倒易点阵

倒易点阵概念
倒易点阵是一种用于描述晶体结构中原子排列和晶格常数的强大数学工具。

在倒易点阵中，一系列点表示晶格中原子位置的倒易矢量，这些点对应着晶体结构中的原子位置。

通过这些倒易点阵，我们可以计算出晶格常数、原子间距以及晶格结构中的对称性和对称元素。

倒易点阵的概念在晶体学和材料科学中具有极其重要的意义。

首先，它可以帮助我们深入理解晶体的结构和性质。

通过倒易点阵，我们可以直观地观察到原子在晶体中的排列和分布，从而更好地理解晶体的构造和形成机制。

此外，倒易点阵还可以帮助我们预测和解释晶体的物理和化学性质。

通过对倒易点阵的分析，我们可以推断出晶体的力学、光学、电学等性质，为材料科学的研究和应用提供重要依据。

此外，倒易点阵还可以用于计算晶体结构中的对称性和对称元素。

对称性是晶体学中的一个核心概念，它涉及到晶体的几何结构和物理性质。

通过对称性分析，我们可以了解晶体的稳定性和各向异性等特点，从而更好地理解晶体的性质和应
用。

倒易点阵是一种强大的工具，可以帮助我们理解和描述晶体的结构和性质。

它是晶体学和材料科学领域的重要概念之一，对于研究晶体的物理和化学性质、探索新的材料和设计具有广泛应用价值。

＊
* * * * * a r*001 * * * * * * *c * β * *
＊
＊
202 ＊ ＊ r*001 ＊ ＊
a* = r*200 = 1/d200 = 2/(a.cos[β-90])= 2/(a.sinβ) b* = r*002 = 1/d002 = 2/b c* = r*001 = 1/d001 = 1/(c.cos[β-90])= 1/(c.sinβ) ＊
5、对于面心型，指数同为偶数或奇数的晶面才出现； 、对于面心型，指数同为偶数或奇数的晶面才出现； (111) (220)
(200)
（三）、倒易点阵小结 ）、倒易点阵小结
1、均为无限的周期点阵， 、均为无限的周期点阵， 2、正点阵的晶面对应于倒易点阵的阵点（除有公因子指数外）； 、正点阵的晶面对应于倒易点阵的阵点（除有公因子指数外）； 3、晶系不变，为11种中心对称的劳厄点群； 种中心对称的劳厄点群； 、晶系不变， 种中心对称的劳厄点群 4、P->P*, C->C*, I->F*, F->I*，即对复合单胞出现倒易点阵系统消光， 、 ，即对复合单胞出现倒易点阵系统消光， 立方系指数表见下表
r∗ r∗ r r r∗ r∗ r rhkl ⋅ AB = (ha + kb + lc ) (b / k − a / h) = 1 − 1 = 0 r∗ r c ∴ rhkl ⊥ AB r r∗ 同理可证： 同理可证： rhkl ⊥ AC C r b r∗ rhkl ⊥ BC B
∴
性质一证明 r r r r O A = a / h OB = b / k
1/ a2 cos γ * G* = ab 0
cos γ * ab 1/ b2 0

n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )

相应的位向差为
2

2
( S S0 )

OA
其中p、q、r是整数 因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
2
1/
A
O
S0 /
5 、以S0端点O点为原点，作
倒易空间，某倒易点（代表
某倒易矢量与hkl面网）的 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足Bragg’s Law。某倒易点的端点如果
P
S/
S S0 g
2
不在反射球面上， 说明不
满足Bragg’s Law，可以直
1/
A
O
S0 /
25
概念回顾
以A为圆心，1/λ 为半径所做的球称为反 射球，这是因为只有在这个球面上的倒 易点所对应的晶面才能产生衍射。有时 也称此球为干涉球， Ewald球。 围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点 形成的球称为倒易球 以O为圆心，2/λ 为半径的球称为极限球。

26
大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
hkl
即 d hkl

2
S/的晶面不Fra bibliotek1/
2 C S0/
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考
(1) 晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶 体衍射有力手段。

倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
当相邻原子的散射X射线光程差等于 入射X射线波长整数倍时发生衍射。
a(cosα-cosα0) = Hλ
一维原子列的衍射示意图
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
设空间点阵的三个平移向量为a ,b和c,入射的X射线与它们的交角分别为α0，β0和γ0。 衍射方向与它们的交角分别为α，β和γ 。根据上述讨论可知，衍射角α，β和γ在x, y, z三个轴上应满足以下条件：
单晶体电子衍射花样标定
• 确定零层倒易截面上各ghkl矢量端点(倒易阵点)的指数，定出零层倒易截面的 法向(即晶带轴[uvw])，并确定样品的点阵类型、物相及位向。 (1)测量靠近中心斑点的几个衍射斑点至中心斑点距离R1、R2、R3、R4…及 R1与R2、R1与R3等衍射斑点之间的夹角。 (2) 计算R12∶R22∶R32∶…=N1∶N2∶N3∶… 其中N = h2 + k2 + l2
故
于是，它们的点乘 根据倒易基矢定义式，显然有
和
都为0。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• „ 劳厄的一个科学假设
1911年埃瓦尔德在索末菲的指导下在慕尼黑大学从事博士论文研究，劳厄在 与他的讨论中了解到晶格的平移周期与X射线的波长属于同一量级，因此想到 在二维光栅的两个衍射方程组中再加一个类似的方程，就可以描述X射线在三 维晶体中的衍射。 在此假设的指导下，Knipping和Friedrich在1912年4月开始用CuSO4 后来 用闪锌矿（立方ZnS）进行实验，很快就得到X射线衍射的证据。这不但证明 了X射线的波动性，还确定了晶体的三维周期性。
a*、b*、c*
即倒易基矢

Ewald图解 与倒易点阵
Ewald 反射球
2d sin
Ewald Transform
(1912)
2
1
sin
1 d
d
Lattice planes
反
射 球
晶体位 于反射 球中心
1
Bragg
plane 入
k'
k
射 线
Ag 倒易点阵原点
设一与晶
面垂直旳 矢量AB， 若其长度 等于1/d， 则OB方向 产生衍射
入
射 线
2 1 sin
1
1 d
A
倒易点阵
(reciprocal lattice)

倒易点阵是衍射措 施最主要旳理论基础：
若一种点旳方向矢 量垂直于同名指数旳晶 面，大小为1/d，此点便 是相应晶面旳倒易点。
1
由晶体全部倒 易点(不一定都落
在倒易球表面)构
成旳新点阵，称
入
为倒易点阵。
射
倒易点
线
Ag
倒易点阵也反应了 晶体旳周期性本质
正
点
➋正倒点
阵
阵相互倒
易，线、
倒
面互应，
易
互为付Al2里Ni3
点
叶变换。
阵
Silicon Wafer Laue Pattern
倒易点 阵虽是数 学抽象， 但却是实 实在在可 观察到旳 点阵。
90
正点阵 [001]方向 倒易点阵 旋转90º
(100)
正点阵
中旳一组 晶面，相 应倒易点 阵中旳一 种点。
正点阵 正点阵
倒易点阵 倒易点阵
倒易点与原点旳 连线垂直于晶面。
面间距
越大，倒 易点间距 越小。

