高等数学教程(电子版)
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高等数学电子教案第一章:函数与极限1.1 函数的概念与性质定义:函数是一种规则,将一个非空数集(定义域)中的每一个元素对应到另一个非空数集(值域)中的唯一元素。
函数的性质:单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义:当自变量x趋近于某个值a时,函数f(x)趋近于某个确定的值L,称f(x)当x趋近于a时的极限为L,记作:lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质:保号性、传递性、夹逼性等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法:代数法、几何法、泰勒公式等。
极限的运算法则:加减法、乘除法、复合函数的极限等。
1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念:当自变量x趋近于某个值a时,如果函数f(x)趋近于0,称f(x)为无穷小。
无穷大的概念:当自变量x趋近于某个值a时,如果函数f(x)趋近于正无穷或负无穷,称f(x)为无穷大。
第二章:导数与微分2.1 导数的定义导数的定义:函数f(x)在点x处的导数,记作f'(x)或df/dx,表示函数在该点的瞬时变化率。
导数的几何意义:函数图像在某点处的切线斜率。
2.2 导数的计算基本导数公式:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数。
导数的运算法则:和差法、乘法法、链式法则等。
2.3 微分的概念与计算微分的定义:函数f(x)在点x处的微小变化量,记作df(x)。
微分的计算:微分的基本公式df(x)=f'(x)dx,以及微分的运算法则。
2.4 微分方程的概念与解法微分方程的定义:含有未知函数及其导数的方程。
微分方程的解法:分离变量法、积分因子法等。
第三章:积分与面积3.1 不定积分的概念与计算不定积分的定义:函数f(x)的不定积分,记作∫f(x)dx,表示f(x)与x轴之间区域的面积。
基本积分公式:幂函数、指数函数、对数函数等的不定积分。
3.2 定积分的概念与计算定积分的定义:函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作∫[a,b]f(x)dx,表示f(x)在[a,b]区间上的累积面积。
高等数学教程(电子版)目录一、函数与极限 (3)1、集合的概念 (3)2、常量与变量 (4)2、函数 (5)3、函数的简单性态 (5)4、反函数 (6)5、复合函数 (7)6、初等函数 (7)7、双曲函数及反双曲函数 (8)8、数列的极限 (9)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (12)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。
集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。
比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。
⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。
⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作,并规定,空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论:①、任何一个集合是它本身的子集。
高等数学(电子版)第一章函数与极限1.1 函数的概念函数是数学中最基本的概念之一,它描述了两个变量之间的依赖关系。
在高等数学中,我们主要研究实数集上的函数,即定义域和值域都是实数集的函数。
1.2 函数的性质函数具有许多重要的性质,如单调性、奇偶性、周期性等。
这些性质有助于我们更好地理解和分析函数的行为。
1.3 极限的概念极限是研究函数在某一点附近行为的一种方法。
当我们讨论一个函数的极限时,我们关注的是当自变量趋近于某个特定值时,函数值的变化趋势。
1.4 极限的运算法则极限运算法则是指对于一些基本函数的极限,我们可以通过简单的运算得到它们的极限。
这些运算法则包括极限的四则运算、复合函数的极限、数列的极限等。
1.5 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述函数极限的两种特殊情况。
无穷小是指当自变量趋近于某个特定值时,函数值趋近于0;无穷大是指当自变量趋近于某个特定值时,函数值趋近于正无穷大或负无穷大。
1.6 连续性与间断点连续性是函数的一个重要性质,它描述了函数在某一点附近的行为。
如果一个函数在某个点连续,那么它在该点附近的极限存在且等于该点的函数值。
间断点是函数不连续的点,它们在函数图像上表现为跳跃或断开。
第二章导数与微分2.1 导数的概念导数是描述函数在某一点附近变化率的一种方法。
它表示了函数在该点的斜率,即函数图像在该点的切线斜率。
2.2 导数的运算法则导数运算法则是指对于一些基本函数的导数,我们可以通过简单的运算得到它们的导数。
这些运算法则包括导数的四则运算、复合函数的导数、幂函数的导数等。
2.3 高阶导数高阶导数是指函数的导数的导数。
它们描述了函数在某一点附近更复杂的变化率。
高阶导数在研究函数的凹凸性、拐点等方面具有重要意义。
2.4 微分的概念微分是导数的一种应用,它描述了函数在某一点附近的微小变化。
微分运算可以用来求解一些实际问题,如曲线的切线问题、最值问题等。
2.5 微分的应用微分在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
