2021届江苏省无锡市江阴一中高三上学期10月份数学周练

高三（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B=．2．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）3．计算：=．4．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=．5．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为．6．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则实数a的取值范围为．7．若方程2x+x=4的解所在区间为[m，m+1]（m∈Z），则m=．8．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为．9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是．10．设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m2﹣m，则m的取值范围是．11．已知1+2x+4x•a＞0对一切x∈（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是．12．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是．13．设方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，函数f （x）=（x+p）（x+q）+2，则f （2），f （0），f （3）的大小关系为．14．设方程|ax﹣1|=x的解集为A，若A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是．二、解答题15．已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=，（1）当a=2时，求A∩B；（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．17．设函数．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）最新年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？19．已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B={0，1} ．【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即B=[0，1]，∵A={0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故答案为：{0，1}2．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，则（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要3．计算：=11．【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：=+3+（0.5）﹣2=4+3+4=11．故答案为：11．4．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=2．【考点】幂函数的性质．【分析】把幂函数y=xα的图象经过的点（2，）代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数解析式，从而求得f（4）的值．【解答】解：∵已知幂函数y=xα的图象过点（2，），则2α=，∴α=，故函数的解析式为f（x）=x，∴f（4）=4=2，故答案为：2．5．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．【考点】复合函数的单调性．【分析】由真数大于0求出函数的定义域，进一步得到内函数的减区间，然后由复合函数的单调性得答案．【解答】解：由2x2﹣3＞0，得x或x．∵内函数t=2x2﹣3在（﹣）上为减函数，且外函数y=lnt为定义域上的增函数，∴函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．故答案为：（﹣）．6．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则实数a的取值范围为（﹣1，3）．【考点】特称命题．【分析】命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则命题“∀x∈R，x2+（a ﹣1）x+1＞0”是真命题，可得△＜0，解出即可得出．【解答】解：命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则命题“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1＞0”是真命题，则△=（a﹣1）2﹣4＜0，解得﹣1＜a＜3．则实数a的取值范围为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．7．若方程2x+x=4的解所在区间为[m，m+1]（m∈Z），则m=1．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】方程2x+x=4的解转化为函数f（x）=2x+x﹣4的零点问题，把区间端点函数值代入验证即可．【解答】解：令f（x）=2x+x﹣4，由y=2x和y=x﹣4均为增函数，故f（x）=2x+x﹣4在R上为增函数，故f（x）=2x+x﹣4至多有一个零点，∵f（1）=2+1﹣4＜0f（2）=4+2﹣4＞0∴f（x）=2x+x﹣4在区间[1，2]有一个零点，即方程方程2x+x=4的解所在区间为[1，2]，故m=1，故答案为：18．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为﹣e．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx0+1）x﹣x0，对照已知直线列出最新x0、m的方程组，解之即可得到实数m的值．【解答】解：设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数，得∴切线的斜率k=lnx0+1，故切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），整理得y=（lnx0+1）x﹣x0，与y=2x+m比较得，解得x0=e，故m=﹣e．故答案为：﹣e9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【考点】函数的值域．【分析】f（x）是分段函数，在每一区间内求f（x）的取值范围，再求它们的并集得出值域；由f（x）的值域为R，得出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=，当x＞2时，f（x）=2x+a，在（2，+∞）上为增函数，f（x）∈（4+a，+∞）；当x≤2时，f（x）=x+a2，在（﹣∞，2]上为增函数，f（x）∈（﹣∞，2+a2]；若f（x）的值域为R，则（﹣∞，2+a2]∪（4+a，+∞）=R，则2+a2≥4+a，即a2﹣a﹣2≥0解得a≤﹣1，或a≥2，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．10．设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m2﹣m，则m的取值范围是（﹣1，2）．【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性．【分析】根据f（x）为奇函数且周期为3便可得到f（2）=﹣f（1），这便得到f （1）=﹣m2+m，根据f（1）＞﹣2即可得到﹣m2+m＞﹣2，解该不等式即可得到m的取值范围．【解答】解：根据条件得：f（2）=f（2﹣3）=f（﹣1）=﹣f（1）=m2﹣m；∴f（1）=﹣m2+m；∵f（1）＞﹣2；∴﹣m2+m＞﹣2；解得﹣1＜m＜2；∴m的取值范围为（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．11．已知1+2x+4x•a＞0对一切x∈（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是（﹣，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】分离出参数a后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．【解答】解：1+2x+4x•a＞0可化为a＞，令t=2﹣x，由x∈（﹣∞，1]，得t∈[，+∞），则a＞﹣t2﹣t，﹣t2﹣t=﹣在[，+∞）上递减，当t=时﹣t2﹣t取得最大值为﹣，所以a＞﹣．故答案为：（﹣，+∞）．12．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（3，+∞）．【考点】对数函数的值域与最值；对数的运算性质．【分析】画出函数f（x）的图象，则数形结合可知0＜a＜1，b＞1，且ab=1，再将所求a+2b化为最新a的一元函数，利用函数单调性求函数的值域即可【解答】解：画出y=|lgx|的图象如图：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1∴﹣lga=lgb即ab=1∴y=a+2b=a+，a∈（0，1）∵y=a+在（0，1）上为减函数，∴y＞1+=3∴a+2b的取值范围是（3，+∞）故答案为（3，+∞）13．设方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，函数f （x）=（x+p）（x+q）+2，则f （2），f （0），f （3）的大小关系为f（3）＞f（2）=f（0）．【考点】二次函数的性质．【分析】把两个方程分别看作指数函数与直线y=﹣x﹣2的交点B和对数函数与直线y=﹣x﹣2的交点A的横坐标分别为p和q，而指数函数与对数函数互为反函数则最新y=x对称，求出AB的中点坐标得到p+q=﹣2；然后把函数f（x）化简后得到一个二次函数，对称轴为直线x=﹣=1，所以得到f（2）=f（0）且根据二次函数的增减性得到f（2）和f（0）都小于f（3）得到答案．【解答】解：如图所示：，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0可以分别看作方程方程2x=﹣x﹣2和方程log2x=﹣x﹣2，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，即分别为函数y=2x与函数y=﹣x﹣2的交点B横坐标为p；y=log2x与y=﹣x﹣2的交点C横坐标为q．由y=2x与y=log2x互为反函数且最新y=x对称，所以BC的中点A一定在直线y=x 上，联立得，解得A点坐标为（﹣1，﹣1），根据中点坐标公式得到=﹣1即p+q=﹣2，则f（x）=（x+p）（x+q）+2=x2+（p+q）x+pq+2为开口向上的抛物线，且对称轴为x=﹣=1，得到f（0）=f（2）且当x＞1时，函数为增函数，所以f（3）＞f（2），综上，f（3）＞f（2）=f（0）故答案为：f（3）＞f（2）=f（0）．14．设方程|ax﹣1|=x的解集为A，若A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是a=﹣1或﹣≤a≤1或a≥．【考点】其他不等式的解法．【分析】将绝对值不等式转化为不等式组，然后解之．【解答】解：∵A⊂≠[0，2]，方程两边平方得a2x2﹣2ax+1=x2，整理得（a2﹣1）x2﹣2ax+1=0，当a=1时，方程为|x﹣1|=x，解得x=，A={}，满足题意；当a=﹣1时，方程为|x+1|=x，解得x=﹣，A=∅，满足题意；当a2﹣1≠0时，方程等价于[（a+1）x﹣1][（a﹣1）x﹣1]=0，要使A⊂≠[0，2]，①两根为正根时，只要0≤≤2并且0≤≤2，解得a ≥且a≥，所以a≥；②当＞0并且＜0时，只要0≤≤2，解得﹣≤a＜1；所以A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是﹣≤a≤1或a≥；故答案为：a=﹣1或﹣≤a≤1或a≥．二、解答题15．已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=，（1）当a=2时，求A∩B；（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）把a的值分别代入二次不等式和分式不等式，然后通过求解不等式化简集合A，B，再运用交集运算求解A∩B；（2）把集合B化简后，根据集合A中二次不等式对应二次方程判别式的情况对a进行分类讨论，然后借助于区间端点值之间的关系列不等式组求解a的范围．【解答】解：（1）当a=2时，A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}={x|x2﹣9x+14=0}=（2，7），B=={x|}=（4，5），∴A∩B=（4，5）（2）∵B=（2a，a2+1），①当a＜时，A=（3a+1，2）要使B⊆A必须，此时a=﹣1，②当时，A=∅，使B⊆A的a不存在．③a＞时，A=（2，3a+1）要使B⊆A，必须，此时1≤a≤3．综上可知，使B⊆A的实数a的范围为[1，3]∪{﹣1}．16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】通过p为真，求出实数m的取值范围；通过q为真，利用判别式小于0，即可求实数m的取值范围，通过p或q为真，p且q为假，分类讨论求出求实数m的取值范围．【解答】解：p：方程有负根m=﹣=﹣（x+）≥2；q：方程无实数根，即△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，∴p、q一真一假，当p为真q为假时，解得m≥3，当p为假q为真时，，解得1＜m＜2，∴1＜m＜2或m≥3，所以实数m的取值范围为1＜m＜2或m≥3．17．设函数．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断函数f（x）不是奇函数；（2）根据奇函数的性质建立方程即可求a与b的值；（3）根据函数单调性的定义或性质证明函数f（x）的单调性，并利用单调性的性质解不等式．【解答】解：（1）当a=b=2时，，∵，f（1）=0，∴f（﹣1）≠﹣f（1），∴函数f（x）不是奇函数．（2）由函数f（x）是奇函数，得f（﹣x）=﹣f（x），即对定义域内任意实数x都成立，整理得（2a﹣b）•22x+（2ab﹣4）•2x+（2a﹣b）=0对定义域内任意实数x都成立，∴，解得或经检验符合题意．（3）由（2）可知易判断f（x）为R上的减函数，证明：∵2x+1在定义域R上单调递增且2x+1＞0，∴在定义域R上单调递减，且＞0，∴在R上单调递减．由，不等式，等价为f（x）＞f（1），由f（x）在R上的减函数可得x＜1．另解：由得，即，解得2x＜2，∴x＜1．即不等式的解集为（﹣∞，1）．18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）最新年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=x2+10x （万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+﹣1450，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=﹣+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=；（2）①当0＜x＜80时，L（x）=﹣+40x﹣250=﹣+950，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中得到切点的坐标，利用导数求出直线切线，即可求出切线方程；（Ⅱ）求出f′（x）=0时x的值，分0＜a≤2和a＞2两种情况讨论函数的增减性分别得到f（﹣）和f（）及f（﹣）和f（）都大于0，联立求出a的解集的并集即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，∴f（2）=3；∵f′（x）=3x2﹣3x，∴f′（2）=6．所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），即y=6x﹣9；（Ⅱ）解：f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=．以下分两种情况讨论：（1）若0＜a≤2，则；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣，0）0（0，）f′（x）+0﹣f（x）增极大值减当时，f（x）＞0，等价于即．解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；（2）若a＞2，则当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：0（0，）（，）x（﹣，0）f′（x）+0﹣0+f（x）增极大值减极小值增当时，f（x）＞0等价于即解不等式组得或．因此2＜a＜5．综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．。

2021年高三上学期10月综合测试数学试题含答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟第I卷选择题（共50分）一．选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的,请将正确答案填到答题卡的相应位置）1.设集合},yy=x-A x则<xxB22,]2,0[{},={∈1=(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)2.给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条件；命题q：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是A. B. C. D.3. “，”是“函数的图象过原点”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.函数的定义域为(A) (B) (C) (D)5.已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是,.（A）（B）（C）（D）6.定义在R上的奇函数满足，当时，，则在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f （x）＜07.若对任意的恒成立，则的最大值是（A）4（B）6（C）8（D）108.已知函数的图象过点，则的图象的一个对称中心是(A) (B) (C) (D)9.已知函数，则函数的大致图象为10.直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是A. B. C. D.二．填空题（每小题5分，共25分。

请把答案填在答题卡上）11.当时，函数的图像恒过点A，若点A在直线上，则的最小值为________12.已知对于任意的x∈R，不等式|x﹣3|+|x﹣a|＞5恒成立，则实数a的取值范围是________13.若，则= ___________．14.已知向量和，，其中，且，则向量和的夹角是．15.已知函数在区间内任取两个实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.三．解答题（满分75分。

2021届江阴市长泾中学高三阶段10月检测数学试卷一、单项选择题：本题共8小题。

