2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题20平面向量的概念及其线性运算理(含解析)新人教A版

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高考数学平面向量考点及知识点总结解析(理科)

平行且|a|＝1，则 a＝a0.假命题的个数是
()
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，
但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0
的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－|a|a0，
故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3.
3．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与 OC 相等的向量有________．
答案： AB， ED，FO
4．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的
1 3
处相交的两个全等
的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为
a 3
的若干个向量，则
(1)与向量GH 相等的向量有________； (2)与向量GH 共线，且模相等的向量有________； (3)与向量 EA共线，且模相等的向量有________．解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等．向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．答案：(1) LB， HC (2) EC， LE ， LB，GB， HC (3) EF ，FB， HA， HK ， KB
HF
＝
1 4
AH ，∴ AH ＝45 AF ， AF ＝ AD＋ DF ＝b＋12a，∴ AH ＝45
b＋12a＝25a＋45b，故选B. 答案：B
4. [考点二] 已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点
相同．若a，tb，
1 3
(a＋b)三向量的终点在同一直线上，则t
＝________.
解析：∵a，tb，
与向量 b 相同，且|aa|＝|bb|，所以向量 a 与向量 b 方向相同，故

高中数学平面向量知识点总结及常见题型

平面向量一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如：AB 几何表示法 AB ,a；坐标表示法),(y x yj xi a =+=向量的大小即向量的模长度,记作|AB |即向量的大小,记作｜a｜向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a＝0⇔｜a｜＝由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行共线的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．注意与0的区别 ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1④平行向量共线向量：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b行任意的平移即自由向量,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a=大小相等,方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b ==,则a+b =AB BC +=AC1a a a=+=+00；2向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量2 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时,用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=,但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： i )(a --=a； ii a +a -=a -+a =0 ； iii 若a 、b是互为相反向量,则a =b -,b =a -,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差,记作：)(b a b a-+=-求两个向量差的运算,叫做向量的减法③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量a 、b有共同起点 4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下：Ⅰa a⋅=λλ；Ⅱ当0>λ时,λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时,λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时,0=a λ,方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ,使得b =a λ 6平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=,其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:1向量的加法与减法是互逆运算2相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件3向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线即重合,而向量平行则包括共线重合的情况4向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+,由于a 与数对x,y 是一一对应的,因此把x,y 叫做向量a 的坐标,记作a =x,y,其中x 叫作a 在x 轴上的坐标,y 叫做在y 轴上的坐标1相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量2向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1)若()()1122,,,a x y b x y ==,则()1212,a b x x y y ±=±± (2)若()()2211,,,y x B y x A ,则()2121,AB x x y y =-- (3)若a =x,y,则λa =λx, λy(4)若()()1122,,,a x y b x y ==,则1221//0a b x y x y ⇔-= (5)若()()1122,,,a x y b x y ==,则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥,则02121=⋅+⋅y y x x3,数与向量的乘积,向量的数量内积及其各运算的坐标表示和性质12(a b x x +=+AB BC AC +=12(a b x x -=-)(b a b a-+=- AB BA =-OB OA AB -=a a)()(λμμλ=12a b x x •=+三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积或内积规定00a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅== 5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a ba ab b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律： ①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：1结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅； 2消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅3a b ⋅=0不能得到a =0或b =0 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==,则a ·b =1212x x y y +8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ,作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ001800≤≤θ叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=222221212121y x y x y y x x +⋅++当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时,θ=00,当且仅当a 与b 反方向时θ=1800,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直,记作a ⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：1共线向量就是在同一条直线上的向量.2若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点. 3与已知向量共线的单位向量是唯一的. 4四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =. 5若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形. 6因为向量就是有向线段,所以数轴是向量. 7若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线. 8若ma mb =,则a b =. 9若ma na =,则m n =.10若a 与b 不共线,则a 与b 都不是零向量. 11若||||a b a b ⋅=⋅,则//a b . 12若||||a b a b +=-,则a b ⊥. 题型2.向量的加减运算1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b += .2.化简()()AB MB BO BC OM ++++= .3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为、 .4.已知AC AB AD为与的和向量,且,AC a BD b ==,则AB = ,AD = .5.已知点C 在线段AB 上,且35AC AB =,则AC = BC ,AB = BC . 题型3.向量的数乘运算1.计算：13()2()a b a b +-+= 22(253)3(232)a b c a b c +---+-=2.已知(1,4),(3,8)a b =-=-,则132a b -= .题型4.作图法球向量的和已知向量,a b ,如下图,请做出向量132a b +和322a b -.a b题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC ∆中,D 是BC 的中点,请用向量AB AC ，表示AD . 2.在平行四边形ABCD 中,已知,AC a BD b ==,求AB AD 和.题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB =,(2,3)A ,则点B 的坐标是 .2.已知(3,5)PQ =--,(3,7)P ,则点Q 的坐标是 .3.若物体受三个力1(1,2)F =,2(2,3)F =-,3(1,4)F =--,则合力的坐标为 .4.已知(3,4)a =-,(5,2)b =,求a b +,a b -,32a b -.5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--与AB 相等,求,x y 的值.6.已知(2,3)AB =,(,)BC m n =,(1,4)CD =-,则DA = .7.已知O 是坐标原点,(2,1),(4,8)A B --,且30AB BC +=,求OC 的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,e e 是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e --和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e -和2.已知(3,4)a =,能与a 构成基底的是A.34(,)55B.43(,)55C.34(,)55--D.4(1,)3--题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O 是坐标原点,点A 在第二象限,||2OA =,150xOA ∠=,求OA 的坐标.2.已知O 是原点,点A 在第一象限,||43OA =60xOA ∠=,求OA 的坐标.题型9.求数量积1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求1a b ⋅,2()a a b ⋅+,31()2a b b -⋅,4(2)(3)a b a b -⋅+.2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-,求1||,||a b ,2a b ⋅,3(2)a a b ⋅+, 4(2)(3)a b a b -⋅+.题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3a b ==,12a b ⋅=,求a 与b 的夹角.2.已知(3,1),(23,2)a b ==-,求a 与b 的夹角.3.已知(1,0)A ,(0,1)B ,(2,5)C ,求cos BAC ∠. 题型11.求向量的模1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求1||a b +,2|23|a b -.2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-,求1||,||a b ,5||a b +,61||2a b -.3.已知||1||2a b ==，,|32|3a b -=,求|3|a b +.题型12.求单位向量与a 平行的单位向量：||a e a =± 1.与(12,5)a =平行的单位向量是 .2.与1(1,)2m =-平行的单位向量是 . 题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a =,(3,)b m =-,当m 为何值时,1//a b 2a b ⊥2.已知(1,2)a =,(3,2)b =-,1k 为何值时,向量ka b +与3a b -垂直 2k 为何值时,向量ka b +与3a b -平行3.已知a 是非零向量,a b a c ⋅=⋅,且b c ≠,求证：()a b c ⊥-.题型14.三点共线问题1.已知(0,2)A -,(2,2)B ,(3,4)C ,求证：,,A B C 三点共线.2.设2(5),28,3()2AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,求证：A B D 、、三点共线. 3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则一定共线的三点是 .4.已知(1,3)A -,(8,1)B -,若点(21,2)C a a -+在直线AB 上,求a 的值.5.已知四个点的坐标(0,0)O ,(3,4)A ,(1,2)B -,(1,1)C ,是否存在常数t ,使OA tOB OC +=成立题型15.判断多边形的形状1.若3AB e =,5CD e =-,且||||AD BC =,则四边形的形状是 .2.已知(1,0)A ,(4,3)B ,(2,4)C ,(0,2)D ,证明四边形ABCD 是梯形.3.已知(2,1)A -,(6,3)B -,(0,5)C ,求证：ABC ∆是直角三角形.4.在平面直角坐标系内,(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC =-=-=,求证：ABC ∆是等腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0)a =,(2,1)b =,当k 为何值时,向量ka b -与3a b +平行2.已知(3,5)a =,且a b ⊥,||2b =,求b 的坐标.3.已知a b 与同向,(1,2)b =,则10a b ⋅=,求a 的坐标.3.已知(1,2)a =,(3,1)b =,(5,4)c =,则c = a + b .4.已知(5,10)a =,(3,4)b =--,(5,0)c =,请将用向量,a b 表示向量c .5.已知(,3)a m =,(2,1)b =-,1若a 与b 的夹角为钝角,求m 的范围； 2若a 与b 的夹角为锐角,求m 的范围.6.已知(6,2)a =,(3,)b m =-,当m 为何值时,1a 与b 的夹角为钝角 2a 与b 的夹角为锐角7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A -,(3,4)B ,(2,1)D ,且//AB DC ,2AB CD =,求点C 的坐标.8.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A ,(1,3)B -,(3,4)C ,求第四个顶点D 的坐标.9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30角,求水流速度与船的实际速度.10.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(3,4)A ,(0,0)B ,(,0)C c ,1若0AB AC ⋅=,求c 的值；2若5c =,求sin A 的值.备用1.已知||3,||4,||5a b a b ==+=,求||a b -和向量,a b 的夹角.2.已知x a b =+,2y a b =+,且||||1a b ==,a b ⊥,求,x y 的夹角的余弦.1.已知(1,3),(2,1)a b ==--,则(32)(25)a b a b +⋅-= .4.已知两向量(3,4),(2,1)a b ==-,求当a xb a b +-与垂直时的x 的值.5.已知两向量(1,3),(2,)a b λ==,a b 与的夹角θ为锐角,求λ的范围. 变式：若(,2),(3,5)a b λ==-,a b 与的夹角θ为钝角,求λ的取值范围. 选择、填空题的特殊方法：1.代入验证法例：已知向量(1,1),(1,1),(1,2)a b c ==-=--,则c = A.1322a b -- B.1322a b -+ C.3122a b - D.3122a b -+ 2.排除法例：已知M 是ABC ∆的重心,则下列向量与AB 共线的是A.AM MB BC ++B.3AM AC +C.AB BC AC ++D.AM BM CM ++。

平面向量基本概念以及线性运算知识题型总结

平面向量基本概念以及线性运算知识题型总结（绝对全面）知识梳理：1．向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向．2．向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母→→b a ,等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量→→j i ,作为基底。

任作一个向量→a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得),(,y x j y i x a →→→+=叫做向量→a 的（直角）坐标，记作),,(y x a =→其中x 叫做→a 在x 轴上的坐标，y 叫做→a 在y 轴上的坐标，特别地，22||).0,0(0),1,0(),0,1(y x a j i +====→→→→；若),(),,(2211y x B y x A ，则),(1212y y x x AB --=→，212212)()(||y y x x AB -+-=→．3．零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为→0（规定零向量的方向具有任意性）； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：||→→a a就是单位向量）．4．平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定→0与任一向量平行.向量→→→c b a ,,平行，记作→→→c b a ////.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量．6．向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法．向量加法用三角形法则和平行四边形法则．②向量的减法用向量→a 加上的→b 相反向量，叫做→a 与→b 的差。

