2021届江苏省启东中学高三下学期期初调研测试理科数学试卷

2021年江苏省南通市启东大江中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数的最小值周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象A 、向左平移个单位长度 B、向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度 D、向右平移个单位长度参考答案：A略2. 已知全集为R，集合，，则A∩B元素个数为A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B3. 复数等于（）A． B．0 C．2 D．－2参考答案：B4. 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，直线与双曲线交于两点，线段中点在第一象限，并且在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为，则直线的斜率为（）A. B. C. D.参考答案：D略5. 若点在第一象限，且在直线上，则的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．12参考答案：B略6. 设等比数列{a n}的各项均为正数，且，若，则数列{b n}的前10项和为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】数列的求和．【分析】通过q6=4?q?q7可知q=，进而可知a n=，利用对数的运算性质、裂项可知b n=﹣2（﹣），并项相加即得结论．【解答】解：依题意，a2=q，a4=q3，a8=q7，则q6=4?q?q7，即q2=，又∵等比数列{a n}的各项均为正数，∴q=，∴a n=，∵=log2（a1a2a3…a n）==﹣∴b n=﹣=﹣2（﹣），故所求值为﹣2（1﹣+﹣+…+﹣）=﹣，故选：A．7. 设A，B，C是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（）A. B. C. 3 D.参考答案：B【详解】此题考查正弦定理、余弦定理、向量的数量积、两角和与差正余弦公式的灵活应用、三角函数求最值问题的综合知识；设圆的圆心是，在等腰中，，由余弦定理可求出，根据正弦定理得：所以，当时，的最大值为，选B 8. 已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间[0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤5B．a＜5 C．0＜a＜5 D．a≥5参考答案：A【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】由题意可得必存在唯一的正实数a，满足f（x）+=a，f（a）=4 ①，可得f（a）+=a ②，由①②得a=，解得a=3．由题意，||=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，数形结合可得a的范围．【解答】解：∵f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，对任意的x∈（0，+∞），都有，∴必存在唯一的正实数a，满足f（x）+=a，f（a）=4 ①，∴f（a）+=a ②，由①②得：4+=a，即=a﹣4，∴a=，解得a=3．故f（x）+=a=3，∴f（x）=3﹣，由方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，即有||=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，由g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a，可得g′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），当1＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递增．g（x）在x=1处取得最大值a，g（0）=a﹣4，g（3）=a﹣4，分别作出y=||，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象，可得两图象只有一个交点（1，0），将y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象向上平移，至经过点（3，1），有两个交点，由g（3）=1，即a﹣4=1，解得a=5，当0＜a≤5时，两图象有两个交点，即方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解．故选：A．【点评】本题考查对数的运算性质的综合运用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，属于难题．9. 已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧qB．￢p∧￢qC．￢p∧qD．p∧￢q参考答案：D【分析】由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题．而q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以p∧￢q为真命题；故选D；【点评】判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．10. 设是所在平面上的一点，且是中点，则的值为（）参考答案：答案：解析：为中点，二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为．参考答案：﹣540【考点】DB ：二项式系数的性质．【分析】依据二项式系数和为2n，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项．【解答】解：若的展开式中各项系数之和为2n=64，解得n=6，则展开式的常数项为=﹣540，故答案为：﹣540．12. 若=18，则a=．参考答案：3【考点】定积分．【分析】根据定积分的计算法则计算即可【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）|=a3=18，∴a=3，故答案为：313. 在边长为2的正中，则参考答案：14. 若f（x）=2x2﹣lnx在定义域的子区间（a﹣1，a+1）上有极值，则实数a的取值范围是．参考答案：[1，）【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】求f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）；从而可得极值点在（a﹣1，a+1）；求解即可．【解答】解：f（x）=2x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），f′（x）=4x﹣=；∵f（x）=2x2﹣lnx在定义域的子区间（a﹣1，a+1）上有极值，∴f′（x）=在区间（a﹣1，a+1）上有零点，而，可得导函数的零点为；故∈（a﹣1，a+1）；故a﹣1＜＜a+1；解得，＜a＜；又∵a﹣1≥0，∴a≥1；故答案为：[1，）．【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的零点的应用，属于中档题．15. （坐标系与参数方程）已知直线，（为参数），若//，则；若，则.参考答案：16. 已知关于实数x，y 的不等式组，构成的平面区域为，若，使得，则实数m的取值范围是．参考答案：[20, +∞)作出不等式组的可行域如图所示表示可行域内一点与之间的距离的平方和点到直线的距离为故故实数的取值范围是17. 设t R，若x＞0时均有，则t ＝______________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

启东中学2020/2021学年度第一学期质量检测试卷高三数学 2020.09一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:p x R ∃∈，使sin x =；命题:q x R ∀∈，都有210x x ++>.给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题 ②命题“p q ∧⌝”是假命题 ③命题“p q ⌝∨”是真命题 ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题其中正确的是 （ ） A ．①②③B ．②③C ．②④D ．③④2.设)2,4(=a ，),6(y b =，且//，则=y （ ） A ．3 B ．12 C ．12- D ．3-3.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，所得的图象对应的函数解析式是 ( )A 、sin2y x =B 、cos2y x =C 、 2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D 、sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭4．已知集合P={65|<<-x x }，Q={065|2≤--x x x }，则P ⋂Q=____( )A 、{61|<<-x x }B 、{61|≤≤-x x }C 、{61|<≤-x x } D 、{61|≤<-x x }5.已知P 为抛物线C ：24y x 上一点，F 为C 的焦点，若4PF ，则ΔOPF 的面积为 ( )B. 3C. 46. f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足，则f(x)与g(x)满足 ( )A ．f(x)＝g(x)B ．f(x)＝g(x)＝0C ．f(x)－g(x)为常数函数D ．f(x)＋g(x)为常数函数7．已知正四面体ABCD ，则AB 与平面BCD 所成角的余弦值为（ ）A.12 B. 23 C. 138．设锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，A ＝2C ，则△ABC 周长的取值范围为 （ ） A ．（0，2）B ．（0，3]C ．（2，3）D ．（2，3]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9． 在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品．从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有 （ ）A ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有12298C C 种 B ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有12299C C 种 C ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有2212988129C C C C +种 D ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有3310098C C -种10．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+，则 （ ）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，级坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2D ．把C 1向左平行移动6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 11.若函数()f x 对∀a ，b ∈R ，同时满足：（1）当a ＋b ＝0时有()()0f a f b +=；（2）当a ＋b ＞0时有()()0f a f b +>，则称()f x 为Ω函数．下列函数中是Ω函数的有 （ ）A ．()e e x x f x -=+B ．()e e x x f x -=-C ．()sin f x x x =-D ．00()10x f x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩，，12. 已知ABC ∆中，1=AB ,4=AC ,13=BC ,D 在BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，E 为AC 中点.下列结论正确的是 （ ）A.3=BEB.ABC ∆的面积为13C.534=AD D.P 在ABE ∆的外接圆上，则PE PB 2+的最大值为72三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分13．设函数f （x ）（a ＞0且a ≠1），若f （2）＝4，则f （﹣2020）＝ 14.函数f (x )＝ln(－2x －3)的单调递减区间为______________15．已知集合2{|10},{|20}A x mx B x Z x x =-==∈+≤，若A B A =，则满足条件的实数m 的值为____ 。

