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力偶与力偶系

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工程力学(静力学与材料力学)第三章力偶系详解

工程力学(静力学与材料力学)第三章力偶系详解


FB
r M2 0 ∑ M = 0 ， FA sin
M 2 2r FA
M2 = 4M1 = 8kNm
2M 1 FO FB FA 8kN r
• 作业3-1,3-4,3-8
考虑CB部分为二力构件，得：
FC FA FB FC
例3-4
图示机构自重不记。圆轮上的销子 A 放在 摇杆 BC上的光滑导槽内。M 1 = 2kNm，OA = r = 0.5m 。图示位置OA⊥OB，α = 30°，且系统平衡。 求作用于摇杆 BC 上力偶的矩 M 2 及 O、B 支座的反 力。 解：受力分析
M1
R
F1
M
F2
2
M1 + M2 = rBA×F1 + rBA×F2 = rBA×( F1 + F2 ) = rBA×R = M
如有n个力偶，按上法依次合成, 最后得一力偶,合力偶矩矢为 M = M1 +M2 + … +Mn = ∑M I
B
rBA
A
F2
F1
任意个力偶可以合成为一个 合力偶，这个合力偶矩矢等于各 分力偶矩矢的矢量和。 M = M 1+ M 2+ … + M n = ∑M i
性质三
证：
力偶没有合力
仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可 找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线 共线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与 性质二矛盾。
性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等 效而不能与单个力等效。
•力偶只能与力偶相平衡 力偶只能与力偶相平衡
§3-4 力偶系的合成
设有两个力偶，由性质一,将 力偶中两力分别移到两力偶作用面 交线上的两点 A 和 B,可得到两个 汇交力系，其合力分别为R 、 R ’ 。
力偶

力偶

不计梁和支杆的自重，求 A 和 B 端的约束力。
M
A
B
l
D
汽 车 机 械 基 础
45
3
2
1
动脑又动笔
选梁AB为研究对象 解：
M
A
B
FA = FB 列平衡方程： ∑M = 0 ，
l
D
45

A
FA
45o
M
B
M－ FA l cos45o = 0 FA = FB= √2M / l
汽 车 机 械 基 础
FB
汽 车 机 械 基 础
3
力偶与力偶系
汽 车 机 械 基 础
2
1
3
2
1
一、力偶的概念
在工程实践中常见物体受两个大小相等、
方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物
体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向 盘等。
汽 车 机 械 基 础
3
2
1
一、力偶的概念
定义：
两个大小相等，方向相反，且不共 线的平行力组成的力系称为力偶。 力偶的表示法 书面表示（F，F/）
d1
F 2
d2
F
F 1
F d = F1 d 1 = F2 d 2 = M
F 2
M
汽 车 机 械 基 础
3
2
1
力偶的作用面可任意平移
M
M
汽 车 机 械 基 础
3
2
1
三、力偶的性质
结论： 只要保持力偶矩矢量不变，不会 改变力偶对刚体的作用效应。 力偶对刚体的作用完全取决于力偶矩矢 量 M。
汽 车 机 械 基 础
正 负
汽 车 机 械 基 础
工程力学第2节 力偶和力偶系

工程力学第2节 力偶和力偶系

合力偶矩
M2 FP2 d
FP1 FP2 2
• 平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于 各分力偶矩的代数和
M M1 M 2 M n M i
i 1
n
平面力偶系平衡的充分必要条件是：合力偶矩等于 零，即力偶系中各力偶矩的代数和等于零 。 平面力偶系平衡 的充分必要条件
Mi 0
i 1
n
例2-6 如图所示，在箱盖上要钻五个孔。现估计 各孔的切削力偶矩为 M1 = M2 = – 15Nm ，M3 = M4 = – 25Nm。 M5 = – 100Nm。当用多轴钻床同时加工这 5个孔时，问工件受到的总切削力偶矩 M 是多少？ 解 因 5 个力偶处于 同一个平面，所以它 们的合力矩等于各力 偶矩的代数和，即
注意
力偶是特殊的力系，具有它自己的特性。
力偶的合力矢为零，力偶对物体不产生移 动效应，只产生转动效应。
• 力偶矩：力偶中一个力的大小和力偶臂的乘积。
M F d
• “±”规定：以逆时针转向为正，顺时针转向为负。 力偶矩的单位：牛顿· 米（N· m）表示。 1）两个在同一平面内的力偶，如果力偶矩 结论 相等，则两个力偶彼此等效。 2）力偶可在其作用面内任意移动和转动，而不会改 变它对物体的作用效果。 3）在保持力偶矩大小和转向不变的条件下，可以同 时改变力和力偶臂的大小，而不会改变力偶对物 体的作用。
一、力偶的概念及等效
• 力偶：把大小相等、方向相反并且不共线的两个平 行力称为，记作 ( F ， F ) 。
一、力偶的概念及等效 • 力偶：把大小相等、方向相 反并且不共线的两个平行力 称为，记作 ( F，F ) 。 • 力偶作用面：力偶中两个力 所决定的平面。 • 力偶臂：两个力作用线之间的垂直距离，以 d 表示。
力偶与力偶系

