有2人有艺术特长,其余3人有其他特长,那么至少含有一名有体育特长和一名有艺术特长的学生的推荐方案有 种.(用数字作答)三.解答题.(本大题共6小题,共75分)16.(13分)6名同窗站成一排.求:(用数字作答)(1)甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法?(2)甲,乙,丙三人必需在一路有多少种不同的排法?17.(13分)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球,现从甲,乙两个盒内各任取2个球.求:(1)掏出的4个球均为黑球的概率;(2)掏出的4个球中恰有一个红球的概率.18.(13分)某电视台开办“激情大冲关”娱乐节目,设置了10项关卡,游戏规定:选手需要在这10项关卡中抽签选择其中的5项进行冲关,假设选手通过的关卡数超过3个,那么挑战成功,不然失败.由于某种缘故,选手甲在这10项关卡中有两项不能通过,其余关卡都能通过.(1)求选手甲挑战成功的概率;(2)假设选手甲持续挑战两次(假设两次挑战之间彼此没有阻碍),求该选手两次挑战中恰有一次成功的概率.19.(12分)如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC=BC=CC 1=2,AC ⊥BC,D 为AB 中点.(1)求证:AC 1//平面CDB 1;(2)求点B 到平面CDB 1的距离.20.(12分)如图,在底面是直角梯形的四棱锥P —ABCD 中,AD//BC, ∠ABC=90°,PA ⊥平面ABCD, PA=4, AD=2, AB=23, BC=6. (1)求证:B D ⊥平面PAC;(2)求二面角A —PC —D 的正切值.21.(12分)已知二项式*523()()n x n N y+∈. (1)假设展开式各项系数之和比各项二项式系数之和大992,求n 的值;(2)若1,3x y n ==,设523()n n a x y =+,求证:23n a ≤<. 2020年重庆一中高2020级半期考试（本部）数学试题答案(文科) 2010.5一.选择题.(本大题共10小题,每题5分,共50分)题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B C D B B D C二.填空题.(本大题共5个小题,每题5分,共25分)11. 15 12. 24 13.12 14. 43π 15. 25 三.解答题.(本大题共6小题,共75分)16.(1)1545480A A ⋅=(2)4343144A A ⋅= 答:略17.(1)22341224615C C P C C ⋅==⋅ (2)122113432422246715C C C C C P C C ⋅+⋅⋅==⋅ 答:略18.(1)54188251079C C C P C +== (2)由题意,此即两次独立重复实验恰有一次发生的概率故1227728(1)(1)2(1)9981P C P P =⋅-=⨯⨯-=答:略19.(1)连BC 1交B 1C 于E,连DE,易证DE//AC 1,又DE ⊂面B 1DC,AC 1⊄面B 1DC∴AC 1//平面B 1DC(2)设点B 到平面CDB 1的距离为h ,由11B BCD B B CD V V --=∴11BCD B CD S BB S h ∆∆⋅=⋅ 易求得1BCD S ∆= 11132B CD S CD B D ∆=⋅⋅= ∴233h = 提示:也可作BH ⊥B 1D 于H,那么BH=233即为所求. 20.(1)∵PA⊥面ABCD ∴PA⊥BD又3tan 3AD ABD AB ∠==, tan 3BC BAC AB∠== ∴∠ABD=30°, ∠BAC=60°, ∴∠AEB=90°,即BD⊥AC 又PA AC=A ∴BD⊥面PAC.(2)过E 作EF ⊥PC 于F, 连DF,∵DE ⊥面PAC ∴E F 是DF 在面PAC 上的射影,∴PC⊥DF, 那么∠EFD 为二面角A —PC —D 的平面角, 又∠DAC=30°, sin 1DE AD DAC =∠=,sin AE AB ABE =∠=AC = ∴8EC PC ==由Rt△EFC∽Rt△PAC 得PA EC EF PC ⋅==在Rt △EFD 中,tan 9DE EFD EF ∠==故二面角A —PC —D . 21.(1)由42992n n -=得(232)(231)0n n -+=, ∴232n = 故5n =.(2)1212211111(1)1...12n n n n n n n a C C C C n n n n n =+=+⋅+⋅++≥+⋅= 又1231(1)1(1)(2)1(1)32111...2!3!!n n n n n n n n n n a C n n n n n ----⨯⨯=+⋅+⋅+++⋅ 故23n a ≤<.。

2022-2021学年重庆一中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x|x| B．f（x）=lgx C．f（x）=2x+2﹣x D．f（x）=x3﹣12．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=（）A．﹣1+2i B．1+2i C．1﹣2i D．1+i3．已知命题p：∃x0∈R，sinx0=；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．则下列结论正确的是（）A．命题是p∨q假命题B．命题是p∧q真命题C．命题是（¬p）∨（¬q）真命题D．命题是（¬p）∧（¬q）真命题4．已知，则等于（）A．B．C．D．5．设x∈R+，向量=（1，1），=（x，﹣2），且|+|=，则•=（）A．﹣2 B．4 C．﹣1 D．06．函数y=ln的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．[﹣1，1）7．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在[0，]上递增C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，1]8．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC 边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．9．函数f（x）=的单调增区间为（）A．B．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）10．曲线在点M （，0）处的切线的斜率为（）A．B．C．D．11．假如对定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=e x+1；④f（x）=．其中函数式“H函数”的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．112．已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C 上的动点且•的最小值为2，则a=（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.）13．计算：=．14．函数f（x）=在[a，b]上的最大值为1，最小值为，则a+b=．15．小明在做一道数学题目时发觉：若复数z1=cosα1+isinα1，z2=cosα2+isinα2，z3=cosα3+isinα3（其中α1，α2，α3∈R），则z1•z2=cos（α1+α2）+isin（α1+α2），z2•z3=cos（α2+α3）+isin（α2+α3），依据上面的结论，可以提出猜想：z1•z2•z3=．16．已知G点为△ABC的重心，且⊥，若+=，则实数λ的值为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知p：x2﹣8x﹣20≤0；q：1﹣m2≤x≤1+m2．（Ⅰ）若p是q的必要条件，求m的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：c•cosBsinC+（a+csinB）cosC=0．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若c=，求a+b的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．19．学校某争辩性学习小组在对同学上课留意力集中状况的调查争辩中，发觉其在40分钟的一节课中，留意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当x∈（0，12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A（10，80），过点B（12，78）；当x∈[12，40]时，图象是线段BC，其中C（40，50）．