高等数学电子教案第一章:函数与极限1.1 函数的概念与性质定义:函数是一种关系,将一个集合(定义域)中的每个元素对应到另一个集合(值域)中的一个元素。
函数的性质:单调性、连续性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义:当自变量x趋近于某个值a时,函数f(x)趋近于某个值L,称f(x)当x趋近于a时的极限为L,记作lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质:保号性、保不等式性、夹逼定理等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法:代入法、因式分解法、有理化法等。
无穷小与无穷大的概念:无穷小是指绝对值趋近于0的量,无穷大是指绝对值趋近于无穷的量。
1.4 极限的应用函数的连续性:如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值,称该函数在这一点连续。
导数的概念:函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。
第二章:微积分基本定理2.1 导数的定义与计算导数的定义:函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率,记作f'(x)。
导数的计算:基本导数公式、导数的四则运算法则等。
2.2 微分的概念与计算微分的定义:微分表示函数在某一点的切线与x轴的交点横坐标的差值,记作df(x)。
微分的计算:微分的基本公式、微分的四则运算法则等。
2.3 积分的概念与计算积分的定义:积分表示函数图像与x轴之间区域的面积,记作∫f(x)dx。
积分的计算:基本积分公式、积分的换元法、分部积分法等。
2.4 微积分基本定理微积分基本定理的定义:微积分基本定理是微分与积分之间的关系,即导数的不定积分是原函数,积分的反函数是原函数的导数。
第三章:微分方程3.1 微分方程的定义与分类微分方程的定义:微分方程是含有未知函数及其导数的等式。
微分方程的分类:常微分方程、偏微分方程等。
3.2 常微分方程的解法常微分方程的解法:分离变量法、积分因子法、变量替换法等。
3.3 微分方程的应用微分方程在物理、工程等领域的应用,例如描述物体运动、电路方程等。
第四章:级数4.1 级数的概念与性质级数的定义:级数是由无穷多个数按照一定的规律相加的序列,记作∑an。
第一章极限与连续第一节 数列的极限 一、数列极限的概念按照某一法则,对于每一个+∈N n ,对应一个确定的实数n x ,将这些实数按下标n 从小到大排列,得到一个序列,,,,21n x x x称为数列,简记为数列}{n x ,n x 称为数列的一般项。
例如:,1,,43,32,21+n n ,2,,8,4,2n,21,,81,41,21n,)1(,,1,1,11+--n,)1(,,56,43,34,21,21nn n --+ 一般项分别为1+n n ,n2,n 21,1)1(+-n ,n n n 1)1(--+数列}{n x 可看成自变量取正整数n 的函数,即)(n f x n =,+∈N n设数列nn x n n 1)1(--+=,来说明数列}{n x 以1为极限。
为使100111)1(|1|1<=--+=--n n n x n n ,只需要100>n ,即从101项以后各项都满足1001|1|<-n x , 为使100000111)1(|1|1<=--+=--n n n x n n ,只需要100000>n ,即从100001项以后各项都满足1000001|1|<-n x , 为使ε<=--+=--nn n x n n 11)1(|1|1(ε是任意给定的小正数),只需要ε1>n ,即当ε1>n 以后,各项都满足ε<-|1|n x 。
令]1[ε=N ,当N n >时,ε1>n ,因此有ε<-|1|n x ,即任意给定小正数ε,总存在正整数]1[ε=N ,当N n >时的一切n x 都满足ε<-|1|n x ,则定义:设}{n x 为一数列,如果存在常数a ,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N ,使得当N n >时的一切n x 都满足不等式ε<-||a x n则说常数a 是数列}{n x 的极限,或者说数列}{n x 收敛于a ,记为a x n n =∞→lim 或 a x n →)(∞→n如果不存在这样的常数a ,则说数列}{n x 没有极限,或者说数列}{n x 发散。
第一章极限与连续第一节 数列的极限 一、数列极限的概念按照某一法则,对于每一个+∈N n ,对应一个确定的实数n x ,将这些实数按下标n 从小到大排列,得到一个序列,,,,21n x x x称为数列,简记为数列}{n x ,n x 称为数列的一般项。
例如:,1,,43,32,21+n n ,2,,8,4,2n,21,,81,41,21n,)1(,,1,1,11+--n,)1(,,56,43,34,21,21n n n --+ 一般项分别为1+n n ,n 2,n 21,1)1(+-n ,n n n 1)1(--+数列}{n x 可瞧成自变量取正整数n 的函数,即)(n f x n =,+∈N n设数列nn x n n 1)1(--+=,来说明数列}{n x 以1为极限。
为使100111)1(|1|1<=--+=--n n n x n n ,只需要100>n ,即从101项以后各项都满足1001|1|<-n x , 为使100000111)1(|1|1<=--+=--n n n x n n ,只需要100000>n ,即从100001项以后各项都满足1000001|1|<-n x , 为使ε<=--+=--nn n x n n 11)1(|1|1(ε就是任意给定的小正数),只需要ε1>n ,即当ε1>n 以后,各项都满足ε<-|1|n x 。
