高三数学-2018湖南师大附中高三月考试题(2)数学(文)

湖南师大附中高三第六次月考试卷数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），试题满分150分.考试时量120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的） 1．给出下列函数：①3x x y -=，②x x x y cos sin +⋅=，③x x y cos sin ⋅=， ④x x y -+=22，其中是偶函数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．若α、β终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是（ ）A ．βαsin sin =B ．βαcos cos =C ．βαtan tan =D ．βαcot cot =3．设全集U=R ，(},034|{},2|||{2 A x x x B x x A 则<+-=>= B ）是（ ）A ．}2|{-<x xB ．}32|{≥-<x x x 或C ．}3|{≥x xD ．}32|{<≤-x x 4．函数xx x f 9)(+=的单调递增区间是（ ）A ．（－3，3）B ．),3(),3,(+∞--∞C ．（－3，+∞）D ．（－3，0），（0，3）5．设等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，若2:1:36=S S ，则=39:S S （ ）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:36．若1212221012)23(x a x a x a a x ++++=+ ，则-++++211531)(a a a a 212420)(a a a a ++++ 的值是 （ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－ 27．在平面α内的两条直线l 、m 都平行于平面β是平面βα//的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．不充分也不必要条件8．把)(x f =3x 的反函数)(1x f -图象向右平移2个单位就得到曲线C ，函数)(x g 的图象与曲线C 关于x y =成轴对称，那么)(x g 等于（ ）A ．2)()(+=x f x gB ．2)()(-=x f x gC ．)2()(+=x f x gD ．)2()(-=x f x g9．已知点A 为双曲线122=-y x 的顶点，点B 和点C 在双曲线的同一分支上，且A 与B在y 轴的异侧，则正△ABC 的面积是 （ ）A ．33B ．332 C ．33D ．3610．设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过其焦点的直线交于两点A 、B ，则⋅等于（ ）A ．43 B ．43-C ．－3D ．311．记函数x x x f sin 3)(2+=在区间[－2，2]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M+m 的 值为 （ ） A ．0 B ．3 C ．6 D ．812．13年前有一笔扶贫助学资金，每年的存款利息（年利率11.34%，不扣税）可以资助100人上学，平均每人每月94.50元。

文科数学试题（附中版）－（这是边文，请据需要手工删加）炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高三月考试卷(三）数学(文科）命题人、审题人：彭萍苏萍曾克平本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．(1)设i是虚数单位,则－1＋i－i2＋i3－i4＋…i100＝（C）(A）1 （B) 0 （C)－1 (D）i【解析】根据等比数列求和公式，可知原式＝错误!＝－1，故答案选C。

(2）给出命题p：直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋(a＋1）y＋1＝0互相垂直的充要条件是a＝－错误!；命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.下列结论中正确的是（D)（A）“p∧q"为真命题（B）“p∨q”为假命题（C)“p∨綈q”为假命题(D)“p∧綈q”为真命题【解析】命题p：直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋（a＋1)y＋1＝0互相垂直的充要条件是2a＋3(a＋1）＝0，得a＝－错误!，所以为真命题；命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，平面α与平面β相交也可以，所以为假命题，即p为真命题,q为假命题，所以“p∧綈q”为真命题，故答案选D。

（3）如果f(x）＝ax2－（2－a）x＋1在区间错误!上为减函数，则a的取值范围是（C)(A) (0，1] （B)[0，1) (C）［0,1] （D) （0，1）（4）计算机执行如图所示的程序,则输出的S值为(C）i＝6S＝1DOS＝S＊ii＝i－1LOOP UNTIL i＜3PRINT SEND（A）30 （B)120 (C）360 （D)720【解析】执行循环体依次得S＝6，i＝5;S＝30,i＝4；S＝120,i＝3；S＝360，i＝2，此时满足条件i＜3，所以输出的S ＝360，故答案选C。

炎德·英才大联考湖南师大附中2017-2018学年高三月考试卷(一)数 学(文科)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分及选做题，共8页。

时量120分钟，满分150分。

得分 一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满12i z i =+，则复数z 对应的点位于复平面内 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2．设集合{|||1}A x x =<，2{|log 0}B x x =<，则p ：“x A ∈”是q ：“x ∈B”成立的 A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、非充分也非必要条件 3．已知函数3log (0)()21(0)xx x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则21((1))(log )3f f f +的值是 A 、6 B 、5 C 、72 D 、534．已知p ：“x ∀∈R ，不等式21xm >-恒成立，则m ≤1”；q ：“函数()x f x e x =+有两个零点”，则A 、p 假，q 真B 、“p q ∧”真C 、“p q ∨”假D 、“p q ∧”假5．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整效)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为A 、25 B 、110C 、910D 、156．已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (a >0，b ∈R)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为-3，则a +b 的值是 A 、1 B 、-3C 、-lD 、37．已知一个多面体内接于球，其正视图、侧视图、俯视图都是如图的图形，中央的四边形是边长为1的正方形，则该球的表面积是A 、2B 、34πC 、3πD 、9π8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为8，则输出S 的值为 A 、512 B 、546 C 、1067 D 、10689．函数1x y a -=(a >0，a ≠1)的图象恒过定点M ，若点M 在直线1mx ny +=(m>0，n>0)上，则14m n+的 最小值为 A 、8 B 、9 C 、10 D 、1210．过点P(1-)的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A 、[0，6π] B 、[0，3π] C 、(0，6π] D 、(0，3π]11．已知函数2()22sin 1f x x x =+-，则它的最小正周期和一个单调增区间分别为A 、2π， [6π-，3π] B 、2π，[3π，56π]C 、π，[6π-，3π]D 、π，[3π，56π]12．x 为实数。

文科数学试题(附中版)炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高三月考试卷(一)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)复数z ＝i1＋i在复平面上对应的点位于(A)(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限【解析】A.∵z ＝i1＋i ＝i （1－i ）1－i 2＝12＋12i ，∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．故选A.(2)设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)＜1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则A ∩∁U B 表示的集合为(D) (A){x |x ≥1} (B){x |x ≤1}(C){x |0＜x ≤1} (D){x |1≤x ＜2}【解析】∵2x (x －2)＜1，∴x (x －2)＜0，∴0＜x ＜2；∴A ＝{x |2x (x －2)＜1}＝(0，2)；又∵B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝(－∞，1)，∴A ∩∁U B 表示的集合为[1，2)，故选D.(3)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～18岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如右，根据右图，可得这100名学生中体重在[56.5，64.5)的学生人数是(D)(A)15 (B)20 (C)30 (D)40【解析】体重在[56.5，64.5)的频率是(0.03＋0.05＋0.05＋0.07)×2＝0.4，所以这100名学生中体重在[56.5，64.5)的学生人数是100×0.4＝40，故选D.(4)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位，所得图象对应的函数(A)(A)在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 (B)在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减(C)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 (D)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减【解析】将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位，所得函数变为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，令k ＝0，π12≤x ≤7π12.故函数在区间[π12，7π12]上单调递增．故选A.