力矩与平面力偶系

∑ Ｍi =０
思考题：３－１：约束力ＦＡ，ＦＢ的大小与力 偶矩Ｍe作用的位置无关． 思考题：３－２：合力为零，但合力偶矩不为 零，物体有转动效应，物体不平衡。 思考题：３－３：两个力偶的力偶矩大小相同， 力偶的转向相同，但作用面不同，固此两个力 偶不等效。 （力偶三要素：力偶矩的大小；力偶的转向和力 偶的作用面。） 因此两个力偶等效，必须是该两个力偶的力偶矩 大小相同，转向相同，作用面相同。（对刚体， 可作用面平行。）
效定理。
力偶（F，F’）的力偶矩为 M(F,F’) 加上一对平衡力（F1，F1’）后， 力系 （F，F’）=（F，F’， F1，F1’） =（ FR，FR’）=（ FR1，FR1’） ∵M(F1,F1’)=0 ∴ M(F,F’)= M(F,F’)+ M(F1,F1’) 又∵ M(FR,FR’)=M(F,F’)+ M(F1,F1’) ∴ M(F,F’)= M(FR,FR’) M(FR,FR’) = M(FR1,FR1’) ∴M(F,F’)= M(FR1,FR1’)
二. 平面力偶系的平衡条件

平面力偶系平衡，表明力偶系对物体的转动效应 为零。 因为平面力偶系合成的结果既然是一个合力偶， 所以，要使力偶系平衡，合力偶矩必须为零；当 合力偶矩为零，则表示力偶系中个力偶对物体的 转动效应相互抵消，物体处于平衡。 因此平面力偶系平衡的必要且充分条件为力偶 系中各力偶的力偶矩的代数和等于零，即：

例题： 1.习题3-2

F
a
b
Fx F cosa Fy f sin a M A ( F ) - Fx b Fy 0 - Fb cosa M B ( F ) - Fx b Fy a F (a sin a - b cosa )
a
2．习题3-7 正三角形ABC

推论1. 力偶可在其作用面内任意移动 和转动而不改变它对刚体的转动效应。 推论2. 在保持力偶矩的大小和转向不 变的条件下，可以任意改变力偶中力 和力偶臂的大小,这不会改变力偶对刚 体的转动效应。 等效力偶 注:以上两个推论只对刚体适用！

§3-3 平面力偶系的合成与平衡

作用在物体上同一平面内的若干力偶， 总称为平面力偶系。
3 F1 y F sin 60 F 2 F2 y - F sin 60 3 F 2
1 F F F F F1x和F３在同一作用线上，合力 1x 3 2 3 3 a Fa F２x与 F 组成一个力偶，力偶臂为 ，力偶矩为
3 1 F1y与F2y组成一个力偶，力偶臂为 a ，力偶矩为 4 Fa 2 3 合力偶矩 M - Fa 2 2 4
作业：习题3-1, 3-3, 3-3, 3-4, 3-5*为d的力偶 （Ｆ，Ｆ‘） 该力偶对作用面内任 一点Ｏ之矩为：

Ｏ x d F
F’
Ｍo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd
力偶对作用面内任一点的矩之大小恒等于力偶中 一力的大小和力偶臂的乘积，而与矩心的位置无关。 力偶对物体的转动效应可用力与力偶臂的乘积Fd 及转向来度量，该物理量称为力偶矩。
F11’
F11
d FR
FR’

ＭR为合力ＦＲ，ＦＲ’组成的力偶（ＦＲ，ＦＲ’ ）(称 为合力偶)的力偶矩，称为合力偶矩；也是原来两个力 偶的力偶矩的和。 ＭR= Ｍ１-Ｍ2
同理，当平面力偶系由n个力偶组成时，其力偶矩 分别为M１,M２ , ….Mn 它们可合成为一个合力偶，其合力偶矩为：

ＭR= Ｍ１＋Ｍ2＋．．． ＋Ｍn=∑ Ｍi 即平面力偶系合成的结果是一个力偶，合力偶矩等于 力偶系中各力偶矩的代数和。
第三章: 力矩与平面力偶系

本章研究力矩和力偶的概念、力偶的 性质、平面力偶系的合成与平衡。本 章与第二章的理论是研究平面一般力 系的基础。
§3-1 力矩的概念和计算

一般情况下，力对物体作用时可以产 生移动和转动两种外效应。力的移动 效应取决于力的大小和方向。为了度 量力的转动效应，需要引入力矩的概 念。
§3-2力偶的概念
一.力偶与力偶矩 1．力偶 实践中,常见到两个大小相等,方向相 反的平行力作用于物体的情形。 这样的两个力不满足二力平衡条件。 将这种大小相等、方向相反、作用线 平行的两个力叫做力偶。 记作：（F，F‘）