倒易点阵名
倒易点阵是由被称为倒易点的点所构成的一种点阵，它也是描述晶体结构的一种几何方法，它和空间点阵具有倒易关系。

倒易点阵中的一倒易点对应着空间点阵中一组晶面间距相等的点格平面。

倒易点阵的概念在晶体结构和固体物理学中都有十分重要的作用。

到目前为止，大多数教程都是在密勒指数或晶面指数无关的情况下来定义倒易点阵概念的。

由于晶面指数的概念出现得很早，有一些老的晶体学和固体物理学教程中甚至没有提到倒易点阵这个概念。

在目前流行的固体物理学教科书中，对倒易点阵均有叙述，而且处处应用。

但是，倒易点阵概念的引入比较生硬，对倒易点阵与晶面指数的关系交待得不够清楚。

倒易点阵
1
倒易点阵
❖ 倒易点阵概念及定义 ❖ 倒易点阵的物理意义 ❖ 倒易点阵的应用是一个假想的点阵.
❖ 将空间点阵(真点阵或实点阵)经过倒易变换,就 得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵,但其 结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间称为倒 易空间。
❖ 1860年法国结晶学家布拉菲提出并作为空间点 阵理论的一部分，但缺乏实际应用。
24
25
点阵中单胞的体积：V=a·(b×c)=b·(a×c) =c·(a×b)
5
倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系
（仅当正交晶系）
6
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0;
a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0
同名基矢点乘为1。
a*·a=b*·b=c*·c=1.
2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点
的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
7
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
❖ 1平.倒行易于矢它量的法gh向kl垂N直hkl于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 ❖ 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
8
晶带定理
❖ 在正点阵中，同时平行于某一晶 向[uvw]的一组晶面构成一个晶带， 而这一晶向称为这一晶带的晶带 轴。
向平行于（hkl）晶面的法线，则有K‘ –K= G，即为布拉格方程 14
的矢量形式。
倒易点阵的应用
倒易点阵使许多晶体几何学问题的解决变得简易。例如单胞体 积，晶面间距、晶面夹角的计算以及晶带定理的推导等等。以 下是倒易点阵的应用。 1°由倒易点阵的基本性质可得： a*=1/d100，b*=1/d010，c*=1/d100 （a*=G100=1/d100） 在晶体点阵S 中，点之间或点阵平面之间的距离用Å 作单位， 因此，a*、b*、c*的单位为Å－1。在用图解法解决实际问题时， 用相对标度值表示相对大小即可。

由满足这些条件的初基矢量a*, b*, c*决 定的点阵----倒易点阵
倒易点阵与正点阵的基本对应关系为
a * b a * c b * a b * c c * a c * b 0 a * a b * b c * c 1
*
： a 与a的夹角
*
： b*与b 的夹角 ： c 与c 的夹角
*

根据定义， a 与(b c )同方向 * 即： a 1 (b c )
*
倒易点阵的另一种表达方式
a a 1
*
* a a 1 (b c ) a 1 正点阵体积 V (b c ) a
bc a V
*
1 V 1
1 1 / V
a 1 (b c )
*
V a bc bc a c ab
bc bc a V a b c
*
ca ca b V bca
*
ab ab c V cab
*
给出了倒易点阵与正点阵之间的方向 关系和数值关系。
a ,b ,c
* * *
2.3.1 倒易点阵的定义及倒易点阵参数 定义
c* b* 引入倒易点阵初基矢量 c b
令a * a 1, b * b 1; c * c 1
* 令a b , c * b a, c * c b, a
a
a*
*
V abc
bc sin sin a abc a sin 90 1 a a
*
1 b b
*
1 c c
*
1 a b c a

11
爱瓦尔德球与倒易点阵的关联作用
• 若有倒易点G（指数为hkl）落在球上，则 • G点对应的晶面组（hkl）与入射束oo*，
满足布拉格定律 • 有k‘－k＝g • 布拉格定律的另一种表达形式
12
证明：爱瓦尔德作图法－ 布拉格定律的几何表达形式
• O*D＝oo*sinθ • g=1/d （倒易矢量的定义）
• a*·a = b*·b = c*·c =1
• a* b* c*的表达式为：V空间点阵单位晶胞
的体积
a b c ;b a c ;c a b
V
V
V
4
• 某一倒易基矢垂直于正点阵中和自己异名的二 基矢所成的平面
• 正倒点阵异名基矢点乘为0,同名基矢点乘为1
5
倒易点阵与正点阵的倒易关系及 倒易矢量及性质
• 无数倒易点组成点阵－倒易点阵 • 倒易点阵的倒易是正点阵。 • 倒易矢量及性质：
从倒易点阵原点向任一倒易阵点所 连接的矢量叫倒易矢量，表示为：
Hhkl = ha* + kb* + l c* 两个基本性质
6
两个基本性质 ：
1) Hhkl垂直于正点阵中的hkl晶面 2) Hhkl长度等于hkl晶面的晶面间距dhkl的倒数
&2-3 倒易点阵
1
倒易点阵的引入
• 倒易点和倒易原点 • 晶体点阵中的晶面和相应倒易点的关系 • 整个晶体中各种方位、各种面间距的晶
面所对应的倒易点之总和，构成了一个 三维的倒易点阵。正空间与倒空间
2
3
1.倒易点阵中单位矢量的定义式
• a*·b = a*·c = b*·a = b*·c = c*·a = c*·b =0
7
2-4 爱瓦尔德图解法