2019-2020高三第二学期期初学生素质调研测试高三数学试卷 Ⅰ参考公式：正棱锥的侧面积公式：S 正棱锥侧＝12ch ′，其中c 是正棱锥底面的周长，h ′为斜高．锥体的体积公式：V 锥体＝13Sh ，其中S 是底面面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1． 已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-，则U A ð＝ ▲ ． 2． 复数3i i+（i 是虚数单位）的虚部为 ▲ ．3． 某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1100人、1000人、900人，为了解不同年级学生的视力情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为30的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 ▲ ．4． 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ． 5． 函数()22log 43y x x =+-的定义域为 ▲ ． 6． 劳动最光荣．某班在一次劳动教育实践活动中， 准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦 教室玻璃，则恰好选中2名男生的概率为 ▲ ． 7． 已知抛物线y 2=8x的焦点恰好是双曲线()22102y x a a -=>的右焦点，则该双曲线的离心率为 ▲ ．S ←1 I ←0While I ＜7 S ←S ＋2I I ←I ＋2 End While Print S（第4题）注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。

3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

2020-2021学年江苏省南通市启东中学高一下学期第一次阶段测试数学试题一、单选题1．22cos 75cos 15cos75cos15++=A ．2B ．32C ．54D ．1+【答案】C【分析】利用诱导公式以及平方关系，二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】()cos75cos 9015sin15=-=22cos 75cos 15cos75cos15∴++ 22sin 15cos 15sin15cos15=++ 1151sin 301244=+=+=故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，主要是利用诱导公式以及平方关系，二倍角的正弦公式来求解.2．在ABC 中，若60A =︒，45B =︒，BC =AC =（ ）A B ．C ．D ．【答案】B【分析】直接利用正弦定理即可. 【详解】在ABC 中，由正弦定理：sin sin BC AC A B =，即sin 60sin 45AC =，解得：AC =故选：B3．在边长为3的等边三角形ABC 中，12BM MC =，则AB BM ⋅=（ ）A ．2B ．32C ．32-D ．12【答案】C【分析】由向量的数量积计算． 【详解】1123BM MC BC ==，1BM = AB BM ⋅=13cos(18060)3122AB BM ⎛⎫⋅︒-︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． 故选：C ．4．若,1,2a a a ++是锐角三角形的三边长，则a 的取值范围是（ ） A ．13a << B ．1a > C ．3a > D ．01a <<【答案】C【分析】根据大边对大角，只需边长2a +对应的角为锐角，由余弦定理即可求出. 【详解】因为三角形是锐角三角形,所以最大边长2a +对应的角为锐角，设该角为θ,所以()()()22212cos 021a a a a a θ++-+=>+,即2230a a -->,解得3a >或1a <-（舍去）. 故选：C.5．函数()co in 4s s f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 【答案】C【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数()sin y x ωϕ=+的周期等于2T ωπ=，可求得()f x 的最小正周期.，得出结论．【详解】解:函数()cos cos sin 42sin 2x x x x f x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos 2sin 22222xx +=⋅+22x x =+1sin 2244x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，其最小正周期为22T ππ==． 故选:C【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题．6．已知4cos 5α=-，3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan 2αα-=+（ ） A ．12-B ．-2C ．12D ．2【答案】B【分析】将表达式1tan21tan 2αα+-中的正切化为正、余弦，由4cos 5α=-，求出3sin 5α=-，即可得出结论. 【详解】由4cos 5α=-，3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴可得3sin 5α=-，21tancossin1sin 152224cos 21tan cos sin 2225αααααααα+++====----， 1tan221tan2αα-=-+∴. 故选：B【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、半角公式，需熟记公式，属于基础题. 7．启东中学天文台是启中校园的标志性建筑．小明同学为了估算学校天文台的高度，在学校宿舍楼AB，高为(15m -，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A ，天文台顶C 的仰角分别是15和60，在楼顶A 处测得天文台顶C 的仰角为30°，假设AB ，CD 和点M 在同一平面内，则小明估算学校天文台的高度为（ ）A ．20mB ．30mC ．203mD ．303m【答案】B【分析】ABM 求得AM ，AMC 中由正弦定理求得CM ，在CDM 中求得高CD ． 【详解】由题意sin15ABAM =︒，232162sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 302-︒=︒-︒=︒︒-︒︒==，所以155310662AM -==- AMC 中，1806015105AMC ∠=︒-︒-︒=︒，301545CAM ∠=︒+︒=︒，所以1801054530ACM ∠=︒-︒-︒=︒，由sin sin CM AM CAM ACM =∠∠得106sin 45CM =︒2106220312CM ==，所以3sin 6020330CD CM =︒==． 故选：B ．8．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =.M 为ABC 内部的一点，且0aMA bMB cMC ++=，若AM x AB y AC =+，则x y +的最大值为（ ） A ．45B ．54C ．56D ．12【答案】A【分析】把已知等式中,MB MC 向量用,,AB AC AM 表示后可求得,x y ，由余弦定理得,,a b c 的关系，求出ab c+的最值，再由不等式性质得结论． 【详解】∵0aMA bMB cMC ++=，∴()()a AM bMB cMC b AB AM c AC AM =+=-+-， ∴b cAM AB AC a b c a b c=+++++，又AM x AB y AC =+，∴,b c x y a b c a b c==++++，11b cx y a a b cb c++==++++，由余弦定理得2222227152cos ()44a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-， 由2()4b c bc +≤（当且仅当b c =时取等号），得222215()()()4416b c b c a b c ++≥+-⨯=， ∴14a b c ≥+，∴141514x y +≤=+，即x y +的最大值是45． 故选：A.【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查余弦定理及基本不等式求最值．解题关键是由平面向量基本定理把,x y 用,,a b c 表示出来．二、多选题9．下列各式中，值为12的是（ ） A ．2tan 22.51tan 22.5︒-︒B ．2tan15cos 15︒⋅︒ C．221212ππ- D．116sin 50︒【答案】AC【分析】由二倍角公式计算可得． 【详解】2tan 22.511tan 451tan 22.522︒=⨯︒=-︒；22sin1511tan15cos 15cos 15sin15cos15sin 30cos1524︒︒⋅︒=⨯︒=︒︒=︒=︒；221212ππ221sin )122126πππ-====；1cos50501sin8012216sin 504sin1004sin804︒+︒︒+====︒︒︒．故选：AC ．10．已知1a =，()3,4b =，则以下结论正确的是（ ） A ．若//a b ，则6a b +=B ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若//a b ，则34,55a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．a b -的最小值为4【答案】BD【分析】由//a b ，得出a b a b +=±，进而可判断出A 选项的正误；验证2a b +与2a b -之间的等量关系，可判断B 选项的正误；由//a b 得出b a b=±，可判断出C 选项的正误；由向量模的三角不等式可判断D 选项的正误. 【详解】()3,4b =，则2345b =+=.对于A 选项，若//a b ，则a b a b +=±，所以，6a b +=或4a b +=，A 选项错误；对于B 选项，若a b ⊥，则0a b ⋅=，()2222222a b a ba ab b a b ∴+=+=+⋅+=+，()2222222a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=+，则22a b a b +=-，a b a b ∴+=-， B 选项正确；对于C 选项，若//a b ，且1a =，则b a b=±，34,55a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭或34,55a ⎛⎫=--⎪⎝⎭，C 选项错误；对于D 选项，由向量模的三角不等式可得4a b a b -≥-=，D 选项正确. 故选：BD.【点睛】本题考查与平面向量相关命题真假的判断，考查了向量模的三角不等式、单位向量的坐标运算以及利用向量垂直的表示的应用，考查计算能力，属于基础题. 11．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，下列叙述正确的是（ ）A ．若sin sin a bB A =，则ABC 为等腰三角形 B ．若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形 C ．若tan A tan tan 0B C ++<，则ABC 为钝角三角形D ．若sin cos a b C c B =+，则4C π∠=【答案】ACD【分析】多项选择题，一个一个选项验证：对于A ：利用正弦定理判断sin sin A B =，在三角形中只能A=B ,即可判断；对于B ：∵由正弦定理得 sin 2sin 2A B =，可以判断∴ABC 为等腰三角形或直角三角形；对于C ：利用三角函数化简得tan A tan tan B C ++sin sin sin =cos cos cos A B CA B C，利用sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>>判断cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，即可判断；对于D ：利用正弦定理判断得cos sin C C =求出角C . 【详解】对于A ：∵由正弦定理得：sin sin a bA B=，而sin sin a b B A =，∴sin sin A B =， ∵A+B+C=π，∴只能A=B ,即ABC 为等腰三角形，故A 正确； 对于B ：∵由正弦定理得：sin sin a bA B=， ∴若cos cos a bB A=可化为sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =， ∴22A B =或22A B π+=∴ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误； 对于C ：∵A+B+C=π，∴()()()()sin sin sin cos cos cos A B C C A B C C ππ+=-=+=-=，， ∴tan A tan tan B C ++sin sin sin =cos cos cos A B CA B C++ sin cos sin cos sin =cos cos cos A B B A C A B C ++sin sin =cos cos cos C C A B C + 11=sin cos cos cos C A B C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos cos cos =sin cos cos cos C A B C A B C +⎛⎫ ⎪⎝⎭sin sin sin =cos cos cos A B CA B C.∵tan A tan tan 0B C ++<而sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>>∴cos cos cos A B C 、、必有一个小于0， ∴ABC 为钝角三角形. 故C 正确；对于D ：∵sin cos a b C c B =+，∴由正弦定理得：sin sin sin sin cos A B A C B =+, 即sin cos sin cos sin sin sin cos B C C B B C C B +=+ ∴cos sin C C = ∵()0,C π∈∴4C π.故D 正确. 故选：ACD【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．12．如图所示，在凸四边形ABCD 中，对边BC ，AD 的延长线交于点E ，对边AB ，DC 的延长线交于点F ，若,,3(,0)BC CE ED DA AB BF λμλμ===>，则（ ）A ．3144EB EF EA =+ B ．14λμ=C ．11λμ+的最大值为1D ．49EC AD EB EA⋅≥-⋅【答案】ABD【分析】选项A. 由3AB BF =，可得()3344EB EA AB EA AF EA AE EF =+=+=++可判断；选项B. 过B 作//BG FD 交AE 于点G ，所以,AF AD BC DG FB DG CE DE==,结合条件可判断；选项C. 由B 结合均值不等式可判断；选项D. 由()()()()11111EC AD EC AD EB EA EC AD λμλμ⋅⋅==-++⋅-++⋅结合均值不等式可判断.【详解】选项A. 由3AB BF =，可得34AB AF = 所以()33134444EB EA AB EA AF EA AE EF EA EF =+=+=++=+，故A 正确 . 选项B. 过B 作//BG FD 交AE 于点G所以,AF AD BC DG FB DG CE DE ==, 由这两式可得AF BC AD DG ADFB CE DG DE DE⨯=⨯= 由,,3BC CE ED DA AB BF λμ===，则4AF FB =，BC CE λ=，1AD DE μ= 所以14λμ=，即14λμ=，故B 正确.选项C. 由B 可得()11484λμλμλμλμλμ++==+≥⋅= 当且仅当λμ=,即12λμ==时取得等号, 故C 不正确. 选项D. 由,,3BC CE ED DA AB BF λμ===得()1EB EC CB EC λ=+=+,()()11EA ED DA DA AD μμ=+=+=-+()()()()11511114EC AD EC AD EB EA EC AD λμλμλμ⋅⋅==-=-++⋅-++⋅++由5559214444λμλμ++≥⋅=+=，当且仅当λμ=,即12λμ==时取得等号所以14594EC AD EB EA λμ⋅=-≥-⋅++，故D 正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：本题考查向量的线性运算共线等的应用，考查利用均值不等式求最值，解答本题的关键是过B 作//BG FD 交AE 于点G ，得到,AF AD BC DG FB DG CE DE ==，()()11EC AD EC ADEB EA EC ADλμ⋅⋅=⋅-++⋅，属于中档题.三、填空题13．在ABC 中，若满足6C π=，5c =，a x =的三角形有两个，则实数x 的取值范围为______． 【答案】()5,10【分析】利用正弦定理得得sin 10xA =，因为满足条件的三角形有两个，所以sin1610xπ<<，求解不等式即可．【详解】由正弦定理得sin sin a cA C= 得sin 10x A = 因为满足条件的三角形有两个，所以sin 1610xπ<< 得510x << 故答案为：()5,10 14．已知2sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____________． 【答案】19【分析】利用诱导公式以及二倍角公式求解即可． 【详解】sin 2sin 2626πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 241cos 212sin 169296ππαα⎛⎫⎛⎫=-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：1915．