力偶中两力作用线之间的垂直距离d叫力 偶臂。 力偶所在平面叫力偶作用面。
２．力偶的性质 ⑴力偶在任何坐标轴 上的投影等于零。 ⑵力偶不能合成一个 力，即力偶没有合力，它 不能与一个力等效，因而 也不能被一个力平衡。 ⑶力偶对物体不产生 移动效应，只产生转动效 应，即它可以改变而且只 能改变物体的转动状态。

y
Ｏ
x
２．力偶矩 力偶对物体产生转动的效应怎样度 量？ 力对物体转动的效应用力矩来度量， 因此力偶对物体转动的效应可用力偶 中的两个力对其作用面内任一点之矩 的代数和来度量。
一. 平面力偶系的合成
设同一平面内作用有两个力偶
F1 F2 d2 F2’ F22 d F22’
d1
F1’
（Ｆ１，Ｆ１’）和 （Ｆ２，Ｆ ２’）。 力偶臂为d1,d2 力偶矩为： Ｍ１＝＋Ｆ１d1 Ｍ2＝-Ｆ2d2 取力偶(F11,F11’)和(F22,F22’) 且:＋Ｆ１1d＝Ｍ１ -Ｆ22d＝Ｍ2 ＦR＝F11-F22 ＦR’＝ F11’-F22’ ＭR=ＦRd=(F11-F22)d =Ｆ１1d-Ｆ22d= Ｍ１-Ｍ2


对三角形△OAB，F的大 小为底边长，d为高，即三 角形的面积为： S△OAB =Fd/2 Ｍo =Fd=2 S△OAB 即力对Ｏ点的矩的大小 等于△OAB面积的２倍。
Ｂ
Ｆ Ａ Ｏ d
力对任一已知点的矩，不会因该力沿作 用线移动而改变。 力的作用线如通过矩心，则力矩为零； 反之，如一个大小不为零的力对一点之 矩为零，则此力的作用线必通过该点。 互成平衡的二力对同一点的力矩之和为 零 虽然力矩概念由力对物体上固定点的 作用引出。实际上，作用于物体上的力 可以对任意点取矩，即矩心可是空间中 的任意点。
力偶矩用符号M（F，F’）或M表示；即 M（F，F’）=±Fd 规定：逆时针转动时，力偶矩取正号； 顺时针转动时，力偶矩取负号。 力偶矩单位与力矩单位相同。 力偶三要素：力偶矩的大小；力偶的转向和 力偶的作用面。

二. 同一平面内力偶的等效定理

作用在刚体上同一平面的两个力偶相互 等效的条件是两力偶的力偶矩的代数值 相等。 称为同一平面内力偶的等
Ｍo (F)=±Ｆd
Ｏ点称为力矩中心，简称矩心； Ｏ点到力Ｆ作用线的垂直距离h称为力臂。 力矩的正负号用于区别力Ｆ使物体绕Ｏ点转 动的两种转向。规定:力使物体绕矩心逆时 针转动时为正,反之为负。 力对点之矩只取决于力矩的大小和旋转方向 （力矩的正负），是一个代数量。 力矩的单位：N · m（牛顿· 米) 或 kN · m（千牛顿· 米) 力矩的三要素是：大小、方向和矩心。
Mo (FＲ)=x FＲy-yFＲx 由于：FＲx ＝∑Fx FＲy ＝∑Fy
Ｏ
x
Ａ y
q
d
x
Mo (FＲ)=x FＲy-yFＲx= x∑Fy-y∑Fx= ∑Mo(Fi)
Mo (FＲ)=∑Mo(Fi)
即平面汇交力系的合力对作用面内任一 点的矩等于力系中各分力对同一点之矩的代 数和——平面汇交力系的合力矩定理。
一. 力对点之矩

用扳手拧一螺母， 扳手连同螺母绕一 定点Ｏ转动。由经 验可知，力越大， 螺母拧得越紧；力 的作用线离螺母中 心愈远，拧紧螺母 愈省力。
F
d
O

经验表明：力Ｆ使物体绕定点Ｏ的转动效应， 不仅与力的大小有关，而且与Ｏ点到力的作用 线的垂直距离d有关。 用乘积Ｆd来度量力的转动效应。 将力的这种转动效应称为作用于物体上的力 F对空间任意一点O的矩。简称力矩，用符 号Ｍo (F)表示。即：

二．力对轴的矩
力对轴的矩用来度量力对 所作用的刚体绕某一固定轴转 动的效应。 该固定轴称为矩轴，通常 标识为Z轴。
三．合力矩定理
Mo (F)= Fd = Fr sin (a-q) = Fr (sin a cos q –sin q cos a) Fx= F cos a, Fy=F sina; x=r cosq, y=r sinq。 即： Mo (F)=x Fy-yFx y
Ｆy Ｆ
x q Ｏ d
Ａ a Ｆx y x
r
Mo (F1)=x F1y-yF1x Mo (F2)=x F1y-yF1x Mo (F3)=x F1y-yF1x
ＦR y Ｆ2 Ｆ1 Ｆ3
∑Mo(Fi)=x∑Fy-y∑Fx F1, F2, F3的合力为FＲ。 FＲ在x,y轴方向的分力为FＲx , FＲy
F1 F2 F3 F X F1 cos60 F2 cos60 - F3 0 Y F1 sin 60 - F2 sin 60 0

B
F2 F1 A F3

C
1 F1x F cos60 F , 2 1 F2 x F cos60 F , 2

即合力FR=0