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2-3-倒易点阵

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倒易点阵

倒易点阵

＊
* * * * * a r*001 * * * * * * *c * β * *
＊
＊
202 ＊ ＊ r*001 ＊ ＊
a* = r*200 = 1/d200 = 2/(a.cos[β-90])= 2/(a.sinβ) b* = r*002 = 1/d002 = 2/b c* = r*001 = 1/d001 = 1/(c.cos[β-90])= 1/(c.sinβ) ＊
5、对于面心型，指数同为偶数或奇数的晶面才出现； 、对于面心型，指数同为偶数或奇数的晶面才出现； (111) (220)
(200)
（三）、倒易点阵小结 ）、倒易点阵小结
1、均为无限的周期点阵， 、均为无限的周期点阵， 2、正点阵的晶面对应于倒易点阵的阵点（除有公因子指数外）； 、正点阵的晶面对应于倒易点阵的阵点（除有公因子指数外）； 3、晶系不变，为11种中心对称的劳厄点群； 种中心对称的劳厄点群； 、晶系不变， 种中心对称的劳厄点群 4、P->P*, C->C*, I->F*, F->I*，即对复合单胞出现倒易点阵系统消光， 、 ，即对复合单胞出现倒易点阵系统消光， 立方系指数表见下表
r∗ r∗ r r r∗ r∗ r rhkl ⋅ AB = (ha + kb + lc ) (b / k − a / h) = 1 − 1 = 0 r∗ r c ∴ rhkl ⊥ AB r r∗ 同理可证： 同理可证： rhkl ⊥ AC C r b r∗ rhkl ⊥ BC B
∴
性质一证明 r r r r O A = a / h OB = b / k
1/ a2 cos γ * G* = ab 0
cos γ * ab 1/ b2 0

倒易点阵介绍

倒易点阵介绍

n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )

相应的位向差为
2

2
( S S0 )

OA
其中p、q、r是整数 因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
2
1/
A
O
S0 /
5 、以S0端点O点为原点，作
倒易空间，某倒易点（代表
某倒易矢量与hkl面网）的 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足Bragg’s Law。某倒易点的端点如果
P
S/
S S0 g
2
不在反射球面上， 说明不
满足Bragg’s Law，可以直
1/
A
O
S0 /
25
概念回顾
以A为圆心，1/λ 为半径所做的球称为反 射球，这是因为只有在这个球面上的倒 易点所对应的晶面才能产生衍射。有时 也称此球为干涉球， Ewald球。 围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点 形成的球称为倒易球 以O为圆心，2/λ 为半径的球称为极限球。

26
大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
hkl
即 d hkl

2
S/的晶面不Fra bibliotek1/
2 C S0/
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考
(1) 晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶 体衍射有力手段。

2-4-倒易点阵

2-4-倒易点阵

第二讲主要内容一些晶格实例（自己看）简单与复式晶格晶格周期性的几何描述晶列和晶面晶体宏观对称性和结构分类倒易点阵(倒格子）1倒格矢由倒易基矢b 1、b 2、b 3定义倒易空间的矢量可以表示为：332211b n b n b n G n v v v v++=n 矢量1、n 2、n 3为整数，矢量G n 称为倒易矢量或倒格矢。

矢量G n 端点的集合构成倒易点阵或称倒格子。

相对应，也常把正空间的晶体点阵成为正点阵。

显然，倒易点阵也具有平移不变性，G n 为倒空间的平移矢量。

我们知道正点阵的原胞体积为我们知道，正点阵的原胞体积V a 为：)a a (a V a 321vv v ×⋅=类似地，我们倒易基矢b 1、b 2、b 3构成的平行六面体称为倒点阵。

其体积用V 3的原胞其体积用b 表示)b b (b V b 321vv v ×=•倒点阵性质I. 正倒点阵的基矢互相正交，即：iji i b a πδ2=⋅⎪⎬⎫======••••••0231332123121a b a b a b a b a b a b vv v v v v v v v v v v v v v v v v ⎪⎭===•••π2332211a b a b a b 且任意正、倒格矢满足关系：m 为整数mG R n l π2=⋅vv v v v v332211a l a l a l R l v v v v ++=正格矢：倒格矢证明倒格矢的定义式，即332211b n b n b n G n ++=倒格矢：)b n b n b (n a l a l a l 332211332211 )(v v v vv v ++⋅++=⋅n l G R v v 满足此式的矢量G n 必为倒格矢。

