西安交通大学复变函数与积分变换试卷(B卷)及参考答案

复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+；复指数表示式=42ie p 。

2、复数()13z i =+的z =2；23Argz k pp =+；arg 3z p=；13z i =-。

3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。

10125212131i i i i i +-=+-=-。

4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î，求解方程组可得，45,1111x y -==。

5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。

6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+；ln()ie 12i p=+。

7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。

8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+；0,1,2k =。

1224(4)2i i -==±。

9、1sin 2e e i i --=；221cos ()22i e e pp p -=+；10 、21024z dzz z ==++ò ；1212z dz i z p ==-ò 。

11、设31cos ()zf z z -=，则0z =是（一级极点）；31cos 1Re [,0]2z s z -=。

1()s i n f z z=，0z =是本性奇点。

二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。

（1）()22f z x iy=+；解：22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶，一阶偏导连续，因此当,x y y x u v u v ==-时，即x y =时可导，在z 平面处处不解析。

第二章 解析函数一、选择题：1．B 可参照填空题第四小题的处理方法。

2．B 注： 函数)(z f 在点z 可导，)(z f 在点z 不一定解析；反之，)(z f 在点z 不解析，则函数)(z f 在点z 可导；函数)(z f 在一 区域内处处可导等价于处处解析3．D 注： A 三角函数的模可能大于1或无界；B 若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不一定不可导C 解析的条件; v u ,在区域D 内可微，v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，4． C 由柯西黎曼方程可得。

5．B 第二节例2.3的结论： 解析函数若)(z f '在某一区域内处处为零，则函数在此区域内为常数。

6．C 注：选项A ，B ，D 中函数)(z f 只是有定义，并为要求解析。

反例：x i x z f sin cos )(+= 选项C 设解析函数),(),()(y x iv y x u z f += 则 解析函数 ),(),()(y x iv y x u z f -=两式相加得到解析函数),()(y x u z g 2= 满足柯西黎曼方程 ，因此0=∂∂xu 两式相减得到解析函数),()(y x v z h 2= 满足柯西黎曼方程 ，因此 0=∂∂xv 所以，函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导数0=∂∂+∂∂=x v i x u z f )(' 根据：第二节例2.3的结论： 解析函数若)(z f '在某一区域内处处为零，则函数在此区域内为常数。

7．A 导数公式 xv i x u z f y x iv y x u z f ∂∂+∂∂=+=)('),(),()(，则导数若 8．A 注： 本题 函数是 z e ，不是 ze 。