在锐角ABC 中，22a b bc -=，则112sin tan tan A B A-+的取值范围为________.【答案】⎫⎪⎪⎝⎭【分析】由已知结合余弦定理与正弦定理可得2A B =，再由锐角三角形可求出32A ππ<<，化简整理1112sin 2sin tan tan sin A A B A A-+=+，利用换元法结合对勾函数性质可求得结果. 【详解】22a b bc -=，利用余弦定理可得：2222cos b c bc A b bc +--=，即22cos c bc A bc -=，2cos c b A b ∴-=由正弦定理可得：sin 2sin cos sin C B A B -=，sin()2sin cos sin A B B A B ∴+-=， 即sin cos sin cos sin A B B A B -=，即sin()sin A B B -= 又ABC 为锐角三角形，A B B ∴-=，即2A B =022032B B πππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，64B ππ∴<<，32A ππ<<11sin()sin(2)12sin 2sin 2sin 2sin tan tan sin sin sin sin sinA B B B A A A A B A B A B A A---+=+=+=+ 又32A ππ<<，sin 12A ∴<< 令sin 1t A t ⎫=<<⎪⎪⎝⎭，则1()21f t t t t ⎫=+<<⎪⎪⎝⎭由对勾函数性质知，1()2f t tt=+在2t ⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭上单调递增， 又2223f ⎛=+⨯= ⎝⎭，()112131f =+⨯=，12sin i 3n 3s A A ∴⎛⎫ ⎪ ∈⎝⎭+⎪ 故答案为：⎫⎪⎪⎝⎭【点睛】易错点睛：本题考查利用正弦定理余弦定理求范围，解本题时要注意的事项：求角A 的范围时，是在ABC 为锐角三角形的前提下，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.四、双空题16．如图，在ABC 中，13BD BC =，点E 在线段AD 上移动(不含端点)，若AE AB AC λμ=+，则λμ=______，2λμ-的最小值是______.【答案】2 116-【分析】根据题意，设()01AE mAD m =<<，根据向量的线性运算，利用AB AC →→、表示出AE→，求出λ和μ，然后直接求出λμ=2，利用配方法求得2λμ-的最小值. 【详解】由题可知，13B BCD →→=，设()01AE mAD m =<<，则13AE m AB BC ⎛⎫=+⎪⎝⎭()13m AB BA AC ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦， 所以2133AE m AB m AC →→→=+，而AE AB AC λμ→→→=+，可得：21,33m m λμ==，所以23213m m λμ==， 22241431()939816m m m λμ-=-=--，所以当38m =时，2λμ-取得最小值116-. 故答案为：①2；②116-. 【点睛】方法点睛：解决此类问题涉及的方法有： （1）共线向量之间的关系； （2）平面向量基本定理； （3）配方法求二次函数的最小值.五、解答题 17．计算求值：（1）()sin 5013︒︒（2）sin15cos5sin 20cos15cos5cos 20︒︒-︒︒︒-︒【答案】（1）1；（2）2--【分析】（1）先通过切化弦进行化简整理，利用两角和的正弦公式的逆应用，再结合二倍角公式和诱导公式化简即得结果；（2）先拆分20155︒=︒+︒，结合两角和的正弦公式和余弦公式化简整理成cos15sin15-︒︒，再拆分154530︒=︒-︒，结合两角差的正弦公式和余弦公式化简即得结果. 【详解】解：（1）()sin 501︒︒sin 501cos 40⎛=︒⋅+= ⎝⎭()2sin 3010cos 40cos10︒+︒=︒⨯︒2sin 40cos 40sin80cos101cos10cos10cos10︒︒︒︒====︒︒︒；（2）()()sin15cos5sin 155sin15cos5sin 20cos15cos5cos 20cos15cos5cos 155︒︒-︒+︒︒︒-︒=︒︒-︒︒︒-︒+︒()()cos 4530sin15cos5sin15cos5cos15sin 5cos15sin 5cos15cos5cos15cos5sin15sin 5sin15sin 5sin 4530︒-︒︒︒-︒︒-︒︒-︒︒===-︒︒-︒︒+︒︒︒︒︒-︒cos 45cos30sin 45sin 30sin 45cos30cos 45sin 30︒︒+︒︒=-︒︒-︒︒1==)2122=-=-.18．在平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，||1OC =，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点． （1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +的最小值； （2）若x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，向量m BC =，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m n 的最小值及对应的x 值． 【答案】（1）2；（2）m n 的最小值为1－，此时x ＝8π．【分析】（1）先求出+OC OD 的坐标，利用模的定义和二次函数求最值即可； （2）把m n 用坐标表示出来，利用三角函数求最值即可. 【详解】（1）设D (t ，0)(0≤t ≤1)，由34x π=易知C 22(,)-，∴22,22OC OD t ⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭∴222222212OC OD t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，(0≤t ≤1)， ∴当t ＝22时，OC OD +最小，为22． （2）由题意得C (cos x ，sin x )，m BC =＝(cos x ＋1，sin x )，则m n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin xcos x ＝1－cos 2x －sin 2x ＝1－2sin (2)4x π+．∵x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴4π≤2x ＋4π≤54π，∴当2x ＋4π＝2π，即x ＝8π时，sin (2)4x π+取最大值1，∴m n 的最小值为1－2，此时x ＝8π. 【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单． 19．如图，在菱形ABCD 中，12BE BC =，2CF FD =．（1）若EF x AB y AD =+，求32x y +的值； （2）若6AB =，60BAD ∠=︒，求AC EF ⋅．（3）若菱形ABCD 的边长为6，求AE EF ⋅的取值范围．【答案】（1）321x y +=-；（2）9AC EF ⋅=-；（3）()21,9--． 【分析】（1）由向量线性运算即可求得,x y 值；（2）先化AC AB AD =+，再结合（1）中关系即可求解AC EF ⋅；（3）由于12AE AB AD =+，1223EF AD AB =-，即可得6cos ,15AE EF AB AD ⋅=-，根据余弦值范围即可求得结果．【详解】解：（1）因为12BE BC =，2CF FD =， 所以12122323EF EC CF BC DC AD AB =+=-=-，所以23x =-，12y =，故213232132x y ⎛⎫+=⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭． （2）∵AC AB AD =+，∴()221212123236AC EF AB AD AD AB AD AB AB AD ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪⎝⎭ ∵ABCD 为菱形∴6AD AB ==∴2211111cos 3636966662AC EF AB AB BAD ⋅=--∠=-⨯-⨯⨯=-，即9AC EF ⋅=-．（3）因为12AE AB AD =+，1223EF AD AB =-所以22121121362342AD A AE EF AB AD AB AD AB AD B ⎛⎫-= ⎛⎫⋅=+⋅⋅-+ ⎪⎪⎭⎭⎝⎝ 2221cos ,6cos ,153416AB AD AB AD AB AD AB AD =⋅-+=- 1cos ,1AB AD -<<∴AE EF ⋅的取值范围：()21,9--．【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．20．在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②2cos 222CC -+=，③()sin sin sin a A b B c C -+=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，sin sin A B ，2c =，___________，求角C 及△ABC 的面积S . 【答案】选择见解析；π6C =，1S =【分析】选择条件①由正弦定理可得1sin 2C =，求出角C,利用面积公式1sin 2ABCSab C =求解； 选择条件②由二倍角的余弦公式化简即可求解cos 2C =，三角形面积解法同①； 选择条件③由正弦定理及余弦定理可求出cos C ，三角形面积解法同①. 【详解】选①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=， 因为sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，所以由正弦定理得sin sin sin sin 4sin sin sin B A A B C A B +=， 即2sin sin 4sin sin sin B A C A B =，所以1sin 2C =， 因为()0,πC ∈，所以π6C =或5π6C =. 若5π6C =，由sin sin A B ， 而π6A <，π6B <，从而1sin sin 4A B <，矛盾，舍去.故π6C =， 接下来求△ABC 的面积S .法一：设△ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理得224πsin sin 6c R C ===， 2sin 4sin a R A A ∴==，2sin 4sin b R B B ==，16sin sin 4(1ab A B ∴==，111sin 4(11222ABCSab C ∴==⨯⨯=. 法二：由（1）得cos C =，即cos cos sin sin 2A B A B -=-，sin sin A B，cos cos A B ∴1cos()cos cos sin sin 2A B A B A B ∴-=+=， 5π5π(,)66A B -∈-，π3A B ∴-=或π3B A -=， 当π3A B -=时，又5π6A B +=，7π12A ∴=，π4B =，由正弦定理得π2sinsin 4πsin sin 6c B b C ===117π1sin 2sin 122122ABC S bc A ∴==⨯==+△当π3B A -=时，同理可得1ABC S =故△ABC的面积为1选②2cos 222CC -+=，因为2cos 222CC -+=，所以22cos 1cos )20C C ---+=，即22cos 30C C -=，(2cos 0C C +=，所以cos C =或cos C =（舍）， 因为()0,πC ∈，所以π6C =. 以下同解法同①，选③()sin sin sin a A b B c C +=，由()sin sin sin a A b B c C -+=及正弦定理得()22a abc +=，即222a b c +-=，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==， 0πC <<，π6C ∴=， 以下解法同①.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角恒等变换，考查了运算能力，属于中档题.21．已知函数21())sin()cos 22f x x x x ππ=-++- （1）求函数()f x 的单调递增区间（2）若锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且1(),42f A b ==，求ABC 面积S 的取值范围 【答案】（1）()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）( 【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简解析式得到()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数单调性，列出不等式求解，即可得出结果； （2）由（1）先求出π3A =，由正弦定理得：sin 2sin ==+b C c B ，再根据锐角三角形求出B 的取值范围，进而求出c 的取值范围，从而得到面积ABCS 的取值范围.【详解】（1）()()2211sin cos cos cos 222f x x x x x x x ππ⎛⎫=-++-=+-⎪⎝⎭1π2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 由()()πππ2ππ2π22π2π22π26233-+≤+≤+∈⇒-≤≤+∈Z Z k x k k k x k k 解得：()ππππ36k x k k -≤≤+∈Z ，故函数()f x 的单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ． （2）1()2=f A ，π1sin 262⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭A ，又π02A <<，π5π266∴+=A ，π3A ∴=，又4b=，1sin 2∴==ABCS bc A 在ABC 中，由正弦定理得：sin sin c b C B=，得sin sin b Cc B =14sin 4sin 22sin 2sin sin sin t n π3a ⎫⎛⎫+⎪+ ⎪+⎝⎭⎝⎭∴====+B B B B B c B B B B又ABC为锐角三角形，且π3A=，故π22ππ32BB⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62B<<312323tan03062283tan tan tan∴>⇒<<⇒<<⇒<+<BB B B，即28c<<()323,83∴=∈ABCS cABC∴面积S的取值范围是：()23,83【点睛】易错点睛：本题考查利用正弦定理求三角形边长范围的最值，解本题时要注意的事项：求角B的范围时，是在ABC为锐角三角形的前提下，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.22．如图，长方形材料ABCD中，已知23AB=，4=AD.点P为材料ABCD内部一点，PE AB⊥于E，PF AD⊥于F，且1PE=，3PF=. 现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足150MPN∠=︒，点M、N分别在边AB，AD上.（1）设FPNθ∠=，试将四边形材料AMPN的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值.【答案】(1)见解析;(2)当23AN=时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为32+.【详解】分析：（1）通过直角三角形的边角关系，得出NF和ME，进而得出四边形材料AMPN 的面积的表达式，再结合已知尺寸条件，确定角θ的范围.（2）根据正切的两角差公式和换元法，化简和整理函数表达式，最后由基本不等式，确定面积最小值及对应的点N 在AD 上的位置.详解：解：（1）在直角NFP ∆中，因为PF =FPN θ∠=，所以NF θ=，所以()11122NAP S NA PF θ∆=⋅= 在直角MEP ∆中，因为1PE =，3EPM πθ∠=-，所以tan 3ME πθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以11tan 1223AMP S AM PE πθ∆⎤⎛⎫=⋅=-⨯ ⎪⎥⎝⎭⎦，所以NAP AMP S S S ∆∆=+ 31tan tan 223πθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为31tan tan223S πθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭3tan 2θ=令1t θ=，由0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得[]1,4t ∈，所以243S t t ⎫==++⎪⎝⎭ 2233≥=+当且仅当3t =时，即2tan 3θ=时等号成立，此时，3AN =，min 23S =+，答：当AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为2+. 点睛：本题考查三角函数的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意换元法和基本不等式的合理运用.换元法求函数的值域，通过引入新变量（辅助式，辅助函数等），把所有分散的已知条件联系起来，将已知条件和要求的结果结合起来，把隐藏在条件中的性质显现出来，或把繁琐的表达式简化，之后就可以利用各种常见的函数的图象和性质或基本不等式来解决问题.常见的换元方法有代数和三角代换两种.要特别注意原函数的自变量与新函数自变量之间的关系.第 21 页共 21 页。

