【金榜教程】2019高三总练习人教A版数学(理)配套练习：第10章第9讲

第一章 第3讲(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1. [2019·石家庄模拟]已知命题p ：∃x 0∈R,2x 0＝1，则綈p 是( )A. ∀x ∈R,2x ≠1B. ∀x ∉R,2x ≠1C. ∃x 0∈R,2x 0≠1D. ∃x 0∉R,2x 0≠1答案：A解析：∵命题p ：∃x 0∈R,2x 0＝1.∴綈p ：∀x ∈R,2x ≠1，故应选A.2. [2019·咸阳模考]命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A. 所有不能被2整除的整数都是偶数B. 所有能被2整除的整数都不是偶数C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数D. 存在一个能被2整除的整数不是偶数答案：D解析：否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故选D.3. [2019·湖南长沙一中月考]已知命题p ：“x ∈R ，x 2＋1>0”；命题q ：“x ∈R ，sin x ＝2”则下列判断正确的是( )A. p ∨q 为真命题，綈p 为真命题B. p ∨q 为真命题，綈p 为假命题C. p ∧q 为真命题，綈p 为真命题D. p ∧q 为真命题，綈p 为假命题答案：B解析：容易判断p 真q 假，所以p ∨q 为真命题，綈p 为假命题，故选B.4. 下列命题是真命题的有( )①p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0； ②q ：所有的正方形都是矩形；③r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；④s ：至少有一个实数x ，使x 2＋1＝0.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：B解析：x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故①是真命题；x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1>0，故③是假命题；易知②是真命题，④是假命题．5. 已知命题：p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数；p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是()A. q1，q3B. q2，q3C. q1，q4D. q2，q4答案：C解析：∵y＝2x在R上是增函数，y＝2－x在R上是减函数，∴y＝2x－2－x在R上是增函数，p1为真，p2为假，故q1：p1∨p2为真，q2：p1∧p2为假，q3：(綈p1)∨p2为假，q4∶p1∧(綈p2)为真，故真命题是q1，q4.选C.6. [2019·佛山月考]下列命题错误的是()A. “x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件B. 命题“x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x＝1，则x2－3x＋2≠0”C. 对命题“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是“∃k>0，方程x2＋x－k ＝0无实根”D. 若命题p：x∈A∪B，则綈p：x∉A且x∉B答案：B解析：命题“x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．二、填空题7. 条件p：|x|>1，条件q：x<－2，则綈p是綈q的________条件．答案：充分不必要解析：由|x|>1得x<－1或x>1，则綈p为－1≤x≤1，綈q为x≥－2，则綈p是綈q的充分不必要条件．8. [2019·西安模拟]若命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．答案：－22≤a≤2 2解析：因为“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9<0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤2 2.9. [2019·金版原创]已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若(綈q )且p 为真，则x 的取值范围是________．答案：(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析：因为綈q 且p 为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，即2<x <3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧ x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或 1<x ≤2或x <－3，所以x 的取值范围是x ≥3或1<x ≤2或x <－3.故填(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．三、解答题10. 用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假．(1)所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有唯一解；(2)存在实数x 0，使得1x 20－2x 0＋3＝34. 解：(1)∀a ∈R ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有唯一解．假命题．∵a ＝0，b ＝1时无解．(2)∃x 0∈R ，使得1x 20－2x 0＋3＝34.假命题． ∵x 20－2x 0＋3＝(x 0－1)2＋2≥2，∴1(x 0－1)2＋2≤12. ∴不存在x 0∈R ，使得1x 20－2x 0＋3＝34. 11. [2019·东城月考]已知命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增；命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若P ∨Q 是真命题，求实数a 的取值范围．解：命题P 函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增；∴0<a <1.又∵命题Q 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立；∴a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即－2<a ≤2.∵P ∨Q 是真命题，∴a 的取值范围是－2<a ≤2.12. [2019·桂林模拟]已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根，命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．解：由已知得：p ，q 中有且仅有一个为真，一个为假．命题p 为真⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x 1＋x 2＝－m <0，x 1x 2＝1>0⇒m >2.命题q 为真⇔Δ<0⇒1<m <3.(1)若p 假q 真，则⎩⎨⎧ m ≤2，1<m <3⇒1<m ≤2； (2)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3⇒m ≥3. 综上所述：m ∈(1,2]∪[3，＋∞)．。

