2017届高考数学第三卷模拟仿真理科卷资料

保密★启用并使用完毕前部分学校高三仿真试题理 科 数 学本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若i iai212-=-，则=a A ．5 B ．5- C ．5i D ．5i -2．已知集合{}2|0=-<A x x x ，{}|=<B x x a ,若A B A = ，则实数a 的取值范围是A ．(]1-∞，B ．()1-∞，C ．[)1+∞，D ．()1+∞， 3．已知等比数列{}n a 满足14=a ，26414a a a =-，则2a = A ．2 B ．1 C ．12 D ．184．直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥则k 的取值范围是A ．3[,0]4- B ．[ C ．[ D ．2[,0]3-5．下列四个结论中错误的个数是①若0.40.433,log 0.5,log 0.4===a b c ，则>>a b c②“命题p 和命题q 都是假命题”是“命题∧p q 是假命题”的充分不必要条件 ③若平面α内存在一条直线a 垂直于平面β内无数条直线，则平面α与平面β垂直 ④已知数据12,,, n x x x 的方差为3，若数据()121,1,1,0,R n ax ax ax a a +++>∈ 的方差为12,则a 的值为2A ．0B ．1C ．2D ．3 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．8(4)π+B ．8(8)π+C ．16(π+ D ．7．B D k 值是A ．4B ．5C ．6D ．7 9．若直线)2(+=x k y 上存在点(),x y 满足011-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩x y x y y ，则实数k 的取值范围是 A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--41,1 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51,1 C ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-∞-，，511 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51,4110．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()2()=--f x x f x ．当(,0)x ∈-∞时，()2'<f x x ；若(2)()44+--≤+fmf m m ，则实数m 的取值范围是A ．(]1，-∞- B ．(]2，-∞- C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-+∞第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为 ． 12．观察下列各式：31=1，3321+2=3，33321+2+3=6，333321+2+3+4=10，…，由此推得：33331+2+3+n = ．13．6个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人，则不同的站法种数为 ． 14．已知()lg2x f x x =-，若()()0f a f b +=，则41a b+的最小值是 ． 15．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做x 轴的垂线交双曲线于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，M 是边BC的中点，cos BAM ∠=, tan AMC ∠=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若角6BAC π∠=，BC 边上的中线AMABC ∆的面积．17．（本小题满分12分）如图，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，ABC ∆为等边三角形， M 为ABC ∆内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PA PB =． （Ⅰ）证明：OB OA =； （Ⅱ）证明：AB OP ⊥；（Ⅲ）若::AP PO OC =，求二面角B OA P --的余弦值．18．(本小题满分12分)在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同． （Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；（Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X ，求X 的分布列和数学期望EX ．OBCPM∙19．(本小题满分12分)已知数列{}n a 和{}n b 满足1232(N*)n bn a a a a n =∈ ．若{}n a 是各项为正数的等比数列，且14a =，326b b =+． （Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设1n nc b =-，记数列{}n c 的前n 项和为n S ． ①求n S ；②求正整数k ，使得对任意N *n ∈，均有n k S S ≥． 20．（本小题满分13分）已知抛物线2:4C y x =，点M 与抛物线C 的焦点F 关于原点对称，过点M 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于不同两点B ,A ，线段AB 的中点为P ，直线PF 与抛物线C 交于两点D ,E ．（Ⅰ）判断是否存在实数k 使得四边形AEBD 为平行四边形．若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）求22PMPF 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知λ∈R ，函数()ln xf x e x x λ=-（ 2.71828e = 是自然对数的底数）．（Ⅰ）若()10f =，证明：曲线()y f x =没有经过点2,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线； （Ⅱ）若函数()f x 在其定义域上不单调，求λ的取值范围； （Ⅲ）是否存在正整数n ，当11,n n ne λ++⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 的图象在x 轴的上方，若存在，求n 的值；若不存在，说明理由．。