(5)下列结论中，正确的是(C)①命题“若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2”的逆否命题是“若p ＋q ＞2，则p 2＋q 2≠2”；②已知a ，b ，c 为非零的平面向量，甲：a·b ＝a·c ，乙：b ＝c ，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③命题p ：y ＝a x (a ＞0且a ≠1)是周期函数，q ：y ＝sin x 是周期函数，则p ∧q 是真命题；④命题∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋1≥0的否定是綈p ：∀x ∈R ，x 2－3x ＋1＜0. (A)①② (B)①④ (C)①②④ (D)①③④ 【解析】①命题“若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2”的逆否命题是“若p ＋q ＞2，则p 2＋q 2≠2”故①正确；②已知a ，b ，c 为非零的平面向量，甲：a·b ＝a·c ，乙：b ＝c ，由a·b ＝a·c ，可得b ＝c 或a 与b －c 垂直，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件，故②正确；③命题p ：y ＝a x (a ＞0且a ≠1)是周期函数为假命题，q ：y ＝sin x 是周期函数为真命题，则p ∧q 是假命题，故③错误；④命题∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋1≥0的否定是綈p ：∀x ∈R ，x 2－3x ＋1＜0，故④正确，∴正确的命题是①②④，故选：C.(6)我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行下列算法的程序框图时，若输入的n ＝4，x ＝2，则输出V 的值为(B)(A)15 (B)31 (C)63 (D)127(7)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)(A)403 (B)803(C)40 (D)80【解析】由三视图知，几何体为其中一个侧面在下面的四棱锥，如图：其中SA ⊥平面ABCD ，SA ＝4，底面ABCD 为直角梯形，且DA ＝4，BC ＝1，AB ＝4，故几何体的体积为V ＝13×1＋42×4×4＝403.(8)定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜0.则(D)(A)f (0.76)<f (log 0.76)<f (60.5) (B)f (0.76)＜f (60.5)＜f (log 0.76) (C)f (log 0.76)<f (0.76)<f (60.5) (D)f (log 0.76)<f (60.5)<f (0.76)【解析】∵任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜0，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数，又∵0.76＜60.5＜|log 0.76| ，∴f (log 0.76)<f (60.5)<f (0.76)，故选D.(9)设f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1， x <2，log 3（x 2－1）， x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为(C)(A)(1，2)∪(3，＋∞) (B)(10，＋∞) (C)(1，2)∪(10，＋∞) (D)(1，2)【解析】令2e x －1>2()x <2，解得1<x <2，令log 3()x 2－1>2()x ≥2，解得x 为()10，＋∞，不等式f (x )>2的解集为(1，2)∪(10，＋∞)，故选C.(10)若函数f ()x ＝a e x －x －2a 有两个零点，则实数a 的取值范围是(D)(A)⎝⎛⎭⎫－∞，1e (B)⎝⎛⎭⎫0，1e (C)()－∞，0 (D)()0，＋∞ 【解析】f ()x ＝a e x －x －2a 的导函数f ′(x )＝a e x －1，当a ≤0时，f ′(x )＝a e x －1≤0恒成立，函数f (x )在R 上单调递减，不可能有两个零点；当a >0时，令f ′(x )＝a e x －1＝0，x ＝ln 1a，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln 1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln 1a ，＋∞上单调递增，所以f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫ln 1a ＝1＋ln a －2a ，令g (a )＝1＋ln a －2a ，可分析g (a )＝1＋ln a －2a 的最大值为g ⎝⎛⎭⎫12＝1＋ln 12－1＝－ln 2<0，所以f (x )的最小值小于0，函数f ()x ＝a e x －x －2a 有两个零点，则实数a 的取值范围是()0，＋∞.故选D.(11)过点P ()－1，1作圆C ：()x －t 2＋()y －t ＋22＝1()t ∈R 的切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →的最小值为(C)(A)103 (B)403 (C)214(D)22－3【解析】P A →·PB →＝(PC 2－1)2cos ∠APB ＝(PC 2－1)×(2cos 2∠APC －1)＝(PC 2－1)⎝⎛⎭⎫1－2PC 2＝PC 2＋2PC 2－3，其中PC 2＝(t ＋1)2＋(3－t )2＝2t 2－4t ＋10≥8，∴PC 2＋2PC 2－3≥8＋28－3＝214，故选C. (12)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对任意的x 都满足f (x ＋2)＝f (x )，当－1≤x ＜1时，f (x )＝sin π2x ，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是(A)(A)⎝⎛⎦⎤0，15∪(5，＋∞) (B)⎝⎛⎭⎫0，15∪[5，＋∞) (C)⎝⎛⎦⎤17，15∪(5，7) (D)⎝⎛⎭⎫17，15∪[5，7) 【解析】当a ＞1时，作函数f (x )与函数y ＝log a |x |的图象如下，结合图象可知， ⎩⎪⎨⎪⎧log a |－5|<1，log a |5|<1，故a ＞5； 当0＜a ＜1时，作函数f (x )与函数y ＝log a |x |的图象如下，结合图象可知， ⎩⎪⎨⎪⎧log a |－5|≥1，log a |5|≥－1，故0＜a ≤15.故选A.选择题答题卡本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是__(－7，24)__． 【解析】由(9－2＋a )(－12－12＋a )<0，得：－7<a <24.(14)已知两点A (－1，1)，B (3，0)则与AB →同向的单位向量是____．【解析】AB →＝(4，－1)，与AB →同向的单位向量是⎝⎛⎭⎫417，－117.(15)观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为__n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2__．【解析】每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.(16)已知集合M ＝{1，2，3，4，5}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是__625__．【解析】易知过点(0，0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有25个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)(2，4)，(2，5)，共6个，由古典概型知概率为625.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a <c ，D 为线段BC 的中点．已知AB →·BC →＝32，cos B ＝－14，b ＝4.求： (Ⅰ)a 和c 的值；(Ⅱ)求△ACD 的面积．【解析】(Ⅰ)由AB →·BC →＝32得ac cos(π－B )＝32，又cos B ＝－14，所以ac ＝6.2分由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝4，所以a 2＋c 2＝16－3＝13.4分 解⎩⎨⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因为a <c ，所以a ＝2，c ＝3.6分(Ⅱ)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝154由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝3151610分所以，S ΔACD ＝12AC ·CD sin C ＝12×4×1×31516＝315812分(18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝3，P A ＝BC ＝4, N ，T 分别为线段PC, PB 的中点。

湖南师大附中2018年高三年级第六次月考数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间150分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合=<--=<=N M x x x N x x M 则集合},032|{},2|||{2 （ ）A ．}22|{<<-x xB ．}31|{<<-x xC ．}32|{<<x xD ．}21|{<<-x x 2．在△ABC 中，C=2B ，则B Bsin 3sin 等于（ ）A ．ba B ．abC ．ca D ．ac 3．已知命题p ：公差不为0的等差数列}{n a 中的任何两项不相等；命题q ：公比不为1的等 比数列}{n b 中的任何两项不相等，则下列命题为真的是（ ）A ．p 或qB ．p 且qC ．┐p 或qD ．┐p 且q4．把函数x y 2cos =的图象按向量a 平移，得到x y 2sin =的图象，则 （ ）A ．)0,2(π=B ．)0,2(π-= C ．)0,4(π= D ．)0,4(π-=5．（理）圆122=+y x 上的点到直线t t y tx (3443⎩⎨⎧+=-=为参数）的距离的最大值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．1（文）直线过点（0，2），且被圆422=+y x 截得的弦长为2，则此直线的斜率是（ ） A ．23±B ．33±C ．2±D ．3±6．在四边形ABCD 中，==⋅且,0，则四边形ABCD 是 （ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形 7．如图，点E 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，则 过点E 且与直线AB 、B 1C 1都相交的直线的条数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数条 8．若),,0(,+∞∈b a 则“122<+b a ”是“b a ab +>+1”成立 的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 9．如图，在杨辉三角中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的 数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，……，记 其第n 项为a n ，则a 19等于 （ ） A ．11 B ．12 C ．55 D ．7810．将一张画了两轴的长度单位相同的平面直角坐标系的纸折叠一次，使点（2，0）与点（－2，4）重合，若点（7，3） 与点（m ，n ）重合，则m+n 的值为 （ ）A ．3B ．7C ．10D ．4 11．如图，在△ABCD 中，︒=∠=∠30CBA CAB ，AC 、BC边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 （ ） A ．