))sin()(cos(y i y e e e x iy x z -+-==-判定时，按照判定复变函数可导解析的方法进行处理。

中国计量学院201 2 ~ 201 3 学年第二学期 《 复变函数与积分变换 》课程试卷（ B ）参考答案及评分标准开课二级学院： 理学院_ ，学生专业：电信等 教师：罗先发、沈鸿、吴跃生 一、选择题1、B2、D3、C4、B5、C 二、填空题1、五级极点2、|1|1z -<3、22i --4、-(21),k i k Z π+∈5、3 三、判断题1、√2、×3、×4、√5、√四、解答题 (第1、2小题各6分，3—8小题各8分，共60分) 1、求值：i i ．解[l n ||(a r g i i L n i i i i iki e e π++==………………（3分）[ln1(2)](2)22i i k k eeππππ++-+==…………………（6分）,2、计算：Czdz ⎰Ñ，其中C 是逆时针方向单位圆周曲线．解 :(02)i C z e θθπ=≤≤………………………（2分） 2220()2i i i i Czdz e d e e ie d i d i πππθθθθθθπ--==⋅==⎰⎰⎰⎰Ñ………………………（6分）3、计算：22cos 1z zdz z =-⎰Ñ． 解：因为21111()1211z z z =---+， 所以由柯西积分公式得2||2||2||2c o s 1c o s c o s[]1211z z z z z z dz dz dz z z z ====---+⎰⎰⎰蜒? ………………… (4分) 1112[cos |cos |][cos1cos(1)][cos1cos1]02z z i z z i i πππ==-=⋅-=--=-=……… (8分)4、计算：23223(1)z z z dz z =-+-⎰Ñ． 解 22332322233(1)(1)2112(1)(1)1(1)(1)z z z z z z z dz dz dz z z z z z ===⎡⎤-+---+==-+⎢⎥-----⎣⎦⎰⎰⎰蜒? 232221121(1)(1)z z z dz dz dz z z z ====-+---⎰⎰⎰蜒?……………… (4分) 2002i i ππ=-+=……………… (8分)5、计算：112()nn z zdz +∞=-=∑⎰Ñ．解 因为0n n z +∞=∑解析，所以由柯西积分定理知012()0nn z z dz +∞===∑⎰Ñ， 而1212z dz i z π==⎰Ñ……………… (4分)因此 1001111222211()()()nn n n n n z z z z z dz z dz dz z dz zz +∞+∞+∞=-=======+=+∑∑∑⎰⎰⎰⎰蜒蜒202i i ππ=+=……… (8分)6、判别函数21(1)sin 1z z --有限奇点的类型，并求出该奇点处的留数．(8分)解 1z =是函数21(1)sin 1z z --的有限孤立奇点，………………（1分）函数21(1)sin 1z z --在该孤立奇点的罗朗级数为2235711111(1)sin(1)[]113!(1)5!(1)7!(1)z z z z z z z -=--+-+-----L 35111(1)3!(1)5!(1)7!(1)z z z z =--+-+---L ………………（5分）因此，1z =是本性奇点，………………（6分） 函数该奇点处的留数为2111Re [(1)sin ;1]13!s z C z --==--.………………（8分）7、求函数1(1)(2)z z --在区域1||2z <<中的罗朗级数．解：因为1||2z <<，所以1||1,||12z z<<，由011n n u u ∞==-∑ (||1)u <得 ……………（4分） 1111111(1)(2)21112z z z z z z z=-=-------- ………………（6分） 00112n nn n z z z ∞∞==⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑1001 (1||2)2n n n n n z z z ∞∞+===--<<∑∑ ………………（8分）8、已知调和函数323u x xy =-，求其共轭调和函数v ，并求以u 为实部且满足条件(0)f i =的解析函数)(z f ．解2233u x y x ∂=-∂，6,u xy y∂=-∂由C-R 条件得 y v ∂∂=2233,ux y x ∂=-∂ （1） v x ∂-=∂6u xy y∂=-∂， （2）………………（3分） 将（1）式对x 积分得2(,)63()v x y xydx x y y ϕ==+⎰，（3） …………………………………（5分） （3）式对y 求导，代入（2），2()3y y ϕ'=，得 3()y y C ϕ=+于是，23(,)3v x y x y y C =++，…………………………………………（7分） 由iv u z f +=)(，且(0)f i =，得 1C =因此所求的解析函数为：)(z f =32323(31)x xy i y x y -++-+………………（8分）五、证明（每小题5分，共10分）1、设()f z 在区域D 内解析，且Im ()f z 在D 内恒为常数，证明()f z 在区域D 内必为常数．证明 设()f z u iv =+，则Im v z =是常数，因为()f z 解析，所以由C-R 条件知0,0,u v u v x y y x∂∂∂∂===-=∂∂∂∂………………（3分） 于是知 Re u z = 也是常数，从而()f z u iv =+是常数．………………（5分）2、证明：0z 是函数()f z 的(1)m m ≥级极点的充分必要条件是：()f z 可以表示为0()()()mz f z z z ψ=-的形式，其中()z ψ在0z 点解析，且0()0z ψ≠．证明 因为0z 是函数()f z 的(1)m m ≥级极点，由定义有(1)1010010001(1)00010000()()()()()1()()()()()(),()m nm n m m m m n m m m n m mC C C f z C C z z C z z z z z z z z C C z z C z z C z z C z z z z z z z ψ-----++---=+++++-++-+---⎡⎤=+-++-+-++-+⎣⎦-=-L L L L L L 其中1(1)000100()()()()()m m n m m m n z C C z z C z z C z z C z z ψ++---=+-++-+-++-+L L L在0z 的某个邻域内收敛，所有在该邻域内()z ψ解析，且0()0m z C ψ-=≠．于是必要性的证，……………………（4分）逆上述过程，即可证明充分性．……………………（5分）。