令]1[ε=N ,当N n >时,ε1>n ,因此有ε<-|1|n x ,即任意给定小正数ε,总存在正整数]1[ε=N ,当N n >时的一切n x 都满足ε<-|1|n x ,则定义:设}{n x 为一数列,如果存在常数a ,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N ,使得当N n >时的一切n x 都满足不等式ε<-||a x n则说常数a 就是数列}{n x 的极限,或者说数列}{n x 收敛于a ,记为a x n n =∞→lim 或 a x n →)(∞→n如果不存在这样的常数a ,则说数列}{n x 没有极限,或者说数列}{n x 发散。
目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。
集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。
比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a∉A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A⊆B(或B⊇A)。
⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。
⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作∅,并规定,空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论:①、任何一个集合是它本身的子集。
高等数学电子教案(最新版)第一章:函数与极限1.1 函数的概念与性质定义:函数是一种关系,对于每一个自变量值,都有唯一确定的因变量值与之对应。
函数的性质:奇偶性、单调性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义:当自变量趋向于某个值时,函数值趋向于某个确定的值,这个确定的值称为极限。
极限的性质:保号性、传递性等。
1.3 极限的计算基本极限:\(\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1\), \(\lim_{x \to \infty} e^x = \infty\) 等。
极限的运算法则:加减乘除、乘方等。
1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念:当自变量趋向于某个值时,函数值趋向于0。
无穷大的概念:当自变量趋向于某个值时,函数值趋向于正无穷或负无穷。
第二章:导数与微分2.1 导数的定义导数的定义:函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
导数的几何意义:函数图像在某一点的切线斜率。
2.2 导数的计算基本导数公式:\( (x^n)' = nx^{n-1} \), \( (sin x)' = cos x \), \( (cos x)' = -sin x \) 等。
导数的运算法则:和差、乘积、商、复合函数等。
2.3 微分微分的定义:微分是导数的一个线性近似。
微分的计算:对函数进行微分,即将自变量的增量转化为微分的形式。
2.4 应用求函数的极值:求导数,令导数为0,解出x值,再代入原函数求出极值。
求函数的单调区间:求导数,判断导数的正负,确定函数的单调性。
第三章:泰勒公式与导数的应用3.1 泰勒公式泰勒公式的定义:用函数在某一点的导数信息来近似表示函数本身。
泰勒公式的应用:求解函数在某一点的近似值。
3.2 洛必达法则洛必达法则的定义:当函数在某一点的导数为0时,可以用该点的其他导数信息来求解函数值。
洛必达法则的应用:求解函数在某一点的极限值。
3.3 泰勒展开泰勒展开的定义:将函数在某一点的泰勒公式展开,得到函数在该点的多项式近似。
目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。
集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。
比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑵、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。
⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。
⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作,并规定,空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论:①、任何一个集合是它本身的子集。
目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。
集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。
比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。
⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。
⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作,并规定,空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论:①、任何一个集合是它本身的子集。
高等数学电子教案(最新版)第一章:函数与极限1.1 函数的概念与性质定义:函数是一种关系,将一个非空数集A中的每一个元素在非空数集B中都有唯一确定的元素和它对应。
函数的性质:单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义:当自变量x趋向于某一数值a时,函数f(x)趋向于某一数值L,我们称f(x)当x趋向于a时的极限为L,记作:lim(f(x),a)=L。
