2020-2021学年高考仿真模拟试题：理科数学(新课标Ⅰ卷)试卷及答案解析

最新高考数学（理）密卷第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数12i34iz -=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数的虚部是() A.25i - B.25i C.25- D. 252．设集合{}2320A x x x =-+≤，{}21x B y y ==+，则A B = () A.[]1,2 B.(]1,2 C. ()1,+∞ D. [)2,+∞3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A ．3.24.0ˆ+=x yB ．4.22ˆ-=x yC ．5.92ˆ+-=x yD ．4.43.0ˆ+-=x y 4．已知命题:p 对任意R x ∈，总有112x x -++>；命题:q 2x >是1x >的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是 () A.p q ∧ B.p q ⌝∧⌝ C. p q ⌝∧ D. p q ∧⌝5．下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是() A.()sin f x x = B.()3f x x = C. ()12x f x =D. ()3x f x = 6．已知圆C 的方程为x 2+y 2-2x=0，若以直线y=kx -2上任意一点为圆心，以l 为半径的圆与圆C 没有公共点，则k 的整数值是() A ．-l B ．0C ．1D ．2 7．函数2sin 2xy x =-的图象大致是()8.已知点P(x ，y)的坐标满足条件2144x y x y x y a -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，当2z x y =-+取得最大值为1时，那么x 2＋y 2的最小值为( )A ．22B ．12C ．1D ．29．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法种数为( )A ．12B ．15C ．18D ．2110．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左、右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，若双曲线右支上存在点P使得1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，则该双曲线离心率的取值范围为( )21-) B ．(21-，1) C ．(1，A ．(0，21+)D ．(21+，+∞)第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为________．12.执行如图所示的程序框图，若输入x ＝0.1，则输出的m 的值是________．13. 在△ABC 中，90A ∠=，边1AC =，2AB =，过点A 作AP BC ⊥交BC 于P ，且AP AB AC λμ=+，则λμ=________．14. 直线l 过抛物线2:4C y x =的焦点且与x 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于.15.定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()8f x t t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数23()sin cos 3cos 2f x x x x ωωω=⋅+-（0>ω），直线1x x =，2x x =是)(x f y =图象的任意两条对称轴，且||21x x -的最小值为4π． （Ⅰ）求()f x 的表达式； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移8π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x k +=，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．17．（本小题满分12分）袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等． （Ⅰ）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）用ξ表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量ξ的概率分布与数学期望．18. （本小题满分12分）已知等边三角形的边长为3，点E D ,分别在边AC AB ,上，且满足21==EA CE DB AD ，将ADE ∆沿DE 折叠到DE A 1∆的位置，使BCDE DE A 平面平面⊥1，连接C A B A 11,．（Ⅰ）证明：BCDE D A 平面⊥1；（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ，使得直线1PA 与平面BD A 1所成的角为60？若存在，求出PB 的长；若不存在，说明理由．19. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*N n ∈，点 ⎝⎛⎪⎭⎫nS n n,都在函数x a x x f n 2)(+=的图象上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n A 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n a a 1的前n 项积，若不等式a a a f a A n nn 23)(1+-<+对一切 *N n ∈都成立，其中0>a ，求a 的取值范围．20. （本小题满分13分）设平面上一动点P 到定点（1,0）的距离与到定直线4x =的距离之比为12． （Ⅰ）求动点的P 轨迹C 的方程；（Ⅱ）设定点A (-2,3),曲线上C 一点00(,)M x y ,其中00y ≥.若曲线C 上存在两点,E F ，使AE AF AM +=，求0x 的取值范围．21. （本小题满分14分） 函数()ln f x x =，()2122g x x x =-．（Ⅰ）设()()()1h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数），求()h x 的最大值； （Ⅱ）求证: 当0b a <<时，有()()22b af a b f a a-+-<； （Ⅲ）设k Z ∈，当1x >时，不等式()()()134k x xf x g x '-<++恒成立，求k 的最大值．密卷答案一、 选择： DDBDCAABCA二、 填空11. 15；12. 20；13. -1；14. 8：27；15. 3 三、解答题16解：（Ⅰ）由题意知：243ππω=，解得：32ω=， ……………………2分 CB CB B A A cos cos 2sin sin sin sin tan --+==∴A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴ A C A B A sin 2)(sin )(sin =+++∴……………………………………4分a cb A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴…………………………………………………6分（Ⅱ）因为2b c a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形 …………8分213sin 24OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+ ……………9分435cos 3-sin +=θθ532sin (-)34πθ=+， …10分(0)θπ∈，,2--333πππθ∴∈(，)，zyxFEPDCBA当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S 的最大值为5324+………………12分 17.解：（Ⅰ）证：由已知DF ∥AB 且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而AB ⊥BF ． ……(1分)又PA ⊥底面ABCD, ∴平面PAD ⊥平面ABCD ， ……(2分) ∵AB ⊥AD ，故AB ⊥平面PAD,∴AB ⊥PD ， ……(3分)在ΔPCD 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF//PD ，……（4分)∴ AB ⊥EF ． ……(5分) 由此得⊥AB 平面BEF ．……(6分)（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为x 轴,y 轴,z 轴正向建立空间直角坐标系，则)21,0(),0,2,1(h BE BD =-=……(8分) 设平面CDB 的法向量为)1,0,0(1=n ，平面EDB 的法向量为),,(2z y x n =，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022BE n BD n ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-0202hzy y x 可取⎪⎭⎫ ⎝⎛-=h n 2,1,22……(10分) 设二面角E -BD -C的大小为θ，则|||||||,c o s |c o s 212121n n n n n n ⋅⋅=><=θ=224522<+h h ， 化简得542>h ，所以552>h …(12分) 18解:(I)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，则“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件A ，则31)(391714==C C C A P 所以32)(1)(=-=A P A P ………………（4分）(II) X 的取值为2,3,4,5211)2(3912222212=+==C C C C C X P ，214)3(3914222412=+==C C C C C X P 73)3(3916222612=+==C C C C C X P ，31)5(3928===C C X P…………………（8分） 所以X 的分布列为：X 23 4 5P21121473 31 的数学期望218531573421432112=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ………..12分19解：（Ⅰ）由n S a n n +=+1，得)1(1-+=-n S a n n )2(≥n ，两式相减得1111+=+-=--+n n n n n a S S a a ，所以121+=+n n a a ---------------------------------2分所以)1(211+=++n n a a )2(≥n -------------------------------------3分 又,32=a 所以n n n a a 2)1(2122=+=+-，从而12-=n n a )2(≥n ----------------5分而21=a ，不符合上式，所以⎩⎨⎧≥-==2,121,2n n a n n -------------------------------------6分因为}{n b 为等差数列，且前三项的和93=T ，所以32=b ，--------7分可设db d b +=-=3,331，由于7,3,2321===a a a ，于是d b a b a d b a -=+=+-=+10,6,5332211，因为332211,,b a b a b a +++成等比数列，所以36)10)(5(=+-d d ，2=d 或7-=d （舍）所以12)1(21)1(1-=-+=-+=n n d n b b n -----------------------------------9分 （Ⅱ）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=--<-=k k k k k k b k11141)22(211)12(1)12(11222 所以，当2≥n 时22222221)12(13111111-++=+++n b b b n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<n n 1113121211411 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n 1141145411=+< ------- ----------------------------------------------------12分 20.解（1）22222c a b a =∴= （1分） 又22b b =，得1b =22221:1,:12x C y x C y ∴=-+= （3分）（2）设直线1122:,(,),(,)AB y kx A x y B x y =则22101y kxx kx y x =⎧⇒--=⎨=-⎩ （4分） 211221212(,1)(,1)(1)()1MA MB x y x y k x x k x x ⋅=+⋅+=++++=0M A M B ∴⊥ （6分）（3）设直线1212:1;:1,1MA y k x MB y k x k k =-=-=-1121122110,(,1)111x k y k x x A k k y y k y x ==-⎧⎧=⎧⎪∴-⎨⎨⎨=-=-=-⎪⎩⎩⎩解得或，同理可得222(,1)B k k -2211212111122S MA MB k k k k ==++ （8分） 1212111222221112141120421,(,)11212211212k x y k x k x k k D x y k k k y y k ⎧==-⎧⎪+=⎧-⎪⎪∴⎨⎨⎨=-++-+=⎩⎪⎪=⎩⎪+⎩解得或 同理可得2222222421(,)1212k k E k k -++1222212221216111122(12)(12)k k S MD ME k k k k ∴==++++ （11分） 2122211212152()(12)(12)9161616k S k k k S λ++++===≥所以λ的最小值为169,此时k=1或-1. （13分）21解：（Ⅰ）)(x f 其定义域为),0(+∞. ……………1分当0=a 时，x x x f 1ln )(+= ，22111)(xx x x x f -=-='. 令0)(='x f ，解得1=x ,当10<<x 时，0)(<'x f ；当1>x 时，0)(>'x f .所以)(x f 的单调递减区间是)1,0(，单调递增区间是),1(+∞； 所以1=x 时，)(x f 有极小值为1)1(=f ，无极大值 ……………3分(Ⅱ)222211(1)1(1)(1)()(0)a ax a x ax x f x a x x x x x----+-'=--==>………4分 令0)(='x f ,得1=x 或ax 1-= 当01<<-a 时，a 11-<，令0)(<'x f ，得10<<x 或ax 1->，令0)(>'x f ，得a x 11-<<；当1-=a 时，0)1()(22≤--='x x x f .当1-<a 时，110<-<a ，令0)(<'x f ，得a x 10-<<或1>x ， 令0)(>'x f ，得11<<-x a； 综上所述:当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(，),1(+∞-a ，单调递增区间是)1,1(a-；当1-=a 时，)(x f 的单调递减区间是),0(+∞；当1-<a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(a-，),1(+∞，单调递增区间是)1,1(a -……10分（Ⅲ）0≥a 时)0()1)(1()(2>-+='x xx ax x f )0(0)(>='∴x x f 仅有1解,方程0)(=x f 至多有两个不同的解.(注:也可用01)1()(min >+==a f x f 说明.)由(Ⅱ)知01-<<a 时,极小值01)1(>+=a f , 方程0)(=x f 至多在区间),1(+∞-a上有1个解.-1a =时)(x f 单调, 方程0)(=x f 至多有1个解.;1-<a 时,01)1()1(<+=<-a f a f ,方程0)(=x f 仅在区间)1,0(a -内有1个解;故方程0)(=x f 的根的个数不能达到3.…………………14分。

