高三第二次月考数学试题参考答案

高三第二次月考数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x ) ＝ | sin x ＋cos x |的最小正周期是A ．π4B ．π2C ．πD ．2π2．在等差数列｛a n ｝中, a 7=9, a 13=－2, 则a 25= ( ) A －22 B －24 C 60 D 643．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在等比数列{a n }中，a 3=3，S 3=9，则a 1=（ ）A ．12B ．3C ．－6或12D ．3或125．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==6．已知c b a ,,为非零的平面向量． 甲：则乙,:,c b c a b a =⋅=⋅甲是乙的（ ） A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．非充分条件非必要条件7．已知O 是△ABC 内一点，且满足→OA·→OB ＝→OB·→OC ＝→OC·→OA ，则O 点一定是△ABC 的 A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心8．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是A ． ]3,0[πB ． ]127,12[ππC ． ]65,3[ππD ． ],65[ππ9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度 10．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t ．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：t0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1215．112．19．111．914．911．98．912．1经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（]24,0[∈t ）（ ）A ．t y 6sin312π+=B ．)6sin(312ππ++=t yC ．t y 12sin312π+=D ． )212sin(312ππ++=t y11．在四边形ABCD 中，，，，b a CD b a BC b a AB 3542--=--=+=其中b a 、不共线，则四边形ABCD 是 A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形12．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝A ．8B ．－8C ．±8D ．98二、填空题：本大题共4小题，每小题4分,共16分．把答案填在横线上． 13．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α ＝_____________．14．已知00000000(sin 53cos 23,cos 23cos53),(cos53sin 23,sin 23sin 53)a b ==-，(1,)c t =，c ∥()a b +，则t= .15．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-,且A,B,C 三点共线，则k= . 16．若数列)}({+∈N n a n 为等差数列，则数列)(321+∈+⋯+++=N n na a a ab nn也为等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数列且)(0+∈>N n c n ，则有数列d n ＝ (n ∈N ＋)也是等比数列．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）化简f (x )＝cos(6k +13π＋2x )＋cos(6k －13π－2x )＋23sin(π3+2x )(x ∈R ，k ∈Z)，并求函数f (x )的值域和最小正周期．18．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项． ⑴求数列{a n }与{b n }的通项公式．⑵设数列{c n }对任意正整数n ，均有1332211+=+⋯⋯+++n nn a b c b c b c b c ，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2005的值．19．(本题满分12分）A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ．若m ＝(－cos A 2，sin A 2)，n ＝(cos A 2，sin A 2)，且m ·n ＝12．（1）求A ；（2）若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b +c 的值．20．（本题满分12分）已知)0)(sin ,(cos ),sin ,(cos πβαββαα<<<==b a．⑴求证：b a b a-+与互相垂直；⑵若b k a b a k-+与大小相等，求αβ-（其中k 为非零实数）．21．（本小题满分12分）正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n +1． (1) 试求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ·a n +1，{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <12．22．(本题满分14分)设关于x的函数2=--+的最小值为()y x a x a2cos2cos(21)f a．f a的表达式；⑴写出()⑵试确定能使1f a=的a值，并求出此时函数y的最大值．()2高三第二次月考数学试题参考答案一、 选择题（每小题5分，共60分）：二、填空题（每小题4分，共16分）(13) 34- (14) 3 (15) 23- (16) 1234n n C C C C C三、解答题（共74分，按步骤得分）17．解：)23sin(32)232cos()232cos()(x x k x k x f +π+-π-π++π+π= )23sin(32)23cos(2x x +π++π=x 2cos 4=所以函数f (x )的值域为[]4,4-，最小正周期πωπ==2T 。

2024年重庆高2024届2月月考数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合21A x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，{}220B x x x =->∣，则（）A.A B ⊆B.A B⊇ C.A B= D.A B = R 2.若复数z 满足i 1i z =+，其共轭复数为z ，则下列说法正确的是（）A.z 对应的点在第一象限B.z 的虚部为i -C.1iz =+ D.||2z =3.已知直线:(2)20m a x ay -+-=和直线:310n x ay ++=，则“73a =”是“//m n ”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知数列{}n a 满足()1112,1n n n a a n n a -+-+=≥∈-N ，12a =，则{}n a 的前198项和为（）A.57- B.58- C.3436-D.3496-5.已知向量a 与b 是非零向量，且满足a b - 在b 上的投影向量为2b - ，2a b = ，则a 与b 的夹角为（）A .120︒B.150︒C.60︒D.90︒6.已知双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图所示，一镜面的轴截面图是双曲线的一部分，AB 是它的一条对称轴，F 是它的左焦点，光线从焦点F 发出，经过镜面上点P ，反射光线为PQ ，若90AFP ∠=︒，135FPQ ∠=︒，则该双曲线的离心率为（）A .2B.2C.21D.37.已知定义在R 上的函数()2()245e xf x x x a -=+++，若存在m ，使得对任意x ，都有()()f x f m ≥，则a 的取值范围是（）A.1a <- B.0a ≤ C.2a ≤- D.3a ≤-8.用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A ，B ，C ，D ，E ，F 涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（）A.120B.72C.48D.24二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.关于函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列命题正确的是（）A.()f x 的图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称B.函数()f x 的最小正周期为2πC.()f x 在区间ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，再把图象向右平移π6个单位长度得到的函数为()2cos g x x=-10.下列说法中，正确的是（）A.若随机变量()2~2,X N σ，且(6)0.4P X >=，则(22)0.2P X -<<=B.一组数据6，7，7，9，13，14，16，17，21的第70百分位数为16C.盒子中装有除颜色外完全相同的5个黄球和3个蓝球，从袋中有放回地依次抽取2个球，第一次抽到蓝球的情况下第二次也抽到蓝球的概率为38D.设随机事件A ，B ，已知A 事件发生的概率为0.3，在A 发生的条件下B 发生的概率为0.4，在A 不发生的条件下B 发生的概率为0.2，则B 发生的概率为0.2611.已知定义在R 上的函数()f x ，(2)f x -是奇函数，(1)f x -是偶函数，当[1,0]x ∈-，2()f x ax bx =+，(1)2f =，3324f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则下列说法中正确的有（）A.函数()f x 的最小正周期为4B.函数()f x 关于点(1,0)对称C.(2023)(2025)0f f +=D.函数()()ln ||g x f x x =-有8个不同零点12.在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，E 为11A D 的中点，F 是正方形11BB C C 内部一点（不含边界），则下列说法正确的是（）A.平面1FBD ⊥平面11AC DB.平面11BB C C 内存在一条直线与直线EF 成30 角C.若F 到BC 边距离为d ，且221EF d -=，则点F 的轨迹为抛物线的一部分D.以11AA D 的边1AD 所在直线为旋转轴将11AA D 旋转一周，则在旋转过程中，1A 到平面1AB C 的距离的取值范围是,3636-+⎥⎣⎦三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设6260126(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++- ，则123456a a a a a a +++++=______．14.已知点P 为直线50x -+=上的动点，平面内的动点Q 到两定点(1,0)M ，(3,0)N 的距离分别为||MQ 和||NQ ，且||1||2MQ NQ =，则点P 和点Q 距离的最小值为______．15.已知1x >，1y >，2log a x =，2log b =，且12221a b b +=++，则2xy 的最小值为______．16.已知π3π()sin cos cos cos (0)510f x x x ωωω=+>，若()f x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个零点，则ω的取值范围是______．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，sin C A =，6b =．（1）若π4B =，求c 的值；（2）若2C A =，求ABC 的面积．18.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，2AB =，AD =，4CD =，AD PC ⊥，PB BC ⊥．（1）证明：PB ⊥平面ABCD ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为4，求直线PA 与平面PCD 所成夹角的正弦值．19.已知数列{}n a 每一项都不为0，12a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且124n n n a a S +-=．（1）求{}2n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．20.当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额x （单位：百万元）与其年销售量y （单位：千件）的数据统计表．x123456y0.51 1.53612ln z y=0.7-00.4 1.1 1.8 2.5（1）公司拟分别用①y bx a =+和②e nx m y +=两种方案作为年销售量y 关于年投入额x 的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（,,,a b m n 计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位）（2）根据下表数据，用决定系数2R （只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为7百万元时，产品的销售量是多少?经验回归方程y bx a=+e nx my +=残差平方和()621ˆi i i y y=-∑18.290.65参考公式及数据：()()()121ˆni i i ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-，()()22121ˆ1ni i i ni i y yR y y ==-=--∑∑，61121iii x y==∑，62191i i x ==∑，6128.9i ii x z==∑，1(0.700.4 1.1 1.8 2.5)0.856z =-+++++=， 2.8e 16.5≈，3e 20.1≈．21.已知()e sin x f x x =+，()ln(1)1g x a x =+-．（1）若()f x 在(0,(0))f 处的切线也与()g x 的图象相切，求a 的值；（2）若()()0f x g x +≥在(1,)∈-+∞x 恒成立，求a 的取值集合．22.在平面直角坐标系中，过直线1:4l x =-上任一点M 作该直线的垂线PM ，1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，线段FM 的中垂线与直线PM 交于点P ．（1）当M 在直线l 上运动时，求点P 的轨迹C 的方程；（2）过P 向圆22:(2)1N x y -+=引两条切线，与轨迹C 的另一个交点分别为A ，B ．（i ）证明：直线AB 与圆N 也相切；（ii ）求PAB 周长的最小值．2024年重庆高2024届2月月考数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合21A x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，{}220B x x x =->∣，则（）A.A B ⊆B.A B⊇ C.A B= D.A B = R【答案】B 【解析】【分析】通过解不等式求得集合,A B ，进而判断出正确答案.【详解】()202221,100x x xx x x x ⎧-≤-≤-=≤⇔⎨≠⎩，解得0x <或2x ≥，所以{|0A x x =<或}2x ≥.()2220x x x x -=->，解得0x <或2x >，所以{|0B x x =<或}2x >.所以A B ⊇，B 选项正确，其它选项错误.故选：B2.若复数z 满足i 1i z =+，其共轭复数为z ，则下列说法正确的是（）A.z 对应的点在第一象限B.z 的虚部为i -C.1i z =+D.||2z =【答案】C 【解析】【分析】根据复数运算求得z ，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由i 1i z =+两边乘以i -得，1i z =-，所以z 对应点()1,1-在第四象限，z 的虚部为1-，1i z =+，z =，所以C 选项正确，ABD 选项错误.故选：C3.已知直线:(2)20m a x ay -+-=和直线:310n x ay ++=，则“73a =”是“//m n ”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据直线平行满足的系数关系即可求解.【详解】若直线:(2)20m a x ay -+-=和直线:310n x ay ++=平行，则()326a a a a a⎧-=⎨≠-⎩，解得73a =，所以“73a =”是“//m n ”的充要条件，故选：A4.已知数列{}n a 满足()1112,1n n n a a n n a -+-+=≥∈-N ，12a =，则{}n a 的前198项和为（）A.57-B.58- C.3436-D.3496-【答案】D 【解析】【分析】判断出数列{}n a 的周期性，从而求得正确答案.【详解】依题意，数列{}n a 满足()1112,1n n n a a n n a -+-+=≥∈-N ，12a =，()2341121311123,,112132312a a a -++-+==-==-==---⎛⎫-- ⎪⎝⎭，511132113a a +===-，所以数列{}n a 是周期为4的数列，123476a a a a +++=-，所以{}n a 的前198项和为72001134964326⎛⎫-⨯---=- ⎪⎝⎭.故选：D5.已知向量a 与b 是非零向量，且满足a b - 在b 上的投影向量为2b - ，2a b = ，则a 与b 的夹角为（）A.120︒B.150︒C.60︒D.90︒【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量、向量数量积等知识求得正确答案.【详解】设a与b的夹角为()0180θθ︒≤≤︒，a b - 在b上的投影向量为()22a b b b a b b b b b b-⋅⋅-⋅=⋅所以22cos 2a b bbθ⋅⋅-=-，所以222cos 12cos 12,cos 2b b b bθθθ⋅⋅-=-=-=- ，所以θ为钝角，且120θ=°.故选：A6.已知双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图所示，一镜面的轴截面图是双曲线的一部分，AB 是它的一条对称轴，F 是它的左焦点，光线从焦点F 发出，经过镜面上点P ，反射光线为PQ ，若90AFP ∠=︒，135FPQ ∠=︒，则该双曲线的离心率为（）A.2B.2C.21D.3【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】以FB 所在直线为x 轴建立如图所示平面直角坐标系，设双曲线的右焦点为1F ，依题意可知直线QP 过1F ，依题意，90AFP ∠=︒，135FPQ ∠=︒，则1145PFF FF P ∠=∠=︒，所以三角形1PFF 是等腰直角三角形，设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，=-P x c ，由()22221c y a b--=，解得2P b y a =（负根舍去），由于1PF FF =，所以22222,2,2b c b ac c a ac a==-=，2220c ac a --=，两边除以2a 得22210,210c c e e a a ⎛⎫-⋅-=--= ⎪⎝⎭，解得12e =+故选：C7.已知定义在R 上的函数()2()245exf x x x a -=+++，若存在m ，使得对任意x ，都有()()f x f m ≥，则a 的取值范围是（）A.1a <- B.0a ≤ C.2a ≤- D.3a ≤-【答案】D 【解析】【分析】先求得()f x '，然后对a 进行分类讨论，根据()f x 有最小值列不等式来求得a 的取值范围.【详解】()22245()245ee xxx x a f x x x a -+++=+=++，当x →+∞时，22450x x a +++>，()0f x →.()()()()22244e 245e 21ee x xx x x x a x a f x +-+++---'==，当10,1a a --≤≥-时，()0f x '≤，()f x 在R 上单调递减，没有最小值，不符合题意，所以1a <-，令()0f x '=解得x =，所以()f x在区间,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上()()0,f x f x '<单调递减，在区间⎛ ⎝上()()0,f x f x '>单调递增，若存在m ，使得对任意x ，都有()()f x f m ≥，则22450a f ⎛⎛+++ ⎛= ⎝，即1,12,3a a ≥≥--≥≤-.故选：D8.用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A ，B ，C ，D ，E ，F 涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（）A.120B.72C.48D.24【答案】A 【解析】【分析】利用两个计数原理，先分类再分步即可求解．【详解】先涂E ，有4种选择，接下来涂C ，有3种选择，再涂F ,有2种选择，①当C ,D 颜色相同时涂色方法数是：4321248⨯⨯⨯⨯=，②当C ,D 颜色不相同时涂色方法数是：()43211272⨯⨯⨯⨯+=，∴满足题意的涂色方法总数是：4872120+=．故选：A ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.关于函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列命题正确的是（）A.()f x 的图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称B.函数()f x 的最小正周期为2πC.()f x 在区间ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，再把图象向右平移π6个单位长度得到的函数为()2cos g x x=-【答案】ACD 【解析】【分析】代入即可验证对称中心，即可判断A ，根据周期公式即可判断B ，根据整体法即可判断C ，根据函数的伸缩平移变换即可求解D.【详解】由于π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以5π5ππ()2sin 22sin 3π=0333f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，故()f x 的图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，A 正确，函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，故B 错误，当ππ,123x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππππ2,,32322x ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故C 正确，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把图象向右平移π6个单位长度得到的函数为ππ()2sin 2cos 63g x x x ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，D 正确，故选：ACD10.下列说法中，正确的是（）A.若随机变量()2~2,X N σ，且(6)0.4P X >=，则(22)0.2P X -<<=B.一组数据6，7，7，9，13，14，16，17，21的第70百分位数为16C.盒子中装有除颜色外完全相同的5个黄球和3个蓝球，从袋中有放回地依次抽取2个球，第一次抽到蓝球的情况下第二次也抽到蓝球的概率为38D.设随机事件A ，B ，已知A 事件发生的概率为0.3，在A 发生的条件下B 发生的概率为0.4，在A 不发生的条件下B 发生的概率为0.2，则B 发生的概率为0.26【答案】BCD 【解析】【分析】根据正态分布、百分位数、条件概率、全概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，根据正态分布的对称性可知()1(22)60.12P X P X -<<=->=，A 选项错误.B 选项，90.7 6.3⨯=，所以第70百分位数是16，B 选项正确.C 选项，由于抽取的方式是有放回，所以“第一次抽到蓝球”与“第二次抽到蓝球”是相互独立事件，所以第一次抽到蓝球的情况下第二次也抽到蓝球的概率为33538=+，所以C 选项正确.D 选项，()()0.30.410.30.20.26P B =⨯+-⨯=，所以D 选项正确.故选：BCD11.已知定义在R 上的函数()f x ，(2)f x -是奇函数，(1)f x -是偶函数，当[1,0]x ∈-，2()f x ax bx =+，(1)2f =，3324f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则下列说法中正确的有（）A.函数()f x 的最小正周期为4B.函数()f x 关于点(1,0)对称C.(2023)(2025)0f f +=D.函数()()ln ||g x f x x =-有8个不同零点【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性、零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】(2)f x -是奇函数，图象关于()0,0对称，所以()f x 关于()2,0-对称；(1)f x -是偶函数，图象关于直线0x =对称，所以()f x 关于直线=1x -对称；()2,0-关于直线=1x -的对称点为原点()0,0，则()f x 关于原点对称，所以()f x 是奇函数，直线=1x -关于原点的对称直线为1x =，所以()f x 关于直线1x =对称，则B 选项错误.所以()()()()()4224f x f x f x f x -=--⨯--=--=，所以()f x 是周期为4的周期函数，A 选项正确.()()()()()()202320252024120241110f f f f f f +=-++=-+=，C 选项正确.当[1,0]x ∈-，2()f x ax bx =+，()()()112,12f f f =--=-=-，311131122224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1211132424fa b f a b ⎧-=-=-⎪⎨⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以[1,0]x ∈-，()2()1f x x x x x =-+=--，令()()ln ||0g x f x x =-=得()ln f x x =，2ln e 2±=，画出()y f x =和ln y x =的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有8个交点，所以()g x 有8个零点，所以D 选项正确.故选：ACD12.在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，E 为11A D 的中点，F 是正方形11BB C C 内部一点（不含边界），则下列说法正确的是（）A.平面1FBD ⊥平面11AC DB.平面11BB C C 内存在一条直线与直线EF 成30 角C.若F 到BC 边距离为d ，且221EF d -=，则点F 的轨迹为抛物线的一部分D.以11AA D 的边1AD 所在直线为旋转轴将11AA D 旋转一周，则在旋转过程中，1A 到平面1AB C 的距离的取值范围是3636,3636-+⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】A.