2０1７年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科)一、选择题（本大题包括12小题,每小题5分，共6０分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项涂在答题卡上）1．已知复数ｚ=1+2i,则=（)Ａ.5ﻩB.５＋4i Ｃ．﹣３Ｄ.3﹣4i2.已知集合A={x|x2﹣2x﹣３＜0},，则A∩B=（)Ａ.{x|１＜ｘ＜3} B.{x|﹣１＜x<3}C.{x|﹣1<x<０或0＜x＜3}ﻩD.｛x|﹣1<x＜0或1＜ｘ＜３｝3．若点Ｐ为抛物线y=2x2上的动点,F为抛物线的焦点，则｜PF|的最小值为（)Ａ．２ﻩB． C.ﻩD.4.某高中体育小组共有男生2４人，其50m跑成绩记作aｉ(i=１,2,…，24）,若成绩小于6．８s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（)Ａ．求24名男生的达标率ﻩB．求２4名男生的不达标率C.求2４名男生的达标人数ﻩＤ．求24名男生的不达标人数5．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足２S3=8a1+3a2,ａ4=1６,则S4=( )A.9ﻩB.15C.18ﻩD．306．在平面内的动点（x,y）满足不等式，则z＝2x+ｙ的最大值是（）Ａ．﹣4 B．4 Ｃ.﹣2ﻩＤ．27.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为（）A.B．ﻩC． D.８.将一枚硬币连续抛掷n次,若使得至少有一次正面向上的概率不小于,则ｎ的最小值为( ）Ａ.4ﻩB.5 Ｃ.6 D．79．若方程在上有两个不相等的实数解x1,ｘ2,则ｘ1+x２=( ）A．ﻩB．ﻩC.ﻩD．1０.设n∈N*，则=()Ａ．ﻩＢ. C. D.11．已知向量,,(m＞0，n>0)，若m+n∈[１，２]，则的取值范围是（）A.ﻩＢ.Ｃ.ﻩD．12．对函数ｆ(ｘ）＝，若∀ａ，b，c∈R,f（a）,f（ｂ)，f(c)都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是( )A.B．C．Ｄ.二、填空题（本大题包括4小题,每小题５分,共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.１３．《九章算术》是我国第一部数学专著,下有源自其中的一个问题:“今有金箠（chuí）,长五尺,斩本一尺,重四斤，斩末一尺,重二斤．问金箠重几何？”其意思为:“今有金杖(粗细均匀变化)长５尺，截得本端1尺，重4斤,截得末端１尺,重2斤.问金杖重多少？”则答案是.14．函数f（x)=ｅx•ｓｉnx在点（０，ｆ(0)）处的切线方程是.15．直线kx﹣3y+3＝0与圆(x﹣1)2+（ｙ﹣3）2=1０相交所得弦长的最小值为．16.过双曲线﹣＝1(a>ｂ＞0）的左焦点Ｆ作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A,Ｂ两点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题(本大题包括６小题,共７0分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）.17．(12分）已知点，Ｑ(cosx,sinx），O为坐标原点，函数. (1）求函数ｆ(x）的最小值及此时ｘ的值；（2)若Ａ为△ＡBC的内角,f(Ａ)=４,BC＝3,求△ABC的周长的最大值．18．（12分)某手机厂商推出一款6吋大屏手机,现对5０0名该手机用户(20０名女性,3００名男性）进行调查，对手机进行评分,评分的频数分布表如下:女性用户分值区间[５０,6０)[60，７0)[70，８0）[80，90）[90，100]频数20408０5010男性用户分值区间[５0，6０）[60，70)[70，８0)[８0,90）［９0,100]频数4５75９0603０（1)完成下列频率分布直方图,并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值,给出结论即可)；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中,从评分不低于8０分的用户中任意抽取3名用户,求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．１9．（12分）如图，在四棱锥Ｐ﹣ABＣD中,底面ABCD为正方形，PA⊥底面ＡＢＣＤ，ＡD=AP,E为棱ＰD中点．（1)求证：PD⊥平面ABE;（2)若F为AB中点，，试确定λ的值,使二面角Ｐ﹣FM﹣Ｂ的余弦值为.20.(12分)已知F１，Ｆ２分别是长轴长为的椭圆C:的左右焦点,A1，A2是椭圆C的左右顶点,P为椭圆上异于A1,A２的一个动点，O为坐标原点,点M为线段PＡ2的中点,且直线ＰA2与OM的斜率之积恒为.(１）求椭圆C的方程；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C（２,2,0）交椭圆于A，B两点，线段ＡＢ的垂直平分线与Ｂ(2，0，0）轴交于点Ｎ,点N横坐标的取值范围是,求线段AB长的取值范围.2１．（1２分)已知函数．（1)求f(x）的极值;（2）当0＜x＜ｅ时，求证:f（e+x)＞f(e﹣x)；（3）设函数f（ｘ)图象与直线ｙ=m的两交点分别为Ａ(ｘ1,ｆ(x１)、B(x2,f(x2)）,中点横坐标为ｘ0,证明:f＇（x0）<0.请考生在２2、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分．[选修4-４:坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分１0分）22.（1０分）已知在平面直角坐标系ｘOｙ中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线Ｃ1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l:（为参数）.(1）求曲线Ｃ1的直角坐标方程及直线ｌ的普通方程;(２）若曲线Ｃ2的参数方程为（α为参数）,曲线Ｐ(x0,y0）上点P的极上的动点,求PQ的中点M到直线l距离的最大值．坐标为，Q为曲线C２[选修4-５:不等式选讲]（共１小题，满分0分)2３．已知a＞0，b＞0，函数ｆ(x）＝｜x+a|＋|2x﹣b｜的最小值为１.（1）求证：2a+ｂ＝2;（2）若a+2ｂ≥tab恒成立，求实数t的最大值．2017年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分,共6０分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1.已知复数z＝1＋2i，则=()Ａ．５ B.５+４ｉﻩC.﹣3ﻩD．3﹣4ｉ【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】由已知直接利用求解．【解答】解:∵z=1＋2i，∴＝|z|2=.故选:A.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念,是基础题.2.已知集合A={x｜x2﹣２x﹣3<0｝,，则Ａ∩Ｂ＝（）A．{ｘ｜1＜x<3}ﻩB.{x|﹣1＜x<3}C．{ｘ｜﹣１<x＜0或０＜x<3}ﻩＤ.{ｘ|﹣1<x<0或1＜x＜3}【考点】集合的表示法．【分析】先化简A，B，再求出其交集即可.【解答】解：由A={x|﹣１<x<3},B={x|ｘ＜0，或x>1},故A∩B={x|﹣1<ｘ＜0，或1＜x＜３}．故选D.【点评】本题考查了集合的交集的运算,属于基础题．3.若点P为抛物线y=２x2上的动点,Ｆ为抛物线的焦点,则｜PF|的最小值为()Ａ．2ﻩB．ﻩC．ﻩD．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意,设P到准线的距离为d，则有|ＰF｜=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程,分析可得d的最小值,即可得答案．【解答】解：根据题意,抛物线y=２x2上,设P到准线的距离为d，则有|ＰF｜＝d,抛物线的方程为ｙ=2x2，即x2=ｙ,其准线方程为：y=﹣,分析可得:当P在抛物线的顶点时,ｄ有最小值，即｜PＦ|的最小值为，故选:D．【点评】本题考查抛物线的几何性质,要先将抛物线的方程化为标准方程．4．某高中体育小组共有男生24人,其50ｍ跑成绩记作a i(ｉ=1,2,…，24）,若成绩小于6.8s为达标,则如图所示的程序框图的功能是()A．求2４名男生的达标率 B.求24名男生的不达标率C．求24名男生的达标人数D．求2４名男生的不达标人数【考点】程序框图.【分析】由题意，从成绩中搜索出大于6.8s的成绩,计算24名中不达标率.【解答】解：由题意可知,k记录的是时间超过6.８ｓ的人数，而i记录是的参与测试的人数,因此表示不达标率；故选B.【点评】本题考查程序框图的理解以及算法功能的描述．5．等比数列{a n}中各项均为正数,Ｓｎ是其前n项和，且满足２S3＝8ａ1+3a2，a4=１6,则S4=（）A．9 B．１5ﻩC.18 D．30【考点】等比数列的前n项和.【分析】设等比数列{a n}的公比为ｑ>0,由２Ｓ3＝8a1+3a2，可得2(ａ１+a2+a3）=８ａ1+3a2，化为:２ｑ2﹣ｑ﹣6＝０,解得q,进而得出．【解答】解:设等比数列{ａn}的公比为q>０,∵2Ｓ３=８ａ1+3a2,∴2（a1+a２+ａ３)＝8ａ1+３a２,化为:2a3=6a1+a2,可得=6ａ1+a1q，化为：2ｑ2﹣q﹣6＝0，解得q=2．又a4=16，可得ａ1×23＝１６，解得ａ1＝２.则S４==3０.故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．6．在平面内的动点（x，y)满足不等式,则z＝２ｘ+y的最大值是( ）A.﹣４ﻩB．4 C.﹣2ﻩD．2【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义求解最大值即可．【解答】解：不等式组所表示的平面区域位于直线x+y﹣3=0的下方区域和直线ｘ﹣ｙ+１=0的上方区域，根据目标函数的几何意义，可知目标函数经过A时,z取得最大值．