倒易点阵:晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是~零层倒易截面：电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做~消光距离：透射束或衍射束在动力学相互作用的结果，在晶体深度方向上发生周期性的振荡，这种振荡的深度周期叫做~明场像：通过衍射成像原理成像时，让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉形成的图像称为明场像。

暗场像：通过衍射成像原理成像时，让衍射束通过物镜光阑而把透射束挡掉形成的图像称为暗场像。

衍射衬度：由于样品中不同位向的晶体的衍射条件不同而造成的衬度差别叫~质厚衬度：是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。

二次电子：在入射电子束作用下被轰击出来并离开样品表面的样品的核外电子叫~吸收电子：入射电子进入样品后，经多次非弹性散射能量损失殆尽，然后被样品吸收的电子。

透射电子：如果被分析的样品很薄，那么就会有一部分入射电子穿过薄样品而成为透射电子。

结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零。

这叫做~分辨率：是指成像物体（试样）上能分辨出来的两个物点间的最小距离。

焦点：一束平行于主轴的入射电子束通过电磁透镜时将被聚焦在轴线上一点。

焦长：透镜像平面允许的轴向偏差.景深：透镜物平面允许的轴向偏差.磁转角：电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进的，衍射斑点到物镜的而一次像之间有一段距离，电子通过这段距离时会转过一定的角度.电磁透镜：透射电子显微镜中用磁场来使电子波聚焦成像的装置。

透射电子显微镜：是以波长极短的电子束作为照明源，用电磁透镜聚焦成像的一种高分辨率，高放大倍数的电子光学仪器。

弹性散射：当一个电子穿透非晶体薄样品时，将与样品发生相互作用，或与原子核相互作用，或与核外电子相互作用，由于电子的质量比原子核小得多，所以原子核入射电子的散射作用，一般只引来电子改变运动方向，而能量没有变化，这种散射叫做弹性散射。

材料现代研究方法X射线衍射方法 综合热分析 紫外光谱 红外光谱 XPS光电子能谱2倒易点阵1. 倒易点阵的定义； 2. 倒易点阵与正点阵的倒易关系； 3. 倒易点阵参数；倒易点阵Questions: 1. 什么是倒易点阵？天下本无事，庸人自扰之？ ☺ 非常有用!2. 倒易点阵有用吗？ 3. 为什么要引入倒易点阵概念?能简化（1）晶面与晶面指数表达；（2）衍射原理的表 达；（3）与实验测量结果直接关联，尤其是电子衍射部 部分。

晶体X射线衍射的核心，是对晶体中各个晶面的研 究，如果能把晶面作为一个点来研究，何乐不为！5倒易点阵晶体XRD衍射图谱 晶体电子衍射花样我们所观察到的衍射花样（或者衍射图谱）实际上是满 足衍射条件的倒易阵点的投影。

61.倒易点阵的定义倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照一定的对应关系 建立起来的空间几何图形。