河南理工大学 2012—2013 学年第 1 学期《复变函数与积分变换》试卷（B 卷）参考答案及评分标准一. 填空题(每题4分,共32分)1. 1;2. cos sin 22i ππ+;3. 1-n nz ;4. 0z =是zz 31-的1阶极点，31)0,31(Re =-z z s ; 5. z=0; 6. 0;7. 2i π+; 8. ()()12F F ωω二. 选择题 (每题4分,共16分)1. C2. B3. B4. C三. 解答题 (共52分)1.解: 因为2u x ay x ∂=+∂,2u ax by y ∂=+∂,2v cx dy x ∂=+∂,2v dx y y ∂=+∂…………(2分)则对任意的(,)x y 有u v x y u v y x ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ 即2222x ay dx y ax by cx dy +=+⎧⎨+=--⎩………(4分)可得:2,1a d b c ====- …………………………………………… (6分).这时,()i 2()2i()22i u v f z x y x y z z x x ∂∂'=+=+---∂∂或……………(8分) 解1：⎰⎰⎰+⋅==+c - c )d isin 2i(cos 2cos 2Rezdz 21dz |z |z z ππθθθθ……(4分)i 4)d cos2(14i 0 πθθπ=+=⎰…………………………………………（7分）解2：⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+c 20 i i -i d 2ie 22e 22e dz |z |z |z |z πθθθθ………… (5分)i 40)2i(2ππ=+＝……………………（7分） 3. 解: 设()2145f z z z =++，则()f z 分母的次数比分子的高两次，在实轴上无孤立奇点，故所求积分存在. ()f z 有两个一阶极点：12z i =-+，22z i =--，其中12z i =-+在上半平面. ……………………………(2分)而()112Res ,lim (cos 2sin 2)22iz iz z i e e fe z i z i i -→-+==-++，…………………(4分) ()122Res ,45ix iz e dx i fe z x x π+∞-∞=++⎰11cos2sin 2e i e ππ--=-…………(6分) 122cos Re cos 24x 545ixx e dx dx e x x x π∞∞--∞-∞⎡⎤∴==⎢⎥++++⎣⎦⎰⎰.……………(8分)4. 解: )(z f 在复平面内有两个孤立奇点i z ±=……………………(1分) )(z f 在 2||0<-<i z 与 +∞<-<||2i z 内解析…………………(2分) 当0||2z i <-<时，1111()2f z z i z i z i i z i =⋅=⋅-+-+-011111(1)()22212n n n z i z i i z i i z i ii ∞=-=⋅⋅=----+∑…………………………(4分)1101(1)()()2n n n n z i i ∞+-==--∑…………………………………………………(5分)当+∞<-<||2i z ,i z i i z i z i i z z f -+-=-+⋅-=211)(1211)(2 n n n i z i i z )2()1()(102---=∑∞=…………………………………………(7分) 20)1()2(+∞=--=∑n n n i z i ………………………………………………(8分)5. 解：因为∑∑∞=∞=+∞<===0n 2n n 0n n 2z -)z (| z n!(-1)n!)(-z e(z)' f 2｜……（4分） 所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得 ∑⎰∞=++∞<+==0n 12n n z 0)z (| 12n z n!(-1))d (' f (z) f ｜ζζ…………(7分) 6.解: 法一、s i =±是222(1)st s e s +的二级极点，由计算留数的法则 ()22231()222Re ,lim 2(1)()()2st itst st s i s ist s i s s se ite s e i e s s i s i →='++-⎡⎤⎡⎤===-⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦， ()22231()222Re ,lim 2(1)()()2st itst st s i s ist s i s s se ite s e i e s s i s i -→=-'+--⎡⎤⎡⎤-===⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦ …………………………………………………………………………(4分)则ℒ1-222222Re ,(1)(1)st s s s e i s s ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦222Re ,(1)st s s e i s ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦………(6分) sin 22it itite ite t t -=-+=…………………………………………………(7分) 法二、因为()2221211d s ds s s ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦+，而且ℒ[]21sin 1t s =+，………(3分) 则由微分性质ℒ()d tf t ds=-⎡⎤⎣⎦ℒ()f t ⎡⎤⎣⎦得……………………………(5分)ℒ1-222(1)s s ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦sin t t =…………………………………………………(7分) 法三、由ℒ[]21sin 1t s =+，ℒ[]2cos 1s t s =+，………………………(2分) 利用Laplace 变换卷积定理得ℒ1-222(1)s s ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦2sin cos t t =*02sin cos()tx t x dx =-⎰…………………………………(5分) []0sin sin(2)t t t x dx =--⎰01sin cos(2)2t t t t x =--sin t t =………………(7分) 7. 解:设方程的解为y =y (t )，且ℒ[y (t )]=Y (s )，对方程两边做Laplace 变换得1()(0)()sY s y Y s s-+=…………………………………………(3分) 由初始条件整理得：1(1)()s Y s s += 解得 ()1()1Y s s s =+…………………………………(5分) 做Laplace 逆变换得原方程的解为()y t =ℒ1[()]Y S -=ℒ()11[]1s s -=+ℒ111[]11t e s s ---=-+………………(7分)。