利用垂直关系的转化，再结合面面垂直的判断定理，即可证明；B.首先求直线EF 与平面11B C CB 所成角的正弦值，再与临界值比较，即可判断；C .结合几何关系，根据抛物线的定义，即可判断；D .首先求点1A 的轨迹，再结合几何关系，求解点到平面距离的最值.【详解】A .如图，连结11B D ，则1111B D A C ⊥，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，所以111BB A C ⊥，且1111B D BB B ⋂=，111,B D BB ⊂平面11BB D ，所以11A C ⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，所以111A C BD ⊥，同理11A D BD ⊥，且1111DA A C A ⋂=，且111,DA AC ⊂平面11A DC ，所以1BD ⊥平面11A DC ，且1BD ⊂平面1FBD ，所以平面11A DC ⊥平面1FBD ，故A 正确；B .将正方体中，分离出四棱锥11E BC CB -，取11B C 的中点H ，连结,EH HB ，因为EH ⊥平面11B C CB ，EH EF EB EC <<=，1EH =，2253122EB ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭即312EF <<，则EF 与平面11B C CB 所成角的最小值是EBH ∠，121sin 3322EBH ∠==>，所以30EBH ∠> ，因为线面角是线与平面内的线所成的最小角，所以平面11B C CB 内不存在一条直线与直线EF 成30 角，故B错误；C .如图，取11B C 的中点H ，连结,EH HF ，EH ⊥平面11B C CB ，作FQ BC ⊥于点Q ，则FQ d =因为2221HF EF d =-=，则22HF FQ =，即点F 到点H 的距离和点F 到BC 的距离相等，即可点F 形成的轨迹是抛物线，故C正确；D .连结1A D 交1AD 于点N ，取1B C 的中点M ，连结,MN AM ，则点1A 的运动轨迹是平面11A DCB 内以N为圆心，2为半径的圆，易知1B C MN ⊥，由1AC AB =，知1AM BC ⊥，MN AM M ⋂=，且,MN AM ⊂平面AMN ，所以1B C ⊥平面AMN ,1B C ⊂平面1ACB ，所以平面1ACB ⊥平面AMN，2sin 3ANNMA AM∠==，如图，NM 与圆的交点分别为,R S ，当点1A 位于点,R S 时，点1A 到平面1ACB 的距离分别取得最大值和最小值，且距离的最大值为223361sin 122336NMA ⎛⎫⎛+∠=+⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭,距离的最小值为223361sin 122336NMA ⎛⎫⎛⎫-∠=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以点1A 到平面1AB C的距离的取值范围是,3636-+⎣⎦，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的难点和关键是D 选项的判断，而D 选项的关键判断，需结合线面的位置关系，首先判断点1A 的轨迹，再结合几何关系，判断点到平面距离的最值.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设6260126(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++- ，则123456a a a a a a +++++=______．【答案】63-【解析】【分析】利用赋值法求得正确答案.【详解】由6260126(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++- ，令1x =，得602a =，令0x =，得01234561a a a a a a a ++++++=，所以6123456011263a a a a a a a +++++=-=-=-.故答案为：63-14.已知点P 为直线2250x y -+=上的动点，平面内的动点Q 到两定点(1,0)M ，(3,0)N 的距离分别为||MQ 和||NQ ，且||1||2MQ NQ =，则点P 和点Q 距离的最小值为______．【答案】49【解析】【分析】先求得Q 点的轨迹方程，然后根据直线和圆的位置关系求得正确答案.【详解】设(),Q x y ，由||1||2MQ NQ =得2222||1,4||||||4MQ MQ NQ NQ ==，即()()2222413x y x y ⎡⎤-+=-+⎣⎦，即222533x x y -+=，也即2211639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以Q 点的轨迹是以1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为43的圆，所以点P 和点Q 距离的最小值为()21220544339122-⨯+-=+-.故答案为：4915.已知1x >，1y >，2log a x =，2log b =，且12221a b b +=++，则2xy 的最小值为______．【答案】【解析】【分析】由题意可得242a b xy +=，利用基本不等式即可求值.【详解】因为2log a x =，2log b =，所以2a x =，22b y =，所以244222a b a b xy +==，()()()()142212221212221a b a b a b b b a b b =⎛⎫+ ⎪++=+++-+++-⎡⎝⎤+⎭⎣⎦()()22211114252212295222a b b b a b ⎛++⎡⎤ =+++-≥+-⎢⎥ ++⎣⎦⎝=-=，当且仅当()()22211212221a b b b a b a b b ⎧++=⎪⎪++⎨⎪+=⎪++⎩，即12ab ==时取到等号.所以5222xy ≥=故答案为：16.已知π3π()sin cos cos cos (0)510f x x x ωωω=+>，若()f x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个零点，则ω的取值范围是______．【答案】9121419,,5555⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】【分析】化简()f x 的解析式，根据()f x 在区间π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上零点的个数列不等式，由此求得ω的取值范围.【详解】π3ππππ()sin coscos cos sin cos cos cos 510525f x x x x x ωωωω⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭πππsin coscos sin sin 555x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，要使()f x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个零点，首先π3π32T -<，即2π3π9,032ωω<<<；其次由π,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得ππππ,π5355x ωωω⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，由902ω<<得πππ17π53510ω<+<，ππ47ππ5510ω<+<，由于()f x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个零点，若ππππ535ω<+≤，则π2ππ3π5ω≤+<，解得91255ω≤≤.若ππ17ππ3510ω<+<，则π3ππ4π5ω≤+<，解得141955ω≤<.综上所述，ω的取值范围是9121419,,5555⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故答案为：9121419,,5555⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【点睛】方法点睛：首先需要化简()f x 的解析式，利用的是三角恒等变换的知识，将三角函数的解析式化简为()()sin f x A x B ωϕ=++的形式，然后由()0f x =以及三角函数的性质来列不等式来对问题进行求解.四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，sin C A =，6b =．（1）若π4B =，求c 的值；（2）若2C A =，求ABC 的面积．【答案】（1）c =（2）18【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理等知识求得c .（2）先求得,,A C B ，判断出三角形ABC 是等腰直角三角形，从而求得三角形ABC 的面积.【小问1详解】由sin C A =和正弦定理得c =，若π4B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2236a c +=，即222236,6,a a a a c +====.【小问2详解】若2C A =，则sin sin 22sin cos C A A A A ===，由于0π,sin 0A A <<>，所以cos 02A =>,所以A 为锐角，且π4A =，则π2C =，所以π4B A ==，所以6a b ==，三角形ABC 是等腰直角三角形，166182ABC S =⨯⨯=△.18.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，2AB =，AD =，4CD =，AD PC ⊥，PB BC ⊥．（1）证明：PB ⊥平面ABCD ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为4，求直线PA 与平面PCD 所成夹角的正弦值．【答案】（1）证明详见解析（2）85【解析】【分析】（1）通过证明AD PB ⊥，结合PB BC ⊥来证得PB ⊥平面ABCD .（2）根据四棱锥P ABCD -的体积求得PB ，建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线PA 与平面PCD 所成夹角的正弦值．【小问1详解】设O 是CD 的中点，连接OB ，由于//,AB OD AB OD =，所以四边形ABOD是平行四边形，所以//,AD OB AD OB ==，由于2,OC BC ==，所以222OB BC OC +=，所以OB BC ⊥，所以AD BC ⊥，由于,,,AD PC PC BC C PC BC ⊥⋂=⊂平面PBC ，所以AD ⊥平面PBC ，由于PB ⊂平面PBC ，所以AD PB ⊥，由于,,PB BC AD BC ⊥⊂平面ABCD ，且直线AD 与直线BC 相交，所以PB ⊥平面ABCD .【小问2详解】过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，过B 作BF CD ⊥，垂足为F ，则四边形ABFE 是矩形，2,1EF AB DE CF ====，所以1BF AE ===，依题意1241432P ABCD V PB PB -+=⨯⨯⨯==，由于PB ⊥平面ABCD ，,AB BF ⊂平面ABCD ，所以,PB AB PB BF ⊥⊥，则,,BA BF PB 两两相互垂直，以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系.()()()()0,0,4,0,2,0,1,1,0,1,3,0P A C D -，()()()0,2,4,1,1,4,1,3,4PA PC PD =-=--=-，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，则40340n PC x y z n PD x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，故可设()4,0,1n = ，设直线PA 与平面PCD 所成角为θ，则sin 85n PA n PAθ⋅===⋅.19.已知数列{}n a 每一项都不为0，12a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且124n n n a a S +-=．（1）求{}2n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）222n a n =+（2）224,241,2n n nn S n n n ⎧+⎪⎪=⎨+-⎪⎪⎩为偶数为奇数【解析】【分析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行分析，从而求得正确答案.（2）对n 进行分类讨论，根据分组求和法求得正确答案.【小问1详解】依题意，10,2n a a ≠=，对于124n n n a a S +-=①，当1n =时，211222244,4a a a a a -=-==，当2n ≥时，1124n n n a a S ---=②，①-②得111120,2n n n n n n n a a a a a a a +-+---=-=，所以数列{}n a 的奇数项、偶数项分别成公差为2的等差数列，所以()221222n a a n n =+-⨯=+.【小问2详解】由（1）可知222n a n =+，()211122n a a n n -=+-⨯=，当n 是偶数时，21142222224222222n n n n n n n n n S ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=⨯+⨯++⨯=，当n 是奇数时，12a =，3n ≥时有：1n n nS S a -=+()()2214141122n n n n n -+-+-=++=，112S a ==也符合上式.所以224,241,2n n nn S n n n ⎧+⎪⎪=⎨+-⎪⎪⎩为偶数为奇数.20.当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额x （单位：百万元）与其年销售量y （单位：千件）的数据统计表．x123456y0.511.53612ln z y=0.7-00.4 1.1 1.8 2.5（1）公司拟分别用①y bx a =+和②e nx m y +=两种方案作为年销售量y 关于年投入额x 的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（,,,a b m n 计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位）（2）根据下表数据，用决定系数2R （只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为7百万元时，产品的销售量是多少?经验回归方程y bx a=+e nx my +=残差平方和()621ˆi i i y y=-∑18.290.65参考公式及数据：()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-，()()22121ˆ1ni ii nii y yR y y ==-=--∑∑，61121iii x y==∑，62191i i x ==∑，6128.9i ii x z ==∑，1(0.700.4 1.1 1.8 2.5)0.856z =-+++++=， 2.8e 16.5≈，3e 20.1≈．【答案】（1） 2.1 3.4y x =-，0.6 1.4e x y -=（2）②的拟合效果好，预测销售量是16.5千件【解析】【分析】（1）根据经验回归方程的求法求得正确答案.（2）通过计算决定系数确定拟合效果较好的方案，并由此进行预测.【小问1详解】1234560.51 1.536123.5,466x y ++++++++++====，所以 21216 3.5437372.11,4 3.5 3.40916 3.517.517.5ba -⨯⨯==≈=-⨯=--⨯ ，所以 2.1 3.4y x =-.由e nx m y +=，两边取以e 为底的对数得ln y nx m =+，即z nx m =+，228.96 3.50.8511.0511.050.63,0.85 3.5 1.36916 3.517.517.5nm -⨯⨯==≈=-⨯=--⨯，所以0.63 1.36z x =-，所以0.6 1.4e x y -=.【小问2详解】()()()()()()()222222210.5414 1.54346412496.5ni i y y =-=-+-+-+-+-+-=∑，对于 2.1 3.4y x =-，2118.29196.5R =-；对于0.6 1.4e x y -=，220.65196.5R =-，所以②的拟合效果好，当7x =时，预测值0.671.4 2.8e e 16.5y ⨯-==≈千件.21.已知()e sin x f x x =+，()ln(1)1g x a x =+-．（1）若()f x 在(0,(0))f 处的切线也与()g x 的图象相切，求a 的值；（2）若()()0f x g x +≥在(1,)∈-+∞x 恒成立，求a 的取值集合．【答案】（1）2ea =（2）{}2-【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义先求得()f x 在(0,(0))f 处的切线方程，再根据直线与()g x 的图象相切，设切点()00,x y ，再根据导数的几何意义，切点既在曲线上又在切线上，求得a 的值；（2）根据必要性可求得2a =-，再代入数据计算函数在(]1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，计算即可求解.【小问1详解】由已知()e cos x f x x '=+，则0(0)e cos 02f '=+=，又0(0)e sin 01f =+=，所以切点为(0,1)，切线的斜率为2，所以切线方程为21y x =+，又()1a g x x '=+，设切点为()00,x y ，所以00()1a g x x '=+，所以()0002121ln 11a x x a x ⎧=⎪+⎨⎪+=+-⎩，解得2e a =；【小问2详解】设()()e sin ln 11xm x x a x =+++-，则()e cos 1xa m x x x '=+++，必要性：因为()00m =，函数在0x =的左右均大于等于()0m ，所以0x =是极值点，所以()00e cos00m a '=++=，所以2a =-；充分性：当2a =-时，()2e cos 1xm x x x '=+-+，当(]1,0x ∈-时，e cos 2x x +≤，221x ≥+，所以()0m x '≤，所以()m x 在(]1,0-上单调递减，当()0,x ∈+∞时，设()2e cos 1xn x x x =+-+，则()()22e sin 1x n x x x '=-++，因为()()2222e sin 11011xx x x -+>-+>++，所以()n x 单调递增，即()m x '单调递增，又()()00m x m '>='，所以()m x 在()0,∞+上单调递增，所以()m x 在(]1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()00m x m ≥=，所以2a =-，故实数a 的取值集合为{}2-.【点睛】方法点睛：利用导数研究曲线上某点的切线问题，利用导数的几何意义求出斜率，利用点斜式表示切线方程，若无切点，要设出切点坐标，切点既在曲线上又在切线上，列出方程即可；利用导数研究函数恒成立问题，由必要性求得参数的值，然后证明充分性，利用导数研究函数的单调性求得最小值.22.在平面直角坐标系中，过直线1:4l x =-上任一点M 作该直线的垂线PM ，1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，线段FM 的中垂线与直线PM 交于点P ．（1）当M 在直线l 上运动时，求点P 的轨迹C 的方程；（2）过P 向圆22:(2)1N x y -+=引两条切线，与轨迹C 的另一个交点分别为A ，B ．（i ）证明：直线AB 与圆N 也相切；（ii ）求PAB 周长的最小值．【答案】（1）2y x=（2）（i ）证明见解析（ii ）【解析】【分析】（1）根据题意可得PM PF =，从而得到点P 的轨迹C 是以1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点的抛物线，求出方程.;（2）（i ）分三种情况讨论：①PA 斜率不存在时，求出点A 坐标，PB 直线方程，得到PB 与抛物线只有一个交点P ，不满足题意舍去；②直线PB 斜率不存在时，从而求出A ，B 两点坐标，得到直线AB 方程，验证圆心到直线AB 距离即可；③假设直线PA 与PB 斜率同时存在，不妨设2(,)P t t (21t ≠且)23t ≠，211(,)A t t ，222(,)B t t ，分别表示出PA 、PB 方程，利用相切条件得到1t ，2t 为方程222(1)230t x tx t -++-=的两根，由韦达定理有12221t t t t -+=-，212231t t t t -=-，代入圆心到直线AB 的距离公式即可证明；（ii ）利用三角形内切圆的性质可得2PAB PA AB PB S ++= ，求三角形周长最小值转化为求面积最小值，求出弦长AB 以及P 到直线AB 的距离，化简得到ABP S =，21t λ=-，[)(]1,00,λ∈-+∞ ，所以PAB S =，设()()2224124()f λλλλλλ-+++=，利用导函数即可求出()f λ的最小值，从而得到三角形面积的最小值，即可求出三角形周长的最小值.【小问1详解】由过直线1:4l x =-上任一点M 作该直线的垂线PM ，1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，线段FM 的中垂线与直线PM 交于点P ，作出下图：由图可得PM PF =，所以点P 的轨迹C 是以1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点的抛物线，故点P 的轨迹C 的方程为2y x =；【小问2详解】（i ）不妨假设直线PA 在圆的左侧，直线PB 在圆的右侧，①当PA 斜率不存在时，则直线PA 的方程为1x =，可设(1,1)P ，则(1,1)A -，设直线PB 方程为1(x 1)y k -=-，由于PB 与圆相切，解得0k =，则直线PB 方程为1y=，与抛物线只有一个交点，不满足题意，②当PB 斜率不存在时，则直线PB 的方程为3x =，可设P，则(3,B ，设直线PA 方程为(3)y k x -=-，由于PA与圆相切，解得3k =，则直线PA方程为0x -=，此时(0,0)A ，则直线AB方程为0x =，所以圆心(2,0)N 到直线AB的距离1d ==，满足题意.③假设直线PA 与PB 斜率同时存在，不妨设2(,)P t t (21t ≠且)23t ≠，211(,)A t t ，222(,)B t t ，所以12111PA t t k t t t t -==-+，则直线PA 的方程211()y t x t t t-=--，即11()0x t t y tt -++=，因为直线PA 与圆22:(2)1N x y -+=1=，化简得：22211(1)230t t tt t -++-=，同理可得22222(1)230t t tt t -++-=，则1t ，2t 为方程222(1)230t x tx t -++-=的两根，所以12221t t t t -+=-，212231t t t t -=-，所以圆心N 到直线AB的距离d =1=，所以直线AB 与圆N 也相切；（ii ）由题可得11()()22PAB S PA AB PB r PA AB PB =++=++ ，所以2PAB PA AB PB S ++= ，故要求PAB 周长的最小值即求PAB 面积的最小值，由（i ）可得直线AB 的方程为2121()0x t t y t t -++=，且12221t t t t -+=-，212231t t t t -=-，则P 到直线AB的距离d =AB =212121()2PAB S d AB t t t t t t ==-++==令21t λ=-，[)()1,00,λ∞∈-⋃+，所以PABS=设()()2224124()f λλλλλλ-+++=，则()()()2325242382()f λλλλλλλ+++++-='，由于在[)()1,00,λ∞∈-⋃+时，()()232242380λλλλ+++++>很成立，所以在[)1,0λ∈-时，()0f λ'>，在()0,2λ∈时，()0f λ'<，(2,)λ∈+∞时，()0f λ'>，所以()f λ在区间[)1,0-和()2,∞+上单调递增，在区间()0,2上单调递减，由于(1)27f -=，(2)27f =，故min ()(1)(2)27f f f λ=-==，此时20t =或23t =，即点P 的坐标为(0,0)或()时，PAB 的面积取最小值()min PAB S ==所以()()min min2PAB PA ABPBS ++== ，故PAB 周长的最小值为【点睛】方法点睛：本题考查了轨迹问题，以及三角形的内切圆问题.求轨迹方程常用方法有：(1)待定系数法；(2)直接法；(3)相关点法；(4)几何法;三角形内切圆的半径2Sr l=(其中S 为三角形面积，l 为三角形周长)。