1 B ．2C ．32D ．312．已知x 、y 满足12,00033-+=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+x y z y x y x 则的取值范围是（ ）A ．[－2，1]B ．),1[]2,(+∞--∞C ．[－1，2]D ．),2[]1,(+∞--∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上. 13．用火柴棒按下图的方法搭三角形： 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 . 14．函数),(132a x x y -∞+--=在区间上是增函数，则a 的取值范围是 . 15．在等式“][9][11+=”右边两个分灵敏的分母处，各填上一个自然数，使这两个自然数的和最小. 16．定义一种运算“*”，对于正整数n 满足以下运算性质：（1）1*1=1，（2）（n+1）*1=3（n*1）则n*1用含n 的代数式表示是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）如图，在圆422=+y x 上有一定点)3,1(--A 和两动点P 和Q ，PA PAQ ,30︒=∠与 x 轴交成的倾斜角为)65,0(,πθθ∈ （1）把线段PA 的长表示成θ的函数并求该函数的值域； （2）当线段PA 最长时求△PAQ 面积.18．（本小题满分12分）某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为)0(>k k ，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去.（1）若存款的利率为)048.0,0(,∈x x ，试写出存款量)(x g 及银行应支付给储户的利息 )(x h ；（2）存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？19．（12分）已知四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ABC BAD ，⊥PA 平面ABCD ，PA=AD=3BC=3，AB=2.（1）求点D 到平面PAC 的距离；（2）若点M 分PA 的比为2，求二面角M —CD —A 的正切值.20．（本小题满分12分）有)4(2≥n n 个正数，排成n n ⨯矩阵（n 行n 列的数表，如图）：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足：163,81,1434224===a a a ，（1）求公比q ； （2）用k 表示k a 4；（3）（文科生不做．．．．．）求nn a a a a ++++ 332211的值.… ………21．（本小题满分12分）（理科生做．．．．）已知OPQ ∆的面积为S ，且1=⋅PQ OP ； （1）若θ的夹角与求向量PQ OP S ),23,21(∈的取值范围； （2）设m S m OP 43,||==，以O 为中心，P 为焦点的椭圆经过点Q ，当),2[+∞在m 上 变动时，求||的最小值，并建立适当的直角坐标系求出此时的椭圆方程.（文科生做）在△ABC 中，已知B （－3，0），C （3，0），D 为线段BC 上一点，H BC AD ,0=⋅是△ABC 的垂心，且.3= （1）求点H 的轨迹M 的方程； （2）若过C 点且斜率为21-的直线与轨迹M 交于点P ，点Q （t ，0）是x 轴上任意一点， 求当△CPQ 为锐角三角形时t 的取值范围.22．（本小题满分14分）（理科生做．．．．）对于在区间[m ，n]上有意义的两个函数)()(x g x f 与，如果对任意],[n m x ∈ 均有],[)()(,1|)()(|n m x g x f x g x f 在与则称≤-上是非接近的，否则称)()(x g x f 与在],[n m 上是非接近的，现有两个函数)1,0(1log )()3(log )(21≠>-=-=a a ax x f a x x f a a 与，给定区间]3,2[++a a .（1）若)()(21x f x f 与在给定区间]3,2[++a a 上都有意义，求a 的取值范围. （2）讨论)()(21x f x f 与在给定区间]3,2[++a a 上是否接近的？（文科生做）已知函数)()(2c b a c bx ax x f >>++=的图象上有两点))(,(11m f m A 、))(,(22m f m B ，满足.0)()()]()([0)1(21212=⋅+⋅++=m f m f a m f m f a f 且（1）求证：0≥b ；（2）求证：)(x f 的图象被x 轴所截得的线段长的取值范围是)3,2[；（3）问能否得出)3(1+m f 、)3(2+m f 中至少有一个为正数？请证明你的结论.数学参考答案一、选择题：D ，A ，A ，C （理）A ，（文）B ，C ，B ，A ，C ，C ，D ，B 二、填空题：13．12+=n a n 14．1-≤a 15．4，12 16．13-n 提示：1213]1)1[(31,,3)12(313,3)11(312,111-=*-=*∴=*=*=*=*=*n n n三、解答题17．（1）解法1：设P 点的坐标为l PA y x =||),,(，于是3sin ,1cos -=-=θθl y l x .因为4),(22=+y x y x P 在圆上，所以4)3sin ()1cos (22=-+-θθl l ， 化简得).6sin(4)sin 3(cos 20,0)sin 3(cos 22πθθθθθ+=+=>=+-l l l l 得由].4,0()6sin(4),65,0(∈+=∴∈πθπθl ………………8分 解法2：直线PA 的方程为03tan tan ),1(tan 3=-+-+=+θθθy x x y 即 ∵圆心O 到直线PA 的距离为2222||2,tan 1|3tan |d R PA R d -=∴=+-=θθθθθθθθ222222cos )1tan 3(2tan 1)1tan 3(2tan 1)3(tan 42+=++=+--= ]4,0()6sin(4||),65,0(.|)6sin(|4|cos sin 3|2∈+=∴∈+=+=πθπθπθθθPA ……………………8分（2）由（1）得或者由几何性质得：当3πθ=即AP 过圆心时PA 最长为4，此时PA 为圆的直径. 所以PAQ ∆为直角三角形. 因为|PA|=4，所以2,32==PQ AQ .32||||21==∆PQ AQ S PAQ ……………………12分 18．解：（1）由题意，存款量2)(kx x g =，银行应支付的利息3)()(kx x g x x h =⋅=……4分（2）设银行可获收益为y ，则 32048.0kx kx y -⋅=………………6分03096.003096.022=-⨯='-⋅='kx x k y kx x k y 即令解得032.00==x x 或………………9分又当)032.0,0(,0,)048.0,032.0(,0,)032.0,0(在时时y y x y x ∴<'∈>'∈内单调递增， 在（0.182，0.188）单调递减. 故当032.0=x 时，y 在（0，0.188）内取得极大值，亦即最大值.答：存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益.………………12分 19．解法一：（1）过D 作DQ ⊥AC 于点Q ，⊥PA 平面ABCD ，DQ PA ⊥∴.………………（1分） ⊥∴DQ 平面PAC.………………（2分）∴又由DQ AC AB AD S ACD ⋅=⋅=∆2121， 522=+=BC AB AC ……………（4分） 556523=⋅=⋅=∴AC AB AD DQ ………（5分） ∴D 到平面PAC 的距离为.556…………（6分） （2）过A 作AK ⊥DC 于K 点，连MK. ∵PA ⊥平面ABCD ，∴MK ⊥CD. ∴∠MKA 为M —CD —A 的平面角.……………………（9分）ACD MA PM MAPMAD PA ∆==∴===在又.1,2,2,3 中，由面积相等， 得22,=⋅=⋅CD AK CD AB AD 又，.32tan ,223==∠∴=⋅=∴AK MA MKA CD AB AD AK ………………（12分）解法二：以A 为坐标原点，分别以,,所在直线为x 、y 、z 轴建立坐标系. ……………………………………（1分）（1）过D 作DQ PAC DQ DQ PA Q AC DQ ∴⊥∴⊥⊥,,,平面于 就是D 到平面PAC 的距离.………………（2分）设),0,1,2()(m BC AB m AC m AQ =+==),0,3,2()0,1,2()0,3,0(-=+-=+=∴m m m AQ DA DQ …………（4分）由53,0)3(4,2=∴=-+=⋅⊥m m m m 得…………（5分） .556)512()56(||22=+=……………………（6分）（2）过A 作).0,2,2(,-==⊥λλK DC AK 设点于………………（7分） 则,43,0,).0,23,2(=∴=⋅∴⊥-=+=λλλDK AK AD AK DK AD AK .2230)23()23(||22=++=∴………………（9分）MKA CD MK ABCD MA ∠∴⊥∴⊥.,平面 就是M —CD —A 的平面角.……（11分）.32||tan ==∠∴AK MKA ………………………………（12分） 20．解：（1）∵每一行的数列成等差数列，444342,,a a a ∴成等差数列，41,244444243=+=∴a a a a ；又每一列的数成等比数列，故1,2422444=⋅=a q a a ， 21,0,412=∴>=∴q a q n 且………………（文6分，理4分）（2）.16))(2(81)2(4243424ka a k d k a a k =--+=-+=……（文12分，理8分） （3）∵第k 列的数成等比数列 ).,,2,1()21()21(16444n k k k q a a k k k k kk =⋅=⋅=⋅=∴-- 记n nn S a a a a =++++ 332211，由错位相消法，可得.222nn n S +-=……（理12分）21．（理科）解：（1）,,θπθ-∴夹角为与夹角为与,sin ||||21)sin(||||21θθπPQ OP PQ OP S ⋅=-⋅=∴ 又,tan 21sin cos 121,1cos ||||θθθθ=⋅=∴=⋅=⋅S )23,21(∈S ，).3,4()3,1(tan ππθθ∈∴∈∴………………（5分）（2）以O 为原点，所在直线为x 轴建立直角坐标系，,43||21),,(),0,(000m y m S y x Q m P OPQ =⋅⋅=∴∆则设 ),23,(),0,(,2300±-==∴±=∴m x m y由,1,1)(00mm x m x m +=∴=-=⋅.49)1(||),23,1(2++=∴±+∴m m m m Q ……………………（8分） 令1)(,1)(>+=x x f x x x f 在上是增函数，),2(1)(+∞+=∴在mm m f 上为增函数， ||,2m 时当=∴的最小值为;23449)25(2=+………………（10分） 此时P （2，0），椭圆另一焦点为)0,2(-'P ，则椭圆长轴长,102)23()225()23()225(||||22222=++++-='+=P O a6410,102=-==b a ，故椭圆方程为.161022=+y x ………………（12分） （文科）解：（1）设),(),,(00y x A y x H ，则由0=⋅BC AD 知，AD 是△ABC 的高， .4,3.00y y x x ===∴得由 ).,3(),4,3().4,(y x y x y x A +=--=∴∴…（2分） ABC H ∆是 的垂心，0),3()4,3(,0=+⋅--∴=⋅y x y x即).0(9422≠=+y y x …………（6分）（2）直线CP 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+--=--=94)3(21).3(2122y x x y x y 由解得点P 的坐标为).23,0(…（7分） （i ）PCQ k CP ∠∴-=当,21是锐角时，点Q 只能在点C 的左侧，此时.3<t …（8分）（ii ）当PQC ∠为锐角时，0,0<>t k PQ 此时；…………（9分） （iii ）当QPC ∠为锐角时，.43,0)23,3()23,(,0->>-⋅->⋅t t 即.043<<-∴t ………………（12分） 22．（理科）（14分）（1）要使)()(21x f x f 与有意义，则有：.31003a x a a a x a x >⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠>>->-且要使)()(21x f x f 与在给定区间[a +2，a +3]上有意义。