复变函数与积分变换试题与答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设复数z 1cos i sin 33ππ=++，则arg z=（ ） A.-3π B.6πC.3πD.23π2.w=z 2将Z 平面上的实轴映射为W 平面的（ ）A.非负实轴B.实轴C.上半虚轴D.虚轴3.下列说法正确的是（ ）A.ln z 的定义域为 z>0B.|sin z|≤1C.e z ≠0D.z -3的定义域为全平面4.设C 为正向圆周|z|=1，n C sin zdz z⎰=2π i ，则整数n 为（ ）A.-1B.0C.1D.2 5.设C 为正向圆周|z|=2，则2Czdz z ⎰=（ ）A.-2πiB.0C.2πiD.4πi6.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=2C sin 6d (z)πςςς-⎰，则f′(1)=（ ）A.-3i 36π B.3i 36π7.设nn n 0a z∞=∑n n n 0b z ∞=∑和n n n n 0(a b )z ∞=+∑的收敛半径分别为R 1，R 2和R ，则（ ）A.R=R 1B.R=min{R 1,R 2}C.R=R 2D.R≥min{R 1,R 2}8.罗朗级数nn n 1n 0n 01z z 2∞∞-==+∑∑的收敛域为（ ） A.|z|<1 B.|z|<2C.1<|z|<2D.|z|>29.已知sinz=n 2n 1n 0(1)z (2n 1)!+∞=-+∑，则Res 4sin z,0z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（ ）A.1B.-13!C.13! D.15!10.整数k≠0，则Res[cot kz, π]=（ ） A.-1k B.0 C.1kD.k 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）请在每小题的空格中填上正确答案。

中国计量学院201 1 ~ 201 2 学年第二学期《 复变函数与积分变换 》课程试卷（B ）参考答案及评分标准开课二级学院： 理学院_ ，学生专业： ，教师： 武丹一、 选择题1、D2、D3、D4、C5、C二、 填空题1、四级极点2、|z-4|<123、-14、-5025、4 三、判断题1、错2、错3、错4、错5、对四、计算题1、0，2、03、04、 2sin 2i π5、2cos2i π五、解答题1、解：6,u xy x∂=-∂ 2233u y x y ∂=-∂ ……………………………（1分） y v ∂∂=6,u xy x ∂=-∂，（1）-=∂∂x v 2233u y x y∂=-∂， （2）………………（2分） 将（1）式对y 积分得(,)6v x y xydy =-⎰=23()xy x ϕ-+，（3） …………………………………（4分）（3）对x 求导，带入（2），2()3x x ϕ'=，得 3()x x c ϕ=+ 于是，23(,)3v x y xy x c =-++，…………………………………………（8分） 由iv u z f +=)(，且(0)f i =，得 1=c因此所求的解析函数为：)(z f =32323(31)y x y i x xy -+-+………………（10分）2、z=3为奇点， …………………………………………（1分）2101(1)1(3)cos 0|z-3|3(2)!(3)n n n z z n z ∞-=--=⋅<<+∞--∑ （6分） 所以是函数的本性奇点。