5)(2332211n l n l n l ++=πmπ2=)根据晶面指数定义，(n 1n 2n 3) 该组晶面中最靠近原点的晶面与坐标轴a 1、a 2、a 3交点的位矢：a 332211 n OC n a OB n a OA ===(n 1n 2n 3)晶面上两条相交直线AB 和AC的位矢r 的位矢：- -33112211n a n a CA n a n a BA ==33/n a 22/n a r)() -(3322112211b n b n b n n a n a G BA n ++⋅=⋅11/n a rVI 证明过程：由于晶格的周期性如点某一物理量则有：)()(l U U R r r +=由于晶格的周期性，如U(r)表示r 点某一物理量，则有：r 为晶格中任一点位置，R n 为晶格平移矢量，记做：321a a a r 321ξξξ++=a a a R l l l ++=321321l ξ1、ξ2、ξ3为实数，l 1、l 2、l 3为整数。

倒易点阵

倒易点阵

§2.3倒易点阵与爱瓦尔德球图解法一、倒易点阵的概念X 射线衍射晶体结构分析工作是通过衍射花样（包含衍射方向和强度信息）反推出衍射晶体的结构特征。

通过衍射花样反推晶体结构是复杂而困难的工作。

1921年爱瓦尔德（P.P. Ewald ）通过倒易点阵可以把晶体的衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射结果。

也可以说，电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵中某一截面上阵点排列的像。

倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的三维空间（倒易空间）点阵，它是一个虚拟点阵（通常将晶体点阵称为正点阵）。

它的真面目只有从它的性质及其与正点阵的关系中才能真正了解。

一、 倒易点阵中基本矢量的定义设正点阵的原点为O ，基矢为a 、b 、c ，倒易点阵的原点为O *，基矢为a *、b *、c *（图2-9），则有V b a c V a c b V c b a ⨯=⨯=⨯=***,, （2-11） 式中，V 为正点阵中单胞的体积：)()()(b a c a c b c b a V ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅= 图2－9 倒易基矢和正空间基矢的关系二、 倒易点阵的性质a ） 根据式（2-11）有（因为00cos *=⋅⋅=⋅=⋅b a b a b a θ）0******=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅b c a c c b a b c a b a （2-12）1***=⋅=⋅=⋅c c b b a a （2-13）b ） 在倒易点阵中，由原点O *指向任意坐标为hkl 的阵点的倒易矢量g hkl 为***lc kb ha g hkl ++= （2-14）Φ3在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵，以倒易原点O*为端点作入射波的波矢量k ，该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即λ1=k ，以O 为中心，1/λ为半径作一个球，这就是爱瓦尔德球。

若有倒易阵点G （指数为hkl ）正好落在爱瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（hkl ）与入射束的方向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是，或者写成衍射波的波矢量k ´，其长度也等于反射球的半径1/λ。

倒易点阵介绍

倒易点阵介绍
倒易点阵
1
倒易点阵
❖ 倒易点阵概念及定义 ❖ 倒易点阵的物理意义 ❖ 倒易点阵的应用是一个假想的点阵.
❖ 将空间点阵(真点阵或实点阵)经过倒易变换,就 得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵,但其 结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间称为倒 易空间。
❖ 1860年法国结晶学家布拉菲提出并作为空间点 阵理论的一部分，但缺乏实际应用。
24
25
点阵中单胞的体积：V=a·(b×c)=b·(a×c) =c·(a×b)
5
倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系
（仅当正交晶系）
6
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0;
a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0
同名基矢点乘为1。
a*·a=b*·b=c*·c=1.
2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点
的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
7
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
❖ 1平.倒行易于矢它量的法gh向kl垂N直hkl于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 ❖ 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
8
晶带定理
❖ 在正点阵中，同时平行于某一晶 向[uvw]的一组晶面构成一个晶带， 而这一晶向称为这一晶带的晶带 轴。
向平行于（hkl）晶面的法线，则有K‘ –K= G，即为布拉格方程 14
的矢量形式。
倒易点阵的应用
倒易点阵使许多晶体几何学问题的解决变得简易。例如单胞体 积，晶面间距、晶面夹角的计算以及晶带定理的推导等等。以 下是倒易点阵的应用。 1°由倒易点阵的基本性质可得： a*=1/d100，b*=1/d010，c*=1/d100 （a*=G100=1/d100） 在晶体点阵S 中，点之间或点阵平面之间的距离用Å 作单位， 因此，a*、b*、c*的单位为Å－1。在用图解法解决实际问题时， 用相对标度值表示相对大小即可。