每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U=R ，集合{}{}()216,10,U A x Z x B x x A C B =∈<=-≤=则（ ）A ．{1，2，3}B ．{2，3}C ．{}14x x ≤<D ．{}14x x <<2．已知复数z 满足11ii z+=-，则z =（ ） A ．22B ．2C ．2D ．13．“1a <-”是“00,sin x R a x ∃∈<”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数()3ln xf x x =的部分图象大致为 （ ）5．若()33log 21log a b ab +=+2a b +的最小值为 （ ）A ．6B ．83C ．3D ．1636．若2232cos()4θθπθ=+，则sin 2θ=（ ）A.23B.13C.23-D. 13-7.若函数()y f x =存在1()n n N *-∈个极值点，则称()y f x =为n 折函数，例如2()f x x =为2折函数.已知函数2()(1)(2)x f x x e x x =+-+，则()f x 为( )A.2折函数B.3折函数C.4折函数D.5折函数8.已知函数()f x 的定义域为R ，1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，对任意的x ∈R 满足'()4f x x <-，当[,]αππ∈-时，则不等式(cos )cos 20f αα+<的解集是（ ）A.(,)33ππ-B. 2(,)33ππC. 2(,)33ππ-D. 5(,)66ππ二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知,,,a b c d 均为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若,a b c d >>，则ac bd >B ．若0,0ab bc ad >->，则0c da b -> C ．若,,a b c d a d b c >>->-则 D ．若,0,a ba b c d d c>>>>则10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角,αβ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于,A B 两点，若点A ，B 的坐标分别为34(,)55和43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则以下结论正确的是( )A. 3cos 5α=B. 3cos 5β=C. cos()0αβ+=D. cos()0αβ-=11.已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是( )A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61iii x f x =∑的取值范围是()0,612．如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ (其中A ＞0，ω＞0，2πϕ≤)的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，∠OCB=3π， ｜OA ｜=2，2213AD =．则下列说法正确的有（ ）A ．f (x )的最小正周期为12B ．6πϕ=-C ．f (x )的最大值为163D ．f (x )在区间（14,17）上单调递增 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知曲线e ln xy a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则a =_________.14.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0．618，这一数值也可表示为2sin18m =︒． 若24m n +=，则212cos 273m n-︒= ．15. 如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t(单位：h)表示他从小岛到城镇的时间，x(单位：km )表示此人将船停在海岸处距P 点的距离.当x = 时，此人从小岛到城镇花费的时间最少.16.已知函数2221,01()2,1x mx x f x mx x ⎧+-≤≤=⎨+>⎩，若()f x 在区间[)0+∞，上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.在①a 3+a 5=5，S 4=7；②4S n =n 2+3n ；③5S 4=14S 2，5a 是a 3与92的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若____________________． (1)求a n ； (2)记2221n n n b a a +=⋅，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，(0,)ϕπ∈，x ∈R ，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f x 的图象过点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的解析式和单调递增区间；(2)若[0,2]x π函数()f x 的最大值和最小值.19.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,1cos()7αβ-=,23παβ+=（1）求sin(22)αβ-的值； （2）求cos α的值．20.在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()()()1Mf x f x f x =+-．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产x 台()x N*∈的收益函数为()2300020R x x x =- (单位：万元)，成本函数()5004000C x x =+(单位：万元)，该公司每月最多生产100台该医疗器材．(利润函数=收益函数－成本函数) (1)求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；(2)此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?(精确到0.1) (3)求x 为何值时利润函数()P x 取得最大值，并解释边际利润函数()MP x 的实际意义．21. 已知函数2()2ln ,()af x x xg x x x=-=+．设函数f （x ）与g （x ）有相同的极值点． (1)求实数a 的值； (2)若对，不等式恒成立，求实数k 的取值范围.22．已知函数()xf x e ax =-．(1)当0a >时，设函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()1g a ≤； (2)若函数()()212h x f x x =-有两个极值点()1212,x x x x <， 证明：()()122h x h x +>．2021届江阴市长泾中学高三阶段10月检测数学答案一选择题B D A AC C C ABCD AD BCD ACD。

2021-2022学年江苏省无锡市江阴市高三（上）开学学情检测数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知A ，B 均为R 的子集，且A ∩(∁R B)=A ，则下面选项中一定成立的是( )A. B ⊆AB. A ∪B =RC. A ∩B =⌀D. A =∁R B2. 已知a ⃗ ，b ⃗ 是不共线的向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa ⃗ +b ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +μb ⃗ (λ、μ∈R)，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A. λ+μ=2B. λ−μ=1C. λμ=−1D. λμ=13. 函数f(x)=2x−lnx−1的大致图象是( )A.B.C.D.4. 已知变量x 和y 的统计数据如表：x 3 4 5 6 7 y 2.5 3 4 4.5 6根据上表可得回归直线方程y ̂=b̂x −0.25，据此可以预测当x =8时，y =( ) A. 6.4B. 6.25C. 6.55D. 6.455. 若抛物线y 2=2px(p >0)的焦点是双曲线x 23p −y 2p=1的一个焦点，则p =( )A. 2B. 4C. 8D. 166. 若cosα=−45，α是第三象限的角，则1+tanα21−tanα2=( )A. −12B. 12C. 2D. −27.在封闭的直三棱柱ABC−A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=5，则V的最大值是()A. 4πB. 9π2C. 125π6D. 32π38.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x>0都有2f(x)+xf′(x)>0成立，则()A. 4f(−2)<9f(3)B. 4f(−2)>9f(3)C. 2f(3)>3f(−2)D. 3f(−3)<2f(−2)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110,81)，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有()附：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545A. 该校学生成绩的期望为110B. 该校学生成绩的标准差为9C. 该校学生成绩的标准差为81D. 该校学生成绩及格率超过95%10.已知圆O：x2+y2=4和圆M：x2+y2+4x−2y+4=0相交于A，B两点，则()A. 直线AB的方程为y=2x+2B. 两圆有两条公切线C. 线段AB的长为65D. 圆O上点E，圆M上点F，则|EF|的最大值为√5+311.已知函数f(x)=sin(cosx)，则()A. f(x)的一个周期是2πB. f(x)的图象关于直线x=π2对称C. f(x)的最大值小于√32D. f(x)=x在区间(0,π2)内有唯一的根12.若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则()A. AC与BD所成的角为90°B. AD与BC所成的角为45°C. BC与平面ACD所成角的正弦值为√62D. 平面ABC与平面BCD所成角的正切值是√2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(x2+2x)6的展开式中，常数项的值等于______ ．14.已知复数z的共轭复数是z−，若z−3z−=1+2i，则|z|=______．15.拉面是很多人喜好的食物．师傅在制作拉面的时候，将面团先拉到一定长度，然后对折，对折后面条根数变为原来的2倍，再拉到上次面条的长度．每次对折后，师傅都要去掉捏在一只手里的面团．如果拉面师傅将300克面团拉成细丝面条，每次对折后去掉捏在手里的面团都是18克．第一次拉的长度是1m，共拉了7次，假定所有细丝面条粗线均匀、质量相等，则最后每根1m长的细丝面条的质量是______．16.若x1<x2时，不等式√2[sin(x1+π4)−sin(x2+π4)]<m(x1−x2)恒成立，则实数m的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.数列{a n}的前n项之和为S n，a1=1，a n+1=pa n+1(p为常数)．(1)当p=1时，求数列{1S n}的前n项之和；(2)当p=2时，求S n．18.有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…n的n个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，已知ξ=2时，共有6种坐法．(1)求n的值；(2)求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．19.如图，圆柱OO1的轴截面ABB1A1是正方形，O1、O分别是上、下底面的圆心，C是弧AB⏜的中点，D、E分别是AA1与BC中点．(1)求证：DE//平面A1CB1；(2)求二面角B−A1C−B1的余弦值．20.△ABC中，AB=2AC，点D在BC边上，AD平分∠BAC．(1)若sin∠ABC=√5，求cos∠BAC；5(2)若AD=AC，且△ABC的面积为√7，求BC．+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的21.设椭圆C：x22坐标为(2,0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．22.已知函数f(x)=alnx+x+a存在两个零点x1，x2．(1)求a的取值范围；(2)证明：x1x2>1．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ∩(∁R B)=A ，∴A ⊆∁R B ， 用Venn 图表示如下：∴A ∩B =⌀，即C 一定成立，A ，B ，D 都不一定成立． 故选：C ．根据条件可得出A ⊆∁R B ，然后可画出Venn 图表示集合A ，B ，通过Venn 图判断每个选项是否一定成立．本题考查了交集和补集的定义及运算，子集的定义，借助Venn 图解决集合问题的方法，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：若A 、B 、C 三点共线，则向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即存在实数k ，使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa ⃗ +b ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +μb ⃗∴λa ⃗ +b ⃗ =k(a ⃗ +μb ⃗ )，可得{λ=k 1=kμ，消去k 得λμ=1 即A 、B 、C 三点共线的充要条件为λμ=1 故选：D ．若A 、B 、C 三点共线，则向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行，根据题中等式结合向量平行的充要条件列式，即可找出使A 、B 、C 三点共线的充要条件．本题给出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 关于a ⃗ 、b ⃗ 的线性表达式，求A 、B 、C 三点共线的充要条件．着重考查了平面向量共线的充要条件和平面向量基本定理等知识，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：当x=0或x=1时，f(x)无意义，即函数的定义域为{x|x>0且x≠1}，设g(x)=x−lnx−1，则g′(x)=1−1 x =x−1x．当0<x<1，g′(x)<0，此时g(x)为减函数，则g(x)>g(1)=1−ln1−1=0，则f(x)>0且f(x)为增函数，排除C，D，当x>1时，g′(x)>0，此时g(x)为增函数，则g(x)>g(1)=1−ln1−1=0，则f(x)>0且f(x)为减函数，排除B，故选：A．设g(x)=x−lnx−1，求函数的导数，研究函数的单调性，和取值范围即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，设分母为g(x)，求函数的导数，研究函数的单调性和取值范围是解决本题的关键，是中档题．4.【答案】C【解析】解：样本平均数x=15(3+4+5+6+7)=5，y=15(2.5+3+6+4+4.5)=4，即4=5b̂−0.25，∴b̂=0.85∴回归直线方程ŷ=0.85x−0.25，当x=8时，ŷ=0.85×8−0.25=6.55，故选：C．根据数据求解平均数x，y，代入求解b̂，可得回归直线方程，将x=8代入计算可得y 的预测值．本题考查线性回归方程的求法，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点是双曲线x23p −y2p=1的一个焦点，可得p2=√3p+p，解得p=16，故选：D．利用已知条件，求出抛物线的焦点坐标，与双曲线的焦点坐标，列出方程求解即可．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查同角的三角函数关系，考查二倍角关系，属于基础题．先根据同角三角函数关系求出tanα=34，然后根据二倍角关系以及角的范围求出tan α2=−3，代入即可解答． 【解答】解：由cosα=−45，α是第三象限的角，可得sinα=−35， 则tanα=34=2tanα21−tan 2α2⇒tan α2=13或tan α2=−3．又α∈(2kπ+π,2kπ+32π),k ∈Z ⇒α2∈(kπ+π2,kπ+34π),k ∈Z ，即α2要么是第二象限角，要么是第四象限角， 所以tan α2=−3， 所以1+tanα21−tanα2=1−31+3=−12．故选A ．7.【答案】D【解析】 【分析】本题考查球的最大体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．先保证截面圆与△ABC 内切，记圆O 的半径为r ，由等面积法得(AC +AB +BC)r =6×8，解得r =2.由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，球的最大半径为2，由此能求出结果． 【解答】解：如图，由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．先保证截面圆与△ABC 内切，记圆O 的半径为r ，则由等面积法得S△ABC=12AC ⋅ r+12AB ⋅ r+12BC ⋅ r=12×6×8，所以(AC+AB+BC)r=6×8，又AB=6，BC=8，所以AC=10，所以r=2.由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，若r增大，则无法保证球在三棱柱内，故球的最大半径为2，所以V=32π3．故选：D．8.【答案】A【解析】解：根据题意，令g(x)=x2f(x)，其导数g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)，又由对任意x>0都有2f(x)+xf′(x)>0成立，则当x>0时，有g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)]>0成立，即函数g(x)在(0,+∞)上为增函数，又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(−x)=f(x)，则有g(−x)=(−x)2f(−x)=x2f(x)=g(x)，即函数g(x)为偶函数，则有g(−2)=g(2)，且g(2)<g(3)，则有g(−2)<g(3)，即有4f(−2)<9f(3)；故选：A．根据题意，令g(x)=x2f(x)，求其求导分析可得当x>0时，有g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)]>0成立，即函数g(x)在(0,+∞)上为增函数，结合题意分析函数g(x)为偶函数，进而有g(−2)<g(3)，转化为f(x)分析可得答案．本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数的奇偶性、单调性的综合应用，关键是构造函数g(x)，并分析函数的单调性．9.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．由已知可得A正确，B正确，C错误；求出学生数学成绩的及格率判断D．【解答】解：由题意，正态分布曲线的对称轴为x=110，σ=9．∴该市学生数学成绩的期望为110，故A正确；该市学生数学成绩的标准差为9，故B正确，C错误；∵P(92<ξ<128)=0.9545，∴P(ξ≤92)=P(ξ≥128)=12[1−P(P(92<ξ<128)]=12(1−0.9545)=0.02275,则P(ξ<90)<0.02275，P(ξ≥90)>0.97725>0.95，故D正确．故选：ABD．10.【答案】BD【解析】解：对于A，圆O：x2+y2=4和圆x2+y2+4x−2y+4=0作差得4x−2y+ 4=−4，即y=2x+4，故A错误，对于B，∵两圆相交与A，B两点，∴两圆有两条公切线，故B正确，对于C，圆O：x2+y2=4的圆心O(0,0)，半径为2，则圆心O到直线AB的距离d=√4+1=4√55，故AB=2(4√55)=4√55，故C错误，对于D，圆M：x2+y2+4x−2y+4=0的圆心为M(−2,1)，半径为2，圆O上点E，圆M上点F，则|EF|的最大值为|MO|+1+2=√5+3，故D正确．故选：BD．联立两圆的方程，变形可得直线AB的方程，即可判断A选项，结合两圆相交的性质，即可判断B选项，结合垂径定理，即可判断C选项，由两圆相交可得，|EF|的最大值为|OM|+R+r，即可判断D选项．本题考查圆与圆的位置关系，以及两圆相交的性质，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：因为f(x)=sin(cosx)，所以f(x+2π)=sin[cos(x+2π)]=sin(cosx)=f(x)，故A正确；当x=π2时，f(π2)=sin(cosπ2)=sin0=0，所以f(x)的图象关于(π2,0)中心对称，故B错误；由于x∈R，函数的cos x的值域为[−1,1]，所以f(x)∈[−sin1,sin1]，所以f(x)的最大值sin1<√32，故C正确；因为函数y=cosx在区间(0,π2)上单调递减，y=sinx区间(0,π2)上单调递增，所以y=sin(cosx)单调递减，作出f(x)与y=x的图象，如图所示，由图可知，f(x)与y=x在区间(0,π2)上只有一个交点，所以f(x)=x在区间(0,π2)内有唯一的根，故D正确．故选：ACD．根据f(x+2π)=f(x)判断A正确；根据f(π2)=0判断B错误；利用三角函数的性质求出f(x)的值域可判断C；由函数图象可判断D．本题主要考查函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：如图，取BD的中点O，连接AO，CO，可得AO⊥BD，CO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD，以O为坐标原点，分别以OC、OD、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．