依据专家争辩，当留意力指数大于62时，学习效果最佳．（1）试求y=f（x）的函数关系式；（2）老师在什么时段内支配内核心内容，能使得同学学习效果最佳？请说明理由．20．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x x1x2x3ωx+φ0 π2πAsin（ωx+φ）0 0 ﹣0（Ⅰ）恳求出上表中的x1，x2，x3，并直接写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将f（x）的图象沿x 轴向右平移个单位得到函数g（x），若函数g（x）在x∈[0，m]（其中m∈（2，4）上的值域为[﹣，]，且此时其图象的最高点和最低点分别为P、Q ，求与夹角θ的大小．21．定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，．（1）求f（x）在[﹣2，2]上的解析式；（2）推断f（x）在（0，2）上的单调性，并赐予证明；（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[﹣2，2]上有实数解？22．设函数f（x）=lnx ﹣﹣bx（Ⅰ）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k ≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．2022-2021学年重庆一中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x|x| B．f（x）=lgx C．f（x）=2x+2﹣x D．f（x）=x3﹣1考点：函数奇偶性的推断．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数奇偶性的定义进行推断即可．解答：解：A．f（﹣x）=﹣x|x|=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，满足条件．B．函数的定义域为（0，+∞），关于原点不对称，函数为非奇非偶函数．C．f（﹣x）=2x+2﹣x=f（x），则函数为偶函数．D．f（﹣x）=﹣x3﹣1，则f（﹣x）≠﹣f（x）且f（﹣x）≠f（x），则函数为非奇非偶函数，故选：A点评：本题主要考查函数奇偶性的推断，依据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=（）A．﹣1+2i B．1+2i C．1﹣2i D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘法运算化简，然后由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．解答：解：由（a+i）（1+i）=bi，得a﹣1+（a+1）i=bi，∴，即．∴a+bi=1+2i．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3．已知命题p：∃x0∈R，sinx0=；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．则下列结论正确的是（）A．命题是p∨q假命题B．命题是p∧q真命题C．命题是（¬p）∨（¬q）真命题D．命题是（¬p）∧（¬q）真命题考点：复合命题的真假．专题：简易规律．分析：首先推断命题p和q的真假，再利用真值表对比各选项选择．命题p的真假有正弦函数的有界性推断，命题q的真假结合二次函数的图象只需看△．解答：解：命题p：由于﹣1≤sinx≤1，故不存在x∈R，使sinx=，命题p为假；命题q：△=1﹣4=﹣3＜0，故∀x∈R，都有x2+x+1＞0为真．∴，命题是p∨q是真，命题“p∧q”是假命题，命题是（¬p）∨（¬q）真命题，命题是（¬p）∧（¬q）假命题．故选：C点评：本题考查命题和复合命题真假的推断、正弦函数的有界性及二次函数恒成立等学问，属基本题型的考查．4．已知，则等于（）A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：依据，利用同角三角函数的平方关系算出sinα==，再利用两角和的余弦公式加以计算，即可得到的值．解答：解：∵α∈（0，），cosα=，∴sinα===，因此，cos（α+）=cosαcos﹣sinαsin =×﹣×=﹣．故选：A点评：本题给出锐角α的余弦，求的余弦值．着重考查了同角三角函数的基本关系和两角和的余弦公式等学问，属于基础题．5．设x∈R+，向量=（1，1），=（x，﹣2），且|+|=，则•=（）A．﹣2 B．4 C．﹣1 D．0考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：通过向量的模求出x，然后利用数量积的运算法则求解即可．解答：解：向量=（1，1），=（x，﹣2），且|+|=，可得=，解得x=2或x=0（舍去，由于x∈R+）．则•=（1，1）•（2，﹣2）=2﹣2=0．故选：D．点评：本题考查向量的数量积的求法，向量的模的求法，考查计算力气．。

2020-2021学年重庆一中高二下学期期中数学复习卷2一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知函数f(x)=√1−x 定义域为M ，g(x)=lnx 定义域为N ，则M ∩N =( )A. {x|x ≤1}B. {x|0<x ≤1}C. {x|0<x <1}D. {x|0≤x ≤1}2. 已知i 是虚数单位，复数z =i +21−i ，则复数z .的虚部是( )A. −12B. 32C. −32D. −23. 已知函数f(x)={x +1,(x ≤1)−x +1,(x >1)，则f[f(2)]=( )A. 3B. 2C. 1D. 04. 已知数列{a n }的前n 项和S n =2 n +1−2，等差数列{b n }中，公差d =2，b 2= a 2，则b n =A. 2n +2B. 2nC. n −2D. 2n −25. 设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x =2”是“复数Z =(x 2−3x +2)+(x +2)i 为纯虚数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 给出下列函数：①y =log 23x 2；②y =log 3(x −1)；③y =log x+1x ；④y =log πx.其中是对数函数的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 如果直线3x −√3y +m =0与双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)恒有两个公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是( )A. (1,2)B. (2,+∞)C. (1,2]D. [2,+∞)8. 周期为4的奇函数f(x)在[0,2]上的解析式为f(x)={x 2,0≤x ≤1log 2x +1,1<x ≤2，则f(2015)+f(2016)+f(2017)+f(2018)=( )A. 0B. 1C. 2D. 39. 如图，在体积为2的三棱锥A −BCD 侧棱AB 、AC 、AD 上分别取点E 、F 、G ，使AE ：EB =AF ：FC =AG ：GD =2：1，记O 为三平面BCG 、CDE 、DBF 的交点，则三棱锥O −BCD 的体积等于( )A. 19 B. 18 C. 17 D. 2710. 如果不等于1的正数a 、b 定义某种运算⊗：m =a ⊗b 的运行原理如下程序框图所示，如果x =5⊗2；y =2⊗5；z =2⊗2；则x 、y 、z 的大小关系为( )A. y <z <xB. y <x <zC. z <x <yD. x <y <z11. 已知直线x +y =1与圆(x −a)2+(y −b)2=2(a >0,b >0)相切，则ab 的取值范围是( )A. (0,32]B. (0,94]C. (0,3]D. (0,9]12. 若存在x ∈(−1,1]，使得不等式e 2x −ax <a 成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,2e )B. (2e ,+∞)C. (−∞,1e )D. (1e ,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 对于任意的两个实数对(a,b)(c,d)，规定：(a,b)=(c,d)，当且仅当a =c ，b =d ；定义运算“⊗”为：(a,b)⊗(c,d)=(ac −bd,bc +ad)， 运算“⊕”为：(a,b)⊕(c,d)=(a +c,b +d)．设p ，q ∈R ，若(1,2)⊗(p,q)=(5,0)，则(1,2)⊕(p,q)= ______ ．