由可得A(1,2），所以目标函数z的最大值为4．故选B．【点评】本题主要考查线性规划问题.画出可行域判断目标函数的几何意义是解题的关键．7．某几何体的三视图如图所示,则其表面积为（)A.ﻩＢ．Ｃ. D.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据,求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为２的正方形,一条侧棱垂直正方形的一个顶点,长度为2,四棱锥的表面积为．故选D.【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的表面积的求法,考查计算能力,空间想象能力.8.将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于,（）A.４Ｂ．５ﻩC．６ﻩD．７【考点】n次独立重复试验中恰好发生ｋ次的概率.【分析】由题意,1﹣≥，即可求出n的最小值.【解答】解：由题意，１﹣≥,∴n≥4,∴ｎ的最小值为４，故选A．【点评】本题考查概率的计算,考查对立事件概率公式的运用，比较基础．9．若方程在上有两个不相等的实数解x1,ｘ2，则x1＋ｘ2＝( ）A．B．ﻩC.ﻩD．【考点】正弦函数的对称性．【分析】由题意可得2ｘ+∈［，]，根据题意可得＝,由此求得x１+ｘ2 值．【解答】解：∵x∈[０，]，∴2x+∈[,]，方程在上有两个不相等的实数解ｘ１,ｘ2,∴=,则ｘ1+ｘ2=,故选:Ｃ.【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10.设n∈Ｎ*，则=(A．ﻩＢ. C.Ｄ.【考点】归纳推理．【分析】利用数列知识,即可求解．--【解答】解: 故选 A． 【点评】本题主要考查推理证明的相关知识,比较基础．=.11.已知向量,,（m＞0，n>0),若 m+n∈[１,2],则的取值范围是（ )A.B．‫ ﻩ‬C．D．【考点】简单线性规划;简单线性规划的应用;平面向量数量积的运算.【分析】根据题意,由向量的坐标运算公式可得=（3m＋n,m﹣3n)，再由向量模的计算公式可得=，可以令 t＝，将 m+n∈[1,2］的关系在直角坐标系表示出来,分析可得 t=表示区域中任意一点与原点(０，０）的距离，进而可得ｔ的取值范围，又由＝ t,分析可得答案．【解答】解:根据题意,向量，,=(3m+n，ｍ﹣３n）,则==，令ｔ=，则= t,而 m＋n∈[1,２],即 1≤m+n≤2,在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点(0，０)的距离，分析可得: ≤t≤2,又由= t,故≤≤2 ;故选:Ｄ.----【点评】本题考查简单线性规划问题,涉及向量的模的计算，关键是求出的表达式.12.对函数ｆ(x)=，若∀ a,b，ｃ∈R，f(a),f(b），f（c)都为某个三角形的三边长，则实数 m 的取值范围是( ）A．Ｂ．Ｃ.D．【考点】函数的值． 【分析】当 m=２时,f（a）=f(b）＝f（c)=１,是等边三角形的三边长;当ｍ＞2 时，只要即可,当 m<２时，只要即可，由此能求出结果.【解答】解：当 m＝２时,f（x)==1，此时 f（a)=f(b)=f（c)＝1,是等边三角形的三边长，成立;当 m＞2 时,，只要即可,解得２<ｍ<５；当 m<2 时,，只要即可,解得，综上.故选：C． 【点评】本题考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题，注意分类讨论思想 的合理运用.----二、填空题(本大题包括 4 小题，每小题５分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上). １3．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí）， 长五尺，斩本一尺,重四斤，斩末一尺，重二斤.问金箠重几何？”其意思为:“今有金杖（粗细 均匀变化)长 5 尺,截得本端１尺,重４斤，截得末端 1 尺，重 2 斤.问金杖重多少?”则答案是 15 斤. 【考点】等差数列的通项公式． 【分析】由题意可知等差数列的首项和第 5 项,由等差数列的前 n 项和得答案． 【解答】解:由题意可知等差数列中 a1=4，a５=2，则 S５=,∴金杖重 15 斤． 故答案为：15 斤． 【点评】本题考查等差数列的前 n 项和，是基础的计算题．14．函数 f（ｘ)=eｘ•sinx 在点（0,ｆ(0))处的切线方程是 y=x ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】先求出 f′(x)，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x=０处 的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. 【解答】解：∵ｆ（ｘ）=ex•siｎx,f′（x)＝ex(ｓinｘ+cosx)，（２分） f′（0)=1，f(0）=０, ∴函数ｆ（x)的图象在点 A（０,0）处的切线方程为 y﹣０=1×(x﹣0）, 即 y＝x(4 分）. 故答案为:y=ｘ. 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程 等基础知识，考查运算求解能力.属于基础题．１５．直线ｋx﹣3ｙ+3＝0 与圆（ｘ﹣１)2+(y﹣3)2=10 相交所得弦长的最小值为 2 . 【考点】直线与圆的位置关系．----【分析】由条件可求得直线 kx﹣3y＋3=0 恒过圆内定点(0，1）,则圆心(１，3）到定点的距 离为 ，因此最短弦长为 . 【解答】解:由条件可求得直线 kx﹣3y+３=0 恒过圆内定点（０，1）,则圆心（1,3）到定点(0， 1）)的距离为 ,当圆心到直线 kx﹣3y+3=０的距离最大时(即等于圆心(1,3）到定点（0，1))的距离)所得弦长的最小,因此最短弦长为 2=.故答案为：2 ． 【点评】题考查直线和圆的位置关系,以及最短弦问题，属于中档题1６.过双曲线 ﹣ ＝1(a＞ｂ>0）的左焦点Ｆ作某一渐近线的垂线,分别与两渐近线相交于 A，Ｂ两点,若,则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质. 【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得 A 为 BF 的中点,由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得 Rt△OＡB 中,∠AOB= ,求得渐近线的斜率,运用离心率公式即可得到；方法二、设过左焦点Ｆ作的垂线方程为，联立渐近线方程,求得交点 A,Ｂ的纵坐标,由条件可得 A 为 BF 的中点，进而得到 a,ｂ的关系，可得离心率.【解答】解法一：由，可知Ａ为 BＦ的中点，由条件可得,则Ｒt△OAＢ中,∠AOB= ,渐近线 OB 的斜率ｋ= =ｔaｎ = ,即离心率 e＝ ==．解法二：设过左焦点 F 作的垂线方程为联立,解得，，----联立，解得，，又,∴yB＝﹣2yA∴３ｂ2=a2，所以离心率．故答案为： . 【点评】本题考查双曲线的性质和应用,主要是离心率的求法,解题时要认真审题,仔细解答， 注意向量共线的合理运用.三、解答题（本大题包括 6 小题，共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）.１7．（12 分)(20１7•长春三模）已知点，Q（cｏsx,sｉnｘ），O 为坐标原点,函数.（1）求函数 f（x）的最小值及此时 x 的值；(2)若 A 为△ABC 的内角,f(A)＝4,BC=3，求△AＢＣ的周长的最大值.【考点】平面向量数量积的运算;基本不等式在最值问题中的应用;余弦定理的应用.【分析】（1)利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式,然后求解最值．(2)利用函数的解析式求解 A,然后利用余弦定理求解即可,得到ｂc 的范围，然后利用基本不等式求解最值.【解答】解:(1）∵,∴，∴当时,f（ｘ)取得最小值 2.(２)∵f（A)=４,∴,又∵BＣ=3,∴,∴9=（b+ｃ)２﹣bc．,∴,----∴，当且仅当 b=c 取等号，∴三角形周长最大值为.【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的最值，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力.1８.(１2 分)（2０17•长春三模）某手机厂商推出一款 6 吋大屏手机,现对 500 名该手机用户(200 名女性,300 名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下:女性用户 分值区间 [５0，60) [60，70） [７０，80) ［80，90) [90,10０]频数2０４08０5０１0男性用户 分值区间 [5０,60) [60，７０） [70，80) [80，９0) ［90，100]频数4５7５906030(1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值,给出结论即可）;（2）根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取 2０名用户，在这 20 名用户中,从评 分不低于 8０分的用户中任意抽取 3 名用户,求 3 名用户中评分小于 90 分的人数的分布列和 期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】(I）根据已知可得频率，进而得出矩形的高=,即可得出图形．(II）运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 8(0 分)有 6 人,其中评分小于 9(0 分）的人数为 4，从 6 人中任取３人，记评分小于 9（0 分)的人数为 X，则 X 取值为１,2,3, 利用超几何分布列的计算公式即可得出． 【解答】解:（Ⅰ)女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图:----由图可得女性用户更稳定．