【金榜教程】2019高三总练习人教A版数学（理）配套练习：第10章第1讲(时间：45分钟分值：100分)【一】选择题1. [2019·苏州联考]某电话局的电话号码为139××××××××，假设最后五位数字是由6或8组成的，那么这样的电话号码一共有()A. 20个B. 25个C. 32个D. 60个答案：C解析：采用分步计数的方法，五位数字由6或8组成，可分五步完成，每一步有两种方法，根据分步乘法计数原理有25＝32个，应选C.2. [2019·四川德阳第二次诊断]现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A. 81B. 64C. 48D. 24答案：A解析：每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，应选A.3. [2019·抚顺模拟]只用1、2、3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数共有()A. 6个B. 9个C. 18个D. 36个答案：C解析：对于1、2、3三个数组成一个四位数，其中必有一个数要重复，从三个中选一个有C13种，这样重复的数有2个，利用插空法知共有A33种，因此共有3A33＝18个这样的四位数．4. [2019·福州质检]如下图2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复．假设填入A方格的数字大于B方格的数字，那么不同的填法共有()A. 192种B. 128种C. 96种D. 12种答案：C解析：可分三步：第一步，填A、B方格的数字，填入A方格的数字大于B方格中的数字有6种方式(假设方格A填入2，那么方格B只能填入1；假设方格A填入3，那么方格B只能填入1或2；假设方格A填入4，那么方格B只能填入1或2或3)；第二步，填方格C的数字，有4种不同的填法；第三步，填方格D的数字，有4种不同的填法．由分步计数原理得，不同的填法总数为6×4×4＝96.5. 假设从1,2,3，…，9这9个数中同时取4个不同的数，其和为奇数，那么不同的取法共有()A. 66种B. 63种C. 61种D. 60种答案：D解析：从1,2,3，…，9这9个数中同时取4个不同的数，其和为奇数的取法分为两类：第一类取1个奇数，3个偶数，共有C15C34＝20种取法；第二类是取3个奇数，1个偶数，共有C35C14＝40种取法．故不同的取法共有60种，选D.6. [2019·西安调研]某种体育彩票规定：从01至36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号码，从11至20中选2个连续的号码，从21至30中选1个号码，从31至36中选1个号码，组成一注，那么要把这种特殊要求的号码买全，至少要花费()A. 3360元B. 6720元C. 4320元D. 8640元答案：D解析：从01至10的3个连号的情况有8种；从11至20的2个连号的情况有9种；从21至30的单项选择号的情况有10种，从31至36的单项选择号的情况有6种，故总的选法有8×9×10×6＝4320种，可得需要8 640元．应选D.【二】填空题7. 在某次中俄海上联合搜救演习中，参加演习的中方有4艘船、3架飞机；俄方有5艘船、2架飞机，假设从中、俄两组中各选出2个单位(1架飞机或1艘船都作为一个单位，所有的船只两两不同，所有的飞机两两不同)，且选出的4个单位中恰有一架飞机的不同选法共有________．答案：180种解析：假设选出的一架飞机是中方的，那么选法是C14C13C25＝120种；假设选出的一架飞机是俄方的，那么选法有C15C12C24＝60种．故不同选法共有120＋60＝180种．8. [2019·汕头模拟]如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，假设相邻区域不能涂同一种颜色，那么不同的涂法共有_____ ___．答案：480种解析：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．9. [2019·金版原创]如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做〝好数〞，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，〝好数〞共有________个．答案：12解析：由题意知此题是一个分类计数问题，当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4共有4种情况，当有三个1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141；当有三个2,3,4时2221,3331,4441根据分类计数原理得到共有12种结果，故答案为12.【三】解答题10. 现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？解：可将星期【一】【二】【三】【四】五分给5个人，相邻的数字不分给同一个人．星期一：可分给5人中的任何一人，有5种分法；星期二：可分给剩余4人中的任何一人，有4种分法；星期三：可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人，有4种分法；同理星期四和星期五都有4种不同的分法，由分步计数原理共有5×4×4×4×4＝1280种不同的排法．11. [2019·常德模拟](1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？解：(1)该问题中要完成的事是4名同学报名，因而可按学生分步完成，每一名同学有3种选择方法，故共有34＝81(种)报名方法．(2)该问题中，要完成的事是三项冠军花落谁家，故可按冠军分步完成，每一项冠军都有4种可能，故可能的结果有43＝64(种)．12. [2019·厦门模拟]某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．解：第一类：既会排版又会印刷的2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1＝3种选法．第二类：既会排版又会印刷的2人中被选出1人，有2种选法．假设此人去排版，那么再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1＝6种选法；假设此人去印刷，那么再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2＝12种选法；再由分类计数原理知共有6＋12＝18种选法．第三类：既会排版又会印刷的2人全被选出，同理共有16种选法．所以共有3＋18＋16＝37种选法．。