14. 已知函数f(x)=2+alog 2x +blog 3x ，且f(12016)=4，则f(2016)的值为______． 15. 观察如图，则第______行的各数之和等于20172．1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10…16.已知函数f(x)满足f(x+1)=−，且f(x)是偶函数，当x∈[−1,0]时，f(x)=x2，若在区间[−1,3]内，函数g(x)=f(x)−log a(x+2)有4个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角对边的边长分别是，已知，．(Ⅰ)若的面积等于，求；(Ⅱ)若，求的面积．18.当今，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，人们常常把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，手机已经严重影响了人们的生活．一媒体为调查市民对“低头族”的认识，从某社区的500名市民中随机抽取n名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如图：组数分组(单位：岁)频数频率1[20,25)50.052[25,30)200.203[30,35)a0.354[35,40)30b5[40,45]100.10合计n 1.00 (Ⅰ)求出表中a，b，n的值，并补全频率分布直方图；(Ⅱ)媒体记者为了做好调查工作，决定在第2，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名市民进行问卷调查，再从这6名市民中随机抽取2名接受电视采访，求第2组至少有一名接受电视采访的概率．19.如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=3√2，PB=PC=5，AC=6，O为AC的中点．PO=4．(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)若M为BC的中点，求二面角M−PA−C的余弦值．20. 设直线l ：y =k(x +1)与椭圆x 2+4y 2=a 2(a >0)相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点． (I)证明：a 2>4k 21+k 2(Ⅱ)若AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程．21. 已知函数f(x)=ln(x +1)+2ax+a (a >0)．(I)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；(II)设函数f(x)存在两个极值点，并记作x 1，x 2，若f(x 1)+f(x 2)>4，求正数a 的取值范围； (III)求证：当a =1时，f(x)>1e x+1+1x+1(其中e 为自然对数的底数)22. 在平面直角坐标中xOy 中，曲线C 1的参数方程是{x =1−2ty =2t(t 是参数)，曲线C 2的普通方程是x 2+y 2=1，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立直角坐标系． (Ⅰ)写出C 1的普通方程和C 2的极坐标方程；(Ⅱ)A 是C 1上的点，射线OA 与C 2相交于点B ，点P 在射线OA 上，|OA|、|OB|、|OP|成等比数列．求点P 轨迹的极坐标方程，并将其化成直角坐标方程．23. (1)证明：|a +b|+|a −b|≥2|a|，并说明等号成立的条件；(2)若不等式|a +b|+|a −b|≥|a|(|x −2|+|x −3|)对任意的实数a(a ≠0)和b 恒成立，求实数x 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵1−x≥0⇒x≤1，∴M=(−∞,1]，N=(0,+∞)，∴M∩N=(0,1]，故选B先分别求出函数的定义域，再进行交集运算即可．本题考查交集及其运算．2.答案：D解析：解：复数z=i+21−i =i+2(1+i)(1−i)(1+i)=1+2i，则复数z.=1−2i的虚部是−2．故选：D．利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：f(2)=−2+1=−1，f(f(2))=f(−1)=−1+1=0．故选D．由题意得f(2)=−2+1=−1，利用函数性质能求出f(f(2))=f(−1)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4.答案：B解析：5.答案：A解析：解：由x =2，得x 2−3x −2=22−3×2−2=0，x +2=2+2=4．而由{x 2−3x +2=0x +2≠0，得x =1或2．所以“x =2”是“复数Z =(x 2−3x +2)+(x +2)i 为纯虚数”的充分不必要条件． 故选：A ．由x =2能得到复数复数Z =(x 2−3x +2)+(x +2)i 为纯虚数为纯数，反之，复数Z =(x 2−3x +2)+(x +2)i 为纯虚数得到x =2或1，则答案可求．本题考查了复数的基本概念，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，复数为纯虚数的充要条件是不等于0且虚部不等于0，是基础题．6.答案：A解析：解：①y =log 23x 2的真数为x 2，故不是对数函数；②y =log 3(x −1)的真数为x −1，故不是对数函数； ③y =log x+1x 的底数为x +1，故不是对数函数； ④y =log πx 是对数函数； 故选：A ．由对数函数的定义依次判断即可． 本题考查了对数函数的定义的应用．7.答案：B解析：解：∵直线3x −√3y +m =0与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)恒有两个公共点，∴ba >√3，∴e =ca =√1+b 2a >√1+3=2． ∴双曲线离心率的取值范围是(2,+∞)． 故选：B ．利用已知直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率的关系与直线与双曲线的交点的个数即可得出．熟练掌握已知直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率的关系与直线与双曲线的交点的个数是解题的关键．8.答案：C解析：解：函数是周期为4的奇函数，f(x)在[0,2]上的解析式为f(x)={x 2,0≤x ≤1log 2x +1,1<x ≤2，则f(2015)+f(2016)+f(2017)+f(2018)=f(2016−1)+f(2016)+f(2016+1)+f(2016+2)=−f(1)+f(0)+f(1)+f(2)=−1+0+1+2=2． 故选C ．利用函数的周期性，以及函数的奇偶性，直接求解即可．本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性，函数值的求法，考查计算能力．9.答案：D解析：解：AA′为正三棱锥A −BCD 的高；OO′为正三棱锥O −BCD 的高 因为底面△BCD 相同，则它们的体积比为高之比 已知三棱锥A −BCD 的体积为2所以，三棱锥O −BCD 的体积为：2OO′AA′…(1) 由前面知，FG//CD 且FGCD =23 所以由平行得到，FGCD =GNNC =23所以，GNGC =25[面BCG 所在的平面图如左上角简图] 同理，GPGB =25 则GNGC =GP GB 所以，PN//BC 那么，PNBC =GN GC=25亦即，GT GQ =GN GC=25设GQ =x 那么，GT =25x 则，QT =GQ −GT =x −25x =35x而TO OQ =TN BQ =GN GC=25， 所以：TOTQ =27则，TO =27QT =27×35x =6x35 所以：GO =GT +TO =25x +6x35=4x 7所以，OQ =GQ −GO =x =4x 7=3x 7又OQGQ =OO′GG′ 所以，OQGQ =37…(2) 且，DGDA =GG′AA′ 所以：GG′AA′=13 (3)由(2)∗(3)得到：OO′AA′=17代入到(1)得到：三棱锥O −BCD 的体积就是2OO′AA′=27． 故选：D ．画出图形，三棱锥O −BCD 的体积，转化为线段的长度比，充分利用直线的平行进行推到，求出比例即可．本题考查学生对三棱锥的认识，以及必要的辅助线的作法，是难题．10.答案：A解析：本题考查了程序框图与对数大小的判断问题，是基础题． 模拟程序框图的运行过程求出x 、y 、z ，再比较大小． 解：模拟程序的运行过程知， 该程序运行后输出运算是m =a ⊗b ={e −12,a =b log b a,a ≠b；∴x =5⊗2=log 25>2， y =2⊗5=log 52<12， 2>z =2⊗2=e −12=√e>12；。