即：)(→→→→-+=-b a b a ；差向量的意义： ,,→→→→==b OB a OA 则→→→-=b a BA ．③平面向量的坐标运算：若),,(),(2211y x b y x a ==→→则),(2121y y x x b a ±±=±→→).,(,y x a λλλ=→④向量加法的交换律：→→→→+=+a b b a ；向量加法的结合律：)()(→→→→→→++=++c b a c b a ． 7．实数与向量的积：实数λ与向量→a 的积是一个向量，记作：λ→a（1）||||||→→=a a λλ；（2）λ>0时λ→a 与a ρ方向相同；λ<0时λ→a 与a ρ方向相反；λ=0时λ→a =→0；（3）运算定律 .)(,)(,)()(→→→→→→→→→+=++=+=b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλ题型一、向量的加法1．AB+BC +CD+DE +EF +FA =u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（）A ．0B ．0rC ．2AD u u u rD ．2AD -u u u r【详解】由向量加法的运算法则可知0AB+BC +CD+DE +EF +FA =u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r. 故选：B.2．如图，已知ABCDEF 为正六边形，则12AB AD +u u u r u u u r等于（）.A ．AD u u u rB ．AE u u u rC ．AC u u u rD ．AF u u u r【分析】根据向量加法的平行四边形法则，可得结果. 【详解】如图取AD 的中点O ，由12AD AO =u u ur u u u r所以12AB AD AB AO AC +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：C3. 如图，在矩形ABCD 中，AO OB AD ++u u u v u u u v u u u v=( )A ．AB u u u vB ．AC u u u vC ． AD u u u v D ．BD uuu v【解析】由题意，AO OB AD AB AD AC ++=+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v故选B.4．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u rA ．12AB AD -+u u ur u u u rB ．12AB AD -u u ur u u u rC ．12AB AD +u u u r u u u rD ．12AB AD -u u u r u u u r【分析】由平面向量的加法法则运算即可. 【详解】如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法则可知1.2BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v故选A.5．向量AB MB BO BC OM ++++=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v（） A ．AC u u u v B ．AB u u u vC ．BC uuu vD ．AM u u u u v【解析】分析：利用向量的三角形法则即可得出.详解：向量AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r. 故选：A.6．已知D ，E ，F 分别是△ABC 三边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式成立的是（） A ．FD DA FA +=u u u r u u u r u u u rB ．0FD DE EF ++=u u u r u u u r u u u rC ．DE DA EC +=u u u r u u u r u u u rD ．DA DE DF +=u u u r u u u r u u u r【分析】根据三角形的中位线的性质和向量的加法三角形法则和平行四边形法则，可得选项. 【详解】由加法的三角形法则可得，FD DA FA +=u u u r u u u r u u u r ，0FD DE EF ++=u u u r u u u r u u u r r，由三角形的中位线性质得，四边形ADEF 是平行四边形，DE DA EC +=u u u r u u u r u u u r ，DA DE DF +=u u u r u u u r u u u r，故选：ACD ．7．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，F 为线段DE 延长线上一点，DE ∥BC ，AB ∥CF ，连接CD ，那么(在横线上只填一个向量)：①AB u u u r ＋DF u u ur ＝________； ②AD u u u r ＋FC u u u r＝________；③AD u u u r ＋BC uuu r ＋FC u u u r＝________.【分析】根据四边形DFCB 为平行四边形，由向量加法的运算法则求解. 【详解】如图，因为四边形DFCB 为平行四边形，由向量加法的运算法则得：①AB u u u r ＋DF u u u r ＝AB u u u r ＋BC uuur ＝AC u u u r .②AD u u u r ＋FC u u u r＝AD u u u r ＋DB uuu r ＝AB u u u r .③AD u u u r ＋BC uuu r ＋FC u u u r ＝AD u u u r ＋DF u u u r ＋FC u u u r＝AC u u u r . 故答案为：（1）AC u u u r （2）AB u u u r（3）AC u u u r8．化简：①BC uuu r ＋AB u u u r ；②DB uuu r ＋CD uuu r ＋BC uuu r ；③AB u u u r ＋DF u u ur ＋CD uuu r ＋BC uuu r ＋FA u u u r .【分析】根据加法的三角形运算法则和基本规律首尾相连求解.【详解】①BC uuu r ＋AB u u u r ＝AB u u u r +BC uuu r ＝AC u u u r；②DB uuu r ＋CD uuu r ＋BC uuu r ＝BC uuu r ＋CD uuu r＋DB uuu r ＝0r；③AB u u u r ＋DF u u u r ＋CD uuu r ＋BC uuu r ＋FA u u u r.=AB u u u r ＋BC uuu r ＋CD uuu r ＋DF u u u r ＋FA u u u r ＝0r.9．如图，已知D ，E ，F 分别为ABC ∆的三边BC ，AC ，AB 的中点，求证：0AD BE CF ++=u u u v u u u v u u u v v ．【分析】利用向量加法的三角形法则，在图形中寻找回路，即可证明. 【详解】由题意知AD AC CD =+u u u r u u u r u u u r ，BE BC CE =+u u u r u u u r u u u r ，CF CB BF =+u u ur u u u r u u u r ，由题意可知EF CD =u u u r u u u r ，BF FA =u u u r u u u r．∴()()()AD BE CF AC CD BC CE CB BF ++=+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()AC CD CE BF BC CB =+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()0AE EC CD CE BF =+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r0AE CD BF AE EF FA =++=++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ．题型二、向量的减法1．如图所示的ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AD 上，且BD DC =，2AE EC =，2DF AF =，则向量EF =u u u r（）A ．1162AB AC -u u ur u u u rB ．1233AB AC -u u ur u u u rC ．1263AB AC -u u ur u u u rD ．1334AB AC -u u uv u u u v【分析】根据向量的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得：()12112113332362EF AF AE AD AC AC AB AC AB AC =-=-=⨯+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.故选：A .2．在ABC ∆中，点D 是边BC 的中点，则BD =u u u r（）A ．1122AB AC +u u ur u u u rB ．1122AB AC -u u ur u u u rC ．1122AB AC -+u u uv u u u vD ．1122AB AC --u u uv u u u v【分析】由向量的减法法则可得出结果. 【详解】由题意知()11112222BD BC AC AB AB AC ==-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r . 故选：C.3．已知O,A,B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，且20AC CB +=u u u v u u u v v ，则OC =u u u v（） A ．2OA OB -u u u v u u u vB ．2OA OB -+u u u v u u u vC ．2133OA OB -u u uv u u u v D ．1233OA OB -+u u uv u u u v【分析】由AC OC OA =-u u u r u u u r u u u r , CB OB OC =-u u u r u u u r u u u r代入运算即可得解. 【详解】解：因为20AC CB +=u u u r u u u r r，所以2()()0OC OA OB OC -+-=u u u u r u u u r u u u r u u u r r ,所以OC =u u u r 2OA OB -u u u r u u u r，故选：A.4．如图所示，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA BC OA OD DA --++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r______________.【分析】利用向量的加法法则和减法法则求解即可【详解】()()++BA BC OA OD DA BA BC OD OA DA CA AD DA CA --++=--=++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,故答案为:CA u u u r5．化简下列各向量的表达式：①AB BC AD +-u u u r u u u r u u u r ；②(AB u u u r －CD uuu r )－(AC u u u r －BD u u u r)；③(AC u u u r ＋BO uuu r ＋OA u u u r )－(DC u u u r －DO u u u r －OB uuu r )．【分析】利用加法、减法的三角形法则求解. 【详解】①AB BC AD +-u u u r u u u r u u u r ＝AC u u u r －AD u u u r ＝DC u u ur .②(AB u u u r －CD uuu r )－(AC u u u r －BD u u u r ) ＝(AB u u u r ＋BD u u u r )－(AC u u u r ＋CD uuu r )＝AD u u u r －AD u u u r ＝0r.③(AC u u u r ＋BO uuu r ＋OA u u u r )－(DC u u u r －DO u u u r －OB uuu r )＝(AC u u u r ＋BA u u u r)－(OC u u u r －OB uuu r )＝BC uuu r －BC uuu r ＝0r .6．化简下列向量表达式：（1）OM u u u u r －ON u u u r ＋MP u u u r －NA u u u r ；（2）(AD u u u r －BM u u u u r)＋(BC uuu r －MC u u u u r )．【分析】利用加法、减法的三角形法则求解. 【详解】（1）OM u u u u r －ON u u u r ＋MP u u u r －NA u u u r ＝NM u u u u r ＋MP u u u r －NA u u ur ＝NP uuu r －NA u u u r ＝AP u u u r .（2）(AD u u u r －BM u u u u r)＋(BC uuu r －MC u u u u r ) ＝AD u u u r ＋MB u u u r ＋BC uuu r ＋CM u u u u r ＝AD u u u r ＋(MB u u u r ＋BC uuu r ＋CM u u u u r )＝AD u u u r ＋0r ＝AD u u u r.题型三、与向量模有关问题1．已知非零向量,a b r r 满足0a b ⋅=r r ，||3a =r ，且a r 与a b +r r 的夹角为4π，则||b =r （）A ．6B ．C ．D ．3【分析】利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可．【详解】解：非零向量a r ，b r 满足0a b =r r g ，可知两个向量垂直，||3a =r ，且a r 与a b+r r 的夹角为4π，说明以向量a r ，b r为邻边，a b +r r 为对角线的平行四边形是正方形，所以则||3b =r ．故选：D ．2．对于任意两个向量a v 和b v，下列命题中正确的是（）.A ．若a v ，b v 满足a b >v v ，且a v 与b v 同向，则a b >v vB ．a b a b ++v vv v „C ．a b a b ⋅v v v v …D ．a b a b --v v v v „【分析】利用向量的概念、向量的加法以及向量的数量积即可一一判断.【详解】A 项错误，向量不能比较大小；B 项正确，利用向量加法的运算法则可判断；C 项错误，||||||a b a b ⋅≤r r r r； D 项错误，||||||a b a b -≥-r r r r.故选：B .3．a r ，b r为非零向量，且a b a b +=+r r r r ，则（）A ．a r ，b r同向 B ．a r ，b r反向C ．a b =-r rD ．a r ，b r无论什么关系均可【分析】分别讨论a r 与b r 不共线,a r 与b r 同向,a r 与b r反向且a b <r r 的情况,进而得到结果【详解】当两个非零向量a r 与b r 不共线时,a b +r r 的方向与a r ,b r的方向都不相同,且a b a b +<+r r r r ；当向量a r 与b r 同向时,a b +r r 的方向与a r ,b r的方向都相同,且a b a b +=+r r r r ；当向量a r 与b r 反向且a b <r r 时,a b +r r 的方向与b r 的方向相同（与a r 的方向相反）,且a b b a +=-r r r r,故选:A4．已知3a =r ，4b =r ，且5a b +=r r ，则a b -=r r（）A ．3B ．4C ．5D ．7【分析】运用向量的加法原理令OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，根据已知条件中向量的模和勾股定理可得平行四边形OACB 为矩形，根据矩形的性质可得选项. 【详解】令OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则根据向量加法的几何意义，可知a b OC +=r r ，a b AB -=r r，由已知条件可知平行四边形OACB 为矩形，于是5a b a b -=+=r r r r.5．已知||3OA a ==u u u r r ，||3OB b ==u u u r r ，60AOB ︒∠=，求a b +r r.【分析】连接OC ，AB ，根据菱形的性质得OC ⊥AB ，再由∠AOB ＝60°，得出||3AB OA ==u u u r，33CD =，可求得a b +r r . 【详解】如下图所示，因为||||3OA OB ==u u u r u u u r，所以四边形OACB 为菱形，连接OC ，AB ，则OC ⊥AB ，设垂足为D .因为∠AOB ＝60°，所以||3AB OA ==u u u r .所以在Rt △BDC 中，332CD =. 所以33||||233OC a b =+=⨯=u u u r r r.6．已知3a =v ，4b =v ，求23a b -vv 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a v 与b v的关系.【分析】根据向量加法法则，可知232323a b a b a b -≤-≤+r r r r r r ，当a r ，b r 同向时取得最小值，当a r ，b r反向时取得最大值，求解即可. 【详解】解：∵3a =r ，4b =r，且232323a b a b a b -≤-≤+r r r r r r∴2334232334a b ⨯-⨯≤-≤⨯+⨯r r ，即62318a b ≤-≤r r. 当且仅当a r ，b r同向时，23a b -r r 取到最小值6 当且仅当a r ，b r反向时，23a b -r r 取到最大值18.7．设8a =r ，12b =r ，则a b +r r的最大值与最小值分别为_____________.【分析】分别讨论a r ,b r 共线同向,a r ,b r 共线反向,a r ,b r不共线的情况,进而求解即可【详解】当a r ,b r共线同向时,81220a b a b +=+=+=r r r r ；当a r ,b r共线反向时,4a b a b +=-=r r r r ；当a r ,b r不共线时,a b a b a b -<+<+r r r r r r ,即420a b <+<r r ,所以最大值为20,最小值为4, 故答案为:20；48．若1a =r ，()2,1b =r，则2a b +r r 的取值范围是_____________.【分析】求出b v ，利用平面向量模的三角不等式可得出2a b +vv 的取值范围.【详解】()2,1b =Q v ，b ∴==v222a b a b a b -≤+≤+v v v v v v 222a b ≤+≤vv .因此，2a b +v v 的取值范围是2⎤⎦.故答案为：2⎤⎦.9．ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且3AD DB =u u u r u u u r，3BE EC =u u u r u u u r ，3CF FA =u u u r u u u r，若2BC =u u u r ，则AE BF CD ++=u u u r u u u r u u u r ________.【分析】分别用AB u u u r 、AC u u u r 、BC uuu r 表示AE u u u r 、BF u u ur 、CD uuu r ，可计算出AE BF CD ++u u u r u u u r u u u r ，进而可求得AE BF CD ++u u u v u u u v u u u v的值.【详解】3AD DB =u u u r u u u rQ ，则()3AC CD CB CD +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，可得3144CD CB CA =+u u u r u u u r u u u r ，同理可得3144AE AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，3144BF BA BC =+u u u r u u u r u u u r，所以，31313114444442AE BF CD AB AC BA BC CB CA BC ++=+++++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此，11122AE BF CD BC BC ++=-==u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v .故答案为：1.10．设点O 在ABC ∆的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且21OD OE +=u u u v u u u v ，则23OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v___________【分析】由向量的加法法则，把23OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r转化为2(2)OD OE +u u u r u u u r ，从而易得结论．【详解】∵点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，∴2OA OC OD +=u u u r u u u r u u u r ，2OB OC OE +=u u u r u u u r u u u r，∴23OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r 2()OA OC OB OC +++u u ur u u u r u u u r u u u r 24222OD OE OD OE =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r ．故答案为：2．11．在边长为1的正方形ABCD 中,设AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v ,AC c=u u u vv ,则a b c ++=v v v ________,a c b +-=v v v ________,c a b --=vv v ________.【分析】结合图形根据平面向量的基本运算求解即可. 【详解】||||||2||22a b c AB BC AC AC AC AC ++=++=+==r r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||||||2||2a cb AB AC BC AB AC CB AB AB AB +-=+-=++=+==r r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r |||||||||0|0c a b AC AB BC AC BA CB AB BA --=--=++=+==r r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r.故答案为：22，0.12．已知||2a =v ,3b =v ,4c =v ,则a b c ++v v v的最大值为________.【分析】根据向量模长的三角不等式求解即可. 【详解】解析:∵||||||234||9a b c a b c +++++=+=r r rr r r …,∴所求最大值为9,当且仅当a ,b ,c 同向时取得最大值. 故答案为：9题型四、向量数乘运算1．化简__________.【分析】根据向量数乘的运算法则，可直接得出结果. 【详解】.故答案为2．若3224()()()0x a x a x a b +--=++-r r r r r r r r ，则x r＝________.【分析】直接根据向量运算法则得到答案. 【详解】由已知得3224()()()0x a x a x a b +--=++-r r r r r r r r ，所以340x a b +-=r r r r ，所以43x b a =-r r r.故答案为：43b a -r r.3．化简下列各式：①13693()a b a b -⎛⎫++ ⎪⎝⎭r r r r ； ②()11133222228a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦r r r r r r ；③()(25433)7a b c a b c a -+-+--r r r r r r r.【分析】直接利用向量的线性运算法则计算得到答案. 【详解】①1369183939)3(a b a b a b a b a ⎛⎫++=+--= ⎪⎝⎭-r r r r r r r r r ；②()1113133322202228224a b a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+=+--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦rr r r r r r r r r r ；③254337108239(3)()7a b c a b c a a b c a b c a b c -+-+=-+-+--=---r r r r r r r r r r r r r r r r .4．已知点P 为ABC 内一点，230PA PB PC ++=ru u u v u u u v u u u v ，则△APB ，△APC ，△BPC 的面积之比为（） A ．9:4:1 B ．1:4:9 C ．1:2:3 D ．3:2:1【分析】先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比【详解】解：Q 230PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，∴2()PA PC PB PC +=-+u u u r u u u r u u u u r u u u r ，如图：Q 2PA PC PD PF +==u u u r u u u r u u u r u u u r ，2PB PC PE PG +==u u u r u u u r u u u r u u u r∴2PF PG =-u u u r u u u r，F ∴、P 、G 三点共线，且2PF PG =，GF 为三角形ABC 的中位线 ∴112212212APC BPCPC h S h PF S h PG PC h ∆∆⨯⨯====⨯⨯而12APB ABC S S ∆∆=APB ∴∆，APC ∆，BPC ∆的面积之比等于3:2:1故选：D ．5．如图，已知ABC ∆中，D 为AB 的中点，13AE AC =u u u v u u u v ，若DE AB BC λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+=（）A ．56-B ．16-C ．16D ．56【分析】利用向量的线性运算将DE u u u r 用,AB AC u u ur u u u r 表示，由此即可得到,λμ的值，从而可求λμ+的值.【详解】因为1123DE DA AE BA AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()111111236363BA BC BA BA BC AB BC =+-=+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以16λ=-，13μ=.故16λμ+=. 故选：C.6．已知点O 是ABC ∆内部一点，并且满足230OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v，BOC ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，则12S S =______.【分析】将230OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v 化为()2OA OC OB OC +=-+u u u v u u u v u u u v u u u v ，再构造向量()12OA OC +u u u v u u u v 和()12OB OC +u u uv u u u v ，得出比例关系，最后求解12.S S【详解】因为230OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v，所以()2OA OC OB OC +=-+u u u v u u u v u u u v u u u v ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，则2OA OC OD +=u u u v u u u v u u u v ，2OB OC OE +=u u u v u u u v u u u v. 所以2OD OE =-u u u v u u u v ，即O ，D ，E 三点共线且2ODOE =u u u v u u u v .如图所示，则13OBC DBC S S ∆∆=，由于D 为AC 中点，所以12DBC ABC S S ∆∆=，所以16OBC ABC S S ∆∆=. 故答案为：167．已知点P 是ABC V 所在平面内的一点，若1142AP AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则APC APB S S =△△__________．【分析】设F 为AB 的中点，D 为AF 的中点，E 为AC 的中点，由1142AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r 得到PF PC =-u u u r u u u r ，再进一步分析即得解. 【详解】如图，设F 为AB 的中点，D 为AF 的中点，E 为AC 的中点，因为1142AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以可得()()1142AP AP PB AP PC =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，整理得20PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r .又2PA PB PF +=u u u r u u u r u u u r ，所以PF PC =-u u u r u u u r ，所以APC APF S S =△△，又12APF APB S S =△△，所以12APC APB S S =△△．故答案为12题型五、向量与四心结合考查问题1．已知O 为ABC V 所在平面内的一点，且满足OA OB CO +=u u u r u u u r u u u r ，则OBC V 的面积与ABC ∆的面积的比值为（）A ．13B ．12C ．23D ．34【分析】根据题意，可得O 为ABC ∆内部一点，取BC 中点D ，连接并延长OD 至E ，使DE OD = 于是四边形BOCE 是平行四边形，由条件和共线向量定理，即可得到AD 为中线，同理延长BO 交AC 于F ，则F 也为中点，即可得到O 是重心．【详解】解：由OA OB CO +=u u u r u u u r u u u r 得0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，故O 在△内部，如图，取BC 中点D ，连接OD 并延长至E ，使得DE OD =，则四边形BOCE 为平行四边形．则OB OC OE +=u u u r u u u r u u u r ，又因为OB OC AO +=u u u r u u u r u u u r ，所以A 、O 、E 三点共线且||||2||AO OE OD ==u u u r u u u r u u u r ，即O 为ABC ∆的重心．所以13OBC ABC S OD S AD ∆∆==，故选：A ．2．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，若AB AC AB AC AB AC λ⎛⎫ ⎪+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()0,λ∈+∞，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．锐角三角形【分析】设AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，利用向量加法的平行四边形法则以及向量共线定理可得点P 在BC 边上的中线，也在A ∠的平分线上，结合三角形的性质即可得出选项.【详解】设AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则根据平行四边形法则知点P 在BC 边上的中线所在的直线上. 设AB AE AB =u u u r u u u r u u u r ，AC AF AC=u u u r u u u r u u u r ，它们都是单位向量，由平行四边形法则，知点P 也在A ∠的平分线上，所以△ABC —定是等腰三角形. 故选：B3．△OAB 中，OA --→=a →，OB --→=b →，OP --→=p r ，若p r =()a b ta b+r r r r ，t ∈R ，则点P 在（） A ．∠AOB 平分线所在直线上B ．线段AB 中垂线上C ．AB 边所在直线上D ．AB 边的中线上【分析】注意a ar r 与b b r r 都是单位向量，从而a ar r b b +v v 是与AOB ∠的平分线共线的向量，故可判断P 的位置．【详解】如图，a OD a =v u u u v v ，b OE b=v u u u v v ，OF OE OD =+u u u v u u u v u u u v ，则1OD OE ==u u u v u u u v ，故四边形ODFE 为菱形，OF 是AOB ∠的平分线，因OP tOF =u u u r u u u r ，所以P 在角平分线上．4．平面内ABC ∆及一点O 满足,||||||||AO AB AO AC CO CA CO CB AB AC CA CB ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g u u u r u u u r u u u r u u u r ，则点O 是ABC ∆的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心利用表达式，转化推出O 所在的位置，得到结果即可．【详解】解：平面内ABC ∆及一点O 满足||||AO AB AO AC AB AC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r ，可得()0||||AB AC AO AB AC -=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g ，所以O 在CAB ∠的平分线上， ||||CO CA CO CB CA CB =u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r ，可得：()0||||CA CB CO CA CB -=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g ，所以O 在ACB ∠的平分线上，则点O 是ABC ∆的内心．故选：C ．5．已知O 是平面上一个定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(),(0)sin sin AB AC OP OA AB B AC Cλλ=++>u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【分析】根据(),(0)sin sin AB AC OP OA AB B AC Cλλ=++>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 可得()sin sin AB AC AP AB B AC C λ=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而()AP AB AC hλ=+u u u r u u u r u u u r ，其中sin sin h AB B AC C ==u u u r u u u r ，从而可判断点P 的轨迹通过ABC ∆的重心.【详解】因为(),(0)sin sin AB AC OP OA AB B AC Cλλ=++>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故()sin sin AB AC AP AB B AC C λ=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，设ABC ∆边上的高为h ，则sin sin h AB B AC C ==u u u r u u u r ，所以()AP AB AC h λ=+u u u r u u u r u u u r . 取BC 的中点为D ，则2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，所以2AP AD hλ=u u u r u u u r ，故P 的轨迹为射线AD （除点A ），故P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，故选：C.6．已知G 为ABC ∆的重心，且AG x AB yBC =+u u u r u u u r u u u r ，则x 、y 的值分别为（）A ．13、13 B ．23、23 C ．13、23 D ．23、13【分析】由于G 为ABC ∆的重心，则()111121333333AG AB AC AB AB BC AB BC =+=++=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，因此，23x =，13y =. 故选：D.7．点O 为ABC V 所在的平面内，给出下列关系式：①0OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v； ② 0AB A OA AB C AC ⎛⎫ ⎪⋅= ⎪⎝-⎭u u u v u u u u u u v u u u v v u u u v 0BC BA OB BC BA ⎛⎫ ⎪⋅-= ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 0③()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v . 则点O 依次为ABC V 的（）A ．内心、重心、垂心B ．重心、内心、垂心C ．重心、内心、外心D ．外心、垂心、重心【分析】逐条判断。