【金榜教程】2019高三总练习人教A版数学（理）配套练习：第7章第3讲(时间：45分钟分值：100分)【一】选择题1. [2019·柳州模拟]以下四个命题中，真命题的个数为()①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合②两条直线可以确定一个平面③假设M∈α，M∈β，α∩β＝l，那么M∈l④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A解析：①两个平面有三个公共点，假设这三个公共点共线，那么这两个平面相交，故①不正确；两异面直线不能确定一个平面，故②不正确；在空间交于一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故④不正确；据平面的性质可知③正确．2. [2019·重庆模拟]假设两条直线和一个平面相交成等角，那么这两条直线的位置关系是()A. 平行B. 异面C. 相交D. 平行、异面或相交答案：D解析：经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，应选D.3. [2019·淮北质检]以下四个命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②假设点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，那么A、B、C、D、E共面；③假设直线a、b共面，直线a、c共面，那么直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B解析：①假设其中有三点共线，那么该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是假设A、B、C共线，那么结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．4. [2019·东城模拟]设A、B、C、D是空间四个不同的点，在以下命题中，不正确的选项是()A. 假设AC与BD共面，那么AD与BC共面B. 假设AC与BD是异面直线，那么AD与BC是异面直线C. 假设AB＝AC，DB＝DC，那么AD＝BCD. 假设AB＝AC，DB＝DC，那么AD⊥BC答案：C解析：A中，假设AC与BD共面，那么A、B、C、D四点共面，那么AD与BC共面；B中，假设AC与BD是异面直线，那么A、B、C、D四点不共面，那么AD与BC是异面直线；C中，假设AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；D中，假设AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.5. [2019·沈阳模拟]正方体AC1中，E、F分别是线段BC、C1D的中点，那么直线A1B与直线EF的位置关系是()A. 相交B. 平行C. 异面D. 以上都有可能答案：A解析：如下图，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF ⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．6. [2019·福建调研]如图，假设Ω是长方体ABCD －A1B1C1D1被平面EFGH 截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E 为线段A1B1上异于B1的点，F 为线段BB1上异于B1的点，且EH ∥A1D1，那么以下结论中不正确的选项是( )A. EH ∥FGB. 四边形EFGH 是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台答案：D解析：假设FG 不平行于EH ，那么FG 与EH 相交，交点必然在B1C1上，与EH ∥B1C1矛盾，所以FG ∥EH ；由EH ⊥平面A1ABB1，得到EH ⊥EF ，可以得到四边形EFGH 为矩形，将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C 正确；D 没能正确理解棱台的定义与题中的图形．【二】填空题7. [2019·株洲调研]a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出三个命题： ①假设a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；②假设a 与b 相交，b 与c 相交，那么a 与c 相交；③假设a ，b 与c 成等角，那么a ∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)．答案：①解析：由基本性质知①正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可以相交、平行，也可以异面，故③不正确．8. [2019·滨州模拟]如下图，ABCD －A1B1C1D1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a 3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，那么PQ ＝________.答案：223a解析：如图，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD ，∴MN ∥PQ.又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC.∴PQ AC ＝DP DA ＝23∴PQ ＝23AC ＝223 a.9. [2019·武汉模拟]如下图，在三棱柱ABC －A1B1C1中，AA1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB1的中点，那么直线EF 和BC1所成的角是________．答案：60°解析：连接AB1，易知AB1∥EF ，连接B1C 交BC1于点G ，取AC 的中点H ，连接GH ，那么GH ∥AB1∥EF.故∠AGB(或其补角)即为EF 和B C1所成角．设AB ＝BC ＝AA1＝a ，连接HB ，在三角形GHB 中，易知GH ＝HB ＝GB ＝22a ，故两直线所成的角即为∠HGB ＝60°.【三】解答题10. [2019·宜宾调研]A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，A D 的中点．(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)假设AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，那么EF 与BD 共面，从而D F 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线.(2)解：如图，取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，那么EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.11. [2019·德阳检测]如下图，正方体ABCD －A1B1C1D1中，A1C 与截面DBC1交于O 点，AC ，BD 交于M 点，求证：C1，O ，M 三点共线．证明：∵C1∈平面A1ACC1，且C1∈平面DBC1，∴C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点． 