2020年重庆一中高2020级高二上期期中考试数学测试试题卷（文科）数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题5分，共计60分）1.双曲线22143x y-=的渐近线方程为（）A.35y x=± B.34y x=± C.y x= D.y x=2.如图所示，在水平放置的四个几何体中，其正视图为矩形的是（）A. B.C.D.3.对于命题:p x R ∃∈,使得210x x ++<,则p ⌝是（ ）A.2,10x R x x ∀∈++> B.2,10x R x x ∃∈++≠ C.2,10x R x x ∀∈++≥ D.2,10x R x x ∃∈++<4.已知(1,0),(1,0)A B -,动点M 满足||||2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是（ ） A.0(1)y x =≤- B.0(1)y x =≥- C.0(11)y x =-≤≤ D.0(||1)y x =≥5.如图,△C B A '''是△ABC 的直观图,其中x B A '''//轴,y C A '''//轴, 且C A B A ''='',那么△ABC 是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形6.已知圆22:40C x y x +-=与直线l 切于点3),P 则直线l 的方程是（ ）A.320x +-=B.340x -+=C.340x +-=D.320x -+=7.（原创）已知12,F F 是椭圆221169x y +=的两个焦点,过点2F 的直线交椭圆于点,A B ,若||6AB =,则11||||AF BF +=（ ）A.9B.10C.11D.128.由直线2y x =+上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线,则切线长的最小值为（ ） A.4231334219.（原创）已知2:25,:(2)20p x q x a x a -<<+++<,若q 是p 的必要而不充分条件，则a 的取值范围是（ ）A.(5,)+∞B.[5,)+∞C.(,5)-∞-D.(,5]-∞-10.（原创）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为2，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）2 B.2 C.22 D.411.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作一条直线，当直线的斜率为2时，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，当直线的斜率为3时，直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A.5,10 B.2,10 C.()21 D. (212.如图,若P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点,(5,0)F -为椭圆的左焦点,若以椭圆短轴为直径的圆与PF 相切于线段PF 的中 点,则椭圆C 的方程为（ ）A.221255x y += B.2213616x y += C. 2213010x y += D.2214525x y +=二、填空题（每小题5分，共计20分）13.已知双曲线方程为:221169y x -=,则双曲线的上焦点的坐标是____________. 14.将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的侧面积为 ____________.15.（原创）若2a >,则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是____________. 16.已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,F F ,P 是它们的一个交点,1260F PF ∠=︒,记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ,则2212e e +的最小值是____________.三、解答题（共计70分）17.（10分）已知:|1|2p x +≤, :(1)()0q x x m +-≤. (1)求满足p 为真时所有实数x 的取值集合;(2)若p 是q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.18.（12分）已知圆22:4210C x y y ++-=.(1)判断点(3,3)M --和点()N a a R ∈在圆上、圆外、还是圆内？ (2)若过点(3,3)M --的直线l 被圆C 所截得的弦长为8,求l 的方程.19.（12分）（原创）已知抛物线的顶点在原点,圆22(2)4x y -+=的圆心恰是抛物线的焦点.(1)求抛物线的方程；(2)一直线的斜率等于2，且过抛物线的焦点，与抛物线相交于A ，B 两点，求OAB ∆ 的面积.20.（12分）（原创）已知点P 是圆222x y +=上一动点,作PD x ⊥轴,垂足为D ,且2PD MD =u u u r u u u u r.(1)求动点M 轨迹C 的方程;(2)已知直线:2(0)l y x m m =+>,P 为轨迹C 所表示的曲线上一动点,若点P 到直线l 距离的最小值为5.求实数m 的值.21.（12分）如图,已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,直线l 交抛物线C 于11(,)A x y ,22(,)B x y 两点,00(,)D x y 为AB 的中点,且0||||12AF BF x +=+.(1)求抛物线C 的方程;(2)若1OA OB ⋅=-u u u r u u u r ,求0||xAB 的最小值.22.（12分）（原创）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,四点1(1,1)P 、2(0,1)P 、33(1,)2P -、43(1,)2P中恰有三点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 上存在不同的两点M 、N 关于直线1x y +=对称，求直线MN 的方程； (3)设直线l 不经过点2P 且与C 相交于A 、B 两点,若直线2P A 与直线2P B 的斜率之和为2,试 问：直线l 是否过定点？如过定点,求出定点坐标;如不过定点,说明理由.2020年重庆一中高2020级高二上期期中考试数学测试答案（文科）1—12 . DBCAB DBBCC AB13.14.15.16.17．解析：（1）p为真时，得：..........................5分（2）命题对应的数集为，命题对应的数集为;因为是的必要不充分条件，所以..........................2分①时,满足∴②时，满足，∴③时，满足，∴综上得：. .................... .....3分18．解析：（1）圆可化为，∴圆心，半径，∴点在圆内， ......................3分点在圆外． ......................3分（2）斜率存在时，设，即....................1分斜率不存在时，条件亦成立，∴或． ...................2分（写错一个扣一分）19.解析：（1）圆的圆心坐标为，即抛物线的焦点为, ......................2分∴ ......................1分∴抛物线方程为 .....................1分（2）由已知得直线AB的方程为........................1分将代入得=0设，则， ......................2分........................2分点O到直线AB的距离为: ...................2分∴的面积为........................1分20．解析：（1）设，，易知，∵，即，∴，， .....................4分又在上，∴，∴，∴动点的轨迹方程为：. .......................2分（2）设 ......................1分则到直线的距离为..................2分因为，所以当时取得最小值即 ........................2分∴∴ ........................1分21．解析：（1）根据抛物线的定义知，所以， ......................2分∵，∴，∴． .....................2分（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得， ......................2分所以.∵，即，∴，即，∴， ......................2分∴，，，∴， ......................2分令，，则.所以的最小值为. ......................2分22.（1）结合椭圆几何特征，可得、、在椭圆上， ......................1分所以, ......................2分解得方程为 ......................1分（2）设直线为，线段中点为，由点差法得，， ......................2分联立解得中点，∴......................1分（3）当直线的斜率存在时，设，联立椭圆C得∴，......................2分∴ ......................1分代入直线得：∴直线过定点 ......................1分当直线斜率的不存在时，经检验得也经过点......................1分综上得：直线过定点。