高考数学一轮总复习-平面向量的概念、线性运算及坐标运算-知识点梳理

平面向量的概念、线性运算及坐标运算【考纲要求】1．了解向量的实际背景；理解平面向量的概念及向量相等的含义；理解向量的几何表示.2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；了解向量线性运算的性质及其几何意义.3．了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：平面向量的概念与线性运算401193知识要点】考点一、向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段AB 表示，其中A 为起点，B 为终点. 向量AB 的长度|AB |又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行. 平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等.4. 与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量. 要点诠释：①有向线段的起、终点决定向量的方向，AB 与BA 表示不同方向的向量；平面向量平面向量的概念平面向量的坐标表示平面向量的基本定理平面向量的线性运算②有向线段的长度决定向量的大小，用|AB |表示，|AB ||BA |=.③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关. 考点二、向量的加法、减法 1．向量加法的平行四边形法则平行四边形ABCD 中（如图），向量AD 与AB 的和为AC ,记作:AD AB AC +=.（起点相同） 2．向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有:AB DC =，即在ΔADC 中，AD DC AC +=. 首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 规定:零向量与向量AB 的和等于AB . 3. 向量的减法向量AB 与向量BA 叫做相反向量.记作:AB BA =-. 则AB CD AB DC -=+. 要点诠释：①关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用.②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”. 要点三、实数与向量的积 1．定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ，它的长与方向规定如下：（1）||||||λ=λ⋅a a ；（2）当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，0λ=a ；2．运算律设λ，μ为实数，则（1）()()λμ=λμa a ；（2）()λ+μ=λ+μa a a ；（3）()λ+=λ+λa b a b3．向量共线的充要条件已知向量a 、b 是两个非零共线向量，即//a b ，则a 与b 的方向相同或相反. 向量(0)≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a . 要点诠释：①向量数乘的特殊情况：当0λ=时，0λ=a ；当0=a 时，也有0λ=a ；实数和向量可以求积，但是不能求和、求差.②平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基地的向量是不共线的向量. 考点四、平面向量的坐标运算 1．平面向量的坐标表示选取直角坐标系的x 轴、y 轴上的单位向量i ，j 为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量a 表示成x y =+a i j 的形式，由于a 与数对（x,y ）是一一对应的，因此把（x,y ）叫做向量a 的坐标表示. 2．平面向量的坐标运算已知11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则（1）1212(x x ,y y )±=±±a b （2）11(x ,y )λ=λλa 3．平行向量的坐标表示已知11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则1221//x y x y 0⇔-=a b （0→≠b ）要点诠释：①若11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则//a b 的充要条件不能表示成1122x y x y =，因为22x ,y 有可能等于0，所以应表示为1221x y x y 0-=；同时//a b 的充要条件也不能错记为1122x y x y 0-=，1212x x y y 0-=等.②若11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则//a b 的充要条件是=λb a ，这与1221x y x y 0-=在本质上是没有差异的，只是形式上不同. 【典型例题】类型一、平面向量的相关概念例1. 下列说法中正确的是① 非零向量a 与非零向量b 共线，向量b 与非零向量c 共线，则向量a 与向量c 共线； ② 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③ 向量a 与b 不共线，则a 与b 所在直线的夹角为锐角；④ 零向量模为0，没有方向；⑤ 始点相同的两个非零向量不平行； ⑥ 两个向量相等，它们的长度就相等；⑦ 若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。

高中平面向量的概念及其线性运算知识点+例题

辅导讲义――平面向量的概念及其线性运算加法求两个向量和的运算（1）交换律：a ＋b ＝b ＋a . （2）结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ). 减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算（1）|λa |＝|λ||a |；（2）当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb[例1] 若OB OA OC =-23，则AB AC ____=.31[巩固] 在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若15e BC =，23e DC =，则.________=OC )35(2121e e +[例2] 如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则._______=-DB AFBE[巩固1] 设M 是△ABC 的重心，记a BC =，b CA =，c AB =，且0=++c b a ，则._______=AM)(31b c -[巩固2] 已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连接AM 、AG 、CD ，则._______)(21=++BC BD AB AG[例3] 如图，向量a AB =，，b AC =，c CD =，则向量，BD 可以表示为_____________. c a b +-精典例题透析[巩固] 如图，在△ABC 中，已知DC BC 3=，则)(=AD CA ．AC AB 3132+ B ．AC AB 3132- C ．AC AB 3231+D ．AC AB 3231-[例4] 在△ABC 中，O 为外心，P 是平面内点，且满足OP OC OB OA =++，则P 是△ABC 的_________.（填外心，内心，重心或垂心）垂心[巩固] 已知点P 是△ABC 内一点，且BP BC BA 6=+，则._______=∆∆ACP ABP S S 41[例5]已知向量)4,3(=a ，若5=a λ，则实数λ的值为________. 1±[巩固1] 已知a 与b 满足：3=a ，2=b ，4=+b a ，则.________=-b a 10[巩固2] 设a 与b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使0=+bb aa 成立的是_________.AA ．b a 31-= B ．b a // C ．b a 2= D ．b a ⊥共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 知识模块3平面向量的共线定理精典例题透析③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ， ∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故“|a |＝|b |且a ∥b ”不是“a ＝b ”的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈． (4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．[巩固]下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与CD →向量共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．答案 ⑤解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； ③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b ＝0，则a 与c 不一定平行；⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．题型二：平面向量的线性运算[例]（1）如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA → D.12AB →－23AD → （2）在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13c D.13b ＋23c 答案 (1)D (2)A[巩固]（1）如图，在正六边形ABCDEF 中，EF CD BA ++等于( )A ．0 B. BE C. ADD. CF（2）(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 (1)D (2)12题型三共线定理的应用[例]设两个非零向量a 与b 不共线，（1）若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线；（2）试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )， ∴＝＋＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5. ∴、共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． (2)解 ∵k a ＋b 和a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.[巩固]如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD 等于( ) A.23AB －13AC B.13AB ＋23AC C.23AB ＋13AC D.13AB －23AC (2)已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA －4OB ＋3OC ＝0，则BCAB等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 (1)C (2)A解析 (1)由平面向量的三角形法则，得＝＋.①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一方向相同； ②三角形ABC 中，必有AB ＋BC ＋CA ＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．其中假命题的序号为________．答案 ①③④解析 ①若a 与b 长度相等，方向相反，则a ＋b ＝0；③A ，B ，C 三点可能在一条直线上；④|a |＋|b |≥|a ＋b |. 6．设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OB ＝－2OC ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．答案 12解析设D 为AC 的中点，连接OD ，则＋＝2. 又＋＝－2，所以＝－，即O 为BD 的中点，从而容易得△AOB 与△AOC 的面积之比为12.7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.答案 23解析由图知＝＋，① ＝＋，② 且＋2＝0.①＋②×2得：3＝＋2， ∴＝13＋23，∴λ＝23.8．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？解 ∵d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．9.如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE ＝23AD ，AB ＝a ，AC ＝b .（1）用a 、b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF ；（2）求证：B ，E ，F 三点共线．(1)解延长AD 到G ，使＝12，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以＝a ＋b ，＝12＝12(a ＋b )，＝23＝13(a ＋b )，＝12＝12b ，＝－＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )．＝－＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明由(1)可知＝23，又因为，有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．1.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 答案 D解析连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且＝12＝12a ，所以＝＋＝b ＋12a .2．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则B 的大小为( ) A ．45° B ．60° C ．30° D ．15°答案 B解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴＋＋＝0，＝－(＋)，将其代入sin A ·＋sin B ·＋sin C ·＝0，得(sin B －sin A )＋(sin C －sin A )＝0. 又，不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C . 根据正弦定理知b ＝a ＝c ，∴三角形ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.故选B.3.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．能力提升训练。