力偶与力偶系


平面力 平面力 偶 的 特 点
平面力偶矩可视为代数量，即 平面力偶矩可视为代数量，
M = ±Fd
其中正负号表示力偶的转向：一 般以逆时针转向为正，反之为负。
同平面内力偶的等效定理 定理： 在同平面内的两个力偶，如果 力偶矩相等，则两力偶彼此等效。
这就是同平面内力偶等效的条件。
关于力偶性质的推论
F
F´
F
F´
只要保持力偶矩矢量不变， 只要保持力偶矩矢量不变，力偶可 在作用面内任意移动， 在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不 变。
关于力偶性质的推论
Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F´
F F´
只要保持力偶矩矢量不变， 只要保持力偶矩矢量不变，力偶可 在作用面内任意移动， 在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不 变。
关于力偶性质的推论
F
F´
F/2
F´/ 2
保持力偶矩矢量不变，分别改变力和 保持力偶矩矢量不变， 力偶臂大小，其作用效果不变。 力偶臂大小，其作用效果不变。
关于力偶性质的推论
M=Fdk
只要保持力偶矩矢量大小和方向不变 , 力偶可在与其作用面平行的平面内移动 力偶可在与其作用面平行的平面内移动。
力偶系及其合成
同平面内的力偶，由力偶性质 的推论，可同时改变其臂长，使其 臂长相等，并将它们在平面内转移， 使力的作用线重合，然后相加形成 新的力偶，这就是合力偶。
力偶与力偶系例题 例题 1
受力分析: 受力分析:
1. AB杆为二力杆; 杆为二力杆; 2. BDC杆的A、B 二处分别受有一 个方向虽然未知、 个方向虽然未知、 但可以判断出的 力.
力偶与力偶系例题 例题 1 讨 论
怎样确定B、C二处的约束力
第三章 力偶系

第三章 力偶系

(2)再将Q, F合成R， Q', F'合成R'， 得到新力偶(R, R'),
QA RF
F' R'
B Q'
(3)将R, R'分别移到A', B'点，则(R, R')与原力偶等效
(4)最后将力偶(R, R')的力臂调整到与原力偶相等
19
§3-5、力偶系的合成
设作用于刚体上的任意两个力偶M1，M2， 总能将其等效为两个共力臂的力偶：
z
Fz
力 F 对 z 轴之矩：
M z (F ) xFy yFx
F
Fy
k Fx z
ij
x
y
x
y
Fx
Fxy
力 F 对 x 轴与 y 轴之矩： M x (F ) yFz zFy
M y (F ) zFx xFz
10
问题：力对轴之矩与力对轴上一点之矩有什么关系？
z
力对轴之矩 M x (F ) yFz zFy M O M Oz
力偶(F, F’ )是特殊的力系，对O点 的合力矩为：
F ' F
F
B rBA
A d
F’
rB
rA
O
MO MO(F) MO(F')
rA F rB F '
rA F rB (F )
(rA rB ) F rBA F
M
M = Fd
B rBA
F’
力偶矩矢
F A
注：力偶矩矢垂直于力偶所在的平面，其大小和方向与取矩点 无关。
合力偶的方向：
cos(MR, i)
Mx MR
cos(MR, j)
My MR
第3章 力偶系 (1)

第3章 力偶系 (1)