秘密★启用前 【考试时间： 】2020年重庆一中高2020级高三下期期中考试数学（文科）试题卷（含标准答案）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。

2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3. 考试结束后，将答题卡交回。

第 Ⅰ 卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设集合{}22P x x x =+≥，{}3Q x Nx =∈≤，则P Q =I ( )A ．[1,2]-B ．[0,2]C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2. 已知向量(1,2)a =r ，(1,)b x =-r ，若a b r r∥ ，则b =r ( )A. 3B. C. 5D.3. 复数12z i =+，若复数1z 与2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =g ( ) A.B.C.D.4. 一场考试之后，甲乙丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是( )A ．甲同学三个科目都达到优秀B ．乙同学只有一个科目达到优秀C ．丙同学只有一个科目达到优秀D ．三位同学都达到优秀的科目是数学5. 2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为( )A ．0.7B ．0.4C ．0.6D ．0.36. 已知一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数是m ，方差是n ，将这组数据的每个数都乘以(0) a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是( )A ．这组新数据的平均数是mB ．这组新数据的平均数是a m +C ．这组新数据的方差是an D．这组新数据的标准差是7. 已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩表示的平面区域为D ，若对(,)x y D ∀∈都有2x y a +≤，则实数a 的取值范围是( ) A ．[)5,+∞B ．[)2,+∞C ．[)1,+∞D ．[)0,+∞5-534i -+34i -8. 将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为( )A． B． C． D． 9. 若函数ln )() (f x a x a R =∈与函数()g x =a 的值为( )A ．4B ．12 C ．2eD ．e10. 已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P的中点，O 是坐标原点，若1OF M ∆的周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距）且13F MO π∠=，则双曲线E 的渐近线方程为( ) A．y x = B．y = C ．12y x =±D ． 2y x =± 11. 已知函数()2sin()(0,)2x f x πωϕωϕ+><=的图象过点(0,1)A -，且在(,)183ππ上单调，同时将()f x 的图象向左平移π个单位后与原图象重合，当12172,(,)123x x ππ∈--且12x x ≠时12()()f x f x =，则12()f x x +=( )A． B ．1- C ．1 D12. 已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为( ) A. 20B. 18C. 16D. 14第Ⅰ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132455,24a a a a +=+=，则33S a =_________.14. 已知抛物线212y x =的焦点为F ，过点(2,1)P 的直线l 与该抛物线交于,A B 两点，且点P 恰好为线段AB 的中点，则AF BF +=_________.15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若0n a >，11a =，且2()n n n S a a t =+（, t R n N *∈∈），则100S = _________.16. 在三棱锥P ABC -中，2,1,90 PA PC BA BC ABC ︒====∠=，若PA 与底面ABC 所成的角 为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是_________；三棱锥P ABC -的外接球的表面积是_________. （本小题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生 都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）如图，ABC ∆是等边三角形，D 是BC 边上的动点（不含端点）记BAD ∠=α,ADC β∠=. （1）求2cos cos αβ-的最大值； （2）若11,cos 7BD β==，求ABD ∆的面积.18.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC ⊥，D 是11B C 的中点，1112A A A B ==.（1）求证：11AB A CD ∥平面；（2）若异面直线1AB 和BC 所成角为60︒，求四棱锥11A CDB B -的体积.19.（12甲公司前期的经营状况，对该公司2019月（5—10据绘制了相应的折线图，如右图所示.（1利润y （单位：百万元）与月份代码x 求y 关于x （2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B 两种型1号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表1）. 若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？ 参考数据：6196i i y ==∑ ；61371i i i x y ==∑.参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()1122211ˆ=n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---⋅=--∑∑∑∑，ˆ.ˆˆay x b =- 20.（12分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，且经过点2P . （1）求椭圆C 的方程； （2）直线l 的斜率为12，且与椭圆交于,A B 两点（异于点P ），过点P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q . 证明：直线PQ 与坐标轴平行.21.（12分）已知函数()()2ln 1,.f x x ax x a R =++-∈（1）当14a =时，求函数()y f x =的极值； （2）若对于任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分. 22. [选修4—4：坐标系与参数方程] （10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩ (ϕ为参数). 