湖南2025届高三月考试卷（二）数学（答案在最后）命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11i z =+的虚部是（）A.1 B.12 C.12- D.1-【答案】C【解析】【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.【详解】因为()()11i 1i 1i 1i 1i 1i 222z --====-++-，所以其虚部为12-，故C 正确.故选：C.2.已知a 是单位向量，向量b 满足3a b -= ，则b 的最大值为（）A.2B.4C.3D.1【答案】B【解析】【分析】设,OA a OB b == ，由3a b -= ，可得点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得 b 的最大值.【详解】设,OA a OB b == ，因为3a b -= ，即3OA OB BA -== ，即3AB = ，所以点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，又a 是单位向量，则1OA = ，故OB 最大值为134OA AB +=+= ，即 b 的最大值为4.故选：B.3.已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（）A.23- B.13- C.23 D.13【答案】D【解析】【分析】由角θ的终边，得tan 2θ=，由同角三角函数的关系得cos 1sin cos 1tan θθθθ=++，代入求值即可.【详解】因为角θ的终边在直线2y x =上，所以tan 2θ=.所以cos 111sin cos 1tan 123θθθθ===+++.故选：D.4.已知函数()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（）A.34a ≤ B.34a ≥ C.1a ≤ D.1a ≥【答案】D【解析】【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可.【详解】()()()12120f x f x f x x x ->⇒- 在上单调递增，又()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩，当0x <时，()e 33xf x a =+-单调递增，当0x ≥时，()f x 单调递增，只需1330a a +-≤+，解得1a ≥.故选：D.5.如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD -的体积为83，则圆柱的表面积为（）A.10πB.9π2C.4πD.8π【答案】A【解析】【分析】取AB 的中点O ，由13A BCD OCD V S AB -=⋅△，可求解底面半径，即可求解.【详解】设底面圆半径为r ，由AB CD ⊥，易得BC AC BD AD ===，取AB 的中点O ，连接,OC OD ，则,AB OC AB OD ⊥⊥，又OC OD O,OC,OD =⊂ 平面OCD ，所以AB ⊥平面OCD ，所以，11182423323A BCD OCD V S AB r r -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，解得=1，所以圆柱表面积为22π42π10πr r +⨯=.故选:A.6.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（）A.52+ B.5 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】（方法一）首先求出抛物线C 的方程为24y x =，设直线l 的方程为：1x ty =+，与抛物线C 的方程联立，利用根与系数的关系求出21x x 的值，再根据抛物线的定义知11AF x =+，21BF x =+，从而求出23AF BF +的最小值即可.（方法二）首先求出111AF BF+=，再利用基本不等式即可求解即可.【详解】（方法一）因为抛物线C 的焦点到准线的距离为2，故2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点坐标为1,0，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，不妨设120y y >>，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，整理得2440y ty --=，则12124,4y y t y y +==-，故221212144y y x x =⋅=，又B =1+2=1+1，2212p BF x x =+=+，则()()12122321312352525AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当12,23x x ==时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.（方法二）由方法一可得121x x =，则11AF BF +211111x x =+++121212211x x x x x x ++==+++，因此23AF BF +()1123AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭235AF BF BF AF =++55≥+=+，当且仅当661,123AF BF =+=+时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.7.设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()y f x =的图象与直线114y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用给定条件求出()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作出图像求解交点个数即可.【详解】对R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4x =是=的一条对称轴，所以()ππZ 4k k ϕ+=∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-.所以()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中画出()πcos 4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与114y x=-的图象，当3π4=-x 时，3π14f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，11113π3π4164y --=⨯(-=-<-，当5π4x =时，5π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5π14111461y =⨯-=->-，当9π4x =时，9π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11119π9π4416y =⨯-=-<，当17π4x =时，17π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111117π17π4416y =⨯-=->所以如图所示，可知=的图象与直线114y x =-的交点个数为3，故C 正确.故选：C.8.已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠-⋅=-，且()()()()()g x g y f x f y g x y -=-，则下列说法正确的是（）A.()01f =B.()f x 是偶函数C.若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g -=-D.若()()111g f -=，则()()202420242f g +=【答案】C【解析】【分析】对A ，利用赋值法令0,0x y ==即可求解；对B ，根据题中条件求出()f y x -，再利用偶函数定义即可求解；对C ，先根据题意求出()()001f g -=-，再找出()()11f x g x ---与()()f x g x ⎡⎤-⎣⎦的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D ，找出()()11f x g x -+-与()()f x g x ⎡⎤+⎣⎦的关系，再根据常数列的定义即可求解.【详解】对A ，()()()()()f x g y f y g x f x y -⋅=- ，令0,0x y ==，即()()()()()00000f g f g f -⋅=，解得()00f =，故A 错；对B ，根据()()()()()f x g y f y g x f x y -=-，得()()()()()f y g x f x g y f y x -=-，即()()f y x f x y -=--，故()f x 为奇函数，故B 错；对C ，()()()()()g x g y f x f y g x y -=- 令0x y ==，即()()()()()00000g g f f g -=，()00f = ，()()200g g ∴=，又()00g ≠，()01g ∴=，()()001f g ∴-=-，由题知：()()f x yg x y ---()()()()()()()()f x g y f y g x g x g y f x f y ⎡⎤=-⋅--⎣⎦()()()()f y g y f x g x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦，令1y =，即()()()()()()1111f x g x f g f x g x ⎡⎤⎡⎤---=+-⎣⎦⎣⎦，()()1112f g += ，()()()()1112f xg x f x g x ⎡⎤∴---=-⎣⎦，即()(){}f xg x -是以()()001f g -=-为首项2为公比的等比数列；故()()()2024202420242024122f g -=-⨯=-，故C 正确；对D ，由题意知：()()f x yg x y -+-()()()()()()()()f xg y f y g x g x g y f x f y =-⋅+-()()()()g y f y f x g x ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦，令1y =，得()()()()()()1111f x g x g f f x g x ⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦，又()()111g f -=，即()()()()11f x g x f x g x -+-=+，即数列()(){}f xg x +为常数列，由上知()()001f g +=，故()()202420241f g +=，故D 错.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，难点是C ，D 选项通过赋值再结合数列的性质进行求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，则这组样本数据的总和等于60B.若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则数据1221,21,x x -- ，1021x -的标准差为16C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，由题意可得样本容量为20，平均数是3,从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B ，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；对于C ，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于D ，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断.【详解】解：对于A ，因为样本的方差()()()222212201333,20s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 所以这个样本有20个数据，平均数是3,这组样本数据的总和为32060,⨯=A 正确；对于B ，已知样本数据1210,,,x x x 的标准差为8s =，则264s =，数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2222264s =⨯2816=⨯=，故B 正确；对于C ，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于100.77⨯=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=，所以第70百分位数是23.5，故C 错误；对于D ，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为x ，方差为2S ，则2285582(55)165,2999x S ⨯+⨯+-====<，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()32f x ax bx =-+，则（）A.()f x 的值域为RB.()f x 图象的对称中心为()0,2C.当30b a ->时，()f x 在区间()1,1-内单调递减D.当0ab >时，()f x 有两个极值点【答案】BD【解析】【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A ，利用函数的奇偶性判定B ，利用导数研究函数的单调性结合特殊值法排除C ，利用极值点的定义可判定D.【详解】对于A ：当,a b 至少一个不为0，则()f x 为三次或者一次函数，值域均为；当,a b 均为0时，值域为{}2，错误；对于B ：函数()()32g x f x ax bx =-=-满足()()3g x ax bx g x -=-+=-，可知()g x 为奇函数，其图象关于()0,0中心对称，所以()f x 的图象为()g x 的图象向上移动两个单位后得到的，即关于0,2中心对称，正确；对于C ：()23f x ax b '=-，当30b a ->时，取1,1a b =-=-，当33,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()()2310,f x x f x =-+>'在区间33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，错误；对于D ：()23f x ax b '=-，当0ab >时，()230f x ax b '=-=有两个不相等的实数根，所以函数()f x 有两个极值点，正确.故选：BD.11.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）A.函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +-=的一个太极函数B.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D.若函数()()3f x kx kx k =-∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈-【答案】AD【解析】【分析】根据题意，对于A ，D 利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可，对于B ，C 举反例说明．【详解】对于A ，圆22:(1)1O x y +-=，圆心为0,1，()sin 1f x x =+的图象也过0,1，且0,1是其对称中心，所以()sin 1f x x =+的图象能将圆一分为二，所以A 正确；对于B,C ，根据题意圆22:1O x y +=，如图()331,332313,03231332331,332x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪+-≤≤=⎨⎪+<≤⎪->⎩，与圆交于点()1,0-，1,0，且在x 轴上方三角形面积与x 轴下方个三角形面积之和相等，()f x 为圆O 的太极函数，且()f x 是偶函数，所以B ，C 错误；对于D ，因为()()()()()33()f x k x k x kx kx f x k -=---=--=-∈R ，所以()f x 为奇函数，由()30f x kx kx =-=，得0x =或1x =±，所以()f x 的图象与圆22:1O x y +=的交点为()()1,0,1,0-，且过圆心()0,0，由3221y kx kx x y ⎧=-⎨+=⎩，得()2624222110k x k x k x -++-=，令2t x =，则()232222110k t k t kt -++-=，即()()222110t k t k t --+=，得1t =或22210k t k t -+=，当1t =时，1x =±，当22210k t k t -+=时，若0k =，则方程无解，合题意；若0k ≠，则()4222Δ44k k k k=-=-，若Δ0<，即204k <<时，方程无解，合题意；所以()2,2k ∈-时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二，如图，若Δ0=，即2k =±时，函数与圆有4个交点，将圆分成四部分，若Δ0>，即24k >时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，如图，所以()2,2k ∈-，所以D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，即如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中心对称，且函数将圆分成2部分，不能超过2部分必然合题．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有2个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =-+相切，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求出曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程，由该切线与抛物线22y ax ax =-+相切，联立消元，得到一元二次方程，其Δ0=，即可求得a .【详解】由2ln y x x =-，则12y x'=-，则11x y ='=，曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，当0a ≠时，则212y x y ax ax =+⎧⎨=-+⎩，得()2110ax a x -++=，由2Δ(1)40a a =+-=，得1a =.故答案为：1.13.已知椭圆G22+22=1>>0的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c，则椭圆C 的离心率为______.【答案】23【解析】【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形12PF F 的面积，得到,a c 方程，即可得到离心率e 的方程，计算得到结果.【详解】由题意，可知1PF 为椭圆通径的一半，故21b PF a =，12PF F 的面积为21122b cc PF a⋅⋅=，又由于12PF F 的内切圆的半径为3c，则12PF F 的面积也可表示为()12223c a c +⋅，所以()111222223c c PF a c ⋅⋅=+⋅，即()212223b c ca c a =+⋅，整理得：22230a ac c --=，两边同除以2a ，得2320e e +-=，所以23e =或1-，又椭圆的离心率()0,1e ∈，所以椭圆C 的离心率为23.故答案为：23.14.设函数()()44xf x ax x x =+>-，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________.【答案】58##0.625【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，求得2min ()1)f x =+，转化为21)b +>恒成立，结合a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，得到基本事件总数有24个，再利用列举法，求得()f x b >成立的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】因为0,4a x >>，可得40x ->，则()()441441444x f x ax ax a x a x x x =+=++=-+++---2411)a ≥++=，当且仅当4x =时，等号成立，故2min ()1)f x =+，由不等式()f x b >恒成立转化为21)b >恒成立，因为a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则构成(),a b 的所有基本事件总数有24个，又由()221)1)912,16==+，()221)1319,201)25+=+=，设事件A =“不等式()f x b >恒成立”，则事件A 包含事件：()()1,4,1,8，()()()2,4,2,8,2,12，()()()()3,4,3,8,3,12,3,16，()()()()()()4,4,4,8,4,12,4,16,4,20,4,25共15个，因此不等式()f x b >恒成立的概率为155248=.故答案为：58.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC 的面积为334，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3B =（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由.112333BD BC CA BA BC =+=+，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知双曲线E 的焦点在x 轴上，离心率为233，点(在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】（1）2213x y -=（2）6【解析】【分析】（1）由222c a b =+和3e =，及点(在双曲线E 上，求出22,a b ，即可求出E 的方程；（2）设直线()()121:2,:2l y k x l y x k =-=--，其中0k ≠，根据题中条件确定2133k <<，再将1l 的方程与2213x y -=联立，利用根与系数的关系，用k 表示AC ，BD 的长，再利用12ABCDS AC BD =，即可求出四边形ABCD 面积的最小值.【小问1详解】因为222c a b =+，又由题意得22243c e a ==，则有223a b =，又点(在双曲线E 上，故229213-=b b，解得221,3b a ==，故E 的方程为2213xy -=.【小问2详解】根据题意，直线12,l l 的斜率都存在且不为0，设直线()()121:2,:2l y k x l y x k=-=--，其中0k ≠，因为12,l l 均与E 的右支有两个交点，所以313,33k k >->，所以2133k <<，将1l 的方程与2213x y -=联立，可得()222213121230k x k x k -+--=.设()()1122,,,A x y C x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k---+==--，所以()222121212114AC k x k x x x x =+-=++-)22222222222311212323114113133113k k k kkk k k k k +⎛⎫---+=+-⨯+ ⎪----⎝⎭，同理)22313k BD k +=-，所以))()()()2222222223131111622313313ABCD kkk S AC BD k kkk+++==⋅⋅=⋅----.令21t k =+，所以241,,43k t t ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭，则2222166661616316161131612ABCDt S t t t t t =⋅=⋅=≥-+-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭，当112t =，即1k =±时，等号成立.故四边形ABCD 面积的最小值为6.17.如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B -==，2,P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C 的夹角的余弦值为53333？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点P 为11A B 中点【解析】【分析】（1）延长三条侧棱交于一点O ，由勾股定理证明OA OB ⊥，OA OC ⊥，根据线面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面111A B C 和平面APC 的法向量，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】延长三条侧棱交于一点O ，如图所示，由于11124,2AB A B BB ===22OB OA ==所以22216OA OB AB +==，所以OA OB ⊥，同理OA OC ⊥.又OB OC O = ，,OB OC ⊂平面OBC ，所以OA ⊥平面OBC ，即1AA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】由（1）知,,OA OB OA OC OB OC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则(()0,0,,0,A C，()()111,,0,A B C ，所以((1110,0,,0,,AA AC A B ==-=，()110,B C =.设)111,0,A P A B λλ===，则1AP AA =+)[]1,0,,0,1A P λ=∈，设平面111A B C 和平面APC 的法向量分别为(),,,m x y z n ==(),,r s t ，所以)01000r t λ⎧=+=⎪⎨+==⎪⎪⎩⎩，取()()1,1,1,1,,m n λλλ==+，则cos ,33m n m n m n ⋅===.整理得212870λλ+-=，即()()21670λλ-+=，所以12λ=或76λ=-（舍），故存在点P （点P 为11A B 中点时），满足题意.18.若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3nn n a n b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .【答案】（1）（i ）数列{}n a 不具有性质P ，数列{}n b 具有性质P ，理由见解析；（ii ）数列{}n S 具有性质P ，理由见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）判断数列是否满足条件①②，可得（i ）的结果；利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和，再判断是否满足条件①②.（2）先求数列{}n c 的通项公式，再判断是否满足条件①②.【小问1详解】（i ）因为21n a n =-单调递增，但无上限，即不存在M ，使得n a M <恒成立，所以数列不具有性质P .因为113nn b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质P .（ii ）数列{}n S 具有性质P .2112113333n n n S -=⋅+⋅++ ，23111121133333n n n S +-=⋅+⋅++ ，两式作差得23121111211222333333n n n n S +-=⋅+⋅+⋅++⋅- ，即1121121212223313333313n n n n n n S ++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=-+-=--，所以111,3n n n S +=-<∴数列{}n S 满足条件①.(){}11210,,3nn n n n n a b n S S S +⎛⎫=->∴<∴ ⎪⎝⎭为单调递增数列，满足条件②.综上，数列{}n S 具有性质P .【小问2详解】因为*0,1,,,X n n =∈N ，若X 为奇数的概率为,n c X 为偶数的概率为n d ，()1[1]nn n c d p p +==-+001112220C (1)C (1)C (1)C (1)n n n n nn n n n p p p p p p p p --=-+-+-++- ①()001112220[1]C ()(1)C ()(1)C ()(1)C ()(1)n n n n n n n n n n p p p p p p p p p p ----=--+--+--++-- ②，2n c -=①②，即1(12)2nn p c --=.所以当102p <<时，0121p <-<，故n c 随着n 的增大而增大，且12n c <.故数列{}n c 具有性质P .19.已知函数()24e 2x f x x x-=-，()2233g x x ax a a =-+--（a ∈R 且2a <）.（1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=-是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；（2）若()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）ℎ在(),0∞-和0,+∞上单调递增；（2）(],1-∞.【解析】【分析】（1）需要二次求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.（2）法一先利用()()22f g ≥这一特殊情况，探索a 的取值范围，再证明对()1,x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立；法二利用导数工具求出函数()x ϕ的最小值()0x ϕ，同法一求证(]0,1a ∈时()00x ϕ≥，接着求证()1,2a ∈时()20ϕ<不符合题意即可得解.【小问1详解】()()()2224e 233x x f x g x x x ax a a xϕ-=-=-+-++，定义域为{}0xx ≠∣，所以()()()224e 1223x x h x x x a xϕ--==-+-'，所以()()2234e 2220x x x h x x --+=+>'.所以()h x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增.【小问2详解】法一：由题知()()22f g ≥即()()()2232120a a a a ϕ=-+=--≥，即1a ≤或2a ≥，所以1a ≤.下证当1a ≤时，()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.令()()24e x F x f x x x x -=+=-，则()()()()()222234e 224e 11,0x x x x x F x t x t x x x---+-'=-==>'，所以()()224e 11x x F x x --=-'在()1,+∞单调递增，又()20F '=，所以当()1,2x ∈时，()()0,F x F x '<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,F F x x '>递单调增，所以()()20F x F ≥=，故()f x x ≥-，要证()()f x g x ≥，只需证()x g x -≥，即证()223130x a x a a -+++≥，令()()22313G x x a x a a =-+++，则()()()222Δ(31)43561151a a a a a a a =+-+=-+=--，若115a ≤≤，则0∆≤，所以()()223130G x x a x a a =-+++≥.若15a <，则对称轴31425a x +=<，所以()G x 在()1,+∞递增，故()()210G x G a >=≥，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.法二：由题知2224e 233x x x ax a a x--≥-+--对任意的()1,x ∈+∞恒成立，即()2224e 2330x x x x ax a a xϕ-=-+-++≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.由（1）知()()224e 1223x x x x a x ϕ--=-+-'在()1,+∞递增，又()13a ϕ'=-.①若0a ≤，则()()()10,x x ϕϕϕ'>≥'在()1,+∞递增，所以()()24110e x a ϕϕ>=-+>，符合；②若0a >，则()130a ϕ=-<'，又()112224e 14e (1)(1)(1)a a a a a a a a a ϕ--⎡⎤+=-=-+⎣⎦++'，令()124e(1)a m a a -=-+，则()()()14e 21a m a a h a -=-+='，则()14e 2a h a -'=-为单调递增函数，令()0h a '=得1ln2a =-，当()0,1ln2a ∈-时()()0,h a m a ''<单调递减，当()1ln2,a ∞∈-+时()()0,h a m a ''>单调递增，又()()10,00m m ='<'，所以当()0,1a ∈时，()()0,m a m a '<单调递减，当()1,a ∈+∞时，()()0,m a m a '>单调递增，所以()()10m a m ≥=，则()12214e (1)0(1)a a a a a ϕ-⎡⎤+'=-+≥⎣⎦+，所以(]01,1x a ∃∈+，使得()00x ϕ'=，即()0200204e 12230x x x a x ---+-=，且当()01,x x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()0222min 000004e 233x x x x x ax a a x ϕϕ-==-+-++.若(]0,1a ∈，同法一可证()0222000004e 2330x x x x ax a a x ϕ-=-+-++≥，符合题意.若()1,2a ∈，因为()()()2232120a a a a ϕ=-+=--<，所以不符合题意.综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇到恒成立的问题.常见的解决思路有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数最值问题.（2）若()0f x >恒成立，就可以讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值与最值，最终转化为()min 0f x >；若()0f x <⇔()max 0f x <.（3）若()()f x g x ≥恒成立，可转化为()()min max f x g x ≥（需在同一处取得最值）.。