倒易点阵

倒易点阵

由满足这些条件的初基矢量a*, b*, c*决 定的点阵----倒易点阵
倒易点阵与正点阵的基本对应关系为
a * b a * c b * a b * c c * a c * b 0 a * a b * b c * c 1
*
： a 与a的夹角
*
： b*与b 的夹角 ： c 与c 的夹角
*

根据定义， a 与(b c )同方向 * 即： a 1 (b c )
*
倒易点阵的另一种表达方式
a a 1
*
* a a 1 (b c ) a 1 正点阵体积 V (b c ) a
bc a V
*
1 V 1
1 1 / V
a 1 (b c )
*
V a bc bc a c ab
bc bc a V a b c
*
ca ca b V bca
*
ab ab c V cab
*
给出了倒易点阵与正点阵之间的方向 关系和数值关系。
a ,b ,c
* * *
2.3.1 倒易点阵的定义及倒易点阵参数 定义
c* b* 引入倒易点阵初基矢量 c b
令a * a 1, b * b 1; c * c 1
* 令a b , c * b a, c * c b, a
a
a*
*
V abc
bc sin sin a abc a sin 90 1 a a
*
1 b b
*
1 c c
*
1 a b c a

倒易点阵

§2.3倒易点阵与爱瓦尔德球图解法一、倒易点阵的概念X 射线衍射晶体结构分析工作是通过衍射花样（包含衍射方向和强度信息）反推出衍射晶体的结构特征。

通过衍射花样反推晶体结构是复杂而困难的工作。

1921年爱瓦尔德（P.P. Ewald ）通过倒易点阵可以把晶体的衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射结果。

也可以说，电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵中某一截面上阵点排列的像。

倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的三维空间（倒易空间）点阵，它是一个虚拟点阵（通常将晶体点阵称为正点阵）。

它的真面目只有从它的性质及其与正点阵的关系中才能真正了解。

一、 倒易点阵中基本矢量的定义设正点阵的原点为O ，基矢为a 、b 、c ，倒易点阵的原点为O *，基矢为a *、b *、c *（图2-9），则有V b a c V a c b V c b a ⨯=⨯=⨯=***,, （2-11） 式中，V 为正点阵中单胞的体积：)()()(b a c a c b c b a V ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅= 图2－9 倒易基矢和正空间基矢的关系二、 倒易点阵的性质a ） 根据式（2-11）有（因为00cos *=⋅⋅=⋅=⋅b a b a b a θ）0******=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅b c a c c b a b c a b a （2-12）1***=⋅=⋅=⋅c c b b a a （2-13）b ） 在倒易点阵中，由原点O *指向任意坐标为hkl 的阵点的倒易矢量g hkl 为***lc kb ha g hkl ++= （2-14）Φ3在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵，以倒易原点O*为端点作入射波的波矢量k ，该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即λ1=k ，以O 为中心，1/λ为半径作一个球，这就是爱瓦尔德球。

若有倒易阵点G （指数为hkl ）正好落在爱瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（hkl ）与入射束的方向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是，或者写成衍射波的波矢量k ´，其长度也等于反射球的半径1/λ。

倒易点阵介绍重点


8
衍射条件
设:入射线波长为λ ,入 射线方向为单位矢量S0, 衍射线方向为单位矢量S, 那么在S方向有衍射线的 条件是:在与S方向相垂 直的波阵面上,晶体中各 原子散射线的位向相同。 先计算原点O和任一原子 A的散射线在与S方向的 位向差。
g
1
m
θ
hkl
A
θ θ
S 2 (S-S0) (HKL) S0
n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )

相应的位向差为
2

2
( S S0 )

OA
其中p、q、r是整数 因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
6

1. 倒易矢量 ghkl 垂直于正点阵中相应的 [hkl] 晶面，或 平行于它的法向Nhkl 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
7
晶带定理



在正点阵中，同时平行于某一晶 向[uvw]的一组晶面构成一个晶带， 而这一晶向称为这一晶带的晶带 轴。 图示为正空间中晶体的[uvw]晶带 图中晶面（h1k1l1）、（h2k2l2）、 （h3k3l3）的法向N1、N2、N3和倒 易矢量gh1k1l1、gh2k2l2、gh3k3l3的方 向相同. 晶带定理：因为各倒易矢量都和 其晶带轴r=[uvw]垂直，固有 ghkl•r=0 ，即 hu+kv+lw=0, 这就 是晶带定理。
(S-S0)/λ= 2sinθ )/λ=ghkl=1/d
2dsinθ =λ