M ox i M oy j M oz k
静力学
第3章 力偶系
四、合力矩定理
若作用在刚体上的力系存在合力 {F1 , F2 ,, Fn } {FR }
则有： M O ( FR ) M O (Fi )
i 1
n
z
F1
F2
z
F2
rn
Fn
y
FR
rR
O
r2 O
y
n
rR
Fn
x
r1
F1
F
M O ( F ) M O ( F ' ) F ( x d ) F 'x
F d
B A d
x
O
F'
量纲：力×长度，牛顿•米（N•m）.
静力学
第3章 力偶系
§3-3 力偶的等效条件和性质 力偶的三要素
（1）力偶矩的大小； （2）力偶的转向； （3）力偶的方位。 一、力偶等效条件
rBA
F
A
静力学
第3章 力偶系
力偶矩
F x
d O F
其转动效应——力对点之矩，即用力偶中的两个力 对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。
M ( F , F ' ) Fd 或 M Fd
+ —
静力学
第3章 力偶系
力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而 与 矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶 矩度量。
•作用于刚体上的两个力偶等效的条件是它们的力偶矩矢相等。 在同一平面内的两个力偶，如它们的力偶矩的大小相 等，而且转向相同，则此两力偶等效。 例如：方向盘
FP
C
F'
B FP '
工程力学第三章 力 偶 系

工程力学第三章 力 偶 系


§3-5 力偶系的合成 对于任意一个力偶系，可以将力偶矩矢移到一个汇交点， 再按照矢量合成的方法将矢量合成为一个合矢量，这个合矢 量就是力偶系的合力偶。而且有：
MR = M1+ M2+ + Mn = ∑M
对于平面力偶系，力偶只有顺时针和逆时针两种转向，所 以力偶可以看成代数量规定:逆时针为正、顺时会为负。 所以平面力偶系的合力偶
MR = M1+ M2+ …+ Mn = ∑M
§3-6 力偶系的平衡条件 对于任意一个力偶系，它的平衡条件是合力偶矩矢为零。
即：MR = ∑M = 0
M1x+ M2x+ + Mnx = ∑Mx = 0 M1y+ M2y+ + Mny = ∑My = 0 M1z+ M2z+ + MnZ = ∑Mz = 0
二、空间中力对点之矩 M0（F）= r × F
§3-2力对轴之矩 一、力对轴之矩的概念
1、定义：对力使它所作用的物体绕轴转动效果的度量。 它是一个代数量。
2、特例：力与轴平行： MZ（F）=0 力与轴相交： MZ（F）=0
力与轴在同一平面内时力对轴之矩为零。 3、合力矩定理：合力对任一轴之矩等于各分力对同一 轴之矩的代数和。
§3-4 力偶的等效条件和性质 一、力偶的等效条件（41页） 两个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等。 二、力偶的性质 1、力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。 2、力偶可在其作用面内任意转移，或移到另一平行平 面，而不改变对刚体的作用效果。
=
=
=
3、在保持力偶的转向和力偶矩的大小不变的条件下， 可以同时改变力偶中力和力偶臂的大小，而不改变 力偶对刚体的作用。
第三章 力偶系

第三章 力偶系


M M
M（+）
M M M
（-）
注意:力偶的转向与力偶矢方向的区别与关联! M
§3-5 力偶系的合成(简化)
设作用于刚体上的两个力偶M1, M2：
M1 F1, F1'
F1
M2 F2, F2'
Q F F1 F2
F2
F ' F1' F2'
MR F, F '
F
M F1' F ' 1
MR M1 M2 ... Mn M
M1Fn
F1 o
Fn’ F2
＝ M1
F1’
F2’
§3-5 力偶系的合成(简化)
合力偶矩矢：
z
MR M1 M2 ... Mn M
将上述矢量式对坐标轴投影得：
M Rx M1x M2x ... Mnx M x M Ry M1y M2 y ... Mny M y M Rz M1z M2z ... Mnz M z
二个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等。
M1
M2
B rBA
F1'
A
M1 rBA F1
F1
M1 M2
D
rDC
F2
F2'
C
M 2 rDC F2
0.4m
60N
0.4m
60N
40N 0.6m
M=24N.m
§3-4 力偶的等效条件和性质 二、力偶的性质
性质一： 力偶不能与一个力等效(即力偶无合力)，因 此也不能与一个力平衡。
MO MO (F1) MO (F2 ) 力对点之矩矢服从矢量的合成法则 对空间力系(F1, F2, …, Fn)，有：
MO MO (F1) MO (F2 ) ... MO (Fn )
力偶系