渝北2023-2024学年(下)高三2月月考质量监测数学试题（答案在最后）（全卷共四大题19小题总分150分考试时长120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．3．请按照题号顺序在答题卡相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合(){}{}22log 2,2x A x y x B y y -==-==∣∣，则A B = （）A.()0,2 B.[]0,2 C.()0,∞+ D.(],2-∞【答案】A 【解析】【分析】先化简集合A ，B ，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为集合(){}{}{}{}22log 22,20x A xy x x x B y y yy -==-=<===>∣∣∣∣，所以A B = ()0,2，故选：A2.已知直线a ，m ，n ，l ，且m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．若l 满足l m ⊥，l n ⊥，则下列说法中正确的是（）A.l α∥ B.l β⊥C.若a αβ⋂=，则a l ∥ D.αβ⊥【答案】C 【解析】【分析】由线面平行的判定定理和线面垂直的性质定理可判定选项A 、C ，其它易证.【详解】若a αβ⋂=，因为m ⊥平面α，a α⊂，所以m a ⊥，同理n a ⊥，过m 上一点做直线n 的平行线1n ，则1n a ⊥，设由m 和1n 确定的平面为γ，则a γ⊥，而l m ⊥，l n ⊥，同上可知l γ⊥，故a l ∥，选项C 正确；有可能l ⊂α，所以选项A 错误；由上可知a l ∥，且a β⊂，所以//l β，或l β⊂，选项B 错误；如上图，αβ⊥不一定成立，选项D 错误.故选：C3.2023年11月30日，重庆市轨道交通新开通6个站点，包括5号线中段忠恕沱、红岩村、歇台子3个站点和10号线南湖、万寿路、兰花路3个站点，为广大市民的出行提供了更多便利.某同学从中随机选择4个站点实地考察周边情况，则在红岩村被选中的条件下，10号线不少于2个站点的概率为（）A.910B.710C.35D.110【答案】B 【解析】【分析】求出在红岩村被选中的条件下共有的选法数，再求出10号线不少于2个站点的选法数，根据古典概型的计算公式即可求得答案.【详解】在红岩村被选中的条件下，还需从其它5个站点中选择3个，共有35C 10=种选法，其中10号线不少于2个站点的选法有213323C C +C 7=种，故在红岩村被选中的条件下，10号线不少于2个站点的概率为710，故选：B4.被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中C 为最大数据传输速率，单位为bit /s ；W 为信道带宽，单位为Hz ；SN为信噪比.香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当99S N =，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；当9999SN=，3000Hz W =时，最大数据传输速率记为2C ，则21C C 为（）A.13 B.52C.154D.3【答案】D 【解析】【分析】由题意可知，分别将数据代入利用对数运算法则计算出1C ，2C ，即可求得213C C =.【详解】根据题意，将99SN=，2000Hz W =代入可得()122222000log 1992000log 10020002log 104000log 10C =+==⨯=；将9999SN=，代入可得3000Hz W =()222223000log 199993000log 1000030004log 1012000log 10C =+==⨯=；所以可知222112000log 1304000log 10C C ==.故选：D5.已知πcos sin 64αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（）A.4-B.14-C.14D.4【答案】B 【解析】【分析】先根据差角公式和辅助角公式将题中所给的条件化简，求得1sin 4π6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用诱导公式得到结果.【详解】因为π13πcos sin sin sin sin cos 6222264αααααααα⎛⎫⎛⎫-+=++=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1sin 4π6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5πππ1sin sin πsin 6664ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.6.过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A.14B.4C.14-D.4【答案】A 【解析】【分析】圆的方程化为22(2)5x y -+=，求出圆心和半径，利用直角三角形求出sin BPC ∠，由二倍角公式可得cos α的值．【详解】圆22410x y x +--=可化为22(2)5x y -+=，则圆心(2,0)C ，半径为r =；设(0,2)P -，切线为PA 、PB ，则PC ==PAC △中，sinBC BPC PC ∠==，所以221cos 12sin 124BPC α⎛⎫=-∠=-⨯=．故选：A ．7.函数()5sin cos exxf x x x =+在[]2,2ππ-上的图象大致为（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值，即可排除选项.【详解】首先()()f x f x -=-，所以函数是奇函数，故排除D ，()22f ππ=，故排除B ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，故排除A ，只有C 满足条件.故选：C8.已知点F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为（）A. B.4C.3+D.6【答案】C 【解析】【分析】设直线方程为1x my =+，联立方程组得出,A B 两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出2AF BF +关于,A B 两点坐标的式子，使用基本不等式求出最小值.【详解】抛物线的焦点()1,0F ，过()1,0F 的斜率为0的直线为0y =，直线0y =与抛物线24y x =有且只有一个交点，与条件矛盾，故直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+，联立方程组241y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=，方程2440y my --=的判别式216160m ∆=+>，设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则124y y ⋅=-，2212116y y =，所以222116y y =，由抛物线的性质得22122141,1144y y AF BF y =+=+=+，22112211882123323244y y AF BF y y ∴+=+++=++≥++当且仅当5412y =±时，等号成立，故选：C.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数1z ，2z ，则下列结论正确的有（）A.2211z z =B.1212z z z z ⋅=⋅ C.1212z z z z =⋅ D.1212z z z z +=+【答案】BC 【解析】【分析】根据复数的运算性质以及模的运算公式对应各个选项逐个判断即可求解．【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+，其中,,,R a b c d ∈.对于选项A:()222222211i 2i,2i z a b a b ab z a b ab =+=-+--=，所以2ab 与2ab -不一定相等，故选项A 错误；对于选项B:因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++，所以()()21i z b z ac d ad bc ⋅=--+，因为()()()()12i i i z z c d ac bd a b ad bc ⋅-=--+=-，所以1212z z z z ⋅=⋅,故选项B 正确；对于选项C:因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++,所有12z z =因为11z z ==，所以1212z z z z =⋅,故选项C 正确；对于选项D:因为()()12i z z a c b d +=+++，所以12z z +=12z z +=+而+,故选项D 错误；故选：BC.10.已知()f x ，()g x 的定义域为R ，且()()1f x g x a +-=（0a ≠），()()11g x g x +=-，若()2f x +为奇函数，则（）A.()g x 关于1x =对称B.()g x 为奇函数C.()20f =D.()f x 为偶函数【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数奇偶性，对称性定义一一判断即可.【详解】因为()g x 的定义域为R ，且()()11g x g x +=-，所以()g x 关于1x =对称，故A 正确；但不能确定()g x 为奇函数，故B 错误；根据题意，()2y f x =+是定义域为R 的奇函数，所以()()22f x f x +=--+，令0x =，得()20f =，故C 正确；因为()()1f x g x a +-=，则()()1f x g x a -++=，结合()()11g x g x +=-，则()()1f x g x a -+-=，所以()()f x f x =-，即()f x 为偶函数，故D 正确.故选：ACD11.已知正项数列{}n a 满足112a =，()1n n a f a +=，其中()()ln e 1ln xf x x =--，则（）A.{}n a 为单调递减数列B.20232024a a <C.112+>n n a a D.123112n na a a a +++⋅⋅⋅+≥-【答案】ACD 【解析】【分析】利用导数判断单调性，放缩法证明不等式逐个选项分析即可.【详解】对于AB ，由已知得()1n n a f a +=，令()()()ln e 1ln xh x f x x x x =-=---，定义域为()0,∞+，()()e 1e 1x xxh x x -++'=-，令()e x g x x =-+1+，()e x g x 1'-+=，当,()0x ∈+∞时，此时()0g x '<恒成立，故()g x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0g x g <=，也可得e 10x x -->，即()0h x '<，故()h x 在(0,)+∞上单调递减，当0x →时，()0h x →，则()0h x <，故()f x x <，则()n n f a a <，即1n n a a +<，故{}n a 为单调递减数列，故A 正确，显然20232024a a >，故B 错误；对于C ，欲证112+>n n a a ，且由题意得()()1ln e 1ln n an n n a f a a +==--，即证()1ln e 1ln 2na n n a a -->，即证e 11ln 2n a n n a a ->，取指数得2e 1e nn aa n a ->，又易知0n a >，化简得20e 1enna a n a ->-，故证明20e 1en na a n a ->-恒成立即可，令()2e12e xx x x ϕ=--，,()0x ∈+∞，而()()2e e 10x x x x ϕ=-->'，故()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，且02n a >，故02n a ϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即20e1e n na a n a ->-恒成立，故112+>n n a a 得证，故C 正确，对于D ，由C 可知，112a =，121412a a =>，321812a a =>，L ，11212n n n a a -=>，上式相加，得123111221112212nn na a a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+++⋅⋅⋅+≥+⋅⋅⋅+=-，故123112n na a a a +++⋅⋅⋅+≥-得证，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用导数证明数列的单调性，再构造函数结合放缩法证明不等式即可.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知等差数列{}n a 满足2584a a a ++=，前n 项和为n S ，则9S =______________________．【答案】12【解析】【分析】根据条件，利用等差数列的性质及前n 项和公式，即可求出结果.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，又258534a a a a ++==，所以19959()9122a a S a +===，故答案为：12.13.已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c 与3a b +r r共线，则||b c + 的最小值为__________.【答案】2114【解析】【分析】令(3),R c t a b t =+∈，利用向量模的计算公式把||b c + 表示成t 的函数，求出函数最小值即可.【详解】因向量c与3a b +rr共线，令(3),R c t a b t =+∈，则(13)b c ta t b +=++ ，而向量a ，b为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，于是得b c +==2114=，当且仅当514t =-时取“=”，所以||b c + 的最小值为14.故答案为：1414.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,,,E F G H 分别为棱1AA ，11A D ，11A B ，11B C 的中点，且点,,,E F G H 都在球O 的表面上，点P 是球O 表面上的动点，当点P 到平面11ADD A 的距离最大时，异面直线PE 与GH 所成角的余弦值的平方为____________．【答案】224+【解析】【分析】根据条件，得出球O 是正方体1111ABCD A B C D -的棱切球，进而得出圆心和半径，再利用球的性质得出点P 的位置，利用几何关系得出PEO ∠就是异面直线PE 与GH 所成角，再计算出2OE OP ==，即可求出结果.【详解】因为点,,,E F G H 分别为棱1AA ，11A D ，11A B ，11B C 的中点，且点,,,E F G H 都在球O 的表面上，则球O 是正方体1111ABCD A B C D -的棱切球，球心为对角线1AC 2，取1A D 的中点1O ，则点P 为1O O 延长线与球O 表面的交点时点P 到平面11ADD A 的距离最大，此时112O P =+，11O E =，2211422PE O E O P =++．连接OE ，则////OE AC GH ，PEO ∠就是异面直线PE 与GH 所成角，因为2OE OP ==，所以222221cos 222224222PE OE OPPEO PE OE +-∠===+⋅+⨯所以异面直线PE 与GH 所成角的余弦值的平方为224，故答案为：224+.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，利用点,,,E F G H 都在球O 的表面上，得到球O 为正方体的棱切球，利用球的性质，将球面上的点到平面的最大距离转化成球心到平面的距离不处理，再利用几何关系来解决问题.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为12、公差为13的等差数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）令()21nn nn a b S -=，求数列{}n b 的前n 项积n T ．【答案】（1）2n a n=（2）()()6211nn T n n =++【解析】【分析】（1）先求出()()2116n n n n S ++=，再由()12n n n S S a n --=≥求出2n a n =，验证1a ，从而求解.（2）由（1）可得()()()621211n n nb n n -=++，从而可求解.【小问1详解】由()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为12、公差为13的等差数列，故()()111112336n S n n n n =+-=++，即()()()21111366n n n n n S n n ++⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，当2n ≥时，()()12116n n n n S ---=，故()()()()121121166n n n n n n n n n S S a -++---==-()2222312316n n n n n n ++-+-==，当1n =时，113216a S ⨯===，符合上式，故2n a n =；【小问2详解】由2n a n =，()()2116n n n n S ++=，故()()()()()()()221621*********nn n n a n n n nb S n n n n n ---===++++，则()()()()()()()()()126216412621··21114121211n n n nT b b b n n --⨯-=⋯=⋅++++++ ()()()()()6216211211n nn n n n -==++++.16.某面包店的面包师声称自己店里所出售的每个面包的质量均服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布．（1）已知如下结论：若()2~,X N μσ，从X 的取值中随机抽取K （*K ∈N ，2K ≥）个数据，记这K个数据的平均值为Y ，则随机变量2~,,Y N K σμ⎛⎫⎪⎝⎭请利用该结论解决问题；假设面包师的说法是真实的，那么从面包店里随机购买25个面包，记这25个面包质量的平均值为Y ，求(980)P Y <；（2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其它都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黄色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黄色面包有3个，现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包，求取出黄色面包个数的分布列及数学期望．附：随机变量η服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσημσ-≤≤+=，()220.9545P μσημσ-≤≤+=，()330.9973P μσημσ-≤≤+=．【答案】（1）0.02275（2）分布列见解析，数学期望为1724【解析】【分析】（1）根据题设求得随机变量Y 的期望和标准差，由条件算出(9801020)P η≤≤，利用正态分布图的对称性性质即可求得(980)P Y <；（2）根据题意，得出随机变量ξ的可能值，结合条件可得概率，从而可得分布列及数学期望.【小问1详解】由题意1000,50,25,K μσ===则25010025K σ==，所以2(1000,10)Y N :，于是随机变量Y 的期望为1000μ'=，标准差为10σ'=，因(9801020)0.9545P Y ≤≤=，故1(9801020)10.9545(980)0.0227522P Y P Y-≤≤-<===.【小问2详解】设取出黄色面包个数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为0，1，2．则()143154530,265287140P ξ==⨯⨯+⨯⨯=()124135449122,265287840P ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=()121132732.265287840P ξ==⨯⨯+⨯⨯=故随机变量ξ的分布列为：ξ012p5314044984073840所以数学期望为：534497317()012.14084084024E ξ=⨯+⨯+⨯=17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的正方形，且PB =，点,O Q 分别为棱,CD PB的中点，且DQ ⊥平面PBC .（1）证明：OQ //平面PAD ；（2）求二面角P AD Q --的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π4【解析】【分析】（1）取PA 中点G ，连接,GQ GD ，可证OQ //DG ，进而OQ //平面PAD ；（2）根据已知可证OQ ⊥平面ABCD ，取AB 中点E ，以,,OE OC OQ 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由两平面夹角的向量公式可解.【小问1详解】取PA 中点G ，连接,GQ GD ∴点Q 为PB 中点，GQ ∴//1,2AB GQ AB =. 底面是边长为2的正方形，O 为CD 中点，DO ∴//1,2AB DO AB =.GQ ∴//,OD GQ OD =∴四边形GQOD 是平行四边形.OQ ∴//DG ,OQ ⊄ 平面,PAD GD ⊂平面,PAD OQ ∴//平面PAD .【小问2详解】DQ ⊥ 平面,PBC BC⊂平面PBC DQ BC ∴⊥.又 底面是边长为2的正方形，,,DC BC DQ DC D ∴⊥⋂= DQ ⊂平面DCQ ，DC ⊂平面DCQ ，BC ∴⊥平面DCQ .OQ ⊂Q 平面,DCQ BC OQ ∴⊥.又CQ ⊂ 平面,DCQ BC CQ ∴⊥.2,PB QB BC QC =∴==∴= .底面是边长为2的正方形，DB DQ DQ CQ ∴=∴==，O 为CD 中点，OQ DC ∴⊥.又,,BC OQ DC BC C ⊥⋂= DC ⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，OQ ∴⊥平面ABCD .取AB 中点E ，以,,OE OC OQ 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,2,1,0,0,1,0,2,1,2O Q A B D P ----所以()()()4,0,2,2,0,0,2,1,1AP AD AQ =-=-=-，设平面PAD 法向量为(),,m x y z =，则()4200,1,020m AP x z m m AD x ⎧⋅=-+=⎪∴=⎨⋅=-=⎪⎩设平面QAD 法向量为()111,,n x y z =，则()1111200,1,120n AQ x y z n n AD x ⎧⋅=-++=⎪∴=-⎨⋅=-=⎪⎩，2cos ,2m nm n m n⋅==⋅，所以向量的夹角为π4，结合图形可知二面角P AD Q --为锐角，所以二面角P AD Q --的大小为π4.18.已知双曲线C 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点()2,2P 在C 上，点P 与C 的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为12-．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）经过点()0,1A 的直线1l 与双曲线C 交于E ，F 两点(异于点P )，过点F 作平行于x 轴的直线2l ，直线PE 与2l 交于点D ，且2DF BF =求直线AB 的斜率．【答案】（1）22124y x -=（2）12【解析】【分析】（1）由题意知双曲线焦点在y 轴上，设双曲线方程为22221y xa b-=，将()2,2P 代入双曲线方程，然后根据直线斜率公式即可得到关于22,a b 的两个方程，即可求解.（2）由题意设直线EF 方程为()()12x m y m =-≠，()11,E x y ，()22,F x y ，与双曲线联立后根据根与系数关系可以表示出12y y +与12y y ，分直线PE 的斜率是否存在两种情况进行讨论，通过直线PE 的方程表示出点D 的坐标，由已知条件可知点B 为DF 中点，进而可将点B 坐标及直线AB 斜率用12,y y 表示，通过之前求得的12y y +与12y y 即可进行求解.