高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)平面向量的概念及其线性运算理北师大版

第一节平面向量的概念及其线性运算【考纲下载】1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb(1)向量共线的判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线，即b＝λa(a≠0)⇒a∥b.(2)向量共线的性质定理：若b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa，即a∥b(a≠0)⇒b＝λa.1．两向量共线与平行是两个不同的概念吗？两向量共线是指两向量的方向一致吗？提示：方向相同或相反的一组非零向量，叫做平行向量，又叫共线向量．显然两向量平行或共线，其方向可能相同，也可能相反．2．两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同？提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上．3．λ＝0与a ＝0时，λa 的值是否相等？提示：相等，且均为0.4．当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立吗？提示：成立．1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量解析：选C 若a 与b 都是零向量，则a ＝b ，故选项C 正确． 2．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( ) A ．共线 B ．不共线 C ．共线且同向 D ．不一定共线解析：选D 可举特例，当n ＝0时，满足m ∥n ，n ∥k ，故A 、B 、C 选项都不正确，故D 正确．3．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD uuu v等于( )A ．－BC uuu v ＋12BA u u u vB ．－BC uuu v －12BA u u u vC ．BC uuu v －12BA u u u vD ．BC uuu v ＋12BA u u u v解析：选A如图，由于D 是AB 的中点，所以CD uuu v ＝CB u u u v ＋BD u u u v ＝CB u u u v ＋12BA u u u v ＝－BC uuu v ＋12BA u u u v4．(教材习题改编)化简OP uuu v －QP uuu v ＋MS u u u v －MQ u u u u v的结果为________．解析：OP uuu v －QP uuu v ＋MS u u u v －MQ u u u u v ＝(OP uuu v ＋PQ uuu v )＋(MS u u u v －MQ u u u u v )＝OQ uuu v ＋QS u u u v ＝OS u u uv . 答案：OS u u u v5．已知a 与－b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ的值为________．解析：∵a ＋λb 与－(b －3a )共线，∴存在实数μ，使a ＋λb ＝μ(3a －b )，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3μ，λ＝－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ＝13，λ＝－13.答案：－13考点一向量的概念[例1] 给出下列四个命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若AB u u u v ＝DC u u uv ，则四边形ABCD 为平行四边形；③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[自主解答] ①不正确．|a |＝|b |但a ，b 的方向不确定，故a ，b 不一定相等；②不正确．因为AB u u u v ＝DC u u uv ，A ，B ，C ，D 可能在同一直线上，所以ABCD 不一定是四边形；③不正确．两向量不能比较大小；④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．[答案] D 【方法规律】解决向量的概念问题应关注五点(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(5)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量.下列说法中错误的是( )A ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B ．若向量a 和b 不共线，则a 和b 都是非零向量C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等解析：选C 选项A 中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项B 中零向量与任意向量共线，故a ，b 都是非零向量，故正确；选项C 中是共线向量，故错误；选项D 中既然方向相反就一定不相等，故正确．高频考点考点二平面向量的线性运算1．平面向量的线性运算是每年高考的重点，题型多为选择题和填空题，难度较小，属中低档题．2．高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下几个命题角度： (1)考查向量加法或减法的几何意义； (2)求已知向量的和；(3)与三角形联系，求参数的值；(4)与平行四边形联系，研究向量的关系．[例2] (1)(2012·辽宁高考)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b(2)(2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF 中，BA u u u v ＋CD uuu v ＋EF u u u v＝( )A ．0B ．BE u u u vC ．AD u u u vD ．CF uuu v第(2)题图第(3)题图(3)(2013·四川高考)如图在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB u u u v ＋AD u u u v＝λAO u u u v，则λ＝ ________.(4)(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DEu u u v ＝λ1 AB u u u v＋λ2 AC u u u v (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[自主解答] (1)法一：(代数法)将原式平方得|a ＋b |2＝|a －b |2，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝a2－2a ·b ＋b 2，∴a ·b ＝0，∴a⊥b .法二：(几何法)如图所示：在▱ABCD 中，设AB u u u v ＝a ，AD u u u v ＝b ，∴AC u u u v ＝a ＋b ，DB u u u v＝a －b ，∵|a ＋b |＝|a －b |，∴平行四边形两条对角线长度相等，即平行四边形ABCD 为矩形，∴a ⊥b .(2)因六边形ABCDEF 是正六边形，故BA u u u v ＋CD uuu v ＋EF u u u v ＝DE u u u v ＋CD uuu v ＋EF u u u v ＝CE u u u v ＋EF u u u v＝CF uuu v .(3)由平行四边形法则，有AB u u u v ＋AD u u u v ＝AC u u u v ＝AO u u u v ，已知AB u u u v ＋AD u u u v ＝λAO u u u v，所以λ＝2.(4) DE u u u v ＝DB u u u v ＋BE u u u v ＝12AB u u u v ＋23BC uuu v ＝12AB u u u v ＋23(AC u u u v －AB u u u v )＝－16AB u u uv ＋23AC u u u v ，∵DE u u u v ＝λ1AB u u u v ＋λ2AC u u u v ，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.[答案] (1)B (2)D (3)2 (4)12平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合平行四边形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)与三角形联系，求参数的值．求出向量的和或与已知条件中的和式比较，然后求参数． (4)与平行四边形联系，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．1．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F ，若AC u u u v ＝a ，BD u u u v ＝b ，则AF u u u v等于( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b解析：选B 如图，AF u u u v ＝AD u u u v ＋DF u u u v ，由题意知，DE ∶BE ＝1∶3＝DF ∶AB ，故DF u u u v ＝13AB u u u v ，则AF u u u v ＝12a ＋12b ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －12b ＝23a ＋13b .2．若O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2 OA u u u v ＋OB uuu v ＋OC u u u v ＝0，那么( )A ．AO u u u v ＝OD u u u vB ．AO u u u v ＝2OD u u u vC ．AO u u u v ＝3OD u u u v D ．2AO u u u v ＝OD u u u v解析：选A 因为D 是BC 边的中点，所以有OB uuu v ＋OC u u u v ＝2OD u u u v ，所以2OA u u u v ＋OB uuu v ＋OC u u u v＝2OA u u u v ＋2OD u u u v ＝2(OA u u u v ＋OD u u u v )＝0⇒OA u u u v ＋OD u u u v ＝0⇒AO u u u v ＝OD u u u v .3．(2014·萍乡模拟)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC uuu v ＝3CD uuu v ，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO u u u v ＝x AB u u u v＋(1－x ) AC u u u v ，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析：选D 设CO uuu v ＝y BC uuu v ，∵AO u u u v ＝AC u u u v ＋CO uuu v ＝AC u u u v ＋y BC uuu v ＝AC u u u v ＋y (AC u u u v －AB u u u v )＝－y AB u u u v ＋(1＋y ) AC u u u v ，∵BC uuu v ＝3CD uuu v ，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO u u u v ＝x AB u u u v ＋(1－x )AC u u u v ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.考点三共线向量定理的应用[例3] 设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB u u u v＝e 1－e 2，BC uuu v ＝3e 1＋2e 2，CD uuu v ＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB u u u v ＝e 1＋e 2，BC uuu v ＝2e 1－3e 2，AF u u u v＝3e 1－k e 2，且A ，C ，F 三点共线，求k 的值．[自主解答] (1)证明：AB u u u v ＝e 1－e 2，BC uuu v ＝3e 1＋2e 2，∴AC u u u v ＝AB u u u v ＋BC uuuv ＝4e 1＋e 2，又CD uuu v ＝－8e 1－2e 2，∴CD uuu v ＝－2AC u u u v ，∴AC u u u v 与CD uuu v共线．又∵AC u u u v 与CD uuu v有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线．(2)∵AB u u u v ＝e 1＋e 2，BC uuu v ＝2e 1－3e 2，∴AC u u u v ＝AB u u u v ＋BC uuuv ＝3e 1－2e 2.∵A ，C ，F 三点共线，∴AC u u u v ∥AF u u u v ，从而存在实数λ，使得AC u u u v ＝λAF u u u v.∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2，又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，－2＝－λk ，因此k ＝2.∴实数k 的值为2.【互动探究】在本例条件下，试确定实数k ，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线．解：∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，即k e 1＋e 2＝λe 1＋λk e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1.【方法规律】1．共线向量定理的应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB u u u v＝λAC u u u v ，则A 、B 、C 三点共线．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？解：∵a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，且a 与b 起点相同．∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝23λ，t ＝13λ，解得λ＝32，t ＝12，即t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上．———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1个规律——向量加法规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即12A A u u u u v ＋23A A u u u u v ＋34A A u u u u v ＋…＋1n n A A -u u u u u u v ＝1n A A u u u u v.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2个结论——向量的中线公式及三角形的重心 (1)向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP uuu v ＝12(OA u u u v ＋OB uuu v)．(2)三角形的重心已知平面内不共线的三点A 、B 、C ，PG u u u v ＝13(PA u u u v ＋PB u u u v ＋PC uuuv )⇔G 是△ABC 的重心．特别地，PA u u u v ＋PB u u u v ＋PC uuu v＝0⇔P 为△ABC 的重心．3个等价转化——与三点共线有关的等价转化A ，P ，B 三点共线⇔AP u u u v ＝λAB u u u v(λ≠0)⇔ OP uuu v ＝(1－t ) OA u u u v ＋t OB uuu v (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔ OP uuu v ＝x OA u u u v ＋y OB uuu v(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．4个注意点——向量线性运算应注意的问题(1)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；(2)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个； (3)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；(4)利用向量平行证明直线平行，必须说明这两条直线不重合.易误警示(六)平面向量的线性运算中的易误点[典例] (2013·广东高考)设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μ c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解题指导] 利用三角形法则和平行四边形法则逐项作出判断．[解析] 对于①，因为a 与b 给定，所以a －b 一定存在，可表示为c ，即c ＝a －b ，故a ＝b ＋c 成立，①正确；对于②，因为b 与c 不共线，由平面向量基本定理可知②正确；对于③，由题意必有λb 和μc 表示不共线且长度不定的向量，由于μ为正数，故λb ＋μc 不能把任意向量a 表示出来，故③错误；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必有|λb |＋|μc |＝λ＋μ≥|a |，故④错误，因此正确的个数为2.[答案] B[名师点评] 1.本题若对向量加法的几何意义理解有误或作图不准，易误认为③也是正确的，从而错选C.2．进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解．下列命题中正确的是( )A ．向量a ，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b ＝λaB ．在△ABC 中，AB u u u v ＋BC uuuv ＋CA u u u v ＝0C ．不等式||a |－|a ＋b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中两个等号不可能同时成立D ．向量a ，b 不共线，则向量a ＋b 与向量a －b 必不共线解析：选D 若a ＝0，b ≠0，此时a ，b 共线，但对任意实数λ都不满足b ＝λa ，故选项A 不正确；AB u u u v ＋BC uuuv ＋CA u u u v ＝0而不是0，故选项B 不正确；当a ，b 中至少有一个为0时，两个等号同时成立，故选项C 不正确；因为向量a 与b 不共线，所以a ，b ，a ＋b 与a －b 均为非零向量．若a ＋b 与a －b 共线，则存在实数λ，使a ＋b ＝λ(a －b )，即(λ－1)a ＝(1＋λ)b ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝0，1＋λ＝0，方程组无解，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不共线，故选D.[全盘巩固]1．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b|b|成立的充分条件是( ) A ．|a |＝|b |且a ∥b B ．a ＝－b C ．a ∥b D ．a ＝2b解析：选D ∵a |a |表示与a 同向的单位向量，∴a 与b 必须方向相同才能满足a |a|＝b|b|.2.已知如图所示的向量中，AP u u u v ＝43AB u u u v，用OA u u u v ，OB uuu v 表示OP uuu v ，则OP uuu v 等于( )A.13OA u u uv －43OB uuu v B.13OA u u uv ＋43OB uuu v C ．－13OA u u u v ＋43OB uuu v D ．－13OA u u uv －43OB uuu v解析：选C OP uuu v ＝OA u u u v ＋AP u u u v ＝OA u u u v ＋43AB u u u v ＝OA u u u v ＋43(OB uuu v －OA u u u v )＝－13OA u u uv ＋43OB uuu v .3．已知△ABC 和点M 满足MA u u u v ＋MB u u u v ＋MC u u uu v ＝0.若存在实数m 使得AB u u u r ＋AC u u u r ＝m AM u u u u r 成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 由MA u u u v ＋MB u u u v ＋MC u u uu v ＝0，易得M 是△ABC 的重心，且重心M 分中线AE 的比为AM ∶ME ＝2∶1，∴AB u u u r ＋AC u u u r ＝2AE u u u r ＝m AM u u u u r ＝2m 3AE u u u r ，∴2m3＝2，故m ＝3.4．已知向量a ，b ，且AB u u u v＝a ＋2b ，BC uuu v ＝－5a ＋6b ，CD uuu v ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D 解析：选A AD u u u v ＝AB u u u v ＋BC uuu v ＋CD uuu v ＝3a ＋6b ＝3AB u u u v .因为AB u u u v 与AD u u u v有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线． 5．设O 在△ABC 的内部，且有OA u u u v ＋2OB uuu v ＋3OC u u u v＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3 B.53 C ．2 D.32解析：选A 设AC ，BC 的中点分别为M ，N ，则已知条件可化为(OA u u u v ＋OC u u u v )＋2(OB uuu v ＋OC u u u v)＝0，即2OM u u u u v ＋4ON u u u v ＝0，所以OM u u u u v ＝－2ON u u u v，说明M ，O ，N 三点共线，则O 为中位线MN上靠近N 点一个三等分点，S △AOC ＝23S △ANC ＝23×12S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABCS △AOC＝3.6. (2014·景德镇模拟)已知：如图，|OA u u u v |＝|OB uuu v |＝1，OA u u u v 与OB uuu v 的夹角为120°，OC u u u v与OA u u u v 的夹角为30°，若OC u u u v ＝λOA u u u v ＋μOB uuu v (λ、μ∈R )，则λμ等于 ( )A.32B.233C.12D ．2 解析：选D 过C 作OB 的平行线交OA 的延长线于D .由题意可知，∠COD ＝30°， ∠OCD ＝90°，∴OD ＝2CD ，又∵OD u u u v ＝λOA u u u v ，DC u u u v ＝μOB uuu v ，∴λ|OA u u u v |＝2μ|OB uuu v|，即λ＝2μ，故λμ＝2.7．在▱ABCD 中，AB u u u v ＝a ，AD u u u v＝b ，AN u u u v ＝3NC u u u v ，M 为BC 的中点，则MN u u u u v ＝________________(用a ，b 表示)．解析：由AN u u u v ＝3NC u u u v ，得4AN u u u v ＝3AC u u u v ＝3(a ＋b )，AM u u u u v ＝a ＋12b ，所以MN u u u u v ＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b8．若|AB u u u v|＝8，|AC u u u v |＝5，则|BC uuu v |的取值范围是________．解析：因为BC uuu v ＝AC u u u v －AB u u u v ，当AB u u u v ，AC u u u v 同向时，|BC uuu v |＝8－5＝3；当AB u u u v ，AC u u uv 反向时，|BC uuu v |＝8＋5＝13；当AB u u u v ，AC u u uv 不共线时，3<|BC uuu v |<13.综上可知3≤|BC uuu v |≤13.答案：[3,13]9．(2014·太原模拟)如图，△ABC 中，GA u u u v ＋GB uuu v ＋GC u u u v ＝0，CA u u u v ＝a ，CB u u u v ＝b .若CP u u u v ＝m a ，CQ uuu v＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG u u u v ＝2CH u u u v ，则1m ＋1n＝________.解析：由GA u u u v ＋GB uuu v ＋GC u u u v ＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D ，则CH u u u v ＝12CG u u u v ＝13CD uuu v ＝16(CA u u u v ＋CB uu u v )＝16m CP u u u v ＋16n CQ uuu v ，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n＝1，则1m ＋1n＝6.答案：6 10.如图，在梯形ABCD 中，|AB u u u v |＝2|DC u u u v |，M ，N 分别是DC ，AB 的中点．若AB u u u v ＝e 1，AD u u u v＝e 2，用e 1，e 2表示DC u u u v ，BC uuu v ，MN u u u u v.解：DC u u u v ＝12AB u u u v ＝e 12；BC uuu v ＝BA u u u v ＋AC u u u v ＝－AB u u u v ＋AC u u u v ＝AD u u u v ＋DC u u u v －AB u u u v ＝AD u u u v －12AB u u u v ＝e 2－12e 1； MN u u u u v ＝MD u u u u v ＋DA u u u v ＋AN u u u v ＝－14AB u u uv －AD u u u v ＋12AB u u u v ＝14AB u u u v －AD u u u v ＝14e 1－e 2.11．已知a ，b 不共线，OA u u u v ＝a ，OB uuu v ＝b ，OC u u u v ＝c ，OD u u u v ＝d ，OE uuu v＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值；若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD uuu v＝d －c ＝2b －3a ，CE u u u v ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE u u u v ＝k CD uuu v，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．12．已知P 为△ABC 内一点，且3 AP u u u v ＋4 BP u u u v ＋5CP u u u v ＝0，延长AP 交BC 于点D ，若AB u u u v＝a ，AC u u u v ＝b ，用a 、b 表示向量AP u u u v ，AD u u u v .解：∵BP u u u v ＝AP u u u v －AB u u u v ＝AP u u u v －a ，CP u u u v ＝AP u u u v －AC u u u v ＝AP u u u v－b ，又3AP u u u v ＋4 BP u u u v ＋5CP u u u v ＝0，∴3AP u u u v ＋4(AP u u u v －a )＋5(AP u u u v －b )＝0，∴AP u u u v ＝13a ＋512b .设AD u u u v ＝t AP u u u v (t ∈R )，则AD u u u v ＝13t a ＋512t b .①又设BD uuu v ＝k BC uuu v (k ∈R )，由BC uuu v ＝AC u u u v －AB u u u v＝b －a ，得BD uuu v ＝k (b －a )．而AD u u u v ＝AB u u u v ＋BD uuu v ＝a ＋BD uuu v .∴AD u u u v＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b .②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧13t ＝1－k ，512t ＝k ，解得t ＝43.代入①得AD u u u v ＝49a ＋59b .∴AP u u u v ＝13a ＋512b ，AD u u u v ＝49a ＋59b .[冲击名校]1．如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB u u u v ＝a ，AC u u u v ＝b ，AF u u u v＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 解析：选C 令BF uuu v ＝λBE u u u v ，则AF u u u v ＝AB u u u v ＋BF uuu v ＝AB u u u v ＋λBE u u u v ＝AB u u uv ＋λ1()2AB AC -u u uv u u u v ＝(1－λ) AB u u u v ＋12λAC u u u v ；令CF uuu v ＝μCD uuu v ，则AF u u u v ＝AC u u u v ＋CF uuu v ＝AC u u u v ＋μCD uuu v ＝AC u u u v ＋μ1()2AB AC -u u u v u u u v ＝12μAB u u u v ＋(1－μ) AC u u u v .由对应系数相等可得- 11 - ⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝23，μ＝23，所以AF u u u v ＝13AB u u u v ＋13AC u u u v . 2．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若13A A u u u u v ＝λ12A A u u u u v (λ∈R )，14A A u u u u v ＝μ12A A u u u u v (μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2·已知点C (c,0)，D (d,0)(c ，d ∈R )调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析：选D 根据已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，从而得c ＝λ.(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d ＝μ.根据1λ＋1μ＝2，得1c ＋1d ＝2.线段AB 的方程是y ＝0，x ∈[0,1]．若C 是线段AB 的中点，则c ＝12，代入1c ＋1d＝2得，1d＝0，此等式不可能成立，故选项A 的说法不正确；同理选项B 的说法也不正确；若C ，D 同时在线段AB 上，则0<c ≤1,0<d ≤1，此时1c ≥1，1d ≥1，1c ＋1d≥2，若等号成立，则只能c ＝d ＝1，根据定义，C ，D 是两个不同的点，矛盾，故选项C 的说法也不正确；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，即c >1，d >1，则1c ＋1d<2，与1c ＋1d ＝2矛盾，若c <0，d <0，则1c ＋1d 是负值，与1c ＋1d ＝2矛盾，若c >1，d <0，则1c <1，1d <0，此时1c ＋1d <1，与1c ＋1d＝2矛盾，故选项D 的说法是正确的．。

