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倒易点阵概念
倒易点阵是一种用于描述晶体结构中原子排列和晶格常数的强大数学工具。
在倒易点阵中，一系列点表示晶格中原子位置的倒易矢量，这些点对应着晶体结构中的原子位置。
通过这些倒易点阵，我们可以计算出晶格常数、原子间距以及晶格结构中的对称性和对称元素。
倒易点阵的概念在晶体学和材料科学中具有极其重要的意义。
首先，它可以帮助我们深入理解晶体的结构和性质。
通过倒易点阵，我们可以直观地观察到原子在晶体中的排列和分布，从而更好地理解晶体的构造和形成机制。
此外，倒易点阵还可以帮助我们预测和解释晶体的物理和化学性质。
通过对倒易点阵的分析，我们可以推断出晶体的力学、光学、电学等性质，为材料科学的研究和应用提供重要依据。
此外，倒易点阵还可以用于计算晶体结构中的对称性和对称元素。
对称性是晶体学中的一个核心概念，它涉及到晶体的几何结构和物理性质。
通过对称性分析，我们可以了解晶体的稳定性和各向异性等特点，从而更好地理解晶体的性质和应
用。
倒易点阵是一种强大的工具，可以帮助我们理解和描述晶体的结构和性质。
它是晶体学和材料科学领域的重要概念之一，对于研究晶体的物理和化学性质、探索新的材料和设计具有广泛应用价值。
第四章 倒易点阵及晶体衍射方向1. 布拉格定律一定波长的 X 射线或入射电子与晶体试样相互作用 , 可以用布拉格定律来表征产生衍射的条件。
图 4.1 布拉格定律的几何说明如图 4.1, 设平行电子束σ0入射到晶体中面间距为 d hkl 的晶体面网组 (hkl), 在人射波前 SS' 处 , 两电子波位相相同, 如果左边一支波经历波程 PA+AD = n λ，n 为包括零的整数 , 则两支波离开晶体后达到新波前 TT' 时 , 将具有相同的位相 , 相干结果可以达到衍射极大; 反之, 若 PA+AD ≠ n λ, 则达到TT' 时, 它们位相不同 , 不能相干得到衍射极大。
由图 4.1 可知，PA+AD =2d hkl sin θ=n λ (4.1)此即布拉格方程,n 称为衍射级数。
式(4.1)也可以写成:λθ=⎪⎭⎫⎝⎛sin 2n d hkl (4.1a)因为 d hkl /n=d nh, nk, hl ，故可把n 级 (hkl) 反射看成是与 (hkl) 平行 但面网间距缩小 n 倍的、 (nh, nk, nl) 的一级反射。
这样 , 布拉格方程可以写成一般形式 :λθ=sin 2hkl d (4.1a) 还可以写成下述形式：λθ/2/1sin hkld =(4.1b) 只要满足布拉格方程 , 就获得了产生衍射极大的条件。
式 (4.1a) 中 d hkl 为晶体中晶面组 (hkl) 的晶面间距；λ为入射电子束的波长；θ为人射电子束方向相对于晶面 (hkl) 的掠射角。
2. 倒易点阵2.1 倒易点阵定义 （1）倒易点阵：若已知晶体点阵的单位矢量 a 、b 、c, 可以定义倒易点阵的单位矢量a *、b *、c *，该点阵的方向矢量垂直于同名指数的晶体平面, 它的大小等于同名指数晶面间距的倒数,该点阵称为倒易点阵。
（2）正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系：图4.2 正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系取一晶体单胞 , 如图 4.2, 晶体点阵的单位矢量为 a 、b 和 c , 相应点阵的 6 个参数是a 、 b 、 c 、α、β和 γ。
第1章晶体学基础1.1复习笔记一、空间点阵1.晶体特征和空间点阵概述（1）晶体特征晶体的一个基本特征是具有周期性。
（2）空间点阵空间点阵是指用来描述晶体中原子或原子集团排列的周期性规律的在空间有规律分布的几何点的集合。
2.晶胞、晶系和点阵类型（1）晶胞①晶胞的定义空间点阵可以看成是由最小的单元——平行六面体沿三维方向重复堆积（或平移）而成。
这样的平行六面体称为晶胞。
②点阵常数a．描述晶胞的大小：三条棱的长度a，b和c；b．描述晶胞的形状：棱之间的夹角α，β和γ。
③选取晶胞的条件a.能反映点阵的周期性；b．能反映点阵的对称性；c．晶胞的体积最小。
（2）晶系按照晶胞的大小和形状的特点，或按照6个点阵常数之间的关系和特点，可以将各种晶体归为7种晶系。