又∵M ∈AC ，∴M ∈平面A1ACC1.∵M ∈BD ，∴M ∈平面DBC1，∴M 也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点， ∴C1M 是平面A1ACC1与平面DBC1的交线． ∵O 为A1C 与截面DBC1的交点，∴O ∈平面A1ACC1，O ∈平面DBC1， 即O 也是两平面的公共点，∴O ∈直线C1M ，即C1，O ，M 三点共线．12. [2019·渝北模拟]如图，四边形ABEF 和AB CD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12A D ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？(1)证明：由FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD.又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 是平行四边形．(2)解：C 、D 、F 、E 四点共面，由BE 綊12AF ，G 为FA 中点知BE 綊GF ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．。

【金榜教程】2019高三总练习人教A 版数学（理）配套练习：第7章第7讲(时间：45分钟 分值：100分) 【一】选择题1. [2019·西安名校联考]假设直线l 的方向向量为a ＝(1，－1，2)，平面α的法向量为u ＝(－2,2，－4)，那么( )A. l ∥αB. l ⊥αC. l ⊂αD. l 与α斜交答案：B解析：因为直线l 的方向向量为a ＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,2，－4)共线，那么说明了直线与平面垂直，选择B. 2. 如图，正方体ABCD －A1B1C1D1中，E ，F 分别在A1D ，AC 上，且A1E ＝23A1D ，AF ＝13AC ，那么( )A. EF 至多与A1D ，AC 之一垂直B. EF ⊥A1D ，EF ⊥ACC. EF 与BD1相交D. EF 与BD1异面 答案：B解析：以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，那么A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(13，0，13)，F(23，13，0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A1D→＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)， EF →＝(13，13，－13)，BD1→＝(－1，－1,1)，EF →＝－13BD1→，A1D →·EF →＝AC →·E F →＝0，从而EF ∥BD1，EF ⊥A1D ，EF ⊥AC.应选B.3. 假设a ＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，那么a 与b 的夹角的余弦值为( )A. 48585B. 6985C. －1515 D. 0 答案：C解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a|·|b|＝2×2－823×25＝－1515.4. [2019·皖北五校联考]在正三棱柱ABC －A1B1C1中，AB ＝1，D 在棱BB1上，且BD ＝1，那么AD 与平面AA1C1C 所成的角的正弦值为( )A. 64B. －64C. 104D. －104 答案：A解析：取AC 中点E ，连接BE ，那么BE ⊥AC ， 如图，建立空间直角坐标系Bxyz ，那么A(32，12，0)，D(0,0,1)，那么A D →＝(－32，－12，1)．∵平面ABC ⊥平面AA1C1C ，BE ⊥AC ，∴BE ⊥平面AA1C1C.∴B E →＝(32，0,0)为平面AA1C1C 的一个法向量，∴cos 〈A D →，B E →〉＝－64，设AD 与平面AA1C1C 所成的角为α，∴sin α＝|cos|〈A D →，B E →〉|＝64，应选A.5. [2019·江苏模拟]在直三棱柱A1B1C1－ABC 中，∠BCA ＝90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC ＝CA ＝CC1，那么BD1与AF 1所成的角的余弦值是( )A. 3010B. 12C. 3015D. 1510答案：A解析：建立如下图的坐标系，设BC ＝1，那么A(－1,0,0)，F1(－12，0,1)，B(0，－1,0)，D1(－12，－12，1)，即AF1→＝(12，0,1)，BD1→＝(－12，12，1)．∴cos 〈AF1→，BD1→〉＝AF1→·BD1→|AF1→|·|BD1→|＝3010. 6. [2019·天津十校联考]如图，在四棱锥P －A BCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面AB CD 内的一个动点，且满足MP ＝MC ，那么点M 在正方形ABCD 内的轨迹为( )答案：A解析：以D 为原点，DA 、DC 所在直线分别为x 、y 轴建系如图：设M(x ，y,0)，设正方形边长为a ，那么P(a 2，0，32a)，C(0，a,0)，那么|MC|＝x2＋y －a 2，|MP|＝x －a 22＋y2＋32a 2.由|MP|＝|MC|得x ＝2y ，所以点M 在正方形ABCD 内的轨迹为直线y ＝12x 的一部分．【二】填空题7. [2019·泉州模拟]如图，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，假设以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，那么点E 的坐标为________．答案：(1,1,1) 解析：设PD ＝a ，那么D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E(1,1，a2)，∴DP →＝(0,0，a)，AE →＝(－1,1，a 2)．由cos 〈DP →，AE →〉＝33，∴a22＝a 2＋a24·33，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)．8. [2019·佛山质检]棱长为1的正方体ABCD －A1B1C1D1中，E 是A 1B1的中点，求直线AE 与平面ABC1D1所成角的正弦值________．答案：105解析：如图建立空间直角坐标系，AB→＝(0,1,0)，AD1→＝(－1,0,1)，AE →＝(0，12，1)设平面ABC1D1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，由n ·AB→＝0可解得n ＝(1,0,1)，n ·AD1→＝0设直线AE 与平面ABC1D1所成的角为θ， 那么sin θ＝|AE→·n|| AE →|·|n|＝105.9. [2019·合肥调研]在长方体ABCD －A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，那么点A1到截面AB1D1的距离是________．