最新高考数学一轮复习知识点归纳与总结：平面向量的概念及其线性运算优秀名师资料

2016高考数学一轮复习知识点归纳与总结：平面向量的概念及其线性运算2016届高考一轮复习知识点归纳与总结第一节平面向量的概念及其线性运算[备考方向要明了]考什么怎么考 1.了解向量的实际背景(1.主要考查平面向量的有关2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义(概念及线性运算、共线向量3.理解向量的几何表示(定理的理解和应用，如20124.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义(年浙江T5，辽宁T3等( 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含2.考查题型为选择题或填空义( 题.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.[归纳?知识整合]1(向量的有关概念名称定义向量既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模) 零向量长度为零的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0 单位向量长度等于1个单位的向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫共线向量(规定:0平行向量与任一向量平行2016届高考一轮复习知识点归纳与总结相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量[探究] 1.两向量共线与平行是两个不同的概念吗,两向量共线是指两向量的方向一致吗,提示:方向相同或相反的一组非零向量～叫做平行向量～又叫共线向量～是同一个概念(显然两向量平行或共线～其方向可能相同～也可能相反( 2(两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同,提示:平行向量也叫共线向量～这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同～两向量平行时～两向量可以在同一条直线上(2(向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律(1)交换律:a，b,b求两个向量和的运，a 加法算 (2)结合律:(a，b)，c,a，(b，c)求a与b的相反向减法量,b的和的运算a,b,a，(,b)叫做a与b的差(1)|λa|,|λ||a|λ(μ a),(λμ) a 求实数λ与向量a(2)当λ,0时，λa与a的方向相同; 数乘 (λ，μ)a,λa，μ a的积的运算当λ,0时，λa与a的方向相反;λ(a，b),λa，λ b当λ,0时，λa,0[探究] 3.λ,0与a,0时，λa的值是否相等,提示:相等～且均为0.4(若|a，b|,|a,b|，你能给出以a，b为邻边的平行四边形的形状吗,提示:如图～说明平行四边形的两条对角线长度相等～故四边形是矩形(3(共线向量定理向量a(a?0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b,λ a.[探究] 5.当两个非零向量a，b共线时，一定有b,λa，反之成立吗,提示:成立(2016届高考一轮复习知识点归纳与总结[自测?牛刀小试] 1(下列说法中正确的是( )A(只有方向相同或相反的向量是平行向量B(零向量的长度为零C(长度相等的两个向量是相等向量D(共线向量是在一条直线上的向量解析:选B 由于零向量与任意向量平行～故选项A错误,长度相等且方向相同的两个向量是相等向量～故C错误,方向相同或相反的两个非零向量是共线向量～故D错误(,,,,2.(教材习题改编)D是?ABC的边AB上的中点，则向量等于( ) CD,,,,,,,,,,,,,,,,11A(,， B(,, BCBCBABA22,,,,,,,,,,,,,,,,11C(, D(， BCBCBABA22,,,,,,,,,,,,,,,,解析:选A 如图～由于D是AB的中点～所以,，,CDCBCBBD ,,,,,,,,,,,,11，,,，. BCBABA223(如图，e，e为互相垂直的单位向量，则向量a,b可表示为( ) 12A(3e,e 21B(,2e,4e 12C(e,3e 12D(3e,e 12解析:选C 连接a，b的终点，并指向a的终点的向量是a,b.,,,,,,,,,,,,AC5ACBC4((教材习题改编)点C在线段AB上，且,，则,________，,ABCB2,,,,________. AB,,,,,,,,,,,,,,,,AC552ACBC解析:如图～?,～?,～,,. ABABCB27752答案: , 77,,,,,,,,,,,,,,,,,OPMS5((教材习题改编)化简,，,的结果为______( QPMQ ,,,,,,,,,,,,,,,,,OPMS解析:,，, QPMQ,,,,,,,,,,,,,,,,,OPMS,(，)，(,) PQMQ,,,,,,,,,,,,OS,，,. OQQS,,,,OS答案:2016届高考一轮复习知识点归纳与总结向量的概念[例1] 给出下列命题:?若|a|,|b|，则a,b;,,,,,,,,?若A，B，C，D是不共线的四点，则,是四边形ABCD为平行四边形的充DCAB 要条件;?若a,b，b,c，则a,c;?a,b的充要条件是|a|,|b|且a?b;?若a?b，b?c，则a?c.其中正确命题的序号是( )A(?? B(??C(?? D(??[自主解答] ?不正确～长度相等～但方向不同的向量不是相等向量(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,?正确(?,DC～?||,|DC|且?DC～又A～B～C～D是不共线的四ABABAB,,,,,,,,点～?四边形ABCD为平行四边形,反之～若四边形ABCD为平行四边形～则?DC且AB,,,,,,,,,,,,,,,,|DCDC|,||～因此～,. ABAB?正确(?a,b～?a～b的长度相等且方向相同,又b,c～?b～c的长度相等且方向相同～?a～c的长度相等且方向相同～故a,c.?不正确(当a,,b时～也有|a|,|b|且a?b～故|a|,|b|且a?b不是a,b的充要条件～而是必要不充分条件(?不正确(未考虑b,0这种特殊情况(综上所述～正确命题的序号是??.[答案] A———————————————————解决平面向量概念辨析题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如，共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制;相等向量的核心是方向相同且长度相等;单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度;零向量的核心是方向没有限制，长度是0;规定零向量与任意向量共线(只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题(2016届高考一轮复习知识点归纳与总结1(设a为单位向量，?若a为平面内的某个向量，则a,|a|a;?若a与a平行，则000a,|a|a;?若a与a平行且|a|,1，则a,a.上述命题中，假命题的个数是( ) 000 A(0 B(1C(2 D(3解析:选D 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a的模相同，但方向不一定相同，0故?是假命题;若a与a平行，则a与a的方向有两种情况:一是同向，二是反向，反向00时a,,|a|a，故??也是假命题(综上所述，假命题的个数是3. 0向量的线性运算[例2] 在?ABC中，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1(1)若D是AB边上一点，且,2，,，λ，则λ,( ) CDCACBADDB321A. B. 3312C(, D(, 33,,,,,,,,,,,,(2)若O是?ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OAOBOC，，,0，那么( ),,,,,,,,,,,,,,,,AOODAOODA(, B(,2,,,,,,,,,,,,,,,,AOODAOODC(,3 D(2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,12CDCACBCDCDCA[自主解答] (1)法一:由,2得,,2(,)～即,，ADDB33,,,,2CB～所以λ,. 3,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2212CDCACACACBCACACB法二:因为,，,，,，(,),，～所以ADAB33332. λ,3,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,OBOCODOAOBOCOA(2)因为D是BC边的中点～所以有，,2～所以2，，,2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ODOAODOAODAOOD，2,2(，),0?，,0?,.[答案] (1)A (2)A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ACACAC在本例条件下，若|AB|,||,|AB,|,2，则|AB，|为何值,,,,,,,,,,,,,,,,,ACAC解:?|AB|,||,|AB,|～2016届高考一轮复习知识点归纳与总结 ??ABC为正三角形(,,,,,,,,?|，|,23. ACAB———————————————————平面向量线性运算的一般规律 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理( (2)在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解(12(如图，在?OAB中，延长BA到C，使AC,BA，在OB上取点D，使DB,OB.设3 ,,,,,,,,,,,,,,,,,a，,b，用a，b表示向量，. OAOBOCDC,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解:OC,OB，BC,OB，2,OB，2(OA,OB) BA,,,,,,,,,2OAOB,,2a,b.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2DCOCODOCOB,,,, 32,(2a,b),b 35,2a,b. 3共线向量定理的应用[例3] 设两个非零向量a与b不共线，,,,,,,,,,,,,BCCD(1)若,a，b，,2a，8b，,3(a,b)，求证:A、B、D三点共线( AB(2)试确定实数k，使ka，b和a，kb共线(,,,,,,,,BC[自主解答] (1)?,a，b～,2a，8b～ AB,,,,CD,3(a,b)～,,,,,,,,,,,,BCCD?BD,，,2a，8b，3(a,b)～2016届高考一轮复习知识点归纳与总结,,,,,2a，8b，3a,3b,5(a，b),5. AB,,,,,,,,?、共线～又?它们有公共点B～ ABBD?A、B、D三点共线((2)?ka，b与a，kb共线～?存在实数λ～使ka，b,λ(a，kb)～即ka，b,λa，λkb.?(k,λ)a,(λk,1)b.?a、b是不共线的两个非零向量～2?k,λ,λk,1,0～?k,1,0～?k,?1.———————————————————1(共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值( (2)若a，b不共线，则λa，μb,0的充要条件是λ,μ,0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛(2(证明三点共线的方法,,,,,,,,若,λ，则A、B、C三点共线( ACAB,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3(已知a，b不共线，OAOBOCODOE,a，,b，,c，,d，,e，设t?R，如果3a,c,2b,d，e,t(a，b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上,若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由(,,,,,,,,CDCE解:由题设知～,d,c,2b,3a～,e,c,(t,3)a，tb～C～D～E三点在一条,,,,,,,,CECD直线上的充要条件是存在实数k～使得,k～即(t,3)a，tb,,3ka，2kb～整理得(t,3，3k)a,(2k,t)b.,t,3，3k,0～,,因为a～b不共线～所以有 t,2k,0～,,6解之得t,. 56故存在实数t,使C～D～E三点在一条直线上( 51个规律——向量加法规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,AAAAAAAAAA向量，即，，，…，,.特别地，一个封闭图形首尾连接而成122334nn,11n2016届高考一轮复习知识点归纳与总结的向量和为零向量(2个结论——向量的中线公式及三角形的重心(1)向量的中线公式,,,,,,,,,,,,1若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则,(，)( OPOAOB2(2)三角形的重心,,,,,,,,,,,,,,,,1已知平面内不共线的三点A、B、C，,(，，)?G是?ABC的重心，PGPCPAPB3,,,,,,,,,,,,特别地，，，,0?P为?ABC的重心( PCPAPB3个等价转化——与三点共线有关的等价转化,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A，P，B三点共线?,λ (λ?0)? ,(1,t)?，t (O为平面内异于OPOAOBAPAB ,,,,,,,,,,,,A，P，B的任一点，t?R)? ,x，y (O为平面内异于A，P，B的任一点，xOPOAOB?R，y?R，x，y,1)(4个注意点——向量线性运算应注意的问题(1)用平行四边形法则进行向量加法和减法运算时，需将向量平移至共起点;(2)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点;(3)在向量共线的重要条件中要注意“a?0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个;(4)要注意向量共线与三点共线的区别与联系.创新交汇——以平面向量为背景的新定义问题1(从近几年新课标省份的高考可以看出，高考以新定义的形式考查向量的概念及线性运算的频率较大，且常与平面几何、解析几何、充要条件等知识交汇，具有考查形式灵活，题材新颖，解法多样等特点(2(解决此类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题难点的关键所在( ,,,,,AA[典例] (2011?山东高考)设A，A，A，A是平面直角坐标系中两两不同的四点，若123413,,,,,,,,,,,,,,,11AAAAAA,λ(λ?R)，,μ (μ?R)，且，,2，则称A，A调和分割A，A已知点3412?121412λμC(c,0)，D(d,0)(c，d?R)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是( ) A(C可能是线段AB的中点B(D可能是线段AB的中点C(C，D可能同时在线段AB上2016届高考一轮复习知识点归纳与总结D(C，D不可能同时在线段AB的延长线上[解析] 根据已知得(c,0),(0,0),λ[(1,0),(0,0)]～即(c,0),λ(1,0)～从而得c,λ,(d,0),1111(0,0),μ[(1,0),(0,0)]～即(d,0),μ(1,0)～得d,μ.根据，,2～得，,2.线段AB的方程是λμcd1111y,0～x?[0,1](若C是线段AB的中点～则c,～代入，,2得～,0～此等式不可能2cdd成立～故选项A的说法不正确,同理选项B的说法也不正确,若C～D同时在线段AB上～1111则0<c?1,0<d?1～此时?1～?1～，?2～若等号成立～则只能c,d,1～根据定义～cdcdC～D是两个不同的点～故矛盾～故选项C的说法也不正确,若C～D同时在线段AB的延11111111长线上～若c>1～d>1～则，<2～与，,2矛盾～若c<0～d<0～则，是负值～与，,cdcdcdcd1111112矛盾～若c>1～d<0～则<1～<0～此时，<1～与，,2矛盾,故选项D的说法是正cdcdcd确的([答案] D[名师点评]1(本题具有以下创新点(1)命题背景新颖:本题为新定义题目，用新定义考查考生阅读能力与知识迁移能力((2)考查知识新颖:本题把坐标系、向量、点与线段的位置关系通过新定义有机结合在一起，能较好地考查学生的阅读理解能力和解决问题的能力( 2(解决本题的关键有以下两点11解决本题的关键是抓住两条:一是A，A，A，A四点共线;二是，,2，同时应用1234λμ排除法([变式训练]1(定义平面向量之间的一种运算“?”如下:对任意的a,(m，n)，b,(p，q)，令a?b,mq,np，下面说法错误的是( )A(若a与b共线，则a?b,0B(a?b,b?aC(对任意的λ?R，有(λa)?b,λ(a?b)2222D((a?b)，(a?b),|a||b|解析:选B 若a与b共线～则有mq,np,0～故A正确,因为b?a,pn,qm～而a?b,mq,np～所以有a?b?b?a～故B错误,因为λa,(λm～λn)～所以(λa)?b,λmq,λnp.2222又λ(a?b),λ(mq,np),(λa)?b～故C正确,因为(a?b)，(a?b),(mq,np)，(mp，nq),222222(m，n)(p，q),|a||b|～故D正确( 2016届高考一轮复习知识点归纳与总结,,,,22(已知点A、B、C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则关于x的方程xOA,,,,,,,,，x，,0的解集为( ) OBACA(? B({,1} ,,,1,5,1，5,,C. D({,1,0} ，,,22,,,,,,,,,,,,2解析:选A 由条件可知～x，x不能和共线～即使x,0时～也不满足条OAOBAC件～所以满足条件的x不存在(一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1.如图，已知,a，,b，,3，用a，b表示，ACDCABBDAD,,,,则,( ) AD313A(a，b B.a，b 4441131C.a，b D.a，b 4444,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解析:选B ?CB,,AC,a,b～又,3DC～ ABBD,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,11113?CD,CB,(a,b)～?,AC，CD,b，(a,b),a，b.AD44444,,,,,,,,,,,,2(设P是?ABC所在平面内的一点，BC，,2，则( ) BABP,,,,,,,,,,,,,,,,PCA(，,0 B(，,0 PAPBPA,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,PCPCC(，,0 D(，，,0 PBPAPB,,,,,,,,,,,,BC解析:选B 如图～根据向量加法的几何意义～，,2?PBABP,,,,,,,,PC是AC的中点～故，,0. PAab3(已知向量p,，，其中a、b均为非零向量，则|p|的取值范围是|a||b| ( )A([0，2] B([0,1] C((0,2] D([0,2]ab解析:选D 与均为单位向量，当它们同向时，|p|取得最值2，当它们反向时，|p||a||b|取得最小值0.故|p|?[0,2](,,,,,,,,,,,,,,,,DCAC4(已知四边形ABCD中，,AB，||,|BD|，则这个四边形的形状是( ) A(平行四边形 B(矩形C(等腰梯形 D(菱形2016届高考一轮复习知识点归纳与总结,,,,,,,,,,,,解析:选B 由,可知AB綊CD～所以四边形ABCD为平行四边形(由||DCACAB ,,,,,||知对角线相等～所以平行四边形ABCD为矩形( BD5((2013?保定模拟)如图所示，已知点G是?ABC的重心，过G作直线与AB，AC 两边,,,,,,,,,,,,,,,,,x?y分别交于M，N两点，且,x，,y，则的值为( ) ANACAMAByx，1A(3 B. 31C(2 D. 2x?y1解析:选B (特例法)利用等边三角形～过重心作平行于底面BC的直线～易得,. x，y3,,,,,,,,,,,,,,,,6(设D、E、F分别是?ABC的三边BC、CA、AB上的点，且,2，,2，DCCEBDEA,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2，则，，与 ( ) CFBCAFFBADBEA(反向平行 B(同向平行C(互相垂直 D(既不平行也不垂直,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1解析:选A 由题意得,，,，～ BCADABBDAB3,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1,，,，AC～ BEBAAEBA3,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1CFCBCB,，,，～ BFBA3,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1CFCBBCAC因此，，,，(，,) ADBEAB3,,,,,,,,,,,,21CBBCBC,，,,～ 33,,,,,,,,,,,,,,,,CFBC故，，与反向平行( ADBE二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ANNCMN7(在?ABCD中，,a，,b，,3，M为BC的中点，则,________(用ABAD a，b表示)(,,,,,,,,,,,,,,,,ANNCANAC解析:由,3得4,3,3(a，b)～,,,,,1,a，b～ AM2,,,,,3111,,MN所以,(a，b),a，b,,a，b. ,,424411答案:,a，b 448(设a，b是两个不共线的非零向量，若8a，kb与ka，2b共线，则实数k,________. 解析:因为8a，kb与ka，2b共线～所以存在实数λ～使8a，kb,λ(ka，2b)～即(8,λk)a2016届高考一轮复习知识点归纳与总结,8,λk,0～,,，(k,2λ)b,0.又a～b是两个不共线的非零向量～故解得k,?4. k,2λ,0～,,答案:?4,,,,,,,,,,,,,9((2013?淮阴模拟)已知?ABC和点M满足，，,0.若存在实数m 使得MCMAMB,,,,,,,,,,,,,，,m成立，则m,________. ACABAM,,,,,2解析:由题目条件可知～M为?ABC的重心～连接AM并延长交BC于D～则,AM3,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,～因为AD为中线～则，,2,3～所以m,3. ACADABADAM 答案:3三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分),,,,,,,,,,,,10(已知P为? ABC内一点，且3，4，5,0，延长AP交BC于点D，若CPAPBP,,,,,,,,,,,,,,,,,a，,b，用a、b表示向量，. ACABAPAD,,,,,,,,,,,,,,,,解:?,,,,a～ BPAPABAP,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b～ CPACAPAP,,,,,,,,,,,,又3，4，5CP,0. APBP,,,,,,,,,,,,,,,,15?3，4(,a)，5(,b),0～?,a，b. APAPAPAP312,,,,,,,,设,t (t?R)～ ADAP,,,,15则,ta，tb.? AD312,,,,,,,,BC又设,k (k?R)～ BD,,,,,,,,,,,,,,,,BCAC由,,,b,a～得,k(b,a)( ABBD,,,,,,,,,,,,,,,,而,，,a，. ADABBDBD,,,,?,a，k(b,a),(1,k)a，kb? AD1t,1,k～,34由??得解得t,. ,35 t,k～,12,,,,45代入?得,a，b. AD99,,,,,,,,1545?,a，b～,a，b. APAD3129911(设两个非零向量e和e不共线( 12,,,,,,,,,,,,BCCD(1)如果AB,e,e，,3e，2e，,,8e,2e， 1212122016届高考一轮复习知识点归纳与总结求证:A、C、D三点共线; ,,,,,,,,,,,,(2)如果,e，e，,2e,3e，,2e,ke，且A、C、D三点共线，求kBCCDAB121212 的值(,,,,,,,,解:(1)证明:?,e,e～,3e，2e～ BCAB1212,,,,,,8e,2e～ CD12,,,,,,,,,,,,?,，,4e，e ACBCAB12,,,,11,,(,8e,2e),,～ CD1222,,,,,,,,?与共线( ACCD,,,,,,,,又?与有公共点C～?A、C、D三点共线( ACCD,,,,,,,,,,,,(2) ,，,(e，e)，(2e,3e),3e,2e～ ACBCAB121212 ,,,,,,,,,,,,,,,,?A、C、D三点共线～?与共线～从而存在实数λ使得,λ～即3eACCDACCD1,3,2λ～,,,2e,λ(2e,ke)～得 212 ,2,,λk～,,34解得λ,～k,. 23,,,,,,,,,,,,12(设点O在?ABC内部，且有4OA，OB，OC,0，求?ABC的面积与?OBC的面积之比(解:取BC的中点D～连接OD～,,,,,,,,,,,,OBOCOD则，,2～,,,,,,,,,,,,,,,,OAOBOCOD又4,,(，),,2～,,,,,,,,1OAOD即,,～ 2,,,,,,,,ODOA?O、A、D三点共线～且||,2||～?O是中线AD上靠近A点的一个三等分点～ ?S?S,3?2. ??ABCOBC,,,,,,,,,,,,,,,,PC1(已知?ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，，,，则PAPBAB 点P与?ABC的关系为( )A(P在?ABC内部B(P在?ABC外部C(P在AB边所在直线上2016届高考一轮复习知识点归纳与总结 D(P是AC边的一个三等分点,,,,,,,,,,,,,,,,解析:选D ?，，,～ PCPAPBAB,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,?，，,,～?,,2,2～ PCPCPAPBPBPAPAAP?P 是AC边的一个三等分点(2(平面向量a，b共线的充要条件是( )A(a，b方向相同B(a，b两向量中至少有一个为0C(存在λ?R，使b,λ aD(存在不全为零的实数λ，λ，使λa，λb,0 1212解析:选D a～b共线时～a～b方向相同或相反～故A错(a～b共线时～a～b不一定是零向量～故B错(当b,λa时～a～b一定共线～若b?0～a,0～则b,λa不成立～故C错(排除A、B、C.,,,,,,,,3(?ABC中，点D在边AB上，CD平分?ACB.设,a，,b，|a|,1，|b|,2，CBCA,,,,则等于( ) CD1221A.a，b B.a，b 33333443C.a，b D.a，b 5555解析:选B ?CD平分?ACB～ACAD?,. BCBD,,,,,,,,CBCA又?,a～,b～|a|,1～|b|,2～AD2?,. BD1,,,,,,,,,,,,,,,,1CDCB?,，,a， BDBA3,,,,,,,,1CACB,a，(,) 3121,a，(b,a),a，b. 3334.如图所示，在五边形ABCDE中，点M、N、P、Q分别是AB、CD、,,,,,,,,1BC、DE的中点，K和L分别是MN和PQ的中点，求证:,. KLAE4 ,,,,,,,,,,,,OLOK证明:任取一点O～,,. KL?K、L为MN、PQ的中点(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,11OKOMONOLOP?,(，)～,(，)( OQ222016届高考一轮复习知识点归纳与总结又?M～N～P～Q分别为AB～CD～BC～DE中点～ ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,11?,(，)～,(，)～ OMOAOBONOCOD22 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,11,(，)～,(，)( OPOBOCODOEOQ22,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1?,,,[,(，)，(，)] OLOKOMONOPKLOQ2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1,[,(，，，)，(，，，)] OAOBOCODOBOCODOE4,,,,,,,,,,,,11,(,，),. OAOEAE44。