以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线(0)4πθαα=<<分别交1C 、2C 于点,A B （,A B 异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α的值.23. [选修4—5：不等式选讲] （10分） 已知0a >，0b >，22143a b ab+=+. （1）求证：1ab ≤； （2）若b a >，求证：3311113a b a b ⎛⎫->- ⎪⎝⎭. 命题人：张 露审题人：张志华 付红12020年重庆一中高2020级高三下期期中考试数学（文科）试题卷（参考答案）二、填空题13. 7 14. 10 15. 505016. 5 π三、解答题17.解：（1）,(0,)33ππβαα=+∈Q ，∴2cos α－cos β=2cos α－cos +3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭+3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭，又2(0,)(,)3333ππππαα∈∴+∈Q ，，故当32ππα+=·································· 6分 （2）由cos β＝17 ，得sin β＝7，故sin α＝sin 3πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin βcos 3π－cos βsin 3π＝14，在ABD ∆中，由正弦定理sin sin AB BD ADB BAD =∠∠，得AB ＝sin sin βαBD ＝83， 故S △ABD ＝12AB·BD·sin B ＝18123⨯⨯=. ·····································································12分18.（1）证明：如图，连1AC 交1A C 于点E ，连DE .因为直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是矩形，故点E 是1AC 中点，又D 是11B C 的中点，故1DE AB ∥，又111,, AB ACD DE ACD ⊄⊂平面平面故11AB A CD ∥平面. ·····································（2）解：由（1）知1DE AB ∥，又1C D BC ∥，故1C DE ∠或其补角为异面直线1AB 和BC 所成角. 设2AC m =，则11C E C D DE ===1C DE ∆为等腰三角形，故160C DE ︒∠=，故1C DE ∆=1m =.故111A B C ∆为等腰直角三角形，故111A D C B ⊥，又11111111B B A B C A D A B C ⊥⊂平面，平面， 故11A D B B ⊥，又1111B B C B B =I ，故11A D CDB B ⊥平面，又梯形1CDB B的面积11122CDB B S A D =⨯⨯==， 则四棱锥11A CDB B -的体积1111233CDB B V S A D ==⨯=g . ·············································· 12分19. 解：（1）由折线图可知统计数据(),x y 共有6组，即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)，计算可得1234563.56x +++++==，y =6111961666i i y ==⨯=∑， 所以616221ˆ=i ii i i x y nx ybx nx==-⋅=-∑∑37163.516217.5-⋅⋅=，162 3.59a y b x =-=-⨯=))).所以月度利润y 与月份代码x 之间的线性回归方程为29y x =+. ··················································· 6分 由题意推得2020年5月份对应的年份代码为13，故当13x =时，213935y =⨯+=)（百万元），故预计甲公司2020年5月份的利润为35百万元. ······················································································ 8分 （2）A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为12013523531042.35100x ⨯+⨯+⨯+⨯==（个月），B 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为21013024032042.7100x ⨯+⨯+⨯+⨯==（个月）， 12x x <Q ，∴采购B 型新材料更好. ······················································································ 12分 注：若采用其他数字特征（如中位数、众数等）进行合理表述，也可酌情给分。

重庆市第一中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分1.已知复数32i z =-（i 为虚数单位），则在复平面内z 的共轭复数z 所对应的点为（ ） A. )2,3(- B. (3,2)C. )3,2(-D. )3,2(【答案】B 【解析】 【分析】由复数32i z =-，得到复数z 的共轭复数32z i =+，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数32i z =-（i虚数单位），则在复平面内z 的共轭复数32z i =+所对应的点为(3,2)，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的几何意义和共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2.已知随机变量2(1,)X N σ，且(2)0.2P X >=，则(0)P X <=（ ）A. 0.2B. 0.3C. 0.5D. 0.7【答案】A 【解析】 【分析】 由随机变量2(1,)XN σ，得正态分布曲线关于1X =对称，即可得到(0)(2)P X P X <=>，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，随机变量2(1,)XN σ，且(2)0.2P X >=，可得正态分布曲线关于1X =对称，可得((0)2)0.2P X P X >=<=，故选A ．【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布曲线的对称性，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.观察下列各式：22334455661,3,4,7,11,18,x y x y x y x y x y x y ⊗=⊗=⊗=⊗=⊗=⊗=7729x y ⊗=…，根据以上规律，则88x y ⊗=（ ） A. 123 B. 76 C. 47 D. 40【答案】C 【解析】 【分析】由数字1,3,4,7,11,18,29,构成数列{}n a ，可得数列{}n a 满足11,()n n n a a a n N *++=+∈，即可求解，得到答案．【详解】根据题设条件，由数字1,3,4,7,11,18,29,构成一个数列{}n a ，可得数列{}n a 满足11,()n n n a a a n N *++=+∈，则876291847a a a =+=+=，故选C ．【点睛】本题主要考查了归纳推理，以及数列的应用，其中解答中根据题设条件，得出构成数列的递推关系11,()n n n a a a n N *++=+∈是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.如图所示的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润=营业额-支出），根据折线图，下列说法中错误的是（ ）A. 该超市这五个月中的营业额一直在增长；B. 该超市这五个月的利润一直在增长；C. 该超市这五个月中五月份的利润最高；D. 该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设中的折线图中的数据，准确计算每个月的利润，即可求解，得到答案．【详解】由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得： 1月份的利润为3 2.50.5-=万元；2月份的利润为3.5 2.80.7-=万元； 3月份的利润为3.830.8-=万元；4月份的利润为4 3.50.5-=万元； 5月份的利润为541-=万元，所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，故选B ．