设正方形ABCD 的边长为√2，则C(1,0，0)，A(0,0，1)，B(0,−1,0)，D(0,1，0)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)， ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AC 与BD 所成的角为90°，故A 正确； ∵cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√2=12，∴AD 与BC 所成的角为60°，故B 错误；设平面ACD 的一个法向量为a⃗ =(x,y,z)， 由{a ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =x −z =0a ⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y −z =0，取z =1，可得a⃗ =(1,1,1)， ∵cos <BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,a ⃗ >=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅a ⃗|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||a ⃗ |=√2×√3=√63，∴BC 与平面ACD 所成角的正弦值为√63，故C 错误；设平面ABC 的一个法向量为b ⃗ =(x 1,y 1,z 1)，由{b ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1−z 1=0b ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+y 1=0，取z 1=1，得b ⃗ =(1,−1,1)， 而平面BCD 的一个法向量为c ⃗ =(0,0,1)， ∵cos <b ⃗ ,c ⃗ >=b ⃗ ⋅c ⃗|b ⃗ ||c ⃗ |=√3=√33，∴平面ABC 与平面BCD 所成角的余弦值为√33，则平面ABC 与平面BCD 所成角的正弦值为√63，正切值是√2，故D 正确．故选：AD ．取BD 的中点O ，连接AO ，CO ，可得AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，证明AO ⊥平面BCD ，以O 为坐标原点，分别以OC 、OD 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解空间角，再逐一核对四个选项得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．13.【答案】240【解析】解：由于(x 2+2x )6的展开式的通项公式为T r+1=C 6r⋅2r ⋅x 12−3r ， 令12−3r =0，求得r =4，故常数项的值等于C 64⋅24=240，故答案为：240．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14.【答案】√22【解析】解：设z =a +bi ，a ，b ∈R ， 则z −=a −bi ， ∵z −3z −=1+2i ，∴a −bi −3(a −bi)=1+2i ，解得a =−12，b =12， ∴|z|=√(−12)2+(12)2=√22． 故答案为：√22．根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解． 本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．15.【答案】3克【解析】解：这面团共拉7次，其中对折6次，最后所有细丝拉面的总质量是300−6×18=192克，共有27−1=64根长度为1m 的细丝面条， 所有每根这样的丝面条的质量是19264=3克， 故答案为：3克．先计算出对折6次后最后所有细丝拉面的总质量，再计算对折6次后细丝面条的根数，即可求出结果．本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，比较基础．16.【答案】(−∞,−√2]【解析】解：因为不等式√2[sin(x 1+π4)−sin(x 2+π4)]<m(x 1−x 2)对于x 1<x 2恒成立， 则√2sin(x 1+π4)−mx 1<√2sin(x 2+π4)−mx 2对于x 1<x 2恒成立，令f(x)=√2sin(x+π4)−mx，则f(x1)<f(x2)对于x1<x2恒成立，所以f(x)为单调递增函数，f(x)=√2sin(x+π4)−mx=sinx+cosx−mx，则f′(x)=cosx−sinx−m，所以f′(x)≥0恒成立，即cosx−sinx−m≥0恒成立，则m≤cosx−sinx=√2cos(x+π4)恒成立，又函数y=√2cos(x+π4)的最小值为−√2，所以m≤−√2，则实数m的取值范围是(−∞,−√2]．故答案为：(−∞,−√2]．将已知的不等式进行变形，得到√2sin(x1+π4)−mx1<√2sin(x2+π4)−mx2对于x1<x2恒成立，构造函数f(x)=√2sin(x+π4)−mx，由单调性的定义可得f(x)为单调递增函数，等价于f′(x)≥0恒成立，利用参变量分离可得，m≤cosx−sinx=√2cos(x+π4)恒成立，由三角函数的性质求解最值，即可得到答案．本题考查了三角函数的综合应用，辅助角公式的应用，三角函数性质的运用，函数的单调性与导数之间关系的应用，不等式恒成立的求解，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．17.【答案】解：(1)数列{a n}的前n项之和为S n，a1=1，a n+1=pa n+1(p为常数)，当p=1时，a n+1=a n+1，即：a n+1−a n=1(常数)，故数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列；所以a n=n；故S n=1+2+...+n=n(n+1)2，所以b n=1Sn =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，故T n=2×(1−12+12−13+...+1n−1n+1)=2−2n+1．(2)数列{a n}的前n项之和为S n，a1=1，a n+1=pa n+1(p为常数)，当p =2时，a n+1=2a n +1，整理得：(a n+1+1)=2(a n +1)， 故a n+1+1a n +1=2(常数)，所以数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列； 所以a n +1=2×2n−1=2n ，整理得a n =2n −1； 故S n =(21+22+ (2))−n =2×(2n −1)2−1−n =2n+1−2−n ．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和；(2)利用数列的递推关系式求出数列为等比数列，进一步利用分组法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法的求和和裂项相消法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵当ξ=2时，有C n 2种坐法， ∴C n 2=6，即n(n−1)2=6，n2−n −12=0，n =4或n =−3(舍去)， ∴n =4．(2)∵学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ， 由题意知ξ的可能取值是0，2，3，4，当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同， 当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同， 当变量是3时表示学生所坐的座位号与该生的编号有1个相同， 当变量是4时表示学生所坐的座位号与该生的编号有0个相同， ∴P(ξ=0)=1A 44=124，P(ξ=2)=C 42×1A 44=624=14， P(ξ=3)=C 43×2A 44=824=13，P(ξ=4)=924=38， ∴ξ的概率分布列为： ξ 0 2 3 4 P 124141338∴Eξ=0×124+2×14+3×13+4×38=3．【解析】(1)解题的关键是ξ=2时，共有6种坐法，写出关于n 的表示式，解出未知量，把不合题意的舍去．(2)学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，由题意知ξ的可能取值是0，2，3，4，当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，理解变量对应的事件，写出分布列和期望． 培养运用从具体到抽象、从特殊到一般的观点分析问题的能力，充分体现数学的化归思想．启发诱导的同时，训练了学生观察和概括归纳的能力．19.【答案】(1)证明：取CB 1的中点为M ，连接ME ，A 1M ，则EM//BB 1//AA 1，且EM =12AA 1=A 1D ， ∴四边形A 1DEM 是平行四边形， ∴DE//A 1M ，∵DE ⊄平面A 1CB 1，A 1M ⊂平面A 1CB 1， ∴DE//平面A 1CB 1．(2)解：以O 为原点，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设OB =a ，则B(0,a ，0)，C(a,0，0)，A 1(0,−a,2a)，B 1(0,a ，2a)， ∴A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a ，−2a)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−a,0)， 设平面A 1BC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{ax +ay −2az =0ax −ay =0，令x =1，则y =1，z =1，∴m⃗⃗⃗ =(1,1，1)， 同理可得，平面A 1B 1C 的法向量n ⃗ =(2,0，1)， ∴cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3⋅√5=√155， 由图可知，二面角B −A 1C −B 1是锐角，故二面角B −A 1C −B 1的余弦值为√155．【解析】(1)取CB 1的中点为M ，连接ME ，A 1M ，易证四边形A 1DEM 是平行四边形，故DE //A 1M ，再由线面平行的判定定理即可得证；(2)以O 为原点，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设OB =a ，写出B 、C 、A 1、B 1的坐标，根据法向量的性质求得平面A 1BC 和平面A 1B 1C 的法向量m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ ，再由cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |即可得解． 本题考查空间中线与面的平行关系、二面角的求法，熟练掌握线面平行的判定定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由正弦定理得ABsin∠ACB =ACsin∠ABC ，AB =2AC ，C >A ，又∵sin∠ABC =√55， ∴sin∠ACB =2√55， ∵sin 2∠ABC +cos 2∠ABC =1， ∵AB =2AC ，∴C >B ，即大边对大角，cos∠ABC =2√55， 又∵sin 2∠ACB +cos 2∠ACB =1， ∴cos∠ACB =±√55， ∵cos∠CAB =cos(π−∠ABC −∠ACB)=−cos(∠ABC +∠ACB)， ∴cos∠CAB =sin∠ABCsin∠ACB −cos∠ABCcos∠ACB =√55×2√55±√55×2√55=0 或45，(2)设AB =2AC =2t ，∠CAD =θ， ∴AD =AC =t ，∵S △ABC =S △ACD +S △ABD ，∴12⋅t ⋅2t ⋅sin2θ=12⋅t ⋅tsinθ+12⋅2t ⋅t ⋅sinθ，∴2sinθ⋅cosθ=12sinθ+sinθ， ∵θ为三角形的内角，sinθ≠0， ∴cosθ=34，∴cos2θ=2cos 2θ−1=18， ∵sin 22θ+cos 22θ=1， ∴sin2θ=3√78， 又∵S △ABC =12⋅t ⋅2t ⋅sin2θ=3√78t 2， ∴t 2=83，在△ABC 中，运用余弦定理可得，BC 2=t 2+4t 2−2⋅2t ⋅t ⋅cos2θ=92t 2=92×83=12，∴BC =2√3．【解析】(1)先运用正弦定理，可得sin∠ABC 的值，再结合三角函数的同角公式，以及余弦函数的两角和公式，即可求解，(2)根据△ABC 的面积等于△ACD 的面积与△ABD 的面积之和，可得cos∠CAD 的值，再结合三角函数的面积公式，以及余弦定理，即可求解． 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．21.【答案】解：(1)c =√2−1=1，∴F(1,0)，∵l 与x 轴垂直， ∴直线l 的方程为x =1，由{x =1x 22+y 2=1，解得{x =1y =√22或{x =1y =−√22, ∴A 的坐标为(1,√22)或(1,−√22)，∴直线AM 的方程为y =−√22x +√2或y =√22x −√2；(2)当l 与x 轴重合时，∠OMA =∠OMB =0°，当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴∠OMA =∠OMB ， 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y =k(x −1)，k ≠0， A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1<√2，x 2<√2，则k MA +k MB =y 1x 1−2+y2x 2−2，由y 1=kx 1−k ，y 2=kx 2−k ，得k MA +k MB =2kx 1x 2−3k(x 1 +x 2)+4k(x 1−2)(x 2−2)，将y =k(x −1)代入x 22+y 2=1，整理可得(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，则Δ>0，∴x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，∴2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k=12k 2+1(4k 3−4k −12k 3+8k 3+4k)=0，从而k MA +k MB =0， 故MA ，MB 的倾斜角互补， ∴∠OMA =∠OMB ， 综上，∠OMA =∠OMB ．【解析】本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题． (1)先得到F 的坐标，再求出点A 的坐标，即可得解；(2)对直线的斜率分三种情况讨论，当l 与x 轴不重合也不垂直时，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，即可证明．22.【答案】(1)解：函数f(x)=alnx +x +a ，则f′(x)=ax +1=a+x x(x >0)，①当a ≥0时，当x >0时，f′(x)>0，则f(x)单调递增， 所以f(x)至多有一个零点， 不符合题意；②当a <0时，当0<x <−a ，f′(x)<0，则f(x)单调递减， 当x >−a 时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，所以当x =−a 时，f(x)取得最小值f(−a)=aln(−a)<0， 解得a <−1，此时f(1e )=1e >0，当−2≤a <−1时，f(e 3)=e 3+4a >0，此时1e <−a <e 3， 则f(x)在(0,−a)和(−a,+∞)上分别存在一个零点； 当a <−2时，f(e −a )=alne −a +e 2+a =e −a −a 2+a ， 令g(a)=e −a −a 2+a ，a <−2，则g′(a)=−e −a −2a +1，g″(a)=e −a −2>0， 所以g′(a)在(−∞,−2)上单调递增， 则g′(a)<g′(−2)=−e 2+5<0， 所以g(a)在(−∞,−2)单调递减，则g(a)>g(−2)=e 2−6>0，即f(e −a )>0，此时1e <−a <e −a ，则f(x)在(0,−a)和(−a,+∞)上分别存在一个零点． 综上所述，若f(x)有两个零点，则a 的取值范围为(−∞,−1)； (2)证明：不妨设0<x 1<−a <x 2，由f(x 1)=f(x 2)=0， 则{alnx 1+x 1+a =0alnx 2+x 2+a =0， 两式相减可得，−a =x 1−x2lnx 1−lnx 2，两式相加可得，lnx 1+lnx 2=x 1+x 2−a−2=x 1+x 2x 1−x 2(lnx 1−lnx 2)−2，要证x 1x 2>1，只需证lnx 1+lnx 2>0， 即证lnx 1−lnx 22−x 1−x 2x 1+x 2=12x 1x 2−x 1x 2−1x 1x 2+1<0，令ℎ(t)=12lnt −t−1t+1,t ∈(0,1], 则ℎ′(t)=12t −2(t+1)2=(t−1)22t(t+1)2≥0， 所以ℎ(t)在(0,1]内单调递增， 则ℎ(x)≤ℎ(1)=0，又因为x1x 2∈(0,1)，故等号取不到，所以x 1x 2>1．【解析】(1)求出f′(x)，分a ≥0和a <0两种情况进行分析，利用导数求出f(x)的最小值，由此得到a <−1，然后再分−2≤a <−1和a <−2两种情况，利用导数研究函数的单调性，由零点的存在性定理进行分析求解即可；(2)不妨设0<x 1<−a <x 2，由题意可得{alnx 1+x 1+a =0alnx 2+x 2+a =0，分别相加和相减，将问题转化为lnx 1+lnx 2>0，即证=12x 1x 2−x 1x 2−1x 1x 2+1<0，构造函数ℎ(t)=12lnt −t−1t+1,t ∈(0,1]，由导数判断函数的单调性，确定函数ℎ(x)≤ℎ(1)=0，即可证明．本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).在利用导数证明不等式时，一般会构造一个函数，转化为求解函数的取值情况进行研究，属于难题．第21页，共21页。