（4 分） (Ⅱ)运用分层抽样从男性用户中抽取２0 名用户,评分不低于 8(0 分)有６人,其中评分小于 9（0 分)的人数为４,从 6 人中任取３人，记评分小于 9（０分)的人数为 X,则 X 取值为 1,２，3，；P（Ｘ=2)=＝;．所以 X 的分布列为X123P.(12 分) 【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的概率与数学期望计算公式、分 层抽样,考查了推理能力与计算能力，属于中档题.１9．(1２分)（2017•长春三模）如图,在四棱锥 P﹣AＢＣD 中,底面ＡBCD 为正方形,PＡ⊥底 面 ABCD，AD=AP,Ｅ为棱 PＤ中点． （1)求证：PD⊥平面 ABE；（2）若Ｆ为 AB 中点,,试确定 λ 的值,使二面角 P﹣ＦM﹣B 的余弦值为.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定. 【分析】(I）证明 AB⊥平面 PAＤ，推出 AB⊥PD,ＡE⊥ＰD,AE∩AB=A,即可证明 PD⊥平面Ａ----ＢE．(IＩ) 以 A 为原点,以为ｘ,y,z 轴正方向，建立空间直角坐标系 A﹣BDＰ，求出相关点的坐标,平面 PFM 的法向量，平面 BFM 的法向量,利用空间向量的数量积求解即可． 【解答】解:(Ｉ）证明：∵PＡ⊥底面 ABCＤ,AB⊂ 底面 ABCD，∴PA⊥AB， 又∵底面 ABCD 为矩形，∴ＡB⊥ＡD，PA∩AD＝Ａ，PA⊂ 平面 PAD,AD⊂ 平面 PAD, ∴AB⊥平面ＰAD，又ＰＤ⊂ 平面ＰAD，∴AB⊥ＰD，AＤ=AＰ，E 为 PD 中点，∴ＡE⊥PD, ＡE∩AＢ＝A，AE⊂ 平面ＡＢＥ，AB⊂ 平面 AＢE,∴PＤ⊥平面 ABＥ．（II) 以Ａ为原点,以为ｘ，y，z 轴正方向,建立空间直角坐标系Ａ﹣BDＰ，令|ＡＢ｜=2,则 A(0 ， ０ ， 0),B （ 2,0 ， 0 ） ,P(0 ， ０ ,2 ） ， C(2 ， 2 ， ０ ) ， E(0 ， １ ， 1) ， F(1,0 ，0),,，,M(2λ,２λ,2﹣2λ)设 平 面 Ｐ FM 的 法 向 量，，即，设平面 BFM 的法向量，,即，，解得．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法,考查空间想 象能力以及计算能力.----20.(12 分 ） （ 2 ０ １ ７ • 长 春 三 模 ） 已 知 Ｆ 1 ， Ｆ 2 分 别 是 长 轴 长 为 的 椭 圆 Ｃ ： 的左右焦点，A1,A２是椭圆 C 的左右顶点,P 为椭圆上异于 A1，A2 的一个动点,O 为坐标原点，点Ｍ为线段ＰA２的中点,且直线 PＡ2 与 OM 的斜率之积恒为 ．（1）求椭圆 C 的方程； （2）设过点 F１且不与坐标轴垂直的直线 C(2,２，0）交椭圆于 A,Ｂ两点,线段 AB 的垂直平分线与 B(2，０，0）轴交于点 N，点 N 横坐标的取值范围是，求线段ＡB 长的取值范围． 【考点】直线与椭圆的位置关系．【 分 析 】 （ 1) 由 已 知 2a=2 ， 解 得 a= ， 记 点 P(x0,y ０ ） ,kOM ＝，可得kOM•=•利用斜率计算公式及其点 P(ｘ０,ｙ0)在椭圆上，即可得出.(2)设直线 l：ｙ=k(x+1）,联立直线与椭圆方程得(2ｋ2＋1）ｘ２＋4k2ｘ+２k2﹣2=0，记 A（ｘ1，y１),B(ｘ2,ｙ2）．利用根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式即可得出. 【解答】解:(1)由已知 2ａ=2 ，解得ａ= ,记点 P(x０,ｙ0),∵ｋOM=，∴ｋOM•=•=•=,又点Ｐ（x0,y0)在椭圆上,故 ＋ =1，∴kOM•=﹣ =﹣ ，∴，∴ｂ2=1,∴椭圆的方程为.(４分)(２)设直线ｌ:y=k(x+1），联立直线与椭圆方程，得（２ｋ2+1)x2+4ｋ2x+２k2﹣2=0,记 A（x1，ｙ1）,B(x2,y2）.由韦达定理可得，可得,----故 AＢ中点，QN 直线方程:,∴,已知条件得:,∴0<２k２＜１,∴，∵，∴．(１２分）【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率 计算公式、中点坐标公式、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题．21．(12 分）(2０１7•长春三模)已知函数.（１）求 f(x）的极值； (2）当 0＜x<e 时,求证:f(ｅ+ｘ）＞f(e﹣x)； （３）设函数 f(ｘ)图象与直线ｙ=m 的两交点分别为 A(x1，f（ｘ1）、B(x2，f(x2）)，中点横 坐标为ｘ０，证明：f'(ｘ0)<0. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】（1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的极值即可； （2）问题转化为证明(e﹣x)ln（ｅ+ｘ)＞(e+x)ln(e﹣x)，设 F(x）=（ｅ﹣x）ｌn（e+x）﹣(e ＋ｘ)ln（e﹣x)，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：(1)ｆ′（x）=,f（x)的定义域是(０，+∞），x∈(０，e）时,ｆ′(x)＞0,f(ｘ）单调递增； x∈（e,+∞)时，f'（x)<0,f(ｘ）单调递减.当 x=e 时，f（x）取极大值为 ,无极小值．（2)要证ｆ（e+x)>f（e﹣ｘ）,即证：,只需证明:（ｅ﹣x）ｌn(ｅ+x）>(e+x)ｌn(e﹣x). 设 F（x）=（e﹣x）ｌn（e+ｘ）﹣(e+x)ln(e﹣x)，----,∴Ｆ(x)＞Ｆ（0)＝0， 故(ｅ﹣x）ｌn（ｅ+x)>(ｅ＋ｘ）lｎ（e﹣x)， 即 f(e＋x）＞ｆ（ｅ﹣x）， （3)证明：不妨设 x1＜x2，由（1）知 0＜x１＜ｅ＜x2,∴０<ｅ﹣x1＜ｅ， 由(2)得 f[ｅ+(e﹣ｘ１）]＞f[e﹣(e﹣x1）］＝ｆ(x1)=f（x２), 又 2e﹣x1＞e，ｘ2>e，且 f（x）在(e,+∞)上单调递减, ∴２e﹣x1＜ｘ２，即ｘ１＋ｘ２>2e,∴，∴f＇(x0）＜0.【点评】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算,用导数来研究函数的 单调性等，考查学生解决问题的综合能力.请考生在 22、2３两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修４－4: 坐标系与参数方程选讲]（共１小题,满分 1０分） ２２.（1０分）（20１7•长春三模）已知在平面直角坐标系 xＯy 中，以 O 为极点,ｘ轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4coｓθ，直线 l:（为参数). (1)求曲线 C1 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程;(2)若曲线 C2 的参数方程为（α 为参数)，曲线 P(x0，y０）上点 P 的极坐标为 ,Q为曲线 C2 上的动点，求 PＱ的中点 M 到直线 l 距离的最大值. 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程. 【分析】(1)利用三种方程的转化方法，求曲线 C１的直角坐标方程及直线ｌ的普通方程；(2)，直角坐标为(2,2),，利用点到直线ｌ的距离公式能求出点Ｍ到直线ｌ的最大距离.【解答】解：（1)由曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4coｓθ，得直角坐标方程，----直线 l：,消去参数,可得普通方程 l:ｘ+2y﹣３=0．（ 2),直角坐标为(２,２)，,M 到ｌ的距离 d＝=，从而最大值为．(10 分） 【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直 角坐标方程的互化,参数方程的运用．[选修 4-５:不等式选讲](共 1 小题,满分 0 分) 23．（２0１7•长春三模）已知 a>0，b>0,函数 f(x)=|ｘ+a|+｜2ｘ﹣ｂ|的最小值为 1． （１）求证：２a+b=2; （2）若 a+2b≥tａb 恒成立，求实数 t 的最大值. 【考点】函数恒成立问题;绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一:根据绝对值的性质求出 f(x）的最小值，得到 x= 时取等号,证明结论即可;法二:根据 f（ｘ)的分段函数的形式,求出 f(x)的最小值，证明即可；（２）法一,二:问题转化为≥t 恒成立,根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出 t 的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可.【解答】解：（1)法一:f(x）＝|x+ａ|+|2x﹣ｂ|=|x+a|+|x﹣ ｜+|x﹣ |,∵|x+a|+|ｘ﹣ |≥|(x+a)﹣(x﹣ ）|=a+ 且|x﹣ ｜≥０，∴f(x）≥a+ ，当 x＝ 时取等号，即ｆ(x)的最小值为 a+ ，∴ａ+ ＝1，2a+b＝2；法二：∵﹣ａ< ,∴f(ｘ)＝|x+a|+|2x﹣b|=,----显然 f（x)在（﹣∞, ]上单调递减，ｆ(x)在[ ,+∞）上单调递增，∴f（ｘ)的最小值为ｆ( )=a＋ ,∴a+ =1，２a+b=2.(2)方法一：∵ａ+2ｂ≥tａb 恒成立,∴≥t 恒成立，= + =( ＋ )(2ａ+b ）• = (１＋4+ + ),当 a=b= 时,取得最小值 ,∴ ≥t,即实数 t 的最大值为 ;方法二：∵a+2b≥tab 恒成立，∴≥ｔ恒成立，t≤= + 恒成立,+=＋ ≥=,∴ ≥t,即实数ｔ的最大值为 ； 方法三:∵ａ+2b≥tａb 恒成立， ∴a+2(2﹣ａ）≥ta(２﹣a)恒成立， ∴2ta２﹣（3＋2t）a+4≥０恒成立, ∴(３+２t)２﹣３26≤０, ∴ ≤t≤ ，实数 t 的最大值为 . 【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及二次函数的性质，考查转化 思想，是一道中档题．--。