力偶系

工程力学
第三章 力偶系
பைடு நூலகம்
工程力学
第三章 力偶系
河南理工大学土木工程学院
工程力学
第三章 力偶系
第一章
力偶系
§3-1 力偶的概念和工程实例 §3-2 力对点之矩矢及其基本性质 §3-3 力偶系及其性质 §3-4 力偶系的合成与平衡
河南理工大学土木工程学院
工程力学
第三章 力偶系
§3-1 力偶系概念及工程实例
rB
O
M称为力偶矩矢，用以衡量力偶对刚体的转动效应。
河南理工大学土木工程学院
工程力学 2、力偶转动效应三要素
第三章 力偶系
力偶矩大小
力偶矩矢长度 力偶 矩矢 三要素
力偶 转动 效应 三要素
转向
力偶矩矢指向
作用面方位
力偶矩矢法线
河南理工大学土木工程学院
工程力学 3、力偶的解析表示式 选取坐标轴Oxyz，力偶矩矢可表示为：
y
M o ( F ) xFy yFz
z
河南理工大学土木工程学院
工程力学 （3）力对点之矩矢的基本性质
第三章 力偶系
作用于刚体上的二力对刚体产生的绕任一点的转动 效应，可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢就等于 二力分别对该点矩矢的矢量和，即：
M O M O ( F1 ) M O ( F2 )
1、平面中力对点之矩 力对点之矩（力矩）是为了描述 刚体运动中的转动效应。 力F对刚体产生的绕平面上O点 A
h
B F
的转动效应取决于：
转动效应的强度：Fh； 转动的方向：顺时针或逆时针。
O
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工程力学
第三章 力偶系
ch2力矩、力偶、力系的简化

ch2力矩、力偶、力系的简化


力对点之矩与力对轴之矩的关系
MO (F )
= ( yFz - zFy )i + ( zFx - xFz ) j + ( xFy - yFx )k
= [ M O ( F )]x i + [ M O ( F )] y j + [ M O ( F )] y k
M x ( F ) = -zFy + yFz
F z = F ⋅ cos γ = F ⋅ sin θ
与平面情形类似
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
Fy F F x cosα = ,cos β = ,cosγ = z F F F
Fz Fy Fx
Fx = Fx , Fy = Fy , Fz = Fz
Fx = Fx i , Fy = Fy j,Fz = Fz k F = Fx + Fy + Fz = Fx i + Fy j + Fz k
②投影法（解析法） 投影法（解析法） 建立坐标系如图所示， 建立坐标系如图所示， 三个力在坐标轴上的投影分 别为
F1 x = 0
F2 x = 4kN
F1 y = −3kN
F2 y = 0
F3 x = 5cos 30o = 4.33kN
F3 y = 5sin 30o = 2.5kN
合力F 合力 R 在坐标轴上的投影为
= [MO (F )]x i +[MO (F )]y j +[MO (F )]z k
力矩矢的合成
力对点之矩矢服从矢量合成法则。 力对点之矩矢服从矢量合成法则。力系对刚体产 矢量合成法则 生的绕某点的转动效应可用一个矩矢度量。 一个矩矢度量 生的绕某点的转动效应可用一个矩矢度量。
第3章(力偶系)

第3章(力偶系)


MO (F ) 与矩心的选择有关，为定位矢量
2. 力对点之矩矢的解析表达式
MO ( F ) r F
xi yj zk (Fx i Fy j Fz k ) （ ） i j k x y z Fx Fy Fz ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k [ MO (F )]x i [ MO (F )]y j [ MO (F )]z k
FA FA
OA O1 A sin 30o
解得： M 2 4 M1
作业 P46 3-1 c 3-2 3-5 3-8
二、力对坐标轴 之矩的解析表达式
M x (F ) Mx (Fy ) Mx (Fz ) zFy yFz M y (F ) M y ( Fz ) M y (Fx ) xFz zFx Mz (F ) Mz (Fx ) Mz (Fy ) yFx xFy
M Rz M z = M 2 M3 cos30 48.5 N.m
合力偶矩矢MR的大小和方向余弦分别为：
2 2 2 M R M Rx M Ry M Rz 7.22 202 48.52 52.95 N.m
cos( M R cos( M R cos( M R
M , i)
解：各杆受力图如图，由几何关系可得FA 、FC 垂直于AC 。建立平衡方程 M FA a 2 b 2 0 M 0: 解得：
FA M a 2 b2
FB FC FC FA M a 2 b2
例：图示机构，套筒A 穿过摆杆 O1B ，用销子连接在曲柄OA 上，已知长为 a ，其上作用有力偶 M1 。在图示位置β=30o ，机 械能维持平衡。不计各杆自重及摩擦，试求在摆杆 O1B 上所加力 偶的力偶矩 M2 。