高考数学(理)总复习讲义：平面向量的概念及其线性运算

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念2．向量的线性运算平行四边形法则向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.,向量概念的4点注意(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．比如：命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ”是假命题，因为当b 为零向量时，a ，c 可为任意向量，两者不一定平行．(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．向量线性运算的3点提醒(1)两个向量的和仍然是一个向量．(2)利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点．(3)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用．共线向量定理的深解读定理中限定了a ≠0，这是因为如果a ＝0，则λa ＝0， (1)当b ≠0时，定理中的λ不存在； (2)当b ＝0时，定理中的λ不唯一．因此限定a ≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．[熟记常用结论]1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2―→＋A 2A 3―→＋A 3A 4―→＋…＋A n －1A n ―→＝A 1A n ―→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2.在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为△ABC 的重心，则有如下结论：(1) GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0； (2) AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→)；(3) GD ―→＝12(GB ―→＋GC ―→)＝16(AB ―→＋AC ―→)．3．若OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 4．对于任意两个向量a ，b ，都有：①||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |；②|a ＋b |2＋|a －b |2＝2(|a |2＋|b |2)．当a ，b 不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( )(3)若向量AB ―→与向量CD ―→是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、选填题1.如图，设P ，Q 两点把线段AB 三等分，则下列向量表达式错误的是( )A ．AP ―→＝13AB ―→B.AQ ―→＝23AB ―→C ．BP ―→＝－23AB ―→D ．AQ ―→＝BP ―→解析：选D 由数乘向量的定义可以得到A 、B 、C 都是正确的，只有D 错误． 2．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( ) A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→解析：选A 由题意得AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13AC ―→－13AB ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→. 3．在四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→，且|AB ―→|＝|BC ―→|，那么四边形ABCD 为( ) A ．平行四边形 B.菱形 C ．长方形D ．正方形解析：选B 因为AB ―→＝DC ―→，所以四边形ABCD 为平行四边形．又|AB ―→|＝|BC ―→|，所以四边形ABCD 为菱形，故选B.4．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则图中与OC ―→相等的向量有________________．答案：AB ―→，ED ―→，FO ―→5．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝________. 解析：|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝|AB ―→＋BC ―→＋CD ―→|＝|AD ―→|＝2. 答案：2考点一平面向量的有关概念[基础自学过关][题组练透]1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0 B.1 C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 2．给出下列命题： (1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；(3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(4)两向量a ，b 相等的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________．解析：(1)不正确．两个向量的模相等，但它们的方向不一定相同，因此由|a |＝|b |推不出a ＝b .(2)正确．若AB ―→＝DC ―→，则|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→. 又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB 綊DC 且AB ―→与DC ―→方向相同，因此AB ―→＝DC ―→. (3)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同． ∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同． ∴a ，c 的长度相等且方向相同，∴a ＝c .(4)不正确．当a ∥b ，但方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |，a ∥b 不是a ＝b 的充要条件．答案：(2)(3) 3．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( ) A ．0 B.1 C ．2D ．3解析：选D ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.[名师微点]向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．考点二向量的线性运算[全析考法过关][考法全析]考法(一) 向量的线性运算[例1] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝( )A.34AB ―→－14AC ―→B.14AB ―→－34AC ―→C.34AB ―→＋14AC ―→ D ．14AB ―→＋34AC ―→(2)在四边形ABCD 中，BC ―→＝AD ―→，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，则( )A ．AF ―→＝13AC ―→＋23BD ―→B.AF ―→＝23AC ―→＋13BD ―→C ．AF ―→＝14AC ―→＋23BD ―→D ．AF ―→＝23AC ―→＋14BD ―→[解析] (1)作出示意图如图所示．EB ―→＝ED ―→＋DB ―→＝12AD ―→＋12CB ―→＝12×12(AB ―→＋AC ―→)＋12(AB ―→－AC ―→)＝34AB ―→－14AC ―→. (2)在四边形ABCD 中，因为BC ―→＝AD ―→，所以四边形ABCD 为平行四边形，如图所示．由已知得DE ―→＝13EB ―→，由题意知△DEF ∽△BEA ，则DF ―→＝13AB ―→，所以CF ―→＝23CD ―→＝23(OD ―→－OC ―→)＝23×BD ―→－AC ―→2＝BD ―→－AC ―→3，所以AF ―→＝AC ―→＋CF ―→＝AC ―→＋BD ―→－AC ―→3＝23AC ―→＋13BD ―→.[答案] (1)A (2)B考法(二) 根据向量线性运算求参数[例2] 在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO ―→＝λAB ―→＋μBC ―→，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( )A ．1 B.12 C.13D ．23[解析] 由题意易得AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋13BC ―→，则2AO ―→＝AB ―→＋13BC ―→，即AO ―→＝12AB ―→＋16BC ―→.故λ＋μ＝12＋16＝23.[答案] D[规律探求]1．在△ABC 中，AB ―→＝c ，AC ―→＝b ，若点D 满足BD ―→＝2DC ―→，则AD ―→等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D ．13b ＋23c解析：选A ∵BD ―→＝2DC ―→，∴AD ―→－AB ―→＝BD ―→＝2DC ―→＝2(AC ―→－AD ―→)， ∴3AD ―→＝2AC ―→＋AB ―→， ∴AD ―→＝23AC ―→＋13AB ―→＝23b ＋13c .2.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ―→＝14AB ―→，BE ―→＝2EC ―→，且AE ―→＝r AB―→＋s AD ―→，则2r ＋3s ＝( )A ．1 B.2 C ．3D ．4 解析：选C 根据图形，由题意可得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(BA ―→＋AD―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23(AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23⎝⎛⎭⎫AD ―→＋14 AB ―→ ＝12AB ―→＋23AD ―→. 因为AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.考点三共线向量定理的应用[师生共研过关][典例精析]设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解] (1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB ―→， ∴AB ―→，BD ―→共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b . 又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1. [变式发散]1．(变条件)若将本例(1)中“BC ―→＝2a ＋8b ”改为“BC ―→＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？解：BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使BD ―→＝λAB ―→，即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝λ，m －3＝λ，解得m ＝7. 故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．2．(变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？解：因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ＜0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，kλ＝1，所以k ＝±1.又λ＜0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时，两向量反向共线．[解题技法]利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A ，B ，C 三点共线⇔AB ―→，AC―→共线．(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.[过关训练]1．在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ―→＝12NC ―→，P 是BN 上一点，若AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值是________．解析：因为AN ―→＝12NC ―→，所以AN ―→＝13AC ―→，所以AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋23AN ―→，因为P 是BN 上一点，所以B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13.答案：132．设两个非零向量a 与b 不共线，若a 与b 的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，则实数t 的值为________．解析：∵a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在同一条直线上，且a 与b 的起点相同，∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝ λ⎝⎛⎭⎫23a －13b ，∴⎩⎨⎧1＝23λ，t ＝13λ，解得λ＝32，t ＝12.答案：12[课时跟踪检测]一、题点全面练1．已知O ，A ，B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC ―→＋CB ―→＝0，则OC ―→＝( )A ．2OA ―→－OB ―→B.－OA ―→＋2OB ―→C.23OA ―→－13OB ―→ D ．－13OA ―→＋23OB ―→解析：选A 依题意，得OC ―→＝OB ―→＋BC ―→＝OB ―→＋2AC ―→＝OB ―→＋2(OC ―→－OA ―→)，所以OC―→＝2OA ―→－OB ―→，故选A.2．(2019·石家庄质检)在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD ―→＝12DA ―→，设CB ―→＝a ，CA―→＝b ，则CD ―→＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13b C.35a ＋45b D ．45a ＋35b解析：选B ∵BD ―→＝12DA ―→，∴BD ―→＝13BA ―→，∴CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＝CB ―→＋13BA ―→＝CB ―→＋13(CA ―→－CB ―→)＝23CB ―→＋13CA ―→＝23a ＋13b ，故选B. 3．(2018·大同一模)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则向量BF ―→＝( )A.13a ＋23bB.－13a －23bC ．－13a ＋23bD ．13a －23b解析：选C 如图，因为点E 为CD 的中点，CD ∥AB ，所以BFEF ＝ABEC ＝2，所以BF ―→＝23BE ―→＝23(BC ―→＋CE ―→)＝23⎝⎛⎭⎫b －12a ＝－13a ＋23b ，故选C. 4．(2019·丹东五校协作体联考)P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝2AB ―→，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2 B.3 C ．4D ．8解析：选A ∵PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝2AB ―→＝2(PB ―→－PA ―→)，∴3PA ―→＝PB ―→－PC ―→＝CB ―→，∴PA ―→∥CB ―→，且方向相同，∴S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB ―→||PA ―→|＝3，∴S △PAB ＝S △ABC3＝2.5．(2018·安庆二模)在△ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则λ＋μ＝( )A.12B.－12C ．2D ．－2解析：选B 如图，因为点D 在边BC 上，所以存在t ∈R ，使得BD ―→＝t BC ―→＝t (AC ―→－AB ―→)．因为M 是线段AD 的中点，所以BM ―→＝12(BA ―→＋BD ―→)＝12(－AB ―→＋t AC ―→－t AB ―→)＝－12(t＋1)·AB ―→＋12t AC ―→.又BM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，所以λ＝－12(t ＋1)，μ＝12t ，所以λ＋μ＝－12.故选B.6．已知O 为△ABC 内一点，且2AO ―→＝OB ―→＋OC ―→，AD ―→＝t AC ―→，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为________．解析：设线段BC 的中点为M ，则OB ―→＋OC ―→＝2OM ―→. 因为2AO ―→＝OB ―→＋OC ―→，所以AO ―→＝OM ―→，则AO ―→＝12AM ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)＝14⎝⎛⎭⎫AB ―→＋1t AD ―→＝14AB ―→＋14t AD ―→.由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.答案：137．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD ―→＝14AC ―→＋λAB ―→(λ∈R)，则AD 的长为________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ―→＝14AC ―→，AM ―→＝34AB ―→，∵在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，∴四边形ANDM 为菱形，∵AB ＝4，∴AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.答案：3 38．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，则x 的取值范围是________．解析：设CO ―→＝y BC ―→，∵AO ―→＝AC ―→＋CO ―→＝AC ―→＋y BC ―→＝AC ―→＋y (AC ―→－AB ―→)＝－y AB ―→＋(1＋y )AC ―→.∵BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13，∵AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→， ∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 答案：⎝⎛⎭⎫－13，09.在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，试用a ，b 表示AD ―→，AG ―→.解：AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12a ＋12b .AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋23BE ―→＝AB ―→＋13(BA ―→＋BC ―→)＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b . 10．已知a ，b 不共线，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，OD ―→＝d ，OE ―→＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c ,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ―→＝d －c ＝2b －3a ，CE ―→＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ―→＝k CD ―→，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－b B.a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析：选C 因为向量a|a |的方向与向量a 相同，向量b |b |的方向与向量b 相同，且a |a |＝b |b |，所以向量a 与向量b 方向相同，故可排除选项A 、B 、D.当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b|b |，故a ＝2b 是a |a |＝b |b |成立的充分条件．2．已知O ，A ，B 三点不共线，P 为该平面内一点，且OP ―→＝OA ―→＋AB―→|AB ―→|，则( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段AB 的反向延长线上D ．点P 在射线AB 上解析：选D 由OP ―→＝OA ―→＋AB ―→|AB ―→|，得OP ―→－OA ―→＝AB ―→|AB ―→|，∴AP ―→＝1|AB ―→|·AB ―→，∴点P在射线AB 上，故选D.3．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为( )A ．1 B.－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b .整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.(二)素养专练——学会更学通4．[直观想象]如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的三等分点，AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则AD ―→＝( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD ．12a ＋b解析：选D 连接CD (图略)，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD ―→＝12AB ―→＝12a ，所以AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝b ＋12a .5．[逻辑推理]如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n 是定值，定值为2 D.2m ＋1n是定值，定值为3 解析：选D 因为M ，D ，N 三点共线，所以AD ―→＝λAM ―→＋(1－λ)AN ―→.又AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，所以AD ―→＝λm AB ―→＋(1－λ)n AC ―→.又BD ―→＝12DC ―→，所以AD ―→－AB ―→＝12AC ―→－12AD ―→，所以AD ―→＝13AC ―→＋23AB ―→.比较系数知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n ＝3，故选D.6.[数学建模]在如图所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与x a ＋y b (x ，y 为非零实数)共线，则xy 的值为________．解析：设e 1，e 2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与x a ＋y b 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，所以e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x －2y )e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ(x －y )＝1，λ(x －2y )＝－2，所以⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65. 答案：657．[数学运算]经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP ―→＝m OA ―→，OQ ―→＝n OB ―→，m ，n ∈R ，求1n ＋1m的值．解：设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则OG ―→＝13(a ＋b )，PQ ―→＝OQ ―→－OP ―→＝n b －m a ，PG ―→＝OG ―→－OP ―→＝13(a ＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b . 由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ ―→＝λPG ―→，即n b －m a ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ，则⎩⎨⎧－m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.8．[逻辑推理]已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→ ＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)，即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线．又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)．又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→，即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。