【点睛】本题主要考查了折线图的应用，其中解答中认真审题，根据数据的折线图的数据，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5.已知某射击运动员射击1次命中目标的概率为0.9，记他在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则()D ξ=（ ） A. 09.0 B. 9C. 1D. 0.9【答案】D 【解析】 【分析】在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则随机变量(10,0.9)B ξ，利用方差的公式，即可求解．【详解】由题意，在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则随机变量(10,0.9)B ξ，所以()100.9(10.9)0.9D ξ=⨯⨯-=，故选D ．【点睛】本题主要考查了二项分布的方差的计算，其中解答根据题意得到在10次独立射击中命中目标的次数服从二项分布是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．6.为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为 （ ） A. 4.9 B. 5.25C. 5.95D. 6.15【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为97(,)22，代入回归直线方程，求得ˆ0.35a=，得到回归直线的方程为0.7035ˆ.x y=+，即可作出预测，得到答案． 【详解】由题意，根据表格中的数据，可得34569 2.534 4.57,4242x y ++++++====，即样本中心为97(,)22，代入回归直线方程ˆˆ0.7yx a =+，即79ˆ0.722a =⨯+， 解得ˆ0.35a=，即回归直线的方程为0.7035ˆ.x y =+， 当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7.抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A 为“两个点数不同”，事件B 为“两个点数中最大点数为4”，则()P B A =（ ） A.112B.16C.15D.56【答案】C【解析】 【分析】抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种，其中记事件A 为“两个点数不同”的基本事件共有30种，再由“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件共有6种，利用条件概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种， 其中记事件A 为“两个点数不同”的基本事件共有36630-=种，又由事件“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件为：(1,4),(2,4),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)，共有6种，所以6()136()30()536P A B P B A P A ⋂===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相，其中要求甲和乙必须相邻，且丙不能排最左端，则不同的排法共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种【答案】C 【解析】 【分析】把甲乙看成一个元素，甲乙、丁，戊的排列共有3232A A ⋅种不同的排法，又由丙不能排最左端，只有3种方式，利用分步计数原理，即可求解．【详解】由题意，把甲乙看成一个元素，甲乙、丁，戊的排列共有323212A A ⋅=种不同的排法，又由丙不能排最左端，利用“插空法”可得丙只有3种方式， 由分步计数原理可得，不同的排法共有12336⨯=种，故选C ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理利用“捆绑法”和“插空法”求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9.已知二项式2012(2)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x +=+++++++，且16a =，则12n a a a +++=（ ）A. 128B. 127C. 96D. 63【答案】D 【解析】 【分析】把二项式(2)n x +化为[1(1)]nx ++，求得其展开式的通项为1(1)r r r n T C x +=+，求得6n =，再令0x =，求得01264n a a a a ++++=，进而即可求解．【详解】由题意，二项式(2)[1(1)]n nx x +=++展开式的通项为1(1)r r r n T C x +=+， 令1=r ，可得112(1)n T C x =+，即16n C =，解得6n =，所以二项式为66(2)[1(1)]x x +=++，则0061a C ==，令11x +=，即0x =，则6012264n a a a a ++++==，所以1263n a a a +++=．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中把二项式(2)[1(1)]nnx x +=++，利用二项式通项，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.某学生寝室6个人在“五一节”前一天各自准备了一份礼物送给室友，他们把6份礼物全部放在一个箱子里，每人从中随机拿一份礼物，则恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率为（ ） A.181 B.112C.19D.365 【答案】A 【解析】 【分析】由6份礼物分给6个人，共有66720A =种，要使得恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物，则其他3人没有拿到自己准备的礼物，共有36240C ⨯=，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，6份礼物分给6个人，共有66720A =种不同的分法，要使得恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物，则其他3人没有拿到自己准备的礼物，共有36240C ⨯=，所以恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率为40172018P ==，故选A ． 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中，认真审题，利用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．11.已知在三棱锥ABC P -中，底面ABC ∆为等腰三角形，90ABC ∠=，2PB BC ==3PA =，且PA BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. 15πB.C. 21πD. π227【答案】A 【解析】 【分析】由90ABC ∠=，即AB BC ⊥，又由PA BC ⊥，可得BC ⊥平面PAB ，在}0,1{-中，得到AB PA ⊥，利用线面垂直的判定定理PA ⊥平面ABC ，在ABC ∆中得到AC =进而在直角PAC ∆中，求得PC = 【详解】由题意，设球的半径为R ，如图所示，由90ABC ∠=，即AB BC ⊥，又由PA BC ⊥，可得BC ⊥平面PAB ，又由在}0,1{-中，3,PA PB AB ===，所以222PB PA AB =+，则AB PA ⊥，又由PA BC ⊥，且ABBC B =，所以PA ⊥平面ABC ，又由底面ABC ∆为等腰三角形，90ABC ∠=，所以AC ==在直角PAC ∆中，3,PA AC ==PC =,即215R =，所以15R =， 所以球的表面积为221544()152S R πππ==⨯=．【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟练应用组合的结构特征，以及球的性质求解求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．12.