@学无止境！@绝密★启用前 试卷类型：A 最新第一次高考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（ ）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 （ ）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（ ）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（ ）@学无止境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（ ）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ∃∈R ，”，则⌝p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ∃∈++<R “使得”的否定是：“210x x x ∀∈++<R ，”D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的一条对称轴方程可以为 （ ） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年高中生技能大赛中三所学校分别有3名、2名、1名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是 （ ）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执行如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积（ ）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-321的展开式中存在常数项，则n 可以为 （ ） A ．8 9 C ．10 D. 1111．=∠=⋅==∆C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （ ）A ．︒60B ．C ．︒150D ．︒120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最小值，则当,c b 的值分别为方程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分.13．一个长方体高为5，底面长方形对角线长为12，则它外接球的表面积为@学无止境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯口直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ， 则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===∆且的一个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本大题共5小题，每题12分共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满足n b n n a a a a 2222233221=+⋅⋅⋅+++(1)求数列{}n b 的通项 ； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。

普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学（理工类） 第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B I 等于 A.{}1- B.{}1 C.{}1,1- D.φ 2、下列函数为奇函数的是 A.y x =B.sin y x =C.cos y x =D.x x y e e -=-3、若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于A.11B.9C.5D.34、为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元） 8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭年支出为A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元5、若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =- 的最小值等于A.52-B.2-C.32- D.2 6、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 A.2 B.1 C.0 D.1-7、若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥ ”是“//l α ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8、若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于 A.6 B.7 C.8 D.99、已知1,,AB AC AB AC t t⊥==u u u r u u u r u u u r u u u r，若点P 是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于A.13B.15C.19D.2110、若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是 A.11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ B.111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C.1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D. 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11、()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 .（用数字作答）12、若锐角ABC ∆ 的面积为103 ，且5,8AB AC == ，则BC 等于 . 13、如图，点A 的坐标为()1,0 ，点C 的坐标为()2,4 ，函数()2f x x = ，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 . 14、若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是 .15、一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈L ，其中()1,2,,k x k n =L 称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码127x x x L 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩其中运算⊕ 定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕= .现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 .16.某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(I)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(II)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望.17.如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ^平面BEG ，BE ^EC ，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.(I)求证：GF P 平面ADE (II)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.18. 已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b+=>>过点(0,2），且离心率为e=22.(I)求椭圆E 的方程；(II)设直线l ：1x my m R =-?，()交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.19.（本小题满分13分）已知函数f()x 的图象是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度. (I)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(II)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b （i ）求实数m 的取值范围；（ ii ）证明：22cos ) 1.5m a b -=-(20.已知函数f()ln(1)x x =+，(),(k ),g x kx R =? (I)证明：当0x x x ><时，f()；(II)证明：当1k <时，存在00x >,使得对0(0),x x Î任意，恒有f()()x g x >；(III)确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0),x Î，t 恒有2|f()()|x g x x -<.21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答.满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。

最新高考第一次模拟考试试卷数学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，只交答题卡．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，复数21ii +的值为 A ．1i -B ．1i +C ．iD ．2i -2．有下列四个命题，其中假命题．．．是 A ．20000,x x x ∃>≤B ．,30xx R ∀∈> C ．000,sin cos 2x R x x ∃∈+=D ．00,lg 0x R x ∃∈=3．如图，OABC 是矩形，B 在抛物线2y x =上，A 为(1,0)， 现从OABC 内任取一点，则该点来自阴影部分的概率为A ．12B ．13C ．14D ．164．某种定点投篮游戏的规则如下：每人投篮10次，如果某同学 某次没有投进，则罚该同学做俯卧撑2个．现有一同学参加该 游戏，已知该同学在该点投篮的命中率为0.6，设该同学参加 本次比赛被罚做俯卧撑的总个数记为X ，则X 的数学期望为 A ．4B ．6C ．8D ．125．执行如图所示的程序框图，若输入5n =，则输出的结果是A ．56B ．67 C ．45 D ．130 6．已知x ，y 满足约束条件102202x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值为 A ．6- B ．4- C ．3- D ．2- 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为1(1)S S k k ++=A ．24πB ．12πC ．8πD ．6π8．已知(1)f x +为偶函数，且()f x 在[1,)+∞单调递减，若(2)0f =，则()0f x >的解集为 A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(0,2)D ．(1,2)9．若()2015sin 2016cos f x x x =-的一个对称中心为(,0)a ，则实数a 所在区间可能是A ．(0,)4πB ．(,)43ππC ．(,)32ππD ．3(,)24ππ10．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，已知12PF PF ⊥，且122PF PF =，则双曲线的一条渐近线方程是A．y = B．y = C ．2y x = D ．4y x =11．函数22()10()20x a x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，，，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 A ．[1,2]- B ．[1,0]- C ．[1,2] D ．[0,2]12．若数列{}n a 满足：对任意正整数n ，{}1n n a a +-为递减数列，则称数列{}n a 为“差递减数列”．给出下列数列{}n a (*n N ∈)：①3n a n =，②21n a n =+，③n a =，④2nn a n =-，⑤ln1n n a n =+ 其中是“差递减数列”的有 A ．③⑤ B ．①②④ C ．③④⑤ D ．②③第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设集合2{3,log }P a =，{,}Q a b =，若{0}P Q =I ，则P Q =U ． 14．已知当t n =时，36()(0)f t t t t =+>取得最小值，则二项式1()n x x-的展开式中2x 的系数为．15．已知{}n a 是等差数列，12a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若521a a a 、、成等比数列，则5S =．16．如图，椭圆的方程为22162x y +=，A 是其右顶点，B 是该椭圆在第一象限部分上的一点，且4AOB π∠=．若点C 是椭圆上的动点，则OA BC ⋅u u u r u u u r 的取值范围为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，三条边a b c 、、所对的角分别为A 、B 、C ，且222a b c ab +-=． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若2()cos cos f x x x x =+，求()f B 的最大值，并判断此时ABC ∆的形状．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PAB ∆和PAC ∆均为边长是2的正三角形，且ο90=∠BAC ，O 为BC 的中点．（Ⅰ）证明：⊥PO 平面ABC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）某校数学兴趣小组在研究本地的城市道路与汽车保有量之间的关系（即某地区道路的总里程数和该地区拥有的汽车数量之间的关系）时，得到了近8年的城市道路总里程x （单位：百公里）和汽车保有量y （单位：百辆）的数据8年中任取5年，求恰有2年为“出行便捷年”的概率（请用分数作答）． （Ⅱ）根据上表数据，用变量y 和x 的相关系数说明y 与x 之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关关系，请说明理由．参考公式：相关系数∑∑∑===----=81281281)()())((i i i ii i iy y x xy y x xr ；回归直线的方程是：ˆˆybx a =+， 其中121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆa y bx=-，i y ˆ是与i x 对应的回归估计值． 参考数据：155=x ，75.169=y ，4200)(812=-∑=i ix x，5.1827)(812=-∑=i i y y ，2750))((81=--∑=i i iy y x x64.80≈42.75≈．20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：24y x =，过焦点且与坐标轴不平行的直线与该抛物线相交于A 、B 两点，记线段AB 中点为00(,)P x y ． （Ⅰ）若02x =，求直线AB 的斜率;（Ⅱ）设线段AB 的垂直平分线与x 轴，y 轴分别相交于点D 、E ．当直线AB 的斜率||||AB DE 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数1()ln()x f x x a x a+=+-+． （Ⅰ）求此函数的单调区间及最小值；（Ⅱ）当a ＝2时，过点(1,1)A --作直线l 与函数()y f x =的图象相切，这样的的直线有多少条？证明你的结论．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．注意：只能选做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲已知AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，CD 是半圆的切线，AC 平分BAD ∠，AD 交半圆于点E ．（Ⅰ）求证：AD CD ⊥；（Ⅱ）若5AB =，1DE =，求AE 的长．23．(本小题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos y x （θ为参数），过点(3,3)P 的直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 533543 (t 为参数)．（Ⅰ）求原点(0,0)到直线l 的距离；（Ⅱ）设直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数11)(--+=x x a x f ，1≥a ． （Ⅰ）当1=a 时，解不等式1)(<x f ；（Ⅱ）若实数a 的取值范围是]4,3[，求)(x f 的图象与直线2=y 所围成的三角形的面积的取值范围．若要功夫深，铁杵磨成针！@学无止境！@。

