[理学]高等数学速成教程

第一章函数与极限初等数学的研究对象是不变的量,高等数学的研究对象是变动的量,函数关系就是变量之间的依赖关系,极限方法就是研究变量的方法,本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等根本概念以及它们的一些性质,_________________________________________________________________________________________________________________________________．第一节映射与函数集合一、集合1.集合概念集合是数学中的一个根本概念,例如,一个书柜中的书构成一个集合,书柜不是集合一间数室里的学生构成一个集合,全体实数构成一个集合等等,_________________________________________________________________________________________________________________________________．一般的,集合是具有某种特定性质的事物的总体, 集合简称集, 用大写拉丁字母A,B,C,...表示元素是组成这个集合的事物. 元素简称元, 用小写拉丁字母a,b,c,.....表示_________________________________________________________________________________________________________________________________．集合与元素的关系如果a 就是集合A 的元素,就说a 是属于A,记作∈a A ;如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A,记作∉a A 或a A ∈_________________________________________________________________________________________________________________________________．一个集合,假设它只含有限个元素,那么称为有限集;假设它是含无限个元素,那么称为无限集,_________________________________________________________________________________________________________________________________．表示集合的方法表示集合的方法有两种:一是列举法,二是描述法列举法:就是把集合的全体元素一 一列举出来表示,例如,由元素12n a ,a ,,a 组成的集合A,可表示成12n A {a ,a ,,a }=描述法:假设集合M 是由具有某种性质P 的元素x 的全体所组成的,就可表示成M={xlx 具有性质P).例如,集合B 是方程2x 10-=的解集,就可表示成2B {x |x 10}=-=_________________________________________________________________________________________________________________________________．数集对于数集,在表示数集的字母的右上角标上不同的符号代表不同的数集标上“*〞表示排除0的数集,标上“+〞表示全为正的数集,全正整数的集合记作N +，所以N {1,2,3,,n,}+=非负整数的集合记作N ，所以N={0,1,2,…n,…};全体整数的集合记作Z ，所以Z={…,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…}全有理数的集合记作Q,所以p Q |p Z,q N 且p 与q 互质q +⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭ 全正实数的集合记作+R ,除0实数的集合记作*R全体实数的集合记作R_________________________________________________________________________________________________________________________________．集合与集合的关系设A 、B 是两个集合,如果集合A 的元素都是集合B 的元素,那么称集合A 是集合B 的子集,就记作⊂A B 读作A 包含于B或记作B A ⊃读作B 包含A._________________________________________________________________________________________________________________________________．如果集合A 与集合B 互为子集,即⊂A B 且⊂B A ,那么称集合A 与集合B 相等,记作A=B.例如,设A={1,2},2B {x |x 3x 20}=-+=，那么A=B._________________________________________________________________________________________________________________________________．假设⊂A B ≠A B ,那么称A 是B 的真子集,记作A B,例如,N Z Q R_________________________________________________________________________________________________________________________________．不含任何元素的集合称为空集, 空集记作∅,且规定空集∅是任何集合A 的子集,即A ∅⊂例如2{x |x R 且x 1=0}∈+是空集,因为适合条件2x 10+=的实数是不存在的,_________________________________________________________________________________________________________________________________．2.集合的运算集合的根本运算集合的根本运算有以下几种:并、交、差,设A 、B 是两个集合,并由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集(简称并),记AUB,即AB {x |x A 或x B)=∈∈ 交由所有属于A 而且属于B 的元素组成的集合,称为A 与B 的交集(简称交),记A B ,即A B {x |x A 且x B}=∈∈差由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合,称为A 与B 的差集(简称差),记A\B ，即A\B {x |x A 且x B}=∈∉_________________________________________________________________________________________________________________________________．补是特殊的差我们研究某个问题是限定在一个大的集合I,所研究的其他集合A 是I 的子集,此时,我们称集合I 为全集，称I\A 为A 的余集或补集,记作C A .例如,在实数集R 中,集合A {x |0x 1}=<≤,A 的余集就是C A {x |x 0或x 1).=≤>_________________________________________________________________________________________________________________________________．集合的根本运算法那么集合的并、交、余运算满足以下法那么,设A 、B 、C 为任意三个集合,那么有以下法那么成立:(1)交换律==A B BA,A B B A; (2)结合律=(A B)C A (B C), (3)分配律=(A B)C (AC)(B C), (4)对偶律=c C C (A B)A B以上这些法那么都可根据集合相等的定义验证,_________________________________________________________________________________________________________________________________．现就对偶律的第一个等式:“两个集合的并集的余集等于它们的余集的交集〞证明如下:因为∈C x (AB)x A B ⇒∉x A 且x B ⇒∉∉c c x A 且x B ⇒∈∈且∈c C x A B 所以c c c (A B)A B ⊂ 反之,因为∈cC x A B c c x A 且x B ⇒∈∈x A 且x B ⇒∉∉x A B ⇒∉c x (A B)⇒∈所以c c C A B (A B)⊂ 于是=C CC (A B)A B 注以上证明中,符号""⇒表示“推出〞(或“蕴含〞)如果在证明的第一段中,将符号""⇒改用符号""⇔(表示“等价〞),那么证明的第二段可省略,_________________________________________________________________________________________________________________________________．在两个集合之间还可以定义直积或笛卡儿乘积,设A 、B 是任意两个集合,在集合A 中任意取一个元素x ·在集合B 中任意取一个元索y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新的元素,_________________________________________________________________________________________________________________________________．它们全体组成的集合称为集合A 与集合B 的直积,记为⨯A B就是A B {(x,y)|x A 且y B)}⨯=∈∈例如R R {(x,y)|x R,y R}⨯=∈∈即为xOy 面上全体点的集合,⨯R R 常记作2R_________________________________________________________________________________________________________________________________．3.区间和邻域 (针对数集的)区间区间是用得较多的一类数集,有限区间设a 和b 都是实数,且a<b.数集{x|a<x<b}称为开区间,记作(a,b),即(a,b)={x|a<x<b},a 和b 称为开区间(a,b)的端点,这里a (a,b),b (a,b)∉∉.数集{x |a x b}≤≤称为闭区间,记作[a,b],即[a,b]{x |a x b}=≤≤a 和b 称为闭区间[a,b]的端点,这里∈∈a [a,b],b [α,b]_________________________________________________________________________________________________________________________________．类似地可说明:[a,b)和(a,b]都称为半开区间,_________________________________________________________________________________________________________________________________．以上区间都称为有限区间,数b-a 称为这些区间的长度,从数轴上看,这些有限区间是长度有限的线段,闭区间[a,b]与开区间(a,b)在数轴上表示出来,分别如图1-1(a)与(b)所示,_________________________________________________________________________________________________________________________________．无限区间此外还有所谓无限区间,引进记号+∞(读作正无穷大)及-∞(读作负无穷大),那么可类似地表示无限区间,例如这两个无限区间在数轴上如图1-1(c),(d)所示,全体实数的集合R 也可记作-∞+∞(,),它也是无限区间,_________________________________________________________________________________________________________________________________．以后如果不需要辨明是无限区间还是有限区间，所论区间是否包含端点,我们就简单地称它为“区间〞,且常用I 表示,_________________________________________________________________________________________________________________________________．邻域邻域邻域也是一个经常用到的概念,以点a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域,记作U(a)含点a_________________________________________________________________________________________________________________________________．δ邻域设δ是任一正数,那么开区间(a δ,a δ)-+就是点a 的一个邻域,这个邻域称为点a 的δ邻域,记作U (a,δ)，即U (a,δ){x |a δx a δ}=-<<+点a 称为这邻域的中心,而δ称为这邻域的半径(图1-2)._________________________________________________________________________________________________________________________________．由于a δx a δ-<<+相当于-<|x a |δ,因此,U (a,δ){x ||x a |δ}=-<因为|x-a|表示点x 与点a 间的距离,所以U (a,δ)表示与点a 的距离小于δ的一切点x 的全体,_________________________________________________________________________________________________________________________________．去心δ邻域有时用到的邻域需要把邻域中心去掉,点a 的δ邻域去掉中心a 后,称为点a 的去心δ邻域,记作U(a,δ)即U (a,δ){x |0|x a |δ}=<-<，这里0<lx-a|就表示x a ≠_________________________________________________________________________________________________________________________________．为了方便,把开区间(a δ,a)-称为a 的左δ邻域,把开区间+(a,a δ)称为a 的右δ邻域._________________________________________________________________________________________________________________________________．两个闭区间的直积表示xOy 平面上的矩形区域,区间是数轴 区域是平面例如[a,b]x[c.d]={(x,y)|x ∈[a,b],y ∈[c,d]},即为xOy 平面上的一个矩形区域,这个区域在x 轴与y 轴上的投影分别为闭区间[a,b]和闭区间[c,d]. _________________________________________________________________________________________________________________________________．二、映射(集合与集合之间有了运算)1.映射概念定义设X 、Y 是两个非空集合,如果存在一个法那么f,使得对X 中每个元素x,按法那么f,在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应,那么称f 为从X 到Y 的映射,记作f:X Y →,_________________________________________________________________________________________________________________________________．x 称为元素y 的原像;y 称为元素x 的像,并记作f (x),即y=f(x),集合X 称为映射f 的定义域,记作f D ， 即f D X =;集合X 中所有元素x 的像所组成的集合称为映射f 的值域,记作f R 或f(X),即f R f(X){f(x)|x X}==∈_________________________________________________________________________________________________________________________________．从上述映射的定义中,需要注意的是:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域f D X =;集合Y,就是值域f R Y ⊂;对应法那么f,就是可让每个x X ∈,对应着唯一确定的y 的法那么.(2)对每个元素x X ∈, x 的像y 绝对唯一;而对每个元素f y R ∈, y 的原像x 未必唯一;(3)映射f 的值域f R 是Y 的一个子集,即f R Y ⊂,不一定f R Y =_________________________________________________________________________________________________________________________________．例1设→f:R R ,对每个2x R,f(x)x ∈=.显然,f 是一个映射,f 的定义域f D {x |x }R =-∞<<+∞=,f 的值域f R {y |y 0}R =≥⊂,它是R 的一个真子集,对于f R 中的元索y,除y=0外,它的原像x 不唯一,如y=4的原像就有x=2和x=-2两个_________________________________________________________________________________________________________________________________． 例2设22X {(x,y)|x y 1}=+=Y {(x,0)|x |1}=≤,f:X →Y,对每(x,y)X ∈,有唯一确定的∈(x,0)Y 与之对应,显然f 是一个映射,f 的定义域f D X =,值域f R Y =在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆的圆周上的点投影到x 轴的区间[-1,1]上,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 例3 设ππf:[,][1,1]22-→-,对每个ππx [,]22∈-,f(x)=sinx. 这f 是一个映射, 其定义域f ππD [,],22=-值域f R [1,1]=- _________________________________________________________________________________________________________________________________． 映射类型设f 是从集合X 到集合Y 的映射,满射:假设f R Y =,即Y 中任一元素y 都是X 中某元素的像,那么称f 为X 到Y 上的映射或满射; Y 中的所有y 全被射了单射:假设对X 中任意两个不同元素12x x ≠,它们的像12f(x )f(x )≠,那么称f 为X 到Y 的单射; Y 中的y 只被射一次一 一映射:假设映射f 既是单射,又是满射,那么称f 为一一映射(或双射).例1中的映射,既非单射,又非满射;例2中的映射不是单射,是满射;例3中的映射是一一映射,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 映射又称为算子,根据集合X 、Y 的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称,例如,从非空集X 到数集Y 的映射又称为X 上的泛函,从非空集X 到它自身的映射又称为X 上的变换,从实数集X 到实数集Y 的映射称为X 上的函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．2.逆映射与复合映射逆映射设f 是X 到Y 的单射,f(x)=y,x ∈X,f y R ,∈对每个y,只有唯一的x,于是,可定义一个从f R 到X 的新映射g,即f g:R X →,f y R ∈, x ∈X对每个f y R ∈,规定g(y)=x,这个映射g 称为f 的逆映射, 记作1f -,其定义域1f f D R ,-=,值域1f R -=X_________________________________________________________________________________________________________________________________． 接上述定义,只有单射才存在逆映射,所以,在例1,2,3中，只有例3中的映射f 才存在逆映射-1f ,这个1f -就是反正弦函数的主值1f (x)arcsinx,x [1,1]-=∈-，其定义域1f D [1,1]-=-,值域1f ππR [,]22-=- _________________________________________________________________________________________________________________________________． 复合映射设有两个映射1g:X Y →2f :Y ,Z →其中⊂I 2Y Y .那么由映射g 和f 可以定出一个从X 到Z 的对应法那么,它将每个∈x X 映成f[g(x)]Z ∈._________________________________________________________________________________________________________________________________． 显然,这个对应法那么确定了一个从X 到Z 的映射,这个映射称为映射g 和f 构成的复合映射,记作f g即f g:x z →,(f g)(x)f[g (x)],x X.=∈_________________________________________________________________________________________________________________________________． 由复合映射的定义可知,映射g 和f 构成复合映射的条件是:g 的值域g R 必须包含在f 的定义域内,即 g f R D ⊂否那么,不能构成复合映射,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 映射g 和f 的复合是有顺序的,映射f g 有意义并不表示映射g f 也有意义,就算即使f g 与g f 都有意义,复合映射f g 与g f 也未必相同,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 例4设有映射g:R [1,1]→-,对每个x R,g (x)sinx ∈=,映射f:[-1,1]→[0,1],对每个∈-=u [1,1],f(u)那么映射g 和f 构成复合映射f g:R [0,1]→,对每个∈x R (f g)(x)f[g(x)]f(sinx)|cos x |.====_________________________________________________________________________________________________________________________________．三、函数(特殊的映射)1.函数概念定义设数集D ⊂R, R ⊂R,那么称映射f:D R →为定义在D 上的函数,记为=∈y f(x),x D其中x 称为自变量,其中y 称为因变量,其中D 称为定义域,记作f D 即f D D =.因变量y 与自变量x 之间的这种依赖关系,通常称为函数关系,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 函数的值域函数定义中,对每个∈x D ,接对应法那么f, 对应着唯一的y,这个值称为函数f 在x 处的函数值,记作f(x),即y=f(x).函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f 的值域,记作f R ,即f R f(D){y |y f(x),x D}===∈_________________________________________________________________________________________________________________________________． 函数的记号需要指出,按照上述定义,记号f 和f(x)的含义是有区别的:f 表示自变量x 和因变量y 之间的对应法那么,f(x)表示与自变量x 对应的函数值,但为了表达方便,把f(x)表示f习惯上常用记号“f (x),x D ∈〞或“y =∈f(x),x D 〞来表示定义在D 上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f._________________________________________________________________________________________________________________________________． 表示函数的记号是可以任意选取的,除了常用的f 外,还可以用其他的英文字母或希腊字母,如“g 〞、“F 〞、“φ〞等,相应的函数可记作y=g(x),y=F(x),=y φ(x )等,有时还直接用因变量的记号来表示函数,y=y(x).在同一个问题中,讨论到几个不同的函数时,为了表示区别,需用不同的记号来表示它们,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R 内,因此构成函数的要索是:定义域f D 及对应法那么f,如果两个函数的定义域相同,对应法那么也相同,旁解:到时值域会随着定义域和f 相同因为值域由定义域和f 确定的那么这两个函数就是相同的,否那么这两个函数就是不同的,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 函数定义域实际定义域函数的定义域通常接以下两种情形来确定:一种是对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定,例如,在自由落体运动中,设物体下落的时间为t,下落的距离为s,开始下落的时刻t=0,落地的时刻t=T,那么s 与t 之间的函数关系是21s gt ,t [0,T]2=∈ 这个函数的定义域就是区间[0,T];_________________________________________________________________________________________________________________________________． 自然定义域另一种是对抽象地用算式表达的函数,通常约定这种函数的定义域能使算式有意义这种定义域称为函数的自然定义域,在这种约定之下,一般的用算式表达的函数可用“y=f(x)〞表达,而不必再表出f D .例如, 函数=-2y 1x [-1,1], 函数=-2y 1x (-1,1)._________________________________________________________________________________________________________________________________． 