【小问1详解】第一步：根据点P 在双曲线上得a ，b 的关系式由题意设双曲线C 的方程为22221y x a b-=(0,0a b >>)，由点()2,2P 在C 上，得22441a b -=．①第二步：根据直线的斜率公式得a ，b 的关系式设C 的上、下焦点分别为()10,F c ，()20,F c -，则221222c c -+⋅=-，解得26c =，所以226a b +=．②第三步：联立方程解得2a ，2b 的值由①②得22a =，24b =，第四步：得双曲线C 的标准方程故双曲线C 的标准方程为22124y x -=．【小问2详解】第一步：设直线方程，联立方程得根与系数的关系由题意可知，直线EF 的斜率不为0，设直线EF 的方程为()()12x m y m =-≠，()11,E x y ，()22,F x y ，联立，得方程组()221,124x m y y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩整理得()22222240m y m y m --++=所以24m ≠，()()()2222Δ24240m m m =---+>，解得24m <，所以212222m y y m +=-，212242m y y m +=-，则()1212324y y y y +-=．第二步：用1y ，2y 表示点D 的坐标当直线PE 的斜率不存在时，易得()2,2E -，210,77F ⎛⎫-⎪⎝⎭，102,7D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，610,77B ⎛⎫⎪⎝⎭，此时直线AB 的斜率为12．当直线PE 的斜率存在时，直线PE 的方程为()112222y y x x -=-+-，所以点D 的坐标为()()2121222,2y x y y ⎛⎫--+ ⎪-⎝⎭，由()111x m y =-，可得()()()()()()()212112121112122212222222y m y y x m y y y y y y y ⎡⎤-------+-⎣⎦+=+=---，第三步：用1y ，2y 表示点B 的坐标由2DF BF =，得点B 为DF 的中点，所以()()()()()()()121212121212211123421221122222B m y y y y y y m y y y y y y x m y y y y ⎡⎤-+++-⎡⎤--+--⎣⎦=+-==⎢⎥---⎣⎦，则1221,2y y B y y ⎛⎫-⎪-⎝⎭，第四步：根据斜率的计算公式求直线AB 的斜率．所以()()212121212121211212202AB y y y y y y y k y y y y y y y -----+===-----()()1212121212312221222y y y y y y y y y y +---+-===--．故直线AB 的斜率为12．【点睛】解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；（2）强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19.已知()2e2e xx f x a x =-（其中e 2.71828= 为自然对数的底数）.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，（2）当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由；（3）()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.【答案】（1）4e 2ey x =-+（2）有一个极大值，一个极小值，理由见解析（3）()1⎡⎣【解析】【分析】（1）当0a =时，求得()()21e x f x x +'=-，结合导数的几何意义，即可求解；（2）当12a =时，求得()()e e 22x xf x x '=--，令()e 22xF x x =--，利用导数求得()F x 的单调性与min ()0F x <，得到存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，进而得到答案；（3）求得()()2e e 1x x f x a x '=--，根据题意，得到a<0，令()e 1xg x a x =--，得到()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，利用函数()f x 的单调性，求得002max 0()e 2e x xf x a x =-，再由max 1()0f x a+≤，求得01x ≤<-，再由001e x x a +=，设()1exx h x +=，利用导数求得函数()h x 的单调性，即可求解.【小问1详解】解：当0a =时，()2e x f x x =-，可得()()21e xf x x +'=-，则()()14e,12e f f =-=-'，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()2e 4e 1y x +=--，即4e 2e y x =-+.【小问2详解】解：当12a =时，()21e 2e 2x xf x x =-，定义域为R ，可得()()()2e21e e e 22xx x x f x x x =-+=--'，令()e 22xF x x =--，则()e 2xF x '=-，当(),ln2x ∞∈-时，()0F x '<；当()ln2,x ∞∈+时，()0F x '>，所以()F x 在(),ln2∞-递减，在()ln2,∞+上递增，所以()min ()ln222ln222ln20F x F ==--=-<，又由()()2110,2e 60eF F -=>=->，存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，当()1,x x ∞∈-时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；当()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减；当()2,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值.【小问3详解】解：由()2e2e xx f x a x =-，可得()()()22e 21e 2e e 1x x x x f x a x a x =-+=--'，由()1R,0x f x a ∀∈+≤，因为()211100a f a a a a++=+=≤，可得a<0，令()e 1xg x a x =--，则()g x 在R 上递减，当0x <时，可得e (0,1)x ∈，则e (,0)x a a ∈，所以()e 11xg x a x a x =-->--，则()()1110g a a a ->---=，又因为()11e0g a --=<，()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =--=且当()0,x x ∞∈-时，()0g x >，即()0f x '>；当()00,x x ∞∈+时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在()0,x ∞-递增，在()0,x ∞+递减，所以()002max 00()e 2e x x f x f x a x ==-，由()000e 10xg x a x =--=，可得001e x x a +=，由max1()0f x a+≤，可得()000000e 1e 201x x x x x e x +-+≤+，即()()00011101x x x -++≤+，由010x +<，可得2011x -≤，所以01x ≤<-，因为001e x x a +=，设()1(1)e x x h x x +=≤<-，则()0xxh x e -='>，可知()h x 在)⎡⎣上递增，()((1h x h ≥==且()()10h x h <-=，所以实数a 的取值范围是()1⎡-⎣.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若12z i =+，则()1z z +⋅=（）A.24i --B.24i-+ C.62i- D.62i+【答案】C 【解析】【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的定义求解.【详解】()()()122i 12i 244i 2i 62i z z +⋅=+-=+-+=-．故选:C .2.全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（）A.{2,3,5,7,9}B.{2,3,4,5,6,7,8,9}C.{4,6,8}D.{5}【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为()U A B ð，而全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，所以(){4,6,8}U A B ⋂=ð.故选：C 3.函数()2log 22xxx x f x -=+的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和特殊点即得.【详解】易知()2log 22xxx x f x -=+的定义域为{}0x x ≠，因为()()22log log 2222xxxxx x x f x x f x -----==-=-++，所以()f x 为奇函数，排除答案B ，D ；又()2202222f -=>+，排除选项C ．故选:A ．4.在边长为3的正方形ABCD 中，点E 满足2CE EB = ，则AC DE ⋅=（）A.3 B.3- C.4- D.4【答案】A 【解析】【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到AC ，DE，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示直角坐标系，由题意得()()()()0,3,1,0,3,0,3,3A E C D ，所以()3,3AC =- ，()2,3DE =--，所以()()()32333AC DE ⋅=⨯-+-⨯-=.故选：A.5.某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（1.5 4.7π≈）A.3045.6gB.1565.1gC.972.9gD.296.1g【答案】C 【解析】【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为R ，因为332π144πcm 3V R ==半球，所以6R =，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以((223113π6π363πcm 33V S S h =+=⋅+⋅+⨯=下上圆台，所以该实心模型的体积为3144π63π207πcm V V V =+=+=半球圆台，所以制作该模型所需原料的质量为207π 1.5207 4.7972.9g ⨯≈⨯=故选：C6.已知数列{} n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式以及前n 项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.【详解】若10a >，且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以对于任意*n ∈N ，0n S >成立，故充分性成立；若10a >，且12q =-，则()111112212111101323212n n nn n a S a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-=--⨯>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以由对于任意*n ∈N ，0n S >，推不出0q >，故必要性不成立；所以“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的充分不必要条件.故选:A7.若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )·(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为()A.4πB.2πC.34π D.54π【答案】C 【解析】【分析】根据已知不等式得到，要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a＝2的同一侧，利用正弦函数、余弦函数图象的性质进行解答即可．【详解】在同一坐标系中，作出y ＝sin x 和y ＝cos x的图象，当m ＝4π时，要使不等式恒成立，只有a＝2，当m ＞4π时，在x ∈[0，m ]上，必须要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a＝2的同一侧.∴由图可知m 的最大值是34π.故选：C.8.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（）A.()()2,04,∞-⋃+ B.()(),15,∞∞--⋃+C.()(),24,-∞-+∞ D.()()1,05,∞-⋃+【答案】D 【解析】【分析】根据()()2f x f x +=-可得()f x 关于直线1x =对称，根据()()24f f -=-可得()()240f f -==，结合函数()f x 的单调性可得函数图象，根据图象列不等式求解集即可.【详解】解：函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()f x 关于直线1x =对称，所以()()()244f f f -==-，即()()240f f -==，又()f x 在[)1,+∞上递增，所以()f x 在(),1-∞上递减，则可得函数()f x 的大致图象，如下图：所以由不等式()10xf x ->可得，20210x x -<<⎧⎨-<-<⎩或414x x >⎧⎨->⎩，解得10x -<<或5x >，故不等式()10xf x ->的解集为()()1,05,∞-⋃+.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对于实数a ，b ，c ，下列选项正确的是（）A.若a b >，则2a ba b +>> B.若0a b >>，则a b>>C.若11a b>，则0a >，0b < D.若0a b >>，0c >，则b c ba c a+>+【答案】ABD 【解析】【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可.【详解】对选项A ，因为a b >，所以022a b a b a +--=>，022a b a bb +--=>，所以2a ba b +>>，故A 正确；对选项B ，0a b >>1=>，所以a >因为1b =>b >，即a b >>，故B 正确；对选项C ，令2a =，3b =，满足11a b>，不满足0a >，0b <，故C 错误；对选项D ，因为0a b >>，0c >，所以()()()()()0a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==>+++，故D 正确．故选：ABD ．10.已知函数()2sin cos 2f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A.()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.函数()f x 的最小正周期为πC.函数()f x 的对称轴方程为()5πZ 12x k k π=+∈D.函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到【答案】AB 【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图像性质逐项判断.【详解】()211cos 21πsin cos sin 2sin 2cos 2sin 22222223x f x x x x x x x x +⎛⎫=-+=--=- ⎪⎝⎭，所以A 正确；对于B ，函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，所以B 正确；对于C ，由ππ2π32x k -=+，k ∈Z ，得5ππ122k x =+，Z k ∈，所以函数()f x 的对称轴方程为5ππ122k x =+，Z k ∈，所以C 不正确；对于D ，sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度，得ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到，所以D 不正确．故选：AB ．11.设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（）A.若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B.若数列{}n S 有最小项，则0d >C.若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D.若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列【答案】BD 【解析】【分析】取特殊数列判断A ；由等差数列前n 项和的函数特性判断B ；取特殊数列结合数列的单调性判断C ；讨论数列{}n S 是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A ：取数列{}n a 为首项为4，公差为2-的等差数列，2146S S =<=，故A 错误；对于B ：等差数列{}n a 中，公差0d ≠，211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-，n S 是关于n 的二次函数.当数列{}n S 有最小项，即n S 有最小值，n S 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，0d >，B 正确；对于C ：取数列{}n a 为首项为1，公差为2-的等差数列，22n S n n =-+，122(1)2(1)(2)210n n S n n n n S n =-+++-+---=+<＋，即1n n S S <＋恒成立，此时数列{}n S 是递减数列，而110S =>，故C 错误；对于D ：若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥，一定存在实数k ，当n k >时，之后所有项都为负数，不能保证对任意*N n ∈，均有0n S >.故若对任意*N n ∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，故D 正确．故选：BD12.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11B C ，CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.四面体11A D MN 的体积为定值B.当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C.直线MN 与平面ABCD 所成角的正切值的最小值为2D.当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形【答案】ACD 【解析】【分析】求出四面体的体积判断A ；把正方体的棱分成3类，再判断各类中的一条即可判断B ；作出线面角，并求出其正切表达式判断C ；利用线线、线面平行的性质作出截面判断D.【详解】点M ，N 在棱11B C ，CD 上运动时，M 到11A D 距离始终为2，N 到平面11A D M 的距离始终为2，所以四面体11A D MN 的体积11114222323N A MD V -=⨯⨯⨯⨯=恒为定值，A 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，棱可分为三类，分别是1111,,A A A B A D ，及分别与它们平行的棱，又1111,,A A A B A D 不与平面1A MN 平行，则在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面1A MN 平行，B 错误；正方体棱长为2，如图1，过M 作1MM BC ⊥于1M ，则有1MM ⊥平面ABCD ，于是MN 与平面ABCD 所成角即为1MNM ∠，于是11112tan MM MNM M N M N∠==，又1M N长度的最大值为MN 与平面ABCD所成角的正切值的最小值为2，C正确；如图2，取BC 中点M '，连接,AM MM ''，有11////MM BB AA '，且11MM BB AA '==，则四边形1AA MM '是平行四边形，有1//AM A M '，过N 作AM '的平行线交AD 于点E ，此时14DE DA =，则1//EN A M ，即EN 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面ABCD 的交线，连接1A E ，在BC 上取点F ，使得14CF CB =，同证1//AM A M '的方法得11//A E B F ，在棱1CC 上取点G ，使113CG CC =，连接MG 并延长交直线BC 于H ，则112CH C M CF ==，即11FH C M B M ==，而1//FH B M ，于是四边形1FHMB 是平行四边形，有11////MG B F A E ，则MG 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面11BCC B 的交线，连接NG ，则可得五边形1A MGNE 即为正方体中过1A ，M ，N 三点的截面，D 正确．故选：ABD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则=a __________．【答案】2-【解析】【分析】求导，利用()13f '=求解即可.【详解】解：因为()ln f x x a x =-，所以()1a f x x'=-，又函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则()1131af '=-=，所以2a =-．故答案为：2-14.在平面直角坐标系xOy 中，圆O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，若射线OB 平分AOC ∠，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，则点C 的坐标为__________．【答案】724,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【详解】由题意可知圆O 1=，设AOB BOC α∠=∠=，由题意可知4sin 5α=，3cos 5α=，则点C 的横坐标为271cos 212sin 25αα⨯=-=-，点C 的纵坐标为241sin 22sin cos 25ααα⨯==．故答案为：724,2525⎛⎫-⎪⎝⎭．15.已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】由题意可得()e 2e xxf x -=+，再结合基本不等式即可得答案.【详解】解：因为函数()e xy f x =+为偶函数，则()()e e x x f x f x --+=+，即()()ee xx f x f x ---=-，①又因为函数()3e xy f x =-为奇函数，则()()3e3e xx f x f x ---=-+，即()()3e 3ex xf x f x -+-=+，②联立①②可得()e 2e xxf x -=+，由基本不等式可得()e 2e x x f x -=+≥=，当且仅当e 2e x x -=时，即当1ln 22x =时，等号成立，故函数()f x 的最小值为故答案为：16.已知菱形ABCD 中，对角线BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________.【答案】28π【解析】【分析】将 ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，得到120AEC ∠=︒，在AEC △中由余弦定理求出AE 的长，进一步求出AB 的长,分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，证明Rt OGE △与Rt OFE 全等，求出OE ，再推出BD OE ⊥，连接OB ，由勾股定理求出OB ，即可得出外接球的表面积.【详解】将 ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以AEC ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以120AEC ∠=︒；设AE a =，则AE CE a ==,在AEC △中2222cos120AC AE EC AE CE =+-⋅⋅︒，即2127222a a a ⎛⎫=-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得3a =，即3AE =，所以AB ==所以ABD △与BCD △是边长为的等边三角形.分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，则113EG AE ==，113EF CE ==；即EF EG =；因为ABD △与BCD △都是边长为所以点G 是ABD △的外心，点F 是BCD △的外心；记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，根据球的性质，可得OF ⊥平面BCD ，OG ⊥平面ABD ，所以 OGE 与OFE △都是直角三角形，且OE 为公共边，所以Rt OGE △与Rt OFE 全等，因此1602OEG OEF AEC ∠=∠=∠=︒，所以2cos 60EFOE ==︒；因为AE BD ⊥，CE BD ⊥，AE CE E =I ，且AE ⊂平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以BD ⊥平面AEC ；又OE ⊂平面AEC ，所以BD OE ⊥，连接OB，则外接球半径为OB ==所以外接球表面积为2428S ππ=⨯=.故答案为：28π【点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用,n n a S 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得n T ，即可证明.【小问1详解】依题意可得，当1n =时，2111122S a a a ==+，0n a >，则11a =；当2n ≥时，22n n n S a a =+，21112n n n S a a ---=+，两式相减，整理可得()()1110n n n n a a a a --+--=，又{}n a 为正项数列，故可得11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，1d =为公差的等差数列，所以n a n =.【小问2详解】证明：由（1）可知n a n =，所以()42222n b n n n n ==-++，()44441324352n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+22222222222222132435462112n n n n n n =-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-+---++2221312n n =+--<++，所以3n T <成立.18.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c )sin a C C =-.（1）求A ；（2）若8a =，ABC ABC 的周长.【答案】（1）2π3（2）18【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用三角形的面积公式可得出182b c bc ++=，结合余弦定理可求得b c +的值，即可求得ABC 的周长.【小问1详解】解：因为)sin aC C =-，)sin sin B AC C =-，①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin sin sin A C A C =-，又因为A 、()0,πC ∈，sin 0C ≠sin 0A A =-<，所以tan A =，又因为()0,πA ∈，解得2π3A =.