第九届 数学解题能力展示决赛试题

全国数学能力竞赛试题及答案试题一：代数基础题目：解下列方程组：\[ \begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases} \]答案：将第一个方程乘以2得到 \( 2x + 2y = 10 \)，然后将其与第二个方程相加，得到 \( 3x = 11 \)，解得 \( x = \frac{11}{3} \)。

将 \( x \) 的值代入第一个方程，解得 \( y = 5 - \frac{11}{3} = \frac{4}{3} \)。

试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB的长度。

答案：根据勾股定理，AB的长度可以通过以下公式计算：\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]试题三：概率统计题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少有1个红球的概率。

答案：首先计算没有红球的概率，即两个球都是蓝球的概率，为\( \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} \)。

因此，至少有1个红球的概率为 \( 1 - \frac{6}{56} = \frac{50}{56} = \frac{25}{28} \)。

试题四：数列与级数题目：数列 \( \{a_n\} \) 满足 \( a_1 = 1 \) 且 \( a_{n+1} = 2a_n \)，求 \( a_5 \) 的值。

答案：根据数列的递推关系，可以依次计算出：\[ a_2 = 2a_1 = 2 \]\[ a_3 = 2a_2 = 4 \]\[ a_4 = 2a_3 = 8 \]\[ a_5 = 2a_4 = 16 \]试题五：组合数学题目：从10个人中选出3个人组成一个委员会，求不同的委员会组合数。

第九届全国中学生数理化学科能力展示活动九年级数学解题技能展示试题（A 卷）答案一、选择题（每题6分，共48分）1．D ．解析从01至10的3个连号的情况有8种；从11至20的2个连号的情况有9种；从21至30的单选号的情况有10种，从31至36的单选号的情况有6种，故总的选法有8×9×10×6＝4320种，可得需要8640元．故选D.2．A ．解析竖木料总长=3x +4x =7x,三根横木料总长=6-7x ∴窗框的高为3x ，宽为376x -．即窗框的面积y =3x ·376x -=-7x 2+6x (0<x <76)配方y =79)73(72+--x (0<x <76)，∴当x =73米时，即上框架高为73米、下框架为76米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大.3．D ．解析∵水桶底面半径：铁柱底面半径=2：1，∴水桶底面积：铁柱底面积=22：12=4：1，设铁柱底面积为a ，水桶底面积为4a ，则水桶底面扣除铁柱部分的环形区域面积为4a ﹣a =3a ，∵原有的水量为3a ×12=36a ，∴水桶内的水面高度变为9436=aa （公分）．4．C ．解析因为项数为99的数列a 1，a 2，a 3，…，a 99的“凯森和”为1000，所以S 1＋S 2＋…＋S 9999＝1000，故100，a 1，a 2，a 3，…，a 99的“凯森和”为100＋100＋S 1＋100＋S 2＋…＋100＋S 99100＝100＋S 1＋S 2＋…＋S 99100＝100＋990＝1090.5．B ．解析由推理可得a ＝6，t ＝62－1＝35，故a ＋t ＝41.6.D ．（译）在一份20道题目的考试中，若答对每题可得5分，未作答者每题得1分，答错每题得0分，试问下面哪个成绩是不可能的？解析满分为100分，其次对19题，1题未答，得96分，故97分不可能。

