高等数学简明教程

高等数学b2下教材高等数学是大学本科数学课程的一部分，它是数学专业的重要基础课程之一。

本文将以《高等数学B2下》教材为基础，进行系统的介绍和讲解。

第一章极限与连续1.1 极限的概念与性质在这一章中，我们将学习极限的概念与性质。

极限是微积分的基础，对于理解微分与积分有着重要的作用。

我们将初步认识极限，并了解它的基本性质。

1.2 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是极限的重要概念之一。

在这一节中，我们将学习无穷小与无穷大的定义、性质以及它们与极限的关系。

1.3 函数的极限函数的极限是研究函数性质的重要工具。

我们将学习函数极限的定义、运算法则以及一些重要的极限定理。

1.4 连续与间断连续与间断是函数性质的基础。

我们将学习连续函数的定义、性质以及间断点的分类和判定方法。

第二章函数与导数2.1 函数的概念与性质函数是数学中的重要概念，它描述了数与数之间的对应关系。

在这一章中，我们将学习函数的概念、性质以及一些基本的函数类型。

2.2 导数的概念与定义导数是函数变化率的衡量标准，它在微积分中具有重要地位。

我们将学习导数的定义、基本运算法则以及导数的几何意义。

2.3 常用函数的导数在这一节中，我们将学习一些常用函数的导数。

包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

了解这些函数的导数，对于求解函数极值、图像变化等问题有重要意义。

2.4 高阶导数与隐函数求导高阶导数是导数的推广，而隐函数求导是应用导数的重要方法之一。

我们将学习高阶导数的定义与计算方法，以及隐函数求导的原理与应用。

第三章微分学应用3.1 微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了函数的性质与变化规律。

本节中，我们将学习微分中值定理的几种形式以及它们的应用。

3.2 泰勒公式与函数的近似泰勒公式是函数在某一点附近展开的一种近似表示。

我们将学习泰勒公式的定义、推导过程以及它在函数近似计算中的应用。

3.3 极值与最值问题极值与最值问题是微分学中的一个重要应用领域。

高等数学（本科少学时类型）总结邻域：(){},|U a x x a δδ=-<去心邻域：(){},|0U a x x a δδ=<-<数列极限的证明已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞=（N -ε语言）步骤1．由n x a ε-<化简得()εg n >，∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦步骤2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}ax n x =∞→lim0x x →时函数极限的证明已知函数()x f ，证明()Ax f x x =→0lim （δε-语言）步骤1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<，∴()εδg =步骤2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立，∴()Ax f x x =→0lim∞→x 时函数极限的证明已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim （X -ε语言）步骤1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>，∴()εg X =步骤2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当Xx >时，始终有不等式()f x A ε-<成立，∴()Ax f x =∞→lim函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦。

在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大。

多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--n n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 110110则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 00b a x q x p x m n m n mn >=< ()()()()000lim 00x x f x g x f x g x →⎧⎪⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩ ()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠==特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用洛必达法则求解。

第九章 再论实数系§1 实数连续性的等价描述2211.{}({},{})1(1).1; sup 1,inf 0;(2)[2(2)]; sup ,inf ;1(3),1,(1,2,); sup ,inf 2;1(4)[1(1)]; n n n n n n n n n n k k n n n n x x x x x x nx n x x x k x k x x k n x n ++∞-∞=-===+-=+∞=-∞==+==+∞=+=+- 求数列的上下确界若无上下确界则称，是的上下确界： sup 3,inf 0;(5) sup 2,inf 1;12(6)cos ; sup 1,inf .132n n n n n n n n x x x x x n n x x x n π=====-===-+2.(),(1)sup{()}inf (); (2)inf{()}sup ().(1)sup{()},.,();.0,()..,();.x Dx Dx Dx Dx Df x D f x f x f x f x A f x i x D f x A ii x D f x A i x D f x A ii εεε∈∈∈∈∈-=--=-=-∀∈-≤∀>∃∈->-∀∈≥-∀>设在上定义求证：证明：设即有对有 对使得 于是有对有 对0,().inf (),inf (),sup{()}inf ()x Dx Dx Dx Dx D f x A A f x A f x f x f x ε∈∈∈∈∃∈<-+-==--=-使得 那么即因此有成立。