【小问2详解】解：由（1）知，2π3A =，因为ABC 内切圆半径为所以()11sin 22ABC S a b c A =++⋅△，即()82b c ++=，所以，182b c bc ++=②，由余弦定理2222π2cos3a b c bc =+-⋅得2264b c bc ++=，所以()264b c bc +-=③，联立②③，得()()22864b c b c +-++=，解得10b c +=，所以ABC 的周长为18a b c ++=.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BC B C O = ，12BC BB ==，1AO =，160B BC ∠=︒，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）求证：1AB B C ⊥；（2）求二面角111A B C A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质和判断定理可得1B C ⊥平面1ABC ，从而即可证明1AB B C ⊥；（2）建立以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴的空间坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：因为AO ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1AO B C ⊥，因为1BC BB =，四边形11BB C C 是平行四边形，所以四边形11BB C C 是菱形，所以11BC B C ⊥．又因为1AO BC O ⋂=，AO ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，所以1B C ⊥平面1ABC ，因为AB ⊂平面1ABC ，所以1AB B C ⊥．【小问2详解】解：以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，则)B，()10,1,0B ，()0,0,1A，()1C ，所以()10,1,1AB =-，)11C B =，)110,1A B AB ==-，设平面11AB C 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则11111111100n AB y z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11x =，可得1y =1z =，所以(11,n =u r，设平面111B C A 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则211221112200n A B z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取21x =，可得2y =，2z =所以(21,n =，设二面角111A B C A --的大小为θ，因为1212121,1,1cos ,7n n n n n n ⋅⋅〈〉===⋅，所以sin 7θ==，所以二面角111A B C A --的正弦值为7．20.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF 交椭圆于B点，且满足||2||AF FB =，||2AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．【答案】（1）22132x y+=；（2）【解析】【分析】（1）由已知得b =，由||2||AF FB =且||2AB =，知||AF a ==，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）直线AF的方程为0y +-=，与椭圆联立求出3(,22B -，求出点,A B 到直线(0)y kx k =>的距离为1d =，2d =y kx =与椭圆方程结合弦长公式求出CD ，求出四边形ACBD 的面积121()2S CD d d =+，整理化简利用二次函数求出最值.【详解】（1）A Q 为椭圆C上一点，b ∴=又||2||AF FB =，||2AB =可得，||AF =，即a =所以椭圆C 的标准方程是22132x y +=.（2）由（1）知(1,0)F，A ，∴直线AF的方程为0y +-=，联立221320x y y ⎧+=⎪+-=，整理得：22462(3)0x x x x -=-=，解得：1230,2x x ==，∴3(,22B -设点A，3(,22B -到直线(0)y kx k =>的距离为1d 和2d ，则1d =，2d =直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，联立22132x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，整理得：22(32)6k x +=，解得：34x x ==34CD x ∴=-=∴设四边形ACBD 面积为S ，则121()2S CD d d =+=(0)2k =>.设)t k =++∞，则k t =-363636222S ∴==⋅⋅362=当18t =，即3t k ===+3k =时，四边形ACBD面积有最大值.【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.如图所示，A BCP -是圆锥的一部分(A 为圆锥的顶点)，O 是底面圆的圆心，23BOC π∠=，P 是弧BC 上一动点（不与B 、C 重合），满足COP θ∠=．M 是AB 的中点，22OA OB ==．（1）若//MP 平面AOC ，求sin θ的值；（2）若四棱锥M OCPB -的体积大于14，求三棱锥A MPC -体积的取值范围．【答案】（1）34（2）3,1212⎛ ⎝⎦【解析】【分析】（1）取OB 的中点N ，连接MN ，证明出//NP OC ，可得出3ONP π∠=，OPN θ∠=，然后在ONP △中利用正弦定理可求得sin θ的值；（2）计算得出四边形OCPB的面积3sin 264S πθ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，结合20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得θ的取值范围，设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，计算得出2361133sin 2324V V πθ⎛⎫==+-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，结合正弦型函数的基本性质可求得结果.【小问1详解】解：取OB 的中点N ，连接MN ，M 为AB 的中点，则//MN OA ，MN ⊄ 平面AOC ，AO ⊂平面AOC ，则//MN 平面AOC ，由题设，当//MP 平面AOC 时，因为MP MN M ⋂=，所以，平面//MNP 平面AOC ，NP ⊂ 平面MNP ，则//NP 平面AOC ，因为NP ⊂平面OBPC ，平面OBPC 平面AOC OC =，则//NP OC ，所以，3ONP BOC ππ∠=-∠=，OPN COP θ∠=∠=，在OPN 中，由正弦定理可得sin sin3ON OP πθ=，故sin3sin 4ON OP πθ==.【小问2详解】解：四棱锥M OCPB -的体积1111323V OA S S =⋅⋅=，其中S 表示四边形OCPB 的面积，则112111sin sin sin cos sin 2232222S OP OC OP OB πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅-=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333sin 4426πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，1131sin 3664V S πθ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，可得3sin 62πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，203πθ<<，则5666πππθ<+<，故2363πππθ<+<，解得,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，由于M 是AB 的中点，则231112sin 2623V V OA S OB OC π⎛⎫==⋅-⋅ ⎪⎝⎭133333sin ,32412126πθ⎛⎛⎫=+-∈ ⎢ ⎪ ⎝⎭⎣⎦⎝⎦.22.混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为()01p p <<．目前，我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数()Nf X KX K=+，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．（1）证明：()E f X N ≥⎡⎤⎣⎦；（2）若4010p -<<，1020K ≤≤．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．公众号：高中试卷君【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由均值的性质及基本不等式即可证明.（2）由二项分布的概率及条件概率化简即可证明.【小问1详解】由题意可得X 满足二项分布(),X B N p ，由()()E aX b aE X b +=+知，()()N N E f X K X E pN N K K K =+=+⋅≥⎡⎤⎣⋅⎦，当且仅当1Kp K=时取等号；【小问2详解】记P P =（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），i P P =（混管中恰有i 例阳性）=()C 1K i i i K p p --，0,1,,i K = ，令()e 1xh x x =--，33210210x ---⨯<<⨯，则()e 1xh x '=-，当()3021,0x -⨯∈-时，()0h x '<，()h x 为单调递减，当()300,21x -∈⨯时，()0h x '>，()h x 为单调递增，所以()()00h x h ≥=，且()()332103210e 21010h ---⨯--⨯=--⨯-≈，()()332103210e 21010h --⨯-⨯=-⨯-≈，所以当33210210x ---⨯<<⨯，e 10x x --≈即e 1x x ≈+，两边取自然对数可得()ln 1x x ≈+，所以当4010p -<<，1020K ≤≤时，所以()()ln 11e e 1K K p Kp p Kp ---=≈≈-，则()()()()110111111111K K Kp K p Kp p P P K p P Kp p ---⎡⎤-⎣⎦==≈=--≈---．故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.。

2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}ln A x y x ==，{}21B y y x ==+，则()R A B ⋂=ð（ ）A. ()0,1 B. (]0,1 C. [)0,1 D. []0,12. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()2cos e ex x x x f x -+=-的大致图像为（ ）A. B.C. D.4. 设5log 2a =，ln 2b =，0.20.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b<c<aD. c a b <<5. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，5a ，33a ，4a 成等差数列，则84S S 的值为（ ）A. 116 B. 117 C. 16D. 176. 已知35a b =且211a b +=，则a 的值为（ ）A. 3log 15 B. 5log 15 C. 3log 45 D. 5log 457. 我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，////AB CD EF ，10AB =，8CD =，6EF =，等腰梯形ABCD 和等腰梯形ABFE 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（ ）A. 84B. 66C. 126D. 1058. 记()n a τ表示区间[],n n a 上的偶数的个数．在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a τ=（ ）A. 39B. 40C. 41D. 429. 将函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（ ）A. ()g x 为奇函数 B. ()3πcos 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()g x 最小正周期为2πD. ()g x 的单调递增区间为5πππ,π88k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 设i 是虚数单位，()12a i i bi +=+（,a b ∈R ），则b a -=_____．11. 在5223x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是______．12. 已知直线():20l y kx k =->与圆221x y +=相切，且被圆()()2240x y a a ++=>截得的弦长为k =______；=a ______．13. 锐角α，β满足2π23αβ+=，tan tan 22αβ=-α和β中的较小角等于______．14. D 为ABC 的边AB 一点，满足2AD DB = ．记CA a = ，CB b = ，用a ，b 表示CD = ______；若的的1CD = ，且ABC 的面积为98，则ACB ∠的最小值为______．15. 若二次函数()()2121f x ax b x a =+---在区间[]2,3上存在零点，则22a b +的最小值为______．三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC BB ===，D 为棱AB 中点．M 为线段1BC 的中点．（1）求证：1//BC 平面1ACD ；（2）求平面1ACD 与平面1C DC 的夹角的余弦值；（3）求点M 到平面1ACD 的距离．18. 椭圆22221x y a b+=的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为()0,2C ，左、右焦点分别为1F ，2F ，且1AF ，12F F ，1F B 成等比数列．（1）求椭圆的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线CM ，CN 分别与x 轴交于P ，Q 两点．若CMN CPQ S S =△△，求直线l 的斜率．19. 已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，数列{}n b 是公比不为1的等比数列，满足122a a b +=，233a a b +=，454a a b +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；的（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n d 满足11d =，1n n n d d b ++=，记12nk n i k d T b ==∑．是否存在整数m ，使得对任意*n ∈N 都有212n n nd mT b ≤-<成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．20. 已知函数()2e xf x a x =-，0a >且1a ≠．（1）当e a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若1a >，且()f x 存在三个零点1x ，2x ，3x ．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）设123x x x <<，求证：1233x x x ++>．的2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．【10题答案】【答案】3．【11题答案】【答案】720【12题答案】【答案】①. ②. 4【13题答案】【答案】π6##30︒【14题答案】【答案】 ① 1233a b + ②. π2【15题答案】【答案】125三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【16题答案】【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114-【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2； （3.【18题答案】【答案】（1）22154x y += （2）12-或0【19题答案】【答案】（1）21n a n =-，2n n b =（2）()12326n n S n +=-⋅+（3）存在5m =，理由见解析【20题答案】【答案】（1）e e 0x y -+=（2）（i）1a <<，（ii ）证明见解析.。

卜人入州八九几市潮王学校屯溪第一2021届高三上学期第二次月考数学试题〔理科〕1.集合，，那么〔〕....【答案】A【解析】由解得或者，知，，所以，应选A.2.复数满足〔为虚数单位〕，那么复数在复平面内对应的点位于〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】由得：，故对应的点在第三象限，选C.3.数列满足，，且．假设，那么正整数〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】由知，数列是等差数列，首项是，公差是，所以，所以可化为，解得，应选C.4.设点是双曲线上的一点，分别是双曲线的左、右焦点，,且，那么双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】在RT中，设，那么由勾股定理得：，所以，而由双曲线定义知，，离心率，应选D.5.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,,，，那么该四面体的正视图的面积不可能为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是：〔1，0，1〕，〔1，1，0〕，〔0，1，1〕，〔0，0，0〕，几何体的直观图如图，是以正方体的顶点为顶点的一个正四面体，其正视图的最大投影面是在x-O-y或者x-O-z或者y-O-z面上，投影面是边长为1的正方形，∴正视图的最大面积为1，∴不可能为,应选B.试题点睛：本小题主要考察空间线面关系、几何体的三视图等知识，考察数形结合的数学思想方法，以及空间想象才能、推理论证才能和运算求解才能，是中档题．6.公元263年前后，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率准确到小数点后面两位的近似值4，这就是著名的徽率．上图是某学生根据刘徽的割圆术设计的程序框图，那么输出的值是〔参考数据：，〕A.48B.36C.24D.12【答案】A【解析】试题分析：由程序框图，值依次为：；；，此时满足，输出，应选B.考点：程序框图.【技巧点睛】解题时要注意两种循环构造的区别，这也是容易出错是地方：当型循环与直到型循环.直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环〞；而当型循环那么是“先判断，后循环，条件满足时执行循环〞；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反.7.设是由轴，直线和曲线围成的曲边三角形区域，集合，假设向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，那么实数的值是()A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意，区域Ω即边长为1的正方形的面积为1×1=1，区域A即曲边三角形的面积为，假设向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A内的概率是，那么有，解可得，，应选D．8.假设把函数的图象向左平移个单位，所得到的图象与函数的图象重合，那么的值可能是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．而，∴，观察所给的选项，只有满足条件，应选A．9.设点在不等式组表示的平面区域上，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图：，那么z的几何意义是区域内的点到点D〔1，0〕的间隔的平方，由图象知D到直线2x-y=0的间隔最小，此时，所以，应选D.10.对于平面向量：假设，那么与的夹角为锐角；：“〞是“∥〞的充要条件；：当为非零向量时，“〞是“〞的必要不充分条件；：假设，那么.〔〕A. B. C. D.【答案】B：当时,向量与的夹角可能为：当时,那么向量中至少有一个零向量或者故；当时,那么，：当时,成立；当,向量与为非零向量时,与反向,未必有：假设,那么，正确，应选B.考点：1、向量的根本概念与性质；2、充分条件与必要条件.11.函数的图象在点处的切线为，假设也与函数，的图象相切，那么必满足〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】设与函数，的图象的切点为,那么由得,所以.令,那么由零点存在定理得,选D.点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线〞与“在点P处的切线〞的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进展转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，那么要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联络起来求解.12.抛物线的焦点为，点在此抛物线上，且，弦的中点在其准线上的射影为,那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知，根据重要不等式得：所以，即的最大值为，应选A.13.函数，那么______.【答案】；【解析】因为，所以，又，所以，因为，所以，故填.14.的展开式中各项系数的和为，那么该展开式中常数项为______.【答案】；【解析】试题分析：令可得，即，那么，分别求出的展开式中的含和和的项的系数分别为，所以展开式中的常数项为.考点：二项式展开式的通项公式及待定系数法．15.在直角梯形中，,,将直角梯形沿折叠成三棱锥，当三棱锥的体积取最大值时，其外接球的体积为__________．【答案】；【解析】如图：，∴∴，取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，∵三棱锥体积最大时，∴平面DCA⊥平面ACB，∴OB=OA=OC=OD，∴OB=1，就是外接球的半径为1，此时三棱锥外接球的体积：．16.用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：的因数有，那么；的因数有，那么，记数列的前项和为，那么______.【答案】．【解析】令，由的定义易知，且假设为奇数那么，令，那么即，分别取n为1，2，…，n并累加得又，∴．∴．故答案为：．试题点睛：此题考察了等比数列的通项公式与求和公式、递推关系，考察了分类讨论方法、推理才能与计算才能，属于中档题．17.如图，正三角形的边长为，分别在三边上，且为的中点．，．〔Ⅰ〕当时，求角的大小；〔Ⅱ〕求的面积的最小值以及使得取最小值时的值．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】试题分析：此题主要考察正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等根底知识，考察学生的分析问题解决问题的才能、转化才能、计算才能.第一问，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示DE，在中，利用正弦定理，用表示DF，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的DF和DE代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定S的最小值.在△BDE中，由正弦定理得，在△ADF中，由正弦定理得．4分由tan∠DEF＝，得，整理得，所以θ＝60°．6分〔2〕S＝DE·DF＝．10分当θ＝45°时，S取最小值．12分考点：正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式.18.某超为理解顾客的购物量及结算时间是等信息，安排一名员工随机搜集了在该超购物的位顾客的相关数据，如下表所示：一次购物量至件至件至件至件件及以上顾客数〔人〕结算时间是〔分钟/人〕这位顾客中一次购物量超过件的顾客占％．〔Ⅰ〕确定的值，并求顾客一次购物的结算时间是X的分布列与数学期望；〔Ⅱ〕假设某顾客到达收银台时前面恰有位顾客需结算，且各顾客的结算互相HY，求该顾客结算前的等候时间是不超过分钟的概率．〔注：将频率视为概率〕【答案】〔Ⅰ〕所以的分布列为的数学期望为．〔Ⅱ〕．【解析】试题分析：〔Ⅰ〕根据总人数有100人，那么，由100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%，那么知．根据这两式得x＝15，y＝20，由表格可得X的可以取值为：1,,2,,3；该超所有顾客一次购物的结算时间是组成一个总体，所搜集的100位顾客一次购物的结算时间是可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率，即可得到分布列与期望.〔Ⅱ〕由于该客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，那么该顾客结算前的等候时间是不超过分钟的情况为〔1、1〕，〔1、〕，〔、1〕三种情况，那么按照各顾客的结算互相HY，有P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝)＋P(X1＝)×P(X2＝1)＝×＋×＋×＝．试题解析：〔Ⅰ〕由，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20．该超所有顾客一次购物的结算时间是组成一个总体，所搜集的100位顾客一次购物的结算时间是可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X＝1)＝＝，P(X＝)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝)＝＝，P(X＝3)＝＝．X的分布列为X 1 2 3PX的数学期望为E(X)＝1×＋×＋2×＋×＋3×＝．〔Ⅱ〕记A为事件“该顾客结算前的等候时间是不超过分钟〞，X i〔i＝1，2〕为该顾客前面第i位顾客的结算时间是，那么P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝)＋P(X12＝1)．由于各顾客的结算互相HY，且X1，X2的分布列都与X的分布列一样，所以P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝)＋P(X1＝)×P(X2＝1)＝×＋×＋×＝．．考点：1.离散型随机变量的分布列与数学期望;2.以及互相HY事件的概率的求法.19.如图，四棱锥中，底面是的菱形，侧面是边长为的正三角形，且与底面垂直,为的中点．〔Ⅰ〕求证：平面；〔Ⅱ〕求二面角的余弦值．【答案】〔Ⅰ〕证明见解析；〔Ⅱ〕.【解析】略20.椭圆：过点，且离心率．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕椭圆长轴两端点分别为，点为椭圆上异于的动点，直线：与直线分别交于两点，又点，过三点的圆是否过轴上不同于点的定点？假设经过，求出定点坐标；假设不存在，请说明理由．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕存在，定点为．【解析】试题分析：〔1〕运用椭圆的离心率公式和点代入椭圆方程，由a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；〔2〕设，由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件，计算即可得证．试题解析：〔Ⅰ〕由，解得，故椭圆的方程为．〔Ⅱ〕设点，直线的斜率分别为，那么．又：，令得，：，令得，那么，过三点的圆的直径为,设圆过定点，那么，解得或者〔舍〕．故过三点的圆是以为直径的圆过轴上不同于点的定点．试题点睛：此题考察椭圆的方程和性质，主要考察离心率公式的运用，同时考察直线的斜率公式的运用，圆的直径所对的圆周角为直角，属于中档题涉及定点定直线等问题时，一般先假设存在，然后根据条件推导，注意直线过定点的直线系形式．21.设函数.〔Ⅰ〕证明：当时，≥；〔Ⅱ〕设当≥时，≤成立，务实数的取值范围.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕.【解析】本试题主要是考察了运用导数在研究函数的综合运用，证明不等式的恒成立问题。