一、单选题（本题共8小题，共计40分，每题只有一个选项符合要求）1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）A ．x-2y-1=0B ．x-2y+1=0C ．2x+y-2=0D ．x+2y-1=0 2．已知向量(),2a m =-，()2,1b =，则“m ＜1”是“a ，b 夹角为钝角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系.对数源于指数，对数的发明先于指数，这已经成为历史珍闻.若 2.5,lg 20.3010,lg 0.4343,x e e ===根据指数与对数的关系，估计x 的值约为 （ ）A.0.4961B.0.6941C.0.9164D.1.4694．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ）A ．49B ．91C ．98D ．1825.设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )．A.2B.3C.4D.56．直线l 经过()2,1A ，()2()1,B m m R ∈两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．[)0,π B ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭A ．B ．C ．D ．7．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，若以P 为球心且1为半径的球与三棱锥P ABC -公共部分的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值为（） A BC ．164D 8．已知函数()1ln 2f x x =+，()22xg x e -=，若()()f a g b =成立，则-a b 的最小值为（ ） A．11ln 22- B ．12 C 1 D ．1ln 22二、多选题（本题共有4个小题，共计20分，每题至少有两个选项符合要求，漏选得3分，错选不得分，选对的5分）9.若b a )21()21(>,则下列关系式中一定成立的是 （ ）A. 33b a > B ．e a ＜e b （e ≈2.718） C ．b a )cos (sin )cos (sin θθθθ+<+（θ是第一象限角） D ．ln (a 2＋1) ＜ln (b 2＋1)10．已知曲线C ：mx 2+ny 2＝1． （ ）A ．若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n ＞0，则C 是圆，其半径为C ．若mn ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±xD ．若m ＝0，n ＞0，则C 是两条直线11.已知函数()32f x x ax bx c =+++，[]2,2x ∈-表示的曲线过原点，且在1x =±处的切线斜率均为1-，以下命题正确的是（ ）A ．()f x 的解析式为()34f x x x =-，[]2,2x ∈-B ．()f x 的极值点有且仅有一个C ．()f x 的极大值为163D ．()f x 的最大值与最小值之和等于零 12．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线：ax ＋3y ＋6＝0，：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ： (b>0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4三、填空题（本题共4各小题，每题5分，共20分)13.已知函数()22)2(a x a ax x f +++=为偶函数，则不等式()0)(2<-x f x 的解集为_________.14.在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，根据测算:每月获得的利润是该月初投入资金的20%,每月底需缴房租600元和水电费400元，余额作为资金全部用于再进货,如此继续,预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为__________元(取92.1,5.72.11211==) 15.对任意正数x ，满足242y xy xy -=+, 则正实数y 的最大值为_____________. 16.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，一个焦点为()5,0．直线0y =与3y =在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN ，则它绕y 轴旋转一圈所得几何体的体积为_____．四、解答题（本题共6个小题，共70分）17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量m ＝(b ，a ﹣2c )，n ＝(cosA ﹣2cosC ，cosB)，且m ⊥n ．（1）求sin C sin A的值；（2）若a ＝2，35m =，求△ABC 的面积S ．18.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.已知椭圆C 方程为22221(0)x y a b a b+=>>，顺次连接椭圆的四个顶点所得到的四边形的面积为312． （1）求椭圆C 的方程；（2）若P 为直线3y =A 为椭圆C 上的一点，且OA ⊥OP （O 为原点）．①若直线OA 的方程为32y x =，求O 到直线AP 的距离；②求证：直线AP 与一个定圆相切，并求出这个圆的方程．20. 如图，在斜三棱柱111—ABC A B C 中，AB=1，AC=2，13AC =，AB ⊥AC ，1AC ⊥底面ABC .（1）求直线1B C 与平面11ACC A 所成角的正弦值；（2）求平面11ACC A 与平面1AB C 所成锐二面角的余弦值.21．设抛物线C ：22y px =(p ＞0)的焦点为F ，A 、B 是抛物线C 上异于原点O 的不同两点．（1）若FA ＋FB ＝10，线段AB 的中点的横坐标等于3，求F 的坐标；（2）设动直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，α＋β＝4π，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．22. 已知函数()ln x x k f x +=e（其中, 2.71828k ∈=e R 是自然对数的底数），()f x '为()f x 导函数.（1）当2k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若(]0,1x ∈时，方程()0f x '=有解，求实数k 的取值范围；（3）若()10f '=，试证明：对任意()2210,x f x x x-+'><+e 恒成立．。

2021年高三上学期10月质检数学试卷（理科）含解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＞a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a≤2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤22．是成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f（x）=的零点有（）A．0 B．1 C．2 D．3，则a，b，c的大小关系是（）4．设a=20.1，b=lg，c=log3A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c5．已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：（1）命题“p∧q”是真命题；（2）命题“p∧（￢q）”是假命题；（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．48．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．9．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜210．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A．（21，25）B．（21，24）C．（20，24）D．（20，25）二．填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．）11．2lg+log25•lg2=．12．设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=．13．函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．14．已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=，f（1）=，则f＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知集合A={x|log2x＜8}，B={x|＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求集合A∩B；（2）若B∪C=B，求实数a的取值范围．17．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．18．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．19．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（2t）＜0．20．已知函数f（x）=ax2﹣2x+1．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）若，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）﹣N（a），求g（a）的表达式．21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．xx学年山东省枣庄市滕州二中高三（上）10月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＞a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a≤2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及A与B的交集不为空集，确定出a的范围即可．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＞a}，且A∩B≠∅，∴a＜2．故选：A．2．是成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分充分性和必要性两方面加以论证：根据不等式的性质，可证明出充分性成立；再通过举出反例说明必要性是不成立的．因此得出正确选项．【解答】解：①充分性，当x1＞3且x2＞3时，根据不等式的性质可得：x1x2＞9且x1+x2＞6∴充分性成立②必要性，当x1x2＞9且x1+x2＞6成立，x1＞3且x2＞3不一定成立‘比如：x1=2，x2=8满足“x1x2＞9且x1+x2＞6”，但“x1＞3且x2＞3”不成立∴必要性不成立所以是成立的充分不必要条件故选A3．函数f（x）=的零点有（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点．【分析】先求定义域，然后令y=0，解出x的值，判断即可．【解答】解：函数的定义域是{x|2＜x＜3或x＞3}，令y=0，得x=3．显然无解．故选A．4．设a=20.1，b=lg，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用幂函数，指数函数，以及对数函数的性质判断即可．【解答】解：∵20.1＞20=1=lg10＞lg＞0＞log3，∴a＞b＞c，故选：D．5．已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：（1）命题“p∧q”是真命题；（2）命题“p∧（￢q）”是假命题；（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】复合命题的真假．【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．【解答】解：∵sinx﹣cosx=∈∴sinx﹣cosx=∉∴命题p是假命题又∵集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}={1}，那么{1}的子集有两个：{1}、φ，∴命题q是真命题由复合命题判定真假可知．（1）命题“p∧q”是真命题，错误（2）命题“p∧（￢q）”是假命题，正确（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题，正确故选C6．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可．【解答】解：当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，即y==1，即a﹣1=1，则a=2，则log a+log a=log a（•）=log28=3，故选：C．8．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用f（3）=9，可得3a=9，解得a=2．于是g（x）=|log2（x+1）|=，分类讨论：当x≥0时，当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调性质，及g（0）=0即可得出．【解答】解：∵f（2）=4，∴2a=4，解得a=2．∴g（x）=|log2（x+1）|=∴当x≥0时，函数g（x）单调递增，且g（0）=0；当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调递减．故选C．9．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜2【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【分析】根据函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，所以有f（2）=f（﹣1）=﹣f （1），再由f（1）＜1，解不等式即可．【解答】解：由题意得f（﹣2）=f（1﹣3）=f（1）＜1，∴﹣f（2）＜1，即．∴，即3a（a+1）＞0．∴a＜﹣1或a＞0．故选C．10．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A．（21，25）B．（21，24）C．（20，24）D．（20，25）【考点】分段函数的应用．【分析】图象法：画出函数y=f（x）的图象，根据图象分析a，b，c，d的关系及取值范围，从而求出abcd的取值范围．【解答】解：先画出f（x）=的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），3＜c＜4，d＞6．∴﹣log3a=log3b，c+d=10，即ab=1，c+d=10，故abcd=c（10﹣c）=﹣c2+10c，由图象可知：3＜c＜4，由二次函数的知识可知：﹣32+10×3＜﹣c2+10c＜﹣42+10×4，即21＜﹣c2+12c＜24，∴abcd的范围为（21，24）．故选：B．二．填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．）11．2lg+log25•lg2=1．【考点】对数的运算性质．【分析】把第一项的真数化根式为分数指数幂，把第二项利用换底公式进行运算．【解答】解：=．故答案为1．12．设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=﹣9．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】通过观察，可以得到f（a）+f（﹣a）=2，进而即可得出．【解答】解：∵f（a）+f（﹣a）=a2ln（﹣a+）+1+（﹣a）2ln（a+）+1=2，f（a）=11，∴f（﹣a）=2﹣11=﹣9．故答案为：﹣9．13．函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是﹣4＜a ≤4．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】依题意，函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，须考虑两个方面：一是结合二次函数x2﹣ax+3a的单调性可；二是对数的真数要是正数．【解答】解：依题意函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，所以应有，解得﹣4＜a≤4，此即为实数a的取值范围．故答案为﹣4＜a≤4，14．已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=，f（1）=，则f=﹣，f（x+8）=f （x），从而可得f=﹣，而f（3）==，从而解得．【解答】解：∵f（x+2）=，∴f（x+4）===﹣，∴f（x+8）=﹣=f（x），∴f（x）是周期为8的函数；而xx=251×8+7，∴f=﹣，∵f（3）==，∴f=．故答案为：．15．下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是②、③．（把所有正确命题序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的否定的形式判断出①错；利用含量词的命题的否定形式判断出②对；利用复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系判断出③对；利用对数函数的单调性判断出④错．【解答】解：对于①，由于否命题是对命题的条件、结论同时否定，①只否定了结论，条件没否定，故①错；对于②，由于含量词的命题有否定公式是：量词交换，结论否定，故②对；对于③，因为”￢p“为真，故p假；因为“p或q”为真，所以p，q有真，所以q一定为真，故③对；对于④，因为0＜a＜1，y=log a x是减函数，∵∴，故④错．故答案为：②③三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知集合A={x|log2x＜8}，B={x|＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求集合A∩B；（2）若B∪C=B，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】（1）求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可；（2）根据B与C的并集为B，得到C为B的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）由A中log2x＜8=log223，得到0＜x＜3，即A=（0，3），由B中不等式解得：﹣2＜x＜4，即B=（﹣2，4），则A∩B=（0，3）；（2）由B∪C=B，得到C⊆B，∵B=（﹣2，4），C=（a，a+1），∴，解得：﹣2≤a≤3，则实数a的取值范围为[﹣2，3]．17．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出p，q为真时的k的范围，根据p，q一真一假，得到关于k的不等式组，解出即可．【解答】解：∵y=kx+1在R递增，∴k＞0，由∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，得方程x2+（2k﹣3）x+1=0有根，∴△=（2k﹣3）2﹣4≥0，解得：k≤或k≥，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q假，则，∴＜k＜；②若p假q真，则，∴k≤0；综上k的范围是（﹣∞，0]∪（，）．18．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f′（x）由f′（0）=1﹣a=2，求得a=﹣1．得到f（x）=e x﹣x2+x，再由f （0）=1求得b值；（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．令h（x）=e x﹣2x，利用导数求其最小值得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x﹣x2﹣ax，∴f′（x）=e x﹣2x﹣a，则f′（0）=1﹣a．由题意知1﹣a=2，即a=﹣1．∴f（x）=e x﹣x2+x，则f（0）=1．于是1=2×0+b，b=1．（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．设h（x）=e x﹣2x，则h′（x）=e x﹣2．∴当x∈（﹣∞，ln2）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数．∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2．∴a≤2﹣2ln2，即a的最大值为2﹣2ln2．19．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（2t）＜0．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）根据函数的奇偶性和条件，建立方程即可求函数f（x）的解析式；（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）根据函数的奇偶性将不等式f（t﹣1）+f（2t）＜0进行转化，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：（1）∵f（x）是（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，∴b=0．又，∴，∴a=1，∴（2）证明：任设x1、x2∈（﹣1，1），且x1＜x2则，∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴﹣1＜x1x2＜1，∴x1﹣x2＜0，且1﹣x1x2＞0，又，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（t﹣1）＜f（﹣t），∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）∵f（x）是奇函数，∴不等式可化为f（t﹣1）＜﹣f（2t）=f（﹣2t）即f（t﹣1）＜f（﹣2t），又f（x）在（﹣1，1）上是增函数，∴有解之得，∴不等式的解集为．20．已知函数f（x）=ax2﹣2x+1．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）若，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）﹣N（a），求g（a）的表达式．【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）对参数a进行讨论，分一次函数、二次函数，确定函数的单调性；（2）配方，确定函数对称轴与区间的关系，即可得到M（a）的表达式，然后确定N（a）=f（），即可求得g（a）的表达式．【解答】解：（1）当a=0时，函数f（x）=﹣2x+1在（﹣∞，+∞）上为减函数当a＞0时，抛物线f（x）=ax2﹣2x+1开口向上，对称轴为x=∴函数f（x）在（﹣∞，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数当a＜0时，抛物线f（x）=ax2﹣2x+1开口向下，对称轴为x=∴函数f（x）在（﹣∞，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数（2）∵f（x）=a（x﹣）2+1﹣，又≤a≤1，得1≤≤3当1≤＜2，即＜a≤1时，M（a）=f（3）=9a﹣5，当2≤≤3，即≤a≤时，M（a）=f（1）=a﹣1，∴即≤a≤M（a）=∵≤a≤1∴1∴N（a）=f（）=1﹣当1≤＜2，即＜a≤1时，g（a）=M（a）﹣N（a）=9a﹣6+当2≤≤3，即≤a≤时，g（a）=M（a）﹣N（a）=a﹣2+21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）首先求出F（x）的导函数，然后分类讨论，当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ），又，求出g（x）的导函数，然后设出0＜x1＜x2，即证，再设，即证：，再进一步设出k（t），求出k（t）的导函数，则结论可证．【解答】（Ⅰ）解：在区间（0，+∞）上，．（1）当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；（2）当a＞0时，令f′（x）＞0，即，得．∴f（x）的单调增区间为（0，）；综上所述：当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）由F（x）=f（x）+ax2+ax=lnx﹣ax+ax2+ax=lnx+ax2得（x＞0），当a≥0时，恒有F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，令F′（x）=0，得，x∈（0，），F′（x）＞0，F′（x）单调递增，x∈（，+∞），F′（x）＜0，F′（x）单调递减．∴．F（x）无极小值．综上所述：a≥0时，F（x）无极值，a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ）证明：，又，∴g′（x0）=，要证k＞g′（x0），即证，不妨设0＜x1＜x2，即证，即证，设，即证：，也就是要证：，其中t∈（1，+∞），事实上：设t∈（1，+∞），则=，∴k（t）在（1，+∞）上单调递增，因此k（t）＞k（1）=0，即结论成立．xx年1月2日Q30808 7858 硘=33487 82CF 苏36081 8CF1 賱u25003 61AB 憫32232 7DE8 編20538 503A 债+ I25896 6528 攨`35719 8B87 讇。