2021年高三下学期开学检测数学（理）试卷含答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）1．设为虚数单位，则复数的虚部为A． B． C． D．2．已知的展开式中各项系数之和为，则该展开式中含项的系数为A. B. C. D.3．平面向量，共线的充要条件是A．，的方向相同 B．，中至少有一个为零向量C．， D．存在不全为零的实数，，4．将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线对称，则的最小正值为A．B．C．D．5．是双曲线（，）的右支上的一点，，分别是左、右焦点，则的内切圆圆心的横坐标为A．B．C．D．6．某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A．B．C．D．7. 的外接圆的圆心为，，，则等于A．B．C．D．8．如图，在公路的两侧有四个村镇：，它们通过小路和公路相连，各路口分别是. 某燃气公司要在公路旁建一个调压站，并从调压站出发沿公路和各小路通过低压输配管道（每个村镇单独一条管道）将燃气送到各村镇，为使低压输配管道总长度最小，调压站应建在A．处B．段公路旁的任一处C．处D．段公路旁的任一处第II卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 .10. 如图, 已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点, 且，∶∶∶∶. 若与该圆相切，则线段的长为.11. 右图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：），这个几何体的体积为；表面积为.12. 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是.13．在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为.14．已知是等差数列的前项和，且，有下列五个命题：①；②；③；④数列中的最大项为；⑤.2222俯视图侧视图正视图33B其中正确的命题是（写出你认为正确的所有命题的序号）解：①、②、⑤三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（本小题13分）已知函数，（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）在中，三内角的对边分别为，已知,成等差数列，且，求及的值.16．（本小题13 分）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次. 在A处每投进一球得3分；在B处每投进一球得2分. 如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次. 某同学在A处的投中率为0.25，在B处的投中率为. 该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求随机变量的数学期望E；（Ⅲ）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.17．（本小题14 分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，,平面，是的中点，是的中点.(Ⅰ) 求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（Ⅲ）求平面与平面所成的锐二面角的大小.18．（本小题13分）已知函数，（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，是否存在实数，当时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（III）当时，证明：19．（本小题14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且经过点和点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．20．（本小题13分）若有穷数列，，，（）满足：（1）；（2）.则称该数列为“阶非凡数列”.（Ⅰ）分别写出一个单调递增的“阶非凡数列”和一个单调递减的“阶非凡数列”；（Ⅱ）设，若“阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式；（Ⅲ）记“阶非凡数列”的前项的和为（），证明：（1）；（2）.xx学年度第二学期3月月考高三数学（理）试卷答案（考试时间120分钟满分150分）第I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）1．设为虚数单位，则复数的虚部为A．B．C．D．解：，选B.2．已知的展开式中各项系数之和为，则该展开式中含项的系数为A. B. C. D.解：令，得展开式中各项系数之和为. 解方程，得.故该展开式中含项为，其系数为，选A.3．平面向量，共线的充要条件是A．，的方向相同B．，中至少有一个为零向量C．，D．存在不全为零的实数，，解：D．4．将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线对称，则的最小正值为A．B．C．D．解：将函数的图象向右平移个单位，得，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，得(2)2sin 2(2)2sin 4244f x x x ππϕϕϕ⎡⎤⎛⎫-=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，令，得，（）故的最小正值为，选B ．5．是双曲线（，）的右支上的一点，，分别是左、右焦点，则的内切圆圆心的横坐标为 A ． B ． C ． D ． 解法一：设横坐标为，则由，得， ，选A ．解法二：当右顶点时，. 选A ．6．某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类 节目不相邻的排法种数是 A ． B ． C ． D ．解：先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空.（1）小品1，相声，小品2.（2）小品1，小品2，相声.（3）相声，小品1，小品2.共有种，选B ．7. 的外接圆的圆心为，，，则等于 A ． B ． C ． D ． 解：C ．8．如图，在公路的两侧有四个村镇：，它们通过小路和公路相连，各路口分别是. 某燃气公司要在公路旁建一个调压站，并从调压站出发沿公路和各小路通过低压输配管道（每个村镇单独一条管道）将燃气送到各村镇，为使低压输配管道总长度最小，调压站应建在A ．处B ．段公路旁的任一处C ．处D ．段公路旁的任一处解：D ．第II 卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 .解：10. 如图, 已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点, 且， ∶∶∶∶. 若与该圆相切，则线段的长为 .解：设， 则，. 则由相交弦定理，得， 即，即. 由切割线定理，得，所以.11. 右图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：），这个几何体的体积为 ； 表面积为 .解：体积为；表面积为.12. 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .解：13．在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为 . 解：由，得，， ，.由的面积为，得，. 故，，.当且仅当时，等号成立，的最小值为.14．已知是等差数列的前项和，且，有下列五个命题：① ；② ；③ ；④ 数列中的最大项为；⑤ .其中正确的命题是 （写出你认为正确的所有命题的序号）解：①、②、⑤三、解答题 （本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）2222俯视图侧视图正视图33B已知函数，（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）在中，三内角的对边分别为，已知,成等差数列，且，求 及 的值.解：（Ⅰ）x x x x x x f 2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2+-=-+-=π…2分= ………………………3分最小正周期为 ………………………4分由成等差数列得：， ……………………………………9分由，得， ……………………………………10分………………………………………………11分由余弦定理得，，于是，， ………………………………………………13分16．（本小题13 分）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次. 在A 处每投进一球得3分；在B 处每投进一球得2分. 如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次. 某 同学在A 处的投中率为0.25，在B 处的投中率为. 该同学选择先在A 处投一球，以后都（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求随机变量的数学期望E ；（Ⅲ）试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小. 解：（Ⅰ）设该同学在A 处投中为事件A, 在B 处投中为事件B.则事件A,B 相互独立，且，，，.根据分布列知：=0时，22()()()()0.75(1)0.03P ABB P A P B P B q ==⨯-=， 所以，. … 2分（Ⅱ） 当=2时，( ). … 4分当=3时， 22()()()()0.25(1)0.01P ABB P A P B P B q == -=. … 6分当= 4时， 22()()()()0.750.48P ABB P A P B P B q ===. … 8分当= 5时，222()()()()()0.25(1)0.250.24P A P B P B P A P B q q q =+=-+=. … 10分∴随机变量的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. … 11分（Ⅲ）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为. … 13分该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为. … 14分由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大. … 14分17．（本小题 14 分）如图，在四棱锥中， 底面是菱形，，，,平面，是的中点，是的中点.(Ⅰ) 求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（Ⅲ）求平面与平面所成的锐二面角的大小.(Ⅰ) 证明：取中点为，连. ……1分∵是的中点∴是的中位线,∴.∵是中点且是菱形，∴, ∴ . ∴∴四边形是平行四边形. 从而 . …… 3分∵平面 ,平面,∴∥平面………………………………4分………………………………8分∵平面∴平面⊥平面 . ………………………………9分说明：(Ⅰ) 、（Ⅱ）也可用向量法证.……10分ACDEFM由（Ⅱ）知⊥平面，∴是平面的一个法向量 …11分 设平面的一个法向量为 由 ,且由在以上二式中令，则得，，∴.……12分设平面与平面所成锐角为故平面与平面所成的锐角为. …………………………………14分18．（本小题13分） 已知函数，（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，是否存在实数，当时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（III ）当 时，证明：解：（Ⅰ）在上恒成立， … 2分 设 ，令 … 3分得 得 . … 4分 （Ⅱ）（）， .① 当时，因，故在上单调递减， ，（舍去）. … 5分② 当时，即时，因在上，；在上，.故在上单调递减，在上单调递增. ，，满足条件. … 7分③ 当时，即时，因，故在上单调递减， ，（舍去）. … 8分 综上，存在实数，使得当时有最小值.（III ）令，由（Ⅱ）知，. … 9分令，， … 10分B ACDEPFz xy当时，因，故在上单调递增. … 11分∴ … 12分即 … 13分19．（本小题14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且经过点和点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为（）， 将点和点代入，得 ，解得.故椭圆的标准方程为.（Ⅱ）圆的标准方程为， 设，， 则直线的方程为，直线的方程为， 再设直线上的动点（），由点在直线和上，得 ，故直线的方程为. 原点到直线的距离，22222424222244t AB r d t t +=-=-=++，显然.设，，则，.CD==)2248tt+==+.ABCD===.设（），则ABCD===设（），则.设，则，故在上为增函数，于是的值域为，的取值范围是.20．（本小题13分）若有穷数列，，，（）满足：（1）；（2）.则称该数列为“阶非凡数列”.（Ⅰ）分别写出一个单调递增的“阶非凡数列”和一个单调递减的“阶非凡数列”；（Ⅱ）设，若“阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式；（Ⅲ）记“阶非凡数列”的前项的和为（），求证：（1）；（2）.（Ⅰ）解：为一个单调递增的“阶非凡数列”；为一个单调递减的“阶非凡数列”.（Ⅱ）解：设公差为，由，得，，，于是. 由，知.（1）由题设得，，. 代入中，得.故()()()()111111111n n a a n d n k k k k k k=+-=-+-⋅=-+++ （，）（2）由题设得，，. 代入中，得.故()()()()111111111n n a a n d n k k k k k k ⎡⎤=+-=+-⋅-=-+⎢⎥+++⎣⎦ （，）（Ⅲ）（1）证明： 当时，，命题成立； 当时，由，得()1212m m m m n S a a a a a a ++=+++=-+++，于是1212m m m m n S a a a a a a ++=+++=+++，12122m m m m n S a a a a a a ++=+++++++，故.综上，得（）.（2）证明：321211123ni n n i a S S S S S S S in-=---=++++∑()11111111111112122312223122n n n n n⎡⎤⎛⎫≤+++=-+-++-=-⎢⎥ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎣⎦.406859EED 黭<27097 69D9 槙38091 94CB 铋23972 5DA4 嶤25311 62DF 拟22017 5601 嘁37113 90F9 郹m23525 5BE5 寥21293 532D 匭E33626 835A 荚21739 54EB 哫。

