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最短路问题实际案例介绍最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是找到两个顶点之间的最短路径。
这个问题在日常生活中有着广泛的应用，例如导航系统、网络路由以及物流配送等场景中都需要解决最短路问题。
本文将通过实际案例来深入探讨最短路问题及其应用。
什么是最短路问题？最短路问题是指在一个给定的图中，找到两个顶点之间的最短路径。
通常情况下，路径的长度可以通过边的权重来衡量。
最短路问题可以分为单源最短路问题和全源最短路问题，前者是指从一个固定的起点出发，求到图中其他所有顶点的最短路径；后者是指求图中任意两个顶点之间的最短路径。
实际案例：导航系统导航系统是最短路问题的一个典型应用。
当我们使用导航系统来规划路线时，系统需要找到最短路径以优化我们的行车时间。
下面以一个具体案例来说明导航系统如何解决最短路问题。
案例场景假设我们身处一座陌生的城市，想要前往城市中心的一个著名景点。
我们打开导航系统，输入起点和终点信息。
导航系统会根据地图数据自动生成最短路径，并提供导航指引。
导航系统的实现导航系统实现最短路径规划的过程可以分为以下几个步骤：1.构建路网图：将城市中的道路以及交叉口等信息转化为图的形式。
图中的节点表示交叉口，边表示道路，边的权重可以表示行驶距离、时间等。
2.选择算法：根据实际需求选择合适的最短路径算法。
常见的算法有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和A*算法等。
3.计算最短路径：根据选定的算法，在路网图上计算起点到终点的最短路径。
算法会考虑边的权重以及路径的方向等因素。
4.导航指引：根据计算得到的最短路径，导航系统会生成具体的导航指引，包括行驶指示、路口转向、距离和预计时间等信息。
优化策略导航系统通过不断的优化，提高了最短路径的计算效率和准确性。
以下是几种常见的优化策略：1.路网数据更新：导航系统会及时更新路网数据，包括道路信息、交通状况等。
这样可以保证计算得到的最短路径更准确。
2.平行算法：为了加快计算速度，导航系统采用并行算法来计算最短路径。
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中一个经典的问题，它在实际生活中有着广泛的应用，比如在交通规划、网络通信、物流配送等领域都有着重要的作用。
在解决最短路问题时，我们通常会采用不同的算法来求解，本文将介绍几种常见的最短路求解方法。
首先，我们来介绍最简单的最短路求解方法——暴力法。
暴力法的思路是枚举所有可能的路径，并找出其中的最短路。
虽然暴力法在理论上是可行的，但在实际应用中，由于其时间复杂度较高，往往不适用于大规模的图。
因此，我们需要寻找更加高效的算法来解决最短路问题。
其次，我们可以考虑使用迪杰斯特拉算法（Dijkstra algorithm）来求解最短路问题。
迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，它通过不断地选择距离起点最近的顶点，并更新其邻居顶点的距离，来逐步求解最短路。
迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示顶点的个数。
这使得它在实际应用中具有较高的效率，尤其适用于稠密图的求解。
除了迪杰斯特拉算法外，我们还可以使用弗洛伊德算法（Floydalgorithm）来解决最短路问题。
弗洛伊德算法采用动态规划的思想，通过不断更新图中任意两点之间的最短路径长度，来逐步求解整个图的最短路。
弗洛伊德算法的时间复杂度为O(V^3)，因此在大规模图的求解中也具有较高的效率。
除了上述算法外，我们还可以考虑使用A算法、贝尔曼-福特算法等其他算法来解决最短路问题。
这些算法各有特点，适用于不同类型的图和不同的应用场景。
总的来说，最短路问题是一个重要且经典的问题，在实际应用中有着广泛的应用。
在求解最短路问题时，我们可以根据具体的情况选择合适的算法来求解，以提高效率和准确性。
希望本文介绍的几种最短路求解方法能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
大连海事大学图论论文姓名：学号：专业：计算机科学与技术院系：信息科学技术2009级摘要：主要介绍最短路的两种算法，迪杰斯特拉(Dijkstra)及弗罗伊德(Floyd)算法。
以及这两种算法在实际问题中的应用和比较。
关键字：图论，最短路径，树，生成树，迪杰斯特拉(Dijkstra)，弗罗伊德(Floyd)算法最短路问题及其应用1 引言图论是应用数学的一个分支，它的概念和结果来源非常广泛，最早起源于一些数学游戏的难题研究，如欧拉所解决的哥尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏难题，如迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走路线问题等．这些古老的难题，当时吸引了很多学者的注意．在这些问题研究的基础上又继续提出了著名的四色猜想和汉米尔顿（环游世界）数学难题．1847年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学的发展，图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博弈论以及计算机科学等各个领域的问题时，发挥出越来越大的作用．在实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、军事等领域中许多问题的有力工具之一。
最短路问题是图论理论的一个经典问题。
寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。