多值函数在函数的定义中,对每个∈x D ,对应的函数值y 总是唯一的,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 给定一个对应法那么,如果按这个法那么,对每个∈x D ,对应的函数值y 不是唯一的那么对于这样的对应法那么并不符合函数的定义,习惯上我们称这种法那么确定了一个多值函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 例如,设变量x 和y 之间的对应法那么由方程222x y r +=给出,显然,对每个x [r,r]∈-,由方程222x y r +=可确定出对应的y 值,当x=r 或-r 时,对应y=0一个值;当x 取(-r,r)内任一个值时,对应的y 有两个值,所以这方程确定了一个多值函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 多值函数的单值分支对于多值函数,如果我们附加一些条件,使得在附加条件之下,按照这个法那么,对每个∈x D ,总有唯一确定的实数值y 与之对应,那么这就确定了一个函数,我们称这样得到的函数为多值函数的单值分支,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例如,在由方程222x y r +=给出的对应法那么中,附加'y ≥0〞的条件,即以“222x y r +=且≥y 0〞作为对应法那么,就可得到一个单值分支y=221y (x)r x =-附加“≤y 0〞的条件,即以“+=2Z 2x y r 且≤y 0〞作为对应法那么, 就可得到另一个单值分支222y y (x)r x ==--_________________________________________________________________________________．表示函数的主要方法表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法),这在中学里大家已经熟悉,用图形法表示函数是基于函数图形的概念,即坐标平面上的点集{P(x,y)|y f(x),x D}=∈称为函数=∈y f(x),x D 的图形(图1-3).图中的f R 表示函数y=f(x)的值域,____________________________________________________________________________________．下面举几个函数的例子,例5函数y=2的定义域=-∞+∞D (,),值域W={2},它的图形是一条平行于x 轴的直线,如图1-4所示,______________________________________________________________________________________________________．例6绝对值函数函数==y |x |x,x 0,x,x 0≥⎧⎪⎨-<⎪⎩的定义域=-∞+∞D (,),值域f R [0,)=+∞,它的图形如图1-5所示,这函数称为绝对值函数,_____________________________________________________________________________．例7符号函数函数1,x 0y sgnx 0,x 01,x 0>⎧⎪==⎨⎪-<⎩,称为符号函数,它的定义域=-∞+∞D (,),值域f R {1,0,1}=-,它的图形如图1-6所示,对于任何实数x,以下关系成立:x sgnx |x |=⋅______________________________________________________________________．例8取整函数设x 为任一实数,不超过x 的最大整数称为x 的整数局部, 记作[x].例如,[-1]=-1,[-3.5]=-4.把x 看作变量,那么函数y=[x]的定义域=-∞+∞D (,),值域f R Z =.它的图形如图1-7所示,这图形称为阶梯曲线,在x 为整数值处,图形发生跳跃,跃度为1.这函数称为取整函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 在例6和例7中看到,有时一个函数要用几个式子表示,这种在自变量的不同变化范围中,对应法那么用不同式子来表示的函数,通常称为分段函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 例9分段函数函数==y f(x)2x ,0x 1,1x,x 1⎧≤≤⎪⎨+>⎪⎩是一个分段函数,它的定义域=+∞D [0,) 当x [0,1]∈时,对应的函数值f(x)2x =当∈x +∞(1,)时,对应的函数值f(x)=1+x._________________________________________________________________________________________________________________________________． 例如,12[0,1]∈,所以11f()22;22== 1[0,1]∈,所以f(1)212==∈+∞3(1,),所以f(3)=1+3=4.这函数的图形如图1-8所示,_______________________________________________用几个式子来表示一个函数, (不是几个函数！)不仅与函数定义并无矛盾,而且有现实意义,在自然科学和x 程技术中,经常会遇到分段函数的情形,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 例如，在等温过程中，气体压强p 与体积V 的函数关系,当V 不太小时依从玻意耳定律;当V 相当小时,函数关系就要用范德瓦耳斯方程来表示, 即002k ,V V ,V p γα,βV V V βV ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪-⎩其中k,α,β,γ都是常量, _________________________________________________________________________________________________________________________________．2.函数的几种特性(1)函数的有界性设函数f(x)的定义域为D,数集⊂X D ,如果有存在实数1K ，对任一1x X ∈,≤1f(x)K , 那么称f(x)在X 上有上界,1K 为上界,如果有存在实数2K ，对任一1x X ∈,≥2f(x)K ,那么称f(x)在X 上有下界,K 2为下界,如果有存在正数M ，对任一x X ∈,≤|f(x)|M ,那么称f(x)在X 上有界,如果不存在正数M ，对任一x X ∈,≤|f(x)|M ,那么称f(x)在X 上无界;如果有存在正数M ，对任一1x X ∈1|f(x )|M >,那么称f(x)在X 上无界,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 例如,函数f(x)=sinx,x ∈-∞+∞(,)数1是它的一个上界,(大于1的任何数也是它的上界)数-1是它的一个下界,(小于-1的任何数也是它的下界)_________________________________________________________________________________________________________________________________． 对任意x, |sinx |1≤函数f(x)=sinx 在-∞+∞(,)内是有界的,这里M=1(大于1的数也可作为M),_________________________________________________________________________________________________________________________________． _________________________________________________________________________________________________________________________________． 函数=1f(x)x在开区间(0,1)内没有上界,但有下界, 例如1就是它的一个下界,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 函数=1f(x)x在开区间(0,1)内是无界的, 因为不存在这样的正数M, 对于(0,1)内的一切x,≤1||M x .无上界所以无界 _________________________________________________________________________________________________________________________________． 但是=1f(x)x在区间(1,2)内是有界的, 例如可取M=1,对于一切∈x (1,2),≤1||1x , _________________________________________________________________________________________________________________________________． 容易证明,函数f(x)在x 上有界的充分必要条件是它在x 上既有上界又有下界,_________________________________________________________________________________________________________________________________．(2)函数的单调性设函数f(x)的定义域为D,区间I ⊂D.如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ,当12x x <时,恒有12f(x )f(x )<那么称函数f(x)在区间I 上是单调增加的(图1-9);如果对于区间I 上任意两点1x ,及2x ,当 <I 2x x 时,恒有>12f(x )f(x )那么称函数f(x)在区间 I 上是单调减少的(图1-10).单调增加和单调减少的函数统称为单调函数,_______________________________________．例如,函数=2f(x)x 在区间+∞[0,)上是单调增加的,在区间-∞(,0]是单调减少的;在区间-∞+∞(,)内函数=2f(x)x 不是单调的(图1-11).例如,函数=3f(x)x 在区间-∞+∞(,)内是单调增加的(图1-12)._______________________________________________________________．(3)函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D 关于原点对称,如果对于任x D -∈f(-x)= f(x)恒成立,那么称f(x)为偶函数,如果对于任x D -∈f(-x)=-f(x)恒成立,那么称f(x)为奇函数例如,2f(x)x =是偶函数,因为22f(x)(x)x f(x)-=-==例如,3f(x)x =是奇函数,因为33f(x)(x)x f(x).-=-=-=-______________________________________________________．偶函数的图形关于y 轴对称,因为假设f(x)是偶函数,那么f(-x)=f(x),所以如果A(x,f(x))是图形上的点,那么与它关于y 轴对称的点'-A (x f(x))也在图形上(图1-13).__________________________________________________________________________．奇函数的图形关于原点对称,因为假设f(x)是奇函数,那么f(-x)=-f(x),所以如果A(x,f(x))是图形上的点,那么与它关于原点对称的点A (x,f(x))''--也在图形上(图1-14).函数y=sinx 是奇函数,函数y=cosx 是偶函数,函数y=sinx+cosx 既非奇函数,也非偶函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．(4)函数的周期性设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个正数l,对于任一∈x D ,有(x l)D ±∈且f(x+l)=f(x),那么称f(x)为周期函数,l 称为f(x)的周期,通常我们说周期函数的周期是指最小正周期,例如,函数sinx,cosx 都是以2π为周期的周期函数;函数tanx 是以π为周期的周期函数,图1-15表示周期为l 的一个周期函数,在每个长度为l 的区间上,函数图形有相同的形状,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 并非每个周期函数都有最小正周期,下面的函数就属于这种情形,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 例10狄利克雷(Dirichlet)函数=D(x)C 1,x Q,0,x Q .∈⎧⎪⎨∈⎪⎩容易验证这是一个周期函数,任何正有理数r 都是它的周期,因为不存在最小的正有理数,所以它没有最小正周期,_________________________________________________________________________________________________________________________________．3.反函数与复合函数反函数是特殊的逆映射,反函数的概念,设函数f:D f(D)→是单射,那么它存在逆映射1f :f(D)D -→,称此映射1f -为函数f 的反函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________． ∵函数f:D f(D)→是单射∴对每个y ,只有唯一的x ,使得f(x)=y,于是1f (y)x -=∴反函数1f -是由函数f 确定的,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 例如,∵=3y x ,∈x R 是单射,∴所以它的反函数存在,其反函数为13x y ,y R.=∈∵习惯上自变量用x 表示,因变量用y 表示, ∴反函数13x y ,y R.=∈通常写作13y x ,x R.=∈一般的,y=f(x),x ∈D 的反函数记成1x f (y),y f(D)-=∈→1y f (x),x f(D).-=∈ _________________________________________________________________________________________________________________________________． 假设f 是定义在D 上的单凋函数,那么f:D f(D)→是单射,∴f 的反函数1f -必存在,|而且容易证明1f -也是f(D)上的单调函数,证设f 在D 上单调增加,现在来证明1f -在f(D)上也是单调增加的,任取12y ,y f(D)∈,且y 12y <接函数f 的定义,对1y ,在D 内存在唯一的原像1x ,使得11f(x )y =,于是111f (y )x -=,对2y ,在D,内存在唯一的原像x 2,使得22f(x )y =,于是(22f (y )x ,-=如果>12x x ,那么由f(x)单调增加,必有>I 2y y ;如果=12x x ,那么显然有12y y =.这两种情形都与假设<I 2y y 不符,故必有12x x <,即11f (y )-<22f (y ).-这就证明了1f -在f(D)上是单调增加的,_________________________________________________________________________________________________________________________________．相对于反函数1y f (x)-=来说,原来的函数y=f(x)称为直接函数,把直接函数y=f(x)和它的反函数1y f (x)-=的图形画在同一坐标平面上,这两个图形关于直线y=x 是对称的(图1-16).这是因为如果P(a,b)是y=f(x)图形上的点,那么有b=f(a).接反函数的定义,有1a f (b)-=故Q(b,a)是1y f (x)-=图形上的点;_________________________________________________________________________________________________________________________________． 反之,假设Q(b,a)是1y f (x)-=,是图形上的点,那么P(a,b)是y=f(x)圆形上的点,而P(a,b)与Q(b,a)是关于直线y=x 对称的,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 复合函数是特殊的复合映射,按照通常函数的记号,复合函数的概念可如下表述,设函数u=(x)的定义域为g D ,其值域为g R ,函数y=f(u)的定义域为f D ,而g R f D ⊂那么函数g y f[g(x)],x D =∈称为由函数u=g(x)与函数y=f(u)构成的复合函数,它的定义域为g D ,变量u 称为中间变量,函数g 与函数f 构成的复合函数, 通常记为f g复合次序先g 后f.即(f g)(x)f[g(x)]=_________________________________________________________________________________________________________________________________． |与复合映射一样,g 与f 能构成复合函数f g 的条件是:函数g 的值域g R 必须含在函数f 的定义域f D 内,即g f R D ⊂.否那么,不能构成复合函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 例如,u=g(x)=sinx 的值域为[-1,1],y=f(u)=arcsinu 的定义域为[-1,1],g 的值域[-1,1]⊂f 的定义域[-1,1]故g 与f 可构成复合函数,y=arcsinsinx,x R ∈又如,u=g(x)=tanx 的值域为g R =-∞+∞(,),.==y f(u)f D [0,)=+∞,显然g f R D ⊄,故g 与f 不能构成复合函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 但是,如果将函数g 限制在它的定义域的一个子集1D {x |k πx (k )π,k Z}2=≤<+∈上,令*g (x)tanx,x D =∈,那么**f g R g (D)D =⊂g*与f 就可以构成复合函数(f g*)(x)D =∈_________________________________________________________________________________________________________________________________． 习惯上为了简便起见,u=tanx 与函数=y 构成的复合函数,这里函数u=tanx 应理解成:u=tanx,∈x D .以后,我们采取这种习惯说法,例如,我们称函数u=x+1与函数y=lnu 构成复合函数ln(x+1),它的定义域不是u=x+1的自然定义域R,而是R 的一个子集=-+∞D (1,)_________________________________________________________________________________________________________________________________． 有时,也会遇到两个以上函数所构成的复合函数,只要它们顺次满足构成复合函数的条件,例如,函数=y ,u=cotv,=x v 2可构成复合函数这里u 及v 都是中间变螯,复合函数的定义域是D {x |2k πx =<<+∈(2k 1)π,k z}, 而不是=χv 2的自然定义域R, D 是R 的一个非空子集,_________________________________________________________________________________________________________________________________．4.函数的运算设函数f(x),g(x)的定义域依次为12D ,D ,12D D D =≠∅ 那么我们可以定义这两个函数的以下运算:,和f g +:(f g)(x)f(x)g (x),x D +=+∈;差f g -:(f g)(x)f(x)g (x),x D -=-∈;积f ·g:(f g)(x)f(x)g (x),x D ⋅=⋅∈ 商f g :f f(x)()(x)g g (x)=x D\{x |g (x)0,x D}∈=∈ 例11设函数f(x)的定义域为(-1,1),证明必存在(-1,1)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x).证假设g(x)、h(x)存在,∴g(-x)= g(x), h(-x)= -h(x)∵f(x)= g(x)+h(x)(1)∴f(-x)= g(x)-h(x)(2)旁解:f(-x)= g(-x)+ h(-x) = g(x) -h(x) g(x)=12[f(x)+f(-x)], h(x)=12[f(x)-f(-x)], 验证 g(-x) =12[f(-x)+f(x)]=g(x) h(-x) =12[f(-x)-f(x)]=h(x) g(x)+h(x)=f(x).∴必存在(-1,1)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x)._________________________________________________________________________________________________________________________________．5.初等函数根本初等函数在初等数学中已经讲过下面几类函数:幂函数: μy x =(μR ∈是常数),指数函数: x y a =(a>0.且a 1≠)对数函数:, a y log x =(a>0.且a 1≠,特别当①a e =时,记为y=lnx)三角函数:如y=sinx.y=cosx.y=tanx 等反三角函数:如y=arcsinx.y=arccosx.y=arctanx 等以上这五类函数统称为根本初等函数,由常数和根本初等函数 经过有限次的四那么运箅和有限次的函数复合步骤 所构成,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数,例如2y 1x ,=-2y sin x =,=x y cot 2等都是初等函数, 在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 应用上常遇到以e 为底的指数函数x y e =和x y e -=所产生的双曲函数以及它们的反函数一一反双曲函数,它们的定义如下: 双曲正弦x x e e shx 2--= 双曲余弦x x e e chx 2-+= 双曲正切x x x xshx e e thx .chx e e ---==+ _________________________________________________________________________________________________________________________________． 这三个双曲函数的简单性态如下:双曲正弦的定义域为-∞+∞(,),它是奇函数,它的图形通过原点且关于原点对称,在区间(,)-∞+∞内它是单调增加的,当x 的绝对值很大时,它的①e 是一个无理数,这个数的意义见本章第六节,图形在第一象限内接近于曲线y=x 1e 2 在第三象限内接近于曲线x 1y e 2-=- (图1-17).双曲余弦的定义域为-∞+∞(,)它是偶函数,它的图形通过点(0,1)且关于y 轴对称,在区间(-∞,0)内它是单调减少的;在区间+∞(0,)内它是单调增加的,ch 01=是这函数的最小值,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 当x 的绝对值很大时, 它的图形在第一象限内接近于曲线x 1y e 2=, 双曲余弦的定义域为-∞+∞(,) 在第二象限内接近于曲线x 1y e 2-= (图1-17). 双曲正切的定义域为-∞+∞(,);它是奇函数,它的图形通过原点且关于原点对称,在区间-∞+∞(,)内它是单调增加的,它的图形夹在水平直线y=1及y=-1之间;且当x 的绝对值很大时,它的图形在第一象限内接近于直线y=1,而在第三象限内接近于直线y=-1(图1-18)._________________________________________________________________________________________________________________________________． 根据双曲函数的定义,可证以下四个公式:sh(x+y)=shxchy+chxshy(1)sh(x -y)=shxchy -chxshy(2)ch(x+y)=chxchy+shxshy(3)ch(x- y)=chxchy- shxshy(4)我们来证明公式(1),其他三个公式读者可自行证明,由定义,得 shxchy+chxshy y y y yx x x x e e e e e e e e 2222-----++-=⋅+⋅ x y y x x y (x y )e e e e 4+---+-+-=+x y y x x y (x y )e e e e 4+---++-- _________________________________________________________________________________________________________________________________． 由以上几个公式可以导出其他一些公式,例如:在公式(4)中令x=y,并注意到ch0=1,得-=22ch x sh x 1(5)在公式(1)中令x=y,得sh2x=2shxchx.(6)在公式(3)中令x=y,得=+22ch2x ch x sh x (7)以上关于双曲函数的公式(1)至(7)与三角函数的有关公式相类似,把它们比照一下可帮助记忆,双曲函数y=shx,y=chx(x 0≥),y=thx 的反函数依次记为反双曲正弦y=arshx反双曲余弦y=archx,反双曲正切y=arthx._________________________________________________________________________________________________________________________________． 这些反双曲函数都可通过自然对数函数来表示,分别讨论如下:先讨论双曲正弦y=shx 的反函数,由x=shy,有y ye e x 2--= 令y u e =,那么由上式有2u 2xu 10.--=这是关于n 的一个二次方程, 它的根为2u x x 1.=±+因y u e =>0,故上式根号前应取正号, 于是2u x x 1=+_________________________________________________________________________________________________________________________________． 由于y=lnu,故得反双曲正弦2y arshx ln(x x 1).==++函数y=arshx 的定义域为-∞+∞(,),它是奇函数,在区间-∞+∞(,)内为单调增加,由y=shx 的图形,根据反函数的作图法,可得y=arshx 的图形如图1-19所示,_________________________________________________________________________________________________________________________________． 下面讨论双曲余弦y=chx(x 0≥)的反函数,由x=chy(y 0≥),有y y e e x ,y 02-+=≥ 由此得y 2e x x 1=-故2y ln(x x 1)=±-上式中x 的值必须满足条件≥x 1,。