湖南师范大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前项和，公差为d ，若201717100201717S S -=，则d 的值为（ ） A ．120 B ．110C ．10D ．20 2． 已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（a －x ），x ＜12x ，x ≥1若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13． 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A.7B.8C. 9D. 10【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件. 4． 已知2a =3b =m ，ab ≠0且a ，ab ，b 成等差数列，则m=（ ）A． B． C． D ．65．双曲线=1（m ∈Z ）的离心率为（ ）A．B ．2C．D ．36． 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.3y x = C.ln y x = D.y x = 7． 执行如图的程序框图，则输出的s=（ ）A． B．﹣ C． D．﹣8． 设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若633S S =，则96SS =（ ） A ．2 B ．73 C.83D ．3 9． 已知三棱锥S ABC -外接球的表面积为32π，090ABC ∠=，三棱锥S ABC -的三视图如图所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）A ．4 B． C ．8 D．10．圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积（ ） A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的倍 C.不变 D.缩小到原来的1611．设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<< D ．5x <-或05x << 12．设集合3|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,集合(){}2|220B x x a x a =+++>,若 A B ⊆,则的取值范围 （ ）A ．1a ≥B ．12a ≤≤ C.a 2≥ D ．12a ≤<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．在ABC ∆中，90C ∠=，2BC =，M 为BC 的中点，1sin 3BAM ∠=，则AC 的长为_________.14．平面向量，满足|2﹣|=1，|﹣2|=1，则的取值范围 ．15．在平面直角坐标系中，(1,1)=-a ，(1,2)=b ，记{}(,)|M O M λμλμΩ==+a b ，其中O 为坐标原点，给出结论如下：①若(1,4)(,)λμ-∈Ω，则1λμ==；②对平面任意一点M ，都存在,λμ使得(,)M λμ∈Ω； ③若1λ=，则(,)λμΩ表示一条直线； ④{}(1,)(,2)(1,5)μλΩΩ=；⑤若0λ≥，0μ≥，且2λμ+=，则(,)λμΩ表示的一条线段且长度为其中所有正确结论的序号是 ．16．已知抛物线1C ：x y 42=的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，且3||=PF ，双曲线2C ：12222=-by a x（0>a ，0>b ）的渐近线恰好过P 点，则双曲线2C 的离心率为 .【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.三、解答题（本大共6小题，共70分。

湖南师大附中高三年级第五次月考数学试卷（文科）考试时量：120分钟 试卷满分：150分说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的. 1．给出两个命题：p ：|x|=x 的充要条件是x 为正实数；q ：存在反函数的函数一定是单调函 数，则下列哪个复合命题是真命题（ ）A ．p 且qB ．p 或qC ．┐p 且qD ．┐p 或q2．在钝角△ABC 中，已知AB=3， AC=1，∠B=30°，则△ABC 的面积是（ ）A ．23 B ．43 C ．23 D ．43 3．已知两直线l 1：y=kx －3，和l 2：x+3y －6=0，设l 1与x 轴相交于A 点，l 2与y 轴相交于C 点，l 1与相l 2交于B 点，O 为坐标原点，若O 、A 、B 、C 四点共圆，则k 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．31D ．－31 4．在等比数列{a n }中a 5－a 1=15,a 4－a 2=6,且a 1>0，则a 3= （ ）A ．2B ．21 C ．4 D ．41 5．已知αα2cos ,2cot 则=的值为（ ）A ．53 B ．－53 C ．54 D ．－54 6．已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为y=±abx,(a , b>0), 若双曲线上有一点M(x 0, y 0), 使b|x 0|<a|y 0|,则双曲线的焦点 （ ）A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．当a>b 时在x 轴上D ．当a>b 时在y 轴上7．已知f(x)是定义在在R 上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2x ,则f －1(－41)的值为 （ ）A ．－21 B ．21 C ．－2 D ．28．已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面积为3，体积为12，则异面直线A 1B 1和BD 的距 离是 （ ）A ．3B ．4C ．6D ．89．设抛物线y 2=px(p>0)的准线为l ,将圆x 2+y 2=9按向量a =(2,0)平移后恰与l 相切，则p 的值 为（ ）A ．21 B ．41 C ．2D ．410．设a>0为常数，若函数f(x)=x 3－ax 在区间[1，+∞)上是单调函数，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，1]B ．[1，+∞)C ．（0，3]D ．[3，+∞)11．某企业要从其下属6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组，每厂至少调1人，则这8个名额的分配方案共有 （ ）A ．15种B ．21种C ．30种D ．36种12．球面上有三点，其中任意两点的球面距离都等于球的大圆周长的61，经过这三点的小圆的周长为4π，则这个球的表面积为（ ）A ．12πB ．24πC ．48πD ．64π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，共16分，请把各题的正确答案填写在题中的横线上. 13．设a ≠0为常数，已知(x+a)9和(ax+1)8这两个展开式中x 4的系数相等，则a 的值为 . 14．设e e n N n n n ()11(lim *,=+∈∞→已知为自然对数的底数），则=+-∞→nn n )111(lim . 15．某射手每次射击中靶概率为0.9，则射击5次仅中靶2次的概率是 . 16．在正三棱锥P —ABC 中，D 为PA 的中点，O 为△ABC 的中心，给出下列四个结论：①OD ∥平面PBC ； ②OD ⊥PA ；③OD ⊥BC ； ④PA=2OD.其中正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分）已知函数,cos cos sin 3)(2m x x x x f ++=其中m 为实常数 （1）求)(x f 的最小正周期； （2）设集合},36|{ππ≤≤-=x x A 已知当A x ∈时，)(x f 的最小值为2，当A x ∈时，求)(x f 的最大值.18．（本题满分12分）在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，M、N分别是PB、PC的中点.（2）若直线PB与底面ABC成60°角，求二面角P—MN—A的大小.19．（本题满分12分）设函数,241)(+=xx f （1）求证：对一切)1()(,x f x f R x -+∈为定值； （2）记*),()1()1()2()1()0(N n f nn f n f n f f a n ∈+-++++= 求数列}{n a 的通项公式及前n 项和.20．（本题满分12分）如图，设△OFP 的面积为S ，已知.1=⋅FP OF （1）若S 求向量,2321<<的夹角θ的取值范围； （2）若||,2|||,|43OP OF OF S 当且≥=取最小值时，建立适当的直角坐标系，求以O 为中心，F 为一个焦点且经过点P 的椭圆方程.21．（本题满分12分）在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口O，一艘机艇以40km/h的速度从O港出发，先沿东偏北某个方向直线前进到达A处，然后改向正北方向航行，总共航行30分钟因机器出现故障而停在湖里的P处.由于营救人员不知该机艇的最初航向及何时改变的航向，故无法确定机艇停泊的准确位置，试划定一个最佳的弓形营救区域（用图形表示），并说明你的理由.22．（本题满分14分）设二次函数f(x)=ax2+2bx+c(a≠0),已知f(1)=b.（1）求证：存在x1,x2∈R，且x1≠x2,使f(x1)=f(x2)=0;（2）对(1)中的x1, x2 ,若(a－b)(a－c)>0，求|x1－x2|的取值范围.湖南师大附中高三年级第五次月考 数学试卷（文科）参考答案一、选择题：DBACAB DBDCBC 二、填空题：13．95 14．e115．0.0181； 16．③，④ 三、解答题： 17．（1）.21)62sin(22cos 12sin 23)(m x m x x x f +++=+++=π （4′） π=∴T （6′）)21.(27)(,6,262,25)62sin()()01(.2.)6()(,36)2(max min '===+∴++=∴'==-=≤≤-x f x x x x f m m f x f x 时即当由已知时当πππππππ18．（1）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAB.∵MN//BC ，∴MN ⊥平面PAB ， ∴平面AMN ⊥平面PAB. （6′） （2）∵MN ⊥平面PAB ，∴MN ⊥MA ，MN ⊥MP ，∴∠PMA 为所求二面角的平面角. （9′）由已知∠PBA=60°，∴∠APB=30°，又AM 是Rt △PAB 的斜边PB 上的中线， ∴MA=MP ，从而△PMA 为等腰三角形，∴∠PMA=120°. （12′）19．（1）)6(.214244241241241)1()(1'=⋅+++=+++=-+-x xx x x x f x f)21(.8)3(2341)]1(432[41)01(.41,2121.21)0()1(,21)2()2(,21)1()1(,21)1()0()1()2('+=⋅+⋅=+++++='+=∴+=+=+=-+=-+=+n n n n n S n a n a n f f n n f n f n n f n f f f n n n 个式子相加得将上述知由20．