最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。
最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础,最短路径算法是计算机科学与地理信息科学等领域的研究热点,很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中。
经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。
2 最短路2.1 最短路的定义w≥对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了,其中对赋权图()0ij的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra在1959年首次提出的,该算法能够解决两指定点间的最短路,也可以求解图G中一特定点到其它各顶点的最短路。
最短路问题的三种算法模板最短路算法&模板最短路问题是图论的基础问题。
本篇随笔就图论中最短路问题进⾏剖析，讲解常⽤的三种最短路算法：Floyd算法、Dijkstra算法及SPFA算法，并给出三种算法的模板。
流畅阅读本篇博客需要有图论的基础知识，了解什么是图，什么是最短路，以及⼀些基本语法知识和算法基础。
1、Floyd算法我个⼈认为，Floyd算法是三种最短路算法中最简单、最好理解的算法。
它的适⽤范围是任意两点之间的最短路。
这⼀点是其他两种算法（单源最短路）⽆法⽐拟的。
它的实现思路也很简单：⽤三重循环，枚举断点、起始点和终点（注意：顺序千万不能反！！），如果起始点到断点，断点到终点的距离和⼩于起始点到终点当前状态下的最短路（也就是说找到了⼀个⽐它还短的），那么就更新最短路。
它的优点就是简洁明了，易于理解，但是缺点也显⽽易见，通过它的实现途径，我们可以发现，使⽤Floyd算法的题⼀定要⽤邻接矩阵存图，这样的⼀个⼆维数组显然对空间有着要求，⼀般来讲，只能⽀持不超过500个点的图，假如更多，便⽆法⽀持。
同时，Floyd算法还对时间有着要求，因为是三重循环，所以它的时间复杂度是O(n3)的，这样的复杂度如果出现在⼀个复杂程序中，极其容易TLE，所以，请⼤家使⽤的时候，⼀定要读题读题，慎重慎重！模板：void Floyd(){memset(map,0x3f,sizeof(map));for(int i=1;i<=n;i++)map[i][i]=0;for(int k=1;k<=n;k++)//顺序不要反for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)map[i][j]=min(map[i][k]+map[k][j],map[i][j]);}2、Dijkstra算法Dijkstra算法，中⽂名是迪杰斯特拉算法，简写是DIJ算法。
DIJ算法是求解单源最短路，即从某⼀个源点到达其他所有点的最短路的⼀个经典算法。
图论之最短路
一、求最短路方法（对于一个包含环的图）
1、Dijkstra
2、Bellman-ford
3、SPFA
4、Floyd
二、Dijkstra思想（求单源点最短路，不含负边权）
1、设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将其加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
在加入的过程中，总保持从源点v 到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。
此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2、Dijkstra步骤
（1）初始时，S只包含源点，即S＝v，距离为0。
U包含除v外的其他顶点，U 中顶点u距离为边上的权；
（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）；
（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值为经过顶点k的值（松弛操作）；
（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。
3、Dijkstra两种实现方法
（1）邻接矩阵+找最小边
（2）邻接表+优先队列
关键：松弛操作
if(d[v]>d[u]+e[u][v].w)
d[v]=d[u]+e[u][v].w
4、Dijkstra 稠密图的邻接矩阵
for(int i=0;i<n;i++)//一共寻找n个点的最小dis
{
int x,m=inf;
for(int y=0;y<n;y++)if(!vis[y]&&dis[y]<=m)
m=dis[y];x=y;
vis[x]=1;
for(int y=0;y<n;y++)if(dis[y]>dis[x]+w[x][y])
dis[y]=dis[x]+w[x][y];
}
5、邻接链表+优先队列
memset(dis,127,sizeof(dis));
dis[1]=0;
q.push(make_pair(dis[1],1));
while(!q.empty())
{
int u=q.top().second;q.pop();
if(vis[u]) continue;
vis[u]=1;
for(int k=head[u];k!=-1;k=e[k].next)
{ if(dis[e[k].v]>dis[u]+e[k].w)
{ dis[e[k].v]=dis[u]+e[k].w;
q.push(make_pair(dis[e[k].v],e[k].v));
}
}
}
6、路径输出
方法一：从终点出发，不断顺着dis[y]==dis[x]+w[x][y]的边从y回到x，直到回到起点，但更好的方法是
方法二：在更新时维护father指针
for(int y=0;y<n;y++)