江阴高中高一数学周周练09一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．如图所示，可表示函数图象的是（ ）A ．①B ．②③④C ．①③④D ．②2．记全集U =R ，集合{}216A xx =≥∣，集合{}22x B x =≥，则()U A B =（ ）A ．[)4 ,+∞B ．(]1,4C ．[)1,4D ．()1,43．如果实数a ，b ，c 满足：a b c >>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22ac bc >B ．222a b c >>C ．2a c b +>D ．a c b c ->-4．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如：函数()21x x f x e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知,x y 都是正数,且211x y+=，则x y +的最小值等于 （）A ．6B ．42C ．322+D ．422+6．已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．定义在R 上的偶函数()21x mf x -=-，记()ln3a f =-，()83log 5b f =，()2m c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是（ ） A ．113⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1(,)(1,)3-∞⋃+∞ C ．11(,)33- D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 二、多选题9．下列说法不正确是（ ）A ．不等式(21)(1)0x x --<的解集为112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ B ．已知:12p x <<，:11q x +≥，则p 是q 的充分不必要条件C ．若x ∈R ，则函数2244y x x =++2D ．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是(0,4) 10．下列命题中，真命题的是（ ）A ．0a b -=的充要条件是1ab= B ．1a >，1b >是1ab >的充分条件C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“x R ∀∈都有210x x ++≥”D ．命题“x R ∀∈，210x x ++≠”的否定是“x R ∃∈，210x x ++=”11．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论，其中正确结论的有（ ）A ．0b <B ．240b ac ->C ．420a b c -+>D ．0a b c -+<12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．已知函数1()12=-+xxe f x e ，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是( ) A ．()g x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在R 上是增函数D ．()g x 的值域是{}1,0,1-三、填空题13．命题：x R ∀∈，2230x x ++>的否定是_________.14．若关于x 的不等式2260ax x a -+<（a R ∈）的解集为()(),1,m -∞+∞，则m =_____；15．若关于x 的不等式()21ln 0ax x -≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的值为______． 16．已知函数若42log ,04()1025,4x x f x x x x ⎧<=⎨-+>⎩，a b c d ，，，是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是____．四、解答题 17．（1）求值：()()()1620434162320204349π-⎛⎫⨯+--⨯+- ⎪⎝⎭；（2）()4243352log 264log 18log2log 2log 125⨯+-+⨯18．已知p ：20100x xx ⎧⎫+≥⎧⎪⎪⎨⎨⎬-≤⎩⎪⎪⎩⎭，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． （1）若1m =，则p 是q 的什么条件？（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．19．已知函数2()lg ,(1)0x f x f ax b ==+，当0x >时，恒有1()()lg f x f x x-=． （1）求()f x 的表达式及定义域；（2）若方程()lg f x t =有解，求实数t 的取值范围．20．已知函数()y f x =是二次函数，且满足()03f =，()()130f f ==． （1）求()y f x =的解析式；（2）求函数()2log y f x =，[]2,8x ∈的最小值（3）若[]1,(1)x t t ∈>，试将()y f x =的最小值表示成关于t 的函数()g t ．23．扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x （米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为y （米）.⑴求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；⑶当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.24．设函数()(2)x x f x a k a -=-+（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求实数k 的值； （2）若3(1)2f =，22()2()x xg x a a mf x -=+-，且()g x 在[1,)+∞上的最小值为1，求实数m 的值.江阴高中高一数学周周练09（答案）二、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．如图所示，可表示函数图象的是（ C ）A ．①B ．②③④C ．①③④D ．②2．记全集U =R ，集合{}216A xx =≥∣，集合{}22xB x =≥，则()UA B =（ C ）A ．[)4 ,+∞B ．(]1,4C ．[)1,4D ．()1,43．如果实数a ，b ，c 满足：a b c >>，则下列不等式一定成立的是（ D ） A ．22ac bc >B ．222a b c >>C ．2a c b +>D ．a c b c ->-4．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如：函数()21x x f x e =-的图象大致是（ D ）A ．B ．C ．D ．5．已知,x y 都是正数,且211x y+=，则x y +的最小值等于 （C ） A ．6 B ．42 C ．322+D ．422+6．已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（ C ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．定义在R 上的偶函数()21x mf x -=-，记()ln3a f =-，()83log 5b f =，()2m c f =，则（ C ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+，则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是（ A ） A ．113⎛⎫⎪⎝⎭，B ．1(,)(1,)3-∞⋃+∞ C ．11(,)33- D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 二、多选题9．下列说法不正确是（ ACD ）A ．不等式(21)(1)0x x --<的解集为112xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ B ．已知:12p x <<，:11q x +≥，则p 是q 的充分不必要条件C ．若x ∈R ，则函数2244y x x =++2D ．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是(0,4) 10．下列命题中，真命题的是（ BCD ） A ．0a b -=的充要条件是1ab= B ．1a >，1b >是1ab >的充分条件C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“x R ∀∈都有210x x ++≥”D ．命题“x R ∀∈，210x x ++≠”的否定是“x R ∃∈，210x x ++=”11．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论，其中正确结论的有（ ABC ）A ．0b <B ．240b ac ->C ．420a b c -+>D ．0a b c -+<12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．已知函数1()12=-+x xe f x e ，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是( BC ) A ．()g x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在R 上是增函数D ．()g x 的值域是{}1,0,1-【答案】BC 【解析】解：()()()111[]012e gf e ==-=+，1111(1)[(1)][][]112121e g f e e-=-=-=-=-++，()()11g g ∴≠-，则()g x 不是偶函数，故A错误；1()12=-+x x e f x e 的定义域为R ， 111()()11121211xxx x xx xxe e e ef x f x e e e e ---+=-+-=+-++++11011x x x e e e=+-=++，()f x ∴为奇函数，故B 正确； 111111()121221x x x x xe ef x e e e+-=-=-=-+++， 又x e 在R 上单调递增，11()21xf x e ∴=-+在R 上是增函数，故C 正确；0x e >，11x e ∴+>，则1011x e <<+，可得11112212x e -<-<+， 即11()22f x -<<． ()[()]{1g x f x ∴=∈-，0}，故D 错误．故选： 三、填空题13．命题：x R ∀∈，2230x x ++>的否定是__x R ∃∈，2230x x ++≤________. 14．若关于x 的不等式2260ax x a -+<（a R ∈）的解集为()(),1,m -∞+∞，则m =__3-____；15．若关于x 的不等式()21ln 0ax x -≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的值为_12_____． 16．已知函数若42log ,04()1025,4x x f x x x x ⎧<=⎨-+>⎩，a b c d ，，，是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是_()24,25____．【详解】先画出函数42log ,04()1025,4x x f x x x x ⎧<=⎨-+>⎩的图象，如图所示：因为a b c d ,,,互不相同，不妨设a b c d <<<，且()()()()f a f b f c f d ===， 而44log log b -=，即有44log log 0a b +=，可得1ab =，则abcd cd =，由10c d +＝，且c d <，可得2252c d cd +⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 且2(10)(5)25cd c c c =-=--+，当4c =时，6d =，此时24cd =，但此时b ，c 相等， 故abcd 的范围为(24,25)． 故答案为2425（，）．四、解答题 17．（1）求值：()()()1620434162320204349π-⎛⎫⨯+--⨯+- ⎪⎝⎭；（2）()4243352log 264log 18log2log 2log 125⨯+-+⨯【答案】（1）原式237231434π=⨯+-⨯+-10817399ππ=+-+-=+；……………………5分 （2）()4243352log 264log 18log2log 2log 125⨯+-+⨯()2643518log 44log log 125823132=⨯++=++=.……………………10分18．已知p ：20100x xx ⎧⎫+≥⎧⎪⎪⎨⎨⎬-≤⎩⎪⎪⎩⎭，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． （1）若1m =，则p 是q 的什么条件？（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【详解】 （1）因为p ：{}20210100x xx x x ⎧⎫+≥⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎨⎬-≤⎩⎪⎪⎩⎭， 当1m =，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}＝{x |0≤x ≤2}， 显然{x |0≤x ≤2}⊆{x |－2≤x ≤10}， 且命题p 不等于命题q ，所以p 是q 的必要不充分条件． ……………………6分 （2）由（1），知p ：{x |－2≤x ≤10}，因为p 是q 的充分不必要条件，所以012110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩解得m ≥9，即m ∈[9，＋∞)． ……………………12分19．已知函数2()lg ,(1)0x f x f ax b ==+，当0x >时，恒有1()()lg f x f x x-=． （1）求()f x 的表达式及定义域；（2）若方程()lg f x t =有解，求实数t 的取值范围．【解析】（1）由(1)0f =得2lg0a b=+，所以2a b +=①，……………………1分 因为当0x >时，恒有1()()lg f x f x x -=，所以2x =时，有1(2)()lg 22f f -=，所以41lg lg lg 2122a b a b -=++， 所以14()2lg lg 22a b a b+=+，化简得a b =②，……………………3分联立①②，解得1a b ==， 所以2()lg1xf x x =+，……………………4分 由201xx >+得2(1)0x x +>，解得0x >或1x <-， 所以()f x 的定义域为(,1)(0,)-∞-+∞.……………………6分（2）因为方程()lg f x t =有解，所以2lglg 1xt x =+有解， 所以21xt x =+在(,1)(0,)-∞-+∞内有解，……………………8分 因为21x t x =+2(1)22211x x x +-==-++， 因为(,1)(0,)x ∈-∞-⋃+∞，所以1(,0)(1,)x +∈-∞⋃+∞，所以1(,0)(0,1)1x ∈-∞⋃+，所以2(2,0)(0,)1x -∈-⋃+∞+， 所以22(0,2)(2,)1x -∈⋃+∞+，即(0,2)(2,)t ∈⋃+∞……………………12分20．已知函数()y f x =是二次函数，且满足()03f =，()()130f f ==． （1）求()y f x =的解析式；（2）求函数()2log y f x =，[]2,8x ∈的最小值（3）若[]1,(1)x t t ∈>，试将()y f x =的最小值表示成关于t 的函数()g t ． 【详解】()1设函数()f x 的解析式为()2f x ax bx c =++，因为()03f c ==，所以()23f x ax bx =++，又()()130f f ==，所以309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得1a =，4b =-．……………………4分所以()243f x x x =-+．()2令2log t x =，[]2,8x ∈，则2243(2)1y t t t =-+=--，[]1,3t ∈，所以当2t =即4x =时1min y =-．……………………7分()()2343f x x x =-+，[]1,(1)x t t ∈>，1o 当12t <≤时()f x 在[]1,t 上单调递减，所以x t =的时候()f x 有最小值()243f t t t =-+，……………………9分2o当2t >时，()f x 在[]1,2上单调递减，在[]2,t 上单调递增，所以2x =时，()f x 有最小值1-，即此时()1g t =-，……………………11分综上所述：()243,(12)1,(2)t t t g t t ⎧-+<≤⎪=⎨⎪->⎩．……………………12分23．扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x （米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为y （米）.⑴求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；⑶当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.试题解析：⑴193()2AD BC h =+，其中22x AD BC BC x =+⋅=+，3=h x ， ∴1393(2)22BC x x =+，得182x BC x =-， 由332{1802h x x BC x =≥=->，得26x ≤< ∴1832,(26)2xy BC x x x =+=+≤<；……………………6分 ⑶183********x xy x x =+≥⋅=，当并且仅当1832x x =，即23[2,6)x =∈时等号成立． ∴外周长的最小值为63米，此时腰长为23米． ……………………12分 24．设函数()(2)x x f x a k a -=-+（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数. （1）求实数k 的值； （2）若3(1)2f =，22()2()x xg x a a mf x -=+-，且()g x 在[1,)+∞上的最小值为1，求实数m 的值. 【解析】（1）因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0f =， 所以1(2)0k -+=，即1k =-，……………………2分当1k =-时，()))((()x xx x x x f f x a a f x a a a x a ---⇒=---=-=-=-符合条件. …………………4分（2）因为13(1)2f a a =-=，所以22320a a --=， 解得2a =或12a =-（舍）. ……………………6分 故()()()222()22222222222x x x x x x x x g x m m ----=+--=---+， ……………………7分令22x x t -=-，由1≥x ，故113222t -≥-=， 所以2322,2y t mt t =-+≥函数222y t mt =-+图象的对称轴为t m =，①32m ≥时，22min 221y m m =-+=，解得1m =±（舍去）；……………………9分 ②32m <时，min 93214y m =-+=，解得133122m =<.……………………11分 所以，1312m =. ……………………12分。

