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基于最短路问题的研究及应用令狐采学姓名：Fanmeng学号：指导老师：摘要最短路问题是图论中的一大问题，对最短路的研究在数学建模和实际生活中具有很重要的实际意义，介绍最短路问题的定义及这类问题的解决办法Dijkstra算法，并且能够在水渠修建实例运用到此数学建模的方法，为我们解决这类图论问题提供了基本思路与方法。
关键字数学建模最短路问题Dijkstra算法水渠修建。
目录第一章．研究背景1第二章．理论基础22.1 定义22.2 单源最短路问题Dijkstra求解:22.2.1 局限性22.2.2 Dijkstra算法求解步骤22.2.3 时间复杂度22.3 简单样例3第三章．应用实例43.1 题目描述43.2 问题分析43.3符号说明43.4 模型假设53.5模型建立与求解53.5.1模型选用53.5.2模型应用及求解53.6模型评价5第四章. 参考文献5第五章．附录6第一章．研究背景在现实生活中中，我们经常会遇到图类问题，图是一种有顶点和边组成，顶点代表对象，在示意图中我们经常使用点或者原来表示，边表示的是两个对象之间的连接关系，在示意图中，我们使用连接两点G点直接按的下端来表示。
顶点的集合是V，边的集合是E的图记为G[V,E] ,连接两点u和v的边用e(u,v)表示[1]。
最短问题是图论中的基础问题，也是解决图类问题的有效办法之一，在数学建模中会经常遇到，通常会把一个实际问题抽象成一个图，然后来进行求的接任意两点之间的最短距离。
因此掌握最短路问题具有很重要的意义。
第二章．理论基础2.1 定义最短路问题（short-path problem ）：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点，（通常是源节点和目标节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管道铺设，线路安装，厂区布局和设备更新等实际问题[2]。
2.2 单源最短路问题Dijkstra 求解: 2.2.1局限性Dijkstra 算法不能够处理带有负边的图，即图中任意两点之间的权值必须非负。
最短路dijkstra算法详解最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是在给定图中找到从一个起点到其他所有节点的最短路径。
Dijkstra算法是解决最短路问题的一种常用算法，本文将详细介绍Dijkstra算法的原理、实现以及时间复杂度等相关内容。
一、Dijkstra算法的原理Dijkstra算法是一种贪心算法，其基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他节点。
具体而言，Dijkstra算法通过维护一个集合S来记录已经找到了最短路径的节点，以及一个数组dist来记录每个节点到起点的距离。
初始时，S集合为空，dist数组中除了起点外所有节点都被初始化为无穷大。
接下来，重复以下步骤直到所有节点都被加入S集合：1. 从dist数组中选择距离起点最近的未加入S集合的节点u；2. 将u加入S集合；3. 更新与u相邻的未加入S集合的节点v的距离：如果从起点出发经过u可以得到更短的路径，则更新v对应位置上dist数组中存储的值。
重复以上步骤直至所有节点都被加入S集合，并且dist数组中存储了每个节点到起点的最短距离。
最后，根据dist数组中存储的信息可以得到起点到任意节点的最短路径。
二、Dijkstra算法的实现在实现Dijkstra算法时，需要使用一个优先队列来维护未加入S集合的节点，并且每次从队列中选择距离起点最近的节点。
由于C++标准库中没有提供优先队列，因此需要手动实现或者使用第三方库。
以下是一个基于STL堆实现的Dijkstra算法代码示例：```c++#include <iostream>#include <vector>#include <queue>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;vector<pair<int, int>> adj[10001];int dist[10001];void dijkstra(int start) {priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push(make_pair(0, start));dist[start] = 0;while (!pq.empty()) {int u = pq.top().second;pq.pop();for (auto v : adj[u]) {if (dist[u] + v.second < dist[v.first]) {dist[v.first] = dist[u] + v.second;pq.push(make_pair(dist[v.first], v.first));}}}}int main() {int n, m, start;cin >> n >> m >> start;for (int i = 1; i <= n; i++) {dist[i] = INF;}for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;adj[u].push_back(make_pair(v, w));}dijkstra(start);for (int i = 1; i <= n; i++) {if (dist[i] == INF) {cout << "INF" << endl;} else {cout << dist[i] << endl;}}return 0;}```以上代码中，adj数组用于存储图的邻接表，dist数组用于存储每个节点到起点的最短距离。
图论——单源最短路一、最短路两点之间的最短路：给定一个带权图，图中两点i与j的最短路是指从i到j的一条路径，这条路径经过的边的权值之和最小。
求单源最短路：给定一个带权图，求图以结点start为起点的单源最短路是指对每一个结点j<>start，求出start到j的最短路。
二、图的存储方式对于求最短路类问题的算法，图的不同存储方式会产生很大的影响，总的来说，图的存储方式有邻接矩阵，邻接表，前向星等几种。
邻接矩阵：这种存储方法需要开设一个V^2的二维数组edge，对于每两个顶点i和j，如果ij有边，则edge[i,j]=w[i,j]，否则edge[i,j]=-1，这里w[i,j]为边Eij的权。
邻接表：邻接表有链表与数组两种实现方式，如果用数组实现，同邻接矩阵一样需要一个V^2的二维数组edge，edge的每个元素包含两个信息：终点和权值。
另有一个数组a记录从指定顶点出发的边数。
对于每个顶点i，edge[i, j](j=1~a[i])表示从i出发的第j条边的终点与权值。
若用链表实现邻接表，我们可以将edge减成一维，在每个edge[i]后面连一条链表，链表上的每个结点都表示由i出发的一条边。
前向星：前向星的存法只需两个一维数组pos与edge，其中edge[i]存储了第i条边的信息，这些边是按照起点由小到大排好序的，而pos[i]则表示以i为起点的第一条边的位置。
这样在edge[pos[i]~pos[i+1]-1]中便可找到从i出发的所有边的信息。
以下的例子显示了这四种存储图的方法：2 4邻接矩阵：邻接表(数组)：邻接表(链表)：edge各种存储方法的比较：#对于稀疏图而言，复杂度约为常数。
*需要一个O(ElogE)的预处理(排序)。
总的来说，邻接矩阵比较好编写，存储方式简单明了，适合中小规模数据；用数组实现的邻接表与邻接矩阵相差不多；用链表实现的邻接表编程复杂度较高，但效率很好，适合各种各样的图论类题目；前向星只对数组进行操作，编写不是很难，同时效率也不错，在不需要修改边的最短路问题中，前向星是遇到大数据时的最佳选择。