2021届江苏省启东中学高三上学期第一次月考数学（文）试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置． 3．答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1．已知集合{}13A x x =-<<，{}2B x x =<，则 ▲ ． 2．命题“1x ∀>，x 2≥3”的否定是 ▲ ．3．设幂函数()f x kx =α的图象经过点()4,2，则k +=α ▲4．计算121lg lg 251004-⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭▲ ．5．若()()1233,2,log 1, 2.x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则()()2f f 的值为 ▲ 6.已知,x y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a 的值为 ▲ .7．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2514,,a a a 成等比数列，253S a =，则10a = ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线C ：y ＝e x上一点，直线l ：x ＋2y ＋c ＝0经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为 ▲ ．9．若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为 ▲ ． 10. 设α为锐角，若53)6πcos(=+α，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ . 11. 如图所示的梯形ABCD 中，,2,234,//MD AM CD AD AB CD AB ====，，如果AD AB BM AC ⋅-=⋅则,3= ▲ .12. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)－cos ωx (ω＞0)．若函数f (x )的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间[－π4，π4]上是单调函数，则ω的取值集合为 ▲ .13. 已知函数f (x )是以4为周期的函数，且当－1＜x ≤3时，f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，－1＜x ≤1，1－|x －2|，1＜x ≤3．若函数y ＝f (x )－m |x|恰有10个不同零点，则实数m 的取值范围为 ▲ .14. 已知函数f (x )＝－x ln x ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数g (x )＝|e x－a |＋a _x001F_22，当x ∈[0，ln3]时，函数g (x )的最大值M 与最小值m 的差为32，则a 的值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若)2cos(sin B A -=π,2,3==c a（1）求AC AB ⋅的值；（2）求)23tan(B C-+π的值为.16.（本小题满分14分）设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；q ：实数x 满足302x x -<-. （1）若1a =，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17.（本小题满分14分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为x 25万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ （2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累积收入+销售收入-总支出）18.（本小题满分16分）如图所示，某公路AB 一侧有一块空地△OAB ，其中OA ＝3 km ，OB ＝3 3 km ，∠AOB ＝90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN ，其中M ，N 都在边AB 上（M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间），且∠MON ＝30°．（1）若M 在距离A 点2 km 处，求点M ，N 之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使△OMN 的面积最小，并求出最小面积．19.（本小题满分16分）设1a >,函数()2(1)x f xx e a =+-.（1）证明()x f在(上仅有一个零点；（2）若曲线()x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原点),证明:1m ≤-20.（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111()N n n n S a λ*++=∈，λ为常数． （1）是否存在数列{}n a ，使得0λ=？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由． （2）当1λ=时，求证：1111n n a a ++≥． （3）当12λ=时，求证：当3n ≥时，803n a <≤．2021届江苏省启东中学高三上学期第一次月考数学（文）试题参考答案1.(),3-∞ 2.1x ∃>，23x < 3.324.20-5.36. 2 7．198．－4－ln2. 9．50231 11.23 12.{13，56，43}． 13.(16，8－215) 14.5215. .解:1）在ABC ∆中,B B A sin )2cos(sin =-=π,由正弦定理BbA a sin sin =,得b a =B A b a ===∴,3 由余弦定理AC AB ⋅=223322cos 222222=-+=-+=⨯⨯a b c A b c -------7分2）π=+=++C B C B A 2 C B Ctan )23tan(=-+∴π 972cos 222=-+=ab c b a C 924cos 1sin 2=-=∴C C -------10分 ==∴C C C cos sin tan 724 -------14分 16.解：（1）由22430x ax a -+<，得()()30x a x a --<，又0a >，所以3a x a <<， 当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.q 为真时302x x -<-等价于()()230x x --<，得23x <<， 即q 为真时实数x 的取值范围是23x <<. 若p q ∨为真，则实数x 的取值范围是13x <<.（2）p 是q 的必要不充分条件，等价于q p ⇒且p q ⇒， 设{}3A x a x a =<<，{}23B x x =<<，则BA ；则02,33,233a a a a <≤⎧⎪≥⎨⎪==⎩与不同时取等号，所以实数a 的取值范围是12a ≤≤.17.解：（1）设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则),100(,50)]1(6[25N x x x x x x y ∈≤<--+-=， 即),100(,50202N x x x x y ∈≤<-+-=，由050202>-+-x x ，解得25102510+<<-x ， 而325102<-<，故从第三年开始运输累计收入超过总支出.（2）因为利润=累积收入+销售收入-总支出，所以销售二手货车后，小张的年平均利润 为)25(19)2519(1)]25([12xx x x x x y x y +-=-+-=-+=， 而925219)25(19=⋅-≤+-xx x x ，当且仅当5=x 时等号成立。