理论力学03力矩力偶与平面力偶系


本章讨论平面力偶系的合成与平衡问题
一、平面力偶系的合成 平面力偶系可合成为一个合力偶； 合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即
M1
M2 M3
M4
M Mi
二、平面力偶系的平衡方程
Mi 0
M
说明：根据平面力偶系的平衡方程，可解 一个未知量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[例2] 已知梁长 l = 5 m，M = 100 kN·m ；若不计梁的自重，试求 铰支座 A 、B 处的约束力。
2. 力偶中的两个力对任一点的矩的代数和 恒等于力偶矩，与矩心位置无关。
dF F
3. 作用于刚体同一平面内两个力偶等效的充要条件为其力偶矩 相等。
结论：力偶矩唯一决定了力偶对刚体的作用效应。
◆ 通常用力偶矩符号来代表力偶：
F
d
M Fd
F
M 或M
第三节 平面力偶系
平面力偶系：由位于同一平面内的一群力偶所组成的力系
构平衡。试求作用于摆杆 BO1上的力偶矩 M2 （各构件的自重不计）
解： 1）首先研究曲柄 AO与套筒A 的组合 画受力图 列平衡方程
Mi 0, M1 FA r sin 30 0
解得
FA
FO
2M1 r
M1
O
FO
FA
FA
FO
2M1 r
2）再选取摆杆 BO1 为研究对象
画受力图
列平衡方程
Mi 0, M 2 FA AO1 0
的平行力称为一个力偶，记作 F, F。
dF F
二、力偶矩 定义
M Fd
为平面内力偶 F, F 的矩，简称力偶矩。
说明： 1）平面内力偶矩为代数量，其正负号表转向，一般规定 逆时针转向为正，反之为负。

工程力学5 力偶及平面力偶系的合成


M 60° 30°
0.25m
数值为正，M使物体顺时针转动，计算时数值为负。
M1=P1d1=200 ×1=200(N·M) M2=P结2d果2=为60正0 数×，0.2代5/表si最n3后0°合=成300(N·M)
M3=-M的=合-1力00偶(N为·M逆) 时针，即：物
P2
P1
则合力体偶最M后合为将：逆时针转动。
即： M i 0
平面力偶系的平衡条件有何作用呢？
例题2：如图所示，梁AB受荷载作用。M=10kN·m，P=P’=5kN，
不计梁自重，求支座A、B的反力。
解：取AB为研究对象。作用在梁
P
M 上的力有：M、P和P’形成的力
A
B
偶，以及支座A和B的反力形成的
P'
力偶。由于梁处于平衡状态，因
此，整个体系力偶矩之和为零。
力偶三要素：力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用面。
10KN 2m
5KN
20KN
1m
M=20KN ·m
10KN
5KN
20KN
3.平面力偶系的合成
10KN 5KN
2m
20KN
10KN
5KN
1m 20KN
在物体的某一平面内同时作用有两个或两个以上的力偶时， 这些力偶就称为平面力偶系。
（1）平面力偶系的合成
1m
M合=M1+M2+M3
=200+300-100=400(N·M)
3.平面力偶系的合成
（2）平面力偶系的平衡条件
平面力偶系可以合成为一个合力偶，当合力偶矩等于零时，则 力偶系中各力偶对物体的转动效应相互抵消，物体处于平衡状态； 反之，当合力偶不等于零时，物体必有转动效应而不平衡。平面力 偶系平衡的充要条件是：力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零。