高等数学零基础入门教程第一章：数列与极限1.1 什么是数列？数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

例如：1，2，3，4，5，...就是一个数列，其中的规律是每个数比前一个数大1。

1.2 数列的分类数列可以分为等差数列和等比数列。

等差数列是指数列中的每两个相邻项之差为常数，而等比数列是指数列中的每两个相邻项之比为常数。

1.3 数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的规律，找到数列中第n项与n的关系的公式。

通项公式可以帮助我们快速计算数列中任意一项的值。

1.4 极限的概念在数学中，极限是指当自变量趋近于某个值时，函数或数列相应的取值趋近于某个值的过程。

极限可以帮助我们研究函数或数列在某一点的行为特性。

第二章：导数与微分2.1 函数的导数函数的导数描述了函数在某一点的变化率，它可以帮助我们研究函数的增减性、最值等性质。

导数的计算可以通过求导公式或几何意义进行。

2.2 导数的性质导数具有线性性、乘法法则、链式法则等性质，这些性质可以简化导数的计算过程，并帮助我们更好地理解函数的特性。

2.3 高阶导数除了一阶导数外，函数还可以有二阶导数、三阶导数等。

高阶导数可以帮助我们研究函数更加详细的性质。

2.4 微分的概念微分是导数的一种形式，它描述了函数在某一点的变化量与自变量变化量之间的关系。

微分在近似计算、最值求解等问题中具有广泛的应用。

第三章：积分与定积分3.1 不定积分不定积分是求解函数的原函数的过程，它是导数的逆运算。

不定积分可以帮助我们求解函数的积分表达式。

3.2 定积分的概念定积分是求解函数在某个区间上的累积效应的过程。

定积分可以帮助我们计算曲线下的面积、弧长、体积等物理问题。

3.3 定积分的性质定积分具有线性性、区间可加性、积分中值定理等性质，这些性质可以简化定积分的计算过程，并帮助我们更好地理解积分的含义。

3.4 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是导数与积分之间的重要关系，它描述了函数在某个区间上的积分与该区间两端点的原函数值之差的关系。

《高等数学》精品课教案课 题：§1.1函数及其性质教学目的：1.理解函数、分段函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值2.了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义教学重点：初等函数的概念、图形及性质 教学难点：分段函数的概念 课 型： 讲授课 课 时：2课时 教学过程一、导入新课在自然界中，某一现象中的各种变量之间，通常并不都是独立变化的，它们之间存在着依赖关系，我们观察下面几个例子：例如：某种商品的销售单价为p 元，则其销售额L 与销售量x 之间存在这样的依赖关系：L =px又例如：圆的面积S 和半径r 之间存在这样的依赖关系：2r S π=不考虑上面两个例子中量的实际意义，它们都给出了两个变量之间的相互依赖关系，这种关系是一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应。

两个变量间的这种对应关系就是函数概念的实质。

二、讲授新课（一）函数的定义定义 设有两个变量x ，y 。

对任意的x ∈D ，存在一定规律f ，使得y 有唯一确定的值与之对应，则y 叫x 的函数。

记作y=f(x)，x ∈D 。

其中x 叫自变量，y 叫因变量。

定义10 （集合的观点）A ，B 为两个数集，对任意的x ∈D ，存在f ，在B 中有唯一确定的值与之对应。

记作：f ：A →B函数两要素：对应法则、定义域（有的可直接看出，有的需计算），而函数的值域一般称为派生要素。

例1 f(x)=2x 2+3x-1就是一个特定的函数，f 确定的对应法则为：f( )=2( )2+3( )-1例10：设f(x+1)=2x 2+3x-1，求f(x). 解：设x+1=t 得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2-t-2 ∴f(x)=2x 2 – x – 2其对应法则：f( )=2( )2 - ( ) -2定义域：使函数有意义的自变量的集合。

引言概述：高等数学是一门重要的学科，对于成考专升本考试来说，高等数学也是必考科目之一。

本文主要围绕成考专升本高等数学（二（二））这一题型展开，旨在帮助考生更好地理解相关知识点，从而提高考试成绩。

正文内容：一、数列与数学归纳法1.数列的概念及表示方法2.等差数列与等比数列的性质和求和公式3.数学归纳法的原理和应用4.数列极限的定义和性质5.数列极限的计算方法和常用极限二、函数与极限1.函数的概念和性质2.指数函数、对数函数和三角函数的性质和图像3.极限的概念和性质4.无穷小量与无穷大量的关系5.函数极限的计算方法和常用极限三、一元函数的导数与微分1.导数的概念和性质2.导数的计算方法：基本导函数法、导数的四则运算、复合函数和反函数的导数3.高阶导数和隐函数求导4.微分的概念和性质5.微分的应用：近似计算、最大值最小值和曲线的凹凸性四、一元函数的积分与定积分应用1.积分的概念和性质2.基本积分法和换元积分法3.分部积分法和有理函数的积分4.定积分的概念和性质5.定积分的应用：几何应用、物理应用和概率应用五、多元函数的偏导数与多元函数积分1.多元函数的概念和性质2.偏导数的概念和计算方法3.全微分的概念和性质4.多元函数的极值及其判定条件5.多元函数的重积分及其应用总结：通过对成考专升本高等数学（二（二））的内容进行全面的梳理和阐述，本文详细介绍了数列与数学归纳法、函数与极限、一元函数的导数与微分、一元函数的积分与定积分应用以及多元函数的偏导数与多元函数积分等五个大点。