表1-1 7种晶系（3）点阵类型①简单三斜点阵（如图1-1（1）所示）；②简单单斜点阵（如图1-1（2）所示）；③底心单斜点阵（如图1-1（3）所示）；④简单斜方点阵（如图1-1（4）所示）；⑤底心斜方点阵（如图1-1（5）所示）；⑥体心斜方点阵（如图1-1（6）所示）；⑦面心斜方点阵（如图1-1（7）所示）；⑧六方点阵（如图1-1（8）所示）；⑨菱方点阵（三角点阵）（如图1-1（9）所示）；⑩简单正方（或四方）点阵（如图1-1（10）所示）；⑪体心正方（或四方）点阵（如图1-1（11）所示）；⑫简单立方点阵（如图1-1（12）所示）；⑬体心立方点阵（如图1-1（13）所示）；⑭面心立方点阵（如图1-1（14）所示）。
图1-1 14种空间点阵（4）布拉维点阵与复式点阵①布拉维点阵：由等同点构成的点阵；②复式点阵：由几个布拉维点阵穿插而成的复杂点阵。
二、晶面指数和晶向指数1.晶面指数和晶向指数（1）晶面指数将截距的倒数化成三个互质的整数h，k，l，则（hkl）称为待标晶面的晶面指数。
（2）晶向指数将晶向上除原点以外的任一点的坐标x，y，z化成互质整数u，v，w，得到晶向指数[uvw]。
材料现代研究方法X射线衍射方法 综合热分析 紫外光谱 红外光谱 XPS光电子能谱2倒易点阵1. 倒易点阵的定义； 2. 倒易点阵与正点阵的倒易关系； 3. 倒易点阵参数；倒易点阵Questions: 1. 什么是倒易点阵？天下本无事，庸人自扰之？ ☺ 非常有用!2. 倒易点阵有用吗？ 3. 为什么要引入倒易点阵概念?能简化（1）晶面与晶面指数表达；（2）衍射原理的表 达；（3）与实验测量结果直接关联，尤其是电子衍射部 部分。
晶体X射线衍射的核心，是对晶体中各个晶面的研 究，如果能把晶面作为一个点来研究，何乐不为！5倒易点阵晶体XRD衍射图谱 晶体电子衍射花样我们所观察到的衍射花样（或者衍射图谱）实际上是满 足衍射条件的倒易阵点的投影。
61.倒易点阵的定义倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照一定的对应关系 建立起来的空间几何图形。
每种空间点阵都存在着与其相对应的倒易空间点阵， 它是晶体点阵的另一种表达方式。
用倒易点阵处理衍射问题时，能使几何概念更清楚， 数学推演简化。
晶体点阵空间称为正空间，结点为阵点。
倒易空间中 的结点称为倒易点。
71.倒易点阵的定义简单点阵001 101简单点阵的倒易点阵011 111010 100 110点阵: 原点、基矢量、 阵点、晶向、晶面倒易点阵: 原点、倒易基矢量、 8 倒易点、倒易矢量、倒易面1.倒易点阵的定义1）倒易矢量倒易矢量的定义 从倒易点阵原点向任一倒易阵点 所连接的矢量叫倒易矢量，表示 为： r* = ha* + kb* + lc*2）倒易矢量的两个基本性质1）倒易矢量的方向垂直于正点阵中的（hkl）晶面。
2）倒易矢量的长度等于（hkl）晶面的晶面间距dhkl的倒数。
倒易阵点用它所代表的晶面的面指数(干涉指数)标定。
91.倒易点阵的定义晶面族所对应的倒易点a/2 上图画出了(100)、(200)晶面 (100) 族所对应的倒易阵点，因为 (200)的晶面间距d200 是d100 的一 半，所以(200)晶面的倒易矢量 长度为(100)的倒易矢量长度的 000 C* 二倍。
第1章晶体学基础1.1复习笔记一、空间点阵1.晶体特征和空间点阵概述（1）晶体特征晶体的一个基本特征是具有周期性。
（2）空间点阵空间点阵是指用来描述晶体中原子或原子集团排列的周期性规律的在空间有规律分布的几何点的集合。
2.晶胞、晶系和点阵类型（1）晶胞①晶胞的定义空间点阵可以看成是由最小的单元——平行六面体沿三维方向重复堆积（或平移）而成。
这样的平行六面体称为晶胞。
②点阵常数a．描述晶胞的大小：三条棱的长度a，b和c；b．描述晶胞的形状：棱之间的夹角α，β和γ。
③选取晶胞的条件a.能反映点阵的周期性；b．能反映点阵的对称性；c．晶胞的体积最小。
（2）晶系按照晶胞的大小和形状的特点，或按照6个点阵常数之间的关系和特点，可以将各种晶体归为7种晶系。
表1-1 7种晶系（3）点阵类型①简单三斜点阵（如图1-1（1）所示）；②简单单斜点阵（如图1-1（2）所示）；③底心单斜点阵（如图1-1（3）所示）；④简单斜方点阵（如图1-1（4）所示）；⑤底心斜方点阵（如图1-1（5）所示）；⑥体心斜方点阵（如图1-1（6）所示）；⑦面心斜方点阵（如图1-1（7）所示）；⑧六方点阵（如图1-1（8）所示）；⑨菱方点阵（三角点阵）（如图1-1（9）所示）；⑩简单正方（或四方）点阵（如图1-1（10）所示）；⑪体心正方（或四方）点阵（如图1-1（11）所示）；⑫简单立方点阵（如图1-1（12）所示）；⑬体心立方点阵（如图1-1（13）所示）；⑭面心立方点阵（如图1-1（14）所示）。
图1-1 14种空间点阵（4）布拉维点阵与复式点阵①布拉维点阵：由等同点构成的点阵；②复式点阵：由几个布拉维点阵穿插而成的复杂点阵。