第九届全国中学生数理化学科能力展示活动七年级数学解题技能展示试题(A卷)赛区㊀学校㊀㊀姓名㊀准考证号考生须知:１．请将答题纸工整撕下并在答题纸和试卷上填写有效信息;２．考生必须在答题纸上答卷,否则成绩无效;３．考试时间为１２０分钟,满分１２０分．４．成绩查询:２０１７年１月５日起,考生可通过活动官方网站 理科学科能力评价网 (w w w．x k s l h．c o m)查询自己的分数及获奖情况．一㊁选择题(每题６分,共４８分,每题只有１个选项是正确的)１． 钋 是世界上最毒的物质,０ １g钋可以杀死１０００亿人,钋Ｇ２１０最大摄入量为万亿分之０ ８g．用科学计数法表示钋Ｇ２１０的最大摄入量为(㊀㊀)．A㊀０．８ˑ１０－１２g;㊀㊀B㊀８ˑ１０－１３g;㊀㊀C㊀０．８ˑ１０１２g;㊀㊀D㊀８ˑ１０１３g２．计算２０１６２０１６２２０１６２０１５２＋２０１６２０１７２－２的值为(㊀㊀)．A㊀１２;㊀㊀B㊀１;㊀㊀C㊀２;㊀㊀D㊀３２３．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为 和平数 ,则在１~１００这１００个数中,能称为 和平数 的所有数的和是(㊀㊀)．A㊀１３０;㊀㊀B㊀３２５;㊀㊀C㊀６７６;㊀㊀D㊀１３００４．T h e s t u d e n t s i n M r s．S a w y e r sc l a s sw e r ea s k e dt od oat a s t et e s t o f f i v ek i n d s o f c a n d y．E a c hs t u d e n t c h o s e o n ek i n do f c a n d y．Ab a r g r a p ho f t h e i r p r e f e r e n c e s i ss h o w n．W h a t p e r c e n to fh e rc l a s s c h o s e c a nd y E(㊀㊀)?５．无限循环小数为有理数,如:０．１ ,０．２ ,０．３ , ,观察０．１ ＝１９,０．２ ＝２９,０．３ ＝１３, ,则可归纳出０．４ ５ ＝(㊀㊀)．A㊀１２;㊀㊀B㊀５１１;㊀㊀C㊀１２０;㊀㊀D㊀５１１０６．如图的矩形A B C D中,点E在C D上,且A E＜A C．若P㊁Q两点分别在A D㊁A E上,A PʒP D＝４ʒ１,A QʒQ E＝４ʒ１,直线P Q交A C于点R,且Q㊁R两点到C D的距离分别为q㊁r,则下列关系中正确的是(㊀㊀)．A㊀q＜r,Q E＝R C;㊀㊀㊀B㊀q＜r,Q E＜R C;C㊀q＝r,Q E＝R C;㊀㊀D㊀q＝r,Q E＜R C７．如图甲,O P为一条拉直的细线,A㊁B两点在O P上,且O AʒA P＝１ʒ３,O BʒB P＝３ʒ５．若先固定点B,将O B折向B P,使得O B重叠在B P上,如图乙．再从图乙中的点A及与A重叠处一起剪开,使得细线分成三段,则此三段细线由小到大的长度比为(㊀㊀)．A㊀１ʒ１ʒ１;㊀㊀B㊀１ʒ１ʒ２;㊀㊀C㊀１ʒ２ʒ２;㊀㊀D㊀１ʒ２ʒ５８．在湖南卫视 我是歌手 节目中,有五位歌手角逐前５名．在公布成绩时,导演对其中一位歌手A说:你没得第一名;又对另一位歌手B说:你是第三名．请你分析一下,这五位歌手的名次不同排列的种数为(㊀㊀)．A㊀２４;㊀㊀B㊀２０;㊀㊀C㊀１８;㊀㊀D㊀６二、填空题(每题８分,共３２分)９．我国明代珠算家程大位的名著«算法统宗»里有一道著名算题: 一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁 ?这道题的答案是．１０．某场音乐会观众的座位分成一楼与二楼两个区域．若一楼售出与未售出的座位数比为４ʒ３,二楼售出与未售出的座位数比为３ʒ２,且此场音乐会一㊁二楼未售出的座位数相等,则此场音乐会售出与未售出的座位数比为．１１．小昱和阿帆均从同一本书的第１页开始,逐页依顺序在每一页上写一个数．小昱在第１页写１,且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加２;阿帆在第１页写１,且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加７．若小昱在某页写的数为１０１,则阿帆在该页写的数为．１２．对大于１的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的 分裂 :２３３,５,{３３７,９,１１,ìîíïïïï４３１３,１５,１７,１９,ìîíïïïïïï 仿此,若m ３的 分裂 数中有一个是２０１７,则m 的值为．三、解答题(本题共３小题,共４０分)１３．(１３分)流程图是为了清晰描述某事件或规律而用特殊形状㊁符号及相应规则绘制出的框图结构．给出一个如图所示流程图,其作用是输入x ,输出相应的y 值．若要使输入的x值与输出的y 值相等,则输入的x 值有多少个?分别是什么?１４．(１３分)在平面上的一个直角三角形中,两个直角边的平方加起来等于斜边的平方．如果设直角三角形的两条直角边长分别是a 和b ,斜边长是c ,则有a ２＋b ２＝c ２．这就是著名的勾股定理．如图,在直角әA B C 中,øA C B ＝９０ʎ,C D ʅA B 于点D ,D E ʅA C 于点E ,D F ʅB C 于点F ．求证:A E B F A B ＝C D ３．１５．(１４分)梓才中学有３３３人参加了 全国中学生数理化学科能力展示活动七年级数学解题技能展示 考试,电脑阅卷系统显示这３３３人一共做对了１０００道选择题．组委会规定做对３道及以下为不合格,做对６道及以上为优秀,其中不是所有人做对题目数量的奇㊁偶性都相同,问不及格及优秀的人数哪个多?。