1.3 极限的运算极限的四则运算法则:1)lim(f(x)+g(x),a)=lim(f(x),a)+lim(g(x),a)2)lim(f(x)g(x),a)=lim(f(x),a)lim(g(x),a)3)lim(f(x)/g(x),a)=lim(f(x),a)/lim(g(x),a) (g(x)≠0)4)lim(cu(x),a)=lim(c,a)lim(u(x),a) (c为常数,u(x)可导)1.4 无穷小与无穷大无穷小的定义:当自变量x趋向于某一数值a时,如果存在一个正数M,使得对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当0<|x-a|<δ时,都有|f(x)|<M,则称f(x)为无穷小。
无穷大的定义:当自变量x趋向于某一数值a时,如果存在一个正数M,使得对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当0<|x-a|<δ时,都有|f(x)|>M,则称f(x)为无穷大。
第二章:导数与微分2.1 导数的定义导数的定义:函数f(x)在x处的导数定义为f'(x)=lim(f(x+Δx)-f(x),Δx)=lim(Δx,0)f'(x+Δx)。
2.2 导数的运算导数的四则运算法则:1)(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)2)(f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)3)(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)4)(cu(x))'=c'u(x)+cu'(x) (c为常数,u(x)可导)2.3 微分微分的定义:函数f(x)在x处的微分定义为df(x)=f'(x)Δx。
目录一、函数与极限 (2)1、会集的看法··············································22、常量与变量..............................................3 2、函数..................................................4 3、函数的简单性态............................................4 4、反函数...................................................5 5、复合函数..................................................6 6、初等函数..................................................6 7、双曲函数及反双曲函数......................................7 8、数列的极限..............................................8 9、函数的极限..............................................9 10、函数极限的运算规则. (11)一、函数与极限1、会集的看法一般地我把研究象称元素,把一些元素成的体叫会集(称集)。
高等数学电子教案(I V)第一章:函数与极限1.1 函数的概念与性质定义与例子:函数的定义,常函数,线性函数,二次函数等。
函数的性质:单调性,奇偶性,周期性,连续性等。
1.2 极限的概念与性质极限的定义:无穷小,无穷大,极限的直观含义。
极限的性质:保号性,传递性,夹逼定理等。
1.3 极限的计算极限的基本法则:代数法则,乘法法则,除法法则等。
极限的运算法则:和差极限,积极限,商极限等。
第二章:导数与微分2.1 导数的概念与性质导数的定义:导数的定义,导数的几何意义,导数的物理意义。
导数的性质:导数的单调性,连续性,奇偶性等。
2.2 导数的计算导数的运算法则:和差导数,积导数,商导数等。
高阶导数:二阶导数,三阶导数等。
2.3 微分的作用与应用微分的定义:微分的概念,微分的意义。
微分的应用:微分在函数图像上的作用,微分在物理上的应用等。
第三章:微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理罗尔定理:罗尔定理的定义,罗尔定理的证明。
拉格朗日中值定理:拉格朗日中值定理的定义,拉格朗日中值定理的证明。
柯西中值定理:柯西中值定理的定义,柯西中值定理的证明。
3.2 导数的应用函数的单调性:单调增函数,单调减函数。
函数的极值:极大值,极小值。
函数的图像:凹凸性,拐点等。
第四章:泰勒公式与导数在实际问题中的应用4.1 泰勒公式的概念与性质泰勒公式的定义:泰勒公式的定义,泰勒公式的意义。
泰勒公式的性质:泰勒公式的单调性,连续性等。
4.2 泰勒公式的计算泰勒公式的运算法则:泰勒公式的展开,泰勒公式的计算。
4.3 导数在实际问题中的应用优化问题:最值问题,最短路径问题等。
物理问题:速度,加速度,力等。
第五章:不定积分与定积分5.1 不定积分的概念与性质不定积分的定义:不定积分的概念,不定积分的意义。
不定积分的性质:不定积分的单调性,连续性等。
5.2 不定积分的计算不定积分的运算法则:基本积分公式,积分法则等。
5.3 定积分的概念与性质定积分的定义:定积分的概念,定积分的意义。
高等数学电子教案word【篇一:同济第六版《高等数学》教案word版-第01章函数与极限】第一章函数与极限教学目的:1、理解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。
教学重点:1、复合函数及分段函数的概念;2、基本初等函数的性质及其图形;3、极限的概念极限的性质及四则运算法则;4、两个重要极限;5、无穷小及无穷小的比较;6、函数连续性及初等函数的连续性;7、区间上连续函数的性质。