力偶系


A rBA rA rB F d B rA
rB
O
M称为力偶矩矢，用以衡量力偶对刚体的转动效应。
2、力偶转动效应三要素
力偶矩大小
力偶矩矢长度 力偶 矩矢 三要素
力偶 转动 效应 三要素
转向
力偶矩矢指向
作用面方位
力偶矩矢法线
3、力偶的解析表示式 选取坐标轴Oxyz，力偶矩矢可表示为：
C
C
FC FA FB FC
M a b
2 2
FA
A
FB
B
例题 3-3 各构件不计自重，在构件BC上作用一力偶矩为 M的力偶。试求支座A的约束力。 解：1）以BC构件为研究对象，画出分离体及其受力图。 根据力偶平衡条件，列平衡方程 ：
M 0,
M FC l 0
M2
FD
D
例题 3-2 图示机构在图示位置处于平衡。 已知，a:b=c:a,不计杆重，求A，B两点的约束力。 解：1）画受力图，BC为二力杆。 2）列平衡方程： a b c
M
A
C B
M 0,
M FA a 2 b 2 0
FA M a 2 b2
M
FC FC
工程力学
•第三章 力偶系
第一章
力偶系
§3-1 力偶的概念和工程实例 §3-2 力对点之矩矢及其基本性质 §3-3 力偶系及其性质 §3-4 力偶系的合成与平衡
§3-1 力偶系概念及工程实例
一、工程实例
日常生活中经常遇到力偶， 比如：用手拧钥匙、汽车司机双
手转动驾驶盘等。 力偶的概念:作用于刚体上大小
( yFx zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k

力偶与平面力偶系—力对点之矩(建筑力学)

建筑力学课件课件
任务一 力对点之矩的认知
能力目标： 能正确应用力矩。
知识目标： 掌握力矩的定义、性质和应用。
一、力矩的产生
力对物体作用可以产生移动和转动两种效应。 力对物体可以产生移动效应——取决于力的大小、方向
转动效应——取决于力矩的大小、转向
二、力矩的定义
力F 与点O到力F 的作用线的距离d的乘积，叫做力F 对O点的矩，简称力矩。
力对点之矩
定义
性质
③互为平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零； ④ 作用于物体上的力可以对物体上或物体外的任意的点取矩。
四、练习 计算力F对O点的矩。
根据力对点之矩的定义 ①作O点到力F 的垂直距离，求出d的长度
d l • sin
②因为力F的作用线绕作用点O逆时针转动，所
以，产生的力矩为正，即
M F • L • sini
MO (F) F 能省略；
②d为O点到力F 作用线的垂直距离，称为力臂；
③力矩是标量，是有方向的，根据规定，力绕矩 心逆时针转动产生的力矩为正，反正，为负； ④力矩的单位： N • m
三、力矩的性质 ① 力对任意一点之矩，不会因为该力沿作用线移动而改变； ② 力的作用线如果通过矩心，则力矩为零；反之，如果一个梨其大小不为零，而它对某点 之矩为零，那么，该力的作用线必通过该点；

3力矩力偶力偶系


1-7 如图示在△ ABC 平面内作用力偶（ F ， F ）， 其中力 F 位于 BC 边上， F 作用于 A 点。已知 OA ＝ a ， OB ＝ b ， OC ＝ c ，试求此力偶之力偶矩及其在三个 坐标轴上的投影。 答：
m( F , F ) m y ( F , F ) F b c
求： 合力及合力作用线位置。
解： 由合力矩定理
P h q dx x
0 l l

0
x2 q dx l
2 h l 3
例
已知：F , l , a,
M x F , M y F , M z F 求：
解：把力 F 分解如图
M x F F l a cos
2 2
(bci acj abk );
m x ( F , F ) Fab b2 c2
Fbc b c
2 2
;
Fac b2 c2
;
m z ( F , F )
M y M iy M 2 80N m
轴上的投影
。
例 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受 切削力偶矩均为80N· m。 求：工件所受合力偶矩在 解：
M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m
轴上的投影
。
例： 已知 M 1 2kN m, OA r 0.5m, θ 30 ; 求：平衡时的 M及铰链 O，B处的约束力。 2 解：取轮,由力偶只能由力偶 平衡的性质,画受力图。
M 0
解得
M1 FA r sin 0
FO FA 8kN
例： 已知 M 1 2kN m, OA r 0.5m, θ 30 ; 求：平衡时的 M及铰链 O，B处的约束力。 2 解： 取杆BC，画受力图。