(2)inf{()},.,();.0,()..,();.0,().sup (),sup (),x Dx Dx DB f x i x D f x B ii x D f x B i x D f x B ii x D f x B B f x A f x εεεε∈∈∈=-∀∈-≥∀>∃∈-<+∀∈≤-∀>∃∈>---==-设即有对有 对使得 于是有对有 对使得 那么即因此有inf{()}sup ()x Dx Df x f x ∈∈-=- 成立。

第二十一章曲线积分与曲面积分§1 第一型曲线积分与曲面积分1.对照定积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质。

解：第一型曲线积分的性质:1（线性性）设⎰L ds z y x f ),,(,⎰L ds z y x g ),,(存在，21,k k 是实常数，则[]ds z y x g k z y x f kL ⎰+),,(),,(21存在，且[]ds z y x g k z y x f k L⎰+),,(),,(21⎰⎰+=LLds z y x g kds z y x f k ),,(),,(21;2l ds L=⎰1,其中l 为曲线L 的长度;3(可加性)设L 由1L 与2L 衔接而成，且1L 与2L 只有一个公共点，则⎰Lds z y x f ),,(存在⇔⎰1),,(Lds z y x f 与⎰2),,(L ds z y x f 均存在，且=⎰Lds z y x f ),,(⎰1),,(L ds z y x f +⎰2),,(L ds z y x f ;4(单调性)若⎰L ds z y x f ),,(与⎰L ds z y x g ),,(均存在，且在L 上的每一点p 都有),()(p g p f ≤则⎰⎰≤L L ds p g ds p f )()(;5若⎰L ds p f )(存在，则⎰L ds p f )(亦存在，且≤⎰ds p f L)(⎰Ldsp f )(6（中值定理）设L 是光滑曲线，)(p f 在L 上连续，则存在L p ∈0，使得l p f ds p f L)()(0=⎰,l 是L 的长度;第一型曲面积分的性质: 设S 是光滑曲面，⎰⎰S ds p f )(,⎰⎰S ds p g )(均存在，则有1（线性性）设21,k k 是实常数，则[]⎰⎰+Sds p g k p f k)()(21存在, 且[]⎰⎰+Sds p g k p f k )()(21⎰⎰⎰⎰+=SSds p g k ds p f k )()(21;2s ds S=⎰1, 其中s 为S 的面积;3(可加性)若S 由1S ,2S 组成21S S S =，且1S ,2S 除边界外不相交，则⎰⎰Sds p f )(存在⇔⎰⎰1)(S ds p f 与⎰⎰2)(S ds p f 均存在，且⎰⎰Sds p f )(=⎰⎰1)(S ds p f +⎰⎰2)(S ds p f4 (单调性)若在S 上的的每一点p 均有),()(p g p f ≤则⎰⎰⎰⎰≤SSds p g ds p f )()(;5⎰⎰S ds p f )(也存在，且≤⎰⎰Sdsp f )(⎰⎰Sds p f )(;6 （中值定理）若)(p f 在S 上连续，则存在S p ∈0,使得使得s p f ds p f S⎰⎰=)()(0，其中s 为S 的面积。

壹第五章微分中值定理及其应用第一节微分中值定理331231.(1)30()[0,1];(2)0(,,),;(1)[0,1]30[0,1]()3nx x c c x px q n p q n n x x c x x f x x x c证明：方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根方程为正整数为实数当为偶数时至多有两个实根当为奇数时,至多有三个实根。

证明：设在区间内方程有两个实根,即有使得函数值为零012023(,)[0,1],'()0.'()33(0,1)(3,0)30()[0,1] (2)2220nx x x f x f x x x x c c n n k x px q x 。

那么由罗尔定理可知存在使得 但是在内的值域为是不可能有零点的,矛盾。

因此有:方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根。

当时,方程至多只可能有两个实根,满足所证。

当时,设方程有三个实根,即存在实数1230112022301021010110202()0(,),(,),'()'()0,'()0(*'()0n n n x x f x x px q x x x x x x f x f x f x nx p f x nx p使得函数成立。

那么由罗尔定理可知存在使得即0010220000102),(,),''(0)0,''()(1)0,0,0,0.2(*).212n nx x x f f x n n x x x x n k p n n k x px q 再次利用罗尔定理可以知道,存在使得即显然必有那么就有 那么由于为偶数,可以知道此时不存在满足式的实数因此当为偶数时方程至多有两个实根。

当时,设方程1234111212231334111213111110()0(,),(,),(,)'()0,'()0,'()0,'()0'(nn x x x x f x x px q x x x x x x x x x f x f x f x f x nx p f x 有三个实根,即存在实数使得函数成立。