2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)(解析版)2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.设命题p：∀x＞，log2x＜2x+3，则￢p为（）A。

∀x＞，log2x≥2x+3B。

∃x＞，log2x≥2x+3C。

∃x＞，log2x＜2x+3D。

∀x＜，log2x≥2x+32.已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数m+n∈R，则实数x的值为（）A。

﹣6B。

6C。

7D。

53.已知双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a等于（）A。

$\sqrt{13}$B。

$\sqrt{15}$C。

5D。

$\sqrt{17}$4.已知$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，$\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$，则$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$的值等于（）A。

2B。

1C。

$\frac{1}{2}$D。

05.设集合A={x1，x2，x3，x4}，$x_i∈\{-1，1\}$，$i\in\{1，2，3，4\}$，那么集合A中满足条件“$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2≤3$”的元素个数为（）A。

60B。

65C。

80D。

816.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A。

48B。

72C。

96D。

1207.设实数x，y满足$x^2+y^2=25$，$xy=12$，则$x+y$的最大值为（）A。

25B。

49C。

12D。

248.已知等比数列{an}，且$a_6+a_8=\frac{\pi^2}{2}$，则2xy的最大值为（）A。

$\pi^2$B。

$4\pi^2$C。

$8\pi^2$D。

$16\pi^2$9.若实数$a$、$b$、$c∈R^+$，且$ab+ac+bc+2\sqrt{(abc)^2}=1$，则$2a+b+c$的最小值为（）A。

2017年普通高考理科数学仿真试题(三)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页,满分150分,考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“Z x ∈∃使022≤++m x x ”的否定是A.Z x ∈∃使m x x ++22＞0B.不存在Z x ∈使m x x ++22＞0C.对Z x ∈∀使022≤++m x xD.对Z x ∈∀使m x x ++22＞02.已知集合(){}{x y y B x x y x A x ,2,2lg 2==-==＞}0，R 是实数集，则A.[]1,0B.(]1,0C.(]0,∞-D.以上都不对 3.设i 为虚数单位，则1+i+i 2+i 3+…+i 10=A.iB.—iC.2iD.—2i4.若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于A.7B.15C.31D.635.已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，给出下列命题：①;//m l ⊥⇒βα②;//m l ⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④.//βα⇒⊥m l其中正确命题的序号是A.①②③B.②③④C.①③D.②④6.ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1sin =B ，向量()().2,1,,==q b a p 若q p //，则C ∠的大小为 A.6π B.3π C.2π D.32π 7.将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大.当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为A.6种B.12种C.18种D.24种8.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示：（单位：m ）则该几何体的体积为 A.337m B.329m C.327m D.349m 9.函数())(⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤≤-+=20cos ,011πx x x x x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 A.23 B.1 C.2 D.21 10.已知数列{}n a 各项均为正数.若对于任意的正整数p 、q 总有q p q p a a a ⋅=+且8a =16，则=10aA.16B.32C.48D.6411.已知双曲线12222=-by a x （a ＞b ＞0），直线t x y l +=:交双曲线于A 、B 两点，△OAB 的面积为S （O 为原点），则函数()t f S =的奇偶性为A.奇函数B.偶函数C.不是奇函数也不是偶函数D.奇偶性与a 、b 有关 12.定义一种运算：⎩⎨⎧≤=⊗ab b a a b a ,,,令()()45sin cos 2⊗+=x x x f ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，则函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πx f 的最大值是 A.45 B.1 C.—1 D.45-第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树林的底部周长（单位：cm ）.根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右图），那么在这100株树林中，底部周长小于110cm 的株数是___________.＜ ＞b.14.从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准备线的垂线，垂足为M ，且5=PM ，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为_______.15.若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤≤-≤-01,21,042y x y x x 表示的平面区域为()14,22≤+-y x M 表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一点，则该点落在平面区域N 内的概率是________.16.请阅读下列材料：若两个正实数21,a a 满足12221=+a a ，那么.221≤+a a证明：构造函数()()()()1222122221++-=-+-=x a a x a x a x x f ，因为对一切实数x ，恒有()0≥x f ，所以0≤∆，从而得()084221≤-+a a ，所以.221≤+a a 根据上述证明方法，若n 个正实数满足122221=+⋅⋅⋅++n a a a 时，你能得到的结论为_______________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.17.（本小题满分12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，()(),cos ,cos ,2,C B n c a b m =-=且m//n.（I ）求角B 的大小；（II ）设()(ωωωx B x x f sin 2cos +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=＞)0，且()x f 的最小正周期为π，求()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值和最小值.18.（本小题满分12分）在一次食品卫生大检查中，执法人员从抽样中得知，目前投放某市的甲、乙两种食品的合格率分别为90%和80%.（I ）今有三位同学聚会，若每人分别从两种食品中任意各取一件，求恰好有一人取到两件都是不合格品的概率.（II ）若某消费者从两种食品中任意各购一件，设ξ的分布列，并求其数学期望.19.（本小题满分12分）如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）（I ）求证：AE//平面DCF ；（II ）当AB 的长为29，。

执行如图所示的程序框图,当输入的x∈［1,13］时，输出的结果不小于95的概率为( )A。

错误!B.错误!C.错误!D.错误!8．抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记A＝｛两次的点数均为奇数｝，B＝｛两次的点数之和为4｝，则P(B|A）＝( )A.错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!10．设函数f′（x）是函数f(x）(x∈R)的导函数,f(0)＝1，且3f （x)＝f′（x）－3，则4f（x）>f′(x)的解集是( )A.错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!11．已知函数f（x)＝a sin x－b cos x（a，b为常数，a≠0，x∈R)在x＝错误!处取得最大值，则函数y＝f错误!是( )A．奇函数且它的图象关于点（π,0)对称B．偶函数且它的图象关于点错误!对称C．奇函数且它的图象关于点错误!对称18。

(本小题满分12分）已知从A地到B地共有两条路径L1和L2，据统计，经过两条路径所用的时间互不影响,且经过L1与L2所用时间落在各时间段内的频率分布直方图分别如图1和图2。

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于从A地到B地．（1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到B地，甲和乙应如何选择各自的路径?（2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到B地的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝6，AD＝8,BC＝10,∠PAD＝45°，E为PA的中点．(1）求证：DE∥平面PBC；（2）线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，试求出二面角F－PC－D的余弦值；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分）已知椭圆C：错误!＋y2＝1（常数a>1）的离心率为错误!,M，N是椭圆C上的两个不同动点，O为坐标原点．(1）求椭圆C的方程；（2)已知A（a，1)，B（－a,1）,满足k OM·k ON＝k OA·k OB(k OM 表示直线OM的斜率)，求|MN｜取值的范围．21．(本小题满分12分）已知函数f（x)＝错误!－a ln(1＋x)(a∈R），g（x）＝x2e mx（m∈R)．(1)当a＝1时,求函数f（x）的最大值；(2）若a<0，且对任意的x1，x2∈[0，2］，f(x1）＋1≥g（x2)恒成立，求实数m的取值范围．请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分．22．(本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1:ρ2－4ρcosθ＋3＝0，θ∈［0，2π],曲线C2：ρ＝错误!，θ∈[0，2π]．(1）求曲线C1的一个参数方程；（2)若曲线C1和曲线C2相交于A,B两点，求｜AB｜的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数f（x)＝|x－a｜＋错误!的最小值为2.（1）求实数a的值;（2）若a>0，求不等式f(x）≤4的解集．仿真考(三）高考仿真模拟冲刺卷(C)1．D 本题考查复数的概念、运算．复数z＝3＋2i2＋3i13＝i,则z的共轭复数是z＝－i,故选D。