静力学03.第三章 力偶系


此也不能与一个力平衡;
性质二、力偶可在其作用面内任意转移，或移到另一平 行平面，而不改变对刚体的作用效果，力偶矩 矢是自由矢量; 性质三、保持力偶转向和力偶矩的大小（力与力偶臂的
乘积）不变，力偶中的力和力偶臂的大小可以
改变，而不改变对刚体的作用效果。
§3.4
力偶的等效条件和性质
力偶不能合成一个力, 或用一个力来等效替换; 力偶也 不能用一个力来平衡。因此, 力和力偶是静力学中两个基 本要素 力偶对物体的作用效应是引起物体的转动 力偶矩: 力偶的两个力对其作用面内某点的矩的代数和 MO(F , F') = MO(F )+MO(F') =F· aO－F'· bO =F (aO－bO) =F d F
空间力系中，力 F 对刚体产生的绕某点 O 的转动效应 取决于三个要素: (1)转动效应的强度 Fh；
(2)转动轴的方位，即力的作用线和矩心 O 所决定的平面的 法线方位； (3)转向，即: 使刚体绕轴转动的方向。
§3.1 力对点之矩矢
这三个要素可以用一个矢量来表示： 矢量的模等于力与力臂的乘积Fh 矢量的方位就是转轴的方位 矢量的指向根据右手规则由力F绕轴转动的方向确定。 力对点之矩矢，表示为MO(F)，过矩心O的定位矢量。
ΣMx= 0， ΣMy= 0 ， ΣMz= 0;
力偶系平衡条件的应用。
FR

l 0
q ( x )d x

l 0
q0
x l
dx
1 2
q0l
求合力作用线位置。设合力FR 的作用线距A端的距离 为h，在微段dx上的作用力对点A的矩为-(qxdx)x，全部分 布载荷对点A的矩为


l 0
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O1
=( rA - rB ) F
= rBA F
其方向亦可由 右手定则确定。
力偶的特点
特点一 :力偶无合力,即主矢FR=0. 特点二 :力偶对刚体的运动效应只
与力偶矩矢量有关.
平面力 偶 的 特 点
特点一 :力偶无合力,即主矢FR=0. 特点二 :力偶对刚体的运动效应只
与力偶矩的大小和力偶在 作用面内的转向有关.
关于力偶性质的推论
F
F´
F
F´
只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作 用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。
关于力偶性质的推论
F
F´
F/2
F´/ 2
保持力偶矩矢量不变，分别改变力和 力偶臂大小，其作用效果不变。
关于力偶性质的推论
M=Fdk
只要保持力偶矩矢量大小和方向不变 , 力偶可在与其作用面平行的平面内移动。
力偶与力偶系
力偶的定义
F1
r1
r2
rBA
F2
力 偶 : 大小
相等,方向相反,不共 线的两个力所组成 的力系.
力偶实例
力偶实例
F1
F2
力偶矩矢量
力偶对O点之矩 等于这个力系中 的两个力对该点 之矩之和
力偶矩矢量
MO = MO(F) + MO(F´)
= rAF + rBF´
= rAF - rB F
平面力 偶 的 特 点
平面力偶矩可视为代数量，即
MFd
其中正负号表示力偶的转向：一 般以逆时针转向为正，反之为负。
同平面内力偶的等效定理 定理：
在同平面内的两个力偶，如果 力偶矩相等，则两力偶彼此等效。
这就是同平面内力偶等效的条件。
关于力偶性质的推论
F
F´
F
F´
只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作 用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。
力偶与力偶系例题 例题 1
讨论
怎样确定B、C二处的约束力
平面力偶系的平衡条件为n源自Mi 0i1力偶与力偶系例题
例题 1
已知: 结构受力如图
所示,图中M, r均为 已知,且l=2r.
试: 画出AB和BDC杆
的受力图; 求A,C二处的约
束力.
力偶与力偶系例题
例题 1
受力分析:
1. AB杆为二力杆; 2. BDC杆的A、B
二处分别受有一 个方向虽然未知、 但可以判断出的 力.
力偶系及其合成
同平面内的力偶，由力偶性质 的推论，可同时改变其臂长，使其 臂长相等，并将它们在平面内转移， 使力的作用线重合，然后相加形成 新的力偶，这就是合力偶。
力偶系及其合成
平面力偶系合成的结果 :
仍然是一个力偶，其力偶矩等于原力偶系中所 有力偶矩之代数和。即
n
M= M
i=1
i
力偶系的平衡