第二十二章各种积分间的联系与场论初步§1 各种积分间的联系1．应用格林公式计算下列积分：（1）ydx x dyxy L ⎰-22，其中L 为椭圆22a x +22by =1取正向；（2）,)()(⎰-++Ldy y x dx y x L 同（1）；（3）dy y x dx y x L)()(222+-+⎰，L 是顶点为)5,2(),2,3(),1,1(C B A 的三角形的边界，取正向；（4）,1,)()(223333=+--+⎰y x L dy y x dx y xL为取正向；（5）,sin sin ydy e xdx e xLy -+⎰L 为矩形d y c b x a ≤≤≤≤,的边界，取正向；（6）],))cos(sin ())cos(sin [(dy y x xy x dx y x xy y e Lxy+++++⎰其中L 是任意逐段光滑闭曲线．解（1）原式=()()d xdyy x dxdy x y DD⎰⎰⎰⎰+=--2222)(=ab()rdr r b r a d ⎰⎰+122222220sin cos θθθπ（广义极坐标变换）=())(3sin cos 3122202222b a ab d b aab+=+⎰πθθθπ．（2）⎰-++LL dy y x dx y x )()(=⎰⎰=-Ddxdy 0)11(．（3）原式⎰⎰+-=Ddxdyy x x ))(22(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+215231143124322yy y y D dx ydy dx ydy ydxdy 9143))5(127)(47(2252221-=-+--=⎰⎰dy y y dy y y ．（4）原式π23)(3)33(2222-=+-=--=⎰⎰⎰⎰DD dxdy y x dxdy y x ．（5）原式dxdy x e y e Dyx ⎰⎰--=-)cos sin ()cos sin (⎰⎰⎰⎰+-=-bad cd c ydy b a xe dx x ydy dx e )sin )(sin ()cos )(cos 11(a b e e c d ee cd ba--+--=．（6）)]cos(sin [),(y x xy y e y x P xy ++=，)]cos(sin [),(y x xy x e y x Q xy++=，)]sin(cos [sin )]cos(sin [y x xy xy xy e y x xy x ye x Qxy xy --++++=∂∂)]sin()cos(sin )cos (sin [y x y x y xy xy xy xy e xy--+++=，)]sin(cos [sin )]cos(sin [y x xy xy xy e y x xy y xe yPxy xy +-++++=∂∂ )]sin(cos sin )cos (sin [y x xy x xy xy xy xy e xy+-+++=，)cos()(y x x y e yP x Qxy+-=∂∂-∂∂， 所以，所以，原式⎰⎰+-=Dxydxdy y x x y e ,)cos()( 其中D 为L 包围的平面区域．包围的平面区域．2．利用格林公式计算下列曲线所围成的面积：．利用格林公式计算下列曲线所围成的面积： （1）双纽线θ2cos 22a r =；（2）笛卡尔叶形线)0(333>=+a axy y x ；（3）t t a x sin )cos 1(2+=，t t a y cos sin 2⋅=，π≤≤20t ． 解（1）⎰⎰⎰⎰==12||D Ddxdy dxdy D ⎰-⨯=Lydx xdy 212⎰=--=44)]sin (sin cos cos[ππθθθθθd r r r r 24424422cos a d a d r ===⎰⎰--ππππθθθ，其中1D 由θ=2cos 22a r ，44π≤θ≤π-所围成．所围成．（2）作代换,tx y =则得曲线的参数方程为313t at x+=，3213t at y+=．所以，．所以，dt t t a dx 233)1()21(3+-=，dt t t at dy 233)1()2(3+-=，从而，dt t ta ydx xdy 2322)1(9+=-，于是，面积为，于是，面积为 D =⎰C x y y x d -d 21=dt t ta⎰∞++02322)1(29=223a ．（3）D =⎰-cydx xdy 21={}⎰-++⋅--⋅+π2022322]sin )sin (cos 2cos )cos 1[(cos sin )sin cos sin 2(sin )cos 1(21dtt t t t t a t t a t t t a t t a{}⎰π-++⋅--⋅+2022322]sin )sin (cos 2cos )cos 1[(cos sin )sin cos sin 2(sin )cos 1(21dt t t t t t a t t a t t t a t t a=21tdt t t a 2cos )cos 1(sin 22022+⎰π=24a π 3．利用高斯公式求下列积分： （1）y x z x z y z y x sd d d d d d 222++⎰⎰.其中其中（a ）S 为立方体a z y x ≤≤,,0的边界曲面外侧；的边界曲面外侧； （b ）S 为锥面)0(222h z z y x ≤≤=+,下侧. 