答案：43解析：如图建立空间直角坐标系Dxyz ，那么A1(2,0,4)，A(2,0,0)， B1(2,2,4)，D1(0,0,4)， AD1→＝(－2,0,4)， AB1→＝(0,2,4)， AA1→＝(0,0,4)， 设平面AB1D1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，那么⎩⎨⎧n ·AD1→＝0，n ·AB1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4z ＝0，2y ＋4z ＝0，解得x ＝2z 且y ＝－2z ，不妨设n ＝(2，－2,1)，设点A1到平面AB1D1的距离为d ，那么d ＝|AA1→·n||n|＝43. 【三】解答题10. [2019·豫西模拟]在几何体A －BCED 中，∠ACB ＝90°，CE ⊥平面ABC ，平面BCED 为梯形，且AC ＝CE ＝BC ＝4，DB ＝1.(1)求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； (2)试探究在DE 上是否存在点Q ，使得AQ ⊥B Q ，并说明理由．解：(1)由题知，CA ，CB ，CE 两两垂直，以C 为原点，以CA ，CB ，CE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．那么A(4,0,0)，B(0,4,0)，D(0,4,1)，E(0,0,4)，∴DE→＝(0，－4,3)，AB →＝(－4,4,0)， ∴cos 〈DE →，AB →〉＝－225，∴异面直线DE 与AB 所成角的余弦值为225.(2)设满足题设的点Q 存在，其坐标为(0，m ，n)，那么A Q →＝(－4，m ，n)，B Q →＝(0，m －4，n)，E Q →＝(0，m ，n －4)，Q D →＝(0,4－m,1－n)．∵AQ ⊥BQ ，∴m(m －4)＋n2＝0，①∵点Q 在ED 上，∴存在λ∈R(λ>0)使得EQ→＝λQD →，∴(0，m ，n －4)＝λ(0,4－m,1－n)，∴m ＝4λ1＋λ，②n ＝4＋λ1＋λ.③由①②③得(λ＋41＋λ)2＝16λ1＋λ2，∴λ2－8λ＋16＝0，解得λ＝4.∴m ＝165，n ＝85.∴满足题设的点Q 存在，其坐标为(0，165，85)．11. [2019·长郡模拟]如下图，在棱长为a 的正方体ABCD －A1B1C1D 1中，E 、F 、H 分别是棱BB1、CC1、DD1的中点．(1)求证：BH ∥平面A1EFD1；(2)求直线AF 与平面A1EFD1所成的角的正弦值．解：以D 为原点建立如下图的空间直角坐标系，那么A(a,0,0)，B(a ，a,0)，H(0,0，a 2)，F(0，a ，a2)，A1(a,0，a)，E(a ，a ，a2)，D1(0,0，a)(1)∵A1E →＝(0，a ，－a 2)，D1A1→＝(a,0,0)设平面A1EFD1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)． 那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·A1E →＝ay －a 2z ＝0n ·D1A1→＝ax ＝0，令z ＝2，那么y ＝1.∴n ＝(0,1,2)又∵BH →＝(－a ，－a ，a 2)∴BH→·n ＝0－a ＋a ＝0. ∴BH→⊥n ，∵BH ⊄平面A1EFD1. ∴BH ∥平面A1EFD1.(2)∵AF →＝(－a ，a ，a 2)，由(1)知n ＝(0,1,2)是平面A1EFD1的一个法向量，设直线AF 与平面A1EFD1所成的角为θ，那么sin θ＝|cos 〈AF →，n 〉|＝|AF →·n||AF →|·|n| ＝|a ＋a|a2＋a2＋a24·1＋4＝435＝4515.即直线AF 与平面A1EFD1所成的角的正弦值为4515.12. [2019·贵州模拟]如图，在四棱锥P －A BCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABC D ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．(1)证明：PC ⊥平面BEF ；(2)求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小．解：(1)如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵AP ＝AB ＝2，BC ＝22，四边形ABCD 是矩形，∴A ，B ，C ，D 的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,22，0)，D(0,22，0)，P(0,0,2)．又E ，F 分别是AD ，PC 的中点，∴E(0，2，0)，F(1，2，1)．∴PC→＝(2,22，－2)，BF →＝(－1，2，1)，EF →＝(1,0,1)， ∴PC →·BF →＝－2＋4－2＝0，P C →·EF →＝2＋0－2＝0， ∴PC→⊥BF →，PC →⊥EF →， ∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF ，BF ∩EF ＝F ， ∴PC ⊥平面BEF.(2)由(1)知平面BEF 的一个法向量n1＝PC→＝(2,22，－2)，平面BAP 的一个法向量n2＝A D →＝(0,22，0)，∴n1·n2＝8，设平面BEF与平面BAP的夹角为θ，那么cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2| |n1||n2|＝84×22＝22，∴θ＝45°，∴平面BEF与平面BAP的夹角为45°.。

【金榜教程】2019高三总练习人教A版数学（理）配套练习：第9章第1讲(时间：45分钟分值：100分)【一】选择题1. [2019·金版原创]2013年7月6日～8日某市重点中学在高一进行了期末统一考试，为了了解一年级1000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，下面说法正确的选项是()A、1000名学生是总体B、每个学生是个体C、1000名学生的成绩是一个个体D、样本的容量是100答案：D解析：1000名学生的成绩是统计中的总体，每个学生的成绩是个体，被抽取的100名学生的成绩是一个样本，其样本的容量是100.2. 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②.那么完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是()A、分层抽样法，系统抽样法B、分层抽样法，简单随机抽样法C、系统抽样法，分层抽样法D、简单随机抽样法，分层抽样法答案：B解析：对于调查①，各个地区之间的销售点差异较大，宜用分层抽样法；对于调查②，总体容量较小，宜用简单随机抽样法．故应选B.3. [2019·兰州检测]某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，那么该样本的老年职工抽取人数为( )A 、9B 、18C 、27D 、36答案：B解析：设老年职工人数为x 人，中年职工人数为2x ，所以160＋x ＋2x ＝430，得x ＝90.由题意老年职工抽取人数为90×32160＝18(人)．