2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(三)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2+i)z=3+4i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为（ ）A ．2−iB ．2+iC ．1−2iD ．1+2i 2．已知集合M ={−1，0，1}，N ={y |y =1+sin2x π，x ∈M }，则集合M ∩N 的真子集的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 3．已知变量x 和y 的统计数据如下表：x 6 8 10 12 y2356根据上表可得回归直线方程ˆy=0.7x +a ，据此可以预测当x =15时，y =（ ） A ．7.8 B ．8.2 C ．9.6 D ．8.5 4．若向量a ，b 满足|a |=3，|b |=2，a ⊥(a −b )，则a 与b 的夹角为（ ）A ．2π B ．23π C ．6πD ．56π5．阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间[1，3]上，则输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．{x ∈R |0 x 2log 3}B ．{x ∈R |−2 x 2}C ．{x ∈R |0 x 2log 3或x =2}D ．{x ∈R |−2 x 2log 3或x =2}6．设变量x ，y 满足10222270x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≥≤，z =2a x y +(0<a)的最大值为5，则a =（ ）A ．1B ．12C．2 D7．已知双曲线2x −2y =1的左、右两个焦点分别是1F 、2F ，O 为坐标原点，圆O 是以12F F 为直径的圆，直线lt -+=0与圆O 有公共点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[−2，2] B ．[0，2] C ．[−4，4] D ．[0，4]8．已知等差数列{n a }的公差d ≠0，首项1a =d ，数列{2n a }的前n 项和为n S ，等比数列{n b }是公比q 小于1的正项有理数列，首项1b =2d ，其前n 项和为n T ，若33S T 是正整数，则q 的可能取值为（ ）A ．17B ．37C ．12D ．349．若函数y=cos(2x +φ)(0<φ<2π)的图象的对称中心在区间(6π，3π)内只有一个，则φ的值可以是（ ） A ．12π B ．6π C ．3πD ．56π 10．已知三棱锥P −ABC 的顶点都在同一个球面上(球O )，且P A =2，PB =PC，当三棱锥P −ABC 的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O 的体积的比值是（ ） A ．316π B ．38π C ．116πD ．18π11．已知抛物线2y =8x 的准线与双曲线22221x y a b-=相交于A ，B 两点， 若直线AF (点F 为抛物线的焦点)与直线y =x 垂直，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．2 CD12．已知函数()f x =ln x 与()g x =a −x (1ex e )的图象上恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1e +1，e −1]B ．[1e+1，e −1)C．{1}∪(1e+1，e−1] D．{1}∪[1e+1，e−1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若261()(2)x a xx+-展开式中的常数项为60，则实数a的值为．14．已知一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．15．已知在三角形ABC中，角A，B都是锐角，且sin(B+C)+3sin(A+C)cos C=0，则tan A的最大值为．16．已知函数()f x=212ln xx-，若对任意的1x，2x∈(0，1e]，且1x≠2x，122212()()||f x f xx x-->2212kx x⋅恒成立，则实数k的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知数列{na}的前n项和为nS，且满足3nS=2na+1．(1)求数列{na}的通项公式；(2)设数列{nb}满足nb=(n+1)na，求数列{nb}的前n项和nT．18．(本小题满分12分)某运动会为每场排球比赛提供6名球童，其中男孩4名，女孩2名，赛前从6名球童中确定2名正选球童和1名预备球童为发球队员递球，假设每名球童被选中是等可能的．(1)在一场排球比赛中，在已知预备球童是男孩的前提下，求2名正选球童也都是男孩的概率；(2)(i)求选中的3名球童中恰有2名男孩和1名女孩的概率；(ii)某比赛场馆一天有3场排球比赛，若每场排球比赛都需要从提供的6名球童中进行选择，记球童选取情况恰为(i)中结果的场次为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分)已知四棱锥A−BCPM及其三视图如图所示，其中PC⊥BC，侧视图是直角三角形，正视图是一个梯形．(1)求证：PC⊥AB；(2)求二面角M−AC−B的余弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆C：22221x ya b+=(a>b>0)的左、右焦点分别为1F，2F，过点A (−4，0)的直线l与椭圆C相切于点B，与y轴交于点D(0，2)，又椭圆的离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)圆Q与直线l相切于点B，且经过点2F，求圆Q的方程，并判断圆Q与圆2x+2y=2a的位置关系．21．(本小题满分12分)已知函数()f x=ax+ln x−2，a∈R．(1)若曲线y=()f x在点P(2，m)处的切线平行于直线y=−32x+1，求函数()f x的单调区间；(2)是否存在实数a，使函数()f x在(0，2e]上有最小值2?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的坐标原点重合、极轴与x 轴的正半轴重合，若直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−6π)=12．(1)写出直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆ρ=2相交于A ，B 两点，求点P (1，1)到A ，B 两点的距离之积． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲设函数()f x =1+|2x −3|，()g x =|9x +3|．(1)求不等式()f x13()g x 的解集； (2)若不等式()f x 2t x +12+|x −32|的解集非空，求实数t 的取值范围．2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(三)答案1．A 【解析】由(2+i)z=3+4i ，得z=34i (34i)(2i)105i2i (2i)(2i)5++-+==++-=2+i ，则z 的共轭复数为2−i ，选A ．2．B 【解析】因为N ={0，1，2}，所以M ∩N ={0，1}，其真子集的个数是3，故选B ． 3．B 【解析】根据题中表格可知x =6810124+++=9，y =23564+++=4，所以a =y −0.7x =4−0.7×9=−2.3，所以ˆy=0．7x −2.3， 当x =15时，y =0.7×15−2.3=8.2．4．C 【解析】通解 因为a ⊥(a −b )，所以a ·(a −b )=0，即a ·a −a ·b =|a |2−|a |·|b |cos<a ，b >=0，所以cos<a ，b >=2||||||⋅a a b =32，又<a ，b >∈[0，π]，故a 与b 的夹角为6π，选C ．优解 因为a ⊥(a −b )，所以利用三角形法则不难得出，向量a ，b ，a −b 构成直角三角形，且a ，b 的夹角必定为锐角，从而可知选C ．5．C 【解析】根据题意，得当x ∈(−2，2)时，()f x =2x ，由1 2x 3，得0 x 2log 3；当x ∉(−2，2)时，()f x =x +1，由1 x +1 3，得0 x 2，即x =2．故输入的实数x 的取值范围是{x ∈R |0 x 2log 3或x =2}．故选C ．6．A 【解析】如图，画出可行域，∵z =2a x +y ，∴y =−2a x z +，求z 的最大值，即求直线y=−2a x z+在y 轴上的最大截距，显然当直线y=−28a x +过点A 时，在y 轴上的截距取得最大值．由10270x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得A (2，3)，则22a +3=5，可得a =1．故选A ．7．C 【解析】双曲线2x −2y =1的两个焦点分别是1F (2，0)，2F 2，0)，从而圆O 的方程为2x +2y =253x t +=0与圆O 有公共点，，即|t| 4，从而实数t的取值范围是[−4，4]，故选C．8．C【解析】由题意知，33ST=2222222249141d d dd d q d q q q++=++++为正整数，设为t，则1+q+2q=14t，即2q+q+1−14t=0，因为q有解，故1−4(1−14t) 0，t563．故q因而t整除56，即t的可能取值为1、2、4、7、8、14，经检验当t=8时符合题意，此时q12=，故选C．9．A【解析】令2x+φ=2π+kπ(k∈Z)，则x=4π+2kπ−2ϕ，所以6π<4π+2kπ−2ϕ<3π，即ϕπ−16<k<ϕπ+16．又由0<φ<2π，得−16<ϕπ−16<13，16<ϕπ+16<23，所以k=0，此时φ∈(−6π，6π)，选A．10．A【解析】三棱锥P−ABC的三个侧面的面积之和为12×sin∠APB+12×sin∠APC+12sin∠BPC，由于∠APB，∠APC，∠BPC相互之间没有影响，所以只有当上述三个角均为直角时，三棱锥P−ABC的三个侧面的面积之和最大，此时P A，PB，PC两两垂直，以其为长方体的三条棱长得出一个长方体，则三棱锥P−ABC与该长方体有共同的外接球，故球O的半径r==2，所以三棱锥P−ABC的体积与球O的体积的比值是311233241623ππ⨯⨯=⨯．11．A【解析】通解因为直线AF(点F为抛物线的焦点)与直线y=x垂直，所以直线AF的斜率为AFk=−1，又抛物线2y=8x的焦点为F(2，0)，则直线AF的方程为y=−x+2，与抛物线的准线：x=−2联立，得点A(−2，4)，又点A在双曲线上，所以24a−1616=1，解得2a=2，故2e=22ca=9，双曲线的离心率e=3．故选A．优解 因为直线AF (点F 为抛物线的焦点)与直线y =x 垂直，所以直线AF 的斜率为AF k =−1，又A ，B 两点是抛物线2y =8x 的准线与双曲线222116x y a -=的交点，根据双曲线的对称性，可知△ABF 是等腰直角三角形，故由点A 的横坐标为−2，AF k =−1，知点A 的纵坐标为4，即A (−2，4)，代入双曲线方程可得24a −1616=1，解得2a =2， 2e =22c a =9，故双曲线的离心率e =3．故选A ．12．C 【解析】因为函数()f x =ln x 与()g x =a −x (1ex e )的图象上恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点，即点(x ，y )与(x ，−y )分别在两个函数的图象上，且唯一．又1ex e ，所以()ln ()y f x x y g x x a==⎧⎨=-=-⎩，即方程ln x =x −a 在[1e ，e ]上有唯一解，所以函数()f x =ln x 的图象和直线y=x −a 在区间[1e ，e ]上有唯一的公共点，作出大致图象如图所示．当两函数图象相切时， 设切点为(0x ，0y )，1()(ln )f x x x''==，所以001()f x x '=，所以0x =1，切点为(1，0)，代入直线方程得a =1．当直线y =x −a 过点A (1e ，−1)时，a =1e+1；当直线y =x −a 过点B (e ，1)时，a =e −1．结合图象可知，若恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点，则a =1或1e+1<a e −1．13．1【解析】261(2)x x -展开式的通项为1r T +=6C r 26(2)r x -−1()r x-=(−1)r ×62r -6C r 123rx -，当12−3r =0时，r =4，而12−3r =−1时，r =133不符合题意，所以常数项为(−1)4×2246C a =60，解得a =1．14．4【解析】由三视图得该几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直于直角梯形的上底边的直角顶点的四棱锥，所以该几何体的体积为13×242+×2×2=4．15．34【解析】因为sin (B +C )+3sin (A +C )cos C =0，所以sin(B +C )=−3sin B cos C ，即sin B cos C +cos B sin C =−3sin B cos C ，sin C cos B =−4sin B cos C ．易知C ≠90°， 所以tan C =−4tan B ，所以tan(A +B )=4tan B ， 所以tan A =tan[(A +B )−B ]=2tan()tan 3tan 1tan()tan 14tan A B B BA B B B+-==-+⋅+114tan 3tan 3B B +34=(B 是锐角，tan B >0)，当且仅当1tan B=4tan B ， 即tan B =12时取等号，所以tan A 的最大值为34． 16．(−∞，4]【解析】由对任意的1x ，2x ∈(0，1e]，且1x ≠2x ，122212()()||f x f x x x -->2212kx x ⋅， 得122212()()||11f x f x x x --min >k ，令g (21x )=()f x ，x ∈(0，1e ]，则()g x =x +x ln x ，x ∈[2e ，+∞)，()g x '=2+ln x ≥4，又122212()()||11f x f x x x --=2212221211()()||11g g x x x x --表示曲线y=()g x在[2e ，+∞)上不同两点的割线的斜率的绝对值， 则122212()()||11f x f x x x -->4，则k ≤4，即实数k 的取值范围是(−∞，4]．17．【解析】(1)当n =1时，31S =21a +1⇒1a =1，当n ≥2时，由11321321n n n n S a S a --=+⎧⎨=+⎩，得3(n S −1n S -)=2n a −21n a -⇒n a =−21n a -，从而n a =(−2)1n -．（4分）(2)由n b =(n +1) n a 得n b =(n +1)×(−2)1n -，则n T =2×(−2)0+3×(−2)1+4×(−2)2+…+(n +1)×(−2)1n -， ① −2n T =2×(−2)1+3×(−2)2+4×(−2)3+…+(n +1)×(−2)n ， ② 由①−②得，3n T =2×(−2)0+(−2)1+(−2)2+…+(−2)1n -−(n +1)×(−2)n=1+1(2)1(2)n ----−(n +1)×(−2)n =43−(n +43)×(−2)n ，从而n T =49−349n +×(−2)n ． （12分）18．【解析】(1)从6名球童中选取3名球童，已知预备球童为男孩，2名正选球童从其余5人中选取，共有25C =10种不同的选法，因为2名正选球童都是男孩，则需要从剩余3名男球童中选取，有23C =3种选法，由古典概型的概率计算公式，得2名正选球童也都是男孩的概率P =310． （5分）(2)(i)从6名球童中选取3名球童，共有36C =20种不同的选法，记事件A 为“选中的3名球童中恰有2名男孩和1名女孩”，则事件A 包含的选法有2142C C =12种，由古典概型的概率计算公式，得P (A )=123205=． （7分） (ii)随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ~B (3，0.6)，P (ξ=0)=03C (0.6)0×(0.4)3=0.064，P (ξ=1)=13C (0.6)1×(0.4)2=0.288， P (ξ=2)=23C (0.6)2×(0.4)1=0.432，P (ξ=3)=33C (0.6)3×(0.4)0=0.216．（10分） 因而ξ的分布列为P0.064 0.288 0.432 0.216Eξ=3×0.6=1.8．（12分） 【备注】在解决概率与统计问题时，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件，还是某一事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的情况，从而选择正确的概率计算公式，同时注意上述几种事件的综合问题，要全面考虑．19．【解析】(1)由三视图可知，平面PCBM ⊥平面ABC ，又平面PCBM ∩平面ABC =BC ，且PC ⊥BC ，（2分）∴PC ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，∴PC ⊥AB ．（4分）(2)解法一 如图，取BC 的中点N ，连接MN ，由三视图可知，PM ∥CN 且PM =CN ， ∴MN ∥PC ，MN =PC ，由(1)知PC ⊥平面ABC ，∴MN ⊥平面ABC ． 