（1）由题设及已知.2tan 1cos ||||sin ||||21s s =⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅θθθ).3,4(,3tan 1,2321ππθθ∈∴<<∴<<s（4′） （2）以O 为原点OF 所在直线为x 轴建立直角坐标系.设|OF |=c ，P(x 0 , y 0).)01().23,25(.||,)(,2.),2[)(.011)(,2,1)()8(.49)1(||.1,1)(,1),,(),0,()6(.23|||,|43||||21|,|43222020000000'±=∴+∞∴>-='≥+='++=+=∴+=⇒=-∴=⋅-='=∴=⋅⋅∴=P OP c f c c f c c f c c c c f c c y x c c x c x c y c x c y y S 此时为最小从而为最小时当上是增函数在时则当设设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，则 .6,101494254222222==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-b a b ab a 故椭圆方程为)21.(161022'=+y x 21．以O 为原点.湖岸线为x 轴建立直角坐标系.设OA 的倾斜角为θ，P(x , y).⎪⎩⎪⎨⎧'=+⋅>++=++=+'=+=++<++=+'<<⎪⎩⎪⎨⎧=++====)01(20222)4sin(2)cos (sin )8(400)(2sin 2)6()20(20sin cos ,||,||2222222n m n m n m y x n m m n n m m n n m y x n m m n y m x n AP m OA πθθθθπθθθ由此可得则故营救区域为直线x+y=20与圆x 2+y 2=400围成的弓形区域（图略）（12′）22．（1）.0).(,)1(≠+-=∴=a c a b b f.0])[(2)(44)(4442222222>+++=++=-+=-=∆∴c a c a ac c a ac c a ac b ∴方程f (x )=0有二不等实根，即结论成立. （4′）)41().32,3[||),49,0[)21()21(.120)1)(2(.0))(2().(,0))(()01(.3)21(4||,,2)2(21222212121'∈-∴∈+∴'<<-⇒>-+⇒>-+∴+-=>--'++==-∴=-=+x x a ca ca c a c c a c a c abc a b a a c x x a c x x a bx x。

湖南师大附中2018届高三月考试卷(一)数 学(理科)命题人：黄祖军 徐凡训 审题：高三备课组(考试范围：高考全部内容(除选考部分))得分：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1〈x 〈4}，集合B ＝{x |2≤x 〈5}，则A ∩( U B )＝(B) (A){x |1≤x 〈2} (B){x |1〈x 〈2} (C){x |x 〈2} (D){x |x ≥5}【解析】A UB ＝{x |x 〈2或x ≥5}，故A ∩(（A U B )＝{x |1〈x 〈2}，故选B. (2)若a 〉b 〉0，c ＜d ＜0，则一定有(B) (A)a d 〉b c (B)a d 〈b c (C)a c 〉b d (D)a c 〈b d【解析】∵c ＜d ＜0，∴1d ＜1c ＜0，∴－1d ＞－1c ＞0，而a ＞b ＞0，∴－a d ＞－b c ＞0，∴a d ＜bc，故选B. (3)一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为(C)(A)48 cm 2 (B)144 cm 2 (C)80 cm 2 (D)64 cm 2【解析】三视图复原的几何体是正四棱锥，斜高是5 cm ，底面边长是8 cm ，侧面积为12×4×8×5＝80(cm 2).故选C.(4)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题(D)(A)与原命题同为假命题 (B)与原命题的否命题同为假命题 (C)与原命题的逆否命题同为假命题 (D)与原命题同为真命题 【解析】原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题.故选D.(5)函数f (x )＝ln(x 2＋2)的图象大致是(D)【解析】由已知，函数为偶函数，所以C 错；函数的定义域为R ，所以B 错；令x ＝0，f (0)＝ln 2≠0，所以A 错；故选D.(6)设函数f (x )＝错误!则满足f (x )≤2的x 的取值范围是(C) (A)[－1,2] (B)[0,2] (C)[0，＋∞) (D)[1，＋∞)【解析】当x ≤1时，21－x ≤2，解得x ≥0，又因为x ≤1，所以0≤x ≤1；当x 〉1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，又因为x 〉1，所以x 〉1.故x 的取值范围是[0，＋∞).故选C.(7)m ∈(－∞，－2)是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的(A)(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【解析】当m 〈－2时，m －5〈0，m 2－m －6＝(m －3)(m ＋2)〉0，所以此方程表示焦点在y 轴上的双曲线；反之，若此方程表示双曲线，则m 〈－2不成立.如m ＝4也表示双曲线.所以m ∈(－∞，－2)是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的充分不必要条件.(8)122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1的值为(C) (A)n ＋12(n ＋2)(B)34－n ＋12(n ＋2)(C)34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2 (D)32－1n ＋1＋1n ＋2 【解析】∵1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， ∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2. (9)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b ＝c ，且满足sin B sin A ＝1－cos B cos A ，若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0〈θ〈π)，OA ＝2OB ＝2，则平面四边形OACB 面积的最大值是(A)(A)2＋534 (B)1＋534 (C)3 (D)2＋52【解析】由已知得sin(A ＋B )＝sin A sin C＝sin A c ＝a ，又b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形，∴AB 2＝5－4cos θ，S OACB ＝12×1×2sin θ＋34AB 2＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534≤2＋534，选A. (10)△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝1，设点P 、Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R .若BQ ·CP ＝－2，则λ＝(A)(A)13 (B)23 (C)43(D)2 【解析】以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴的正方向，AC 为y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，由题知B (2,0)，C (0,1)，P (2λ，0)，Q (0,1－λ)，BQ ＝(－2,1－λ)，CP ＝(2λ，－1)，∵BQ ·CP ＝－2，∴1＋3λ＝2，解得λ＝13，故选A.(11)已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下依次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则有|AB |·|CD |(A)(A)等于1 (B)最小值是1 (C)等于4(D)最大值是4【解析】设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据线定义得|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝(y 1y 2)216，而y 1y 2＝－4，代入上式，得|AB |·|CD |＝1.故选A.(12)已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]上方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是(D)(A)⎣⎡⎭⎫0，12 (B)⎣⎡⎭⎫12，＋∞ (C)⎣⎡⎭⎫0，13 (D)⎝⎛⎦⎤0，12【解析】方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的根 f (x )＝m (x ＋1)有两个不同的根 y ＝f (x )与函数y ＝m (x ＋1)的图象有两个不同的交点，当x ∈(－1,0)时，x ＋1∈(0,1)，f (x )＋1＝1f (x ＋1)＝1x ＋1，∴f (x )＝1x ＋1－1， 所以f (x )＝错误!在同一坐标系内作出y ＝f (x )，x ∈(－1,1]与y ＝m (x ＋1)的图象，由图象可知，当两个函数图象有两个不同公共点时，m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12. 二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13)设{a n }是由正数．．组成的等比数列，S n 为其前n 项和.已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则其公比q 等于 12.【解析】∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1， ∴设{a n }的公比为q ，则q 〉0，且a 23＝1，即a 3＝1. ∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴q ＝12.(14)某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 5 公里处.【解析】设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20x ，y 2＝0.8x .费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥2 0.8x ·20x ＝8，当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时“＝”成立.(15)已知函数f (x )＝x 2－x ，x ，y 满足条件错误!若目标函数z ＝ax ＋y (其中a 为常数)仅在⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，则a 的取值范围是 (－1,1) .【解析】由已知得错误!即错误!目标函数z ＝ax ＋y (其中a 为常数)仅在⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，即y ＝－ax ＋z 在过点⎝⎛⎭⎫12，12时在y 轴的截距最大，如图，知所求a 的取值范围是(－1,1). (16)给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i 〈j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示. ①若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝ 5 ；②若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为 2m －3 .