教学难点:1、分段函数的建立与性质;2、左极限与右极限概念及应用;3、极限存在的两个准则的应用;4、间断点及其分类;5、闭区间上连续函数性质的应用。
1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用a, b, c….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合m的元素表示为a m.集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.例如a={a, b, c, d, e, f, g}.描述法: 若集合m是由元素具有某种性质p的元素x的全体所组成, 则m可表示为 a={a1, a2, ? ? ?, an},m={x | x具有性质p }.例如m={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}.几个数集:n表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.n={0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}. n+={1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.r表示所有实数构成的集合, 称为实数集.z表示所有整数构成的集合, 称为整数集.z={? ? ?, -n, ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.p q={|p∈z,q∈n+且p与q互质} q子集: 若x∈a, 则必有x∈b, 则称a是b的子集, 记为a?b(读作a包含于b)或b?a .如果集合a与集合b互为子集, a?b且b?a, 则称集合a与集合b相等, 记作a=b.若a?b且a≠b, 则称a是b的真子集, 记作a?≠b . 例如, n?≠z?≠q?≠r.不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设a、b是两个集合, 由所有属于a或者属于b的元素组成的集合称为a与b的并集(简称并), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a或x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有既属于a又属于b的元素组成的集合称为a与b的交集(简称交), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a且x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有属于a而不属于b的元素组成的集合称为a与b的差集(简称差), 记作a\b, 即a\b={x|x∈a且x?b}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合i中进行, 所研究的其他集合a都是i的子集. 此时, 我们称集合i为全集或基本集. 称i\a为a 的余集或补集, 记作ac.集合运算的法则:设a、b、c为任意三个集合, 则(1)交换律a?b=b?a, a?b=b?a;(2)结合律 (a?b)?c=a?(b?c), (a?b)?c=a?(b?c);(3)分配律 (a?b)?c=(a?c)?(b?c), (a?b)?c=(a?c)?(b?c);(4)对偶律 (a?b)c=ac ?bc, (a?b)c=ac ?bc.(a?b)c=ac ?bc的证明:x∈(a?b)c?x?a?b?x?a且x?b?x∈a c且x∈bc ?x∈ac ?bc, 所以(a?b)c=ac ?bc.直积(笛卡儿乘积):设a、b是任意两个集合, 在集合a中任意取一个元素x, 在集合b 中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合a与集合b的直积, 记为a?b, 即 a?b={(x, y)|x∈a且y∈b}.例如, r?r={(x, y)| x∈r且y∈r }即为xoy面上全体点的集合, r?r常记作r2.3. 区间和邻域有限区间:设ab, 称数集{x|axb}为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)={x|axb}.类似地有[a, b] = {x | a ≤x≤b }称为闭区间,[a, b) = {x | a≤xb }、(a, b] = {x | ax≤b }称为半开区间.其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a称为区间的长度.无限区间:[a, +∞) = {x | a≤x }, (-∞, b] = {x | x b } , (-∞, +∞)={x | | x | +∞}.区间在数轴上的表示:邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作u(a).二、映射1. 映射的概念定义设x、y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对x中每个元素x, 按法则f, 在y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从x 到y的映射, 记作f : x→y ,其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合x称为映射f的定义域, 记作d f, 即d f=x ;x中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为r f, 或f(x), 即r f=f(x)={f(x)|x∈x}.