每个大点下分别介绍了相应的小点，涵盖了相关知识点的定义、性质、计算方法和应用等方面。

希望通过本文的学习，考生能够对高等数学的相关知识有更深入的理解，从而提高成绩，顺利通过考试。

高考数学速成提分课程一般可以分为以下几个部分：
1. 基础概念复习：此部分主要针对基础薄弱的同学，会对高中数学的基础概念进行系统复习，打好基础。

2. 知识梳理和系统化：对高中数学的知识点进行系统化梳理，形成知识网络，让同学们对每个知识点有深入的理解。

3. 解题方法和技巧：重点讲解高中数学的解题方法和技巧，通过典型例题的解析，让同学们掌握解题的思路和策略。

4. 真题解析和模拟题训练：对历年的高考数学真题进行解析，帮助同学们理解真题的出题思路和解题方向。

同时配合模拟题训练，提高同学们的应试能力。

5. 速成提分策略：针对高考数学的考试特点和时间限制，制定合理的速成提分策略，让同学们在短时间内取得最大的分数提升。

以上是高考数学速成提分课程的一般内容，具体的课程设置还需要根据同学们的具体情况和需求进行定制。

建议选择口碑好、师资力量强的培训机构进行学习。

同时，同学们也需要积极配合，努力学习，才能在高考中取得好成绩。

大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一.数列函数: 1.类型:(1)数列:*()n a f n =;*1()n n a f a += (2)初等函数:(3)分段函数:*0102()(),()x x f x F x x x f x ≤⎧=⎨>⎩;*0()(),x x f x F x x x a ≠⎧=⎨=⎩;* (4)复合(含f )函数:(),()y f u u x ϕ== (5)隐式(方程):(,)0F x y =(6)参式(数一,二):()()x x t y y t =⎧⎨=⎩(7)变限积分函数:()(,)xa F x f x t dt =⎰(8)级数和函数(数一,三):0(),n n n S x a x x ∞==∈Ω∑2.特征(几何):(1)单调性与有界性(判别);(()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ⇒∀--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).3.反函数与直接函数:11()()()y f x x f y y f x --=⇔=⇒= 二.极限性质:1.类型:*lim n n a →∞;*lim ()x f x →∞(含x →±∞);*0lim ()x x f x →(含0x x ±→) 2.无穷小与无穷大(注:无穷量):3.未定型:000,,1,,0,0,0∞∞∞-∞⋅∞∞∞4.性质:*有界性,*保号性,*归并性 三.常用结论:11n n →,1(0)1n a a >→,1()max(,,)nnn na b c a b c ++→,()00!na a n >→1(0)x x→→∞,0lim1xx x +→=,lim 0n x x x e →+∞=,ln lim 0n x x x →+∞=, 0lim ln 0nx x x +→=,0,xx e x →-∞⎧→⎨+∞→+∞⎩四.必备公式:1.等价无穷小:当()0u x →时,sin ()()u x u x :;tan ()()u x u x :;211cos ()()2u x u x -:; ()1()u x e u x -:;ln(1())()u x u x +:;(1())1()u x u x αα+-:;arcsin ()()u x u x :;arctan ()()u x u x :2.泰勒公式:(1)2211()2!x e x x o x =+++; (2)221ln(1)()2x x x o x +=-+;(3)341sin ()3!x x x o x =-+;(4)24511cos 1()2!4!x x x o x =-++;(5)22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++. 五.常规方法:前提:(1)准确判断0,,1,0M α∞∞∞(其它如:00,0,0,∞-∞⋅∞∞);(2)变量代换(如:1t x=)1.抓大弃小()∞∞,2.无穷小与有界量乘积(M α⋅)(注:1sin 1,x x≤→∞) 3.1∞处理(其它如:000,∞) 4.左右极限(包括x →±∞):(1)1(0)x x→;(2)()x e x →∞;1(0)x e x →;(3)分段函数:x ,[]x ,max ()f x5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注:非零因子)6.洛必达法则(1)先”处理”,后法则(00最后方法);(注意对比:1ln lim1x x x x →-与0ln lim 1x x xx→-) (2)幂指型处理:()()ln ()()v x v x u x u x e=(如:1111111(1)x x x x xee e e-++-=-)(3)含变限积分; (4)不能用与不便用7.泰勒公式(皮亚诺余项):处理和式中的无穷小 8.极限函数:()lim (,)n f x F x n →∞=(⇒分段函数) 六.非常手段 1.收敛准则: (1)()lim ()n x a f n f x →+∞=⇒ (2)双边夹:*?n n n b a c ≤≤,*,?n n b c a →(3)单边挤:1()n n a f a +=*21?a a ≥*?n a M ≤*'()0?f x >2.导数定义(洛必达):00lim '()x ff x x→=VV V 3.积分和:10112lim[()()()]()n nf f f f x dx n n n n →∞+++=⎰L , 4.中值定理:lim[()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞→+∞+-=5.级数和(数一三):(1)1n n a ∞=∑收敛lim 0n n a →∞⇒=,(如2!lim n n n n n →∞)(2)121lim()n n n n a a a a ∞→∞=+++=∑L , (3){}n a 与11()n n n a a ∞-=-∑同敛散七.常见应用:1.无穷小比较(等价,阶):*(),(0)?n f x kx x →: (1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====⇔L ()()!!n n na a f x x x x n n α=+: (2)00()xxn f t dt kt dt ⎰⎰:2.渐近线(含斜):(1)()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-()f x ax b α⇒++: (2)()f x ax b α=++,(10x→)3.连续性:(1)间断点判别(个数);(2)分段函数连续性(附:极限函数,'()f x 连续性) 八.[,]a b 上连续函数性质1.连通性:([,])[,]f a b m M =(注:01λ∀<<,“平均”值:0()(1)()()f a f b f x λλ+-=)2.介值定理:(附:达布定理)(1)零点存在定理:()()0f a f b <0()0f x ⇒=(根的个数); (2)()0(())'0xa f x f x dx =⇒=⎰.第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一.基本概念:1.差商与导数:'()f x =0()()limx f x x f x x→+-V V V ;0'()f x =000()()lim x x f x f x x x →--(1)0()(0)'(0)limx f x f f x →-=(注:0()lim (x f x A f x→=连续)(0)0,'(0)f f A ⇒==) (2)左右导:''00(),()f x f x -+;(3)可导与连续;(在0x =处,x 连续不可导;x x 可导) 2.微分与导数:()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+⇒=V V V V (1)可微⇔可导;(2)比较,f df ∆与"0"的大小比较(图示); 二.求导准备:1.基本初等函数求导公式;(注:(())'f x )2.法则:(1)四则运算;(2)复合法则;(3)反函数1'dx dy y = 三.各类求导(方法步骤):1.定义导:(1)'()f a 与'()x a f x =;(2)分段函数左右导;(3)0()()limh f x h f x h h→+--(注:0()(),x x F x f x x x a ≠⎧=⎨=⎩,求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2.初等导(公式加法则): (1)[()]u f g x =,求:0'()u x (图形题);(2)()()xa F x f t dt =⎰,求:'()F x (注:((,))',((,))',(())'xbba a a f x t dt f x t dt f t dt ⎰⎰⎰)(3)0102(),()x x f x y x x f x <⎧=⎨≥⎩,求''00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数) 3.隐式((,)0f x y =)导:22,dy d ydx dx(1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.4.参式导(数一,二):()()x x t y y t =⎧⎨=⎩,求:22,dy d ydx dx5.高阶导()()n f x 公式:()()ax n n axe a e =;()11!()()n n n b n a bx a bx +=--; ()(sin )sin()2n n ax a ax n π=+⨯;()(cos )cos()2n n ax a ax n π=+⨯注:()(0)n f与泰勒展式:2012()nn f x a a x a x a x =+++++L L ()(0)!n n f a n ⇒=四.各类应用:1.斜率与切线(法线);(区别:()y f x =上点0M 和过点0M 的切线)2.物理:(相对)变化率-速度;3.曲率(数一二):ρ=曲率半径,曲率中心,曲率圆)4.边际与弹性(数三):(附:需求,收益,成本,利润) 五.单调性与极值(必求导) 1.判别(驻点0'()0f x =):(1)'()0()f x f x ≥⇒Z ;'()0()f x f x ≤⇒]; (2)分段函数的单调性(3)'()0f x >⇒零点唯一;"()0f x >⇒驻点唯一(必为极值,最值). 2.极值点:(1)表格('()f x 变号);(由0002'()'()''()lim0,lim 0,lim 00x x x x x x f x f x f x x x x x→→→≠≠≠⇒=的特点)(2)二阶导(0'()0f x =)注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息);(2)实例:由'()()()()f x x f x g x λ+=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例:与定积分几何应用相结合,求最优) 3.不等式证明(()0f x ≥)(1)区别:*单变量与双变量*[,]x a b ∈与[,),(,)x a x ∈+∞∈-∞+∞ (2)类型:*'0,()0f f a ≥≥;*'0,()0f f b ≤≥ *"0,(),()0f f a f b ≤≥;*00"()0,'()0,()0f x f x f x ≥=≥ (3)注意:单调性⊕端点值⊕极值⊕凹凸性.(如:max ()()f x M f x M ≤⇔=) 4.函数的零点个数:单调⊕介值 六.凹凸与拐点(必求导!): 1."y ⇒表格;(0"()0f x =)2.应用:(1)泰勒估计;(2)'f 单调;(3)凹凸. 七.罗尔定理与辅助函数:(注:最值点必为驻点) 1.结论:()()'()()0F b F a F f ξξ=⇒== 2.辅助函数构造实例: (1)()f ξ⇒()()xa F x f t dt =⎰(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x ξξξξ+=⇒= (3)()'()()()'()0()()f x fg f g F x g x ξξξξ-=⇒= (4)'()()()0f f ξλξξ+=⇒()()()x dxF x e f x λ⎰=;3.()()0()n f f x ξ=⇔有1n +个零点(1)()n f x -⇔有2个零点4.特例:证明()()n f a ξ=的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定)5.注:含12,ξξ时,分家!(柯西定理)6.附(达布定理):()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b ∀∈,[,]a b ξ∃∈,使:'()f c ξ=八.拉格朗日中值定理1.结论:()()'()()f b f a f b a ξ-=-;(()(),'()0a b ϕϕξϕξ<⇒∃∍>)2.估计:'()f f x ξ=V V九.泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1.结论:2300000011()()'()()"()()"'()()2!3!f x f x f x x x f x x x f x x ξ=+-+-+-; 2.应用:在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计十.积分中值定理(附:广义):[注:有定积分(不含变限)条件时使用]第三讲:一元积分学一.基本概念: 1.原函数()F x :(1)'()()F x f x =;(2)()()f x dx dF x =;(3)()()f x dx F x c =+⎰ 注(1)()()xa F x f t dt =⎰(连续不一定可导); (2)()()()()xxa a x t f t dt f t dt f x -⇒⇒⎰⎰(()f x 连续) 2.不定积分性质:(1)(())'()f x dx f x =⎰;(())()d f x dx f x dx =⎰ (2)'()()f x dx f x c =+⎰;()()df x f x c =+⎰ 二.不定积分常规方法 1.熟悉基本积分公式 2.基本方法:拆(线性性)3.凑微法(基础):要求巧,简,活(221sin cos x x =+) 如:211(),,ln ,2dxdx d ax b xdx dx d x ax=+==2= 4.变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):1sin ,,,x t t t t x====(2)作用与引伸(化简x t = 5.分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()xa x x f t dt ⎰); (2)“反对幂三指”:,ln ,n ax n x e dx x xdx ⎰⎰(3)特别:()xf x dx ⎰(*已知()f x 的原函数为()F x ;*已知'()()f x F x =) 6.特例:(1)11sin cos sin cos a x b xdx a x b x++⎰;(2)(),()sin kx p x e dx p x axdx ⎰⎰快速法;(3)()()n v x dx u x ⎰三.定积分: 1.概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界,充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*20(0)8a a π>=⎰;*()02ba a bx dx +-=⎰ (3)附:()()b a f x dx M b a ≤-⎰,()()()bba a f x g x dx M g x dx ≤⎰⎰) (4)定积分与变限积分,反常积分的区别联系与侧重 2:变限积分()()xa x f t dt Φ=⎰的处理(重点) (1)f 可积⇒Φ连续,f 连续⇒Φ可导(2)(())'x a f t dt ⎰()f x =;(()())'()x x a a x t f t dt f t dt -=⎰⎰;()()()xa f x dt x a f x =-⎰ (3)由函数()()xa F x f t dt =⎰参与的求导,极限,极值,积分(方程)问题 3.N L -公式:()()()ba f x dx Fb F a =-⎰(()F x 在[,]a b 上必须连续!) 注:(1)分段积分,对称性(奇偶),周期性 (2)有理式,三角式,根式 (3)含()ba f t dt ⎰的方程.4.变量代换:()(())'()ba f x dx f u t u t dt βα=⎰⎰ (1)00()()()aa f x dx f a x dx x a t =-=-⎰⎰,(2)0()()()[()()]aaaa a f x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-⎰⎰⎰(如:4411sin dx x ππ-+⎰)(3)2201sin n n n n I xdx I nπ--==⎰, (4)2200(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;200(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰, (5)00(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰,5.分部积分(1)准备时“凑常数”(2)已知'()f x 或()xa f x =⎰时,求()ba f x dx ⎰ 6.附:三角函数系的正交性: 四.反常积分: 1.类型:(1)(),(),()aaf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰(()f x 连续)(2)()ba f x dx ⎰:(()f x 在,,()x a xb xc a c b ===<<处为无穷间断) 2.敛散;3.计算:积分法⊕N L -公式⊕极限(可换元与分部)4.特例:(1)11pdx x +∞⎰;(2)101p dx x ⎰ 五.应用:(柱体侧面积除外) 1.面积,(1)[()()];ba S f x g x dx =-⎰(2)1()dc S f y dy -=⎰; (3)21()2S rd βαθθ=⎰;(4)侧面积:2(b a S f x π=⎰ 2.体积:(1)22[()()]b x a V f x g x dx π=-⎰;(2)12[()]2()d by c a V f y dy xf x dx ππ-==⎰⎰ (3)0x x V =与0y y V =3.弧长:ds(1)(),[,]y f x x a b =∈a s =⎰ (2)12(),[,]()x x t t t t y y t =⎧∈⎨=⎩21t t s =⎰ (3)(),[,]r r θθαβ=∈:s βαθ=⎰ 4.物理(数一,二)功,引力,水压力,质心, 5.平均值(中值定理): (1)1[,]()ba f ab f x dx b a=-⎰; (2)0()[0)lim x x f t dt f x→+∞+∞=⎰,(f 以T 为周期:0()Tf t dt fT=⎰)第四讲:微分方程一.基本概念1.常识:通解,初值问题与特解(注:应用题中的隐含条件)2.变换方程:(1)令()'""x x t y Dy =⇒=(如欧拉方程)(2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =⇒=⇒(如伯努利方程) 3.建立方程(应用题)的能力 二.一阶方程:1.形式:(1)'(,)y f x y =;(2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=;(3)()y a b =2.变量分离型:'()()y f x g y = (1)解法:()()()()dyf x dx G y F x Cg y =⇒=+⎰⎰(2)“偏”微分方程:(,)zf x y x∂=∂; 3.一阶线性(重点):'()()y p x y q x += (1)解法(积分因子法):0()01()[()()]()x x p x dxx x M x e y M x q x dx y M x ⎰=⇒=+⎰ (2)变化:'()()x p y x q y +=;(3)推广:伯努利(数一)'()()y p x y q x y α+= 4.齐次方程:'()y y x=Φ (1)解法:'(),()y du dxu u xu u x u u x =⇒+=Φ=Φ-⎰⎰(2)特例:111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ 5.全微分方程(数一):(,)(,)0M x y dx N x y dy +=且N Mx y∂∂=∂∂ 6.一阶差分方程(数三):1*()()x x x x x n xx y ca y ay b p x y x Q x b+=⎧-=⇒⎨=⎩ 三.二阶降阶方程1."()y f x =:12()y F x c x c =++2."(,')y f x y =:令'()"(,)dpy p x y f x p dx=⇒==3."(,')y f y y =:令'()"(,)dpy p y y pf y p dy=⇒== 四.高阶线性方程:()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1.通解结构:(1)齐次解:01122()()()y x c y x c y x =+(2)非齐次特解:1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2.常系数方程:"'()ay by cy f x ++= (1)特征方程与特征根:20a b c λλ++=(2)非齐次特解形式确定:待定系数;(附:()ax f x ke =的算子法) (3)由已知解反求方程.3.欧拉方程(数一):2"'()ax y bxy cy f x ++=,令2"(1),'t x e x y D D y xy Dy =⇒=-=五.应用(注意初始条件):1.几何应用(斜率,弧长,曲率,面积,体积); 注:切线和法线的截距2.积分等式变方程(含变限积分); 可设()(),()0xa f x dx F x F a ==⎰ 3.导数定义立方程:含双变量条件()f x y +=L 的方程 4.变化率(速度)5.22dv d xF ma dt dt===6.路径无关得方程(数一):Q Px y∂∂=∂∂7.级数与方程:(1)幂级数求和;(2)方程的幂级数解法:201201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==L 8.弹性问题(数三)第五讲:多元微分与二重积分一.二元微分学概念1.极限,连续,单变量连续,偏导,全微分,偏导连续(必要条件与充分条件),(1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ∆=++∆=+∆=+V V V V(2)lim ,lim ,lim y x x y f ff f f x y∆∆∆==∆∆(3),x y f x f y df +V V @(判别可微性)注:(0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 2.特例:(1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyx y f x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩:(0,0)点处可导不连续;(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==⎩:(0,0)点处连续可导不可微;二.偏导数与全微分的计算: 1.显函数一,二阶偏导:(,)z f x y = 注:(1)y x 型;(2)0(,)x x y z ;(3)含变限积分2.复合函数的一,二阶偏导(重点):[(,),(,)]z f u x y v x y =熟练掌握记号''"""12111222,,,,f f f f f 的准确使用3.隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式:*(,,)0F x y z =;*(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩(存在定理)(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性):0x y z F dx F dy F dz ++=(要求:二阶导)(3)注:00(,)x y 与0z 的及时代入 (4)会变换方程. 三.二元极值(定义); 1.二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)2.条件极值(拉格朗日乘数法)(注:应用)(1)目标函数与约束条件:(,)(,)0z f x y x y ϕ=⊕=,(或:多条件) (2)求解步骤:(,,)(,)(,)L x y f x y x y λλϕ=+,求驻点即可. 3.有界闭域上最值(重点).(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ϕ=⊕∈=≤ (2)实例:距离问题 四.二重积分计算:1.概念与性质(“积”前工作): (1)Dd σ⎰⎰,(2)对称性(熟练掌握):*D 域轴对称;*f 奇偶对称;*字母轮换对称;*重心坐标;(3)“分块”积分:*12D D D =U ;*(,)f x y 分片定义;*(,)f x y 奇偶 2.计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(转换):以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3.极坐标使用(转换):22()f x y +附:222:()()D x a y b R -+-≤;2222:1x y D a b+≤;双纽线222222()()x y a x y +=-:1D x y +≤ 4.特例:(1)单变量:()f x 或()f y(2)利用重心求积分:要求:题型12()Dk x k y dxdy +⎰⎰,且已知D 的面积D S 与重心(,)x y5.无界域上的反常二重积分(数三)五:一类积分的应用(():;;;;f M d D L σΩ⇒ΩΩΓ∑⎰):1.“尺寸”:(1)D Dd S σ⇔⎰⎰;(2)曲面面积(除柱体侧面);2.质量,重心(形心),转动惯量;3.为三重积分,格林公式,曲面投影作准备.第六讲:无穷级数(数一,三)一.级数概念1.定义:(1){}n a ,(2)12n n S a a a =+++L ;(3)lim n n S →∞(如1(1)!n nn ∞=+∑) 注:(1)lim n n a →∞;(2)n q ∑(或1na ∑);(3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ⇔收敛.2.性质:(1)收敛的必要条件:lim 0n n a →∞=;(2)加括号后发散,则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→; 二.正项级数1.正项级数:(1)定义:0n a ≥;(2)特征:n S Z ;(3)收敛n S M ⇔≤(有界)2.标准级数:(1)1p n ∑,(2)ln k n n α∑,(3)1ln k n n∑3.审敛方法:(注:222ab a b ≤+,ln ln b a a b =)(1)比较法(原理):n p ka n:(估计),如10()n f x dx ⎰;()()P n Q n ∑(2)比值与根值:*1limn n n u u +→∞*n 应用:幂级数收敛半径计算) 三.交错级数(含一般项):1(1)n n a +-∑(0n a >)1.“审”前考察:(1)0?n a >(2)0?n a →;(3)绝对(条件)收敛 注:若1lim1n n na a ρ+→∞=>,则n u ∑发散 2.标准级数:(1)11(1)n n +-∑;(2)11(1)n p n +-∑;(3)11(1)ln n p n+-∑ 3.莱布尼兹审敛法(收敛)(1)前提:n a ∑发散;(2)条件:,0n n a a →];(3)结论:1(1)n n a +-∑条件收敛. 4.补充方法:(1)加括号后发散,则原级数必发散;(2)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→.5.注意事项:对比n a ∑;(1)n n a -∑;n a ∑;2n a ∑之间的敛散关系四.幂级数: 1.常见形式:(1)n n a x ∑,(2)0()n n a x x -∑,(3)20()n n a x x -∑ 2.阿贝尔定理:(1)结论:*x x =敛*0R x x ⇒≥-;*x x =散*0R x x ⇒≤- (2)注:当*x x =条件收敛时*R x x ⇒=- 3.收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n n n n a na x x n∑∑与n n a x ∑同收敛半径 (2)n n a x ∑与20()n n a x x -∑之间的转换 4.幂级数展开法:(1)前提:熟记公式(双向,标明敛域)3511sin ,3!5!x x x x R =-+-Ω=L 2411cos 1,2!4!x x x R =-++Ω=L ; 211,(1,1)1x x x x =+++∈--L ;211,(1,1)1x x x x=-+-∈-+L (2)分解:()()()f x g x h x =+(注:中心移动)(特别:021,x x ax bx c =++)(3)考察导函数:()'()g x f x @0()()(0)xf xg x dx f ⇒=+⎰ (4)考察原函数:0()()xg x f x dx ⎰@()'()f x g x ⇒= 5.幂级数求和法(注:*先求收敛域,*变量替换): (1)(),S x =+∑∑(2)'()S x =L ,(注意首项变化) (3)()()'S x =∑,(4)()"()"S x S x ⇒的微分方程(5)应用:()(1)n n n n a a x S x a S ⇒=⇒=∑∑∑.6.方程的幂级数解法7.经济应用(数三):(1)复利:(1)n A p +;(2)现值:(1)n A p -+ 五.傅里叶级数(数一):(2T π=)1.傅氏级数(三角级数):01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑2.Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ⇒(和函数) (2)1()[()()]2S x f x f x =-++3.系数公式:01()cos 1(),,1,2,3,1()sin n na f x nxdx a f x dx nb f x nxdx πππππππππ---⎧=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰L4.题型:(注:()(),?f x S x x =∈)(1)2T π=且(),(,]f x x ππ=∈-L (分段表示) (2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈ (3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=) *5.2T l =6.附产品:()f x ⇒01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑第七讲:向量,偏导应用与方向导(数一)一.向量基本运算1.12k a k b +r r ;(平行b a λ⇔=v v )2.a r;(单位向量(方向余弦)01(cos ,cos ,cos )a a aαβγ=u u v v @v )3.a b ⋅r r ;(投影:()aa b b a ⋅=v v vv v ;垂直:0a b a b ⊥⇔⋅=v v v v ;夹角:(,)a b a b a b⋅=v v v v S v v ) 4.a b ⨯r r ;(法向:,n a b a b =⨯⊥v v v v v ;面积:S a b =⨯Y v v )二.平面与直线 1.平面∏(1)特征(基本量):0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕=v(2)方程(点法式):000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D π-+-+-=⇒+++= (3)其它:*截距式1x y z abc++=;*三点式 2.直线L(1)特征(基本量):0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕=v(2)方程(点向式):000:x x y y z z L m n p---== (3)一般方程(交面式):111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩(4)其它:*二点式;*参数式;(附:线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t=+-⎧⎪=+-∈⎨⎪=+-⎩)3.实用方法:(1)平面束方程:11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D πλ+++++++= (2)距离公式:如点000(,)M x y到平面的距离d =(3)对称问题;(4)投影问题.三.曲面与空间曲线(准备)1.曲面(1)形式∑:(,,)0F x y z =或(,)z f x y =;(注:柱面(,)0f x y =)(2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F αβγ=⇒v (或(,1)x y n z z =--v )2.曲线(1)形式():()()x x t y y t z z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩,或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩; (2)切向:{'(),'(),'()}s x t y t z t =r (或12s n n =⨯v u v u u v )3.应用(1)交线,投影柱面与投影曲线;(2)旋转面计算:参式曲线绕坐标轴旋转;(3)锥面计算.四.常用二次曲面1.圆柱面:222x y R +=2.球面:2222x y z R ++=变形:2222x y R z +=-,z =,2222x y z az ++=,2222000()()()x x y y z z R -+-+-=3.锥面:z =变形:222x y z +=,z a =4.抛物面:22z x y =+,变形:22x y z +=,22()z a x y =-+5.双曲面:2221x y z +=±6.马鞍面:22z x y =-,或z xy =五.偏导几何应用1.曲面(1)法向:(,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =⇒=v ,注:(,)(,1)x y z f x y n f f =⇒=-v(2)切平面与法线:2.曲线(1)切向:(),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===⇒=v(2)切线与法平面3.综合::Γ00F G =⎧⎨=⎩,12s n n =⨯v u v u u v 六.方向导与梯度(重点)1.方向导(l v 方向斜率):(1)定义(条件):(,,)(cos ,cos ,cos )l m n p αβγ=⇒v(2)计算(充分条件:可微):cos cos cos x y z u u u u l αβγ∂=++∂ 附:0(,),{cos ,sin }z f x y l θθ==u r cos sin x y z f f lθθ∂⇒=+∂r (3)附:2222cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f lθθθθ∂=++∂ 2.梯度(取得最大斜率值的方向)G u r :(1)计算:()(,)(,)x y a z f x y G gradz f f =⇒==u v ;(2)结论()a u l ∂∂0G l =⋅u r u r ; ()b 取l G =u r v 为最大变化率方向;()c 0()G M u r 为最大方向导数值.第八讲:三重积分与线面积分(数一)一.三重积分(fdV Ω⎰⎰⎰)1.Ω域的特征(不涉及复杂空间域):(1)对称性(重点):含:关于坐标面;关于变量;关于重心(2)投影法:22212{(,)}(,)(,)xy D x y x y R z x y z z x y =+≤⊕≤≤(3)截面法:222(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+≤⊕≤≤(4)其它:长方体,四面体,椭球2.f 的特征:(1)单变量()f z ,(2)22()f x y +,(3)222()f x y z ++,(4)f ax by cz d =+++3.选择最适合方法:(1)“积”前:*dv Ω⎰⎰⎰;*利用对称性(重点)(2)截面法(旋转体):()ba D z I dz fdxdy =⎰⎰⎰(细腰或中空,()f z ,22()f x y +) (3)投影法(直柱体):21(,)(,)xy z x y z x y D I dxdy fdz =⎰⎰⎰ (4)球坐标(球或锥体):22000sin ()RI d d f d παθϕϕρρ=⋅⋅⋅⎰⎰⎰,(5)重心法(f ax by cz d =+++):()I ax by cz d V Ω=+++4.应用问题:(1)同第一类积分:质量,质心,转动惯量,引力(2)Gauss 公式二.第一类线积分(Lfds ⎰)1.“积”前准备:(1)Lds L =⎰;(2)对称性;(3)代入“L ”表达式2.计算公式:()[,]((),(()b a Lx x t t a b fds f x t y t y y t =⎧∈⇒=⎨=⎩⎰⎰ 3.补充说明:(1)重心法:()()Lax by c ds ax by c L ++=++⎰;(2)与第二类互换:L L A ds A dr τ⋅=⋅⎰⎰u v v u v v4.应用范围(1)第一类积分(2)柱体侧面积(),Lz x y ds ⎰三.第一类面积分(fdS ∑⎰⎰)1.“积”前工作(重点):(1)dS ∑=∑⎰⎰;(代入:(,,)0F x y z ∑=)(2)对称性(如:字母轮换,重心)(3)分片2.计算公式:(1)(,),(,)(,,(,xyxy D z z x y x y D I f x y z x y =∈⇒=⎰⎰ (2)与第二类互换:A ndS A d S ∑∑⋅=⋅⎰⎰⎰⎰u v v u v u v四:第二类曲线积分(1):(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰(其中L 有向)1.直接计算:()()x x t y y t =⎧⎨=⎩,2112:['()'()]t t t t t I Px t Qy t dt →⇒=+⎰ 常见(1)水平线与垂直线;(2)221x y +=2.Green 公式: (1)()L D Q P Pdx Qdy dxdy x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰Ñ; (2)()L A B →⎰:*P Q y y ∂∂=⇒∂∂换路径;*P Q y y∂∂≠⇒∂∂围路径 (3)L ⎰Ñ(x y Q P =但D 内有奇点)*L L =⎰⎰蜒(变形)3.推广(路径无关性):P Q y y∂∂=∂∂ (1)Pdx Qdy du +=(微分方程)()BA L AB u →⇔=⎰(道路变形原理) (2)(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关(f 待定):微分方程.4.应用功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰u v v (Γ有向τv ,(,,)F P Q R =u v ,(,,)d r ds dx dy dz τ==v v )五.第二类曲面积分:1.定义:Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰,或(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰(其中∑含侧)2.计算:(1)定向投影(单项):(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰,其中:(,)z z x y ∑=(特别:水平面);注:垂直侧面,双层分隔(2)合一投影(多项,单层):(,,1)x y n z z =--v(3)化第一类(∑不投影):(cos ,cos ,cos )n αβγ=v3.Gauss 公式及其应用:(1)散度计算:P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂u v (2)Gauss 公式:∑封闭外侧,Ω内无奇点(3)注:*补充“盖”平面:0∑∑+⎰⎰⎰⎰;*封闭曲面变形∑⎰⎰Ò(含奇点)4.通量与积分:A d S ∑Φ=⋅⎰⎰u v u v (∑有向n v ,(),,A P Q R =u v ,(,,)d S ndS dydz dzdx dxdy ==u v v )六:第二类曲线积分(2):(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰1.参数式曲线Γ:直接计算(代入)注(1)当0rot A =u v v 时,可任选路径;(2)功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰u v v2.Stokes 公式:(要求:Γ为交面式(有向),所张曲面∑含侧)(1)旋度计算:(,,)(,,)R A P Q R x y z∂∂∂=∇⨯=⨯∂∂∂u v u v (2)交面式(一般含平面)封闭曲线:00F G =⎧⇒⎨=⎩同侧法向{,,}x y z n F F F =v 或{,,}x y z G G G ;(3)Stokes 公式(选择):()A dr A ndS Γ∑⋅=∇⨯⋅⎰⎰⎰u v v u v v Ñ(a )化为Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰;(b )化为(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰;(c )化为fdS ∑⎰⎰。