每种空间点阵都存在着与其相对应的倒易空间点阵， 它是晶体点阵的另一种表达方式。

用倒易点阵处理衍射问题时，能使几何概念更清楚， 数学推演简化。

晶体点阵空间称为正空间，结点为阵点。

倒易空间中 的结点称为倒易点。

71.倒易点阵的定义简单点阵001 101简单点阵的倒易点阵011 111010 100 110点阵: 原点、基矢量、 阵点、晶向、晶面倒易点阵: 原点、倒易基矢量、 8 倒易点、倒易矢量、倒易面1.倒易点阵的定义1）倒易矢量倒易矢量的定义 从倒易点阵原点向任一倒易阵点 所连接的矢量叫倒易矢量，表示 为： r* = ha* + kb* + lc*2）倒易矢量的两个基本性质1）倒易矢量的方向垂直于正点阵中的（hkl）晶面。

2）倒易矢量的长度等于（hkl）晶面的晶面间距dhkl的倒数。

倒易阵点用它所代表的晶面的面指数(干涉指数)标定。

91.倒易点阵的定义晶面族所对应的倒易点a/2 上图画出了(100)、(200)晶面 (100) 族所对应的倒易阵点，因为 (200)的晶面间距d200 是d100 的一 半，所以(200)晶面的倒易矢量 长度为(100)的倒易矢量长度的 000 C* 二倍。

• 用倒易点阵处理衍射问题时，能使几何概念更清楚， 数学推理简化。能够简朴地想象，每一幅单晶旳衍射 把戏就是倒易点阵在该把戏平面上旳投影。
四、倒易点阵
2 怎样拟定倒易点阵
2.1 什么是倒易基矢 我们将正点阵中晶胞中旳a、b、c、、、六个点阵
常数用三个基矢 a、b、c 来替代，那么 a、b、c 就能
四、倒易点阵
4 实际晶体中旳倒易点阵
倒易点阵中出现节点旳条件： 正点阵中相互平行旳（hkl）面旳全体包括（经过）全部旳正点阵节 点。 例如：BCC和FCC旳（002）平行晶面族包括了全部原子
（001）平行晶面族只包括了二分之一原子 所以：在BCC和FCC旳倒易点阵中只出现（0，0，2）节点，而不 出现（0，0，1）节点。
四、倒易点阵
1 什么是倒易点阵
• 为了从几何学上形象旳拟定衍射条件， 人们就找到一个新旳点阵（倒易点阵），使 其与正点阵（实际点阵）相相应。
•
相应旳条件：新点阵中旳每一个结点都 相应着正点阵旳一定晶面，该结点既反O映P 该
晶面旳取向也反映该晶面旳面间距。
•
具体条件：OP 1/d(hkl)
• a. 新点阵中原点O到任意结点P(hkl) （倒易 点）旳矢量 正好沿正点阵中{hkl}面旳法 线方向。
（100）
四、倒易点阵
2.2 怎样拟定倒易基矢 2经过怎正样点拟阵定，倒能易够点得阵到：
d(100) =a
b b
c c
（2）
将（2）式代入（1）式得到：
a*= bc bc abc V
一样：b*
=
c
a V
c*
ab V
V 为正点阵晶胞旳体积。
（100）
四、倒易点阵
2 怎样拟定倒易点阵