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合x, 即定义域d f=x; 集合y, 即值域的范围: r f ?y; 对应法则f, 使对每个x∈x, 有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个x∈x, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y∈r f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域r f是y的一个子集, 即r f ?y, 不一定r f=y .例1设f : r→r, 对每个x∈r, f(x)=x2.显然, f是一个映射, f的定义域d f=r, 值域r f ={y|y≥0}, 它是r的一个真子集. 对于r f 中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的. 如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.例2设x={(x, y)|x2+y2=1}, y={(x, 0)||x|≤1}, f : x →y, 对每个(x, y)∈x, 有唯一确定的(x, 0)∈y与之对应.显然f是一个映射, f的定义域d f=x, 值域r f =y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1, 1]上.(3) f :[-, ]→[-1, 1], 对每个x∈[-, ], f(x)=sin x . 2222f是一个映射, 定义域d f =[-, ], 值域r f =[-1, 1]. 22满射、单射和双射:设f是从集合x到集合y的映射, 若r f =y, 即y中任一元素y都是x 中某元素的像, 则称f为x到y上的映射或满射; 若对x中任意两个不同元素x 1≠x 2, 它们的像f(x 1)≠f(x 2), 则称f为x到y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射?2. 逆映射与复合映射设f是x到y的单射, 则由定义, 对每个y∈r f , 有唯一的x∈x, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从r f 到x的新映射g, 即g : r f →x,对每个y∈r f , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1, 其定义域df-1=r f , 值域rf-1=x .按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射?设有两个映射g : x→y 1,f : y 2→z,其中y 1?y 2. 则由映射g和f可以定出一个从x到z的对应法则, 它将每个x∈x映射成f[g(x)]∈z . 显然, 这个对应法则确定了一个从x 到z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即f o g: x →z,(f o g)(x)=f[g(x)], x∈x .应注意的问题:映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域r g必须包含在f的定义域内, r g?d f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f 的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g 与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同.例4 设有映射g : r→[-1, 1], 对每个x∈r, g(x)=sin x,映射f : [-1, 1]→[0, 1], 对每个u∈[-1, 1], f(u)=-u2.则映射g和f构成复映射f o g: r→[0, 1], 对每个x∈r, 有(f g)(x)=f[g(x)]=f(sinx)=-sin2x=|cosx|.三、函数1. 函数概念定义设数集d?r, 则称映射f : d →r为定义在d上的函数, 通常简记为y=f(x), x∈d,其中x称为自变量, y称为因变量, d称为定义域, 记作d f, 即d f=d.应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便,习惯上常用记号“f(x), x∈d”或“y=f(x), x∈d”来表示定义在d上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“f”, “?”等. 此时函数就记作y=? (x), y=f(x).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在r内, 因此构成函数的要素是定义域d f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:1 求函数y=-x2-4的定义域. x要使函数有意义, 必须x≠0, 且x2 - 4≥0.解不等式得| x |≥2.所以函数的定义域为d={x | | x |≥2}, 或d=(-∞, 2]?[2, +∞]).单值函数与多值函数:【篇二:同济第六版《高等数学》教案word版-第02章导数与微分】第二章导数与微分教学目的:1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (9)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (12)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。
集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。