作NH ⊥AC ，交AC 的延长线于H ，连接MH ，易知AC ⊥MH ，∴∠MHN 为二面角M −AC −B 的平面角．（6分）由三视图可知PC =MN =1，PM =CN =1，CB =2，AC =1，过点A 作AE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，则A 到直线BC 的距离为AE 3（7分） 在Rt △AEC 中，AC =1，AE 3sin ∠ACE 3 ∴∠ACE =60°，∴∠ACB =120°，（8分） 在Rt △NHC 中，∵∠NCH =∠ACE =60°，∴NH =CN ·sin ∠NCH =1×sin 60°=32．（10分） 在Rt △MNH 中，∵MH 22MN NH +7cos ∠MHN =NH MH =217．故二面角M −AC −B的余弦值为217．（12分）解法二 如图，取BC 的中点N ，连接MN ，由三视图可知，PM ∥CN 且PM =CN ， ∴MN ∥PC ，MN =PC ，由(1)知PC ⊥平面ABC ，∴MN ⊥平面ABC ．（5分）由三视图知PC =MN =1，CB =2，AC =1，过A 作AE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，则点A 到直线BC 的距离为AE =32．（6分） 在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立如图所示的空间直角坐标系．在Rt △AEC 中，AC =1，AE =32，∴CE =12， ∴C (0，0，0)，P (0，0，1)，M (0，1，1)，B (0，2，0)，A 3−12，0)， ∴CA u u u r 3−12，0)，AM u u u u r =(3，32，1)．（8分） 设平面MAC 的法向量为n =(x ，y ，z )，则由00AM CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，得33023102x y z x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令z =1，则x =3y =−1， ∴n =(−33，−1，1)是平面MAC 的一个法向量．（10分） 又平面ABC 的一个法向量为CP u u u r =(0，0，1)，∴cos<n ，CP u u u r >=||||CP CP ⋅=u u u r u u u r n n 21． 由图可知二面角M −AC −B 为锐二面角，∴二面角M −AC −B 的余弦值为217．（12分）20．【解析】(1)由题意知，直线l的方程为x−2y+4=0，由22221240 x yabx y⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，得(2a+42b)2y−162b y+162b−2a2b=0，（2分）又椭圆的离心率e=ca=12，所以2e=2222214c a ba a-==，因而42b=32a，则42a2y−122a y+234a(16−2a)=0，（3分）由直线l与椭圆相切，得Δ=22(12)a−124a(16−2a)=0，则2a=4，2b=3，所以椭圆C的方程为22143x y+=．（5分）(2)由(1)得B(−1，32)，2F(1，0)，由题意知圆心Q在过点B与l垂直的直线上，该直线方程为y−32=−2(x+1)，即4x+2y+1=0．（6分）设圆心Q(x，y)，因而4x+2y+1=0，连接QB，2QF，则|QB|=|2QF|，（7分）从而2(1)x++23()2y-=2(1)x-+2y，解得x=−38，y=14，则Q(−38，14)，圆Q的半径R=|QB223135(1)()8428-++-=，（9分）所以圆Q的方程为(x+38)2+(y−14)2=12564．（10分）而2x +2y =4的圆心为O (0，0)，半径r =2，两圆的圆心距|OQ ，（10分）由于144>125，因而16−5因而|OQ <2，即两圆内含． （12分）【备注】分析近几年的高考题可知，解析几何的考查基本稳定在椭圆与圆、抛物线与圆、椭圆与抛物线的结合上，已知条件以向量的形式呈现也很普遍，而众多与圆、椭圆、抛物线有关的结论更是备受青睐，因而在复习备考阶段，应加以强化，这些结论不但要知其然，更要知其所以然，突破传统思维定势的影响，寻求解题的突破口，提高复习的全面性与灵活性．21．【解析】(1)∵()f x =a x+ln x −2(x >0)， ∴()f x '=2a x -+1x(x >0)，（1分） 又曲线y =()f x 在点P (2，m )处的切线平行于直线y =−32x +1， ∴(2)f '=−14a +12=−32⇒a =8． ∴()f x '=28x -+1x =28x x -(x >0)，（3分） 令()f x '>0，得x >8，()f x 在(8，+∞)上单调递增；令()f x '<0，得0<x <8，()f x 在(0，8)上单调递减．∴()f x 的单调递增区间为(8，+∞)，单调递减区间为(0，8)．（5分）(2)由(1)知()f x '=2a x -+1x =2x a x- (x >0)． (i)当a 0时，()f x '>0恒成立，即()f x 在(0，2e ]上单调递增，无最小值，不满足题意．（6分）(ii)当a >0时，令()f x '=0，得x =a ，所以当()f x '>0时，x >a ，当()f x '<0时，0<x <a ，（7分）此时函数()f x 在(a ，+∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减．若a >2e ，则函数()f x 在(0，2e ]上的最小值()f x min =2()f e =2a e +ln 2e −2=2a e ， 由2a e=2，得a =22e ，满足a >2e ，符合题意；（8分） 若a 2e ，则函数()f x 在(0，2e ]上的最小值()f x min =()f a =a a +ln a −2=ln a −1， 由ln a −1=2，得a =3e ，不满足a 2e ，不符合题意，舍去．综上可知，存在实数a =22e ，使函数()f x 在(0，2e ]上有最小值2．（12分）22．【解析】(1)将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，得y −1=3(x −1)， 显然，直线l 过定点(1，1)，倾斜角为6π， 因此直线l 的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，即1112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．（5分）(2)圆ρ=2的直角坐标方程为22x y +=4，把12112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22x y +=4， 得)2+(1+12t )2=4，2t+1)t −2=0， 因为+1)2+8>0，故设其两根分别为1t ，2t ，显然12t t =−2，故点P (1，1)到A ，B 两点的距离之积为2．（10分）【备注】极坐标方程与直角坐标方程互化及参数方程与普通方程互化是本知识板块的基础，当然也是近年高考命题的重点与热点．直线参数方程中参数的几何意义的应用也是重要的考点，值得考生关注．23．【解析】(1)由()f x 13()g x，可得|3x+1|−|2x−3| 1，则当x32时，3x+1−2x+3 1，即x −3，∴不符合题意；当−13x<32时，3x+1+2x−3 1，∴−13x35；当x<−13时，−3x−1+2x−3 1，∴−5 x<−13．综上，不等式()f x13()g x的解集为{x|−5 x35}．（5分）(2)根据题意，由不等式()f x−2tx12+|x−32|，化简得()f x−tx 0，即()f x tx．由()f x=1+|2x−3|=322,2342,2x xx x⎧-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩≥，作出y=()f x与y=tx的大致图象如图所示．由单调性可知()f x的最小值点为A(32，1)，∵当过原点的直线y=tx经过点A时，t=23，当直线y=tx与AC平行时，t=−2．∴当−2 t<23时，y=()f x与y=tx的图象无交点，且y=tx的图象都在y=()f x的图象的下方，∴当不等式()f x−tx 0的解集非空时，t的取值范围是(−∞，−2)∪[23，+∞)．（12分）。

2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(五)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．设集合U ={1，2，3，4}，集合A ={x ∈N |2x −5x +4<0}，则U A ð=（ ）A ．{1，4}B ．{1，2}C ．{2，4}D ．{1，3，4} 2．已知复数z =i1im (m >0)，z ·z =1，则z =（ ） A ．2+2i B ．2−2i C ．2+2i D ．2−2i 3．已知数列{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，若2017S =4 034，则3a +1009a +2015a =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 4．某几何的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A ．4π+4B ．3π+4C ．3πD ．32π+4 5．已知0<a <b <1，则下列结论正确的为（ ）A ．3a >3bB ．ln a a >ln b bC ．1()a e <1()b e D ．log 3a >log 3b6．执行如图所示的程序框图，则输出的i 的值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．3 7．已知将函数()f x =a sin2x +b cos2x 的图象向右平移6π个单位长度后所得到的图象关于直线x =4π对称，则b a 的值为（ ）A 3B ．1C 3D ．2 8．已知x ，y 满足10240220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，如果目标函数z =1y x m +-的取值范围为[0，2)，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[0，12]B ．(−∞，12]C ．(−∞，12) D ．(−∞，0]9．已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2，则此三棱锥的体积为（ ） A ．26 B ．36 C ．23 D ．2210．已知直线y 25与双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)交于A ，B 两点，若在双曲线上存在点P ，使得|P A |=|PB 3AB |，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B ．3 C ．52D 511．已知二次函数()f x =a 2x −2x +2c，x ∈R 的值域为[0，+∞)，其图象过定点(0，1)，且()g x =x ()f x +b 2x +a 在区间(12，1)上不是单调函数，则实数b 的取值范围为（ ）A ．(0，2B ．(0，2C ．[2+∞)D ．(2+∞)12．已知数列{n a }的前n 项和为n S ，对任意n ∈N *，n S =(−1)n n a +12n +2n −6， 且(1n a +−p )(n a −p )<0恒成立，则实数p 的取值范围是（ ） A ．(−74，234) B ．(−∞，234) C ．(−74，6) D ．(−2，234) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若(1x−2x )n 的常数项是15，则展开式中3x 的系数为 ．14．已知AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为150°，|AB u u u r |AC u u u r AP u u u r =λAB u u u r +μAC u u u r ，且AP u u u r ⊥BC uuu r ，则λμ的值为 ．15．已知函数()f x =2x −2x sin2πx +1的两个零点分别为a ，b (a <b )，则a ⎰dx = ．16．已知直线y =kx +1与抛物线2y =2x 相切于M 点，过M 点作两条直线，分别与抛物线交于A 、B 两点，若两直线的斜率之和为0，则直线AB 的斜率为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a cos C +c cos A =2b cos B ，b ． (1)求证：角A ，B ，C 成等差数列； (2)求△ABC 面积的最大值． 18．(本小题满分12分)某课题组对全班45名同学的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示45名同学的饮食指数．说明：饮食指数低于70的人被认为喜食蔬菜，饮食指数不低于70的人被认为喜食肉类．(1)根据茎叶图，完成下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关”，说明理由；喜食蔬菜喜食肉类合计男同学女同学合计(2)用分层抽样的方法按照喜食蔬菜、喜食肉类从全班同学中随机抽取15名同学进行进一步调查，记抽到的喜食肉类的女同学的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．附：2K=2()()()()()n ad bca b c d a c b d-++++．P(2K≥k) 0．10 0．05 0．01k2．706 3．841 6．63519．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，且AB=2，∠ABC=60°，点A在平面PBC上的射影为PB的中点O，PB⊥AC．(1)求证：PC=PD；(2)求平面BAP与平面PCD所成锐二面角的余弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的左、右焦点分别是点1F ，2F ，其离心率e =12，点P 为椭圆上的一个动点，12PF F ∆面积的最大值为． (1)求椭圆的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点1F ，AC BD ⋅u u u r u u u r =0，求|AC u u u r |+|BD u u u r|的取值范围． 21．(本小题满分12分)已知函数()f x =(x −a )x e −2x ．(1)若a =1，x ∈[0，1]，求函数()f x 的最值；(2)若a ∈Z ，函数()f x 在x ∈[0，+∞)上是增函数，求a 的最大整数值．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的极坐标方程为ρθ．(1)求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于A ，B 两点，若点P 的坐标为(3，求|P A |+|PB |． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知二次函数()f x =2x −bx +c 在 x =1处取得最小值−1． (1)解不等式|()f x |+|()f x -)| 6|x |；(2)若实数a 满足|x −a |<1，求证：|()f x −()f a |<2|a |+3．2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(五)答案1．A 【解析】由2x −5x +4<0得1<x <4，由于x ∈N ，所以A ={2，3}，于是U A ð={1，4}．2．A 【解析】解法一 z =i 1i m +=i(1i)(1i)(1i)2m m -=+-+2m i ，z =2m −2mi ，z·z =22m =1， 又m >0，则mz=2+2i ，选A ． 解法二 由题意知|z|=|i ||1i |m =+，由z·z =2||z ，得22m =1， 又m >0，则m==2+2i ，选A ． 3．C 【解析】依题意，120172017()2a a +=4 034，所以21009a =1a +2017a =4，3a +1009a +2015a =31009a =6，选C ．4．B 【解析】由三视图，可得到该几何体为一个底面半径为1，高为2的圆柱切掉四分之一后剩余的几何体，因而其侧面积S =34×2π×1×2+2×1×2=3π+4，故选B ．5．D 【解析】对于A ，由于y =3x 为增函数，因而3a <3b ，故A 错误；对于B ，令y =x ln x ，y '=ln x +1，则y =x ln x 在(0，1e )上单调递减，在(1e，1)上单调递增，则ln a a ，ln b b 的大小关系不确定；对于C ，y=1()x e 为减函数，所以1()a e >1()b e；对于D ，y=3log x 为增函数，因而3log a <3log b <0， 则log 3a =31log a >31log b=log 3b ．故选D ． 6．B 【解析】第一次循环：S =2×1+20=3，i =3；第二次循环：S =2×3+23=14，i =5；第三次循环：S =2×5+214，i =7，此时S >2 017，结束循环．故输出的i 的值是7． 7．