倒易点阵概念倒易点阵是一种特殊的图像处理技术，它是通过将图像的像素点进行重新排列，从而使得图像中的信息阅读不受制于字的排列顺序。

倒易点阵的设计旨在提高人类对图像信息的识别速度和准确性。

下面是对倒易点阵概念的详细回答。

倒易点阵的概念最早由日本的科学家田岛丰提出。

他观察到人类在日常生活中，识别一张印刷的纸张或屏幕上的信息时，通常通过目光在信息区域内跳跃以快速获取所需的信息。

这种目光跳转的方式导致我们需要先看一遍信息，再进行二次搜索来确保没有漏掉任何重要的细节。

倒易点阵技术正是通过重新排列图像的像素点来解决这个问题。

倒易点阵的原理很简单，就是将图像的像素点按照某种规则进行重新排列，通过矩阵的方式呈现给人眼。

这样一来，我们只需要一次扫视整个图像，就可以直接获取到所需的信息，而不需要再进行二次搜索。

在倒易点阵中，每个像素点的位置都被重新指定。

尽管像素点的位置改变了，但是图像的信息仍然可以被准确地还原出来。

这是因为倒易点阵技术充分利用了人脑对于横向和纵向线条的感知能力。

通过合理地调整像素点的位置，倒易点阵不仅可以保持图像信息的完整性，而且还可以提高人类对图像信息的识别速度和准确性。

倒易点阵技术可以应用于各种领域，例如印刷、屏幕显示、电子书阅读器等。

在印刷领域，倒易点阵可以使得书籍和报纸的阅读更加高效和方便。

通过使用倒易点阵技术，读者可以在一次扫视中获取到所需的信息，无需二次搜索整个页面。

倒易点阵技术在屏幕显示领域也有广泛应用。

例如，在智能手机和平板电脑上，通过倒易点阵技术可以提高用户对图像和文字的阅读体验。

用户在阅读电子书或浏览网页时，可以更快速地获取信息，更加方便地阅读和学习。

此外，倒易点阵技术还可以应用于电子书阅读器中。

传统的电子书阅读器需要读者滑动屏幕或按键翻页，才能够看到下一页的内容。

而通过使用倒易点阵技术，读者只需要一次扫视屏幕，就可以获取到整页的内容，从而提高了阅读的效率。

倒易点阵是一个创新的图像处理技术，它通过重新排列图像的像素点，改变图像的表达形式，提高了人类对图像信息的识别速度和准确性。

倒易点阵的概念
• 定义 用a, b, c表示基矢量，用a*, b*, c*表示倒 易点阵的基矢量，则 •
倒易点阵的两个基本性质
• 倒易矢量的定义：从倒易点阵原点向任一倒易 点阵的阵点所连接的矢量叫倒易矢量。 r*=Ha*+Kb*+Lc* 1)r*HKL(HKL) , r*垂直于正点阵的（HKL）晶面；
倒易点阵
•倒易点阵的特点 •倒易点阵的概念 •倒易点阵的两个基本性质
倒易点阵的特点(从物理角度讲)
正点阵 从实际晶体结构中抽象出来,正点 阵与晶体的结构相关，是物质空 间（正空间）。
倒易点阵
由正点阵派生出的一种几何图象。 倒易点阵与晶体的衍射现象相关， 反映的是衍射强度分布
倒易点阵的特点
• 利用倒易点阵处理晶体几何关系和衍射 问题，使几何概念清楚，数学描述简化。 • 晶体点阵中的二维平面在倒易空间中对 应一个零维的倒易阵点。 • 晶面间距和取向两个参量在倒易空间中 仅用一个倒易矢量表示。
2）| r*HKL|=1/dHKL

r r G h1 k1l1 = h1 a ′ + k 1b ′ + l1 c ′ r r r r G h2 k 2 l 2 = h2 a ′ + k 2 b ′ + l 2 c ′ r r r r G h1 k1l1 ⋅ G h 2 k 2 l 2 = G h1 k1l1 G h 2 k 2 l 2 cos ϕ r r G h1 k1l1 G h 2 k 2 l 2 cos ϕ = r ⋅ r G h1 k1l1 G h 2 k 2 l 2
d hkl 1 = r G hkl
2)
一族晶面用倒易点阵中一个阵点来表示，就 是以正点阵中面指数为指数的倒易矢量。
r c
C
(hkl)
c l
d hkl
r G hkl
O
a h
b k
B
r b
A
1 r 1 r 证明1)：BA = a − b h k r r r r ⎛ 1 r 1 r⎞ BA ⋅ G hkl = ⎜ a − b ⎟ ⋅ h a ′ + k b ′ + l c ′ k ⎠ ⎝h r r r r r r b ×c c×a = a⋅ r r r −b⋅ r r r = 0 a ⋅ (b × c ) a ⋅ (b × c )
r a r b
课堂练习：作出下图所示2D点阵的倒易矢量 G100、G010、G110示意图：
r b r a
G100 G110 G010
(110)
(100) (010)
第三章：倒易点阵 § 3.2 倒到易点阵的定义及应用 正交归一性(本质)： r
r r a ′ ⋅ a = 1, r r b ′ ⋅ b = 1, r r c ′ ⋅ c = 1, r a ′ ⋅ b = 0, r r b ′ ⋅ c = 0, r r c ′ ⋅ a = 0,