绝密★启用前数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．复数1z 在复平面内对应的点为(1，3)，22i z =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为 A ．75 B ．75- C ．7i 5 D ．7i 5- 2．不等式20x x -≤解集为M ，函数()ln(1)f x x =-的定义域为N ，则M N ＝A ．(﹣1，0]B ．(0，1)C ．[0，1]D ．[0，1)3．已知函数2()24f x ax ax =++(0＜a ＜3)，若12x x <，121x x a +=-，则A ．12()()f x f x <B ．12()()f x f x =C ．12()()f x f x >D ．1()f x 与2()f x 的大小不能确定 4．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：300M()M 2t t -=，其中0M 为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是﹣10ln2（太见克/年），则M(60)＝A ．5太贝克B ．75ln2太贝克C ．1501n2太贝克D ．150太贝克 5．已知()f x 是周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()lg f x x =，设a ＝6()5f ，b ＝3()2f ，c ＝5()2f ，则A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b6．将函数2sin()36x y π=+的图像上的所有点向左平移4π个单位，再向上平移3个单位，得到函数()g x 的图像，则()g x 的解析式为A ．()2sin()334x g x π=-- B ．()2sin()334x g x π=++ C ．()2sin()3312x g x π=-+ D ．()2sin()3312x g x π=-- 7．已知a ，b 为正实数，直线y ＝x ﹣a 与曲线ln()y x b =+相切，则11a b+的最小值是A ．2B ．C ．4D ．8．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”．若12()423xx f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是A ．11m -≤≤+B ．1m ≤≤C ．m -≤≤D ．1m -≤≤-二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列有关命题的说法正确的是A ．∃x ∈(0，π)，使得2sin sin x x+= B ．命题p ：∀x ∈R ，都有cos x ≤1，则⌝p ：0x ∃∈R ，使得cos 0x ＞1C ．函数()f x =与函数()g x =D ．若x 、y 、z 均为正实数，且3412xy==，x yz+∈(n ，n ＋1)(n ∈N)，则n ＝4 10．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W ＝()f t ，用()()f b f a b a---的大小评价在[a ，b ]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论，其中正确结论为A ．在[1t ，2t ]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强B ．在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强C ．在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标D ．甲企业在[0，1t ]，[1t ，2t ]，[2t ，3t ]这三段时间中，在[0，1t ]的污水治理能力最强第10题 第12题 11．对于△ABC ，有如下命题，其中正确的有 A ．若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 是等腰三角形B ．若△ABC 是锐角三角形，则不等式sinA ＞cosB 恒成立 C ．若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C ＜1，则△ABC 为钝角三角形D ．若AB ，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 12．已知函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，2πϕ<)的图象如图所示，令()g x =()()f x f x '+，则下列关于函数()g x 的说法中正确的是A ．函数()g x 图象的对称轴方程为12x k ππ=-(k ∈Z)B ．函数()g x 的最大值为C ．函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线l ：y ＝3x ﹣1平行D ．方程()g x ＝2的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12x x -最小值为2π 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．若函数()ln f x kx x =-在区间(1，+∞)内不单调，则k 的取值范围是 ．14．若1tan 20201tan αα+=-，则1tan 2cos 2αα+＝ ．15．一元二次不等式220ax x b ++>(a ＞b )的解集为1x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭，则22a b a b +-的最小值为．16．定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”．（1）设()sin f x x =，则()f x 在(0，π)上的“新驻点”为 ；（2）如果函数()ln(1)g x x =+与()e xh x x =+的“新驻点”分别为α、β，那么α和β的大小关系是 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知p ：x 2﹣(3＋a )x ＋3a ＜0，其中a ＜3；q ：x 2＋4x ﹣5＞0．（1）若p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数2()sin sin()2f x x x x π=+．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）求函数()f x 在区间[0，23π]上的取值范围． 19．（本小题满分12分）已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边，点D 为BC 边的中点，△ABC的面积为2AD 3sin B．（1）求sin ∠BAD·sin ∠BDA 的值；（2）若BC ＝6AB ，AD ＝b ．20．（本小题满分12分）中国“一带一路”战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台，需另投入成本()c x （万元），当年产量不足80台时，21()402c x x x =+（万元）；当年产量不小于80台时，8100()1012180c x x x=+-（万元）．若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备全部售完．（1）求年利润y （万元）关于年产量x 台的函数关系式；（2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？ 21．（本小题满分12分）已知函数21()ln 2f x x x ax =++(a ∈R)，23()e 2x g x x x =+-． （1）当a ＝﹣4时，求函数()f x 的极值；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使00()f x x =成立，则称0x 为函数的不动点，如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分12分）设()sin cos f x x x x =+，2()4g x x =+． （1）讨论()f x 在[π-，π]上的单调性；（2）令()()4()h x g x f x =-，试证明()h x 在R 上有且仅有三个零点．参考答案1．B 2．D 3．A 4．D 5．D 6．B7．C 8．B 9．BD 10．ABC 11．BCD 12．ABD13．(0，1) 14．2020 15． 16．4π；α＜β 17．18．（1）（2）19．20．21．（1）21()ln 42f x x x x =+-， 241()x x f x x-+'=，当()0f x '=，求得x ＝2±，列表如下：9()(2ln(22f x f =+=+-极小， 9()(2ln(22f x f =-=-+极大．（2）22．。

江苏省无锡市大桥高中2021届第一学期十月检测试卷三数学一､单项选择题 1. 若复数312a ii++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. -6 B. 6C. 4D. 3A把已知复数利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a 的值．∵()()()()()()31263231212125a i i a a ia i i i i +-++-+==++-为纯虚数， ∴a +6=0且3−2a ≠0，解得：a =−6.故选：A .本题考查复数代数形式的乘除运算及复数概念的应用，纯虚数为实部等于0且虚部不等于0，得出结果后一定要做验证，属于基础题.2. 设集合{}2230A x x x =+-<，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ）A. {}02x x <<B. {}01x x <<C. {}31x x -<<D. {}12x x -<<B先利用一元二次不等式的解法和对数不等式的解法，化简集合A ,B ，再利用交集运算求解. 由题意可得{}31A x x =-<<，{}02B x x =<<， 所以{}01A B x x ⋂=<<．故选：B本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法和对数不等式的解法，属于基础题.3. 已知1sin 23α=，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 13- B. 13C. 23-D. 23D 把4πα-看成一个整体，利用2cos 22cos 1αα=-，可计算出答案.2111cos(2)1cos(2)1sin 22322cos 422223ππααπαα++-+-+⎛⎫-===== ⎪⎝⎭，故选：D.【点晴】此题需要熟练掌握二倍角公式和诱导公式，属于基础题. 4. 设1a >，2b >，2ab a b =+，则+a b的最小值为（ ）A. B. 1C. 2D. 3D试题分析：由2ab a b =+，得22211a b a a ==+--，22213311a b a a a a +=++=-++≥--，当且仅当21,11a a a -==-时等号成立. 考点：基本不等式．5. 已知函数()221,11,1x x x f x x x ⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()243f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()4,1-B. ()(),41,-∞-+∞C. ()1,4-D. ()(),14,-∞-+∞D判断()f x 的单调性，即可利用函数单调性求解不等式，则问题得解.当1x ≤时，()221f x x x =-+-，显然其在(),1-∞单调递增，且()10f =；当1x >时，()11f x x x =-=-，显然其在()1,+∞单调递增， 又当1x =时，()1110f =-=.综上所述，()f x 在R 上单调递增.故不等式()()243f a f a ->等价于243a a ->，即()()410a a -+>， 解得4a >或1a <-. 即a ∈()(),14,-∞-+∞.故选：D .本题考查利用函数单调性求解不等式，属基础题；注意对分段函数单调性的判断即可. 6. 将函数()2cos 2f x x x =-的图像向左平移6π个单位后，得到函数()g x 的图像，则下列结论：①()2sin 2g x x =；②()g x 最小正周期为π；③()g x 的图像关于x =3π-对称；④()g x 在区间[,]66ππ-上单调递增.正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ②③C由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的图像和性质，得出结论解：将函数()2cos 22sin(2)6f x x x x π=-=-的图像向左平移6π个单位后，得到函数()2sin[2()]2sin(2)666g x x x πππ=+-=+的图像，所以①错误；()g x 的最小正周期为22ππ=，所以②正确； 当3x π=-时，2()2sin()2336g πππ-=-+=-为函数的最小值，所以()g x 的图像关于x =3π-对称；所以③正确； 由[,]66x ππ∈-，得2[,]662x πππ+∈-，则()g x 在[,]66ππ-单调递增，所以④正确，故选：C此题考查函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，考查正弦函数的图像和性质，属于中档题7. 在ABC 中，AC 2AB 2,BAC 120O ∠===︒，是BC 的中点，M 是AO 上一点，且3AO MO =，则MB MC 的值是( )A. 53-B. 56-C. 73-D. 76-A222221123()(2)(12212cos )24434AB AC AO AB AC AB AC π+==++⋅=++⨯⨯⨯= 33,,26AO MO ∴== 2222172cos14212()77,,322BC AB AC AB AC BC OB π=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯-=∴== 所以MB MC 223753643MO OB =-=-=- ,选A. 8. 已知函数3ln ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，若函数()(1)y f x a x =--恰有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.3,04⎛⎫-⎪⎝⎭B.3,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C.33,4⎛⎫--⎪⎝⎭D. (0,1)C画出函数的图象,①当直线()1y a x=-与曲线lny x=相切于点()1,0时,1a=,推出直线()1y a x=-与函数()f x的图象恰有3个交点时a的范围;②当直线()1y a x=-与曲线31y x=-相切时,设切点为300,1x x,通过()3002113a x xa x⎧-=-⎨=-⎩,求出1x=,3a=-或12x=-,34a=-,然后判断求解a的范围.函数3ln,1()1,1x xf xx x>⎧=⎨-≤⎩的图象如图所示,①当直线()1y a x=-与曲线lny x=相切于点()1,0时, 1a=,故当0a=或1a≥时,直线()1y a x=-与函数()f x的图象恰有一个交点,当01a<<时,直线()1y a x=-与函数()f x的图象恰有两个交点,②当直线()1y a x=-与曲线31y x=-相切时,设切点为300,1x x,则()3002113a x xa x⎧-=-⎨=-⎩,23000311x x x,解得1x=,3a=-或12x=-,34a=-，当34a-<<时,直线()1y a x=-与函数()f x的图象恰有一个交点,当34a =-或3a ≤-时,直线()1y a x =-与函数()f x 的图象恰有两个交点,当334a -<<-时,直线()1y a x =-与函数()f x 的图象恰有三个交点,综上a 的取值范围是33,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故选：C.本题考查分段函数图像的画法，以及利用函数图象研究函数的零点问题，属于中档题. 二､多项选择题9. 下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A. ||2x y = B. 23y x -=C. 1y x x=- D. ()2ln 1y x =+AD利用函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 对于A 选项，对于函数()2x f x =的定义域为R ，()()22xxf x f x --===，该函数为偶函数，当(),0x ∈-∞时，()122xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，则函数2x y =在区间(),0-∞上为减函数，合乎题意；对于B 选项，函数()23g x x -=={}0x x ≠，()()g x g x -===，该函数为偶函数，由于该函数在区间()0,∞+上单调递减，则该函数在区间(),0-∞上为增函数，不合乎题意； 对于C 选项，函数()1h x x x =-的定义域为{}0x x ≠，()()11h x x x h x x x ⎛⎫-=+=--=- ⎪-⎝⎭，该函数为奇函数，不合乎题意；对于D 选项，()()2ln 1x x ϕ=+的定义域为R ，()()()()22ln 1ln 1x x x x ϕϕ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦，该函数为偶函数，由于函数()()2ln 1x x ϕ=+在区间()0,∞+上为增函数，在该函数在区间(),0-∞上为减函数，合乎题意.故选：AD.本题考查函数单调性与奇偶性的判断，属于基础题. 10. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 已知非零向量,a b ，若,a b a b +=-则a b ⊥B. 若():0,,1ln ,p x x x ∀∈+∞->则()000:0,,1ln p x x x ⌝∃∈+∞-≤C. 在ABC ∆中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件D. 若定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，则()()y f f x =也是奇函数 ABD对A ，对等式两边平方；对B ，全称命题的否定是特称命题；对C ，sin cos A A +=sin cos B B +两边平方可推得2A B π+=或A B =；对D ，由奇函数的定义可得()()y f f x =也为奇函数.对A ，222222220a b a b a b a b a b a b a b +=-⇒++⋅=+-⋅⇒⋅=，所以a b ⊥，故A 正确； 对B ，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B 正确； 对C ，sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos sin 2sin 2A A B B A A B B A B +=+⇒⋅=⋅⇒=， 所以2A B π+=或A B =，显然不是充要条件，故C 错误；对D ，设函数()()()F x f f x =，其定义域为R 关于原点对称，且()()()()()()()()F x f f x f f x f f x F x -=-=-=-=-，所以()F x 为奇函数，故D 正确；故选：ABD.本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积与模的关系、全称命题的否定、解三角形与三角恒等变换、奇函数的定义等知识，考查逻辑推理能力，注意对C 选项中sin 2sin 2A B =得到的是,A B 的两种情况.11. 