2021年高三下学期期初联考数学理试题 含答案一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 复数z ＝1＋i ，为z 的共轭复数，则 ( )．A ．－2iB ．－iC ．iD ．2i2. 已知是两个不同的平面，是不同的直线，下列命题不正确．．．的是( )． A ．若则 B ．若则C ．若则D ．若，则3. 为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图 1），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是（ ）． A ．30 B ．60 C ．70 D ．804．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）. A.14 B.24 C.28 D.485. 某程序框图如图 2所示，现将输出（值依次记为：若程序运行中输出的一个数组是则数组中的 ( )．A ．32B ．24C ．18D ．166. 抛物线的焦点为F ，点为该抛物线上的动点，又点则的最小值是（ ）． A ． B ． C ． D ．7. 设，点为所表示的平面区域内任意一点，，为坐标原点，为的最小值，则的最大值为（ ）．A ．B ．C ．D ．8. 将边长为的等边三角形沿轴滚动，某时刻与坐标原点重合（如图 3），设顶点的轨迹方程是，关于函数的有下列说法： ①的值域为；②是周期函数； ③；④.周长(cm)频率/组距0.010.02 0.04 图 1y其中正确的说法个数为：（ ）A ．0B ．C ．D ．二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．本大题分为必做题和选做题两部分.（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答. 9. 已知向量，，若，则实数的值等于 ． 10. 不等式的解集为 ．11. 设为等比数列的前n 项和，，则 .12. 函数的部分图象如图 4所示，点,，若，则等于 ．13. 如图 5，圆O ：内的正弦曲线与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分）随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率为 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答只计算前一题的得分.14.（极坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆上的点到直线的最大距离为 ．15.（几何证明选讲）如图 6，⊙O 中，直径AB 和弦DE 互相垂直，C 是DE 延长线上一点，连结BC 与圆O 交于F ，若,,，则________．三．解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本题满分12分）已知函数且函数的最小正周期为．(1)求的最大值及取得最大值的值； (2)若且，求的值．17.（本题满分12分）学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．(1) 求文娱队的人数；(2) 写出的概率分布列并计算．18.（本题满分14分）等边三角形的边长为,点、分别是边、上的点,且满足(如图7甲).将△沿折起到△的位置,使二面角成直二面角,连结、 (如图7乙).(1)求证:平面；（2)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.19.（本题满分14分）已知数列满足，．（1）求的值；（2）求证：数列是等比数列；Oxy AB C图 4图 6图 5BCE D1A 图乙图甲ABC DE（3）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．20.（本题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 1上的任一点到点（1，0）的距离与到直线的距离之比为，动点Q 是动圆C 2：上一点．（1）求曲线C 1的轨迹方程；（2）若点P 为曲线C 1上的点，直线PQ 与曲线C 1和动圆C 2均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离｜PQ ｜的最大值．21．（本题满分14分）已知函数，.（1）若函数在处取到极值,且成等差数列，求的值；（2）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立.求正整数 的最大值．xx 学年度高三理科数学测试题参考答案三．解答题：16. 解：24f (x )sin x sin(x )sin x cos x x )ππωωωωω=++=+=+……2分的最小正周期为，………………………………4分（1）的最大值为，当即时取得最大值；…………………………………………………………………………………………6分（2）因为，即①, ………………………………7分 且………………………………………………9分272311616(cos sin ),cos sin αααα-=+=∴-=②， (11)分由①、②解得…………………………………………………………12分17. (1)解法1：∵，∴． ……………………………………………………………………2分 即， ∴， ∴x=2．………………………………5分故文娱队共有5人． ……………………………………………………………………6分 解法2：因为会唱歌的有2人，故两项都会的可能1人或2人。

