《高等数学习题课教程》.ppt

2
第3章 导数和微分
一、教学要求
3
二、内容提要
本章主要介绍了导数和微分的概念与计算方法.
1. 基本内容：
导数的概念；微分的概念；导数和微分的基本公式； 求导数和微分的方法.
2. 求导数和微分的主要方法有：
(1) 利用导数的定义和四则运算求导数. (2) 复合函数求导法. (3) 分段函数求导法. (4) 隐函数求导法. (5) 对数求导法. (6) 参数方程求导法. (7) 微分法.
4
三、解题指导
5
三、解题指导
1. 利用导数的定义和四则运算求导数
6
三、解题指导
7
三、解题指导
8
三、解题指导
9
2. 复合函数求导法
三、解题指导
10
三、解题指导
11
三、解题指导
12
3. 分段函数求导法
三、解题指导
13
三、解题指导
14
三、解题指导
15
4. 隐函数求导法
三、解题指导
16
三、解题指导
17
5. 对数求导法
三、解题指导
18
6. 参数方程求导法
三、解题指导
19
三、解题指导
20
习题3-1 导数的概念
参见教材P27
21
习题3-2 求 导 法 则
参见教材P28
22
习题3-3 高 阶 导 数
参见教材P31
23
习题3-4 微 分
参见教材P31
24
自测题3参见ຫໍສະໝຸດ 材P33

2、向量的向量积（结果是一个向量）
几何应用要点：
(1) 求与两个非共线向量同时垂直的向量： S a b 或 S b a .
(2) 求以向量 a,b为邻边的平行四边形的面积： S|ab|.
(3) 求以A, B,C为顶点的三角.形面积 (4)给定不共 A,B,线 C,求 的 A到三 直 B点 的 C 线距 .
两向量夹角余弦的坐标表示式
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
xx1yy1zz1,
m1
n1
p1
xx2yy2zz2,
m2
n2
p2
^ cL o 1 ,L 2 s ) (m 1 2 |m n 1 1 2 m 2 p 1 2 n 1 n 2 m 2 2 p 1 p n 2 2 |2 p 2 2
二、1、点到平面的距离
设 P0(x0,y0,z0)是 平 面 A xB yC zD0
外 一 点 ， 求 P0到 平 面 的 距 离 .
n
P 1 (x 1 ,y 1 ,z1 ) d |Pnr P 1P j0|
P0
d|A0 xB0 yC0 zD |. P1
N
A 2B 2C 2
点到平面的距离公式
sin | s n|
|A m B n C|p
| s || n | A 2B 2C 2 m 2n 2p2
直线与平面的夹角正弦公式
二、典型例题
例1 已 求a 知 一 i， b 单 n j0 ， 使 2k 位 n ,c 0 c ， 2且 i 向 n 2 0 j,a ,量 b k ,共面 解 设 n 0 x i y j z k , 由题设条件得
解之 t10 ,t2 得 0 , A ( 0 ,0 , 1 )B ,( 2 ,2 ,3 ) 点 M 0(1 ,1 ,1 )和 B (2 ,2 ,3 )同在 L 上 ,直线 故 L的方程为

n0
q 叫做几何级数(又称为等比级数)，其中 a 0， 叫做级数的公比．
试讨论级数(3)的收敛性．
解 如果 q 1，则根据等比数列前 n 求和公式，得
sn

a

aq

aqn1

a(1 1
qn) q

a 1 q

aqn 1 q
.
2019-8-29
谢谢欣赏
9
当| q | 1时，由于 lim qn 0，从而
谢谢欣赏
n1
8
s s 显然，当级数（1）收敛时，其部分和 n 是级数和 的近似值，
它们之间的差值
rn s sn un1 un2
s 叫做级数的余项．用近似值 s n代替和 所产生的误差是这个余项
的绝对值，即误差是 | rn |．
例1 无穷级数
aqn a aq aq2 aqn (3)
概念．
s 定义2
如果级数

n1
u
n的部分和数列
lim
n
sn

s,
{s
n
}
有极限，即
则称无穷级数收敛，这时极限 叫做该级数的和，并写成

s un u1 u2 un ;
n1

{s } 如果部分和数列 2019-8-29
n
没有极限，则称无穷级数 un 发散．
的内接正 3 2n边形的面积就逐步逼近圆面积 A, 进而有
A a1 a2 a3 an .
n 如果内接正多边形的边数无限增多，即 无限增大，则和
a1 a2 an
的极限就是所要求的圆面积，即

即
F 2 (x ) x 1 4 s4 ix n C
F ( 0 ) 1 , CF2(0)1,又 F(x)0, 因此
F (x )x 1 4 s4 ix n 1
故
f(x)F (x) sin22x
x14sin4x1
目录 上页 下页 返回 结束
二、几种特殊类型的积分
1. 一般积分方法
有理函数
分解
指数代换 万能代换 根式代换
exarcetx axn1 2ln (1e2x)C
目录 上页 下页 返回 结束
例6. 求 (x 3 x 2 )e 2 xd x.
解: 取 ux3x2, v(4)e2x
u(k) x3x2 3x21 6x
60
v(4k)
e 2x
1 2
e
2x
1 4
e
2x
1 8
e2x
1 16
e2x
原式 e2x1 2(x3x2)1 4(3x21)816x1166C
多项式及 部分分式之和
指数函数有理式
三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
目录 上页 下页 返回 结束
2. 需要注意的问题
(1) 一般方法不一定是最简便的方法, 要注意综合
使用各种基本积分法, 简便计算 .
(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一
定都能积出.
例如 , ex2 dx,
u v ( n ) u v ( n 1 ) u v ( n 2 ) ( 1 )n 1u (n 1 )v d x
快速计算表格:
u(k)
u u u
u(n) u(n1)
(1)n (1)n1
v(n1k) v(n1) v(n) v(n1) v v