函数()())()sin 0,0,2f x x ωϕωϕπ⎡=+>∈⎣的部分图象如图所示，点P 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，点B 在x 轴上.若PAB △是等腰直角三角形，则下列结论正确的是（ ）A. ()212f =B. ()f x 在区间()1,2上单调递增C. ()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称D. ()f x 在区间[]5,10上有1个极值点 AC根据图象以及PAB △是等腰直角三角形，求出()sin 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，计算(1)f 可知A 正确；当()1,2x ∈时，352444x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，可知B 错误；计算3sin 02f π⎛⎫== ⎪⎝⎭可知C 正确：由()sin 124f x x ππ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭解得3k =或4，可知D 错误.由题意可得1AB PB ==，则1,02B ⎛⎫⎪⎝⎭, 该函数的最小正周期24T πω==，则2πω=.又点112P ⎛⎫⎪⎝⎭，在()f x 的图像上，所以11sin 1222f πϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)0,2ϕπ⎡∈⎣，则4πϕ=，所以()sin 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()31sin 42f π==，A 正确； 当()1,2x ∈时，352444x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，()f x 单调递减，B 错误； 3sin 02f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()f x 的图像关于点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，C 正确： 令()sin 124f x x ππ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，则242x k ππππ+=+，k ∈Z ，即122x k =+，k ∈Z .又[]5,10x ∈，则3k =或4，即()f x 在区间[]5,10上有2个极值点，D 错误.故选：AC. 本题考查了由图象求解析式，考查了三角函数的单调性、对称性，考查了函数极值，属于中档题.12. 已知函数()()23,03,0x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，以下结论正确的是（ ）A. ()f x 在区间[]4,6上是增函数B. ()()220204f f -+=C. 若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619i i x ==∑D. 若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则{}11,13k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭BCD根据()f x 在[2-，0]上的单调性判断A ，根据(2020)(2)f f =-判断B ，根据图象的对称性判断C ，根据直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点判断D ． 解：由题意可知当3x -时，()f x 是以3为周期的函数， 故()f x 在[4，6]上的单调性与()f x 在[2-，0]上的单调性相同， 而当0x <时，239()()24f x x =-++，()f x ∴在[2-，0]上不单调，故A 错误；又(2020)(2)2f f =-=，故(2)(2020)4f f -+=，故B 正确； 作出()y f x =的函数图象如图所示：由于()y f x b =-在(,6)-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(,6)-∞上有6个交点， 不妨设1i i x x +<，1i =，2，3，4，5，由图象可知1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线32x =对称，5x ，6x 关于直线92x =对称，∴613392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，故C 正确；若直线1y kx =+经过点(3,0)，则13k =-，若直线1y kx =+与23(0)y x x x =--<相切，则消元可得：2(3)10x k x +++=， 令0∆=可得2(3)40k +-=，解得1k =-或5k =-，当1k =-时，1x =-，当5k =-时，1x =（舍)，故1k =-．若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性可得1k =．因为方程()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点，113k ∴-<<-或1k =，故D 正确．故选：BCD ．本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数周期性、对称性的应用，属于中档题． 三､填空题13. 已知32a =，4b =，a m b =+，n a b λ=+，,135a b 〈〉=︒，若m n ⊥，则λ=_____________. 32- 试题分析：由32a =，4b =，m a b =+，n a b λ=+，,135a b 〈〉=︒，则()()m n a b a b λ⋅=+⋅+22202(1)(32)(1)324cos13540a a b b λλλλ=++⋅+=++⨯+⨯=，即460λ+=，解得32λ=-.考点：向量的坐标运算.14. 已知函数()||3f x x x x =+,若()2()20f a f a +-<,则实数a 的取值范围为_____.(2,1)-首先判断函数()f x 为奇函数，然后判断出()f x 的单调性，由此化简不等式()2()20f a f a +-<，求得实数a 的取值范围.f (﹣x )=﹣x |﹣x |﹣3x =﹣x |x |﹣3x =﹣f (x ),即函数f (x )为奇函数, 当x >0时,f (x )=x 2+3x 在(0,+∞)上为增函数,故函数f (x )在R 上为增函数,∴f (a )+f (a 2﹣2)<0等价于a <2﹣a 2,解得﹣2<a <1. 故答案为:(2,1)-.本小题主要考查根据函数的单调性和奇偶性解不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15. 《益古演段》是我国古代数学家李冶（1192～1279）的一部数学著作.内容主要是已知平面图形的信息，求圆的半径、正方形的边长和周长等等.其中有这样一个问题：如图，已知60A ∠=︒，点B 、C 分别在A ∠的两个边上移动，且保持B 、C 两点间的距离为23，则点B 、C 在移动过程中，线段BC 的中点D 到点A 的最大距离为__________．3将ABC 补形成平行四边形，然后分别在,ABC ACP 中运用余弦定理，结合基本不等式可求解AP的最大值，即可求AD 的最大值.如图，延长AD 到点P ，使AD DP =，D 是线段BC 的中点，∴四边形ABPC 是平行四边形，120ACP ︒∴∠=， 在ABC ∆中，222122cos60BC AB AC AB AC ︒==+-⨯⨯⨯，22212BC AB AC AB AC AB AC ∴==+-⨯⨯，当且仅当23AB AC ==等号成立 在ACP ∆中，222222cos120AP AC AB AC AB AC AB AC AB ︒=+-⨯⨯⨯=++⨯，212236,26,3AP AC AB AD AD ∴=+⨯⨯∴∴. 故答案为3.本题考查余弦定理在几何图形中的应用，难度一般.在三角形中利用余弦定理求解长度最值时，若对三角形的形状未给出限定时，可采用基本不等式直接求解，若是已知三角形形状，则先利用正弦定理将边转化为角更容易计算.16. 已知函数()f x x xsinx =-，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为________；若()()g x f x x a =--在()0,π上有唯一零点0x ，则12acosx cos x -的值为________.(1). y x = (2). 12（1）利用导数的几何意义和直线的点斜式方程求得切线方程；（2）当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，易得()0g x '<. 当ππ2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，利用导数研究()g x '的单调性，结合零点存在定理得到存在唯一的实数ππ2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,使得()0g t '=,且在t 2π⎛⎫⎪⎝⎭，上()0g x '<，在(),πt 上()0g x '>,，从而得到区间()0,t 内()g x 单调递减，在区间()(),t g x π内单调递增,结合端点值分析，可得()()g x f x x a =--在()0,π上有唯一零点0x t =，()00g x ∴'=,且()00g x =，两式结合，并利用二倍角的余弦公式化简即可求得12acosx cos x -的值.（1）()()()()00,1,01,f f x sinx xcosx f ==-'='+ 所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为y x =；（2）()()g x f x x a xsinx a =--=--,()g x sinx xcosx '=--,当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<,当ππ2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()'20g x cosx cosx xsinx cosx xsinx ⎡⎤=--+=-+>⎣'⎦, ∴()g x '是单调递增函数，又因为π12g ⎛⎫=- ⎪⎭'⎝，()g ππ'=,所以存在唯一的实数ππ2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,使得()0g t '=,且在2t π⎛⎫⎪⎝⎭，上()0g x '<，在(),πt 上()0g x '>, 综上所述，在区间()0,t 内()0g x '<，在区间(),t π上()0g x '>, 即区间()0,t 内()g x 单调递减，在区间()(),t g x π内单调递增, 又∵()()0g g a π==-,()()g x f x x a ∴=--在()0,π上有唯一零点0x t =， ()00g x ∴'=,且()0000g x x sinx a =--=, 即0000sinx x cosx +=,且00a x sinx =-,所以0000200122acosx x sinx cosx cos x sin x -=-()()000002201222x cosx sinx sinx sinx sin x sin x -===， 故答案为：y x =；12. 本题考查利用导数的几何意义研究函数的切线问题，利用导数研究函数的单调性，进而研究零点问题，涉及到二倍角公式，难点是对于()g x '再利用导数进行研究，以及分段讨论思想. 四､解答题17. 已知p ：x 2﹣2x ﹣8≤0，q ：x 2+mx ﹣6m 2≤0，m ＞0． （1）若q 是p 的必要不充分条件，求m 的取值范围； （2）若¬p 是¬q 的充分不必要条件，求m 的取值范围．（1）[)2,+∞；（2）20,3⎛⎤⎥⎝⎦试题分析：1）分别求出p q ，为真时的x 的范围，根据充分必要条件的定义得到关于m 的不等式组，解出即可；（2）求出q 是p 的充分不必要条件，得到关于m 的不等式组，解出即可．试题解析：若命题p 为真，则24x ≤≤﹣，若命题q 为真，则32m x m -≤≤，（1）若q 是p 的必要不充分条件，则3242m m -≤-⎧⎨<⎩或3242m m-<-⎧⎨≤⎩解得2m ≥，故m 的取值范围为[)2,+∞．（2）若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，则32240m m m -≥-⎧⎪<⎨⎪>⎩或32240m m m ->-⎧⎪≤⎨⎪>⎩ 解得203m <≤，故m 的取值范围为20,3⎛⎤⎥⎝⎦． 18. 在锐角△ABC 中，角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c .已知a cos Bb sin A =3. （1）求角B 的大小；（2）求22sin cos A C +的取值范围. （1）3B π=；（2）1744⎛⎫ ⎪⎝⎭，. （1）由已知条件得sin cos b Aa B=tan B =B 的大小；（2）利用三角函数恒等变换公式化简22sin cos A C+213C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由于△ABC 为锐角三角形，3B π=，从而可求得62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，进而得242333C πππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，，再利用正弦函数的性质可求得结果解：（1）由题意a cos Bb sin A =3，知sin cos b Aa B=则由正弦定理可得sin sin sin cos B AA B=tan B =因为()0B π∈，，所以3B π=.（2）由题意22222221sin cos sin cos sin cos 322A C C C C C C π⎤⎛⎫+=-+=++⎥⎪⎝⎭⎣⎦22231cos cos sin cos 44C C C C C =++231cos cos 24C C C =++3cos 21122244C C +=⋅++3cos 22144C C =++213C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 因为02A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且02C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，23A C π+=，则62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以242333C πππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，，sin 2322C π⎛⎛⎫+∈- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，17sin 212344C π⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 即22sin cos A C +的取值范围为1744⎛⎫ ⎪⎝⎭，【分析】此题考查正弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查正弦函数的性质的应用，考查转化思想和计算能力，属于中档题 19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a n =-，*n N ∈. （1）证明：数列{}1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）令2n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .（1）证明见解析，()*21n n a n N =-∈，；（2）22(1)24n n T n n n +=---+. （1）当n ≥2时，由2n n S a n =-，得()1121n n S a n --=--，两式相减，得121n n a a -=+，给等式两边加1，可得()1121n n a a -+=+，而a 1+1=2≠0，从而可得数列{}1n a +是等比数列，进而可求出{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得()122122n n n b n n n +=-=⋅-，然后利用分组求和与错位相减法求和的方法可求出n T解：（1）证明：因为2n n S a n =-，N n *∈，所以当n ≥2时，()1121n n S a n --=--， 两式相减得1221n n n a a a -=--，即121n n a a -=+，则()1121n n a a -+=+当n =1时，S 1=a 1=2a 1-1，解得a 1=1，且a 1+1=2≠0， 所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以11222n n n a -+=⋅=，()*21n n a n N =-∈，（2）因为2n n b na =，所以()122122n n n b n n n +=-=⋅-，所以()23112122222123n n n T b b b n n +=+++=⋅+⋅++⋅-++++令23112222n n B n +=⋅+⋅++⋅，① 则342212222n n B n +=⋅+⋅++⋅，②①-②，得()2234122212121212122212nn n n n B n n +++--=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅=-⋅-()2222222124n n n n n +++=--⋅=-⋅-所以()2412n n B n +=--⋅则()()()()2221241211242n n n n n T Bn n n n n n n +++=-⋅=---+=---+此题考查由递推式证明等比数列，考查分组求和与错位相减法求和的方法，考查转化思想和计算能力，属于中档题20. 已知函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,2]-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--，(0)m ≥； （3）设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有()()12g x g x M -≤，求M 的最小值.（1）2()2f x x x =--；（2）答案见解析；（3）1516. （1）由题得20x bx c ++=的根为1-，2，即得函数的解析式； （2）整理得(2)(1)0mx x -->，再对m 分类讨论解不等式，即得解；（3）求出1(),116⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦g x ，转化为()()-≤max min g x g x M ，求出()1max g x =， 1()16min g x =，即得解.（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]-，所以20x bx c ++=的根为1-，2， 所以1b -=，2c =-，即1b =-，2c =-；所以2()2f x x x =--；（2）()2(1)mf x x m >--，化简有()222(1)m x x x m -->--， 整理得(2)(1)0mx x -->，所以当0m =时，不等式的解集为(,1)-∞，当02m <<时，不等式的解集为2(,1),⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭m ，当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞+∞， 当2m >时，不等式的解集为()2(,)1,-∞+∞m，（3）因为[2,1]x ∈-时2()3123f x x x x +-=+-，根据二次函数的图像性质，有2()3123[4,0]f x x x x +-=+-∈-， 则有2()3123()22f x x x xg x +-+-==，所以，1(),116⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦g x ， 因为对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有()()12g x g x M -≤， 即求()()12max g x g x M -≤，转化为()()-≤max min g x g x M ， 而()(1)1==max g x g ， 1()(1)16min g x g =-=， 所以，此时可得1516M ≥， 所以M 的最小值为1516. 本题主要考查二次不等式与二次函数的关系，考查二次函数的解析式的求法，考查一元二次不等式的解法，考查指数型复合函数的最值的计算，考查不等式的恒成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21. 