一、单选题二、多选题1. 已知抛物线：上一点到其焦点的距离为，则（ ）A．B．C．D．2. 四面体中，，，点是的中点，点在平面的射影恰好为的中点，则该四面体外接球的表面积为( )A．B．C．D．3. 记函数（，）的最小正周期为．为函数的极值点，且的图象关于对称，则的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44.已知函数，设甲：函数在区间上单调递增，乙：的取值范围是，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知定义在D的上函数满足下列条件：①函数为偶函数，②存在，在上为单调函数. 则函数可以是（ ）A．B．C．D．6. 设，则（ ）A．B．C．D．7. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得图象的一条对称轴的方程是（ ）A．B．C．D．8. 设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．9.点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，为切点，则（ ）A ．存在点，使得B．弦长的最小值为C ．点在以为直径的圆上D ．线段经过一个定点10. 设集合，则下列图象能表示集合到集合Q 的函数关系的有（ ）江苏省南通市2021-2022学年高三下学期第一次调研测试数学试题江苏省南通市2021-2022学年高三下学期第一次调研测试数学试题三、填空题A．B．C． D．11. 在四棱锥中，底面为矩形，侧面为等边三角形，，则（ ）A ．平面平面B．直线与所成的角的余弦值为C ．直线与平面所成的角的正弦值为D．该四棱锥外接球的表面积为12.设，，，点是线段上的一个动点，，若，则实数的值可以为（ ）A ．1B．C．D．13. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率，则曲线在（1，1）处的曲率为______；正弦曲线（x ∈R）曲率的平方的最大值为______.14. 如图，一张纸的长，宽，.M ，N 分别是AD ，BC 的中点.现将沿BD 折起，得到以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥，则三棱锥的外接球O 的半径为___________；在翻折的过程中，直线MN 被球O 截得的线段长的取值范围是___________.15. 集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________①的值可以为2；②的值可以为；③的值可以为；四、解答题16. 已知数列是等差数列，，且，，成等比数列．给定，记集合的元素个数为．(1)求，的值；(2)求最小自然数n的值，使得．17. 已知,分别为等腰直角三角形的边上的中点，，现把沿折起（如图2），连结，得到四棱锥．（1）证明：无论把转到什么位置，面面；（2）当四棱锥的体积最大时，求到面的距离及体积的最大值．18. 已知复数满足，的虚部为2.（1）求复数；（2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值.19. 已知是自然对数的底数，，.（1）当时，求证：在上单调递增；（2）是否存在实数，对任何，都有？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由.20. 坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干､腰､髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性､弹性及身体柔韧性，在对某高中1500名高三年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2cm和17.56.(1)求抽取的总样本的平均数；(2)试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总样本的平均数为，样本方差为，21. 已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若点为的左焦点，点为上位于第一象限的一点，M，N为y轴上的两个动点（点M在轴上方），满足，，线段PN交x轴于点Q.求证：为定值.。