(或
lim n
n
an
)
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时,R 0 .
高等数学
§11 习题课
(2)幂级数的运算
a.代数运算性质
b.和函数的分析运算性质
幂级数 an xn 的和函数s( x) 在收敛区间 n0
( R, R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.
幂级数 an xn 的和函数s( x)在收敛区间 n0
( R, R)内可导, 并可逐项求导和求积.
高等数学
§11 习题课
6、幂级数展开式
(1) 直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
( x)cos nxdx, ( x)sin nxdx,
(n 0,1,2,) (n 1,2,)
高等数学
§11 习题课
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
设 f ( x) 是以2 为周期的周期函数.如果它满足 条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断 点,并且至多只有有限个极值点,则 f ( x) 的傅里叶级 数收敛,并且
(1) 当x 是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
(2) 当x 是 f ( x)的间断点时,
收敛于
f (x
0)
f (x
0)
;
2
(3) 当 x为端点 x 时,收敛于 f ( 0) f ( 0) .
2

4（4）lim (13ta2x n)co2x t x 0
解：lim (13ta2x n)co2x t
x 0
lim (13ta2nx)3ta12nx3 e3
x0
x1
x1
（5）
lim x
3 6
x x
2
lx im (6xx1))
3
e2
7
总界面 上页 下页 返回 结束
第一章 函数与极限
（6） lim 1taxn 1six n x 0 x1si2n xx
解：lim 1taxn 1six n x 0 x1si2n xx
lim ta x s nx in
1
x 0x (1 s2 ix n 1 ) 1 ta x n 1 sx in
12lxim 0ta1nxx(1sinc2 xosx)
第一章 函数与极限
3（6）limsinxsina
解：
xa xa limsinxsina
2sinxacoxsa
lim 2
2
xa xa
xa
xa
co as
（7） lim ( x2xx2x) x
解：lim ( x2xx2x)
x
lim 2x
1
x x2x x2x
6
总界面 上页 下页 返回 结束
第一章 函数与极限
第一章 函数与极限
第五节 极限运算法则
济南大学数学科学学院
总界面 结束
第一章 函数与极限
习题 1-5
1（14）lxi m 1(11x13x3). 解 lxi m 1(11x13x3)lxim 1 x21xx3 2
lx i1m (1 (xx)2(x)2(x x1)1) lxi m 1x2xx211.

中档题解析
总结词：提升能力
详细描述：中档题目相对于基础题目难度有所提升，需要学生具备一定的分析问题和解决问题的能力。通过解析这类题目， 可以帮助学生提升数学思维能力，掌握数学思想和方法。
难题解析
总结词：拓展思维
详细描述：难题通常具有较高的难度，需要学生具备较为扎实的数学基础和较高的思维水平。通过解 析这类题目，可以帮助学生拓展数学思维，培养创新能力和解决问题的能力。同时，也可以让学生了 解数学的深度和广度，激发学习数学的兴趣和热情。
随着知识点的深入，题目难度将逐渐加大 ，要求学生具备更扎实的数学基础和更高 的思维能力。
课堂活动
复习计划
下节课将组织更多的课堂活动，如数学竞 赛、小组讨论等，以激发学生的学习兴趣 和积极性。
建议学生提前预习下节课内容，并制定相 应的复习计划，以确保下节课的学习效果 。
THANKS
感谢观看
解题技巧
通过讲解典型例题，教授了学生如何 运用所学知识解决实际问题，以及如 何运用数学思维分析问题。
课堂互动
课堂上进行了多次小组讨论和互动问 答，鼓励学生积极参与，提高课堂氛 围。
作业布置
布置了相应的习题作业，以巩固本节 课所学内容，并要求学生按时完成。
下节课展望
知识拓展
难度提升
下节课将进一步深入学习高一数学中的其 他重要知识点，如三角函数、平面几何等 。
04
易错点分析
Chapter
常见错误分析
学生对某些数学概念理解不准确 ，导致在应用时出现偏差。
学生在解题过程中逻辑推理不严 密，导致结论错误。
计算错误 概念理解不清 公式运用不当 逻辑推理混乱
学生在解题过程中经常出现计算 失误，如加减乘除运算错误、开 方运算错误等。

非齐次方程为 y ′′ − y ′ − 2 y = f ( x ) ，
代入非齐次方程， 把 y1 = xe x + e 2 x 代入非齐次方程， f ( x )= e x − 2 xe x ， 得 ∴所求微分方程为 y′′ − y′ − 2 y = e x − 2 xe x 。
u 3.利用代换 y = 将方程 y′′cos x − 2 y′sin x + 3 ycos x = e x cos x
y = C1 ( 3e x − x ) + C 2 ( x − e x )+ x − ( x 2 + 1) 。
1 5 代入， 把 y ( 0) = 0 ， y ′( 0) = 0 代入 ， 得 C1 = − ， C 2 = − ， 2 2
1 5 x ∴所求特解为 y = − ( 3e − x ) − ( x − e x ) + x − ( x 2 + 1) ， 所求特解为 2 2
习题课十四
一．选择题
的待定特解为（ 1．微分方程 y′′ − 6 y′ + 9 y = x 2e 3 x 的待定特解为（ （A） y ∗ = ax 2e 3 x ； （B） y = x (ax + bx + c )e （C） y = x (ax + bx + c )e （D） y = ax e
∗ 4 3x ∗ 2 ∗ 2 2 3x
解：∵ y1 = y2∗ − y1∗ = 3e x − x ， y2 = y3∗ − y1∗ = x − e x 的两个解， 是对应的齐次方程 y′′ + P ( x )+ Q ( x ) y = 0 的两个解， 且这两个解线性无关， 且这两个解线性无关，