现代材料分析测试技术-第02章-3倒易点阵爱瓦尔德作图法 (2)精选全文

13
爱瓦尔德球反映的性质
• 三个矢量的相对关系 • g代表与正空间相应的（hkl）衍射晶面的
特性：大小 方向 • 应用
14
72-Biblioteka 爱瓦尔德图解法• 倒易点阵的另一个应用 • 爱瓦尔德图解法是布拉格定律的几何表达形式
8
• 由于晶体中晶面方位，面间距不同，所以 当入射线沿一定方位入射时，可能同时存 在若干束衍射线
• 采用爱瓦尔德图解法，可求得衍射线的方 向
9
爱瓦尔德作图法
10
爱瓦尔德作图法
• 1.作倒易点阵，倒易原点为O* • 2.入射波的波矢量k＝oo* • 则以o为中心，1/λ＝半径作球
从性质可看出，如果正点阵与倒易点阵具有 同一坐标原点，则 • 正点阵中的每组平行晶面（hkl)在倒易点阵中只须 一个阵点就可以表示，此点处于hkl的公共法线 （倒易矢量方向上） • 倒易阵点用它所代表的晶面指数标定， • 正点阵中晶面取向和面间距只须倒易矢量一个参量 就能表示。 • 若已知某一正点阵，可求出相应的倒易点阵。
• 无数倒易点组成点阵－倒易点阵 • 倒易点阵的倒易是正点阵。 • 倒易矢量及性质：
从倒易点阵原点向任一倒易阵点所 连接的矢量叫倒易矢量，表示为：
Hhkl = ha* + kb* + l c* 两个基本性质
6
两个基本性质 ：
1) Hhkl垂直于正点阵中的hkl晶面 2) Hhkl长度等于hkl晶面的晶面间距dhkl的倒数
• a*·a = b*·b = c*·c =1
• a* b* c*的表达式为：V空间点阵单位晶胞
的体积
a b c ;b a c ;c a b
V
V
V
4
• 某一倒易基矢垂直于正点阵中和自己异名的二 基矢所成的平面

倒易点阵

倒易点阵:晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是~零层倒易截面：电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做~消光距离：透射束或衍射束在动力学相互作用的结果，在晶体深度方向上发生周期性的振荡，这种振荡的深度周期叫做~明场像：通过衍射成像原理成像时，让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉形成的图像称为明场像。

暗场像：通过衍射成像原理成像时，让衍射束通过物镜光阑而把透射束挡掉形成的图像称为暗场像。

衍射衬度：由于样品中不同位向的晶体的衍射条件不同而造成的衬度差别叫~质厚衬度：是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。

二次电子：在入射电子束作用下被轰击出来并离开样品表面的样品的核外电子叫~吸收电子：入射电子进入样品后，经多次非弹性散射能量损失殆尽，然后被样品吸收的电子。

透射电子：如果被分析的样品很薄，那么就会有一部分入射电子穿过薄样品而成为透射电子。

结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零。

这叫做~分辨率：是指成像物体（试样）上能分辨出来的两个物点间的最小距离。

焦点：一束平行于主轴的入射电子束通过电磁透镜时将被聚焦在轴线上一点。

焦长：透镜像平面允许的轴向偏差.景深：透镜物平面允许的轴向偏差.磁转角：电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进的，衍射斑点到物镜的而一次像之间有一段距离，电子通过这段距离时会转过一定的角度.电磁透镜：透射电子显微镜中用磁场来使电子波聚焦成像的装置。

透射电子显微镜：是以波长极短的电子束作为照明源，用电磁透镜聚焦成像的一种高分辨率，高放大倍数的电子光学仪器。

弹性散射：当一个电子穿透非晶体薄样品时，将与样品发生相互作用，或与原子核相互作用，或与核外电子相互作用，由于电子的质量比原子核小得多，所以原子核入射电子的散射作用，一般只引来电子改变运动方向，而能量没有变化，这种散射叫做弹性散射。