2021年高三数学一校四题卷启东中学试题1：已知椭圆的中心在坐标原点O, A,C分别是椭圆的上下顶点，B是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，直线AF与BC相交于点D。

若椭圆的离心率为，则∠BDF的正切值。

解析：因为∠,tan∠ACB=,所以tan∠BDF=tan(∠CAF+∠ACB)=.试题2：已知数列满足（1）当k=1时，求（2）当k=2时,证明:解析：当k=1时，.(2)，所以(n所以n, 又试题3：已知椭圆的离心率e=，右准线L与x轴交于点p(4,0)，过p作两直线分别与椭圆交于A,B(A在B右）与C，D（C在D右）,直线AB与CD交于Q点。

（1）求椭圆方程。

（2）点Q在定直线上。

解析：（1）（2）设直线PA:代入椭圆方程，所以同理.所以所以直线BC：y-即y=①同理直线AD：y=②①②得x=1. 所以点Q在定直线x=1上。

试题4：已知函数.(1)在定义域上单调性相反，求的最小值。

（2）当时，求证：存在，使的三个不同的实数解，且对任意且都有解析：(1)因为22''22212(2)(),();(1)ax bx cx c x cf xg xx x x-+-+--==+当时，；①当时，对恒成立，所以，对恒成立，所以，在上为增函数。

根据和在定义域上单调性相反得，在上为减函数，所以对恒成立，即：，所以因为，当且仅当时，取最大值.所以，此时的最小值是，②当时，方程有两个不等的正实根当时，，为增函数；当时，，为减函数当时，，为增函数根据和在定义域上单调性相反得，当时，，为减函数；当时，，为增函数当时，，为减函数由此可得，的两个根也是，，且；又，即，所以由，得因此，=，因为时，为减函数，故=，综上所述，的最小值是(2)因为当时，，且一元二次方程的，所以有两个不相等的实根当时，为增函数；当时，为减函数；当时，为增函数；所以当时，一定有3个不相等的实根，，分别在内不妨设，因为，所以即即即所以所以令，则由（1）知在上为减函数，又所以当，又所以即c35786 8BCA 诊U- 34531 86E3 蛣30513 7731 眱36148 8D34 贴0p35871 8C1F 谟21667 54A3 咣24793 60D9 惙37572 92C4 鋄<。