解：（a ）y x z x z y z y x sd d d d d d 222++⎰⎰=2⎰⎰++v dxdydz z y x )(=2⎰⎰⎰++aaa dz z y x dydx 0)(=43a(b)补充平面1S :h z h y x =≤+,222的上侧后，1S S +成为闭曲面的外侧, 而⎰⎰++1222S dxdy z dzdx y dydz x =⎰⎰xyD dxdy h 2=22h h π⋅= π4h所以所以 : ⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222+π4h=⎰⎰+++1222S S dxdy z dzdx y dydz x=2z y x z y x V⎰⎰⎰++d d )d (=2⎰⎰xyD dxdy⎰+++hyx z z y x 22)d (=⎰⎰++xyD y x y x y x y x h y x h d )]d (- )+2(-+)+([222222=⎰⎰π-θ+θ-+θ+θθ200222])sin (cos 2)sin (cos 2[hrdr r r h hr d=1214h θ+θ+θ⎰πd 20)3sin 2cos 2(=2π4h 所以所以 ⎰⎰++S dxdy z dzdx y dydz x 222=442h h π-π=42h π-（2）⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333, 其中S 是单位球面的外侧；是单位球面的外侧；解：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333=3⎰⎰⎰++V z y x z y x d d )d (=3⎰⎰⎰ππρρϕϕθ200104sin d d d=512π （3）设S 是上半球面222y x a z --=的上侧，求的上侧，求（a ）⎰⎰++S y x z x z y z y x d d d d d d(b)⎰⎰++-+Sy x z y xy x z z y x z y xz d )d (2d )d (d d 2222解：补充平面1S ：222,0a y x z ≤+=，下侧后，1S S +成为闭曲面的外侧，而成为闭曲面的外侧，而（a ）⎰⎰=++10S zdxdy ydzdx xdydz所以所以⎰⎰=++Szdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰+=++1S S zdxdy ydzdx xdydz 3⎰⎰⎰Vdxdydz=213433⋅π⋅a =2π3a (b) ⎰⎰++-+1d )d (2d )d (d d 2222S y x z y xy x z z y x z y xz=⎰⎰xyD xydxdy 2=2⎰π20d θr r a⎰θθ03d cos sin =0所以所以⎰⎰++-+Sy x z y xy x z z y x z y xz d )d (2d )d (d d 2222=⎰⎰+++-+1d )d (2d )d (d d 2222S S y x z y xy x z z y x z y xz=⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(222=⎰π20d θ⎰2πsin ϕd ϕ⎰a4d ρρ=554a π（4）⎰⎰+-++-++-Sy x y x z x z x z y z y y x d )d (d )d (d )d z (222222,S 是 2222)()()(R c z b y a x =-+-+- 的外侧.解：⎰⎰+-++-++-Sy x y x z x z x z y z y y x d )d (d )d (d )d z (222222,=3⎰⎰⎰Vdxdydz =V 3=3343R π⋅=4π3R4．用斯托克斯公式计算下列积分： （1）⎰++L zdz dy dx y x 32, 其中其中（a ）L 为圆周0,222==+z a y x ，方向是逆时针；，方向是逆时针；（b ）L 为y x z y ==+,122所交的椭圆，沿x 轴正向看去，按逆时针方向；轴正向看去，按逆时针方向； 解：解： （a ）取平面0=z 上由交线围成的平面块为S ，上侧，由Stokes 公式公式⎰++L zdz dy dx y x 32=⎰⎰Sz y x z y x dxdydzdx dydz1///32∂∂∂∂∂∂=⎰⎰-Sdxdy y x 223=⎰⎰----a xa xa dy y dxx 02222223=dx x a x a3222)(2⎰-- =616a π-（b ）取平面y x =上由交线围成的平面块为S ，上侧，由由Stokes 公式公式⎰++Lzdz dy dx y x 32=⎰⎰∂∂∂∂∂∂Sz yx zy x dxdy dzdx dydz132 =⎰⎰-Sdxdy y x 223=⎰⎰-xyD dxdy y x223=616a π-（2）dzy x dy x z dx z y L)()()(-+-+-⎰，L 是从)0,0,(a 经)0,,0(a 至),0,0(a 回到)0,0,(a 的三角形；的三角形；解：解： 三角形所在的平面为a z y x =++，取平面a z y x =++上由以上三角形围成的平面块为S ，取上侧，由stokes 公式公式dzy x dy x z dx z y L)()()(-+-+-⎰=⎰⎰---∂∂∂∂∂∂Syx x z zy z y