4. [2019·大连模拟]用系统抽样法(按等距离的规那么)，要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，假设第16组应抽出的号码为125，那么第一组中按抽签方法确定的号码是( )A 、7B 、5C 、4D 、3答案：B解析：设第一组确定的号码是x ，那么x ＋(16－1)×8＝125，解得x ＝5.5. [2019·湖北质检]将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为 ( )A. 26,16,8B. 25,17,8C. 25,16,9D. 24,17,9答案：B解析：由题意知间隔为60050＝12，故抽到的号码为12k ＋3(k ＝0,1，…，49)，列出不等式可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人．6. [2019·曲靖模拟]从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，假设采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，那么所选取5枚导弹的编号可能是( )A. 5,10,15,20,25B. 3,13,23,33,43C. 1,2,3,4,5 D . 2,4,6,16,32答案：B解析：间隔距离为10，故可能编号是3,13,23,33,43.【二】填空题7. [2019·金版原创]在2019年6月欧洲杯期间，一个网站调查了球迷对某场球赛中两个队员打架的行为认识，在登录网站的所有球迷发帖中，收回有效帖子共50000份，其中持各种态度的帖子数统计如下表：为了了解球迷具体的想法和意见，此网站打算从中选出500份，为使样本更具代表性，对持〝无所谓，继续支持他们〞态度的帖子应该抽取________份．答案：112解析：根据题意确定抽样的比例为50050000＝1100，所求的份数为11200×1100＝112.8. 一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，假设m ＝8，那么在第8组中抽取的号码是________．答案：76解析：由题意知：m ＝8，k ＝8，那么m ＋k ＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.9. [2019·唐山检测]某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)，假设第5组抽出的号码为22，那么第8组抽出的号码应是________．假设用分层抽样方法，那么40岁以下年龄段应抽取________人.答案：37 20解析：∵间距为5，第5组抽22号，∴第8组抽出的号码为22＋5(8－5)＝37.40岁以下职工人数为100，应抽取40200×100＝20(人)．【三】解答题10. 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．解：用分层抽样方法抽取．具体实施抽取如下：(1)∵20∶100＝1∶5，∴105＝2，705＝14，205＝4.∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．(2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01,02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．(3)将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本．11. [2019·衡中模拟]选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程．(1)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；(2)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个入样．解：(1)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样法．第一步，确定抽取个数．因为样本容量与总体的个数比为10∶30＝1∶3，所以甲厂生产的应抽取213＝7(个)，乙厂生产的应抽取93＝3(个)．第二步，用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个．第三步，将抽取的10个篮球组成样本．(2)总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样法．第一步，将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001,002，…，299，并分成30段．第二步，在第一段000,001,002，…，009这十个编号中用简单随机抽样法抽出一个如(002)作为起始号码．第三步，将编号为002,012,022，…，292的个体抽出组成样本．12. [2019·南通调研]某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．解：按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5＝59，我们把这295名同学分成59组，每组5人．第1组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59组是编号为291～295的5名学生．采用简单随机抽样的方法，从第1组5名学生中抽出一名学生，设编号为k(1≤k ≤5，k ∈N*)，那么抽取的学生编号为k ＋5l(l ＝0,1,2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当k ＝3时的样本编号为3,8,13，…，288,293.。

第二章 第5讲(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1. [2019·郑州质检]给出下列结论：①当a <0时，＝a 3； ②n a n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠73}； ④若2x ＝16,3y ＝127，则x ＋y ＝7. 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④答案：B 解析：>0，a 3<0，故①错， ∵2x ＝16，∴x ＝4，∵3y ＝127，∴y ＝－3. ∴x ＋y ＝4＋(－3)＝1，故④错．2. 设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝(12)2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a >c >bB. c >a >bC. a >b >cD. b >a >c答案：C解析：因为a ＝22.5>1，b ＝2.50＝1，c ＝(12)2.5<1，所以a >b >c . 3. [2019·临沂月考]已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域( )A. [9,81]B. [3,9]C. [1,9]D. [1，＋∞) 答案：C解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，可知C 正确．