唐山市2016-2017学年度高三年级第三次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）{}220A x x x =-<(){}log 1B x y x ==-A B = A. B. C. D.()0,+∞()1,2()2,+∞(),0-∞2.已知为虚数单位，，则复数的共轭复数为（ ）i ()211z i i -=+z A. B. C. D. 1355i--1355i +1355i-+1355i -3.总体由编号为01，02，03，…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的4个个体的编号为（ ）A.05B.09C.11D.204.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ）()2222:10,0x y C a b a b -=>>20x y +=CC.25555.执行下图程序框图，若输出，则输入的为（ ）4y =xA.或或1B.C.3-2-2-或1D.12-6.数列是首项，对于任意，有，则前5项和（ ）{}n a 11a =*,m n N ∈3n m n a a m +=+{}n a 5S =A.121 B.25C.31D.357.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A.4B.8C.D.43838.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）()()11x x e f x x e +=-eAB C D9.若，则（ ）()92901291x a a x a x a x -=++++…1239a a a a ++++=…A.1B.513C.512D.51110.函数（）在内的值域为，则的取值范围是（ ）()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>[]0,π3⎡-⎢⎣ωA. B. C. D.35,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦53,62⎡⎤⎢⎣⎦5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.抛物线的焦点为，为准线上一点，为轴上一点，为直角，若线段的中点2:4C y x =F N M y MNF ∠MF 在抛物线上，则的面积为（ ）E C MNF △D.2323212.已知函数有两个极值点，()32f x x ax bx =++12,x x且，若，函数，则（ ）12x x <10223x x x +=()()()0g x f x f x =-()g x A.恰有一个零点 B.恰有两个零点C.恰有三个零点D.至多两个零点第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，，则在方向上的投影为 ．()3,1=-a ()2,1=b a b 14.直线的三个顶点都在球的球面上，，若三棱锥的体积为2，则该球的表ABC △O 2AB AC ==O ABC -面积为 ．15.已知变量满足约束条件，目标函数的最小值为，则实数.,x y 102100x y x y x y a -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩2z x y =+5-a =16.数列的前项和为，若，则 ．{}n a n n S ()*2142n n n S a n N -+=-∈na=三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角，，所对应的边分别为，，，.ABC △A B C a b c cos a b b C -=（1）求证：；sin tan C B =（2）若，为锐角，求的取值范围.1a =C c 18.某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行调查，结果如下：t[)0,15[)15,30[)30,45[)45,60[)60,75[)75,90男同学人数711151221女同学人数89171332若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”.（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动.（i ）求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；（ii ）记抽取的“读书迷”中男生人数为，求的分布列和数学期望.X X 19.如图，平行四边形中，，ABCD 24BC AB ==，，，分别为，的中点，60ABC ∠=︒PA AD ⊥E F BC PE 平面.AF ⊥PED（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）求直线与平面所成角的正弦值.BF AFD 20.已知椭圆经过点.()2222:10x y a b a b Γ+=>>13,2E ⎫⎪⎭3（1）求椭圆的方程；Γ（2）直线与圆相切于点，且与椭圆相交于不同的两点，，求的最大值.l 222:O x y b +=M ΓA B AB 21.已知函数，.()()2ln 1f x x ax =++0a >（1）讨论函数的单调性；()f x （2）若函数在区间有唯一零点，证明：.()f x ()1,0-0x 2101e x e --<+<22.点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以P ()221:24C x y -+=O x 极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.O P 90︒Q Q 2C （1）求曲线，的极坐标方程；1C 2C （2）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.()03πθρ=>1C 2C A B ()2,0M MAB △23.已知函数.()21f x x a x =++-（1）若，解不等式；1a =()5f x ≤（2）当时，，求满足的的取值范围.0a ≠()1g a f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()4g a ≤a唐山市2016—2017学年度高三年级第三次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：BACCD DBDAC BA 二．填空题：（13（14）（15）（16）544π3-12n n -三．解答题：（17）解：（Ⅰ）由根据正弦定理得，cos a b b C -=sin sin sin cos A B B C -=即，()sin sin sin cos B C B B C +=+，sin cos cos sin sin sin cos B C B C B B C +=+，sin cos sin C B B =得．sin tan C B =（Ⅱ）由余弦定理得，()222222cos 4428c a b ab C b b b =+-=+-=+-由知，cos a b b C -=21cos 1cos a b C C==++由为锐角，得，所以.C 0cos 1C <<12b <<从而有.218c <<所以的取值范围是.c (1,22（18）解：（Ⅰ）设该校4000名学生中“读书迷”有人，则，解得.x 81004000x=320x =所以该校4000名学生中“读书迷”约有320人.（Ⅱ）（ⅰ）抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率：.454813114C P C =-=（ⅱ）可取0，1，2，3.X ，，()45481014C P X C ===()133548317C C P X C ===，，()223548327C C P X C ===()3155481314C C P X C ===的分布列为：X X 0123P1143737114.()1331301231477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（19）解：（1）连接，因为平面，平面，所以，AE AF ⊥PED ED ⊂PED AF ED ⊥PF EDCBA在平行四边形中，，，ABCD 24BC AB ==60ABC ∠=︒所以，，2AE =23ED =从而有，222AE ED AD +=所以，AE ED ⊥又因为，AF AE A = 所以平面，平面，ED ⊥PAE PA ⊂PAE 从而有，ED PA ⊥又因为，，PA AD ⊥AD ED D = 所以平面.PA ⊥ABCD （2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，E则，，，()0,2,0A ()23,0,0D ()3,1,0B -因为平面，所以，AF ⊥PED AF PE ⊥又因为为中点，所以，F PE 2PA AE ==所以，，()0,2,2P ()0,1,1F ，，，()0,1,1AF =- ()3,2,0AD =- ()3,0,1BF =设平面的法向量为，AFD (),,n x y z =由，得，，0AF n ⋅= 0AD n ⋅= 0320y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩令，得.1x =(3,3n =设直线与平面所成的角为，则：BF AFD θ，2321sin cos ,27BF n BF n BF n θ⋅=<>==⨯ 即直线与平面.BF AFD 21（20）解：（Ⅰ）由已知可得，解得，，223114a b+=223a b -=2a =1b =所以椭圆Γ的方程为．2214x y +=（Ⅱ）当直线垂直于轴时，由直线与圆：相切，l x l O 221x y +=可知直线的方程为，易求l 1x =±3AB =当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，l x l y kx m =+由直线与圆，即l 22:1O x y +=211m k =+，221m k =+将代入，整理得，y kx m =+2214x y +=()222148440k x kmx m +++-=设，，则，，()11,A x y ()22,B x y 122814kmx x k -+=+21224414m x x k -=+()222121214AB x k x x x x =-=++-2222144114k m k k +-==++又因为，221m k =+所以，()2222231431214k k kk AB k +++=≤=+，即231k k =+2k =综上所述，的最大值为2.AB （21）解：（Ⅰ），，()21221'211ax ax f x ax x x ++=+=++1x >-令，，()2221g x ax ax =++()24842a a a a ∆=-=-若，即，则，0∆<02a <<()0g x >当时，，单调递增，()1,x ∈-+∞()'0f x >()f x 若，即，则，仅当时，等号成立，0∆=2a =()0g x ≥12x =-当时，，单调递增.()1,x ∈-+∞()'0f x ≥()f x 若，即，则有两个零点0∆>2a >()g x ()12a a a x ---=()22a a a x -+-=由，得，()()1010g g -==>102g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭121102x x -<<-<<当时，，，单调递增；()11,x x ∈-()0g x >()'0f x >()f x 当时，，，单调递减；()12,x x x ∈()0g x <()'0f x <()f x 当时，，，单调递增.()2,x x ∈+∞()0g x >()'0f x >()f x 综上所述，当时，在上单调递增；02a <≤()f x ()1,-+∞当时，在和上单调递增，2a >()f x ()2a a a ⎛--- - ⎝()2a a a ⎫-+-⎪+∞⎪⎭在上单调递减.()2a a a -+-（Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即时，符合要求.()00f =()10f x =此时，就是函数在区间的唯一零点.1x ()f x ()1,0-0x 所以，从而有，202210ax ax ++=()00121a x x =-+又因为，所以，()()2000ln 10f x x ax =++=()()00ln 1021x x x +-=+令，则，01x t +=1ln 02t t t--=设，则，()11ln 22h t t t =+-()221'2t h t t-=再由（1）知：，，单调递减，102t <<()'0h t <()h t 又因为，，()22502e h e --=>()1302e h e --=<所以，即.21e t e --<<2101e x e --<+<（22）解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为．1C 4cos ρθ=设，则，则有．(),Q ρθ,2P πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以，曲线的极坐标方程为． 2C 4sin ρθ=（Ⅱ）到射线的距离为M 3πθ=2sin33d π==，()4sin cos 23133B A AB ππρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭则1332S AB d =⨯=（23）解：（Ⅰ）,()21f x x x =++-所以表示数轴上的点到和1的距离之和，x 2-因为或2时，3x =-()5f x =依据绝对值的几何意义可得的解集为． ()5f x ≤{}32x x -≤≤（Ⅱ），()1121g a a a a=++-当时，，等号当且仅当时成立，所以无解；0a <()2215g a a a=--+≥1a =-()4g a ≤当时，，01a <≤()221g a a a=+-由得，解得，又因为，所以；()4g a ≤22520a a -+≤122a ≤≤01a <≤112a ≤≤当时，，解得，1a >()214g a a =+≤312a <≤综上，的取值范围是．a 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