【解析】①∵2＋4＝6,2＋6＝8,2＋8＝10,4＋6＝10,4＋8＝12,6＋8＝14，∴L (A )＝5. ②不妨设数列{a n }是递增等差数列可知a 1〈a 2〈a 3〈…〈a m ，则a 1＋a 2〈a 1＋a 3〈…〈a 1＋a m 〈a 2＋a m 〈…〈a m －1＋a m ，故a i ＋a j (1≤i 〈j ≤m )中至少有2m －3个不同的数.又据等差数列的性质：当i ＋j ≤m 时，a i ＋a j ＝a 1＋a i ＋j －1； 当i ＋j 〉m 时，a i ＋a j ＝a i ＋j －m ＋a m ，因此每个和a i ＋a j (1≤i 〈j ≤m )等于a 1＋a k (2≤k ≤m )中一个， 或者等于a l ＋a m (2≤l ≤m －1)中的一个.故L (A )＝2m －3.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第(17)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)，(23)题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：60分. (17)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，a ≠0，x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝1，f (x )的最大值是2. (Ⅰ) 求a 、b 的值；(Ⅱ) 先将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，已知g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，求cos 2α的值. 【解析】(Ⅰ)由已知有：错误!解之得：错误!3分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)有f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，5分 因为将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，7分 由g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2得sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝513，且2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－1213，10分 cos 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3 ＝－1213×12＋513×32＝53－1226.12分(18)(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ＝2，M 为CD 边的中点，沿BM 将△CBM 折起使得平面BMC ⊥平面ABMD .(Ⅰ)求证：平面AMC ⊥平面BMC ；(Ⅱ)求四棱锥C －ADMB 的体积；(Ⅲ)求折后直线AB 与平面ADC 所成的角的正弦值.【解析】(Ⅰ)∵ 平面BMC ⊥平面ABMD ，平面BMC ∩平面ABMD ＝MB ， 由题易知AM ⊥MB ，且AM 平面ABMD ， ∴ AM ⊥平面BMC ， 而AM 平面AMC ， ∴平面AMC ⊥平面BMC . 3分(Ⅱ)由已知有△CMB 是正三角形，取MB 的中点O ， 则CO ⊥MB . 又平面BMC ⊥平面ABMD 于MB ， 则CO ⊥平面ABMD ，且CO ＝32，5分 易求得S 梯形ABMD ＝334， ∴V C －ABDM ＝13×334×32＝38.7分(Ⅲ)作Mz ∥CO ，由(Ⅰ)知可如图建系，则A (3，0,0)，B (0,1,0)，C ⎝⎛⎭⎫0，12，32，AB ＝(－3，1,0).又MD ＝12BA 得D ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，CA ＝⎝⎛⎭⎫3，－12，－32，CD ＝⎝⎛⎭⎫32，－1，－32.9分设平面ACD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则错误!得n ＝(1，－错误!，3). 设折后直线AB 与平面ADC 所成的角为θ，则sin θ＝|n ·AB ||n ||AB |＝3913.12分 (19)(本小题满分12分)一商家诚邀甲、乙两名围棋高手进行一场网络围棋快棋比赛.每比赛一局商家要向每名棋手支付2 000元对局费，同时商家每局从转让网络转播权及广告宣传中获利14 000元.从两名棋手以往的比赛中得知： 甲每局获胜的概率为35，乙每局获胜的概率为25，两名棋手约定：最多下五局，先连胜两局者获胜，比赛结束，比赛结束后，商家为获胜者颁发5 000元的奖金，若没有决出获胜者则各颁发2 500元.(Ⅰ)求下完五局且甲获胜的概率是多少？(Ⅱ)商家从这场网络棋赛中获得的收益的数学期望是多少？ 【解析】(Ⅰ)设下完五局且甲获胜为事件A ，则5局的胜负依次为： 乙胜、甲胜、乙胜、甲胜、甲胜.P (A )＝⎝⎛⎭⎫353·⎝⎛⎭⎫252＝1083 125.4分(Ⅱ) 设ξ表示比赛的局数，η表示商家相应的的收益. 则η＝(14 000－2×2 000)ξ－5 000＝10 000ξ－5 000， 根据题意ξ可取2,3,4,5. P (ξ＝2)＝⎝⎛⎫352＋⎝⎛⎭⎫252＝1325； P (ξ＝3)＝25×⎝⎛⎭⎫352＋35×⎝⎛⎭⎫252＝625；P (ξ＝4)＝25×⎝⎛⎭⎫353＋35×⎝⎛⎭⎫253＝78625；P (ξ＝5)＝2×⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫352＝72625或P (ξ＝5)＝1－[P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)]＝72625.10分 ∴Eξ＝2×1325＋3×625＋4×78625＋5×72625＝1 772625，Eη＝10 000Eξ－5 000＝28 352－5 000＝23 352.商家从这场网络棋赛中获得的收益的数学期望是23 352元. 12分或单设ξ为收益，可取15 000,25 000,35 000,45 000.相应的概率与上同，再求Eξ. (20)(本小题满分12分)已知抛物线的方程x 2＝2y ，F 是其焦点，O 是坐标原点，由点P (m ，－3)(m 可为任何实数)向抛物线作两条切线，切点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).(Ⅰ)求证：OA ·OB ＝3；(Ⅱ)证明直线AB 过定点并求△ABO 与△AFO 面积之和的最小值.【解析】(Ⅰ)由y ＝x 22得y ′＝x ，设由点P (m ，－3)向抛物线作切线的切点的坐标是⎝⎛⎭⎫x ，x 22， 则切线的斜率等于点P 与切点连线的斜率，即：x ＝x 22－(－3)x －m ，2分得x 2－2mx －6＝0，设切点A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222，则x 1x 2＝－6， 故OA ·OB ＝x 1x 2＋x 212·x 222＝－6＋(－6)24＝3.5分另法：设切线方程：y ＋3＝k (x －m )与x 2＝2y 联立得：x 2－kx ＋mk ＋3＝0，其判别式k 2－4(mk ＋3)＝0，得两条切线的斜率之积k 1k 2＝－12，切点横坐标x ＝k 2，两切点的横坐标之积x 1x 2＝k 12·k 22＝－6，再后同上.(Ⅱ)设直线AB 的方程为：y ＝kx ＋b ，代入x 2＝2y 整理得：x 2－2kx －2b ＝0， 设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222，则x 1x 2＝－2b ＝－6，即b ＝3， 即直线AB ：y ＝kx ＋3过定点D (0,3).8分 因为x 1x 2＝－6＜0，不妨设x 1〈0〈x 2， S △ABO ＋S △AFO ＝12|OD |(|x 1|＋|x 2|)＋12|OF ||x 1|＝32(x 2－x 1)－14x 1＝32x 2＋212x 2≥232x 2·212x 2＝37， 当且仅当32x 2＝212x 2即x 2＝7时取等号.此时面积之和取最小值37.12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)已知函数f (x )＝x (1－x 2)x 2＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，求f (x )的最大值； (Ⅱ)已知函数g (x )＝ax ＋b x 2＋c 是定义在R 上的奇函数，且当x ＝1时取得极大值1.(ⅰ)求g (x )的表达式；(ⅱ)若x 1＝12，x n ＋1＝g (x n )，n ∈N ＋，求证：(x 2－x 1)2x 1x 2＋(x 3－x 2)2x 2x 3＋…＋(x n ＋1－x n )2x n x n ＋1≤310. 【解析】(Ⅰ)f ′(x )＝(1－3x 2)(x 2＋1)－2x (x －x 3)(x 2＋1)2＝1－4x 2－x 4(x 2＋1)2＝5－(x 2＋2)2(x 2＋1)2.易知当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，恒有f ′(x )〈0，∴f max (x )＝f ⎝⎛⎭⎫12＝310.3分 (Ⅱ)(ⅰ)由已知有g (0)＝0 b ＝0，则g (x )＝axx 2＋c ，g ′(x )＝a (x 2＋c )－2ax 2(x 2＋c )2＝ac －ax 2(x 2＋c )2，∵当x ＝1时g (x )取得极大值1，则g ′(1)＝0 a (c －1)＝0， 又a ≠0(否则有g (x )＝0，不合题意，则c ＝1. 而g (1)＝a 1＋1＝1 a ＝2，则g (x )＝2xx 2＋1.7分 (ⅱ)由x 1＝12及x n ＋1＝g (x n )＝2x n x 2n ＋1易知x n 〉0 x n ＋1＝2x nx 2n ＋1＝2x n ＋1x n≤1x n ＋1－x n ＝x n (1－x 2n )x 2n ＋1≥0{x n }是满足x n ＋1≥x n 且x n ∈⎣⎡⎦⎤12，1，n ∈N ＋，则由(Ⅰ)知 x n ＋1－x n ＝x n (1－x 2n )x 2n ＋1≤310，9分∴(x n ＋1－x n )2x n x n ＋1＝(x n ＋1－x n )(x n ＋1－x n )x n x n ＋1≤310·(x n ＋1－x n )x n x n ＋1＝310⎝⎛⎭⎫1x n －1x n ＋1，∴(x 2－x 1)2x 1x 2＋(x 3－x 2)2x 2x 3＋…＋(x n ＋1－x n )2x n x n ＋1≤310⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＋1x 2－1x 3＋…＋1x n －1x n ＋1 ＝310⎝⎛⎭⎫1x 1－1x n ＋1， 而x 1＝12且x n ＋1∈⎣⎡⎦⎤12，1，则1x 1－1x n ＋1∈[0,1]， ∴(x 2－x 1)2x 1x 2＋(x 3－x 2)2x 2x 3＋…＋(x n ＋1－x n )2x n x n ＋1≤310⎝⎛⎭⎫1x 1－1x n ＋1≤310 得证.12分(二)选做题：共10分.请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：错误!(α为参数，a ∈R 且a 〉1)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－3. (Ⅰ)若曲线C 上存在点P 其极坐标(ρ，θ)满足2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－3，求a 的取值范围； (Ⅱ)设M 是曲线C 上的动点，当a ＝3时，求点M 到直线l 的的距离的最小值. 【解析】(Ⅰ)曲线C 的方程可化为：x 2a 2＋y 2＝1(a 〉1)，直线l 的方程化为直角坐标方程是：x －y ＋3＝0，2分 据题意直线l 与曲线C 有公共点，联立它们的方程并代入整理得：(a 2＋1)x 2＋6a 2x ＋8a 2＝0， 则其判别式Δ＝36a 4－32a 2(a 2＋1)≥0，解之得：a ≥22，即a ∈[22，＋∞).5分(Ⅱ)设M (3cos α，sin α)，点M 到直线l 的的距离为d ， 则d ＝|3cos α－sin α＋3|2＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋32， d min ＝12＝22.10分 (23)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a |，x ∈R ，a ≥1. (Ⅰ)求证：f (x )≥2；(Ⅱ)若f (3)≤5，求a 的取值范围.【解析】(1)f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a |≥|x ＋a －1－x ＋2a |＝|3a －1|， 又a ≥1，所以f (x )≥2；5分 (2)f (3)≤5即|a ＋2|＋|2a －3|≤5，解之得：0≤a ≤2，又a ≥1，故所求的a 的取值范围是[1,2].10分。