高数大一知识点总结第一章在大一的数学课程中，高等数学（简称高数）是一门重要的基础课程。

在高等数学的学习中，第一章涵盖了很多基础知识点，包括数列与极限、函数与极限以及连续性等内容。

接下来，我将对这些知识点进行总结和概述。

1. 数列与极限数列是由一系列有序的数所组成的序列。

在数列的学习中，我们需要了解等差数列和等比数列两种基本类型。

等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

极限是数列中的一个重要概念。

如果一个数列的前n项无限接近于某个常数a，那么我们称这个常数a为该数列的极限，记作lim(n→∞)an=a。

通过计算数列的极限，我们可以探讨数列的性质、趋势以及收敛性。

2. 函数与极限函数是一种关系，将一个自变量映射到一个因变量。

数学中有多种类型的函数，如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

函数的图像反映了自变量和因变量之间的关系。

函数的极限是研究函数性质的重要内容。

如果一个函数在某个点处的自变量无限接近于某个常数x0时，其因变量也无限接近于某个常数a，我们称这个常数a为该函数在点x0处的极限。

记作lim(x→x0)f(x)=a。

通过研究函数的极限，我们可以了解函数在不同自变量值下的表现和趋势。

3. 连续性连续性是函数的一种性质，反映了函数在一定区间内的光滑程度。

如果一个函数在某个点处的极限等于该点处的函数值，那么我们称这个函数在该点处连续。

函数的连续性可以分为左连续、右连续和间断。

我们可以利用函数的连续性来探讨函数的变化情况和特性。

通过分析函数的连续性，可以判断函数是否在某一区间内单调增加或者单调减少。

4. 极大值与极小值极大值和极小值是函数图像上的特殊点。

对于定义在某个区间的函数，如果存在一个点x0使得在该点的某个领域内，函数值都小于等于f(x0)，那么我们称该点x0为函数的极大值点。

高等数学（理工）导言高等数学是理工科学生必修的一门基础课程，旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