………… （8分）《 复变函数与积分变换 》课程试卷B 参考答案及评分标准 第 1 页 共 3 页111Re (3)cos ;332s z C z -⎡⎤-==-⎢⎥-⎣⎦ ………… （10分） 六、 计算题1、解：当1||0<<z 时，由∑∞==-011n n z z 得 ……………（4分） 21(1)z +＝20(1)n n n z ∞=-∑， )1||0(<<z ………………（8分） 221(1)z z +＝2201(1)n n n z z ∞=⋅-∑＝220(1)n n n z ∞-=-∑， )1||0(<<z ………………（10分） 2、解： 21111()1211z z z =---+ ，。

复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模.幅角。

2．-8i 的三个单根分别为： . . 。

3．Ln z 在 的区域内连续。

4．z z f =)(的解极域为：。

5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。

6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。

7．指数函数的映照特点是： 。

8．幂函数的映照特点是：。

9．若)(ωF =F [f (t )].则)(t f = F )][(1ω-f。

10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件.则L [f (t )]=。

二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=.求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数.且f (0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。

1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。

（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

八、（10分）就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ .ππk arctg 22ln 32+-2.3-i 2i 3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 0 7.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110. ⎰∞+-0)(dt e t f st二、解：∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += （5分）c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0 （3分）∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分）三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126⨯⨯i π=i 63π-四、1．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221 （3分） z 1=0z 2=1]11[2+-=i π=0（2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i （2分） 六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（3分） ∴结论成立 （2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i（2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX（3分）S （2）-（1）：∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数 10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（ ）条件。

复变函数与积分变换试题本试题分两部分，第一部分为选择题，1 页至3 页，第二部分为非选择题，4 页至8 页，共 8 页；选择题 40 分，非选择题 60 分，满分 100 分，考试时间 150 分钟。

第一部分 选择题一、单项选择题(本大题共20 小题，每小题2 分，共40 分)在每小题列出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