C 【解析】通解 ()f x =a sin 2x +b cos 2xx +φ)，其中tan φ=ba，将其图象向右平移6π个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为()6f x π- =22a b +sin(2x −3π+φ)，其对称轴为2x −3π+φ=kπ+2π，k ∈Z ，由题意知其中一解为x =4π，则φ=kπ+3π，k ∈Z ，即tan φ=b a =3，故选C ．优解 将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为y=a sin2(x −6π)+b cos 2(x −6π)，因为所得图象关于直线x =4π对称，则4y x π'==2[a cos(2x −3π)−b sin(2x −3π)]4x π==3a −b =0，因而b a =3，故选C ． 8．C 【解析】由约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，而目标函数z=1y x m+-的几何意义为可行域内的点(x ，y )与A (m ，−1)连线的斜率．由10240x y x y +-=⎧⎨--=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩，即B (2，−1)．由题意知m =2不符合题意，故点A 与点B 不重合，因而当连接AB 时，斜率取到最小值0．由y =−1与2x −y −2=0得交点C (12，−1)，在点A由点C 向左移动的过程中，可行域内的点与点A 连线的斜率小于2，因而目标函数的取值范围满足z ∈[0，2)，则m <12，故选C ． 9．A 【解析】根据题意作出图形如图所示，设球心为O ，过A ，B ，C 三点的小圆的圆心为1O ，连接1OO ，则1OO ⊥平面ABC ，连接1CO 并延长交球面于点D ，连接SD ，则SD ⊥平面ABC ．∵1CO =2332⨯=33，∴1OO =63，∴三棱锥的高SD =21OO =263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴ABC S ∆=34， ∴三棱锥的体积V =132623436⨯⨯=，故选A ． 10．B 【解析】通解 由2222251y x x y ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得22x a −2245x b =1，则2x =221145a b -，2y =2245145a b -， 因而|OA |2=|OB |2=2295145a b -，如图，连接OP ，由于|P A |=|PB |，因而直线OP 的方程为y=−52x ，同理可得|OP |2=2294154a b-，又|P A |=|PB |=3|AB |，∴|OP |2=2|OA |2， 从而得22b a =2，∴e =221b a+=3，故选B ．优解 连接OP ，设|OA |=m >0，由题意知|OP 2|OA 2m ，且OP ⊥OA ，设直线AB 的倾斜角为α，则tan α=255，因而sin α=23，cos α=53，不妨设点A 在第一象限，则A (53m ，23m )，直线OP 的倾斜角为2π+α，同理可得P (−23m 10)或(23m ，10m )，∵A ，P 均在双曲线上，∴2259m a−2249m b =1，且2289m a −22109m b =1，则259a −249b =21m =289a −2109b，解得22b a =2， ∴eB ．11．A 【解析】由函数()f x 的图象过定点(0，1)得c =2，又()f x 的值域为[0，+∞)，则a >0，244ac a-=0，因而a =1，则()f x =2x −2x +1，()g x =3x +(b −2)2x +x +1， ()g x ' =32x +2(b −2)x +1，由题意知方程()g x '=0在区间(12，1)上有解，由于()g x '=0不能有两个相等的实根，因而Δ=4(b −2)2−12>0， 即b或b，同时2(b −2)=−(3x +1x)∈(−4，−， 所以0<b，从而0<b，故选A ． 12．A 【解析】∵n S =(−1)n n a +12n +2n −6，∴当n 2时，1n S -=(−1)1n -1n a -+112n -+2n −8， 两式相减得，n a =(−1)n n a + 12n +2n −6−[(−1)1n -1n a -+112n -+2n −8]，整理得[1−(−1)n ]n a =(−1)n 1n a -+2−12n (n 2) (*)．又n S =(−1)n n a +12n +2n −6，∴1S =−1a +12+2−6，即1a =−74．①当n 为偶数时，化简(*)式可知，1n a -=12n −2，∴n a =112n +−2(n 为奇数)；②当n 为奇数时，化简(*)式可知，2n a =−1n a -+2−12n ，即12n −4=−1n a -+2−12n ，即1n a -=6−112n -，∴n a =6−12n (n 为偶数)． 于是n a =112216,2n nn n +⎧-⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩，为奇数为偶数．∵对任意n ∈N *，(1n a +−p )(n a −p )<0恒成立，∴对任意n ∈N *，(p −1n a +)(p −n a )<0恒成立．又数列{21k a -}单调递减，数列{2k a }单调递增，∴当n 为奇数时，有n a <p <1n a +，则1a <p <11a +，即−74<p <234；当n 为偶数时，有1n a +<p <n a ，则21a +<p <2a ，即−3116<p <234．综上所述，−74<p <234，故选A ．13．−20【解析】设第r +1项是常数项，则1r T +=C r n (1x)n r -·(−2x )r =(−1)r C r n x3n r-+， 由−n +3r =0得n =3r ，又(−1)r C r n =15，所以n =6，r =2．设第m +1项是含3x 的项，则1m T +=(−1)m 6C m x 63m -+，令−6+3m =3，得m =3，则展开式中3x 的系数为3(1)-36C =−20．14．59【解析】通解 由AP u u u r ⊥BC uuu r ，得AP u u u r ·BC uuu r =0，即(λAB u u u r +μAC u u u r )·(AC u u u r −AB u u u r )=(λ−μ) AB u u u r ·AC u u u r −λ2AB u u u r +μ2AC u u u r =(λ−μ)×3×1×(−32)−λ×2(3)+μ×21=52μ−92λ=0，因而λμ=59．优解 如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则由题意知AB u u u r =(3，0)，AC u u u r =(−3，12)，BC uuu r =(−33，12)，AP u u u r =(3λ−3μ，12μ)，由AP u u u r ⊥BC uuu r ，得−332(3λ−32μ)+14μ=0，得λμ=59．15．2π【解析】函数()f x 的零点，即方程()f x =2x −2x sin 2πx +1=0的根， 由于x =0不是方程的根，因而可化为2sin 2πx =x +1x ，又x +1x ∈(−∞，−2]∪[2，+∞)，所以sin 2πx =±1，则2x ±2x +1=0，从而x =±1，因为a <b ，所以a =−1，b =1，因而21ax -⎰dx =121x --⎰，由定积分的几何意义，知121x --⎰=2π． 16．−12【解析】数形结合可知k ≠0，由212y kx y x=+⎧⎨=⎩，得2k 2x +2(k −1)x +1=0，因而Δ=4(k −1)2−42k =0，即k =12，从而2x −4x +4=0，则M (2，2)，设直线MA 的方程为y−2=m (x −2)，易知m ≠0，由2222y mx my x=+-⎧⎨=⎩，得m 2y −2y+4−4m =0，解得y =2m −2或2，即A (2(1m −1)2，2m−2)， 同理设直线MB 的方程为y −2=−m (x −2)，得B (2(1m +1)2，−2m−2)，则AB k =22112(1)2(1)112(1)2(1)m m m m------+=−12．17．【解析】(1)由已知及正弦定理得sin A cos C +sin C cos A =2sin B cos B ，（1分）即sin(A +C )=2sin B cos B ，从而可得cos B =12． ∵在△ABC 中，0<B<π，∴B =3π，（3分） ∴A +C =23π=2B ， ∴角A ，B ，C 成等差数列．（5分）(2)由余弦定理2b =2a +2c −2ac cos B ，得2a +2c −ac =3， 即ac 3，当且仅当a =c 时等号成立．（7分）ABC S ∆=12ac sin Ba =c 时取等号，即△ABC面积的最大值为4．（12分） 18．【解析】(1)根据茎叶图，完成的2×2列联表如下，计算得2K =245(19367)3692025⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=0.562 5<2.706，对照临界值得出，没有90%的把握认为“喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关”．（5分）(2)因为从喜食肉类的同学中抽取的人数为9×1545=3，所以ξ的可能取值有0，1，2，3．P (ξ=0)=3639C C =521，P (ξ=1)= 216339C C C =1528， P (ξ=2)= 126339C C C =314，P (ξ=3)= 3339C C =184．（10分） 所以ξ的分布列为ξ 0123P521 1528 314 184所以ξ的数学期望Eξ=0×21+1×28+2×14+3×84=1．（12分）【备注】本题的易错点是审题不仔细，对所给图表理解不清，不能从图表中准确提取信息，另外，对于这类题目，运用公式不难，但运算量大，对运算能力要求较高，不少考生过不了运算关．把分层抽样、独立性检验与离散型随机变量的分布列与数学期望结合起来进行考查，代表了统计案例解答题的一种命题趋势，这类试题难度不大，但考查的知识面较广． 19．【解析】(1)如图，连接CO ，由题意知PB ⊥AO ，且AP =AB =2，又PB ⊥AC ，AO ∩AC =A ，因而PB ⊥平面AOC ． 又CO 平面AOC ，则PB ⊥OC ，（2分） 又O 为PB 的中点， 因而PC =BC =2，（3分）又ABCD 是菱形，且∠ABC =60°，则AC =2，所以OA =OC =1． 作DH ⊥平面PBC 于H ，连接PH ，CH ，则PH =DH =1， 因而PD =2，即PC =PD ．（5分）(2)解法一 以O 为坐标原点，OC ，OP ，OA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0，0，0)，C (1，0，0)，P (0，1，0)，D (1，1，1)， PC uuu r =(1，−1，0)，PD u u u r=(1，0，1)， （7分） 设平面PCD 的法向量为m =(x ，y ，z )，则00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m ，即00x y x z -=⎧⎨+=⎩， 取x =1，则y =1，z =−1，所以m =(1，1，−1)是平面PCD 的一个法向量，（9分） 易知平面BAP 的一个法向量为n =(1，0，0)， 那么cos<m ，n >=||||⋅⋅m n m n =331=⨯， 即平面BAP 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为3．（12分）解法二 由(1)知平面BAP ∥平面HCD ，因而等价于求平面HCD 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值，由于PH ⊥平面HCD ，则PH ⊥CD ，如图，作HM ⊥CD 于M ，连接PM ， 由PH ∩HM =H ，得CD ⊥平面PHM ，（6分）所以CD ⊥PM ，则∠PMH 为二面角P −CD −M 的平面角． 在直角三角形HCD 中，CD 112+=， 则HM =222=tan ∠PMH 222=，因而cos ∠PMH=3，（10分） 所以平面BAP 与平面PCD所成锐二面角的余弦值为3． （12分） 【备注】从近几年高考题来看，立体几何的考查往往避开规则几何体，给人以新颖感，但无论如何创新，空间中线线、线面、面面的位置关系是必考点，一般位于第(1)问，要求考生运用性质定理、判定定理进行推理证明，当然借助向量解决也是一种趋势．在运用向量法求解时，关键是注意以下几点：①如何恰当地建立空间直角坐标系；②考虑一些未知量是否可用基向量或其他已知向量表示，能否顺利坐标化；③如何对已经表示出来的向量进行运算才能获得需要的结论；④运算结果和证明的结论不一致时，应该及时检查初始点或基向量是否正确；⑤运用向量法求二面角时要注意判断二面角是锐角还是钝角． 20．【解析】(1)由题意知，当点P 是椭圆的上、下顶点时，12PF F ∆的面积取得最大值，此时12PF F ∆的面积S =12·2c ·bc①．（1分）又椭圆的离心率e =12，所以c a =12②，（2分）联立①②解得a =4，c =2，2b =12，所以椭圆的方程为2211612x y +=．（4分）(2)由(1)知1F (−2，0)，因为AC BD ⋅u u u r u u u r=0，所以AC ⊥BD ．①当直线AC ，BD 中有一条直线的斜率不存在时，|AC u u u r |+|BD u u u r|=8+6=14； ②当直线AC 的斜率为k ，k ≠0时，其方程为y=k (x +2)，由22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得(3+42k )2x +162k x +162k −48=0．（6分）设A (1x ，1y )，C (2x ，2y )，则1x +2x =−221634k k +，1x 2x =22164834k k -+，所以|AC u u u r|1x −2x=2224(1)34k k ++，直线BD 的方程为y =−1k(x +2)，同理可得|BD u u u r |=2224(1)43k k ++，所以|AC u u u r |+|BD u u u r|=2222168(1)(34)(43)k k k +++，（8分）令1+2k =t ，则t >1，所以|AC u u u r |+|BD u u u r |=22221681681681(41)(31)12112t t t t t t t t ==--++-+， 设()f t =21t t-(t >1)，则()f t '=32t t -+， 所以当t ∈(1，2)时，()f t '>0，当t ∈(2，+∞)时，()f t '<0，（10分） 故当t =2时，()f t 取得最大值14． 又当t >1时，()f t =21t t ->0，所以0<21t t- 14， 所以|AC u u u r |+|BD u u u r |∈[967，14)．综上，|AC u u u r |+|BD u u u r |的取值范围为[967，14]．（12分）【备注】解决本题的关键有以下几点：(1)熟练掌握有关椭圆的基础知识；(2)注意对特殊情况进行讨论，如本题中讨论了直线斜率不存在的情况；(3)正确利用题目所给条件得到|AC u u u r|，|BD u u u r|的表达式；(4)灵活运用函数的有关知识求最值．21．【解析】(1) 若a =1，则函数()f x =(x −a )x e −2x ，()f x '=x e +(x −1)x e −2x =x (x e −2)．令()f x '=0，则x =0或x =ln 2，由于x ∈[0，1]， 因而当x ∈(0，ln 2)时，()f x '<0，()f x 单调递减， 当x ∈(ln 2，1)时，()f x '>0，()f x 单调递增， 所以()f x 的最小值为(ln 2)f =−1−(ln 2−1)2，最大值为(0)(1)f f ==−1．（5分） (2) ()f x '=x e +(x −a )x e −2x =(x +1−a )x e −2x ，由()f x 在x ∈[0，+∞)上是增函数，得()f x ' 0在x ∈[0，+∞)上恒成立， 即(x +1−a )x e −2x 0，x ∈[0，+∞)， 分离参数得1−a2x xe−x ，x ∈[0，+∞)．（7分） 设()g x = 2x x e −x ，则()g x '=22x xe-−1=22x xx e e --， 令()g x '=0，即2−2x −x e =0．（8分）设()h x =2−2x −x e ，由于(0)h =1>0，1()2h<0，因而方程2−2x −x e =0在(0，12)上有解，设为0x ，则0x e =2−20x ，且当x ∈(0，0x )时，()g x '>0，当x ∈(0x ，+∞)时，()g x '<0，所以()g x 的最大值为0()g x =002x x e −0x =001x x -−0x =2001x x -．（10分）因而1−a 2001x x -，即a 1+2001x x -=3+011x -+0x −1，又0x ∈(0，12)，0x −1∈(−1，−12)，因而3+011x -+0x −1∈(12，1)，因而a 的最大整数值为0． （12分）【备注】在高考题中，函数与导数试题多以对数、指数形式出现，而且属于压轴题，对考生的能力要求很高，意在提高区分度，有利于选拔．试题一般考查含有参数的函数的单调性、极值、最值，曲线的交点等，解题时由于对参数的讨论往往比较复杂，因而考生通常会由于对参数的分类标准分析不到位而出现失误．在复习过程中，对于某些常规函数的性质及图象要做到了如指掌，如对数函数、y=ln xx以及y=x ln x 的图象等更要多加积累，并善于利用数形结合思想进行研究，寻求问题的求解方法．22．【解析】(1)由直线l的参数方程322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) 得直线l 的普通方程为y =−x由ρθ，得2x +2y −=0，即圆C 的直角坐标方程为2x +(y2=5．（5分）(2)通解由22(53x y y x ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩得2x −3x +2=0，解得12x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩21x y =⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设A (1，，B (2，，又点P 的坐标为(3． 故|P A |+|PB（10分）优解 将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3−2t )2+(2t )2=5， 即2t −t +4=0．由于)2−4×4=2>0，故可设1t ，2t 是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线l 过点P (3，故|P A |+|PB |=|1t |+|2t |=1t +2t． （10分）23．【解析】(1)由题意知，二次函数图象的顶点为(1，−1)，得b =2，c =0，因而()f x =2x −2x ．不等式|()f x |+|()f x -| 6|x |，即|2x −2x |+|2x +2x | 6|x |， 当x =0时，不等式成立；当x ≠0时，不等式化为|x −2|+|x +2| 6，从而2226xx x-⎧⎨-+--⎩≤≥，或20226xx x-<<⎧⎨-+++⎩≥或02226xx x<⎧⎨-+++⎩≤≥，或2226xx x>⎧⎨-++⎩≥，解得x −3或x 3，故不等式的解集为{x|x −3或x=0或x 3}．（5分）(2)因为|x−a|<1，所以|()f x−()f a|=|2x−2x−2a+2a|=|(x+a−2)(x−a)|=|x+a−2|·|x−a|<|x+a−2| |x−a|+|2a|+2<2|a|+3．（10分）。