已知函数21()(1)()2x f x ax x e a R =--∈，若对区间[0,1]内的任意实数321,,x x x ，都有123()()()f x f x f x +≥成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. ]2,1[ B. [,4]eC. [1,2)[,4]e D. [1,4]【答案】D 【解析】对任意实数[]123,,0,1x x x ∈，都有()()()123f x f x f x +≥，则()()2min max f x f x ≥，()()[],0,1x f x x e a x =--∈'，分类讨论：①1a ≤时，()0f x '≤恒成立，()f x 在[]0,1单调递减，()()()()()()1,01,2, 1.2min max min max af x f f x f f x f x a ====≥∴≥ 1a ∴=.②a e ≥时，()0f x '≥恒成立，()f x 在[]0,1单调递增，()()()()()()01,1,2, 4.2min max min max af x f f x f f x f x a ====≥∴≤4.e a ∴≤≤③1a e <<时，()f x 在[]0,lna 单调递增，[],1lna 单调递减，()()()21,01,1,22a f lna aln a alna a f f =-+== (Ⅰ)()()10f f ≤即2a ≤时，()()2212,,1.1a 2.2min max f x f x a aln a alna a a e ≥∴≥-+∴≤≤∴≤≤ (Ⅱ)()()10f f >即2a >时，()()212,2,2min max f x f x aln a alna a ≥∴≥-+令()()22112,022g a aln a alna a g a ln a =-+-∴=≥'恒成立，()2120,222e g e aln a alna a =-<∴≥-+在()2,a e ∈恒成立，2a e ∴<<,综上可得，实数a 的取值范围是[]1,4，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年重庆一中高2020级高二上期半期考试数 学 试 题 卷（文科）数学试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.1.方程221mx ny +=表示焦点在x 轴上的椭圆,则n m 和应满足下列（ ）A ．0>mnB ．0,0>>n mC ．0>>m nD ．0>>n m2.若等比数列{}n a 的前项和为n S ，公比为q ，且3,21==q a ，则5S =（ ）A ．40B ．70C ． 80D ．242 3.若标准双曲线以x y 2±=为渐近线，则双曲线的离心率为（ ）A ．25B ．5C ．5或5D ．25或5 4.以)1,1(-A 为圆心且与直线02=-+y x 相切的圆的方程为（ ）A ．4)1()1(22=++-y xB ．2)1()1(22=++-y xC ．4)1()1(22=-++y xD ．2)1()1(22=-++y x5.已知直线c b a ,,和βα，平面，直线，平面α⊂a ，下面四个结论：①若α⊥b ，则a b ⊥；②若αα//,//c b ，则c b //；③若βαβα//,//,b b c =⋂，则c b //；④若βα⊥⊥b b ,，则βα//.其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36.在ABC ∆中，B b A a cos cos =，则三角形的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7.直线04=++m y x 交椭圆11622=+y x 于B A ,，若AB 中点的横坐标为1，则m =( ) A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．28.在正方体1111D C B A ABCD -中,异面直线AC B A 与1所成角是（ ）A ．︒30B ．︒45C ．︒60D ．︒909.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各条棱中最长的棱是的长度是 （ ）A ．24B ．52C ．6 D. 810.圆01222=++-+y ax y x 关于直线1=-y x 对称的圆的方程为122=+y x ，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．2 D.2±11.已知点),(y x P 是直线04=+-y kx （0>k ）上一动点，PB PA 、是圆02:22=++y y x C 的两条切线，B A 、为切点,C 为圆心，若四边形PACB 面积的最小值是4，则k 的值是A ．6B ．62C ．1734D ．17342 12.如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ,则下列命题中假命题是( )A ．存在点E ，使得//11C A 平面F BED 1B ．存在点E ，使得⊥D B 1平面F BED 1C ．对于任意的点E ，三棱锥F DDE 1-的体积均不变D ．对于任意的点E ，四棱锥F BED B 11-的体积均不变第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.13.抛物线24x y =的焦点坐标为________14.已知等差数列{}n a 满足7,2123-==-a a a ，则=+++721...a a a _________15.在ABC ∆中，已知三个内角为、、、C B A 满足4:5:3sin :sin :sin =C B A ，求最小角的余弦值_______16.从双曲线1251622=-y x 的左焦点1F 引圆1622=+y x 的切线，切点为T ，延长T F 1交双曲线右支于P 点. 设M 为线段P F 1的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -=__________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）如图所示，3290==︒=∠∆BC AC ACB ABC Rt ，，中，，以点C 为圆心，AC 为半径作扇形︒=∠90,ACD ACD(1) 求平面图形绕直线BD 旋转一周所成的几何体的体积；(2) 求平面图形绕直线BD 旋转一周所成的几何体的表面积.18. （12分）已知数列{}n a 是首项为1，公比为)0(>q q 的等比数列，并且231,21,2a a a 成等差数列． (1)求q 的值；2)若数列{}n b 满足n a b n n 2+=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.（12分）设锐角三角形ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且A b a sin 2=．1)求角B 的大小；2)若5,3==c a ，求ABC ∆的面积及2b ．20.（12分）己知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，离心率23=e .过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，三角形2ABF 的周长为8.(1)求椭圆的方程；(2)若弦3=AB ，求直线AB 的方程.21.（12分）图1，平行四边形ABCD 中，BC AC ⊥，1==BC AC ,现将ADC ∆沿AC 折起，得到三棱锥ABC D -（如图2），且BC DA ⊥,点E 为侧棱DC 的中点.（1）求证:DBC AE 平面⊥；（2）求三棱锥AEB D -的体积；.（3）在ACB ∠的角平分线上是否存在点F ，使得ABE DF 平面//？若存在，求DF 的长；若不存在，请说明理由.22.（12分）已知圆1C ：422=+y x 过圆上任意一点D 向x 轴引垂线垂足为1D （点D 、1D 可重合），点E 为1DD 的中点.（1）求E 的轨迹方程；（2）若点E 的轨迹为曲线C ,不过原点O 的直线l 与曲线C 交于Q P ,两点，满足直线OQ PQ OP ,,的斜率依次成等比数列，求OPQ ∆面积的取值范围.2020年重庆一中高2020级高二上期半期考试数 学 答 案（文科） 2020.11一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1—5 CDDBD 6—10 DACCC 11—12 DB二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13. )161,0( 14.25 15. 54 16.1 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。