复数z =16- 8 i 的辐角为( )25 25D ．2k+4,k =0,1,7．函数w =z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz,0| z | 2 映射成 W 平面上的区域( )2A ．0<argz,0|w | 4 B ． 0<argz ,0|w | 42C ． 0<argz,0|w | 2D ． 0<argz,0|w | 28．若函数 f(z)在正向简单闭曲线 C 所包围的区域 D 内解析，在 C 上连续，且 z=a 为 D 内任 一点，n 为正整数，则积分c (z -f (a z ))n +1等于(9．设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分c (z -d i z)n +1等于(2． 3．4．5． 6． A ． arctan 1 B ．-arctan 1 22 方程 Rez 2 =1所表示的平面曲线为( ) A ． 圆 B ．直线复数z = -3(cos ,-isin )的三角表示式为 44A ． - 3(cos ,＋isin ) 44C ． 3(cos ,＋isin ) 设 z=cosi ，则( ) A ．Imz=0 B ．Rez=π复数e 3+i 对应的点在( A ．第一象限 设 w=Ln(1-I),则 Imw 等于( A ．－4B ．第二象限)C ．π-arctan 1 2D ．π+arctan 1 2C ．椭圆D ．双曲线B ．D． C ．C ． 443(cos , －isin)55 44 - 3(cos, －isin)|z|=0 第三象限 D ．argz=πD ．第四象限B ．2k －4,k =0,1,1．C ．4 A ． 2i f (n +1) (a ) (n +1)!2i B ．2i f (a )n !C ．2if (n ) (a )D ． 2n!i f (n )(a )dz A ． 1 B ．2πi C ．0 D ．12iz=-1是函数(z co +t 1)z 4 的( )（n + 1）!幂极数n =（1 n （2+n ）1!）!z n 的收敛半径为（B ．e z dz,其中C 为正向圆周｜z|= 5C ．z dz,其中C 为正向圆周｜z|=1 c sinzD ．coszdz,其中C 为正向圆周｜z|= 2cz-1映射w =z 2 + 2z 下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（下列映射中，把角形域0argz保角映射成单位圆内部|w|<1的为（10．11．12．13．14． 15． 16． 17． 18． 19．20．设 C 为正向圆周|z|=1，则积分 dz 等于（ ） c | z | A ．0 B ．2πi C ．2π设函数 f （z ）=z e d，则 f （z ）等于（ ）D ．－2πA ．ze z + e z +1B ．ze z +e z -1C ．- ze z + e z -1D ．ze z - e z +1设积分路线 C 是帖为 z=-1到 z=1 的上半单位圆周， A ．2 +i B ． 2- i C ． z + 1 则 z +21 c z 2 -2- idz 等于（ D ． -2 +i的收敛区域为（ ）A ．0|z| + B ． |z| + C ． 0 |z| -1 D ．|z| 1sin （z - ）z = 是函数 f （z ）= 3的（3 3z-A ． 一阶极点B ．可去奇点C ． 一阶零点D ．本性奇点A ． 3 阶极点B ．4 阶极点C ．5 阶极点D ．6 阶极点A ． 0B ．1C ．2D ． ＋设 Q (z )在点 z=0 处解析，f(z) = Q(z) z(z-1),则 Res[f(z),0]等于(A ． Q （0）B ．－Q （0）下列积分中，积分值不为零的是（ ） A ．（z 3 +2z +3）dz,其中C 为正向圆周｜z-1|=2 C ．Q ′（0） D ． －Q ′（0）A ．|z +1|12B ．|z +1|12 C ．| z | 12D ．|z|12z 4 + 1 A ．w = z z 4+-11z 4－1B ．w = B w = z 44z 4－i C ．w =C w =z 4＋iD ．4 z 4 + i w =44幂级数 n-1第二部分非选择题(共60 分)二、填空题(本大题共 10 空，每空 2 分，共 30 分) 不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

«复变函数与积分变换»期末试题〔A〕一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i-的幅角是〔〕；2.)1(iLn+-的主值是〔〕；3.211)(zzf+=，=)0()5(f〔〕；4．0=z是4sinzzz-的〔〕极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zf s〔〕；二．选择题〔每题3分，共计15分〕1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为〔〕；〔A〕yxiuuzf+=')(；〔B〕yxiuuzf-=')(；〔C〕yxivuzf+=')(；〔D〕xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf〔〕，那么0d)(=⎰C zzf．〔A〕23-z；〔B〕2)1(3--zz；〔C〕2)2()1(3--zz；〔D〕2)2(3-z. 3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，那么级数在〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 〕．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成以下各题〔每题10分，共计40分〕〔1〕设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a〔2〕．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；〔3〕计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z〔4〕函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩大复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、〔此题14分〕将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域展开成罗朗级数； 〔1〕110<-<z ，〔2〕10<<z ，〔3〕∞<<z 1五．〔此题10分〕用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、〔此题6分〕求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题〔A 〕答案及评分标准一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i -的幅角是〔 2,1,0,23±±=+-k k ππ〕；2.)1(i Ln +-的主值是〔 i 432ln 21π+ 〕； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f 〔 0 〕，4．0=z 是4sin z zz -的〔 一级 〕极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s 〔-1 〕； 二．选择题〔每题4分，共24分〕1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为〔B 〕；〔A 〕 y x iu u z f +=')(； 〔B 〕y x iu u z f -=')(；〔C 〕y x iv u z f +=')(； 〔D 〕x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f 〔 D 〕，那么0d )(=⎰Cz z f ．〔A 〕23-z ； 〔B 〕2)1(3--z z ； 〔C 〕2)2()1(3--z z ； 〔D 〕2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，那么级数在〔C 〕〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( B )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 D 〕．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成以下各题〔每题10分，共40分〕〔1〕．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。