2020年高考新课标数学（理科）模拟试题（全国卷1）考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、以下判断正确的个数是（ ）①相关系数r r ,值越小，变量之间的相关性越强；②命题“存在01,2<-+∈x x R x ”的否定是“不存在01,2≥-+∈x x R x ”；③“q p ∨”为真是“p ”为假的必要不充分条件；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是08.023.1ˆ+=x y. A ．4 B ．2 C.3 D ．12、已知集合{}|12A x x =-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则AB =A ．{}|04x x <<B ．{}|22x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|13x x << 3、设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、 已知正三角形ABC 的顶点()()3,1,1,1B A ，顶点C 在第一象限，若点()y x ,在ABC ∆的内部，则y x z +-=的取值范围是 A.()2,31- B.()2,0 C.()2,13- D.()31,0+5、在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是A ．sin xB ．cos xC ．sin x -D ．cos x - 6、使函数)2cos()2sin(3)(θθ+++=x x x f 是偶函数，且在]4,0[π上是减函数的θ的一个值是 A ．6π B ．3π C ．34π D ．67π7、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足121a a ==，21n n S a +=-，则下列命题错误的是( ) A.21n n n a a a ++=+B.13599100a a a a a ++++=…C.2469899a a a a a ++++=…D.12398100100S S S S S ++++=-… 8、如图阴影部分1C 是曲线x y =与x y =所围成的封闭图形，A 是两曲线在第一象限的交点，以原点O 为圆心，OA 为半径作圆，取圆的第一象限的扇形OCAB 部分图形为2C ，在2C 内随机选取m 个点，落在1C 内的点有n 个，则运用随机模拟的方法得到的π的近似值 A 、m n 23 B 、n m 3 C 、m n 3 D 、nm329、某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形,③ 3所有正确的说法 A 、① B 、①② C 、②③ D 、①③10、已知双曲线)0,(12222＞b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,两点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.511、将边长为5的菱形ABCD 沿对角线AC 折起，顶点B 移动至B 处，在以点B '，A ，C ，为顶点的四面体AB 'CD 中，棱AC 、B 'D 的中点分别为E 、F ，若AC ＝6，且四面体AB 'CD 的外接球球心落在四面体内部，则线段EF 长度的取值范围为（ ）A ．14,232⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B ．14,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．()3,23D ．()3,412、已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

最新高三第一次模拟考试数学试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致。

2．第1卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其他答案标号。

第II 卷用0．5毫米的黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，{}12B x x =-≤≤，则等于 ( )A. {}10x x -<< B. {}24x x ≤< C. {}02x x x <>或 D. {}02x x x ≤≥或 2．在复平面内，复数2iz i-=的共轭复数z 对应的点所在的象限（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设0x >，则“4m =”是“4≥+xmx ”恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4、执行如图所示的程序框图，若输出的n=6，则输入整数p 的最小值是. （ ） A ． 17 B ． 16 C ．18 D ． 195.在等差数列{}n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则12102a a -的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 606、已知O 为坐标原点，双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若()0AO AF OF +⋅=u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率e 为( )A. 3B.2C.3 D.27．在区间[－1，1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k(x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( )A. 12B. 13C. 2D.2 8．有以下命题：①命题“2,20x R x x ∃∈--≥”的否定是：“2,20x R x x ∀∈--<”； ②已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.79,P ξ≤=则(2)0.21P ξ≤-=；③函数131()()2xf x x =-的零点在区间11(,)32内；其中正确的命题的个数为（ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个9.已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的偶函数，且当(,0)x ∈-∞时()()xf x f x '<--成立（其中()()f x f x '是的导函数），若3(3)a f =，(1)b f =，212(log )4c f =-，则,,a b c 的大小关系是 （ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．a c b >>10.已知实数,x y 满足：04010x y x y x -≤⎧⎪+-<⎨⎪-≥⎩，则使等式(2)(1)240t x t y t ++-++=成立的t 取值范围为（ ）A . 51--42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B . 51---+42⎛⎤⎛⎫∞⋃∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭，， C.5-14⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D 1-12⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 11.已知四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，⊥AB 平面BCD ，又3,2,4AB BC BD ===,且60CBD ∠=o ，则球O 的表面积为（ ）（A ）12π （B ） 16π （C ） 20π （D ）25π12、如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE=CD.若动点P 从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+u u u r u u u r u u u r，下列判断正确．．的是（ ）A.满足2λμ+=的点P 必为BC 的中点B.满足1λμ+=的点P 有且只有一个C.λμ+的最大值为3D.λμ+的最小值不存在二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13、设21eea dx x=⎰,则二项式261()-ax x 展开式中的常数项为。

河北省高考数学模拟试卷（理科）（解析版）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩C I S D．（M∩P）∪C I S【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．【解答】解：图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故选：C．【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．2．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．【解答】解：=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．3．已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A．B．2 C．4 D．6【分析】函数f（x+1）为偶函数，说明其定义域关于“0”对称，函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，说明f（x）的定义域（3﹣2a，a+1）关于“1”对称，由中点坐标公式列式可求a的值．【解答】解：因为函数f（x+1）为偶函数，则其图象关于y轴对称，而函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称．又函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），所以（3﹣2a）+（a+1）=2，解得：a=2．故选B．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了函数奇偶性的性质，函数的图象关于y轴轴对称是函数为偶函数的充要条件，此题是基础题．4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C． D．5πa2【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选B．【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．5．如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形，则该几何体的体积等于（）A．12πB．16πC．20πD．24π【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个半圆台挖去一个半圆柱的组合体，分别求出半圆台和半圆柱的体积，相减可得答案．【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是一个半圆台挖去一个半圆柱的组合体，半圆台的下底面为半径等于4，上底面为半径等于1，高为4，半圆柱的底面为半径等于1，高为4，=××π（12+1×4+42）×4﹣×π×12×4=12π．∴该几何体的体积为V几何体故选：A．【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值的集合是（）A．{1，2，3，4，5} B．{1，2，3，4，5，6} C．{2，3，4，5} D．{2，3，4，5，6}【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，构造关于a的不等式组，解不等式组可得正整数a的可能取值的集合．【解答】解：输入a值，此时i=0，执行循环体后，a=2a+3，i=1，不应该退出；再次执行循环体后，a=2（2a+3）+3=4a+9，i=2，应该退出；故，解得：1＜a≤5，故输入的正整数a的可能取值的集合是{2，3，4，5}，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知框图，采用模拟循环的方法，构造关于a 的不等式组，是解答的关键．7．已知点P是抛物线x2=4y上的一个动点，则点P到点M（2，0）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A． B．C．2D．【分析】利用抛物线的定义，将抛物线x2=4y上的点P到该抛物线准线的距离转化为点P到其焦点F的距离，当F、P、M共线时即可满足题意，从而可求得距离之和的最小值．【解答】解：∵抛物线x2=4y的焦点F的坐标为F（0，1），作图如下，∵抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1，设点P到该抛物线准线y=﹣1的距离为d，由抛物线的定义可知，d=|PF|，∴|PM|+d=|PM|+|PF|≥|FM|（当且仅当F、P、M三点共线时（P在F，M中间）时取等号），∴点P到点M（2，0）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为|FM|，∵F（0，1），M（2，0），△FOM为直角三角形，∴|FM|=，故选B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的运用，属于中档题．8．已知数列{a n}，{b n}，满足a1=b1=3，a n+1﹣a n==3，n∈N*，若数列{c n}满足c n=b，则c2013=（）A．92012B．272012 C．92013D．272013【分析】本题可先等差数列{a n}和等比数列{b n}的通项，再利用数列{c n}的通项公式得到所求结论．【解答】解：∵数列{a n}，满足a1=3，a n+1﹣a n=3，n∈N*，=a1+（n﹣1）d=3+3（n﹣1）=3n．∴an}，满足b1=3，=3，n∈N*，∵数列{bn∴．}满足c n=b，∵数列{cn=36039=272013．∴=b6039故选D．【点评】本题先利用等差数列和等比数列的通项公式求出数列的通项，再用通项公式求出新数列中的项，本题思维量不大，属于基础题．9．点（x，y）是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是（）A．B．C．D．