已知()sin ,cos x x π=，()cos ,cos n x x =-，设()f x n π=⋅.（1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）若锐角ABC 满足()0f C =，且不等式22tan tan tan tan 10B m A A B +++≥恒成立，求m的取值范围.（1）11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（2）)⎡-+∞⎣（1）根据向量的数量积，求得()f x 的表达式化简，再根据x 的取值范围求出()f x 的值域即可.（2）根据()0f C =，可求的角C 的值，再根据不等式22tan tan tan tan 10B m A A B +++≥转化为2tan tan tan tan m A B A B ⎛⎫∴≥-+ ⎪⎝⎭,结合基本不等式即可求出m 的取值范围.解: （1）已知()sin ,cos x x π=，()cos ,cos n x x =-，()2sin cos cos f x n x x x π=⋅=- 1cos 21sin 222x x +=- 111sin 2cos 2222x x =--1sin 2242x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ , 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,1121,2422x π⎡⎤⎛⎫--∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,故()f x 的值域为:⎡-⎢⎣⎦.（2）由（1）得()1sin 2242f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 因为锐角ABC 满足()0f C =,()120242f C C π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,解得4Cπ,又因为22tan tan tan tan 10B m A A B +++≥即()2tan tan tan tan 2tan tan 10B m A B A B A ++-+≥① 又因为()tan tan tan tan 11tan tan A BC A B A Bπ+=-+=-=⎡⎤⎣⎦-tan tan tan tan 1A B A B ∴+=- 带入不等式①()2tan tan 1tan tan 2tan tan 10B m A B A A B -+-+≥()()2tan tan 12tan tan 10B m A A B -+-+≥ ()()22tan tan 1tan tan 1A m A B B -≥---()222tan tan tan tan 2tan tan 2A m A B B A B -≥-+-22tan tan 2tan tan m A B A B ⎛⎫-≥-+- ⎪⎝⎭2tan tan tan tan m A B A B ⎛⎫∴≥-+ ⎪⎝⎭因为在锐角ABC 中tan tan 0A B >,所以2tan tan tan tan A B A B +≥=2tan tan tan tan A B A B ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭所以m ∴≥-故m的取值范围为)⎡-+∞⎣.本题主要考查向量的数量积、三角函数及基本不等式的应用。

江阴高中高三数学周周练10一、单项选择题1．设{}2430A x x x =-+，{}ln(32)0B xx =-<∣，则A B =（ ）A ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．(1,3]C ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎤⎥⎝⎦2．已知复数满足1z =-，则||zz =（ ） A．12-B．12C．12D．12--3．“24x k ππ=+，k Z ∈”是“tan 1x =”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t （n ）（单位：小时）大致服从的关系为00(),,n N t n n N <=≥（0t ，0N 为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为（ ） A ．8小时 B ．9小时 C ．11小时 D ．16小时5．在直角梯形ABCD 中，AB=4，CD=2，AB//CD ，AB ⊥AD ，E 是BC 中点，()AB AC AE ⋅+=（ ）A ．8B ．12C ．16D ．206．已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA|=2|PB|，点Q 是圆22(2)(3)3x y -+-=上的动点，则PQ 的最大值为（ ） A．5 B．5C．3+D．3-7．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若222AF F B =，1||AB BF =，则C 的方程为（ ） A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=8．设120x x π<<<，若123sin 2sin 2335x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()12cos x x -=（ ）A ．35-B ．35C ．45-D ．45二、多项选择题9．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．直线(1)(21)3()m x m y m m R -+-=-∈恒过定点（5，-2）B ．圆222x y +=上有且仅有3个点到直线:10l x y -+=C ．曲线221:20C x y x ++=与曲线222:480C x y x y m +--+=恰有四条公切线，则实数m 的取值范围为m>4D ．已知圆22:2C x y +=，P 为直线0x y ++=上一动点，过点P 向圆C 引一条切线PA ，其中A 为切点，则PA 的最小值为210．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图像关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的图像关于直线512x π=对称B ．当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为C ．若6f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则44sin cos αα-的值为45-D ．要得到函数()f x 的图像，只需要将()2g x x =的图像向右平移6π个单位 11．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（ ）A ．沙漏中细沙体积为31024 c m 81πB ．沙漏的体积是3128cm πC ．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD ．该沙漏的一个沙时大约是1565秒（ 3.14π≈）12．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为M ，且120MF MF ⋅=，双曲线2C 和椭圆1C 有相同焦点，且双曲线2C 的离心率为2e ，P 为曲线1C 与2C 的一个公共点，若123F PF π∠=，则（ ）A ．212e e =B ．12e e ⋅=C ．221252e e +=D ．22211e e -= 三、填空题13．若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方程是________．14．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五十二岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中最年长者的年龄大于90且不大于100，其余19人的年龄依次相差一岁，则最年长者的年龄为________．15．在等腰三角形ABC 中，已知AB AC =，BC=2．将它沿BC 边上的高AD 翻折，使B 点与C 点的距离为1，则四面体ABCD 的外接球的表面积为________．16．已知a>b>0，则41a ab a b+++-的最小值为________． 四、解答题：解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c =sin B C ，且1cos23B =-．（1）求b 的值；（2）若角B 为锐角，求a 的值及ABC 的面积．18．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ，________． （1）在①13222S S S +=+，②373S =，③2344a a a =这三个条件中任选一个，补充到上述题干中的横线上．求数列{}n a 的通项公式，并判断此时数列{}n a 是否满足条件P ：任意m ，*n ∈N ，m n a a ⋅都是数列{}n a 中的项，说明理由；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）（2）设数列{}n b 满足211(1)n n n a n n b a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：10m ），游客在乘坐舱P 升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC ，伦敦眼与建筑之间的距离AB 为12（单位：10m ），游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角为θ．（1）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，视角30θ=︒，求建筑BC 的高度；（2）当游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角θ为45°时，拍摄效果最好．若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照片，求建筑BC 的最低高度．（说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为135m ） 20．如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD//BC ，PA=AD=CD=2，BC=3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =．（1）求证：CD ⊥平面PAD ； （2）求二面角F-AE-P 的余弦值； （3）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由． 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点与上顶点的距离为，且经过点．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点．若椭圆上存在点N 满足3ON MO =，求证：PQN 的面积S 为定值．22．设函数2()ln()f x x a x =++．（1）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于ln 2e．参考答案：江阴高中高三数学周周练10一、单项选择题：1．A 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B 二、多项选择题：9．ABD 10．BD 11．AC 12．BD 三、填空题：13．y = 14．95 15．103π16．四、解答题：17．【答案】：（1）；（2【解析】试题解析：（1）∵sin B c =，由正弦定理知，∴b =．（2）|cos |B ==，且∠B 为锐角，222cos 2a b c B ac ++∴==，代入b =c =a=5或-3（舍去）sin B =，11sin 522ABCS ac B ∴==⨯． 18．【详解】（1）选①，因为13222S S S +=+，所以32212S S S S -=-+，即322a a =+， 又数列{}n a 是公比为2的等比数列，所以11422a a =+，解得11a =，因此11122n n n a --=⨯=． 此时任意m ，*n ∈N ，112222m n m n m n a a --+-=⋅=，由于*1m n +-∈N ，所以m n a a 是数列{}n a 的第1m n +-项， 因此数列{}n a 满足条件P ． 选②，因为373S =，即12373a a a ++=，又数列{}n a 是公比为2的等比数列，所以1117243a a a ++=，解得113a =． 因此1123n n a -=⨯ 此时12129n a a a a =<≤，即12a a 不为数列{}n a 中的项，因此数列{}n a 不满足条件P ．选③，因为2344a a a =，又数列{}n a 是公比为2的等比数列，所以11124481a a a ⨯=⨯，又10a ≠，故14a =，因此11422n n n a -+=⨯=． 此时任意m ，*n ∈N ，112222m n m n m n a a ++++=⋅=，由于*1m n ++∈N ，所以m n a a 是为数列{}n a 的第1m n ++项， 因此数列{}n a 满足条件P ．（2）根据题意可得1141n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，111111114414122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 19．（1）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，30BDC θ∠==︒，此时AD=AB=12，即∠ABD=45°，所以∠BCD=105°． 在等腰三角形ABD 中，BD = 由正弦定理得sin105sin30BDBC=︒︒，所以12BC ==．所以建筑BC的高度为12-（单位：10m ）．（2）设建筑BC 的高度为h（单位：10m ），建立如图所示的直角坐标系，圆22:(6)36M x y +-=， 由正弦定理可知2sin 45h R =︒，所以R =，即PBC 的外接圆的半径为R =． 由图可知PBC 的外接圆的圆心坐标为12,22h h ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点P 在圆222:12222h hh N x y ⎛⎫⎛⎫-++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12x ≤上，而点P 又在圆22:(6)36M x y +-=上，所以66h≤≤+，h ≤答：建筑BC （单位：10m ）时，可以拍摄到效果最好的照片． 20．【详解】（1）由于PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则PA ⊥CD ， 由题意可知AD ⊥CD ，且PA AD A =，由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面PAD ．（2）以点A 为坐标原点，平面ABCD 内与AD 垂直的直线为x 轴， AD ，AP 方向为y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，易知：A （0，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），D （0，2，0），由13PF PC =可得点F 的坐标为224,,333F ⎛⎫⎪⎝⎭，由12PE PD =可得E （0，1，1）， 设平面AEF 的法向量为：(,,)m x y z =，则 224224(,,),,0333333(,,)(0,1,1)0m AF x y z x y z m AE x y z y z ⎧⎛⎫⋅=⋅=++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩， 据此可得平面AEF 的一个法向量为：(1,1,1)m =-， 很明显平面AEP 的一个法向量为(1,0,0)n =，cos ,||||3m n mn m n ⋅<>===⨯⨯，二面角F-AE-P 的平面角为锐角，故二面角F-AE-P ． （3）易知P （0，0，2），B （2，-1，0）， 由23PG PB =可得422,,333G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则422,,333AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 注意到平面AEF 的一个法向量为：(1,1,1)m =-，其0m AG ⋅=且点A在平面AEF 内，故直线AG 在平面AEF 内．21．【详解】（1）椭圆C 的左顶点（-a ，0），上顶点（0，b ）．因为左顶点与上顶点的距离为=2212a b +=．① 因为椭圆经过点(，所以22421a b+=，② 由①②解得28a =，24b =或26a =，26b =（舍去），所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（2）当PQ 斜率不存在时，N为()±，PQ方程为x =易得PQ =，此时116422339S MN PQ =⨯⨯=⨯=． 当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为(0)y kx m m =+≠， 联立22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222124240k x kmx m +++-=，由()()()222481240km k m ∆=-+->， 得22084(*)m k <<+⋅设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122412kmx x k-+=+，()21222412m x x k -=+， 因此PQ 的中点M 为222,1212kmm k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭． 又因为3ON MO =，所以2263,1212km m N k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 将点M 代入椭圆方程，得()()22222221891412412k m m kk+=++，化简得229214k m +=，符合（*）式．记点O 到直线l 的距离为d ，则1242OPQS SPQ d x d ==⨯=-⨯==， 将229214k m +=代入，得26494S m =． 综上，PQN 的面积S 为定值649．22．【详解】（1）1()2f x x x a '=++，依题意(1)0f '-=，故32a =．经检验32a =2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++，()f x 的定义域为3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>.所以()f x 在区间3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减．（2）()f x 的定义域为(,)a -+∞，2221()x ax f x x a++'=+．方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=-．若0∆<，即a <<，在()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 无极值． 若0∆=，则a =a =当a =()x ∈+∞，()f x '，当x =时，()0f x '=，当x ⎛⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 无极值．当a =)x ∈+∞，()0f x '=>，()f x 也无极值．若0∆>，即a >a <则22210x ax ++=有两个不同的实根1x，2x当a <1x a <-，2x a <-，从而()'f x 有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值．当a >1x a >-，2x a >-，()'f x 在()f x 的定义域内有两个不同的零点， 可知()f x 在1x x =，2x x =取得极值．综上，()f x 存在极值，a的取值范围为)+∞ 由22210x ax ++=可得12x x a +=-，1212x x =， 则()222212121221x x x x x x a +=+-=-， ()()()()()2121212121ln ln ln ln ln 2x a x a x a x a x x a x x a ⎡⎤+++=++=+++=⎣⎦， 所以()f x 的极值之和为()()()()2221211221ln ln ln 11ln 2ln 22e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-= (12)。