if(dis[y]>dis[x]+w[x][y])
father[y]=x;
7、邻接表+优先队列的dijkstra
（1）根据算法，我们需要在找到最短dis的节点序号v，所以入队的一个元素包含dis和v两部分，那么我们使用pair将捆绑两个整形:typedef pair <int,int> pii （2）然后定义一个pii型的从小到大排列的优先队列(priority_queue <pii,vector<pii>,greater<pii> > q; )
（3）注意：此时在元素入队时要加make_pair。
如将(d[1],0)入队：q.push(make_pair(d[1],0));
（4）邻接矩阵的算法显然是O(N^2)的
稀疏图的邻接表
如果一个图的顶点很多，那它往往是稀疏图，那么使用邻接表和优先队列可以优化到O(MlogN)。
三、Bellman-ford（思想求单源点最短路，可含负边权）
1、算法步骤：
（1）初始化：将除源点外的所有顶点最短距离估计值d[v]=inf,d[s]=0；
（2）迭代求解：反复对边集E中每条边进行松弛操作，使得顶点集V中每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；
（3）检验负权回路：如果有存在点v，使得d[v]>d[u]+w[u][v],则有负权回路，返回false；
（4）返回true，源点到v的最短距离保存在d[v]中。
2、伪代码
bool bellman-ford(G,w,s)
{
for each vertex in V(G)d[v]=inf;d[s]=0;
for(i=1;i<v;i++)//执行v-1次操作
for if(d[v]>d[u]+w[u][v])d[v]=d[u]+w[u][v];
for each edge(u,v) in E(G)//v-1次松弛结束若还可以松弛，则有负环
if(d[v]>d[u]+w[u][v])return false;
return true;
}
四、SPFA思想（使用队列优化后的Bellman-ford）
1、用一个队列来进行维护。
流程：初始时，将源点入队，每次从队列中取出一个元素，并对其所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队，直到队列为空时算法结束。
可以证明用队列维护的Bellman-Ford最坏情况下时间为O(nm)，通常时间为O(km)，其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。
2、伪代码
q.push(s);vis[s]=1;
void spfa()
{
while(!q.empty())
u=q.front();q.pop();vis[u]=0;//出队标记
for each v in adj(u)
{if(dis[v]>d[u]+w[u][v])
{
dis[v]=d[u]+w[u][v];
if(!vis[v]){q.push(v);vis[v]=1;}
}
}
五、floyd思想（求各点间的最短路，可含负边权）
1、动态规划原理
设d(i,j)为从i到j的只以(1…k)集合中的节点为中间点的最短路的长度；
（1）若经过k，d(i,j)=d(i,k)+d(k,j)
（2）若不经过k(可能经过1~k-1中的点），d(i,j)=d(i,j)
则d(i,j)=min(d(i,k)+d(k,j), d(i,j))
2、伪代码
for(k=0;k<n;k++)//k代表中间点必须放最外层
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
if(d[i][j]>d[i][k]+d[k][j])
d[i][j]= d[i][k]+d[k][j];
注：初始时，d[i][i]=0,其他d值为inf
六、三种最短路算法
1、dijkstra(单源点最短路)：贪心的思想，每次从集合U中找一个离源点最近的点加入到集合S中，并以新加入的点作为中间点松弛U中的点到源点的距离。
直到U为空算法结束。
使用优先队列优化。
队列中存储的是U中点的子集。
不能处理负权存在的情况。
复杂度远小于O(M*N)，因为贪心所以速度三者中最快,用二项堆优化到O(ElogV)。
2、Bellman-Ford (单源点最短路)：对所有边，进行k遍松弛操作，就会计算出与源点最多由k条边相连的点的最短路。
因为最短路一定不含环，所以最多包含n-1条边，那么我们进行n-1遍松弛操作就可以计算出所有点的最短路。
每次计算时，那些已经算出来最短路的点不用重复计算，可使用队列优化(SPFA)。
可含负边权。
复杂度为远小于O(M*N)
3、Floyd(多源点最短路)：点i到j的最短路有两种情况，1：i直接到j，2：i经过k到j，所以对于每个中间点k，枚举它的起点和终点，进行松弛操作，最终将得到所有点的最短路。
邻接矩阵存储，可含负边权。
复杂度O(N^3)，
七、传递闭包
1、有向图的传递闭包表示由邻接矩阵A求得的所有节点间的路径可达情况，无向图同样适用。
因为要求各点间的可达情况，所以使用Floyd。
for(k=0;k<n;k++)//中间点放最外层
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
d[i][j]=d[i][j]||(d[i][k]&&
d[k][j]);
2、如果把检查所有节点k放在最内层，那么结果将是不正确的，为什么呢？因为这样便过早的把i到j的最短路径确定下来了，而当后面存在更短的路径时，已经不再会更新了。
3、图中红色的数字代表边的权重。
如果我们在最内层检查所有节点X，那么对于A->B，我们只能发现一条路径，就是A->B，路径距离为9。
而这显然是不正确的，真实的最短路径是A->D->C->B，路径距离为6。
造成错误的原因就是我们把检查所有节点X放在最内层，造成过早的把A到B的最短路径确定下来了，当确定A->B的最短路径时Dis(AC)尚未被计算。