湖南师大附中2018届高三月考试卷(七)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设集合A＝{x|－3<x<π}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则A∩B的元素个数为(C)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】因为集合A＝{x|－3<x<π}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，所以集合A中含有所有奇数，A∩B＝{－1，1，3}，A∩B的元素个数为3，故选C.(2)若复数z满足(1－i)z＝1＋3i，则|z|＝(B)(A) (B) (C) (D)【解析】由(1－i)z＝1＋3i，则z＝，|z|＝＝＝，故选B.(3)为了检查某超市货架上的奶粉是否合格，要从编号依次为1到50的袋装奶粉抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是(D)(A)5，10，15，20，25 (B)2，4，8，16，32(C)1，2，3，4，5 (D)7，17，27，37，47【解析】从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，采用系统抽样间隔应为10，只有D答案中的编号间隔为10，故选D.(4)设集合A＝，B＝{x||x－1|<a}，则“a＝1”是“A∩B≠”的(A)(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【解析】由题意得A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|1－a<x<a＋1}．①当a＝1时，B＝{x|0<x<2}，则A∩B＝{x|0<x<1}≠成立，即充分性成立．②若a＝，则A∩B＝{x|－1<x<1}∩{x|<x<}＝{x|<x<1}≠故必要性不成立．综合得“a＝1”是“A∩B≠”的充分不必要条件，故选A.(5)已知动圆M与圆C1：＋y2＝1外切，与圆C2：＋y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是(A)(A)＋＝1 (B)＋＝1(C)＋y2＝1 (D)x2＋＝1【解析】设动圆M的半径为r，则|MC1|＝r＋1，|MC2|＝5－r，∴|MC1|＋|MC2|＝6>|C1C2|，故圆M的轨迹是以C1(－1，0)，C2(1，0)为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为＋＝1.(6)4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元，则2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差的最大值是(B)(A)－1 (B)0 (C)1 (D)2【解析】设一枝玫瑰花与一枝茶花价格分别为x元和y元，则有令z＝2x－3y，如图作出可行域：当过点A(3，2)时，2x－3y有最大值，z＝0，故选B.(7)已知α，β∈，＝，且2sin β＝sin，则β的值为(A)(A) (B) (C) (D)【解析】∵α∈，＝＝tan α，∴α＝，∴sin α＝，cos α＝；∵2sin β＝sin＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos β＋sin β化简可得∴tan β＝，∵β∈，∴β＝.故选A.(8)如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝(A)(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【解析】模拟执行程序框图，可得a＝14，b＝18，满足条件a≠b，不满足条件a>b，b＝4，满足条件a≠b，满足条件a>b，a＝10，满足条件a≠b，满足条件a>b，a＝6，满足条件a≠b，满足条件a>b，a＝2，满足条件a≠b，不满足条件a>b，b＝2，不满足条件a≠b，输出a的值为2.故选A.(9)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为a i(i＝1，2，…，10)，且a1<a2<…<a10，若48a i＝5M，则i＝(C)(A)4 (B)5 (C)6 (D)7【解析】由题意知，由细到粗每段的重量成等差数列，记为，设公差为d，则解得a1＝，d＝，所以该金杖的总重量M＝10×＋×＝15，∵48a i＝5M，∴48＝75，解得i＝6，故选C.(10)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(A)。

湖南师大附中2018届高三上学期月考试卷（三）（11月）数学文 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位，则2341001...i i i i i -+-+-++=（ ） A ．1 B ．0 C ．-1 D ．i2. 给出命题p ：直线310ax y ++=与直线2(1)10x a +++=互相垂直的充要条件是35a =-；命题q ：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ.下列结论中正确的是（ ） A ．“p q ∧”为真命题 B ．“p q ∨”为假命题 C ．“p q ∧”为假命题 D ．“p q ∨”为真命题3. 如果2()(2)1f x ax a x =--+在区间1(,]2-∞上为减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．[0,1)C ．[0,1]D ．(0,1) 4. 计算机执行如图所示的程序，则输出的S 值为（ ）A ．30B ．120 C. 360 D ．7205. 在等差数列{}n a 中，12016a =，其前n 项和为S n ，若201620172017201620162017S S -=⨯，则2016S 的值等于（ ）A ．2018B ．2017 C.2016 D ．2015 6. 在ABC ∆中，若cos 1cos2cos 1cos2b C Cc B B+=+，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C.等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．4 C.23 D ．438. 已知半径为4的圆O 是ABC ∆的外接圆，且满足11033OA AB AC ++=，则CA 在CB 上的投影为（ ）A． B．-D．-9. 在区间[0,4]上随机地选择一个数p ，则方程2380x px p -+-=有两个正根的概率为（ ） A ．13 B ．23 C. 12 D ．1410. 在直角坐标系中，若不等式021x y ax y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≤-+⎩表示一个三角形区域，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0a >B ．0a ≥ C. 2a ≤- D ．2a <-11. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F 、2F ，且两条曲线在第一象限的焦点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则121e e +的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．4(,)3+∞ C. 6(,)5+∞ D ．10(,)9+∞12. 已知函数()f x ()x R ∈满足(1)1f =，且()f x 的导数1()2f x '>，则不等式221()22x f x >+的解集为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞ C. (,1)[1,)-∞-+∞ D ．(1,1)-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 13.函数1(),0,()3(),0xx f x f x x ⎧>⎪=⎨⎪-<⎩，则31(log )6f = ．14.已知数列{}n a 满足112a =，11(1)n n n n a a a a n n ---=-（2n ≥），则该数列的通项公式n a = ．15.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下联表：参照附表，在犯错误的概率最多不超过 （填百分比）的前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”． 参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++16.函数2015log (1),2()sin ,0221()1,02xx x r f x x x π⎧⎪->⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩，若a ，b ，c ，d 是互不相等的示数，且()()()()f a f b f c f d ===，则a b c d +++的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数221()2(cos sin )12f x x x x =---，x R ∈，将函数()f x 向左平移6π个单位后得函数g()x ，设三角形ABC ∆三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . （Ⅰ）若c =()0f C =，sin 3sin B A =，求a 、b 的值；（Ⅱ）若()0g B =且(cos ,cos )m A B =，(1,sin cos tan )n A A B =-，求m n ⋅的取值范围. 18. 已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且11a =，12n n n a a S +=.*()n N ∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{2}n a n ⋅的前n 项和n T .19. 如图，在几何体中，四边形ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 的交点为O ，四边形DCEF 为梯形，//,EF DC FD FB =.（Ⅰ）若2DC EF =，求证：//OE 平面ADF ； （Ⅱ）求证：平面AFC ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）若2AB FB ==，3AF =，60BCD ∠=︒，求AF 与平面ABCD 所成角.20.