河北衡水中学2016-2017学年度 高三下学期数学第三次摸底考试（理科）必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()13lg 21|,|1x M x f x N x x -⎧⎫-⎧⎫===>⎨⎨⎬⎩⎩⎭，则集合MN 等于（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭2. z C ∈，若12z z i -=+，则1zi+等于（ ） A ．7144i + B ．7144i - C ．1144i -- D ．1144i -+3.数列{}n a 为正项等比数列，若33a =，且()1123,2n n n a a a n N n +-=+∈≥，则此数列的前5项和5S 等于 （ ） A ．1213B ．41C ．1193D ．24194. 已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为边作正三角形12F MF ，如果线段1MF 的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率e 等于（ ）A ．．．25.在ABC ∆中，“sin sin cos cos A B B A -=- ”是“A B =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是 （ ）A ．()12,20B ．()12,18 C. ()18,20 D ．()8,187.如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是3，则其底面周长为（ ）A．)21 B．)21C. )22 D38.20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“31x +”猜想.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输出n 的值为8，则输入正整数m 的所有可能值的个数为（ ）A ．3B ． 4 C. 6 D ．无法确定9.632243ax x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为16，则展开式中3x 项的系数为（ ）A ．1172 B ． 632C. 57 D ．33 10. 数列{}n a 为非常数列，满足：39511,48a a a +==，且1223111n n n a a aa aa n a a +++++=对任何的正整数n 都成立，则1250111a a a ++的值为（ ） A ．1475 B ．1425 C. 1325 D ．127511.已知向量,,αβγ 满足()()()1,2,αααβαγβγ=⊥--⊥-，若172β=，γ的最大值和最小值分别为,m n ，则m n +等于（ ）A ．32 B ．2 C. 52 D 12.已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1ln 6,ln 23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1ln 6,ln 23⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是ˆˆ3.2yx a =-+，则ˆa = ．14.将函数()2cos 2f x x x =-的图象向右平移m 个单位（0m >），若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 ．15.已知两平行平面αβ、间的距离为A B α∈、，点C D β∈、，且4,3AB CD ==，若异面直线AB 与CD 所成角为60°，则四面体ABCD 的体积为 ．16.已知A B 、是过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足3,3OAB AB FB S AB ∆==，则AB 的值为 ． 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，已知ABC ∆关于AC 边的对称图形为ADC ∆，延长BC 边交AD 于点E ，且5,2AE DE ==， 1tan 2BAC ∠=.（1）求BC 边的长； （2）求cos ACB ∠的值.18.如图，已知圆锥1OO 和圆柱12O O 的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆1O 半径为5r =，OA 为圆锥的母线，AB 为圆柱12O O 的母线，D E 、为下底面圆2O 上的两点，且6, 6.4DE AB ==，AO =AO AD ⊥.（1）求证：平面ABD ⊥平面ODE ； （2）求二面角B AD O --的正弦值．19.如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为X ．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率； （2）求X 的分布列和数学期望．20.如图，已知P ⎫⎪⎪⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上的点，且225a b +=，过点P 的动直线与圆222:1F x y a +=+相交于A B 、两点，过点P 作直线AB 的垂线与椭圆E 相交于点Q ．（1）求椭圆E 的离心率；（2）若AB =PQ ．21. 已知函数()()()()11,2x x x ax b e f x a R g x b R e e x e--=∈=+∈+，其中e 为自然对数的底数．（参考数据：112427.39 1.28, 1.65e e e ≈≈≈， ） （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =时，函数()()2y f x g x =+有三个零点，分别记为()123123x x x x x x <<、、，证明：()12243x x -<+<．选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，以坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系Ox ，曲线E 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线1l 与曲线E 相交于A B 、两点，过点P 的直线2l 与曲线E 相交于C D、两点，且12l l ⊥．（1）平面直角坐标系中，求直线1l 的一般方程和曲线E 的标准方程； （2）求证：22AB CD +为定值． 23.选修4-5：不等式选讲已知实数a b 、满足223a b ab +-=． （1）求a b -的取值范围； （2）若0ab >，求证：2211344a b ab++≥．试卷答案一、选择题1-5:DAADB 6-10: ACBAB 11、12：CC二、填空题13. 39.4 14.6π 15. 6 16. 92三、解答题17.解：（1）因为1tan 2BAC ∠=，所以22tan 4tan 1tan 3BAC BAE BAC ∠∠==-∠，所以3cos 5BAE ∠=． 因为527AB AD AE DE ==+=+=，所以2222cos 49254232BE AB AE AB AE BAE =+-∠=+-=，所以BE =75BC AB CE AE ==，所以BC =．（2）由（1）知BE =所以222cos22AB BE AE B AB BE +-===，所以sin 2B =，因为1tan 2BAC ∠=，所以sin ,cos 55BAC BAC ∠=∠=所以()cos cos ACB BAC B ∠=-∠+sin sin cos cos B BAC B BAC =∠-∠==．18.解：（1）依题易知，圆锥的高为5h =，又圆柱的高为6.4,AB AO AD =⊥，所以222OD OA AD =+，因为AB BD ⊥，所以222AD AB BD =+，连接1122OO O O DO 、、，易知12O O O 、、三点共线，22OO DO ⊥，所以22222OD OO O D =+，所以()(22222222222 6.455 6.464BD OO O D AO AB =+--=++--=，解得8BD =，又因为6DE =，圆2O 的直径为10，圆心2O 在BDE ∠内，所以易知090BDE ∠=，所以DE BD ⊥．因为AB ⊥平面BDE ，所以DE AB ⊥，因为AB BD B =，所以DE ⊥平面ABD ．又因为DE ⊂平面ODE ，所以平面ABD ⊥平面ODE ．（2）如图，以D 为原点，DB 、DE 所在的直线为x y 、轴，建立空间直角坐标系．则()()()()0,0,0,8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4D A B O ． 所以()()()8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4DA DB DO ===， 设平面DAO 的法向理为(),,u x y z =，所以8 6.40,4311.40DA u x z DO u x y z =+==++=，令12x =，则()12,41,15u =-．可取平面BDA 的一个法向量为()0,1,0v =， 所以82cos ,582u v u v u v===， 所以二面角B AD O --的正弦值为10． 19.解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有339⨯=个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第()*i i N ∈次划拳小华赢”为i A ；事件“第i 次划拳小华平”为i B ；事件“第i 次划拳小华输”为i C ，所以()()()3193i i i P A P B P C ====． 因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平； 其概率为()()()()()()212122124781p A P B P C P B P C P A P B =+=， 第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输， 其概率为()()()()()()()()()()()()3221233123421234529243p P B P B P C A P A P B P C P C A P A P C P A P C P C =++=所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为127295081243243p p p =+=+=． （2）依题可知X 的可能取值为2、3、4、5，()()()()()4123412522381P X P A P C P A P C ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()2121222239P X P A P A ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()()()()123123123322P X P A P B P A P B P A P A P B P B P B ==++ ()()()()()()()()()()()()12312312312322213227P A P B P B P B P A P B P B P B P A P C P A P A ++++=()()()()224152381P X P X P X P X ==-=-=-==，所以X 的分布列为：所以X 的数学期望为：()2132222512345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．20.解：（1）依题知2222611,5,04ab a b a b+=+=>>，解得223,2ab ==，所以椭圆E的离心率e ===； （2）依题知圆F的圆心为原点，半径为2,r AB ==所以原点到直线AB的距离为1d ==， 因为点P 坐标为2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率存在，设为k ． 所以直线AB 的方程为1y k x ⎛-=-⎝⎭，即10kx y -+=，所以1d ==，解得0k=或k =①当0k =时，此时直线PQ 的方程为x =， 所以PQ 的值为点P 纵坐标的两倍，即212PQ =⨯=；②当k =PQ 的方程为12y x ⎛-=-⎭， 将它代入椭圆E 的方程2132x y 2+=，消去y 并整理，得234210x --=，设Q 点坐标为()11,x y，所以1234x +=134x =-，所以13017PQ ==． 21.解：（1）因为()1x x ax x f x ae e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭的定义域为实数R ， 所以()1x x f x ae e -⎛⎫'= ⎪⎝⎭． ①当0a =时，()0f x =是常数函数，没有单调性．②当0a <时，由()0f x '<，得1x <；由()0f x '>，得1x >．所以函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增．③当0a >时，由()0f x '<得，1x >； 由()0f x '>，得1x <，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减，在(),1-∞上单调递增．（2）因为()()1,20a f x g x =+=， 所以121202x x x x b e e e x e--++=+，即1111221022x x x x x x x e x b b x e e x e e e ----++=++=++． 令12x x t e e -=+，则有10t e b t-++=，即()210t b e t +-+=． 设方程()210t b e t +-+=的根为12t t 、，则121t t =，所以123x x x 、、是方程()()121122*,**x x x x t e t e e e --=+=+的根． 由（1）知12x x t e e-=+在(),1-∞单调递增，在()1,+∞上单调递减． 且当x →-∞时，t→-∞，当x →+∞时，()max ,12t e t t e →==+，如图，依据题意，不妨取22e t e <<+，所以121112t e t e<=<+， 因为315122244111110,112422t e e e e t e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+<-=-+=-+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 易知201x <<，要证()12243x x -<+<，即证11124x -<<-． 所以()1111024t t x t e ⎛⎫⎛⎫-<<<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()y t x =在(),1-∞上单调递增， 所以11124x -<<-，所以()12243x x -<+<． 22.解：（1）因为直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，当090α=时，直线1l 垂直于x 轴，所以其一般方程为10x -=，当090α≠时，直线1l 的斜率为tan α，所以其方程为()1tan 1y x α+=-， 即一般方程为()tan tan 10x y αα---=．因为E 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以224x y x +=．所以曲线E 的标准方程为()2224x y -+=． （2）设直线1l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），代入曲线E 的标准方程为()2224x y -+=，可得()()221cos 21sin 4t t αα+-+-+=，即()22cos sin 20t t αα-+-=， 则()12122cos sin ,2t t t t αα+=+=-，所以()()()222212121244cos sin 8124sin AB t t t t t t ααα=-=+-=++=+2， 同理2124sin 2124sin 22CD παα⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 所以22124sin 2124sin 224AB CD αα+=++-=为定值．23.解：（1）因为223a b ab +-=，所以2232a b ab ab +=+≥．①当0ab ≥时，32ab ab +≥，解得3ab ≤，即03ab ≤≤；②当0ab <时，32ab ab +≥-，解得 1ab ≥-，即10ab -≤<， 所以13ab -≤≤，则034ab ≤-≤，而()2222323a b a b ab ab ab ab -=+-=+-=-， 所以()204a b ≤-≤，即22a b -≤-≤；（2）由（1）知03ab <≤， 因为2222224113444344a b a b ab a b ab +++-=-+ 2222222343333111113304442ab a b ab a b ab a b ab ab +⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当2ab =时取等号，所以 2211344a b ab++≥ ．。