本文档将介绍高等数学课程的主要内容和学习方法，帮助学生更好地理解和掌握这门课程。

一、微积分1.1 极限与连续•极限的定义•极限的性质与运算法则•连续函数与间断点•导数的定义与计算方法1.2 微分学•函数的导数与导数的几何意义•高阶导数•隐函数的导数•微分中值定理与应用1.3 积分学•不定积分与定积分•定积分的几何意义•反常积分•微积分基本定理二、级数与数列2.1 数列的概念与性质•数列的定义•数列极限的概念与判定•数列的性质与运算法则2.2 级数的概念与运算•级数的定义与收敛性•正项级数与非负项级数•级数的收敛性判别法•常见级数：等比级数、调和级数等2.3 幂级数•幂级数的收敛半径和收敛域•幂级数的和函数•幂级数的运算法则•幂级数在收敛域上的性质2.4 泰勒级数•泰勒级数的定义和性质•泰勒级数展开与应用•函数的典型泰勒展开式•泰勒级数的收敛性分析三、常微分方程3.1 基本概念与解的存在唯一性•常微分方程的定义•解的概念与初值问题•解的存在唯一性定理•分离变量法与线性方程的解法3.2 高阶微分方程•高阶线性微分方程的概念与解法•齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程•常系数线性微分方程的特殊解法•欧拉方程与常系数齐次线性微分方程3.3 变量可分离方程与一阶线性方程•变量可分离方程的概念与解法•一阶线性微分方程的概念与解法•线性微分方程的常数变易法•指数增长与衰减的微分方程3.4 线性方程组与矩阵•线性方程组的基本概念与解法•矩阵的运算法则与性质•初等变换与矩阵的行阶梯形•线性方程组的解的判定与求解四、空间解析几何4.1 点、直线与平面•点的表示与性质•直线的方程与特征•平面的方程与特征•点到直线与平面的距离4.2 空间曲线与曲面•参数方程与曲线方程•曲面的方程与特征•空间曲线与曲面的求交与切线•空间曲线与曲面的长度与曲率4.3 空间向量与坐标系•向量的运算法则与性质•空间直角坐标系与向量的表示•点、直线与平面的向量方程•点到直线与平面的投影五、概率与统计5.1 概率的基本概念与性质•随机试验与样本空间•事件与事件的运算•概率的定义与运算法则•条件概率与独立性5.2 随机变量与概率分布•随机变量的概念与分类•离散型随机变量及其分布•连续型随机变量及其密度函数•期望值与方差的计算5.3 样本统计量与抽样分布•样本均值与样本方差的概念•估计量与抽样分布•正态总体的样本均值分布•极限定理与大样本估计5.4 假设检验与参数估计•假设检验的基本原理与步骤•单侧检验与双侧检验•参数估计的方法与误差分析•假设检验与参数估计的应用六、数学建模6.1 数学建模的基本步骤•问题的分析与理解•建立数学模型•模型的求解与分析•模型的验证与应用6.2 常见数学建模方法•几何建模与数理统计•线性规划与整数规划•动态规划与图论算法•模糊综合评价与神经网络结语高等数学的学习需要时间和耐心，通过合理的学习方法和实践，相信同学们一定能够掌握这门重要的理工科基础课程。

高等数学（理）简介高等数学（理）是一门深入研究数学基础概念和数学推理方法的课程。

它在理工科学生的课程中占有重要地位，通过高等数学（理）的学习，学生将掌握数学分析、微积分、线性代数等重要数学理论和方法，为进一步研究应用数学提供基础。

主要内容微积分微积分是高等数学的核心内容之一。

它研究函数的变化规律和极限，包括导数和积分等概念和方法，为后续学习提供了重要的工具。

微积分有两个主要分支：微分学和积分学。

微分学微分学主要研究函数的变化率和极限。

在微分学中，我们学习了导数的定义、导数的计算方法、导数的应用等内容。

导数可以表示函数在某一点的变化率，通过求导数，我们可以研究函数的极值、曲线的凹凸性以及函数图像的特征。

积分学积分学主要研究函数的累积效应和曲线下的面积。

在积分学中，我们学习了定积分的定义、定积分的计算方法和定积分的应用。

通过求定积分，我们可以计算曲线与坐标轴之间的面积、函数的累积效应以及物理学中的一些重要量。

线性代数线性代数是一门研究向量空间和线性变换的数学学科。

在高等数学中，线性代数具有重要的地位。

线性代数的主要内容包括向量、矩阵、线性方程组和特征值等。

向量向量是线性代数的基础，它可以表示一组有序的数。

我们学习了向量的加法、乘法、内积和外积等运算法则，以及向量的长度、方向和投影等概念。

矩阵矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它是一个矩形的数表。

我们学习了矩阵的加法、减法、乘法和转置等运算规则，以及矩阵的行列式和逆矩阵等概念。

线性方程组和特征值线性方程组是线性代数的重要应用之一。

我们学习了线性方程组的解的存在性和唯一性，以及线性方程组的解的表示方法。

特征值和特征向量是矩阵的另一个重要概念，它们可以帮助我们研究矩阵的性质和变换。

学习方法理论学习高等数学（理）是一门深入的数学课程，理论学习是学习的基础。

学生需要认真听讲、阅读教材，并做好笔记。

同时，还可以通过刷题来巩固理论知识。

解题思路解题是高等数学学习的重要环节。

高数基础知识快速掌握的技巧在学习高等数学的过程中，基础知识的掌握是至关重要的一步。

高数的基础知识虽然看似简单，但其内在的逻辑性和应用广泛性对后续的学习和应用有着深远的影响。

因此，掌握这些基础知识的技巧显得尤为重要。

以下是一些有效的方法和策略，可以帮助你快速而牢固地掌握高数的基础知识。

首先，构建一个清晰的知识框架是成功的第一步。

在学习高数时，可以将知识点按照逻辑顺序进行归纳整理，形成系统化的框架。

例如，在学习微积分时，首先掌握函数的基本概念，然后理解极限的定义，再到导数和积分的具体运算。

通过建立这样的知识框架，可以帮助你理清各个知识点之间的关系，并且更容易理解和记忆。

其次，注重基础概念的理解而非机械记忆。

高等数学中的许多概念如极限、导数、积分等，都是建立在一定的数学逻辑之上的。

仅仅依靠记忆公式和定理而不理解其背后的原理，很容易在面对稍微复杂的题目时出现困难。

因此，在学习这些概念时，应当注重理解其本质，尝试通过直观的例子和图示来帮助理解。

例如，使用图形化的工具来帮助理解函数的极限行为，可以使抽象的概念变得更加具体和易于理解。

练习是巩固基础知识的关键环节。

高等数学的学习不仅仅是理论上的掌握，更需要通过大量的练习题来加深对知识的理解和应用。

通过做题，你可以检验自己对基础概念的掌握程度，并且在实际运用中发现和解决问题。

选择一些经典的题目和习题集，逐步提高难度，可以帮助你在掌握基础知识的同时，提升解题能力和应对复杂问题的技巧。

交流和讨论也是一种有效的学习方式。

在学习高数的过程中，与你的同学、老师或者在线学习社区进行讨论，可以帮助你从不同的角度理解问题。

讨论中的问题和解答往往能提供新的思路和方法，也能够帮助你更好地消化和吸收知识。

同时，向他人解释你所学的知识，也能加深你对这些知识的理解和记忆。

在学习过程中，合理安排时间和制定学习计划是必要的。

高等数学的内容较为庞大且复杂，因此制定一个科学合理的学习计划可以帮助你有条不紊地进行学习。

【原创】高中微积分速成法高中微积分速成法首先要声明的是，微积分是博大精深的数学中一个分支，包含的内容很多，有些还很复杂，这里用"速成"当然不太恰当，真正学通微积分还要等到上大学后继续深造，我们现在讨论的是如何用简单的微积分来使一些复杂的高中理科题目变得简单，而达到这个目的所要学习的微积分知识还算比较容易，下面就把我的亲身经历分享给大家。

在你看完这篇文章后，希望能够轻松的解决下类问题：[数学-1]：对于函数y=x^2,它在(0，1)区间上的函数图像与x轴所围面积是多少?[数学-2]：试证明椭圆：x^2/A+y^2/B=1的面积是πAB[物理-1]：已知钉子钉墙时，所受墙的作用力与深入的距离成正比，第一次钉墙时钉子深入了A，那么第二次钉墙深入多少呢(假设每次钉钉子的能量相同)?[物理-2]：如果物体的加速度和时间t成正比，即a=kt，那么如何求得位移S与时间的关系.这些问题都是高正阶段研究过的，不用微积分也可以解出，就是麻烦，其实还有很多这类问题，在这里就不一一列举了，上面的几个例子在文末给予微积分版的解答，好了下面进入正题。

【第一部分-微分】我们不要按找课本那种严密得让人痛疼的概念了，因为高中阶段根本用不到，要想速成就尽管听我的吧(但是请确保已经熟练掌握基本函数求导法则)，我知道我讲的欠妥，但任何追问都没有意义。

微分含义：把整体变为局部。

表达符号：dx(是对x微分)运算方法：d[f(x)]=f'(x)dx这里f'(x)是f(x)导函数的意思，后面的dx与前面可以理解成相乘关系用语言叙述就是对f(x)的微分就是f(x)的导数乘以自变量的微分dx举例说明：d(x^2)=2xdx、d(sinx)=cosxdx、d(lnx)=dx/x等等几何意义：我们在求解例如第一题的函数所围面积问题时，要把自变量分成n分，每份对应一个矩形，当自变量被分的无穷小(即当n足够大)时，那个面积近似的看成若干个长方形长条相加。

第十一章 无穷级数教学目的：1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握,sin ,cos xe x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

教学重点 ：1、级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；3、交错级数的莱布尼茨判别法；4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；5、,sin ,cos xe x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式；6、傅里叶级数。

教学难点：1、比较判别法的极限形式；2、莱布尼茨判别法；3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、函数项级数的收敛域及和函数；5、泰勒级数；6、傅里叶级数的狄利克雷定理。