4. [2019·山东泰安]设函数f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( ) A. f (－2)>f (－1)B. f (－1)>f (－2)C. f (1)>f (2)D. f (－2)<f (2)答案：A解析：∵f (2)＝4，∴a －|2|＝4，a ＝12，∴f (x )＝(12)－|x |＝2|x |，则函数f (x )为偶函数，x ≥0时，递增，x <0时，递减，故选A.5. [2019·沈阳模拟]函数y ＝(12)2x －x 2的值域为( ) A. [12，＋∞) B. (－∞，12] C. (0，12] D. (0,2] 答案：A解析：令t ＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴(12)t ≥12， ∴y ＝(12)2x －x 2的值域为[12，＋∞)，故选A 项． 6. [2019·浙江四校调研]设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .取函数f (x )＝2－x －e －x .若对任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A. K 的最小值为1B. K 的最大值为2C. K 的最大值为1D. K 的最小值为2 答案：A解析：K ≥f (x )对x ∈(－∞，＋∞)恒成立，f (x )在(－∞，0)上递增，(0，＋∞)上递减，f (x )max ＝f (0)＝1，∴K min ＝1.二、填空题7. (32)×(－76)0＋814×42－(－23)23＝________. 答案：2解析：原式＝(23)×1＋2×2－(23)＝2.8. [2019·金版原创]已知a ＝5－22，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．答案：m <n解析：由题意知，a ＝5－22∈(0,1)，故函数f (x )＝a x 是减函数，由f (m )>f (n )得m <n . 9. [2019·漳州模拟]函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n的最小值为________． 答案：4解析：由题易知，定点为(1,1)，所以m ＋n ＝1，1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝n m ＋m n＋2≥2＋2＝4(当且仅当m ＝n ＝12时等号成立)． 三、解答题10. 函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值． 解：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a .∴a 2－a ＝a 2.即a (2a －3)＝0. ∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2.∴a －a 2＝a 2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12. ∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32. 11. [2019·成都模拟]已知y ＝4x －3·2x ＋3，当其值域为[1,7]时，求x 的取值范围． 解：由已知得1≤4x －3·2x ＋3≤7，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －3·2x ＋3≤74x －3·2x ＋3≥1， 得⎩⎪⎨⎪⎧(2x ＋1)(2x －4)≤0(2x －1)(2x －2)≥0.即0<2x ≤1，或2≤2x ≤4.∴x ≤0，或1≤x ≤2.∴x 的取值范围为(－∞，0]∪[1,2]．12. [2019·衡水月考]已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)，(1)试确定f (x )；(2)若不等式(1a )x ＋(1b)x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6 ①b ·a 3＝24 ② ②÷①得a 2＝4，又a >0，且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3·2x .(2)(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝(12)x ＋(13)x ，g (x )在(－∞，1]上单调递减， ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56， 故所求实数m 的取值范围是(－∞，56]．。

【金榜教程】2019高三总练习人教A版数学（理）配套练习：第7章第5讲(时间：45分钟分值：100分)【一】选择题1. [2019·南通检测]m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A 的一条动直线，那么以下情形可能出现的是()A. l∥m，l⊥αB. l⊥m，l⊥αC. l⊥m，l∥αD. l∥m，l∥α答案：C解析：设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.2. [2019·惠州调研]设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，那么以下命题正确的选项是()A. 假设α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，那么m⊥αB. 假设m⊂α，n⊂β，m⊥n，那么n⊥αC. 假设n⊥α，n⊥β，m⊥β，那么m⊥αD. 假设m∥α，n∥β，m⊥n，那么α⊥β答案：C解析：与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行，故A错；对于B，存在n∥α情况，故B错；D，存在α∥β情况，故D 错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确，选C.3. [2019·浙江质检]以下命题中错误的选项是()A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案：D解析：对于命题A，在平面α内存在直线l平行于平面α与平面β的交线，那么l平行于平面β，故命题A正确．对于命题B，假设平面α内存在直线垂直于平面β，那么平面α与平面β垂直，故命题B正确．对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l 上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，那么a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，a⊂γ，b⊂γ，∴l⊥γ.故命题C正确．对于命题D，设α∩β＝l，那么l⊂α，但l⊂β.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误，应选D.4. [2019·金版原创]平面α⊥平面β的一个充分条件是()A. 存在一条直线l，l⊥α，l⊥βB. 存在一个平面γ，γ∥α，γ∥βC. 存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βD. 