高考数学(文)热点题型和提分秘籍：专题18 平面向量的概念及其线性运算(含答案解析)

1.了解向量的实际背景2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6.了解向量线性运算的性质及其几何意义热点题型一平面向量的有关概念例1、给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b 。

其中真命题的序号是__________。

③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c 。

④不正确．当a ∥b 且方向相反时，要使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③。

【答案】②③【提分秘籍】平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性。

(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量。

(3)a |a |是与a 同向的单位向量，－a|a |是与a 反向的单位向量。

【举一反三】设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0。

上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3。

平面向量的线性运算(解析版)

专题一平面向量的线性运算1．向量的线性运算首尾相接指向终点起点重合指向对顶点起点重合指向被减向量2．多边形法则一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．3．平面向量基本定理定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中，不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}．4．“爪”子定理形式1：在△ABC 中，D 是BC 上的点，如果|BD |＝m ，|DC |＝n ，则AD →＝m m ＋n AC →＋n m ＋n AB →，其中AD →，AB →，AC →知二可求一．特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．形式2：在△ABC 中，D 是BC 上的点，且BD →＝λBC →，则AD →＝λAC →＋(1－λ)AB →，其中AD →，AB →，AC →知二可求一．特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．形式1与形式2中AC →与AB →的系数的记忆可总结为：对面的女孩看过来(歌名，原唱任贤齐) 考点一向量的线性运算C 形式1C形式2【方法总结】利用平面向量的线性运算把一个向量表示为两个基向量的一般方法向量AD →＝f (AB →，AC →)的确定方法(1)在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”子定理完成向量AD →用AB →，AC →的表示．(2)若所给图形比较特殊(正方形、矩形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形等)，则可通过建系将向量坐标化，从而得到AD →＝f (AB →，AC →)与AD →＝g (AB →，AC →)的方程组，再进行求解．【例题选讲】[例1](1)(2015·全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A ．AD →＝－13AB →＋43AC → B ．AD →＝13AB →－43AC →C ．AD →＝43AB →＋13AC → D ．AD →＝43AB →－13AC →答案 A 解析 AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →，故选A ．(2) (2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A ．AD → B ．12AD → C ．BC →D ．12BC →答案 A 解析 EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A ．(3) (2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A ．34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC → C ．34AB →＋14AC → D ．14AB →＋34AC →答案 A 解析 ∵E 是AD 的中点，∴EA →＝－12AD →，∴EB →＝EA →＋AB →＝－12AD →＋AB →，又知D 是BC 的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，因此EB →＝－14(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14AC →．(4)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，点E 在AD 边上，且AD ＝3AE ，则用向量AB →，AC →表示CE →为( )A ．29AB →＋89AC → B ．29AB →－89AC → C ．29AB →＋79AC →D ．29AB →－79AC →答案 B 解析由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CE →＝AE →－AC →＝13AD →－AC →＝13(AB →＋13BC →)－AC →＝13⎣⎡⎦⎤AB →＋13(AC →－AB →)－AC →＝29AB →－89AC →． (5)如图所示，下列结论正确的是( )①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝32a －b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b ．A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④答案 C 解析 ①根据向量的加法法则，得PQ →＝32a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT→＝32a －32b ，故②错误；③PS →＝PQ →＋QS →＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；④PR →＝PQ →＋QR →＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误，故选C ． (6)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于M ，设OA →＝a ，OB →＝b ．则用a和b 表示向量OM →＝___________．答案 OM ＝17a ＋37b 解析设OM ＝m a ＋n b ，则AM ＝OM －OA ＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b ．AD ＝OD －OA ＝12OB －OA ＝－a ＋12b ．又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM 与AD 共线．∴存在实数t ，使得AM ＝t AD ，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎫－a ＋12b ．∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b ．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1．①．又∵CM ＝OM －OC ＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ，CB ＝OB －OC ＝b －14a ＝－14a ＋b ．又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM 与CB 共线．∴存在实数t 1，使得CM ＝t 1CB ，∴⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝⎛⎭⎫－14a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1，②．由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM ＝17a ＋37b ．另解因为A ，M ，D 三点共线，所以OM →＝λ1OD →＋(1－λ1)OA →＝12λ1b ＋(1－λ1)a ，①，因为C ，M ，B三点共线，所以OM →＝λ2OB →＋(1－λ2)OC →＝λ2b ＋(1－λ24)a ，②，由①②可得⎩⎨⎧12λ1＝λ2，1－λ1＝1－λ24，解得⎩⎨⎧λ1＝67，λ2＝37.故OM →＝17a ＋37b ．(7)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A ．14a ＋12bB ．23a ＋13bC ．12a ＋14bD ．13a ＋23b答案 B 解析如图，根据题意，得AB →＝12AC →＋12DB →＝12(a －b )，AD →＝12AC →＋12BD →＝12(a ＋b )．令AF →＝tAE →，则AF →＝t (AB →＋BE →)＝t ⎝⎛⎭⎫AB →＋34 BE → ＝t 2a ＋t 4b ．由AF →＝AD →＋DF →，令DF →＝sDC →，又AD →＝12(a ＋b )，DF →＝s2a －s 2b ，所以AF →＝s ＋12a ＋1－s2b ，所以⎩⎨⎧t 2＝s ＋12，t 4＝1－s2，解方程组得⎩⎨⎧s ＝13，t ＝43，把s 代入即可得到AF →＝23a ＋13b ，故选B ．另解如图，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，DE ∶BE ＝1∶3＝DF ∶AB ，故DF →＝13AB →，则AF →＝12a ＋12b ＋13 (12a －12b )＝23a ＋13b ．(8)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，D E 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝( )A ．25a －45bB ．25a ＋45bC ．－25a ＋45bD ．－25a －45b答案 B 解析如图，过点F 作BC 的平行线交DE 于G ，则G 是DE 的中点，且GF →＝12EC →＝14BC →，∴GF →＝14AD →，易知△AHD ∽△FHG ，从而HF →＝14AH →，∴AH →＝45AF →，AF →＝AD →＋DF →＝b ＋12a ，∴AH →＝45⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＝25a ＋45b ，故选B ．(9)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则BF →＝( )A ．23AB →－13AD → B ．13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD → D ．－13AB →＋23AD →答案 C 解析 BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE →＝－AB →＋12(AD →＋12AB →＋CE →)＝－AB →＋12(AD →＋12AB →＋13CB →)＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →．(10)如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 等于( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b答案 D 解析连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a ．【对点训练】1．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →1．答案 A 解析由2AC →＋CB →＝0得2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0，故OC →＝2OA →－OB →． 2．如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD →等于( )A ．23AB →－13AC → B ．13AB →＋23AC → C ．23AB →＋13AC →D ．13AB →－23AC →2．答案 C 解析由平面向量的三角形法则，得AD →＝AB →＋BD →．又因为点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以AD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，若将b 与c 作为基底，则AD →等于( ) A ．23b ＋13c B ．35c －23b C ．23b －13c D ．13b ＋23c3．答案 A 解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，∴AD →－c ＝2(b －AD →)，∴AD →＝13c ＋23b ．4．如图所示，在△ABC 中，若BC →＝3DC →，则AD →＝( )A ．23AB →＋13AC → B ．23AB →－13AC → C ．13AB →＋23AC →D ．13AB →－23AC →4．答案 C 解析 AD →＝CD →－CA →＝13CB →－CA →＝13(AB →－AC →)＋AC →＝13AB →＋23AC →．故选C ．5．设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA →＋2EB →＋3FC →＝( ) A ．12AD → B ．32AD → C ．12AC → D ．32AC →5．答案 D 解析因为D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，所以DA →＋2EB →＋3FC →＝12(BA →＋CA →)＋2×12(AB →＋CB →)＋3×12×(AC →＋BC →)＝12BA →＋AB →＋CB →＋32BC →＋32AC →＋12CA →＝12AB →＋12BC →＋AC →＝12AC →＋AC →＝32AC →．6．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则EM →＝( ) A ．12AC →＋13AB → B ．12AC →＋16AB → C ．16AC →＋12AB → D ．16AC →＋32AB →6．答案 C 解析如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →．7．在△ABC 中，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ．若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A ．13a ＋13bB ．－13a ＋13bC ．13a －13bD ．－13a －13b7．答案 A 解析 PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b ，故选A ．8．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0．其中正确命题的序号为________．8．答案 ②③④ 解析 BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0．所以正确命题的序号为②③④．9．(多选)在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，AD ，BE ，CF 交于点G ，则( ) A ．EF →＝12CA →－12BC → B ．BE →＝－12BA →＋12BC → C ．AD →＋BE →＝FC → D ．GA →＋GB →＋GC →＝09．答案 CD 解析如图，因为点D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，所以EF →＝12CB →＝－12BC →，故A 不正确；BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CA →＝BC →＋12(CB →＋BA →)＝BC →－12BC →－12AB →＝－12AB →＋12BC →，故B 不正确；FC →＝AC →－AF →＝AD →＋DC →＋F A →＝AD →＋12BC →＋F A →＝AD →＋FE →＋F A →＝AD →＋FB →＋BE →＋F A →＝AD →＋BE →，故C正确；由题意知，点G 为△ABC 的重心，所以AG →＋BG →＋CG →＝23AD →＋23BE →＋23CF →＝23×12(AB →＋AC →)＋23×12(BA→＋BC →)＋23×12(CB →＋CA →)＝0，即GA →＋GB →＋GC →＝0，故D 正确．故选CD ．10．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则用a ，b 表示向量AO →为____________．10．答案 AO →＝13(a ＋b ) 解析由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝⎛⎭⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝⎛⎭⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，①，又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，②，所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a BCA EF G＋k 1b ，即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝⎛⎭⎫12k 2－k 1b ＝0．又a ，b 不共线，所以⎩⎨⎧12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎨⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b ．所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )．另解因为B ，O ，F 三点共线，所以AO →＝λ1AB →＋(1－λ1)AF →＝λ1a ＋12(1－λ1)b ，①，因为D ，O ，C 三点共线，所以AO →＝λ2AC →＋(1－λ2)AD →＝λ2b ＋12(1－λ2)a ，②，由①②可得⎩⎨⎧12(1－λ1)＝λ2，λ1＝1－λ22，解得⎩⎨⎧λ1＝13，λ2＝13.故AO →＝13(a ＋b )．11．如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF 等于( )A ．12AB －13AD B ．14AB ＋12ADC ．13AB ＋12DAD ．12AB －23AD11．答案 D 解析在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →．因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →．因为点F为BC 的一个三等分点，所以CF →＝23CB →．所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D ．12．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝( )A ．12b －aB ．12a －bC ．－12a ＋bD ．12b ＋a12．答案 C 解析 BE →＝BA →＋AD →＋12DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选C ．13．在平行四边形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝____________．(用a ，b 表示)13．答案－14a ＋14b 解析由AN →＝3NC →得，AN →＝34AC →＝34(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b ． 14．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝_________．(用e 1，e 2表示)14．答案－23e 1＋512e 2 解析如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2．15．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝( )A ．25a －45bB ．25a ＋45bC ．－25a ＋45bD ．－25a －45b15．答案 B 解析设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →．而DH →＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ⎝⎛⎭⎫b ＋12a ，DH →＝μDE →＝ μ⎝⎛⎭⎫a －12b ．因此，μ⎝⎛⎭⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝⎛⎭⎫b ＋12a ．由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理，得⎩⎨⎧μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ.解之得λ＝45，μ＝25．故AH →＝λAF →＝λ⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＝25a ＋45b ．16．在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，则BC →＝( )A ．－23AB →＋AD → B ．－23AB →＋43AD →C ．－13AB →＋23AD → D ．－23AB →－AD →16．答案 A 解析因为在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，所以BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋13AB →＝－23AB →＋AD →，故选A ．考点二根据向量线性运算求参数【方法总结】利用平面向量的线性运算求参数的一般方法向量方程AD →＝xAB →＋yAC →中x ，y 的确定方法(1)在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”子定理完成向量的表示，进而确定x ，y ． (2)若所给图形比较特殊(正方形、矩形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形等)，则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于x ，y 的方程组，再进行求解．(3)若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程AD →＝xAB →＋yAC →，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于于x ，y 的方程组，再进行求解．(4)对于求x ＋y 的值的有关问题可考虑平面向量的等和线定理法，见《平面向量特训之满分必杀篇》第一讲平面向量的等和线．【例题选讲】[例1](1)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14答案 A 解析由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13． (2)(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12 解析由题意，得DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12．(3)如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3C ．1m ＋1n 是定值，定值为2D ．2m ＋1n是定值，定值为3答案 D 解析法一：如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ．由AN →＝nAC →可得AC AN ＝1n ，所以AE EM ＝AC CN ＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，所以AM AB ＝n n ＋n －12＝2n 3n －1，因为AM →＝mAB →，所以m ＝2n 3n －1，整理可得2m ＋1n＝3．故选D ．法二：因为M ，D ，N 三点共线，所以AD →＝λAM →＋(1－λ)·AN →．又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，所以AD →＝λmAB →＋(1－λ)·nAC →．又BD →＝12DC →，所以AD →－AB →＝12AC →－12AD →，所以AD →＝13AC →＋23AB →．比较系数知λm ＝23，(1－λ)n＝13，所以2m ＋1n＝3，故选D ． (4)如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．89B ．49C ．83D ．43答案 A 解析 AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋13BD →＝AB →＋13(AD →－AB →)＝23AB →＋13×23AC →＝23AB →＋29AC →．因为AP →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝23，μ＝29，则λ＋μ＝23＋29＝89．(5)已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB ＝60°，设AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．233B ．33C ．3D ．23答案 A 解析如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)，因为∠DAB ＝60°，所以设D 点的坐标为(m ，3m )(m ≠0)．AD →＝(m ，3m )＝λAB →＋μAC →＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m ，且μ＝32m ，所以λμ＝233．(6)如图，在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP →＝m a ＋nb ，则m ＋n ＝________．答案 67 解析根据已知条件得，BQ →＝AQ →－AB →＝12AP →－AB →＝12(m a ＋n b )－a ＝⎝⎛⎭⎫m 2－1a ＋n 2b ，CR →＝BR →－BC →＝12BQ →－AC →＋AB →＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫m 2－1a ＋n 2b －b ＋a ＝⎝⎛⎭⎫m 4＋12a ＋⎝⎛⎭⎫n 4－1b ，∴QP →＝m 2a ＋n 2b ，RQ →＝⎝⎛⎭⎫m 4－12a ＋n 4b ，RP →＝－⎝⎛⎭⎫m 8＋14a ＋⎝⎛⎭⎫12－n 8b ．∵RQ →＋QP →＝RP →，∴⎝⎛⎭⎫3m 4－12a ＋3n 4b ＝⎝⎛⎭⎫－m 8－14a ＋⎝⎛⎭⎫12－n 8b ，∴⎩⎨⎧3m 4－12＝－m 8－14，3n 4＝12－n 8，解得⎩⎨⎧m ＝27，n ＝47，故m ＋n ＝67．(7)如图所示，点P 在矩形ABCD 内，且满足∠DAP ＝30°，若|AD →|＝1，|AB →|＝3，AP →＝mAD →＋nAB →(m ，n ∈R )，则mn等于( )A ．13B ．3C ．33D ．3答案 B 解析如图，过点P 作P E ⊥AB 于点E ，作PF ⊥AD 于点F ，则结合图形及题设得AP →＝AF →＋AE →＝mAD →＋nAB →，所以可得|AF →|＝m ，|PF →|＝|AE →|＝3n ．又∠DAP ＝30°，在Rt △APF 中，t a n ∠F AP ＝t a n 30°＝|PF →||AF →|＝33，则33＝3n m ，化简得m n ＝3．故选B ．优解：如图所示，假设点P 在矩形的对角线BD 上，由题意易知|DB →|＝2，∠ADB ＝60°，又∠DAP ＝30°，所以∠DP A ＝90°．由|AD →|＝1，可得|DP →|＝12＝14|DB →|，从而可得AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14DB →＝AD →＋14(AB →－AD →)＝34AD →＋14AB →．又AP →＝mAD →＋n AB →，所以m ＝34，n ＝14，则m n＝3．故选B ．(8)在平行四边形ABCD 中，点E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝__________．答案 43 解析选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝⎛⎭⎫12λ＋μAB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，即⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23，故λ＋μ＝43．(9)如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C 解析根据图形，由题意可得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BA →＋AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝13AB →＋23⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →＝12AB →＋23AD →．因为AE →＝rAB →＋sAD →，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3，故选C ．优解：如图，建立平面直角坐标系xAy ，依题意可设点B (4m ，0)，D (3m ，3h )，E(4m ，2h )，其中m ＞0，h ＞0．由AE →＝rAB →＋sAD →，得(4m ，2h )＝r (4m ，0)＋s (3m ，3h )，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝4mr ＋3ms 2h ＝3hs ，解得⎩⎨⎧r ＝12，s ＝23.∴2r ＋3s ＝3．(10) (2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°．若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝__________．答案 3 解析以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC →|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC →|sin α＝2×752＝75，即C ⎝⎛⎭⎫15，75．又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin(α＋45°)＝45，则x B＝|OB →|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB →|sin(α＋45°)＝45，即B ⎝⎛⎭⎫－35，45，由OC →＝mOA →＋nOB →，可得⎩⎨⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎨⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3．【对点训练】1．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________．1．答案 23 解析由图知CD →＝CA →＋AD →，①．CD →＝CB →＋BD →，②．且AD →＋2BD →＝0．①＋②×2得：3CD →＝CA →＋2CB →，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23．2．如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝________．2．答案－2 解析由于BD ＝2DC ，则BC →＝－3CD →，其中BC →＝AC →－AB →，CD →＝AD →－AC →，那么BC →＝－ 3CD →可转化为AC →－AB →＝－3(AD →－AC →)，可以得到－2AC →＝－3AD →＋AB →，即AC →＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－32＝－2． 3．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A ．23 B ．43C ．－3D ．03．答案 D 解析 ∵DB →＝AB →－AD →，∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →，∴CD →＝23AB →－23AC →．又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0，故选D ． 4．在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x y＝________．4．答案 3 解析由题设可得AM →＝CM →－CA →＝34CB →＋AC →＝34(AB →－A C →)＋AC →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y＝14．故xy＝3．5．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →．若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝______． 5．答案 12 －16 解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，∴x＝12，y ＝－16．6．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．6．答案 2 解析 ∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n2AN →．∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1．则m ＋n ＝2．7．已知点G 是△ABC 的重心，过G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y的值为( )A ．12B ．13C ．2D ．37．答案 B 解析由已知得M ，G ，N 三点共线，∴AG →＝λAM →＋(1－λ)AN →＝λxAB →＋(1－λ)yAC →．∵ 点G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13·(AB →＋AC →)，∴⎩⎨⎧λx ＝13，(1－λ)y ＝13，即⎩⎨⎧λ＝13x，1－λ＝13y，得13x＋13y ＝1，即1x ＋1y ＝3，通分变形得，x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y ＝13． 8．如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为 ( )A ．－12B ．12C ．－14D ．148．答案 A 解析由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝⎛⎭⎫12CB →＋CA →＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →，则λ＝ 14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12． 9．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．9．答案311 解析设BP →＝kBN →，k ∈R ．因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →) ＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311．10．在△ABC 中，AN →＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．410．答案 B 解析根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n (25AC →－AB →)＝(1－n )AB →＋n 5AC →．又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，m ＝－1. 11．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．111．答案 A 解析设BM →＝tBC →，则AN →＝12AM →＝12(AB →＋BM →)＝12AB →＋12BM →＝12AB →＋t 2BC →＝12AB →＋t 2(AC →－AB →)＝⎝⎛⎭⎫12－t 2AB →＋t 2AC →，∴λ＝12－t 2，μ＝t 2，∴λ＋μ＝12，故选A ． 12．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于( )A ．1B ．12C ．13D ．2312．答案 D 解析 ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，∴2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →．故λ＋μ＝12＋16＝23．13．在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →．延长AD 交BC 于E ，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ－μ的值是________．13．答案－15 解析设AE →＝xAD →，∵AD →＝13AB →＋12AC →，∴AE →＝x 3AB →＋x 2AC →．由于E ，B ，C 三点共线，∴x 3＋x 2＝1，x ＝65．根据平面向量基本定理，得λ＝x 3，μ＝x 2．因此λ－μ＝x 3－x 2＝－x 6＝－15． 14．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．12B ．－12C ．1D ．－114．答案 A 解析由题意得AE →＝AD →＋12AB →＝BC →＋AB →－12AB →＝AC →－12AB →，∴λ＝－12，μ＝1，∴λ＋μ＝12，故选A ．15．如图所示，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝( )A ．43B ．53C ．158D ．215．答案 B 解析因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ (AB →＋12AD →)＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ) AB →＋⎝⎛⎭⎫12λ＋μAD →，且AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B ．16．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )A ．58B ．14C ．1D ．51616．答案 A 解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A ．17．如图，直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且与对角线AC 交于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为______．17．答案 29 解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →．由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →，∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ(52AE →＋2AF →)＝52λAE →＋2λAF →，∵E ，F ，K 三点共线，∴52λ＋2λ＝1，∴λ＝29． 18．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A ．1B ．34C ．23D ．1218．答案 B 解析 ∵E 为线段AO 的中点，∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12×12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，∴λ＋μ＝12＋14＝34．19．一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ，μ∈R )，则52μ－λ＝( )A ．－12B ．1C ．32D ．－319．答案 A 解析 AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →．因为E ，M ，F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，∴52μ－λ＝－12．20．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G ．若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________．20．答案 12解析由题意可设CG →＝xCE →(0<x <1)，则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x ⎝⎛⎭⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →．因为 CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12．21．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA →＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A ．65B ．85C ．2D ．8321．答案 B 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0)．不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，∴CA →＝(－2，2)，CE →＝(－2，1)，DB →＝(1，2)，∵CA →＝λCE →＋μDB →，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85．22．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的值为( )A ．14B ．15C ．45D ．5422．答案 C 解析法一：连接AC (图略)，由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎣⎡⎭⎫λ2＋μ2AC →＝0，得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎣⎡⎭⎫λ2＋μ2 [AD →＋12AB →]＝0，得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD →＝0．又AB →，AD →不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45．法二：因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45．法三：根据题意作出图形如图所示，连接MN 并延长，交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，所以45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →，因为T ，M ，N 三点共线，所以λ＋μ＝45．23．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn的值为( )A ．2B ．52C ．3D ．423．答案 C 解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA →所在直线为x 轴，OB →所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，OA →＝(1，0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m＝3n ，即mn＝3，故选C ．考点三根据向量线性运算求参数的取值范围(最值) 【方法总结】向量线性运算求参数的取值范围(最值)问题的2种求解方法(1)几何法：即临界位置法，结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．(2)代数法：即目标函数法，将参数表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．【例题选讲】[例1](1)已知在△ABC 中，点D 满足2BD →＋CD →＝0，过点D 的直线l 与直线AB ，AC 分别交于点M ，N ，AM →＝λAB →，AN →＝μAC →．若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小值为________．答案3＋223 解析连接AD ．因为2BD →＋CD →＝0，所以BD →＝13BC →，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →．因为D ，M ，N 三点共线，所以存在x ∈R ，使AD →＝xAM →＋(1－x )AN →，则AD →＝xλAB →＋(1－x )μAC →，所以xλAB →＋(1－x )μAC →＝23AB →＋13AC →，所以xλ＝23，(1－x )μ＝13，所以x ＝23λ，1－x ＝13μ，所以23λ＋13μ＝1，所以λ＋μ＝13(λ＋μ)⎝⎛⎭⎫2λ＋1μ＝13⎝⎛⎭⎫3＋2μλ＋λμ≥3＋223，当且仅当λ＝2μ时等号成立，所以λ＋μ的最小值为3＋223．(2)如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．2D ．22答案 C 解析方法一如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r )，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin 60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r ＝1．易得B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，D (0，0)，设M (cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0，2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA→＝(3，3)，BD →＝(3，0)，故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y ,3x )，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎨⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋43≤2．当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2．方法二因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y )2－2xy ]．由题意知，x ≥0，y ≥0，|BM →|的最大值为(23)2－(3)2＝3，又(2x ＋y )24≥2xy ，即－(2x ＋y )24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y )2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号．(3) (2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．22C ．5D ．2答案 A 解析建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2，1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD ．因为CD ＝1，BC ＝2，所以BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，所以P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45．设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0，1)，AD →＝(2，0)．因为AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)，所以μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ．两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3．故选A ．(4)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y 的取值范围是________．答案 [1，3] 解析设扇形的半径为1，以OB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，则B (1,0)，A ⎝⎛⎭⎫12，32，C (cos θ，sin θ)⎝⎛⎭⎫其中∠BOC ＝θ，0≤θ≤π3．则OC →＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝⎛⎭⎫12，32＋y (1,0)，即⎩⎨⎧x2＋y ＝cos θ，32x ＝sin θ，解得x ＝23sin θ3，y ＝cos θ－3sin θ3，故x ＋3y ＝23sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，0≤θ≤π3．令g (θ)＝3cos θ－33sin θ，易知g (θ)＝3cos θ－33sin θ在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递减，故当θ＝0时，g (θ)取得最大值为3，当θ＝π3时，g (θ)取得最小值为1，故x ＋3y 的取值范围为[1,3]．【对点训练】1．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12B ．⎝⎛⎭⎫0，13C ．⎝⎛⎭⎫－12，0D ．⎝⎛⎭⎫－13，0 1．答案 D 解析设CO →＝yBC →，∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →．∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13，∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0． 2．在△ABC 中，点D 满足BD →＝DC →，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则t ＝(λ－1)2＋μ2的最小值是________．2．答案 12 解析因为BD →＝DC →，所以AD →＝12AB →＋12AC →．又AE →＝λAB →＋μAC →，点E 在线段AD 上移动，所以AE →∥AD →，则12λ＝12μ，即λ＝μ⎝⎛⎭⎫0≤λ≤12．所以t ＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝2⎝⎛⎭⎫λ－122＋12．当λ＝12时，t 的最小值是12．3．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为__________．3．答案解析因为点O 是BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)．又因为AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，所以AO →＝m 2AM →＋n 2AN →．又因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，即m ＋n ＝2，所以mn ≤⎝⎛⎭⎫m 2＋n 22＝1，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，故mn 的最大值为14．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________．4．答案 19 解析 ∵△ABC 是锐角三角形，∴O 在△ABC 的内部，∴0<λ<1,0<μ<1．由AO →＝λ(OB →－OA →)＋μ(OC →－OA →)，得(1－λ－μ)AO →＝λOB →＋μOC →，两边平方后得，(1－λ－μ)2AO →2＝(λOB →＋μOC →)2＝λ2OB →2＋μ2OC →2＋2λμOB →·OC →，∵A ＝π3，∴∠BOC ＝2π3，又|AO →|＝|BO →|＝|CO →|．∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ，∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4λμ，设λμ＝t ，∴3t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥1(舍)或t ≤13，即λμ≤13⇒λμ≤19，∴λμ的最大值是19．5．在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则 5λ＋3μ的最大值为______． 5．答案102解析建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵ AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54．点P 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ．∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102，当且仅当x ＝y 时取等号，∴5λ＋3μ的最大值为102．6．平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，∠BAD ＝120°，P 是平行四边形ABCD 内一点，且AP ＝1，若 AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的最大值为________．6．答案 2 解析 |AP →|2＝(xAB →＋yAD →)2＝9x 2＋4y 2＋2xy ×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝(3x ＋2y )2－3(3x )·(2y )≥(3x ＋2y )2－34 (3x ＋2y )2＝14(3x ＋2y )2．又|AP →|2＝1，因此14(3x ＋2y )2≤1，故3x ＋2y ≤2，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时，3x ＋2y 取得最大值2．7．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．7．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →．∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝ λDC → (0≤λ≤1)．∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2．∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12，即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12． 8．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．8．答案 (－1，0) 解析由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0．又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1，0)．9．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．29．答案 B 解析因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝ x 2＋y 2，∴x 2＋y 2＝1，则2xy ≤x 2＋y 2＝1．又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2，故x ＋y 的最大值为2． 10．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为2π3．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC ＝x OA ＋y OB ，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值为________．．10．答案 2 解析以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B (－12，32)，设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得1cos 2sin x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2．。