x dxdy dzdx dydz =⎰⎰++-S dxdy dzdx dydz 2=2-（⎰⎰Sdydz +⎰⎰Sdzdx +⎰⎰Sdxdy ）=2-（⎰⎰yzD dydz +⎰⎰zx D dzdx +⎰⎰xyD dxdy ） =23a - （3）dz y x dy y x dx z y L )()()(222222+++++⎰，其中，其中（a ）L 为1=++z y x 与三坐标轴的交线，其方向与所围平面区域上侧构成右手法则；与三坐标轴的交线，其方向与所围平面区域上侧构成右手法则； （b ）L 是曲线Rx z y x 2222=++, rx y x 222=+ (0,0><<z R r )，它的方向与所围曲面的上侧构成右手法则；面的上侧构成右手法则；解：（a ）中取平面1=++z y x 上与三坐标面交线所围平面块为S ，上侧；（b ）中取曲面Rx z y x 2222=++上由L 所围曲面块为S ，上侧，，上侧， 则由stokes 公式，得公式，得dzy x dy y x dx z yL)()()(222222+++++⎰=⎰⎰+++∂∂∂∂∂∂Sy x x z z y z y x dxdy dzdx dydz222222⎰⎰-+-+-=Sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(2=2))()()((dxdy y x dzdx x z dydz z y S SS⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+-则（a ）⎰+++++Ldz y x dy z x dx z y)()()(222222=dSy x x z z y S⎰⎰γ-+β-+α-]cos )(cos )(cos )[(2=0 （因为cos α=cos β=cos γ=31）（b ） 注意到球面的法线的方向余弦为：注意到球面的法线的方向余弦为： RR x -=αcos , R y=βcos ，Rz=γcos ，所以，所以dz y x dy z x dx z y L)()()(222222+++++⎰=2⎰⎰-+-+-SdS y x x z z y ]cos )(cos )(cos )[(γβα=2⎰⎰-SdS y z )( 由于曲面S 关于oxz 平面对称，故⎰⎰=SydS .0 又⎰⎰⎰⎰π⋅=γ=SSrR dS R zdS 2cos于是dzy x dy z x dx z y L )()()(222222+++++⎰=22r R π （4）xdzzdy dx y L++⎰，L 是2222a z y x =++，0=++z y x ，从x 轴正向看去圆周是逆时针方向．针方向．解：平面0=++z y x 的法线的方向余弦为的法线的方向余弦为 cos 31cos cos ===γβα，于是，，于是，dS xz y z y x xdz zdy ydx L S ⎰⎰⎰∂∂∂∂∂∂γβα=++cos cos cos=⎰⎰++-SdS )cos cos (cos γβα=332aπ-=23a π-5. 设L 为平面上封闭曲线L ,l 为平面的任意方向，为平面的任意方向，证明：证明：⎰=L ds l n 0),cos(，其中n 是L 的外法线方向。

高等数学目录第一章函数、极限、连续 (1)第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章一元函数微分学 ··································································· 24 一元函数积分学 ··································································· 49 常微分方程 ·········································································· 70 向量代数与空间解析几何 ··················································· 82 多元函数微分学 ··································································· 92 多元函数积分学 ................................................................... 107 无穷级数（数一和数三） (129)第一章函数、极限、连续§1.1 函数(甲) 内容要点一、函数的概念1．函数的定义 2．分段函数 3．反函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数四、考研或竞赛数学中常出现的非初等函数1．用极限表示的函数(1) y=limfn(x) n→∞ 4．隐函数(2) y=limf(t,x) t→x2．用变上、下限积分表示的函数(1) y=(2) y=则⎰xaf(t)dt 其中f(t)连续，则dy=f(x) dx⎰ϕϕ2(x)1(x)f(t)dt 其中ϕ1(x),ϕ2(x)可导，f(t)连续， dy'(x)-f[ϕ1(x)]ϕ1'(x) =f[ϕ2(x)]ϕ2dx五、函数的几种性质1．有界性：设函数y=f(x)在X内有定义，若存在正数M，使x∈X都有f(x)≤M，则称f(x)在X上是有界的。