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆T ：2212x y +=的一个焦点重合，点0(,2)M x 在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程以及MF 的值；（Ⅱ）记抛物线的准线C 与x 轴交于点H ，试问是否存在常数R λ∈，使得AF FB λ=且22854HA HB +=都成立？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数221()()ln (,)2f x ax a b x a x a b R =-++∈.（Ⅰ）当1b =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1,0a b =-=时，证明：21()12x f x e x x +>--+（其中e 为自然对数的底数）.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，曲线C ：sincos x y αααα⎧=+⎪⎨-⎪⎩（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线l ：sin()16πρθ+=.（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）曲线C 上恰好存在三个不同的点到直线l 的距离相等，分别求出这三个点的极坐标. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数,01,()1,1x x f x x x<<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，()()1g x af x x =--.（Ⅰ）当0a =时，若()2g x x b ≤-+对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）当1a =时，求()g x 的最大值.试卷答案一、选择题1-5: CDCCC 6-10:DCAAD 11、12：BD 二、填空题 13.16 14. 31n n - 15.5% 16. (4,2017) 三、解答题17.解：（Ⅰ）221()2(cos sin )12f x x x x =---12cos 21sin(2)126x x x π--=--， ()sin(2)106f C C π=--=，所以sin(2)16C π-=，因为112(,)666C πππ-∈-，所以262C ππ-=，所以3C π=， 由余弦定理知：222cos73a b ab π+-=，因为sin 3sin B A =，由余弦定理知：3b a =， 解得：1,3a b ==.（Ⅱ）由条件知()sin(2)16g x x π=+-，所以()sin(2)106g B B π=+-=，所以sin(2)16B π+=，因为132(,)666B πππ-∈，所以262B ππ+=，即6B π=，(cos ,cos )m A B =，(1,sin )n A A =，于是cos )m n A A A ⋅=-=1cos sin()26A A A π+=+， ∴6B π=，∴5(0,)6A π∈，得(,)66A πππ+∈， ∴sin()(0,1]6A π+∈，即(0,1]m n ⋅∈. 18.解：（Ⅰ）∵数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且11a =，12n n n a a S +=.*()n N ∈， ∴当1n =时，1212a a a =，解得22a =，当2n ≥时，112n n n a a S --=，11()2n n n n a a a a +--= ∵0n a >，∴112n n a a +--=，∴1a ，3a ，…，21n a -，…，是以1为首项，2为公差的等差数列，2121n a n -=-，2a ，4a ，…，2n a ，…，是以2为首项，2为公差的等差数，22n a n =，∴n a n =，*()n N ∈. （Ⅱ）∵n a n =，22n a n n n ⋅=⋅， ∴数列{2}n a n ⋅的前n 项和： 23122232...2n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅，① 23121222...(1)22n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅，②.②-①，得：1232(222...2)n n n T n +=⋅-++++112(12)2(1)2212n n n n n ++-=⋅-=-⋅+-.19. 解：（Ⅰ）证明：取AD 的中点G ，连接OG ，FG . ∵对角线AC 与BD 的交点为O ， ∴1//,2OG DC OG DC =，∵//,2EF DC DC EF =，∴//,OG EF OG EF =，∴OGEF 为平行四边形， ∴//OE FG ，∵FG ⊂平面ADF ，OE ⊄平面ADF ， ∴//OE 平面ADF ；（Ⅱ）证明：∵四边形ABCD 为菱形， ∴OC BD ⊥，∵FD FB =，O 是BD 的中点， ∴OF BD ⊥， ∵OF OC O = ， ∴BD ⊥平面AFC ， ∵BD ⊂平面ABCD ， ∴平面AFC ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）作FH AC ⊥于H .∵平面AFC ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD ， ∴FAH ∠为AF 与平面ABCD 所成角，由题意，BCD ∆为正三角形，2OA BD AB ==， ∵2FD FB ==，∴FBD ∆为正三角形，∴OF =.AOF ∆中，由余弦定理可得1cos 2AOF ∠==-， ∴120AOF ∠=︒， ∴30FAH AOF ∠=∠=︒， ∴AF 与平面ABCD 所成角30︒.20. 解：（Ⅰ）依题意，椭圆T ：2212x y +=中，222,1a b ==，故2221c a b =-=，故(0,1)F ，故12p=，则24p =，故抛物线C 方程为24y x =，将0(,2)M x 代入24y x =，记得01x =， 故122pMF =+=. （Ⅱ）（法一）依题意，(0,1)F ，设:1l x ty =+，设11(,y )A x ，22(,)B x y ， 联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，消去x ，得2440y ty --=.∴121244y y t y y +=⎧⎨=-⎩①且112211x ty x ty =+⎧⎨=+⎩，又AF FB λ= 则1122(1,)(1,)x y x y λ--=-，即12y y λ=-，代入①得222(1)44y t y λλ-=⎧⎨-=-⎩， 消去2y 得2142t λλ=+-，且(1,0)H -，则2222221122(1)(1)HA HB x y x y +=+++++22221212122()2x x x x y y =++++++2222121212(1)(1)2(2)2ty ty ty ty y y =+++++++++2221212(1)()4()8t y y t y y =+++++22(1)(168)448t t t t =+++⋅+42164016t t =++.由42851640164t t ++=， 解得218t =或2218t =-（舍），故2λ=或12.（法二）若设直线斜率为k ，讨论k 存在于不存在，酌情给分 21.解：221()()ln (,)2f x ax a b x a x a b R =-++∈.（Ⅰ）当1b =时，221()(1)ln 2f x ax a x a x =-++，2(1)()()(1)a ax x a f x ax a x x x--'=-++=. 讨论：1°当0a ≤时，0x a ->，10x>，10()0ax f x '-<⇒<， 此时函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间. 2°当0a >时，令1()0f x x a'=⇒=或a ， ①当1(0)a a a =>，即1a =时，此时2(1)()0(0)x f x x x -'=≥>，此时函数()f x 单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间； ②当10a a<<，即1a >时，此时在1(0,)a 和(,)a +∞上函数()0f x '>，在1(,)a a 上函数()0f x '<，此时函数()f x 单调递增区间为1(0,)a 和(,)a +∞；单调递减区间为1(,)a a； ③当10a a<<，即01a <<时，此时函数()f x 单调递增区间为(0,)a 和1(,)a +∞；单调递减区间为1(,)a a.（Ⅱ）证明：（法一）当1,0a b =-=时，21()12x f x e x x +>--+，只需证明：ln 10x e x -->，设g()ln 1(0)x x e x x =-->， 问题转化为证明0,()0x g x ∀>>. 令1g ()x x e x'=-，21()0x g x e x ''=+>，∴1g ()x x e x'=-为(0,)+∞上的增函数，且1g ()202'<，g (1)10e '=->，∴存在唯一的01(,1)2x ∈，使得0001g ()0,1x x e x '==-，∴g()x 在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增. ∴0min 00001()()ln 11211x g x g x e x x x =--=+-≥-=， ∴min ()0g x >，∴不等式得证. （法二）先证：1ln (0)x x x -≥> 令()1ln (0)h x x x x =-->，∴11()101x h x x x x-'=-==⇒=， ∴()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增 ∴min ()(1)0h x h ==，∴()h(1)1ln h x x x ≥⇒-≥. ∴1ln 11ln(1)x x x x x +≤+-=⇒+≤， ∴ln(1)x x e e +≤，∴11ln x e x x x ≥+>≥+，∴1ln x e x >+， 故ln 10x e x -->，证毕.22. 解：（Ⅰ）曲线sin ,cos ,x y αααα⎧=+⎪⎨-⎪⎩，可得：2222223cos cos sin ,3sin cos cos ,x y αααααααα⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩曲线的普通方程C ：224x y +=. 直线l：1sin()1sin cos 62πρθθρθ+==+. 直线l的直角坐标方程：20x -=. （Ⅱ）∵圆C 的圆心(0,0)半径为2，圆心C 到直线的距离为1， ∴这三个点在平行直线1l 与2l 上，如图：直线1l 与2l 与l 的距离为1. 1l：0x =，2l：40x -=.221,0,x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得1,x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩1,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩两个交点(1)-；221,40,x y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得(1， 这三个点的极坐标分别为：115(2,)(2,)66ππ、、(2,)3π 23. 解：（Ⅰ）当0a =时，()1g x x =--， ∴1212x x b b x x --≤-+⇒-≤-+-， ∵1212x x x x -+-≥-+- ∴1b -≤，∴1b ≥-（Ⅱ）当1a =时，21,01()11,1x x g x x x x-<<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩ 可知()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减 ∴max ()g(1)1g x ==.。