６．用一些棱长是１的小正方体码放成一个几何体，从上向下看这个几何体，如图ａ；从正面看这个几何体，如图ｂ；则这个几何体的表面积（包括底面）最多是＿＿＿５．小鹏爸爸的家用小轿车配备了某种牌子的轮胎，装在前轮可以开４万公里，装在后轮则为６万公里，如果前后轮交换使用，则用这一组四个轮胎可行驶的最大距离为＿＿＿万公里．第２题图第４题图２．如图，正方形的边长为２，分别以四条边为直径画半圆，则四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是＿＿＿＿（π取３．１４）．４．第１５小题几何题，请参照题目自行画图，切勿使用＂共边定理＂、＂鸟头燕尾＂等模型解题，否则将被扣分．４．右图中有＿＿＿＿个三角形．竞赛３．在图中，每个汉字代表一个数字，不同汉字代表不同数字，但不能是０和２（因为已经出现）．则＂超常思维＂所代表的四位数最大是＿＿＿．１．请在答题卡答题区域书写，内容尽量紧凑，以方便拍照．２．不得使用涂改液、涂改带等修改已写内容，可在字体中间划一杠表示删除．３．不要在答题卡上作任何特殊标记，更不能留下姓名、在读学校等个人信息，否则以作弊（取消成绩）论处．第３题图温馨提示：一、填空题（共８４分）考试时间：１４：３０－１６：１０满分：１５０分２　０　２　２一超常思维２０２２年第九届鹏程杯数学邀请赛（决赛）试题卷小学六年级组１．０．６１８化成最简分数后，分母比分子大＿＿＿＿．９．妈妈把小明的１５个＂小金猪＂分别贴上标号１，２，……，１５，然后装进了布袋．那么，小明闭着眼睛从袋中至少取出＿＿＿个，才能确保其中有两个＂小金猪＂，一个的标号是另一个的２倍．１１．甲、乙、丙、丁四人现在的年龄和是１２８岁．甲４２岁时，乙３４岁．甲３６岁时，丙的年龄是丁的３倍．丁现在的年龄是＿＿＿岁，而甲现在的年龄至多是＿＿＿岁．第６题图图ａ（从上向下看）１２．一个小孩不慎掉到河里，他抱住一根圆木沿河水向下漂流．有甲、乙、丙三只木船逆流而上，在某一时刻同时与圆木擦身而过，但是都没有发现圆木上的小孩．不知过了多久，船员们同时从无线电广播中听到有人落水需要营救的消息，遂调转船头去追赶圆木．已知三只船都是匀速行驶，甲的速度最快，丙的速度最慢．则＿＿＿＿赶到救起了小孩（填谁最先、或同时、或无法判断是谁）．８．某班数学考试，全班总平均分为６６分，而所有成绩及格的学生的平均分为８３分，所有成绩不及格的学生的平均分为５６分．该班语文考试，全班总平均分是６５分，而所有成绩及格的学生的平均分为７５分，所有成绩不及格的学生的平均分为５５分．已知该班学生人数不超过１００，请问该班有＿＿＿学生．到乙桶，７．甲、乙两个水桶，甲桶装有一些水，乙桶是空的．第一次将甲桶里的水倒到乙桶，第四次再将乙桶里到甲桶，第三次又将甲桶里的水倒第二次将乙桶里的水倒到甲桶，……，照这样来回倒下去，一直倒了２０２２次之后，乙桶里的水恰有２０２２的水倒克，此时甲桶里还剩水＿＿＿克．图ｂ（从正面往后看）１０．９人平均分为３组进行射击比赛，每人各射一发．结果他们所射的环数分别是：２，３，４，５，６，７，８，９，１０，又各组的环数总和恰好相同，且同组中无人环数相邻．那么，这三组射手的环数分别是＿＿＿．１３．［ｘ］表示不超过ｘ的最大整数，它叫做取整函数，也叫高斯函数，而｛ｘ｝表示ｘ的小数部分．例如：［３．７］＝３，｛３．７｝＝０．７．易知：［ｘ］＋｛ｘ｝＝ｘ．计算：把边长为ｘ＋ｙ的正方形，分割成两个边长分别是ｘ和ｙ的小正方形，以及两个边长分别为ｘ，ｙ的相同的长方形，通过两种方式计算面积，得到：（ｘ＋ｙ）２＝ｘ２＋２ｘｙ　＋ｙ２２０２２×６１５．如图所示，正方形ＡＢＣＤ和ＡＥＦＧ的面积分别是１００和９８，ＬＤＡＥ＝　４５°，ＢＥ、ＣＦ相交于０．一、解答题（共６６分）２０２２×４１１（４，３，５）、（６，８，１０）、（８，１５，１７）、（１０，２４，２６）、……；１４．一项工程，甲队单独连续做１５０天完成，乙队单独连续做１８０天完成．现在甲队从５月１５日开始，连续干５天休息一天；乙队从５月２６日开始加入工作，连续干６天休息一天．求这项工程完工的日期．１７．ｎ只乒乓球，其中有一只次品，该次品不知道是轻了还是重了．现在给你一台没有砝码的天平，（１）请你用类似的方法证明：（ｘ－ｙ）２＝ｘ－－２ｘｙ＋ｙ２；（２）这里，我们介绍勾股数的一种生成方法．请观察：第１５题图１６．阅读下列材料，回答相关问题：（１）求线段ＣＦ的长；（２）求△ＢＯＣ与△　ＥＯＦ的面积之差．１１（３，４，５）、（５，１２，１３）、（７，２４，２５）、（９，４０，４１）、……；（１）若ｎ＝４，只允许称两次，你能否找出那个次品？（２）若ｎ＝１２，只允许称三次，你能否找出那个次品？第１６题图则奇数２ｋ　＋１与＿构成一组勾股数；而偶数２ｋ与＿＿构成一组勾股数。