§11. 1 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念 常数项级数: 给定一个数列 u 1, u 2, u 3, ⋅ ⋅ ⋅, u n , ⋅ ⋅ ⋅, 则由这数列构成的表达式 u 1 + u 2 + u 3 + ⋅ ⋅ ⋅+ u n + ⋅ ⋅ ⋅叫做常数项)无穷级数, 简称常数项)级数, 记为∑∞=1n n u , 即3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n u u u u u ,其中第n 项u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和: 作级数∑∞=1n n u 的前n 项和n ni i n u u u u u s +⋅⋅⋅+++==∑= 3211称为级数∑∞=1n n u 的部分和.级数敛散性定义: 如果级数∑∞=1n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞→lim ,则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和,并写成3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞=n n n u u u u u s ;如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞=1n n u 发散.余项: 当级数∑∞=1n n u 收敛时, 其部分和s n 是级数∑∞=1n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值r n =s -s n =u n +1+u n +2+ ⋅ ⋅ ⋅ 叫做级数∑∞=1n n u 的余项.例1 讨论等比级数(几何级数)20⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n aq aq aq a aq的敛散性, 其中a ≠0, q 叫做级数的公比. 例1 讨论等比级数n n aq ∑∞=0(a ≠0)的敛散性.解 如果q ≠1, 则部分和 qaq q a q aq a aqaq aq a s n n n n ---=--=+⋅⋅⋅+++=-111 12. 当|q |<1时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0收敛, 其和为q a -1.当|q |>1时, 因为∞=∞→n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0发散.如果|q |=1, 则当q =1时, s n =na →∞, 因此级数n n aq ∑∞=0发散;当q =-1时, 级数n n aq ∑∞=0成为a -a +a -a + ⋅ ⋅ ⋅,时|q |=1时, 因为s n 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零, 所以s n 的极限不存在, 从而这时级数n n aq ∑∞=0也发散.综上所述, 如果|q |<1, 则级数nn aq ∑∞=0收敛, 其和为q a -1; 如果|q |≥1, 则级数n n aq ∑∞=0发散. 仅当|q |<1时, 几何级数n n aq ∑∞=0a ≠0)收敛, 其和为qa -1.例2 证明级数 1+2+3+⋅ ⋅ ⋅+n +⋅ ⋅ ⋅ 是发散的.证 此级数的部分和为 2)1( 321+=+⋅⋅⋅+++=n n n s n . 显然, ∞=∞→n n s lim , 因此所给级数是发散的. 例3 判别无穷级数)1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n 的收敛性. 解 由于 111)1(1+-=+=n n n n u n ,因此 )1(1 431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n 111)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n从而1)111(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n , 所以这级数收敛, 它的和是1. 例3 判别无穷级数∑∞=+1)1(1n n n 的收敛性. 解 因为 )1(1 431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n 111)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n , 从而1)111(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n ,所以这级数收敛, 它的和是1. 提示: 111)1(1+-=+=n n n n u n .二、收敛级数的基本性质性质1 如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数∑∞=1n n ku 也收敛,且其和为ks .性质1 如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则级数∑∞=1n n ku 也收敛, 且其和为ks .性质1 如果s u n n =∑∞=1, 则ks ku n n =∑∞=1.这是因为, 设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ku 的部分和分别为s n 与σn , 则) (lim lim 21n n n n ku ku ku ⋅⋅⋅++=∞→∞→σks s k u u u k n n n n ==⋅⋅⋅++=∞→∞→lim ) (lim 21.这表明级数∑∞=1n n ku 收敛, 且和为ks .性质2 如果级数∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 分别收敛于和s 、σ, 则级数)(1n n n v u ±∑∞=也收敛, 且其和为s ±σ.性质2 如果s u n n =∑∞=1、σ=∑∞=1n n v , 则σ±=±∑∞=s v u n n n )(1.这是因为, 如果∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 、)(1n n n v u ±∑∞=的部分和分别为s n 、σn 、τn , 则)]( )()[(lim lim 2211n n n n n v u v u v u ±+⋅⋅⋅+±+±=∞→∞→τ)] () [(lim 2121n n n v v v u u u +⋅⋅⋅++±+⋅⋅⋅++=∞→σσ±=±=∞→s s n n n )(lim .性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 比如, 级数 )1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n 是收敛的, 级数 )1(1 43132121110000⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅+n n 也是收敛的, 级数)1(1 541431⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅n n 也是收敛的.性质4 如果级数∑∞=1n n u 收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数1-1)+1-1) +⋅ ⋅ ⋅收敛于零, 但级数1-1+1-1+⋅ ⋅ ⋅却是发散的. 推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 级数收敛的必要条件:性质5 如果∑∞=1n n u 收敛, 则它的一般项u n 趋于零, 即0lim 0=→n n u .性质5 如果∑∞=1n n u 收敛, 则0lim 0=→n n u .证 设级数∑∞=1n n u 的部分和为s n , 且s s n n =∞→lim , 则0lim lim )(lim lim 110=-=-=-=-∞→∞→-∞→→s s s s s s u n n n n n n n n n .应注意的问题: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例4 证明调和级数13121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n 是发散的.例4 证明调和级数∑∞=11n n是发散的. 证 假若级数∑∞=11n n 收敛且其和为s , s n是它的部分和.显然有s s n n =∞→lim 及s s n n =∞→2lim . 于是0)(lim 2=-∞→n n n s s .但另一方面, 2121 212121 21112=+⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++++=-n n n n n n s s n n , 故0)(lim 2≠-∞→n n n s s , 矛盾. 这矛盾说明级数∑∞=11n n必定发散.§11. 2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法正项级数: 各项都是正数或零的级数称为正项级数.定理1 正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件它的部分和数列{s n }有界.定理2(比较审敛法)设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 且u n ≤v n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ). 若级数∑∞=1n n v 收敛,则级数∑∞=1n n u 收敛; 反之, 若级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 发散.定理2(比较审敛法)设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 且u n ≤v n (k >0, ∀n ≥N ).若∑∞=1n n v 收敛, 则∑∞=1n n u 收敛; 若∑∞=1n n u 发散, 则∑∞=1n n v 发散.设∑u n 和∑v n 都是正项级数, 且u n ≤kv n (k >0, ∀n ≥N ). 若级数∑v n 收敛, 则级数∑u n 收敛; 反之, 若级数∑u n 发散, 则级数∑v n 发散.证 设级数∑∞=1n n v 收敛于和σ, 则级数∑∞=1n n u 的部分和s n =u 1+u 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n ≤v 1+ v 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +v n ≤σ (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 即部分和数列{s n }有界, 由定理1知级数∑∞=1n n u 收敛.反之, 设级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 必发散. 因为若级数∑∞=1n n v 收敛, 由上已证明的结论, 将有级数∑∞=1n n u 也收敛, 与假设矛盾.证 仅就u n ≤v n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ )情形证明. 设级数∑v n 收敛, 其和为σ, 则级数∑u n 的部分和 s n =u 1+ u 2+ ⋅ ⋅ ⋅ + u n ≤v 1+v 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +v n ≤σ (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 即部分和数列{s n }有界. 因此级数∑u n 收敛.反之, 设级数∑u n 发散, 则级数∑v n 必发散. 因为若级数 ∑v n 收敛, 由上已证明的结论, 级数∑u n 也收敛, 与假设矛盾.推论 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果级数∑∞=1n n v 收敛, 且存在自然数N , 使当n ≥N 时有u n ≤kv n (k >0)成立, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 如果级数∑∞=1n n v 发散, 且当n ≥N 时有u n ≥kv n (k >0)成立, 则级数∑∞=1n n u 发散.例1 讨论p -级数1413121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=∑∞=p p p p p n n n 的收敛性, 其中常数p >0. 例1 讨论p -级数)0( 11>∑∞=p np n 的收敛性. 解 设p ≤1. 这时n n p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n 发散, 由比较审敛法知, 当p ≤1时级数p n n11∑∞=发散.设p >1. 此时有]1)1(1[111111111-------=≤=⎰⎰p p n n p n n pp n n p dx x dx n n (n =2, 3, ⋅ ⋅ ⋅).对于级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n , 其部分和111111)1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=p p p p p p n n n n s .因为1])1(11[lim lim 1=+-=-∞→∞→p n n n n s . 所以级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知, 级数p n n11∑∞=当p >1时收敛.综上所述, p -级数p n n11∑∞=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散. 解 当p ≤1时, n n p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n发散, 由比较审敛法知,当p ≤1时级数pn n 11∑∞=发散. 当p >1时,]1)1(1[111111111-------=≤=⎰⎰p p n n pn n pp n n p dx x dx n n (n =2, 3, ⋅ ⋅ ⋅).而级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 是收敛的, 根据比较审敛法的推论可知,级数pn n 11∑∞=当p >1时收敛.提示: 级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 的部分和为111111)1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=p p p p p p n n n n s . 因为1])1(11[lim lim 1=+-=-∞→∞→p n n n n s ,所以级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 收敛.p -级数的收敛性: p -级数pn n 11∑∞=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散. 例2 证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的. 证 因为11)1(1)1(12+=+>+n n n n , 而级数 11 3121111⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=+∑∞=n n n 是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果l v u nnn =∞→lim(0<l <+∞),则级数∑∞=1n n u 和级数∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散.定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数,(1)如果l v u n nn =∞→lim (0≤l <+∞), 且级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1n n u 收敛; (2)如果+∞=>=∞→∞→n nn n n n v u l v u lim 0lim 或, 且级数∑∞=1n n v 发散, 则级数∑∞=1n n u 发散. 定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑u n 和∑v n 都是正项级数,(1)如果lim(u n /v n )=l (0≤l <+∞), 且∑v n 收敛, 则∑u n 收敛;(2)如果lim(u n /v n )=l (0<l ≤+∞), 且∑v n 发散, 则∑u n 发散.证明 由极限的定义可知, 对l 21=ε, 存在自然数N , 当n >N 时, 有不等式l l v u l l n n2121+<<-, 即n n n lv u lv 2321<<, 再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论. 例3 判别级数∑∞=11sinn n的收敛性.解 因为111sin lim =∞→nn n , 而级数∑∞=11n n发散,根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=11sinn n发散. 例4 判别级数∑∞=+12)11ln(n n 的收敛性. 解 因为11)11ln(lim22=+∞→n n n , 而级数211n n ∑∞=收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=+12)11ln(n n 收敛. 定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)若正项级数∑∞=1n n u 的后项与前项之比值的极限等于ρ:ρ=+∞→nn n u u 1lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim)时级数发散; 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 若正项级数∑∞=1n n u 满足ρ=+∞→nn n u u 1lim, 则当ρ<1时级数收敛;当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim)时级数发散. 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)设∑∞=1n n u 为正项级数, 如果ρ=+∞→n n n u u 1lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim )时级数发散; 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.例5 证明级数 )1( 3211 3211211111⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅++n 是收敛的. 解 因为101lim 321)1( 321lim lim1<==⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→+∞→nn n u u n n n n n ,根据比值审敛法可知所给级数收敛. 例6 判别级数10! 10321102110132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+nn 的收敛性.解 因为∞=+=⋅+=∞→+∞→+∞→101lim ! 1010)!1(lim lim11n n n u u n nn n n n n ,根据比值审敛法可知所给级数发散.例7 判别级数∑∞∞→⋅-n n n 2)12(1的收敛性. 解 1)22()12(2)12(lim lim1=+⋅+⋅-=∞→+∞→n n nn u u n n n n .这时ρ=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性.因为212)12(1n n n <⋅-, 而级数211n n ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 解 因为212)12(1n n n <⋅-, 而级数211nn ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.提示: 1)22()12(2)12(lim lim1=+⋅+⋅-=∞→+∞→n n nn u u n n n n , 比值审敛法失效.因为212)12(1nn n <⋅-, 而级数211n n ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.定理5(根值审敛法, 柯西判别法)设∑∞=1n n u 是正项级数, 如果它的一般项u n 的n 次根的极限等于ρ:ρ=∞→nn n u lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞→n n n u lim)时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 若正项级数∑∞=1n n u 满足ρ=∞→nn n u lim, 则当ρ<1时级数收敛;当ρ>1(或+∞=∞→nn n u lim)时级数发散. 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 设∑∞=1n n u 为正项级数, 如果ρ=∞→nn n u lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞→n n n u lim )时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.例8 证明级数 1 3121132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nn 是收敛的. 并估计以级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差. 解 因为01lim 1lim lim ===∞→∞→∞→nn u n nn n n n n ,所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.以这级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差为 )3(1)2(1)1(1||321⋅⋅⋅++++++=+++n n n n n n n r )1(1)1(1)1(1321⋅⋅⋅++++++<+++n n n n n n + nn n )1(1+=. 例6判定级数∑∞=-+12)1(2n nn的收敛性. 解 因为21)1(221limlim =-+=∞→∞→n n n n n n u ,所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛. 定理6(极限审敛法) 设∑∞=1n n u 为正项级数,(1)如果)lim (0lim +∞=>=∞→∞→n n n n nu l nu 或, 则级数∑∞=1n n u 发散;(2)如果p >1, 而)0( lim +∞<≤=∞→l l u n n pn , 则级数∑∞=1n n u 收敛.例7 判定级数∑∞=+12)11ln(n n 的收敛性. 解 因为)(1~)11ln(22∞→+n n n , 故 11lim )11ln(lim lim 22222=⋅=+=∞→∞→∞→nn n n u n n n n n ,根据极限审敛法, 知所给级数收敛.例8 判定级数)cos 1(11nn n π-+∑∞=的收敛性.解 因为 222232321)(211lim )cos 1(1limlimπππ=⋅+=-+=∞→∞→∞→n n n n n n n u n n n nn ,根据极限审敛法, 知所给级数收敛.二、交错级数及其审敛法交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为∑∞=--11)1(n n n u , 其中0>n u .例如,1)1(11∑∞=--n n n 是交错级数, 但 cos 1)1(11∑∞=---n n n n π不是交错级数.定理6（莱布尼茨定理）如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足条件:(1)u n ≥u n +1 (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅); (2)0lim =∞→n n u ,则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1.定理6（莱布尼茨定理）如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足: (1)1+≥n n u u ; (2)0lim =∞→n n u ,则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1.简要证明: 设前n 项部分和为s n .由s 2n =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(u 2n 1-u 2n ), 及 s 2n =u 1-(u 2-u 3)+(u 4-u 5)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(u 2n -2-u 2n -1)-u 2n 看出数列{s 2n }单调增加且有界(s 2n <u 1), 所以收敛.设s 2n →s (n →∞), 则也有s 2n +1=s 2n +u 2n +1→s (n →∞), 所以s n →s (n →∞). 从而级数是收敛的, 且s n <u 1.因为 |r n |=u n +1-u n +2+⋅ ⋅ ⋅也是收敛的交错级数, 所以|r n |≤u n +1. 例9 证明级数 1)1(11∑∞=--n n n收敛, 并估计和及余项.证 这是一个交错级数. 因为此级数满足 (1)1111+=+>=n n u n n u (n =1, 2,⋅ ⋅ ⋅), (2)01lim lim ==∞→∞→nu n nn ,由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s <u 1=1, 余项11||1+=≤+n u r n n .三、绝对收敛与条件收敛: 绝对收敛与条件收敛:若级数∑∞=1||n n u 收敛, 则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛; 若级数∑∞=1n n u收敛, 而级数∑∞=1||n n u 发散, 则称级∑∞=1n n u 条件收敛.例10 级数∑∞=--1211)1(n n n 是绝对收敛的, 而级数∑∞=--111)1(n n n 是条件收敛的.定理7 如果级数∑∞=1n n u 绝对收敛, 则级数∑∞=1n n u 必定收敛.值得注意的问题:如果级数∑∞=1||n n u 发散, 我们不能断定级数∑∞=1n n u 也发散.但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数∑∞=1||n n u 发散,则我们可以断定级数∑∞=1n n u 必定发散.这是因为, 此时|u n |不趋向于零, 从而u n 也不趋向于零, 因此级数∑∞=1n n u 也是发散的.例11 判别级数∑∞=12sin n nna 的收敛性. 解 因为|221|sin n n na ≤, 而级数211n n ∑∞=是收敛的, 所以级数∑∞=12|sin |n n na 也收敛, 从而级数∑∞=12sin n nna 绝对收敛.例12 判别级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 的收敛性.解: 由2)11(21||n nn n u +=, 有121)11(lim 21||lim >=+=∞→∞→e n u n n n nn ,可知0lim ≠∞→n n u , 因此级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 发散.§ 11. 3 幂级数一、函数项级数的概念函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x )+ ⋅ ⋅ ⋅ 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞=1)(n n x u .收敛点与发散点:对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 收敛, 则称 点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 发散, 则称 点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的发散点.收敛域与发散域:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域. 和函数:在收敛域上, 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ),s (x )称为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数, 并写成∑∞==1)()(n n x u x s .∑u n (x )是∑∞=1)(n n x u 的简便记法, 以下不再重述.在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ),函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x ).在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞→或s n (x )→s (x )(n →∞) .余项:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数s (x )与部分和s n (x )的差r n (x )=s (x )-s n (x )叫做函数项级数∑∞=1)(n n x u 的余项.函数项级数∑u n (x )的余项记为r n (x ), 它是和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x ). 