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2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题20 平面向量的概念及其线性运算理（含解析）新人教A 版【高频考点解读】 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．【热点题型】题型一平面向量的有关概念【例1】给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( )A ．②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】 A 【解析】【提分秘籍】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．【举一反三】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 C 【解析】题型二平面向量的线性运算【例2】 (1)在△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )A.13a －13bB.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b (2)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．【答案】 (1)D (2)2【解析】 (1)∵a ·b ＝0，∴∠ACB ＝90°，∴AB ＝5，CD ＝255，∴BD ＝55，AD ＝455，∴AD ∶BD ＝4∶1. ∴AD →＝45AB →＝45(CB →－CA →)＝45a －45b .(2)因为ABCD 为平行四边形，所以AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，已知AB →＋AD →＝λAO →，故λ＝2. 【提分秘籍】(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．【举一反三】(1)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12b B.12a －bC ．a ＋12b D.12a ＋b(2)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0 【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .(2)由题意知：AD →＝FE →，BE →＝DF →，CF →＝ED →，而FE →＋ED →＋DF →＝0，∴AD →＋BE →＋CF →＝0. 题型三共线向量定理的应用【例3】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．【提分秘籍】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．【举一反三】(1)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋mj ，AD →＝ni ＋j .若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1(2)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R，则1n ＋1m的值为________．【答案】 (1)C (2)3 【解析】【高考风向标】【2015高考新课标1，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（）（A ）1433AD AB AC =-+(B)1433AD AB AC =-（C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =-【答案】A 【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A.1．（2014·辽宁卷）设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q ) 【答案】A【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．2．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．【答案】90°【解析】由题易知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，故在△ABC 中，BC 对应的角A 为直角，即AC 与AB 的夹角为90°.3．（2014·四川卷）平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 【答案】2 【解析】4．（2013·江苏卷）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB→＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12【解析】如图所示，DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23 (AC →－AB →)＋12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－23AB →＋23AC →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，且AB →与AC →不共线，所以λ1＝12－23，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.5．（2013·陕西卷）设a ，b 为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由已知中|a·b|＝|a|·|b|可得，a 与b 同向或反向，所以a ∥b .又因为由a ∥b ，可得|cos 〈a ，b 〉|＝1，故|a·b|＝|a|·|b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a|·|b |，故|a ·b |＝|a |·|b |是a ∥b 的充分必要条件．6．（2013·四川卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A －B 2cosB －sin (A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．【解析】故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cosB ＝22.7．（2013·四川卷）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．【答案】2【解析】根据向量运算法则，AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，故λ＝2.8．（2013·重庆卷）在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|＜12，则|OA →|的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2【答案】D【解析】【高考押题】1．把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是 ( )A ．一条线段B ．一段圆弧C ．两个孤立点D ．一个圆【答案】 D【解析】由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离都等于1，所有的终点构成的图形是一个圆．2．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是 ( )A ．a 与λa 的方向相反B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a |D ．|－λa |≥|λ|·a【答案】 B 【解析】3．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |【答案】 C 【解析】a |a |表示与a 同向的单位向量，b|b |表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a|a |＝b|b |，观察选项易知C 满足题意． 4．在△ABC 中，AD →＝2DC →，BA →＝a ，BD →＝b ，BC →＝c ，则下列等式成立的是 ( ) A ．c ＝2b －aB ．c ＝2a －bC ．c ＝3a 2－b2D ．c ＝3b 2－a 2【答案】 D【解析】依题意得BD →－BA →＝2(BC →－BD →)，BC →＝32BD →－12BA →＝32b －12a ，故选D.5．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点， N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1【答案】 A 【解析】6．向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________．【答案】 ④【解析】由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上．7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)．【答案】－14a ＋14b 【解析】由AN →＝3NC →，得4AN →＝3 AC →＝3(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 8．设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________．【答案】－1【解析】 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1. 9．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？【解析】 ∵d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．10.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.。

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