高三第二次月考数学试卷（卷面150分,考试时间120分钟）卷Ⅰ一. 选择题:(共12小题,每小题5分共60分,每小题只有一个正确选项)1. 定义{}A B x x A x B -=∈∉且,若{}1,2,3,4,5M =,{}2,3,6N =,则N M -等于 A. M B. N C. {}1,4,5 D.{}62. 非空数集{}1,2,3,4,5S ⊆ ,且S 还满足条件:若,a S ∈则 6a S -∈ ,则符合上述条件的S 集合的个数为A. 4B. 5C. 6D. 73. 设集合{}22,A x x x R =-≤∈,{}2,12B y y x x ==--≤≤, 则()R C A B ⋂等于 A. R B. {}0x x R x ∈≠且 C. {}0 D. ∅4. 已知函数()2f x x bx c =++ 对任意实数x 都有()()1f x f x +=- ,则下面不等式成立的是 A. ()()()202f f f - B. ()()()220f f f - C. ()()()022f f f - D. ()()()202f f f -5. 函数()3,f x x x x R =+∈,当02πθ≤≤时,()()sin 10f m f m θ+-恒成立,则实数m 的取值范围是A. ()0,1B. (),0-∞C. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. (),1-∞6. 数列{}n a 为等差数列,n S 为其n 前项的和,147a a a ++=21 ,3699a a a ++=,则9S 等于A. 15B. 40C. 45D. 50 7. 在等比数列{}n a 中,7114146,5a a a a ⋅=+=,则2010a a = A.2332或 B. 23 C. 32 D. 131或-2 8. 化简()11111121231234123n N n*+++++∈+++++++++的结果是 A. 1n n + B.21n n + C. 221n n + D. 21nn +9.已知[)1sin cos ,,tan 5αααπα+=∈且0,则的值为A. 43-B. 34-C. 34D. 4310. 函数()()sin 0y x ωω=在区间[]0,1上存在对称轴,则ω的最小值为A.4π B. 2πC. πD. 2π 11. 如果4x π≤ , ,那么函数()2cos sinf x x x =+的最小值是A.12 B. 12- C. 1- D. 12. 函数()f x 在R 上是增函数, ()0,2A ,()4,2B 是其图象上的两个点,则不等式()22f x +的解集是A. ()(),22,-∞-⋃+∞B.()2,2-C. ()(),04,-∞+∞D.()0,4二.填空题:(共4小题,每小题5分,共20分,请将答案直接填在题中的横线上)13.若y = 的定义域为R ，则a 的取值范围 . 14.已知()()l o g 2a fx a x =-在[]0,1上是减函数,则a 的取值范围是 .15. 设数列{}n a 的通项为()27n a n n N *=-∈,则1215a a a +++=16. 在ABC ∆3中，已知sinB=5,5cos 13A =,则cos C = .三.解答题:(共6小题,共70分,解答应写出文字说明,推导过程或演算步骤)17.(本题满分10分)已知向量()()sin ,0,cos ,1a x b x →→==，其中203xπ，求12a →的取值范围。

深圳外国语学校2024-2025学年度高三第一学期第二次月考数学试题试卷共4页，卷面满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.已知命题，则命题的否定为（ ）A. B.C. D.3.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C.D.4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.5.设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ）A.1B.2C.3D.46.已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为{{},21x A xy B y y ====+∣∣A B ⋂=(]1,2(]0,1[]1,2[]0,2:1,1p x x ∀>>p 1,1x x ∀><1,1x x ∀≤>1,1x x ∃>≤1,1x x ∃≤≤()()3x x a f x -=30,2⎛⎫⎪⎝⎭a (),1∞--[)3,0-(]0,1[)3,∞+()1cos ex x xf x -=a b c ､､2240a ab b c -+-=c ab 236a b c+-()f x (),e xy f x =+R ()3e xy f x =-()ln3f（ ）A.B.3C.D.7.已知三倍角公式，则的值所在的区间是（ ）A. B. C. D.8.已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ）A.B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若函数定义域为，则函数的定义域为B.若定义域为的函数值域为，则函数的值域为C.函数与的图象关于直线对称D.成立的一个必要条件是10.若，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B.C. D.11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）A.的图象关于点对称B.是以8为周期的周期函数C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.731031133sin33sin 4sin ααα=-sin10 11,43⎛⎫⎪⎝⎭11,54⎛⎫ ⎪⎝⎭11,65⎛⎫ ⎪⎝⎭11,76⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=(),x f x ()g x m ()0,2()0,8[)2,8(),0∞-()f x []1,3()21f x +[]0,1R ()f x []1,5()21f x +[]0,215xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭5log y x =-y x =a b >1a b ->log 1a b >a b <1ab a b+>+11a b a b ->-11a b a b+<+R ()f x ()g x ()()21f x g x ++-=()f x ()2,1()f x ()()8g x g x +=20241(42)2025k f k =-=∑12.已知函数，则__________.13.已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是__________.14.若，则的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若函数有三个不同零点，求c 的取值范围.16.（本小题满分15分）记的角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若点是边上一点，且，求的值.17.（本小题满分15分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，已知为棱的中点，在底面的投影为线段的中点，是棱上一点.（1）若，求证：平面；（2）若，确定点的位置，并求二面角的余弦值.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）函数与的图像关于对称，求的解析式；()cos2f x x =066lim x f x f xππ∆→⎛⎫⎛⎫+∆-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∆()223,2(06log ,2a x x x f x a x x ⎧-++≤=>⎨+>⎩1)a ≠()f x (],4∞-a ()e 1xa xb ≥++()1a b +()32.f x x ax bx c =+++().y f x =()()0,0f 4a b ==()f x ABC V ,,A B C ,,a b c sin sin sin A B Cb c a b-=++A D BC ,2AB AD CD BD ⊥=sin ADB ∠P ABCD -ABCD π3ABC ∠=E AD P H EC M PC 2CM MP =PE ∥MBD ,PB EM PC EC ⊥=M B EM C --()()()2ln 1cos 2g x x x =--+--()f x ()g x 1x =-()f x（2）在定义域内恒成立，求a 的值；（3）求证：，.19.（本小题满分17分）设集合，其中.若集合的任意两个不同的非空子集，都满足集合的所有元素之和与集合的元素之和不相等，则称集合具有性质.（1）试分别判断在集合与是否具有性质P ，不必说明理由；（2）已知集合具有性质P .①记，求证：对于任意正整数，都有；②令，，求证：；（3）在（2）的条件下，求的最大值.()1f x ax -≤2111ln 42nk n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑*n ∈N {}()12,,,3n S a a a n =≥ *,1,2,,i a i n ∈=N S A B ､A B S P {}11,2,3,4S ={}21,2,4,8S ={}12,,,n S a a a = 121kik i aa a a ==+++∑L k n ≤121kk i i a =≥-∑12i i i d a -=-1kk ii D d==∑0k D ≥12111na a a +++深圳外国语学校2025届高三第二次月考数学答案一､选择题：题号1234567891011答案ACDADDCBACBDABC二､填空题12. 13.14.三､解答题15.解：（1）由，得.因为，，所以曲线在点处的切线方程为.（2）当时，，所以.令，得，解得或.与在区间上的情况如下：所以，当且时，⎫⎪⎪⎭e2()32f x x ax bx c =+++()232f x x ax b =++'()0f c =()0f b '=()y f x =()()0,0f y bx c =+4a b ==()3244f x x x x c =+++()2384f x x x =++'()0f x '=23840x x ++=2x =-23x =-()f x ()f x '(),-∞+∞x(),2-∞-2-22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭23-2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x Zc]3227c -Z0c >32027c -<存在，，，使得.由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点.16.（1）由及正弦定理得，整理得，所以由余弦定理得：因为，所以.（2），记，则.在中，.①在中，由正弦定理得.②由①②及得，解得.由，解得.17.（1）设，因为底面是边长为2的菱形，所以，对角线BD 平分，又为棱的中点，所以，在中，根据角平分线性质定理得，又，所以，所以，，平面，且平面平面.()14,2x ∈--222,3x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()1230f x f x f x ===()f x 320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()3244f x x x x c =+++sin sin sin A B C b c a b -=++a b cb c a b-=++222a b c bc =++2221cos ,22b c a A bc +-==-()0,πA ∈2π3A =π6DAC BAC BAD ∠=∠-∠=ADB α∠=π6C DAC αα∠=-∠=-Rt ABD V cos AD BD α=ADC V ππsinsin 66AD CDα=⎛⎫- ⎪⎝⎭2CD BD =cos 2ππsin sin 66αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭4=tan α=22πtan cos 1,0,2αααα⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭sin α=sin ADB ∠=BD CE N ⋂=ABCD CD AB =ADC ∠E AD 2CD AB DE ==ADC V 2CN CDNE DE==2CM MP =2CM MP =2CN CMNE MP==MN ∴∥PE PE ⊄MBD MN ⊂,MBD PE ∴∥MBD（2）平面，且平面，，因为，所以，在中，，，所以是等边三角形，又为棱的中点，所以，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面ABCD ，平面，又平面，，又，平面，平面，且平面，.因为P 在底面的投影H 为线段的中点，所以，又所以为等边三角形，故为中点，所以在底面上的投影为的中点.在中，，，以为原点，分别以为轴，以过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，所以，，设是平面的一个法向量，则，令，则，即，平面，是平面的一个法向量，PH ⊥ ABCD BC ⊂ABCD PHBC ∴⊥π3ABC∠=2π3BCD ∠=ACD V CD AB =π3ABC ∠=ACD V E AD BC CE ⊥PH ⊥ ABCD PH⊂PCE PCE ⊥ABCD PCE ⋂ABCD =CE BC ⊂BC ∴⊥PEC EM ⊂PEC BC EM ∴⊥PB EM ⊥ ,,PB BC B PB BC ⋂=⊂PBC EM ∴⊥PBC PC ⊂PBC EM PC ∴⊥EC PC PE =PC CE =PCE V MPC M ABCD CH CDE V CE ===3,2CEAD PH ⊥== C ,CB CE ,x y C ABCD z ()()()30,0,0,2,0,0,,4C B E M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()32,,4EB ME ⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭(),,n x y z = EBM 0203004n EB x n ME y z ⎧⋅=⇒=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩ 2y =x z ==2,n =BC ⊥ PEC ()2,0,0CB ∴=PEC因为二面角是一个锐角，所以二面角18.（1）依题意，设图像上任意一点坐标为，则其关于对称的点在图像上，则，则，故，；（2）令，，则在在恒成立，又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，，，下证当时，在恒成立，令，，当，，在上单调递增，当，，在上单调递减，故，在上恒成立，又，则时，恒成立，综上，.（3）由（2）可知：，则，即，则，又由（2）可知：在上恒成立，则在上恒成立且当且仅当时取等，令，，则，cos ,n CB n CB n CB⋅∴===⋅B EMC --B EM C --()f x ()00,x y 1x =-()002,x y --()g x 000()(2)y f x g x ==--0000()(2)2ln(1)cos f x g x x x =--=++0(1)x >-()()2ln 1cos f x x x =++()1x >-()()()12ln 1cos 1h x f x ax x x ax =--=++--()1x >-()0h x ≤(1,)x ∈-+∞()00h =()h x (1,)x ∈-+∞0x =()h x 2()sin 1h x x a x '=--+(0)202h a a '=-=⇒=2a =()0h x ≤(1,)x ∈-+∞()ln(1)x x x ϕ=+-1()111x x x x ϕ'=-=-++()1,0x ∈-()0x ϕ'>()x ϕ()1,0-(0,)x ∈+∞()0x ϕ'<()x ϕ()0,∞+()()00x ϕϕ≤=()ln 1x x ≤+(1,)-+∞cos 1x ≤2a =()()()()12ln 1cos 10h x f x ax x x x ⎡⎤=--=+-+-⎦≤⎣2a =()12f x x -≤11111222f k k ⎛⎫⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122f k k⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭211111122122nk n f k n n n =+⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑ ()ln 1x x ≤+()1,-+∞ln 1x x ≤-()0,∞+1x =(0,1)1nx n =∈+*N n ∈1ln1111n n n n n -<-=+++即，则，综上，，即证19.（1）对于集合，因为，故集合的元素和相等，故不具有性质.对于，其共有15个非空子集：，，各集合的和分别为：，，它们彼此相异，故具有性质.（2）①因为具有性质，故对于任意的，也具有性质，否则有两个非空子集，它们的元素和相等，而也是的子集，故不具有性质，矛盾.注意到共有个非空子集，每个子集的元素和相异，且子集的和最大为，最小为，故.②因为，故，由①可得，故.（3）不妨设，设，则，由（2）可得，且.而11ln ln ln(1)ln 11n n n n n n n +<-==+-++111ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)122n n n n n n n n n+++<+-++-+++--++ ln(2)ln ln 2n n =-=21112ln 2ln 42nk n f k =+⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑{}11,2,3,4S =1423+=+{}{}1,4,2,31S P {}21,2,4,8S ={}{}{}{}{}{}{}{}{}{}8,,,,,,1,2481,21,41,82,42,,,84,{}{}{}{}{}1,2,41,2,81,4,82,4,81,2,4,8,,,,59610121,2,4,8,3,,,,,7,11,13,14,152S P {}12,,,n a a a P k {}12,,,k a a a P {}12,,,k a a a ,A B ,A B {}12,,,n a a a {}12,,,n a a a P {}12,,,k a a a 21k -12k a a a +++ 1a 1221kk a a a +++≥- 12i i i d a -=-()112122k k k D a a a -=+++-+++ ()1221k k a aa =+++-- ()12210kk a a a +++--> 0k D ≥12n a a a <<< 1121112122111112112222n n n n n n a a a a a a a a a ---⎛⎫+++-+++=+++ ⎪--⎝⎭- 112i i ic a -=10i i c c +->12i i i d a -=-10kk ii D d==≥∑112112211222122n n n n n n a a a c d c d c d a a a ---+++=+++-- ()()()112213321n n n c D c D D c D D c D D -=+-+-++-，故，当且仅当时等号成立，即此时任意的正整数，即故此时时等号成立，故的最大值为.()()()121232110n n n n n c c D c c D c c D c D --=-+-++-+≥ 111211*********n n n a a a --+++≤+++=- 120n D D D ==== k 1221kk a a a ++=-1111,222kk k k a a --==-=12k k a -=12111n a a a +++ 1122n --。

2023届福建省龙岩第一中学高三上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知{}1,0,1,3,5A =-，{}230B x x =-<，则R A B =ð（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,1,3-C ．{}1,0,1-D ．{}3,5【答案】D【分析】由题意求出B ，R B ð，由交集的定义即可得出答案.【详解】因为{}230B x x =-<32x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭， 所以R B =ð32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭，所以A R B =ð{}3,5.故选：D. 2．若5:11xp x -≤+，则p 成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．21x -<≤- B ．12x -≤≤ C ．15x ≤≤ D ．25x <<【答案】D【分析】先求出分式不等式的解集，进而结合选项根据充分不必要条件的概念即可求出结果. 【详解】因为511xx -≤+，即51011x x x x -+-≤++，因此4201x x -≤+等价于()()42+10+10x x x -≤≠⎧⎨⎩，解得2x ≥或1x <-，结合选项可知p 成立的一个充分不必要条件是25x <<， 故选：D.3．已知函数()()2ln 16f x x x =++-，则下列区间中含()f x 零点的是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】C【分析】分别求出()0f 、()1f 、()3f 、()4f 的值，即可判断其正负号，利用零点存在定理则可选出答案.【详解】由题意知：()0ln1660f =-=-<，()231ln2+16ln3+462ln 32ln0e f f =-<-==-=<（）， ()ln3+96ln3303f =-=+>，()ln4+166ln 40041f =-=+>. 由零点存在定理可知()f x 在区间()2,3一定有零点. 故选：C.4．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122l l =，则12S S =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】通过弧长比可以得到OA 与OB 的比，接着再利用扇形面积公式即可求解 【详解】解：设AOD θ∠=，则12,l OA l OB θθ=⋅=⋅，所以122l OAl OB==，即2OA OB =， 所以12221222111222231122OA l OB l OB l OB l S S OB l OB l ⋅-⋅⋅-⋅===⋅⋅， 故选：C5．已知22sin sin ,cos cos 33αβαβ-=--=，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ta n()αβ-的值为（ ）AB．CD．【答案】B【分析】将条件的两个式子平方相加可得()8922cos αβ--=，然后可得()5os 9c αβ-=，再由2sin sin 03αβ-=-<，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()π,02αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而可求出()in s αβ-=，由商式关系可求得()an t αβ-=【详解】由2sin sin 3αβ-=-，得22sin 2sin sin sin 49ααββ-+=，由2cos cos 3αβ-=，得22cos 2cos cos cos 49ααββ-+=，两式相加得，()8922cos αβ--=，所以可得()5os 9c αβ-=，因为2sin sin 03αβ-=-<，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()π,02αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()in s αβ-=()an t αβ-=故选：B6．已知()()2222cos 1ln 4f x x x =-⋅，则函数()f x 的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用二倍角余弦公式化简()2f x 的表达式，令()20t x t =≠，可得()f x 的解析式，再判断函数()f x 的奇偶性，可排除选项C 、D ，最后根据0x +→时，()0f x <即可求解.【详解】解：()()()()22222cos 1ln 4cos 2ln 2f x x x x x =-⋅=⋅，令()20t x t =≠，则()2cos ln f t t t =⋅()0t ≠，所以()2cos ln f x x x =⋅()0x ≠，定义域关于原点对称，因为()()()()22cos ln cos ln f x x x x x f x -=-⋅-=⋅=，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除选项C 、D ；又0x +→时，因为2cos 0,ln 0x x ><，所以()2cos ln 0f x x x =⋅<，所以排除选项B ，选项A 正确； 故选：A.7．已知()22231,0log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()()g x f x b =+有四个不同的零点1234,,,x x x x ，且满足：1234x x x x <<<.则下列结论中不正确的是（ ） A ．10b -<< B ．341x x =C ．3112x ≤< D ．1232x x +=-【答案】A【分析】作出()f x 图象，利用函数有四个不同的交点求出10b -≤<，A 错误； 根据二次函数的对称轴求出1232x x +=-可判断D ；数形结合结合对数运算得到341x x =可判断B ；数形结合求出231log 0x -≤<，解得3112x ≤<，可判断C. 【详解】如图，作出()f x 图象，若y ＝－b 与()y f x =有四个交点，需01b <-≤，则10b -≤<，故A 错误；这四个交点的横坐标依次为1234,,,x x x x ，因为抛物线2231y x x =++的对称轴为34x =-，所以1232x x +=-，故D 正确；因为2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以341x x =，故B 正确；()(]323log 0,1f x x =-∈，即231log 0x -≤<，所以3112x ≤<，故C 正确.故选：A.8．已知13sin 2,ln 2,2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】D【分析】判断sin2和2πsin3的大小，比较a 与34、b 与34、c 与34的大小可判断a 与b 大小关系及b 与c 大小关系，判断aca 与c 大小关系，从而可判断a 、b 、c 大小关系．