【分析】由题设条件，目标函数z=x+ay，取得最小值的最优解有无数个值取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数中系数必为负，最小值应在左上方边界AC上取到，即x+ay=0应与直线AC平行，进而计算可得a值，最后结合目标函数的几何意义求出答案即可【解答】解：由题意，最优解应在线段AC上取到，故x+ay=0应与直线AC平行=，∵kAC∴﹣=1，∴a=﹣1，则=表示点P（﹣1，0）与可行域内的点Q（x，y）连线的斜率，由图得，当Q（x，y）=C（4，2）时，其取得最大值，最大值是=故选：B．【点评】本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，利用最优解的特征，判断出最优解的位置求参数，属于中档题．10．已知⊙O：x2+y2=1，若直线y=x+2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围为（）A．k≥1 B．k＞1 C．k≥2 D．k＞2【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为O（0，0）到直线y=x+2的距离小于或等于，再由点到直线的距离公式得到关于k的不等式求解．【解答】解：⊙O：x2+y2=1的圆心为：（0，0），半径为1，∵y=x+2上存在一点P，使得过P的圆O的两条切线互相垂直，∴在直线上存在一点P，使得P到O（0，0）的距离等于，∴只需O（0，0）到直线y=x+2的距离小于或等于，故，解得k≥1，故选：A．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，由题意得到圆心到直线的距离小于或等于是解决问题的关键，属中档题．11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．若f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2且f（x1）=x1，则关于x的方程3[（f（x）]2+2af （x）+b=0的不同实根个数为（）A．2 B．3 C．4 D．不确定【分析】由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，不妨设x1＜x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b＞0．解得x=．＜x2，∵x1=，x2=．∴x1而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，或x2．∴此方程有两解且f（x）=x1不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，①把y=f（x）向下平移x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．∵f（x1个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，②把y=f（x）向下平移x2）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．∵f（x1综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．故选：B．【点评】本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卡上．）13．若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为56 ．【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n的值，根据通项可求满足条件的系数【解答】解：由题意可得，∴n=8展开式的通项=令8﹣2r=﹣2可得r=5此时系数为=56故答案为：56【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力．14．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π≤φ＜π）的图象如图所示，则φ= ．【分析】根据函数的图象，求出周期，利用周期公式求出ω，当x=π时，y有最小值﹣1，以及﹣π≤φ＜π，求出φ即可．【解答】解：由图象知函数y=sin（ωx+φ）的周期为2（2π﹣）=，∴=，∴ω=．∵当x=π时，y有最小值﹣1，因此×+φ=2kπ﹣（k∈Z）．∵﹣π≤φ＜π，∴φ=．故答案为：【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，考查学生的视图用图能力，注意﹣π≤φ＜π的应用，考查计算能力．15．等差数列{a n}前n项和为S n．已知a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m= 10 ．【分析】利用等差数列的性质a n﹣1+a n+1=2a n，我们易求出a m的值，再根据a m为等差数列{a n}的前2m﹣1项的中间项（平均项），我们可以构造一个关于m的方程，解方程即可得到m的值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴a n﹣1+a n+1=2a n，+a m+1﹣a m2=0，∴2a m﹣a m2=0∵am﹣1解得：a m=2，又∵S2m﹣1=（2m﹣1）a m=38，解得m=10故答案为10．【点评】本题考查差数列的性质，关键利用等差数列项的性质：当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q，同时利用了等差数列的前n和公式．16．如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F分别为AB、AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的最大值是 6 ．【分析】由题意可得=+．由ME⊥MF，可得=0，从而=．求得=6cos＜，＞，从而求得的最大值．【解答】解：由题意可得=，∴==+．∵ME⊥MF，∴=0，∴=．由题意可得，圆M的半径为2，故正方形ABCD的边长为2，故ME=，再由OM=3，可得=3cos＜，＞=6cos＜，＞，即=6cos＜，＞，故的最大值是大为6，故答案为6．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦函数的值域，属于中档题．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．凸四边形PABQ中，其中A、B为定点，AB=，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1．（1）写出cosA与cosQ的关系式；（2）设△APB和△PQB的面积分别为S和T，求s2+T2的最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积．【分析】（1）在三角形PAB中，利用余弦定理列出关系式表示出PB2，在三角形PQB中，利用余弦定理列出关系式表示出PB2，两者相等变形即可得到结果；（2）利用三角形面积公式分别表示出S与T，代入S2+T2中，利用同角三角函数间的基本关系化简，将第一问确定的关系式代入，利用余弦函数的性质及二次函数的性质求出最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积即可．【解答】解：（1）在△PAB中，由余弦定理得：PB2=PA2+AB2﹣2PAABcosA=1+3﹣2cosA=4﹣2cosA，在△PQB中，由余弦定理得：PB2=PQ2+QB2﹣2PQQBcosQ=2﹣2cosQ，∴4﹣2cosA=2﹣2cosQ，即cosQ=cosA﹣1；（2）根据题意得：S=PAABsinA=sinA，T=PQQBsinQ=sinQ，∴S2+T2=sin2A+sin2Q=（1﹣cos2A）+（1﹣cos2Q）=﹣+cosA+=﹣（cosA ﹣）2+，当cosA=时，S2+T2有最大值，此时S四边形PABQ=S+T=．【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．（Ⅰ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；（Ⅱ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；（Ⅲ）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．【分析】（I）由茎叶图可知：有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，据此利用古典概型的概率计算公式即可得出；（II）由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标．据此可得得出其概率；（III）由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标，利用“超几何分布”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，因为有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，故P（A）==．（Ⅱ）记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B，P（B）==．（Ⅲ）ξ的可能值为0，1，2，3．由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标．P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=．ξ的分布列如下表：ξ0 1 2 3P∴Eξ=．【点评】正确理解茎叶图和“空气质量超标”的含义、古典概型的概率计算公式、超几何分布、排列与组合的意义与计算公式是解题的关键．20．已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，＞0，k i≠3，i=1，2，∵ki∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x ∈（﹣∞，0）时，f'（x ）＜0；当x ∈（0，+∞）时，f'（x ）＞0． 故f （x ）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II ）f ′（x ）=e x﹣1﹣2ax由（I ）知e x≥1+x ，当且仅当x=0时等号成立．故f ′（x ）≥x ﹣2ax=（1﹣2a ）x ，从而当1﹣2a ≥0，即时，f ′（x ）≥0（x ≥0），而f （0）=0，于是当x ≥0时，f （x ）≥0．由e x＞1+x （x ≠0）可得e ﹣x＞1﹣x （x ≠0）． 从而当时，f ′（x ）＜e x﹣1+2a （e ﹣x﹣1）=e ﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a ），故当x ∈（0，ln2a ）时，f'（x ）＜0，而f （0）=0，于是当x ∈（0，ln2a ）时，f （x ）＜0． 综合得a 的取值范围为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点． （1）证明：EF ∥BC ；（2）若AG 等于⊙O 的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF 的面积．【分析】（1）通过AD 是∠CAB 的角平分线及圆O 分别与AB 、AC 相切于点E 、F ，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD 是EF 的垂直平分线，连结OE 、OM ，则OE ⊥AE ，利用S △ABC ﹣S △AEF 计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016张家口模拟）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．θ=与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．【分析】（1）将曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．代入曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），即可解得：a，b．即可得出普通方程．设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ，将点D（，）解得R可得圆C2的方程为：ρ=2cosθ，即可化为直角坐标方程．（2）将A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+）代入C1得：，代入+即可得出．【解答】解：（1）将曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．代入曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），得：解得：，的方程为：（φ为参数），即：．∴曲线C1设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ，将点D（，）代入得：=2R×，∴R=1的方程为：ρ=2cosθ即：（x﹣1）2+y2=1．∴圆C2（2）将A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+）代入C1得：，∴+=（）+（）=．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、参数方程化为普通方程、圆的标准方程、椭圆的方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（2+3+c1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．。

2021届高考全国一卷理科数学全真模拟(一)含答案解析卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 14 小题 ，共计70分 ， ）1. （5分） 已知集合A ={x|x ≤−12}，B ={x|1<(12)x<2}，则(∁R A)∩B =( ) A.{x|−12≤x <0} B.{x|−12<x <0} C.{x|−1≤x <−12} D.{x|−1<x <−12}2. （5分） 已知复数z =(1+i)21−i，则|z|=( )A.1B.√2C.√3D.√53. （5分） 设a =log 2018√2019，b =log 2019√2018，c =201812019，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a4. （5分） 用0.618法选取试点，实验区间为[2, 4]，若第一个试点x 1处的结果比x 2处好，x 1>x 2，则第三个试点应选取在（ ） A.2.236 B.3.764 C.3.528 D.3.9255. （5分） 函数f (x )=|x|−ln |x|x的图象大致为（ ）A. B.C. D.6. （5分） 用a 表示掷一枚质地均匀的骰子向上的点数，则方程3x 2+2ax +3=0有两个不等实根的概率为( ) A.23B.12C.13D.167. （5分） 在Rt △ABC 中，点D 为斜边BC 的中点，|AB →|=8，|AC →|=6，则AD →⋅AB →=（ ） A.48 B.40C.32D.168. （5分） 若执行如图所示的程序框图，则输出的m =A.8B.11C.10D.99. （5分） 已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且2a 1+3a 3=S 6，则以下结论正确是（ ）A.a10=0B.S10最小C.S7=S12D.S19=010. （5分）已知点M(x0, y0)(x0y0≠0)是椭圆C:x24+y2=1上的一点F1，F2是椭圆C的左、右焦点，MA是∠F1MF2的平分线若F1B⊥MA，垂足为B，则点B到坐标原点O的距离d的取值范围为（）A.(0, 1)B.(0, 32) C.(0, √3) D.(0, 2)11. （5分）关于函数f(x)=cos|x|+|cos x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(−π2,0)上单调递增；③f(x)在[−π,π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确的编号是( )A.①②④B.②④C.①④D.①③12. （5分）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2BC=2，若此长方体的八个顶点都在体积为9π2的球面上.则此长方体的表面积为( )A.16B.18C.20D.2213. （5分）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S=√14[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式，若a cos B+(b+3c)cos A=0，且a2−b2−c2=2，则△ABC的面积为（）A.√2B.2√2C.√6D.2√314. （5分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin A=2，b(tan A+tan B)= 2c tan B，则△ABC面积最大值为（）A.√63B.2√33C.