2017年高考数学模拟试题（理科） 2017.2第Ⅰ卷一、本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}03P x R x =∈≤≤，{}24Q x R x =∈≥，则()R P C Q =(A) []3,0 (B) (]2,0 (C) [)2,0 (D) (]3,0（2）已知复数i t t z )1()1(++-=,t R ∈,z 的最小值是(A) 1 (B) 2 (C) 2 (D) 3 （3）已知(1),(1)()3,(1)xf x x f x x +<⎧=⎨≥⎩ , 则3(1log 5)f -+= (A) 15 (B)53(C)5(D)15（4）我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、………、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。

这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期. 某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为(A)1415 (B)1315 (C)29 (D)79（5）等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若246,30S S ==,则6S =(A) 62 (B) 64 (C) 126 (D) 128（6）已知点A 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，F 是右焦点,若AOF ∆(O 是坐标原点)是等边三角形，则该双曲线离心率e 为(A)(B)(C) 1+ (D) 1+（7）执行如图所示的程序框图,则输出S =(A)511 (B) 139 (C) 1611(D)179 (8) 若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为 (A) 1- (B) 1 (C)32(D) 2（9）四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P ABCD -的侧面积等于4(1,则该外接球的表面积是(A) 4π (B)12π (C)24π (D)36π（10）已知函数()2s i n ()(f x x ωϕω=+>的图象与直线(02)y b b =<<的三个相邻交点的横坐标分别是57,,666πππ，且函数()f x 在32x π=处取得最小值, 那么ϕ的最小值为 (A)32π (B) π (C) 2π (D) 3π （11）设M 是圆O ：229x y +=上动点，直线l 过M 且与圆O 相切, 若过(2,0)A -，(2,0)B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点F 的轨迹是(A) 221(0)95x y y -=≠ (B) 22159x y -= (0)y ≠ (C) 22195x y +=(0)y ≠ (D) 22159x y +=(0)y ≠ （12）已知不恒为零的函数()f x 在定义域[0,1]上的图象连续不间断，满足条件(0)(1)0f f ==，且对任意12,[0,1]x x ∈都有12121|()()|||3f x f x x x -≤-，则对下列四个结论：①若(1)()f x f x -=且102x ≤≤时，11()()202f x x x =-，则当112x <≤时，11()(1)()202f x x x =--；②若对[0,1]x ∀∈都有(1)()f x f x -=-，则()y f x =至少有3AC个零点；③对1[0,1],|()|6x f x ∀∈≤恒成立；④. 对12121,[0,1],|()()|6x x f x f x ∀∈-≤恒成立其中正确的结论个数有 (A) 1个(B) 2个(C) 3 个(D) 4个第Ⅱ卷本卷必考题与选考题两部分，第（13）至（21）题是必考题，每个试题考生必须做答，第（22）至（23）是选考题，考生根据要求做答。