比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。
⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。
⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作,并规定,空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论:①、任何一个集合是它本身的子集。
即A A②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。
记作A ∪B。
(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。
)即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。
⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。
记作A ∩B。
即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。
⑶、补集:①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。
通常记作U。
②补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集。
简称为集合A的补集,记作C U A。
即C U A={x|x∈U,且x A}。
集合中元素的个数⑴、有限集:我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集。
⑵、用card来表示有限集中元素的个数。
例如A={a,b,c},则card(A)=3。
⑶、一般地,对任意两个集合A、B,有card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)我的问题:1、学校里开运动会,设A={x|x是参加一百米跑的同学},B={x|x是参加二百米跑的同学},C ={x|x是参加四百米跑的同学}。
学校规定,每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项,请你用集合的运算说明这项规定,并解释以下集合运算的含义。
⑴、A∪B;⑵、A∩B。
2、在平面直角坐标系中,集合C={(x,y)|y=x}表示直线y=x,从这个角度看,集合D={(x,y)|方程组:2x-y=1,x+4y=5}表示什么?集合C、D之间有什么关系?请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。
3、已知集合A={x|1≤x≤3},B={x|(x-1)(x-a)=0}。
试判断B是不是A的子集?是否存在实数a使A =B成立?4、对于有限集合A、B、C,能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢?5、无限集合A={1,2,3,4,…,n,…},B={2,4,6,8,…,2n,…},你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗?2、常量与变量⑴、变量的定义:我们在观察某一现象的过程时,常常会遇到各种不同的量,其中有的量在过程中不起变化,我们把其称之为常量;有的量在过程中是变化的,也就是可以取不同的数值,我们则把其称之为变量。
注:在过程中还有一种量,它虽然是变化的,但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的,我们则把它看作常量。
⑵、变量的表示:如果变量的变化是连续的,则常用区间来表示其变化范围。
在数轴上来说,区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。
区间的名称区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示闭区间a≤x≤b[a,b]开区间a<x<b (a,b)半开区间a<x≤b或a≤x<b (a,b]或[a,b)以上我们所述的都是有限区间,除此之外,还有无限区间:[a,+∞):表示不小于a的实数的全体,也可记为:a≤x<+∞;(-∞,b):表示小于b的实数的全体,也可记为:-∞<x<b;(-∞,+∞):表示全体实数,也可记为:-∞<x<+∞注:其中-∞和+∞,分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。
⑶、邻域:设α与δ是两个实数,且δ>0.满足不等式│x-α│<δ的实数x的全体称为点α的δ邻域,点α称为此邻域的中心,δ称为此邻域的半径。
2、函数⑴、函数的定义:如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时,量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应,则称y是x的函数。
变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。
通常x叫做自变量,y 叫做函数值(或因变量),变量y的变化范围叫做这个函数的值域。
注:为了表明y是x的函数,我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。
这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。
如果自变量在定义域内任取一个确定的值时,函数只有一个确定的值和它对应,这种函数叫做单值函数,否则叫做多值函数。
这里我们只讨论单值函数。