存在一条直线l，l⊥α，l∥β答案：D解析：由A项可推出α∥β；由B项可推出α∥β；由C项可推出α∥β或α⊥β，均不是α⊥β的充分条件．故应选D.5. [2019·中山模拟]如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABCDEF，PA＝2AB，那么以下结论正确的选项是()A. PA⊥ADB. 平面ABCDEF⊥平面PBCC. 直线BC∥平面PAED. 直线PD与平面ABCDEF所成的角为30°答案：A解析：因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥AD，故A正确；B项中两个平面不垂直；C项中，AD与平面PAE相交，BC∥AD，故C错；D项中，PD与平面ABCDEF所成的角为45°，故D错．应选A.6. [2019·天津模拟]如图，以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高A D 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出以下四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 是等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面ABC.其中正确的选项是( )A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④答案：B解析：由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①对；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②对；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③对；由①知④错．应选B.【二】填空题7. [2019·长沙名校模考]如图，在三棱锥D －ABC 中，假设AB ＝BC ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，那么平面ADC 与平面BDE 的关系是________．答案：垂直 解析：⎭⎪⎬⎪⎫AD ＝DC AB ＝BC E 为AC 的中点⇒DE ⊥AC 且BE ⊥AC.故AC ⊥平面BDE.故平面ADC ⊥平面BDE.8. 设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l 为直线，给出以下命题： ①假设α∥β，α⊥γ，那么β⊥γ；②假设α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l ，那么l ⊥γ；③假设直线l 与平面α内的无数条直线垂直，那么直线l 与平面α垂直；④假设α内存在不共线的三点到β的距离相等，那么平面α平行于平面β；上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．答案：①②解析：由题可知③中无数条直线不能认定为任意一条直线，所以③错，④中的不共线的三点有可能是在平面β的两侧，所以两个平面可能相交也可能平行，故填①②.9. [2019·梅州模拟]平面α，β和直线m，给出以下条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m∥β；(2)当满足条件________时，有m⊥β(填所选条件的序号)．答案：(1)③⑤(2)②⑤解析：(1)∵α∥β，m⊂α，∴m∥β.(2)∵α∥β，m⊥α，∴m⊥β.【三】解答题10. [2019·福州模拟]如下图，PA⊥矩形ABC D所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)假设∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.证明：(1)如图，连结AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN＝12PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN ＝12PC.∴AN ＝BN ，∴△ABN 为等腰三角形，又M 为底边的中点，∴MN ⊥AB ，又∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD.(2)连结PM 、MC ，∵∠PDA ＝45°，PA ⊥AD ，∴AP ＝AD. ∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∴PA ＝BC. 又∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM.而∠PAM ＝∠CBM ＝90°，∴PM ＝CM.又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC.由(1)知，MN ⊥CD ，PC ∩CD ＝C ，∴MN⊥平面PCD.11. [2019·枣庄质检]如图，在四棱锥P－AB CD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PA D 是等边三角形，BD ＝2AD ＝4，AB ＝2DC ＝2 5.(1)求证：BD ⊥平面PAD ；(2)求三棱锥A －PCD 的体积．(1)证明：在△ABD 中，由于AD ＝2，BD ＝4，AB ＝25，∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD ⊥BD.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面PAD.(2)解：过P 作PO ⊥AD 交AD 于O.又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD.∵△PAD 是边长为2的等边三角形，∴PO ＝ 3.由(1)知，AD ⊥BD ，在Rt △ABD 中，斜边AB 边上的高为h ＝AD ×BD AB ＝455.∵AB ∥DC ，∴S △ACD ＝12CD ×h ＝12×5×455＝2.∴V A －PCD ＝VP －ACD ＝13S △ACD ×PO＝13×2×3＝233.12. [2019·海淀模拟]正方体ABCD －A1B1C1D 1中，E 为棱CC1上的动点．(1)求证：A1E ⊥BD ；(2)当E 恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1B D ⊥平面EBD.证明：连接AC ，设AC ∩DB ＝O ，连接A1O 、O E ，(1)因为AA1⊥底面ABCD ，所以BD ⊥A1A ，又BD ⊥AC ，A1A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面ACEA1，因为A1E ⊂平面ACEA1.所以A1E ⊥BD.(2)在等边三角形A1BD 中，BD ⊥A1O ，∵BD ⊥平面ACEA1，OE ⊂平面ACEA1，∴BD ⊥OE ，所以∠A1OE 为二面角A1－BD －E 的平面角． 在正方体ABCD －A1B1C1D1中，设棱长为2a ， 因为E 为棱CC1的中点，由平面几何知识，得EO ＝3a ，A1O ＝6a ，A1E ＝3a ，满足A1E2＝A1O2＋EO2，所以∠A1OE ＝90°，即平面A1BD ⊥平面EBD.。