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系数um1m2m3是m1、m2、m3的函数，具体来说，是Gm的函数。故um1m2m3记做 u(Gm)，于是
U (r ) = ∑ u (G m )e i G m
m
•r
1 u (Gm ) = | a1 (a2 × a3 ) |
•
a3 a2 a1
−i G r ∫ ∫ ∫ U (r) e m d r
•
0 0 0
a3 /n3
a2 /n2
BA ⋅ G n = (a1
n1
-
a2
n2
) ⋅ (n1 b1 + n2 b 2 + n3 b 3 )
a1 /n1
= a1 ⋅ b1 − a2 ⋅ b2 = 0
同理： CA ⋅ G n = 0
所以倒格矢Gn垂直晶面(n1 n2 n3）。设晶面法线方向单位矢量为en。
13
布里渊区
在倒空间中，将从原点出发的所有的倒格矢 Gm 作垂直平分面，这些面统
称为布拉格面。
布拉格面将倒空间划分为一系列的区域，称为布里渊区。从原点最少越过
(n-1)个布拉格面可达到的区域就被定义为第n布里渊区，注意从原点出发的 路径不可以通过布拉格面的交线或交点，以免计算通过多少个布拉格面时发 生误算。
m 3 m 2 m1
um1m2 m3 = ∫ ∫ ∫ U (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 )e − 2π i ( m1ξ1 + m2ξ 2 + m3ξ3 ) dξ1dξ 2 dξ 3
0 0 0
1 1 1
m1、m2、m3 为整数，三个求和都是从−∞至∞．积分是在一个原胞内的体 积分，Va为原胞体积。
11
a3 = ak