倒易点阵晶体点阵：－－实空间(用S表示) 由晶体的周期性直接抽象出的点阵(正点 阵)； 倒易点阵：－－倒易空间(用S*表示) 根据空间点阵虚构的一种点阵。

倒易点阵 (reciprocal lattice)倒易空间 倒易晶格c* c b b* a* auu r uur uur uu r r * = ha * + k b * + lc *uur uu uu r r 以 a *, b *, c * 为新的三个基矢，引入另一个点阵，显然该点阵中的点阵的方向uu r uur uu uu r r r * = ha * + kb * + lc *就是晶面 (hkl)的法线方向，该矢量指向的点阵点指数即为hkl。

倒易点阵的一个结点对应空间 点阵的一个晶面。

二维问题一维化处理倒易矢量的性质倒易点阵矢量垂直于正空间点阵平面。

正空间点阵平面间距等于倒易点阵矢量的 倒数。

dhkl=1/r*倒易矢量：由倒易点阵的原点O至任一倒易点 hkl的矢量为r* 。

r* = ha* + kb* + lc*倒易矢量的两个重要性质(1) r*的方向与实际点阵面（hkl）相垂直，或r* 的方向是实际点阵面（hkl）的法线方向。

(2) r*的大小等于实际点阵面（hkl）面间距的倒数， 即:rhkl1 = d hkl倒易基矢的方向:要求倒易基矢垂直于晶面001a* ⊥ (100) b* ⊥ (010) c* ⊥ (001)c*c*c b b*a* a 100010Z立方晶格的倒易变换 （简单点阵）0.25 Å-1 1Å b (220) (010) (110) b* 010 H110C*Y 220 X020120 H220 110 H210 100 a*(100)210c(210) a200000正晶格倒易晶格Z立方晶格的倒易变换 （面心点阵）0.25 Å-1 1Å b (220) (010) (110) b* 020 H220 220 X Y(100)c(210) aC*200 000 a*正晶格倒易晶格。

倒易点阵:晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是~零层倒易截面：电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做~消光距离：透射束或衍射束在动力学相互作用的结果，在晶体深度方向上发生周期性的振荡，这种振荡的深度周期叫做~明场像：通过衍射成像原理成像时，让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉形成的图像称为明场像。

暗场像：通过衍射成像原理成像时，让衍射束通过物镜光阑而把透射束挡掉形成的图像称为暗场像。

衍射衬度：由于样品中不同位向的晶体的衍射条件不同而造成的衬度差别叫~质厚衬度：是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。

二次电子：在入射电子束作用下被轰击出来并离开样品表面的样品的核外电子叫~吸收电子：入射电子进入样品后，经多次非弹性散射能量损失殆尽，然后被样品吸收的电子。

透射电子：如果被分析的样品很薄，那么就会有一部分入射电子穿过薄样品而成为透射电子。

结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零。

这叫做~分辨率：是指成像物体（试样）上能分辨出来的两个物点间的最小距离。

焦点：一束平行于主轴的入射电子束通过电磁透镜时将被聚焦在轴线上一点。

焦长：透镜像平面允许的轴向偏差.景深：透镜物平面允许的轴向偏差.磁转角：电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进的，衍射斑点到物镜的而一次像之间有一段距离，电子通过这段距离时会转过一定的角度.电磁透镜：透射电子显微镜中用磁场来使电子波聚焦成像的装置。

透射电子显微镜：是以波长极短的电子束作为照明源，用电磁透镜聚焦成像的一种高分辨率，高放大倍数的电子光学仪器。

弹性散射：当一个电子穿透非晶体薄样品时，将与样品发生相互作用，或与原子核相互作用，或与核外电子相互作用，由于电子的质量比原子核小得多，所以原子核入射电子的散射作用，一般只引来电子改变运动方向，而能量没有变化，这种散射叫做弹性散射。