【详解】2π3sin2sin34a =>=>， 4333344443e e 2e 2lne ln24⎛⎫=>⇒>⇒=> ⎪⎝⎭，即b 34<，∴a >b ；∵3131322264-⎛⎫== ⎪⎝⎭，3327464⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴13324->，c b ∴>；∵62764=⎝⎭，6131162464-⎛⎫== ⎪⎝⎭，132->，a c ∴>； a cb ∴>>． 故选：D ．【点睛】本题关键是利用正弦函数的值域求出sin2的范围，以34两个值作为中间值，比较a 、b 、c 与中间值的大小即可判断a 、b 、c 的大小．二、多选题9）A ．2252cos cos 1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1tan151tan15+︒-︒C．cos15︒︒ D ．16sin10cos20cos30cos40︒︒︒︒【答案】ABD【分析】对于A ，采用降幂公式，结合特殊角三角函数，可得答案； 对于B ，根据特殊角三角函数，结合正切的和角公式，可得答案； 对于C ，根据辅助角公式，结合特殊角三角函数，可得答案； 对于D ，根据积化和差公式，结合特殊角三角函数，可得答案.【详解】对于A ，2251cos 1cos 55662cos cos 2cos cos12122266ππππππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭=，故A 正确； 对于B ，()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--，故B 正确；对于C ，13cos153sin152cos15sin1522⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭()()()2sin30cos15cos30sin152sin 30152sin152sin 4530=-=-==-()212sin 45cos30cos 45sin 302222⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭C 错误； 对于D ，16sin10cos 20cos30cos 40 ()116sin 30sin 10cos30cos 402⎡⎤=⨯+-⎣⎦ 8sin30cos30cos 408sin10cos30cos 40=-()18408sin 40sin 20cos 402⎡⎤=-⨯+-⎣⎦404sin 40cos 404sin 20cos 40=-+()1402sin804sin 60sin 202⎡⎤=-+⨯+-⎣⎦402sin8032sin 20=-+-404sin50cos303=-+ )cos 40sin 503=-+)cos 40cos 403=-+=D 正确；故选：ABD.10．已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．4ab ≤ B ．111a b+≥ C ．2216a b +≥ D ．228a b +≤【答案】AB【分析】根据基本不等式进行逐一判断即可.【详解】A ：因为0a >，0b >，所以4a b ab +≥≤，当且仅当2a b ==时取等号，故本选项正确；B ：因为0a >，0b >，所以有11111()(2)(21444a b b a a b a b a b b a ++=+=++≥+=+，当且仅当2a b ==时取等号，故本选项正确；C ：因为228a b +≥=，当且仅当2a b ==时取等号，所以本选项不正确；D ：因为0a >，0b >，所以有22282a b a b +≤≤+≥，当且仅当2a b ==时取等号，所以本选项不正确，故选：AB11．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π【答案】AC【分析】根据题意得6πϕ=-，()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合三角函数的图像性质依次分析各选项即可得答案.【详解】解：因为函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，所以，2,Z 32k k ππϕπ⨯+=+∈，解得,Z 6k k πϕπ=-+∈，因为22ππϕ-<<，所以6πϕ=-，即()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，对于A 选项，函数3sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，是奇函数，故正确；对于B 选项，当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，25,626x πππ-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由于函数sin y x =在5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故错误；对于C 选项，函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像对应的解析式为()3sin 226g x x a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若()g x 图像关于6x π=对称，则22,Z 662a k k ππππ⨯--=+∈，解得,Z 62k a k ππ=-+∈， 由于0a >，故a 的最小值是3π，故正确； 对于D 选项，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，672,66x πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-∈，故结合正弦函数的性质可知，若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，不妨设12x x <，则12x x -取得最大值时满足1266x ππ-=且25266x ππ-=， 所以，12x x -的最大值为3π，故错误.故选：AC12．已知1a b >>，则（ ） A ．ln ln a b b a > B ．11ea ba b-<C ．11e b a ->D ．若m b b n =+，则m a a n >+ 【答案】BC【分析】根据各个选项中的不等式，通过构造新函数，利用导数判断其单调性，再结合特例法进行判断即可.【详解】因为1a b >>，所以ln ln ln ln b aa b b a b a>⇔>， 设函数ln ()(1)xf x x x=>，21ln ()x f x x -'=，当(1,e)x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以A 选项错误；因为1a b >>，所以由111111eln ln ln ln a ba ab a b b a b a b -<⇔-<-⇔->-， 设函数1()ln g x x x =-，211()g x x x '=+，当,()0x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，所以B 选项正确；因为111eln 1ba a b->⇔>-，设函数1()ln 1h a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以21()a h a a -'=，当()1,a ∞∈+时，()0'>h a ，函数()h a 单调递增， 当()0,1a ∈时，()0h a '<，函数()h a 单调递减，所以()(1)0h a h >=，即11ln 10ln 1a a a a ⎛⎫-->⇒>- ⎪⎝⎭，因为1a b >>，所以111111a b a b <⇒->-，因此11ln 11a a b>->-，所以C 选项正确. 令2,0b m ==，则有1n =-，又令3a =，所以01,2m a a a n ==+=， 显然不成立，所以D 选项错误， 故选：BC【点睛】方法点睛：不等式是否成立可以通过构造函数利用导数的性质来进行判断.三、填空题13．已知角θ的终边经过点(2,1)P -，则22cos 2sin cos 2θθθ-=___________.【答案】23【分析】利用三角函数定义求出tan θ，再利用二倍角公式化简，结合齐次式法计算作答.【详解】因角θ的终边经过点(2,1)P -，则1tan 2θ=-，所以2222222222112()cos 2sin cos 2sin 12tan 221cos 2cos sin 1tan 31()2θθθθθθθθθ-⨯----====----. 故答案为：2314．函数()xe f x x =的单调递减区间是__________.【答案】和（或写成和）【详解】试题分析：由题意得22(1)()x x x xe e e x f x x x-='-=，令()0f x '<，解得0x <或01x <<，所以函数的递减区间为和．【解析】利用导数求解函数的单调区间．15．已知函数(1)y f x =+的图象关于直线3x =-对称，且对R x ∀∈都有()()2f x f x +-=，当2(]0,x ∈时，()2f x x =+.则(2022)f =___________. 【答案】2-【分析】根据给定条件，推理论证出函数()f x 的周期，再利用周期性计算作答. 【详解】因函数(1)y f x =+的图象关于直线3x =-对称，而函数(1)y f x =+的图象右移1个单位得()y f x =的图象，则函数()y f x =的图象关于直线2x =-对称，即(4)()f x f x --=，而对R x ∀∈都有()()2f x f x +-=，则(4)()2f x f x --+-=，即R x ∀∈，(4)()2f x f x +=-+，有(8)(4)2f x f x +=-++[()2]2()f x f x =--++=，因此函数()y f x =是周期函数，周期为8，又当2(]0,x ∈时，()2f x x =+， 所以(2022)(25382)(2)2(2)242f f f f =⨯-=-=-=-=-. 故答案为：2-16．已知函数()sin cos (0,0)f x x a x a ωωω=+>>图像的两条相邻对称轴之间的距离小于,3f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭，则ω的最小值为___________. 【答案】13【分析】先由对称轴间的距离确定了1ω>，再利用()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得到2,Z 62k k πωπϕπ+=+∈，依次利用诱导公式与基本关系式求得tan 6πω⎛⎫⎪⎝⎭、cos 6πω⎛⎫ ⎪⎝⎭、sin 6πω⎛⎫⎪⎝⎭的a 关于表达式，求出a 的值，进而得到121,Z k k ω=+∈，即可得到结果. 【详解】()()sin cos f x x a x x ωωωϕ=+=+，tan a ϕ=， 因为两条相邻对称轴之间的距离小于π，即2T π<，故22T ππω=<，所以1ω>， 因为()f x 在6x π=处取得最大值，所以2,Z 62k k πωπϕπ+=+∈，即2,Z 26k k ππωϕπ=+-∈，所以1tan tan 2tan 2626tan 6k a ππωππωϕππω⎛⎫⎛⎫=+-=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭， 所以1tan 6a πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭3πωϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，即sin 3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以sin sin 2sin cos 3326266k πωπωππωππωπωϕπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以sin tan cos 666πωπωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又2222sin cos 166πωπω⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23a =，又0a >，所以a =1sin 62πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，又tan 06πω⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以2,Z 66k k πωππ=+∈，解得121,Z k k ω=+∈，又1ω>，所以ω的最小值为13.故答案为：13.四、解答题17．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足2225,sin 2sin 8b c a bc C B +-==． （1）求cos A ；（2）若ABC 的周长为6ABC 的面积．【答案】（1）516；（2【解析】（1）由余弦定理可求得cos A ；（2）根据正弦定理可得2c b =，再由已知和余弦定理可求得2b =，根据三角形的面积可求得答案.【详解】解：（1）因为22258b c a bc +-=，所以2225cos 216b c a A bc +-==；（2）因为sin 2sin C B =，所以2c b =．由余弦定理得2222152cos 4a b c bc A b =+-=，则a =，因为ABC 的周长为636b =2b =，所以ABC 的面积为122b b ⨯⨯【点睛】方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.18．已知函数()2ππ2sin sin cos cos 44f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的对称中心，并求当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 的值域；(2)若函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称，求()g x 在区间()0,π上的单调递增区间.【答案】(1)对称中心：π1π,622k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，值域：12⎛⎤- ⎥⎝⎦(2)5π11π,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据三角恒等变换，化简函数()f x ，再结合正弦型函数的对称中心公式，即可得到对称中心，结合正弦函数的图像即可求得其值域.（2）由（1）中()f x 的解析式，根据对称变换即可得到函数()g x 的解析式，再结合正弦型函数的单调区间即可求得结果.【详解】(1)因为函数()2ππ2sin sin cos cos 44f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos x x x x x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭⎝⎭()221cos 2cos sin 22xx x x +=-+π1232x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭令π2π,3x k k +=∈Z ，解得ππ62k x =-+，即对称中心π1π,622k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则ππ4π2,333x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，再结合三角函数图像可得()12f x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦所以，函数对称中心：π1π,622k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，值域：12⎛⎤- ⎥⎝⎦.(2)因为函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称，则()()π1232g x f x x ⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭，令ππ3π2π22π232k x k +≤-+≤+，k ∈Z ，解得7ππππ,1212k x k k -+≤≤-+∈Z 当1k =时，即为5π11π,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭所以当()0,πx ∈时，()g x 的单调递增区间：5π11π,1212⎛⎫⎪⎝⎭.19．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)ay b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元 (3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围． 【详解】(1)由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠，()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)ay b a x=+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．(2)把()2,102，()6,78，()20,120分别代入2y ax bx c =++，得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得12a =，10b =-，120c = ∴()221110120107022y x x x =-+=-+，,()0x ∈+∞． ∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元． (3)令()()()1701010210f xg x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+， 因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立， 则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增，∴ 当10x =+()g x 取得最小值，且最小值为(10g +=∴k ≥20．己知函数21()2ln (21)(0)2f x x ax a x a =-+->．(1)若曲线(=)y f x 在点(1,(1))f 处的切线经过原点，求a 的值；(2)设2()2g x x x =-，若对任意(0,2]s ∈，均存在(0,2]t ∈，使得()()f s g t <，求a 的取值范围．【答案】(1)=4a ； (2)(0,1ln 2)-.【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程（含参数a ），由切线过原点求出a 的值； （2）利用导数研究()f x 的单调性并求出(0,2]上的最大值，由二次函数性质求()g x 在(0,2]上的最大值，根据已知不等式恒（能）成立求参数a 的范围.【详解】(1)由21()2ln (21)(0)2f x x ax a x a =-+->，可得2()21f x ax a x '=-+-．因为(1)2211f a a a '=-+-=+，13(1)21122f a a a =-+-=-，所以切点坐标为3(1,1)2a -，切线方程为：()311(1)2a y a x ⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭， 因为切线经过(0,0)，所以3112aa -=+，解得=4a ． (2)由题知()f x 的定义域为(0,)+∞，21()[(21)2]f x ax a x x'=----，令()f x '=2(21)20ax a x ---=，解得1x a=-或=2x ， 因为0,a >所以10a-<，所以12a-<， 令()0f x '>，即2(21)20ax a x ---<，解得：12x a-<<，令()0f x '<，即2(21)20ax a x --->，解得：1x a<-或2x >，所以()f x 增区间为(0,2)，减区间为(2,)+∞．因为()22()211g t t t t =-=--，所以函数()g t 在区间(0,2]的最大值为0， 函数()f s 在(0,2)上单调递增，故在区间(0,2]上max ()(2)2ln 222f s f a ==+-， 所以2ln 2220a +-<，即ln 210a +-<，故1ln 2a <-， 所以a 的取值范围是(0,1ln 2)-.21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1112,,AB AC AA AB AC A AB A AC ===⊥∠=∠，D 是棱11B C 的中点.(1)证明：1AA BC ⊥；(2)若三棱锥11B A BD -1A BD 与平面11CBB C 所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）作出辅助线，由三线合一证明线线垂直，进而证明线面垂直，得到BC ⊥平面1AAO ，从而证明1AA BC ⊥；（2）作出辅助线，由三棱锥的体积求出1A H =用空间向量求解二面角；方法二：作出辅助线，找到二面角的平面角，再求解余弦值. 【详解】(1)取BC 中点O ，连接AO ，1AO ,1AC,因为AB AC =,所以AO BC ⊥,因为11A AB A AC ∠=∠，11,AB AC AA AA ==，所以11A AB A AC ≅，所以11A B AC =，所以1AO BC ⊥， 因为1AOAO O =，1,AO AO ⊂平面1AAO ， 所以BC ⊥平面1AAO ， 因为1AA ⊂平面1AAO ， 所以1AA BC ⊥；(2)连接OD ，则平面1AAO 即为平面1AA DO ， 由（1）知BC ⊥平面1AA DO ，因为BC ⊂平面ABC ，且BC ⊂平面11BCC B ， 故平面1AA DO ⊥平面ABC ，平面1AA DO ⊥平面11BCC B ，过O 作1OM A D ⊥于M ，则OM ⊥平面ABC ，过1A 作1A H OD ⊥于H ，则1A H ⊥平面11BCC B ，因为11DO BB AA ∥∥知DO BC ⊥，在ABC中：2,AB AC BC ===所以1112BDB S DB DO =⋅△所以111111113B A BD A BDB BDB A A V V S h --==⋅==△，所以11A A H h = 法一：设MOD α∠=，则1DA H α∠=，在1Rt A HD △中11cos A H A D α===所以sin cos DM DO OM OD αα=⋅==⋅=又1A D M 为线段1A D 的中点，以O 为原点，分别以,,OA OB OM 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，1(0,A B C A ⎝⎭，1,2222B D ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 设面1A BD 的法向量为()1111,,x n y z =，则有111111*********n BA xn BD x⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，两式相减得：10x =，所以110=，令12z =，可得：1y = 所以1(0,7,2)n =，设面11CBB C 的法向量为()2222,,n x y z =，则有221122220202n CB n CB ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 解得：20y =，令21z =，解得：2x =所以2(7,0,1)n=， 设锐二面角为θ，则有1212cos 4n n n n θ⋅===+⋅. 法二：过H 做HE BD ⊥，连接1A E ，1A H ⊥面11BCC B，1A H DB ∴⊥，则DB ⊥面1AHE ，1A E BD ∴⊥，则1A EH ∠即为所求二面角.在1Rt A DH △中，11A H A D =12DH =，在Rt DOB 中，2,DO OB DB == 由RtRt DEHDOB 可得：HE DHOB DB=，HE ∴=，则1A E =11cos HE A EH A E ∴∠===22．己知函数()e sin 1(0)x f x a x a =-->在区间(0,)π内有唯一极值点1x ． (1)求实数a 的取值范围；(2)证明：()f x 在区间(0,)π内有唯一零点2x ，且212x x <． 【答案】(1)(1,)∈+∞a (2)证明见解析【分析】（1）根据极值点的定义，求导，进而求导函数的零点，研究零点左右与零大小关系，可得答案；（2）由（1）明确函数的单调区间，分别在两个单调区间上，利用零点存在性定理，证明零点唯一存在，根据单调性证明不等式成立. 【详解】(1)()e cos x f x a x '=-，①当01a <≤时，因为()0,x π∈，所以cos 1a x <，1e e x π<<，()0f x '>，()f x 在()0,π上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；②当1a >时，令()=()g x f x '，则()e sin x g x a x '=+，因为()0,x π∈，所以()0g x '>，所以()f x '在()0,π上递增，又因为(0)10f a '=-<，2e 02f ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，所以()f x '在()0,π上有唯一零点1x ，且10,2x π⎛⎫⎪⎝⎭∈，所以()10,x x ∈，()0f x '<；1,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '>，所以()f x 在()0,π上有唯一极值点，符合题意. 综上，(1,)∈+∞a .(2)由（1）知1a >，所以,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()e cos 0x f x a x '=->，所以()10,x x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；()1,x x π∈，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()10,x x ∈时，()(0)0f x f <=，则()10f x <，又因为()e 10f ππ=->， 所以()f x 在()1,πx 上有唯一零点2x ，即()f x 在(0,)π上有唯一零点2x .因为()112211112e sin 21e 2sin cos 1x xf x a x a x x =--=--，由（1）知()10f x '=，所以11e cos x a x =，则()112112e 2e sin 1x x f x x =--，构造2()e 2e sin 1,0,2t tp t t t π⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，所以()2()2e 2e (sin cos )2e e sin cos t t t tp t t t t t '=-+=--，记()e sin cos ,0,2tt t t t πϕ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，则()e c o s s i n t t t t ϕ'=-+，显然()t ϕ'在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0t ϕϕ''>=，所以()t ϕ在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0t ϕϕ>=，所以()0p t '>，所以()p t 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0p t p >=，所以()()1220f x f x >=，由前面讨论可知：112x x π<<，12x x π<<，且()f x 在()1,x x π∈单调递增，所以122x x >.【点睛】在利用导数证明不等式成立时，一定明确单调区间，在同一单调区间上，由函数值的大小关系，可得自变量的大小关系，探究函数的单调性，可通过研究导数过着导数中部分代数式所构成函数的单调性，求其最值，可得函数的单调性.。