i、j、k为正交的单位矢量，原胞的体积为: a1 ⋅ (a2 × a3 ) = a 3 则倒易基矢为： a2 × a3 2π 2 2π b1 = 2π = 3 a i = i a1 ⋅ (a2 × a3 ) a a
2π b2 = j a
Va 2π 3 = ( ) ( a2 × a3 ) ⋅ {[( a3 × a1 ) ⋅ a2 ]a1 − [( a3 × a1 ) ⋅ a1 ]a2 } Va
3 2π 3 ( 2 π ) = ( ) [( a3 × a1 ) ⋅ a2 ] ⋅ [( a2 × a3 ) ⋅ a1 ] = Va Va
r为晶格中任一点位置，Rl为晶格平移矢量： R l = l1a 1 + l2a 2 + l3a 3 U(r)可按倒格矢Gm展开为傅里叶级数
U (r ) = ∑ u (G m )e i G m
m
•r
1 u (Gm ) = | a1 (a2 × a3 ) |
•
a3 a2 a1
−i G m r ( ) U e dr r ∫∫∫
U (ξ1 ξ 2 ξ 3 ) = U (ξ1a1 + ξ 2a 2 + ξ 3a 3 ) = U [(ξ1 + l1 )a 1 , (ξ 2 + l2 )a 2 , (ξ 3 + l3 )a 3 ]
其可以看作以ξ1、ξ2、ξ3为变量，周期为1的函数，因此可以写成傅立叶级数：
U (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) = ∑∑∑ um1m2 m3 e 2π i ( m1ξ1 + m2ξ 2 + m3ξ 3 )
2π b3 = k a
所以简单立方点阵的倒格子仍为简单立方，晶格常数为2π/a。
体心立方点阵的倒格子为面心立方 面心立方点阵的倒格子为体心立方
5
倒点阵性质
I. 正倒点阵的基矢互相正交，即：
b1 • a2 = b1 • a3 = b2 • a1 = b2 • a3 = b3 • a1 = b3 • a2 = 0 b1 • a1 = b2 • a2 = b3 • a3 = 2π
其中利用矢量公式：
A ⋅ ( B × C ) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ ( A × B )
A × ( B × C ) = ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B)C
7
III. 正点阵是它本身倒点阵的倒点阵 IV. 倒点阵保留了正点阵的全部对称性
倒格矢
由倒易基矢b1、b2、b3定义倒易空间的矢量可以表示为：
Gn = n1b1 + n2b2 + n3 b3
n1、n2、n3为整数，矢量Gn称为倒易矢量或倒格矢。矢量Gn端 点的集合构成倒易点阵或称倒格子。相对应，也常把正空间的 晶体点阵成为正点阵。显然，倒易点阵也具有平移不变性，Gn 为倒空间的平移矢量。 我们知道，正点阵的原胞体积Va为：
= 2π (l1n1 + l2 n2 + l3 n3 ) = 2πm
II. 倒点阵原胞的体积反比于正点阵原胞体积
( 2π ) 3 Vb = Va
证明：
2π 3 Vb = b1 • (b2 × b3 ) = ( ) (a2 × a3 ) ⋅ [( a3 × a1 ) × (a1 × a2 )]
• •
m
m
10
VI证明过程：
由于晶格的周期性，如U(r)表示r点某一物理量，则有：
U (r ) = U (r + R l )
r为晶格中任一点位置，Rl为晶格平移矢量，记做：
r = ξ 1a 1 + ξ 2 a 2 + ξ 3 a 3
R l = l1a 1 + l2a 2 + l3a 3
ξ1、ξ2、ξ3为实数，l1、l2、l3为整数。函数U(r)可以表示为U(ξ1 ξ2 ξ3)
m =1
∞
i
m 2πx l
−i 1 l/2 cm = ∫ f ( x ) e l −l / 2
m 2πx l
dx
•物理意义：任何复杂周期振动均可分解为不同频率的谐振 的无限叠加；人耳；无线电学。
2
倒易基矢
设晶体点阵的三个基矢用a1、a2、a3表示，那么定义该晶体的 倒易点阵的三个基矢为： a2 × a3 b1 = 2π a1 ⋅ (a2 × a3 ) a3 × a1 b2 = 2π a1 ⋅ (a2 × a3 ) a1 × a2 b3 = 2π a1 ⋅ (a2 × a3 ) b1 、 b2 、 b3称为倒易基矢。由 b1 、 b2 、 b3 线性组合构成的空间称 为倒易空间或倒空间。定义了倒空间之后，人们常常把a1、a2、 a3线性组合构成的晶体空间称为正空间。a1、a2、a3称为正空间 3 基矢。
−1 Gn ⋅ Rl = 2πm Gn ⋅ g Rl = 2πm −1 −1 g (Gn ⋅ g Rl ) = gGn ⋅ gg Rl = gGn ⋅ Rl = 2π m
g为一对称操作，g-1 为其逆操作。
V. 正点阵的一组晶面(n1 n2 n3)垂直于倒格矢 Gn = n1b1 + n2b2 + n3 b3
且晶面间距 d n n n
1 2 3
= 2π Gn
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证明： 根据晶面指数定义， (n1 n2 n3) 该组晶面中最靠近原点的晶面与 坐标轴a1、 a2、 a3交点的位矢：
OA = a1 n1 OB = a2 n2 OC = a3 n3
(n1 n2 n3)晶面上两条相交直线AB和AC 的位矢：
BA = a1 n1 a2 n2 CA = a1 n1 a3 n3
m3 m2 m1
•r
um1m2 m3
1 = | a1 (a2 × a3 ) |
•
a3 a2 a1
− i ( m1b1 + m2b 2 + m3b 3 ) r U ( r ) e dr ∫∫∫
•
0 0 0
m1b1+m2b2+m3b3为倒格矢，记为Gm
G m = m1b1 + m2b 2 + m3b 3
d n1n2 n3 Gn a1 = en ⋅ OA = ⋅ = Gn n1 a1 (n1 b1 + n2 b2 + n3 b3 ) ⋅ n1 Gn = 2π Gn
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VI. 晶格周期函数可以按倒格矢Gn展开为傅立叶级数
由于晶格的周期性，如U(r)表示r点某一物理量，如静电势能、电子云 密度，则有：
U (r ) = U (r + R l )
2 l/2 m2πx 1 l/2 ( ) cos a = f x dx a0 = ∫ f ( x)d x m l ∫−l / 2 l l −l / 2 2 l/2 m2πx bm = ∫ f ( x) sin dx l −l / 2 l
2. 复数形式
f ( x + l ) = f ( x)
f ( x ) = ∑ cm e
第二讲 主要内容
一些晶格实例（自己看） 简单与复式晶格 晶格周期性的几何描述 晶列和晶面 晶体宏观对称性和结构分类 倒易点阵(倒格子）
1
附数学补充：傅里叶变换
•数学上：任何周期函数均可表示为一组三角函数或傅里叶 级数的叠加： 1. 三角函数形式
f ( x + l ) = f ( x)
m2πx m2πx ∞ + bm sin f ( x) = a0 + ∑ am cos l l m =1
Va = a1 ⋅ (a2 × a3 )
类似地，我们倒易基矢b1、b2、b3构成的平行六面体称为倒点阵 的原胞。其体积用Vb表示
Vb = b1 • (b2 × b3 )立方
简单立方的点阵为的基矢定义为：
a1 = ai