在收敛域上有0)(lim =∞→x r n n .二、幂级数及其收敛性 幂级数:函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是 a 0+a 1x +a 2x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n x n + ⋅ ⋅ ⋅ , 其中常数a 0, a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n , ⋅ ⋅ ⋅叫做幂级数的系数. 幂级数的例子:1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅ , !1 !2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x n x x . 注: 幂级数的一般形式是a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n (x -x 0)n + ⋅ ⋅ ⋅ , 经变换t =x -x 0就得a 0+a 1t +a 2t 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n t n + ⋅ ⋅ ⋅ . 幂级数1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅可以看成是公比为x 的几何级数. 当|x |<1时它是收敛的; 当|x |≥1时, 它是发散的. 因此它的收敛 域为(-1, 1), 在收敛域内有11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0时发散, 则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑a n x n 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式 |x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑a n x n 当 x =x 0时发散, 则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散. 提示: ∑a n x n是∑∞=0n n n x a 的简记形式.证 先设x 0是幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛点, 即级数∑∞=0n n n x a 收敛. 根据级数收敛的必要条件, 有0lim 0=∞→nn n x a , 于是存在一个常数M , 使| a n x 0n |≤M (n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅).这样级数∑∞=0n n n x a 的的一般项的绝对值n n n n n nn n n n x x M x x x a x x x a x a ||||||||||00000⋅≤⋅=⋅=. 因为当|x |<|x 0|时, 等比级数nn x x M ||00⋅∑∞=收敛, 所以级数∑∞=0||n n n x a 收敛, 也就是级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.简要证明 设∑a n x n 在点x 0收敛, 则有a n x 0n →0(n →∞) , 于是数列{a n x 0n }有界, 即存在一个常数M , 使| a n x 0n |≤M (n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 因为 n n n n n nn n nn x x M x x x a x x x a xa || |||| || ||00000⋅≤⋅=⋅=,而当||||0x x <时, 等比级数n n x x M ||⋅∑∞=收敛, 所以级数∑|a n x n |收敛, 也就是级数∑a nx n 绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x =x 0时发散而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x =x 0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证.推论 如果级数∑∞=0n n n x a 不是仅在点x =0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R 存在, 使得 当|x |<R 时, 幂级数绝对收敛; 当|x |>R 时, 幂级数发散;当x =R 与x =-R 时, 幂级数可能收敛也可能发散.收敛半径与收敛区间: 正数R 通常叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径. 开区间(-R , R )叫做幂级数∑∞=0n nn xa 的收敛区间. 再由幂级数在x =±R 处的收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛域是(-R , R )(或[-R , R )、(-R , R ]、[-R , R ]之一.规定: 若幂级数∑∞=0n nn x a 只在x =0收敛, 则规定收敛半径R =0 , 若幂级数∑∞=0n n n x a 对一切x 都收敛, 则规定收敛半径R =+∞, 这时收敛域为(-∞, +∞). 定理2如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 其中a n 、a n +1是幂级数∑∞=0n n n x a 的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 1R .定理2如果幂级数∑∞=0n n n x a 系数满足ρ=+∞→||lim 1nn n a a , 则这幂级数的收敛半径 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10 R .定理2如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 则幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R 为: 当ρ≠0时ρ1=R , 当ρ=0时R =+∞, 当ρ=+∞时R =0.简要证明: || ||||lim ||lim 111x x a a x a x a n n n nn n n n ρ=⋅=+∞→++∞→. (1)如果0<ρ<+∞, 则只当ρ|x |<1时幂级数收敛, 故ρ1=R .(2)如果ρ=0, 则幂级数总是收敛的, 故R =+∞. (3)如果ρ=+∞, 则只当x =0时幂级数收敛, 故R =0. 例1 求幂级数)1( 32)1(13211⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=--∞=-∑nx x x x n x n n n n n的收敛半径与收敛域. 例1 求幂级数∑∞=--11)1(n n n nx 的收敛半径与收敛域.解 因为1111lim ||lim 1=+==∞→+∞→nn a an n n n ρ,所以收敛半径为11==ρR .当x =1时, 幂级数成为∑∞=--111)1(n n n, 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n !1 !31!21132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++n x n x x x的收敛域. 例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n 的收敛域.解 因为0)!1(!lim !1)!1(1lim||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径为R =+∞, 从而收敛域为(-∞, +∞). 例3 求幂级数∑∞=0!n n x n 的收敛半径.解 因为+∞=+==∞→+∞→!)!1(lim ||lim 1n n a a n n n n ρ, 所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛. 例4 求幂级数∑∞=022!)()!2(n nx n n 的收敛半径. 解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径: 幂级数的一般项记为nn x n n x u 22)!()!2()(=. 因为 21||4 |)()(|lim x x u x u n n n =+∞→, 当4|x |2<1即21||<x 时级数收敛; 当4|x |2>1即21||>x 时级数发散, 所以收敛半径为21=R . 提示: 2222)1(221)1()12)(22()!()!2(])!1[()]!1(2[)()(x n n n x n n xn n x u x u n n n n +++=++=++. 例5 求幂级数∑∞=-12)1(n n nnx 的收敛域.解 令t =x -1, 上述级数变为∑∞=12n n nnt .因为 21)1(22 ||lim 11=+⋅⋅==++∞→n n a a n n n n n ρ,所以收敛半径R =2.当t =2时, 级数成为∑∞=11n n , 此级数发散; 当t =-2时, 级数成为∑∞=-1)1(n n , 此级数收敛. 因此级数∑∞=12n n nnt 的收敛域为-2≤t <2. 因为-2≤x -1<2, 即-1≤x <3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3). 三、幂级数的运算 设幂级数∑∞=0n nn x a 及∑∞=0n n n x b 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较小的区间内有 加法: ∑∑∑∞=∞=∞=+=+000)(n n n n n nn n nn x b a x b xa ,减法:∑∑∑∞=∞=∞=-=-0)(n n n n n n n n n n x b a x b x a ,设幂级数∑a n x n 及∑b n x n 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较小的区间内有加法: ∑a n x n +∑b n x n =∑(a n +b n )x n , 减法: ∑a n x n -∑b n x n =∑(a n -b n )x n .乘法: )()(0∑∑∞=∞=⋅n n n n nn x b x a =a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x +(a 0b 2+a 1b 1+a 2b 0)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅+(a 0b n +a 1b n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n b 0)x n + ⋅ ⋅ ⋅性质1 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.如果幂级数在x =R (或x =-R )也收敛, 则和函数s (x )在(-R , R ](或[-R , R ))连续. 性质2 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xn n xn n n x x n a dx x a dx x a dx x s (x ∈I ), 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导, 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='110)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s (|x |<R ),逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质1 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.性质2 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xnn xn nn x x n a dx x a dx x a dx x s (x ∈I ), 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导, 并且有逐项求导公式 ∑∑∑∞=-∞=∞=='='='010)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s (|x |<R ),逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数.解 求得幂级数的收敛域为[-1, 1). 设和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s , x ∈[-1, 1). 显然s (0)=1. 在∑∞=++=0111)(n n x n x xs 的两边求导得 x x x n x xs n n n n -=='+='∑∑∞=∞=+11)11(])([001. 对上式从0到x 积分, 得 )1ln(11)(0x dx xx xs x--=-=⎰.于是, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x x x s --=. 从而⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )1ln(1100x dx x dx x x x n n--=-==⎰⎰∑∞=, 所以, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x xx s --=,从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数.解 求得幂级数的收敛域为[-1, 1). 设幂级数的和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s , x ∈[-1, 1). 显然S (0)=1. 因为 ⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)()11( )1ln(11000<<---=-==⎰⎰∑∞=x x dx x dx x xx n n, 所以, 当1||0<<x 时, 有)1ln(1)(x xx s --=.从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .由和函数在收敛域上的连续性, 2ln )(lim )1(1==-+-→x S S x .综合起来得⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈--=0 1)1 ,0()0 ,1[ )1ln(1)(x x x x x s .提示: 应用公式)0()()(0F x F dx x F x-='⎰, 即⎰'+=xdx x F F x F 0)()0()(.11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.例7 求级数∑∞=+-01)1(n nn 的和.解 考虑幂级数∑∞=+011n nx n , 此级数在[-1, 1)上收敛, 设其和函数为s (x ), 则∑∞=+-=-01)1()1(n nn s .在例6中已得到xs (x )=ln(1-x ), 于是-s (-1)=ln2, 21ln )1(=-s , 即21ln 1)1(0=+-∑∞=n nn .§11. 4 函数展开成幂级数一、泰勒级数要解决的问题: 给定函数f (x ), 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f (x ). 如果能找到这样的幂级数, 我们就说, 函数f (x )在该区间内能展开成幂级数, 或简单地说函数f (x )能展开成幂级数, 而该级数在收敛区间内就表达了函数f (x ).泰勒多项式: 如果f (x )在点x 0的某邻域内具有各阶导数, 则在该邻域内f (x )近似等于 )(!2)())(()()(200000⋅⋅⋅+-''+-'+=x x x f x x x f x f x f )()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+,其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ(ξ介于x 与x 0之间). 泰勒级数: 如果f (x )在点x 0的某邻域内具有各阶导数f '(x ), f ''(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , f (n )(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , 则当n →∞时, f (x )在点x 0的泰勒多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(!)( )(!2)())(()()(00)(200000-+⋅⋅⋅+-''+-'+= 成为幂级数)(!3)()(!2)())(()(300200000⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+x x x f x x x f x x x f x f )(!)(00)(⋅⋅⋅+-+n n x x n x f 这一幂级数称为函数f (x )的泰勒级数. 显然, 当x =x 0时, f (x )的泰勒级数收敛于f (x 0).需回答的问题: 除了x =x 0外, f (x )的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于f (x )? 定理 设函数f (x )在点x 0的某一邻域U (x 0)内具有各阶导数, 则f (x )在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f (x )的泰勒公式中的余项R n (x )当n →0时的极限为零, 即))(( 0)(lim 0x U x x R n n ∈=∞→.证明 先证必要性. 设f (x )在U (x 0)内能展开为泰勒级数, 即)(!)( )(!2)())(()()(00)(200000⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-''+-'+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f , 又设s n +1(x )是f (x )的泰勒级数的前n +1项的和, 则在U (x 0)内s n +1(x )→ f (x )(n →∞). 而f (x )的n 阶泰勒公式可写成f (x )=s n +1(x )+R n (x ), 于是R n (x )=f (x )-s n +1(x )→0(n →∞). 再证充分性. 设R n (x )→0(n →∞)对一切x ∈U (x 0)成立.因为f (x )的n 阶泰勒公式可写成f (x )=s n +1(x )+R n (x ), 于是s n +1(x )=f (x )-R n (x )→f (x ), 即f (x )的泰勒级数在U (x 0)内收敛, 并且收敛于f (x ). 麦克劳林级数: 在泰勒级数中取x 0=0, 得⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+ !)0( !2)0()0()0()(2nn x n f x f x f f ,此级数称为f (x )的麦克劳林级数.展开式的唯一性: 如果f (x )能展开成x 的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它一定与f (x )的麦克劳林级数一致. 这是因为, 如果f (x )在点x 0=0的某邻域(-R , R )内能展开成x 的幂级数, 即 f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n x n + ⋅ ⋅ ⋅ , 那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导, 有 f '(x )=a 1+2a 2x +3a 3x 2+ ⋅ ⋅ ⋅+na n x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ , f ''(x )=2!a 2+3⋅2a 3x + ⋅ ⋅ ⋅ + n ⋅(n -1)a n x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ , f '''(x )=3!a 3+ ⋅ ⋅ ⋅+n ⋅(n -1)(n -2)a n x n -3 + ⋅ ⋅ ⋅ , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ f (n )(x )=n !a n +(n +1)n (n -1) ⋅ ⋅ ⋅ 2a n +1x + ⋅ ⋅ ⋅ , 于是得a 0=f (0), a 1=f '(0), !2)0(2f a ''=, ⋅ ⋅ ⋅, !)0()(n f a n n =, ⋅ ⋅ ⋅.应注意的问题: 如果f (x )能展开成x 的幂级数, 那么这个幂级数就是f (x )的麦克劳林级数. 但是, 反过来如果f (x )的麦克劳林级数在点x 0=0的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f (x ). 因此, 如果f (x )在点x 0=0处具有各阶导数, 则f (x )的麦克劳林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以及是否收敛于f (x )却需要进一步考察. 二、函数展开成幂级数展开步骤:第一步 求出f (x )的各阶导数: f '(x ), f ''(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , f (n )(x ), ⋅ ⋅ ⋅ . 第二步 求函数及其各阶导数在x =0 处的值: f (0), f '(0), f ''(0), ⋅ ⋅ ⋅ , f (n )( 0), ⋅ ⋅ ⋅ . 第三步 写出幂级数!)0( !2)0()0()0()(2⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+nn x n f x f x f f ,并求出收敛半径R .第四步 考察在区间(-R , R )内时是否R n (x )→0(n →∞).1)1()!1()(lim )(lim ++∞→∞→+=n n n n n x n f x R ξ是否为零. 如果R n (x )→0(n →∞), 则f (x )在(-R , R )内有展开式!)0( !2)0()0()0()()(2⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+=nn x n f x f x f f x f (-R <x <R ).例1 将函数f (x )=e x 展开成x 的幂级数.解 所给函数的各阶导数为f (n )(x )=e x (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 因此f (n )(0)=1(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 于是得级数 ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ !1 !2112n x n x x ,它的收敛半径R =+∞.对于任何有限的数x 、ξ (ξ介于0与x 之间), 有)!1(|| |)!1(| |)(|1||1+⋅<+=++n x e x n e x R n x n n ξ,而0)!1(||lim1=++∞→n x n n , 所以0|)(|lim =∞→x R n n , 从而有展开式 )( !1 !2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x .例2 将函数f (x )=sin x 展开成x 的幂级数. 解 因为)2sin()()(π⋅+=n x x f n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),所以f (n )(0)顺序循环地取0, 1, 0, -1, ⋅ ⋅ ⋅ ((n =0, 1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 于是得级数⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+--- )!12()1( !5!312153n x x x x n n , 它的收敛半径为R =+∞.对于任何有限的数x 、ξ (ξ介于0与x 之间), 有)!1(|| |)!1(]2)1(sin[||)(|11+≤+++=++n x x n n x R n n n πξ→0 (n →∞). 因此得展开式)( )!12()1( !5!3sin 12153+∞<<-∞⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+-=--x n x x x x x n n . )( !1 !2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x . 例3 将函数f (x )=(1+ x )m 展开成x 的幂级数, 其中m 为任意常数. 解: f (x )的各阶导数为 f '(x )=m (1+x )m -1, f ''(x )=m (m -1)(1+x )m -2, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,f (n )(x )=m (m -1)(m -2)⋅ ⋅ ⋅(m -n +1)(1+x )m -n , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,所以 f (0)=1, f '(0)=m , f ''(0)=m (m -1), ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(0)=m (m -1)(m -2)⋅ ⋅ ⋅(m -n +1), ⋅ ⋅ ⋅ 于是得幂级数 !)1( )1( !2)1(12⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++n x n n m m m x m m mx . 可以证明)11( !)1( )1( !2)1(1)1(2<<-⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++=+x x n n m m m x m m mx x nm .间接展开法:例4 将函数f (x )=cos x 展开成x 的幂级数. 解 已知 )!12()1( !5!3sin 12153⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+-=--n x x x x x n n (-∞<x <+∞).对上式两边求导得)( )!2()1( !4!21cos 242+∞<<-∞⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=x n x x x x n n . 例5 将函数211)(x x f +=展开成x 的幂级数.解 因为)11( 1112<<-⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=-x x x x xn , 把x 换成-x 2, 得)1( 1112422⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=+n n x x x x (-1<x <1). 注: 收敛半径的确定: 由-1<-x 2<1得-1<x <1. 例6 将函数f (x )=ln(1+x ) 展开成x 的幂级数.解 因为xx f +='11)(,而x +11是收敛的等比级数∑∞=-0)1(n n n x (-1<x <1)的和函数:)1( 11132⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-=+n n x x x x x.所以将上式从0到x 逐项积分, 得)11( 1)1( 432)1ln(1432≤<-⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-+-=++x n x x x x x x n n . 解: f (x )=ln(1+x )⎰⎰+='+=x x dx xdx x 0011])1[ln(∑⎰∑∞=+∞=+-=-=01001)1(])1([n n nx n n n n x dx x (-1<x ≤1).上述展开式对x =1也成立, 这是因为上式右端的幂级数当x =1时收敛, 而ln(1+x )在x =1处有定义且连续.例7 将函数f (x )=sin x 展开成)4(π-x 的幂级数.解 因为)]4sin()4[cos(22)]4(4sin[sin ππππ-+-=-+=x x x x , 并且有)( )4(!41)4(!211)4cos(42+∞<<-∞⋅⋅⋅--+--=-x x x x πππ, )( )4(!51)4(!31)4()4sin(53+∞<<-∞⋅⋅⋅--+---=-x x x x x ππππ, 所以 )( ] )4(!31)4(!21)4(1[22sin 32+∞<<-∞⋅⋅⋅+-----+=x x x x x πππ.例8 将函数341)(2++=x x x f 展开成(x -1)的幂级数. 解 因为 )411(81)211(41)3(21)1(21)3)(1(1341)(2-+--+=+-+=++=++=x x x x x x x x x f ∑∑∞=∞=-----=004)1()1(812)1()1(41n n nn n n n n x x)31( )1)(2121()1(0322<<----=∑∞=++x x n n n n n .提示: )211(2)1(21-+=-+=+x x x ,)411(4)1(43-+=-+=+x x x . ∑∞=<-<---=-+0)1211( 2)1()1(2111n nn n x x x , ∑∞=<-<---=-+0)1411( 4)1()1(4111n nn n x x x , 收敛域的确定: 由1211<-<-x 和1411<-<-x 得31<<-x .展开式小结:)11( 1112<<-⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=-x x x x xn ,。