⑵、函数相等由函数的定义可知,一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域。
由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,我们就称两个函数相等。
⑶、域函数的表示方法a):解析法:用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。
例:直角坐标系中,半径为r、圆心在原点的圆的方程是:x2+y2=r2b):表格法:将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。
例:在实际应用中,我们经常会用到的平方表,三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c):图示法:用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。
一般用横坐标表示自变量,纵坐标表示因变量。
例:直角坐标系中,半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为:3、函数的简单性态⑴、函数的有界性:如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立,其中M是一个与x无关的常数,那么我们就称f(x)在区间I有界,否则便称无界。
注:一个函数,如果在其整个定义域内有界,则称为有界函数例题:函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.⑵、函数的单调性:如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大,即:对于(a,b)内任意两点x1及x2,当x1<x2时,有,则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。
如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小,即:对于(a,b)内任意两点x1及x2,当x1<x2时,有,则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。
例题:函数=x2在区间(-∞,0)上是单调减小的,在区间(0,+∞)上是单调增加的。
⑶、函数的奇偶性如果函数对于定义域内的任意x都满足=,则叫做偶函数;如果函数对于定义域内的任意x都满足=-,则叫做奇函数。
注:偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称。
⑷、函数的周期性对于函数,若存在一个不为零的数l,使得关系式对于定义域内任何x值都成立,则叫做周期函数,l是的周期。
注:我们说的周期函数的周期是指最小正周期。
例题:函数是以2π为周期的周期函数;函数tgx是以π为周期的周期函数。
4、反函数⑴、反函数的定义:设有函数,若变量y在函数的值域内任取一值y0时,变量x在函数的定义域内必有一值x0与之对应,即,那末变量x是变量y的函数.这个函数用来表示,称为函数的反函数.注:由此定义可知,函数也是函数的反函数。
⑵、反函数的存在定理:若在(a,b)上严格增(减),其值域为R,则它的反函数必然在R 上确定,且严格增(减).注:严格增(减)即是单调增(减)例题:y=x2,其定义域为(-∞,+∞),值域为[0,+∞).对于y取定的非负值,可求得x=±.若我们不加条件,由y的值就不能唯一确定x的值,也就是在区间(-∞,+∞)上,函数不是严格增(减),故其没有反函数。
如果我们加上条件,要求x≥0,则对y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0时的反函数。
即是:函数在此要求下严格增(减).⑶、反函数的性质:在同一坐标平面内,与的图形是关于直线y=x对称的。
例题:函数与函数互为反函数,则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x对称的。
如右图所示:5、复合函数复合函数的定义:若y是u 的函数:,而u又是x 的函数:,且的函数值的全部或部分在的定义域内,那末,y通过u的联系也是x 的函数,我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数,简称复合函数,记作,其中u叫做中间变量。
注:并不是任意两个函数就能复合;复合函数还可以由更多函数构成。
例题:函数与函数是不能复合成一个函数的。
因为对于的定义域(-∞,+∞)中的任何x值所对应的u值(都大于或等于2),使都没有定义。
6、初等函数⑴、基本初等函数:我们最常用的有五种基本初等函数,分别是:指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。
下面我们用表格来把它们总结一下:函数名称函数的记号函数的图形函数的性质指数函数a):不论x为何值,y总为正数;b):当x=0时,y=1.对数函数a):其图形总位于y轴右侧,并过(1,0)点b):当a>1时,在区间(0,1)的值为负;在区间(-,+∞)的值为正;在定义域内单调增.幂函数a为任意实数这里只画出部分函数图形的一部分。
令a=m/na):当m为偶数n为奇数时,y是偶函数;b):当m,n都是奇数时,y是奇函数;c):当m奇n偶时,y在(-∞,0)无意义.三角函数(正弦函数)这里只写出了正弦函数a):正弦函数是以2π为周期的周期函数b):正弦函数是奇函数且反三角函数(反正弦函数)这里只写出了反正弦函数a):由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在[-π/2,π/2]上,并称其为反正弦函数的主值.⑵、初等函数:由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.例题:是初等函数。