√64D.3√34卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）15. 若直线y＝kx+b是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝e x−2的切线，则b＝________．16. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4、S 2、S 3成等差数列，且a 2+a 3+a 4=−18，若S n ≥2016，则n 的取值范围为________．17. 某工厂在实验阶段大量生产一种零件，这种零件有A ，B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为12，至少一项技术指标达标的概率为34.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，任意依次抽取该种零件4个，设ζ表示其中合格品的个数，则E ζ________.18. 已知双曲线 C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 上存在两点A ，B 关于直线 y =x −8 对称，且线段AB 的中点在直线 x −2y −14=0 上，则双曲线的离心率为________. 三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 12 分 ，共计60分 ， ）19. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱CC 1⊥底面ABC ，且CC 1=2AC =2BC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，点M 在侧棱CC 1上运动．(1)当M 是棱CC 1的中点时，求证：CD // 平面MAB 1；(2)当直线AM 与平面ABC 所成的角的正切值为32时，求二面角A −MB 1−C 1的余弦值．20. 已知抛物线C:x 2=2y ，过点A (0,1)且互相垂直的两条动直线l 1,l 2与抛物线C 分别交于P ，Q 和M ，N . (1)求四边形MPNQ 面积的取值范围；(2)记线段PQ 和MN 的中点分别为E ，F ，求证：直线EF 恒过定点.21. 已知f(x)=x −12(ln x)2−k ln x −1(k ∈R). (1)若f(x)是(0，+∞)上的增函数，求k 的取值范围；(2)若函数f(x)有两个极值点，判断函数f(x)零点的个数.22. 某地农民种植A 种蔬菜，每亩每年生产成本为7000元，A 种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双重影响，预计明年雨水正常的概率为23，雨水偏少的概率为 13．若雨水正常，A 种蔬菜每亩产量为2000公斤，单价为6元/公斤的概率为14，单价为3元/公斤的概率为34； 若雨水偏少，A 种蔬菜每亩产量为1500公斤，单价为6元/公斤的概率为 23，单价为3元/公斤的概率为13． （1）计算明年农民种植A 种蔬菜不亏本的概率；（2）在政府引导下，计划明年采取“公司加农户，订单农业”的生产模式，某公司未来不增加农民生产成本，给农民投资建立大棚，建立大棚后，产量不受天气影响，因此每亩产量为2500公斤，农民生产的A 种蔬菜全部由公司收购，为保证农民的每亩预期收入增加1000元，收购价格至少为多少？23. 某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC 的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE 需把基地分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上．（1）设AD =x(x ≥10)，ED =y ，试用x 表示y 的函数关系式；（2）如果DE 是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE 的位置应该在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应该在哪里？说明理由．参考答案与试题解析 2020年7月10日高中数学一、 选择题 （本题共计 14 小题 ，共计70分 ） 1.【解答】解：因为B ={x|1<(12)x<2}，所以B ={x|−1<x <0}， 因为集合A ={x|x ≤−12}， 所以∁R A ={x|x >−12}，(∁R A)∩B ={x|−12<x <0}. 故选B . 2. 【解答】解：复数z =(1+i)21−i=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=i −1， 则|z|=√12+(−1)2=√2． 故选B . 3. 【解答】解：∵ c =201812019>20180=1，1=log 20182018>a =log 2018√2019=12log 20182019>12，b =log 2019√2018=12log 20192018<12，∴ a ，b ，c 的大小关系为c >a >b ． 故选C . 4.【解答】解：由已知试验范围为[2, 4]，可得区间长度为2，利用0.618法选取试点：x 1=2+0.618×(4−2)=3.236，x 2=2+4−3.236=2.764，∵x1处的结果比x2处好，则x3为4−0.618×(4−3.236)=3.528故选C．5.【解答】解：由函数解析式得：x≠0，函数f(x)是偶函数，排除C，D；x>0时，f(x)=x−ln xx2，f′(x)=1−1x+2ln xx3，且f′(1)=0，所以f(x)的极值点为1，故排除A．故选B．6.【解答】解：Δ=(2a)2−4×3×3>0,解得a>3或a<−3（舍），∴ a=4,5,6,∴ P=36=12.故选B.7.【解答】此题暂无解答8.【解答】此题暂无解答9.【解答】解：设等差数列的公差为，，，化为：，即，给出下列结论：．，正确；．，可能大于，也可能小于，因此不正确；．，正确；．，正确．故选，，．10.【解答】方法一：由题意可知B为F1N的中点，连接OB，所以|OB|=12|F2N|=12(|MN|−|MF2|)，由|MN|＝|MF1|，所以|OB|=12(|MN|−|MF2|)=12(|MF1|−|MF2|)<12|F1F2|=√3，所以0<|OB|<√3；方法二：当点M在椭圆与y轴交点处时，点B与原点O重合，此时|OB|取最小值0．当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OB|取最大值√3．因为x0y0≠0，所以|OB|的取值范围是(0, √3)．11.【解答】解：①f(−x)=cos|−x|+|cos(−x)|=cos|x|+|cos x|=f(x)，∴f(x)是偶函数，故①正确；②当x∈(−π2,0)时，f(x)=cos x+cos x=2cos x，此时f(x)在(−π2,0)单调递增，故②正确；③当x∈[π2,π]时，f(x)=cos x−cos x=0，此时有无数个零点，故③错误；④当x>0时，f(x)=cos x+|cos x|≤|cos x|+|cos x|≤2，当x=π2+2kπ(k≥0,k∈Z)等号成立，又∵f(x)是偶函数，∴f(x)的最大值为2，故④正确.故选A.12.【解答】解：由球体积为9π2知，球半径R=32，又(2R)2=AB2+BC2+AA12，所以AA1=2，所以长方体的表面积为2×(2×2+2×1+2×1)=16. 故选A.13.【解答】解：由a cos B+(b+3c)cos A=0及正弦定理，可得sin A cos B+cos A sin B+3sin C cos A=0，即sin(A+B)+3sin C cos A=0，即sin C(1+3cos A)=0，因为sin C≠0，所以cos A=−13，由余弦定理可得a2−b2−c2=−2bc cos A=23bc=2，解得bc=3，由△ABC的面积公式可得，S=√14[(bc)2−(c2+b2−a22)2]=√14[32−(−1)2]=√2.14.【解答】解：∵asin A=2，∴由正弦定理asin A =bsin B=csin C，可得b=2sin B，c=2sin C，∵b(tan A+tan B)=2c tan B，可得b(sin Acos A +sin Bcos B)=2c⋅sin Bcos B，∴由正弦定理可得：sin B(sin Acos A +sin Bcos B)=2sin C⋅sin Bcos B，整理可得：sin B⋅sin A cos B+sin B cos Acos A cos B =2sin C⋅sin Bcos B，∴sin B⋅sin Ccos A cos B =2sin C⋅sin Bcos B，∵sin C≠0，sin B≠0，cos B≠0，∴解得cos A=12，由A∈(0, π)，可得A=π3，∴S△ABC=12bc sin A=√34bc=√34×2sin B×2sin C=√3sin B sin C=√3sin B sin(2π3−B)=√3sin B(√32cos B+12sin B)=√32sin(2B−π6)+√34，∵B∈(0,2π3)，∴2B−π6∈(−π6, 7π6)，∴S△ABC=√32sin(2B−π6)+√34≤3√34，当且仅当2B−π6=π2，即B=π3时等号成立，∴△ABC面积最大值为3√34．故选D.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）15.设y＝kx+b与y＝e x−2和y＝ln x的切点分别为(x1, e x1−2)、(x2, ln x2)；由导数的几何意义可得k=e x1−2=1x2，曲线y＝e x−2在(x1, e x1−2)处的切线方程为y−e x1−2=e x1−2(x−x1)，即y=e x1−2⋅x+(1−x1)e x1−2，曲线y＝ln x在点(x2, ln x2)处的切线方程为y−ln x2=1x2(x−x2)，即y=1x2x+ln x2−1，则{e x1−2=1x2(1−x1)e x1−2=ln x2−1，∴(1x2−1)(ln x2−1)＝0，解得x2＝1，或x2＝e．当x2＝1时，切线方程为y＝x−1，即b＝−1，当x2＝e时，切线方程为y=xe，b＝0．∴b＝−1或0．16.【解答】解：设等比数列的公比为，∵、、成等差数列，∴，∴，又，∴，解得，∵，∴，化为，当为偶数时，不成立，舍去．当为奇数时，化为，解得：．∴的取值范围为大于等于的奇数．故答案为：大于等于的奇数．17.【解答】解：由题得至少一项技术指标达标的概率为34，故不合格的概率为14，又因为有且仅有一项技术指标达标的概率为12，所以合格品的概率为P=1−12−14=14.故Eζ=4×14=1. 故答案为：1. 18.【解答】解：设，，线段的中点的坐标为，则有由②①得，.∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴∵点在直线上，∴，∴，，∴，，即双曲线的离心率为.故答案为：.三、解答题（本题共计 5 小题，每题 12 分，共计60分）19.【解答】(1)证明：取线段AB的中点E，连接DE，EM．∵AD=DB，AE=EB，∴DE // BB1，ED=1BB1，2BB1．又M为CC1的中点，∴CM // BB1，CM=12∴四边形CDEM是平行四边形．∴CD // EM，又EM⊂MAB1，CD⊄MAB1∴CD // 平面MAB1；(2)解：∵CA，CB，CC1两两垂直，∴ 以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．∵ 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱CC 1⊥底面ABC ，可得∠MAC 为直线AM 与平面ABC 所成的角，设AC =1，tan ∠MAC =32，得CM =32∴ C(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，B 1(0, 1, 2)，M(0, 0, 32)，AM →=(−1,0,32)，AB 1→=(−1,1,2) 设AMB 1的法向量为n →=(x,y,z)，{AM →⋅n →=−x +32z =0AB 1→⋅n →=−x +y +2z =0 可取n →=(3,−1,2)又平面B 1C 1CB 的法向量为CA →=(1,0,0)．cos <n →,CA →>CA →⋅n→|n →||CA →|=3√1414． ∵ 二面角A −MB 1−C 1为钝角，∴ 二面角A −MB 1−C 1的余弦值为−3√1414．20.【解答】(1)解：由题意可知：两直线l 1，l 2的斜率一定存在，且不等于0，设l 1：y =kx +1(k ≠0)，P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2) ，则 l 2：y =−1k x +1(k ≠0)， 联立直线l 1与抛物线的方程得：{y =kx +1，x 2=2y ，⇒x 2−2kx −2=0，其中Δ=4k 2+8>0 ,由韦达定理得：{x 1+x 2=2k ，x 1x 2=−2，由上可得|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√(1+k 2)(8+4k 2) ，同理 |MN|=√(1+1k 2)(8+4k 2)， 则四边形MPNQ 面积S =12|PQ||MN|=12√(2+k 2+1k 2)(80+32k 2+32k 2)， 令k 2+1k 2=t ≥2，则S =12√(2+t)(80+32t)=√8t 2+36t +40， ∴ 当且仅当t =2 ，即 k =±1 时 ，S 取得最小值12， 且当 t →+∞ 时，S →+∞，故四边形MPNQ 面积的范围是[12,+∞).(2)证明：由(1)有x 1+x 2=2k ，y 1+y 2=2k 2+2，∴ PQ 的中点E 的坐标为(k,k 2+1) ，同理点 F 的坐标为 (−1k ,1k 2+1)，于是，直线EF 的斜率为：k EF =k 2+1−(1k 2+1)k+1k =k 2−1k 2k+1k =k −1k ， 则直线EF 的方程为：y −(k 2+1)=(k −1k )(x −k)⇒y =(k −1k )x +2，∴ 直线EF 恒过定点(0,2).21.【解答】解：(1)由f(x)=x−12(ln x)2−k ln x−1得：f′(x)=x−ln x−kx，由题意知f′(x)≥0恒成立，即x−ln x−k≥0，设F(x)=x−ln x−k，F′(x)=1−1x，x∈(0,1)时，F′(x)<0，F(x)递减，x∈(1,+∞)时，F′(x)>0，F(x)递增；故F(x)min=F(1)=1−k≥0，即k≤1，故k的取值范围是(−∞,1].(2)当k≤1时，f(x)单调，无极值；当k>1时，F(1)=1−k<0，一方面，F(e−k)=e−k>0，且F(x)在(0,1)递减，所以F(x)在区间(e−k,1)有一个零点.另一方面F(e k)=e k−2k，设g(k)=e k−2k(k>1)，则g′(k)=e k−2>0，从而g(k)在(1,+∞)递增，则g(k)>g(1)=e−2>0，即F(e k)>0，又F(x)在(1,+∞)递增，所以F(x)在区间(1,e k)有一个零点. 因此，当k>1时，f′(x)在(e−k,1)和(1,e k)各有一个零点，将这两个零点记为x1，x2(x1<1<x2)，当x∈(0,x1)时，F(x)>0，即f′(x)>0；当x∈(x1,x2)时，F(x)<0，即f′(x)<0；当x∈(x2,+∞)时F(x)>0，即f′(x)>0；从而f(x)在(0,x1)递增，当(x1,x2)递减，在(x2,+∞)递增；于是x1是函数的极大值点，x2是函数的极小值点.下面证明：f(x1)>0，f(x2)<0由f′(x1)=0得x1−ln x1−k=0，即k=x1−ln x1，由f(x1)=x1−12(ln x1)2−k ln x1−1得f(x1)=x1−12(ln x1)2−(x1−ln x1)ln x1−1=x1+12(ln x1)2−x1ln x1−1,令m(x)=x+12(ln x)2−x ln x−1,则m′(x)=(1−x)ln xx，①当x∈(0,1)时，m′(x)<0，m(x)递减，m(x)>m(1)=0，x1<1，故f(x1)>0；②当x∈(1,+∞)时m′(x)<0，m(x)递减，则m(x)<m(1)=0，x2>1，故f(x2)<0；一方面，因为f(e−2k)=e−2k−1<0，又f(x1)>0，且f(x)在(0,x1)递增，所以f(x)在(e−2k,x1)上有一个零点，即f(x)在(0,x1)上有一个零点.另一方面，根据e x>1+x(x>0)得e k>1+k，则有：f(e4k)=e4k−12k2−1>(1+k)4−12k2−1=k4+4k(k−34)2+74k>0又f(x2)<0，且f(x)在(x2,+∞)递增，故f(x)在(x2,e4k)上有一个零点，即f(x)在(x2,+∞)上有一个零点.又f(1)=0，故f(x)有三个零点.22.【解答】解：（1）只有当价格为6元/公斤时，农民种植A种蔬菜才不亏本所以农民种植A种蔬菜不亏本的概率是P=23×14+13×23=718，（2）按原来模式种植，设农民种植A种蔬菜每亩收入为ξ元，则ξ可能取值为：5000，2000，−1000，−2500．P(ξ=5000)=23×14=16，P(ξ=2000)=13×23=29，P(ξ=−1000)=23×34=12，P(ξ=−2500)=13×13=19，Eξ=5000×16+2000×29−1000×12−2500×19=500，设收购价格为a元/公斤，农民每亩预期收入增加1000元，则2500a≥700+1500，即a≥3.4，所以收购价格至少为3.4元/公斤，23.【解答】解：（1）∵的边长是米，在上，则，，∴，故，在三角形中，由余弦定理得：，；（2）若作为输水管道，则需求的最小值，∴，当且仅当即时“”成立．。