二、晶面指数和晶向指数1.晶面指数和晶向指数（1）晶面指数将截距的倒数化成三个互质的整数h，k，l，则（hkl）称为待标晶面的晶面指数。
（2）晶向指数将晶向上除原点以外的任一点的坐标x，y，z化成互质整数u，v，w，得到晶向指数[uvw]。
1.4 倒易点阵和布里渊区(Reciprocal lattice; Brillouin zones)一. 定义二. 倒易点阵和晶体点阵的关系三. 倒易点阵的物理意义四. 倒易点阵实例五. 布里渊区一. 定义：假设是一个晶格的基矢，该点阵的格矢为：原胞体积是：现在定义另一晶格的3个基矢：，它们与的关系满足：123,,a a a 123()a a a Ω=⋅⨯ 123123n R n a n a n a =++ 123,,b b b 123,,a a a 2i j ij a b πδ⋅== 2,i j π=0,i j ≠,1,2,3i j =则称这两种格子互为正倒格子。
若基矢的格子为正格子，则的格子就是倒格子。
反之亦然。
123,,a a a 123,,b b b 位移矢量就构成了倒易点阵。
上面变换公式中出现的因子，对于晶体学家来说并没有多大用处，但对于固体物理研究却带来了极大的方便。
倒易点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心概念。
123hkl G hb kb lb =++ 2π4. 正点阵晶面族与倒易点阵格矢相互垂直，123(,,)h h h 123h h h G 123h h h 123123G =++ h b h b h b 且有：1231232h h h h h h d G π= 证明：先证明倒格矢与正格子的晶面系正交。
如图所示，晶面系中最靠近原点的晶面（ABC ）在正格子基矢的截距分别为：123,,123123h h h G h b h b h b =++ 123()h h h 123()h h h 123,,a a a 123123,,a a a h h h3 3)ah6. 同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性设α为正格子的一个点群对称操作，即当R n 为一正格矢时，αR n 也为正格矢，同样α－1R n 也是正格矢。
倒易点阵:晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是~零层倒易截面：电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做~消光距离：透射束或衍射束在动力学相互作用的结果，在晶体深度方向上发生周期性的振荡，这种振荡的深度周期叫做~明场像：通过衍射成像原理成像时，让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉形成的图像称为明场像。
暗场像：通过衍射成像原理成像时，让衍射束通过物镜光阑而把透射束挡掉形成的图像称为暗场像。
衍射衬度：由于样品中不同位向的晶体的衍射条件不同而造成的衬度差别叫~质厚衬度：是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。
二次电子：在入射电子束作用下被轰击出来并离开样品表面的样品的核外电子叫~吸收电子：入射电子进入样品后，经多次非弹性散射能量损失殆尽，然后被样品吸收的电子。
透射电子：如果被分析的样品很薄，那么就会有一部分入射电子穿过薄样品而成为透射电子。
结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零。
这叫做~分辨率：是指成像物体（试样）上能分辨出来的两个物点间的最小距离。
焦点：一束平行于主轴的入射电子束通过电磁透镜时将被聚焦在轴线上一点。
焦长：透镜像平面允许的轴向偏差.景深：透镜物平面允许的轴向偏差.磁转角：电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进的，衍射斑点到物镜的而一次像之间有一段距离，电子通过这段距离时会转过一定的角度.电磁透镜：透射电子显微镜中用磁场来使电子波聚焦成像的装置。
透射电子显微镜：是以波长极短的电子束作为照明源，用电磁透镜聚焦成像的一种高分辨率，高放大倍数的电子光学仪器。
弹性散射：当一个电子穿透非晶体薄样品时，将与样品发生相互作用，或与原子核相互作用，或与核外电子相互作用，由于电子的质量比原子核小得多，所以原子核入射电子的散射作用，一般只引来电子改变运动方向，而能量没有变化，这种散射叫做弹性散射。
