圆梦2015·高三年级理科数学仿真模拟试题(3)精美word版

2015级高三二诊模拟试题（三）数学（理工类）参考答案一、选择题：CBABA DDACA BC二、填空题：13．214．71015．60． 16．(){},12-∞⋃三、解答题：17．解：（1）由图象可知{A +B =1−A +B =⇒A =2,B =−1，又由于T2=7π12−π12⇒T =π，所以w =2πT=2，由图象及五点法作图可知：2×π12+φ=π2，所以φ=π3，所以f (x )=2sin(2x +π3)−1.（2）由（1）知，f (x )=2sin(2x +π3)−1， 令2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2,k ∈Z ， 得kπ−5π12≤x ≤kπ+π12,k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12],k ∈Z ， 令2x +π3=kπ,k ∈Z ，得x =kπ2−π6,k ∈Z ，所以f (x )的对称中心的坐标为(kπ2−π6，−1),k ∈Z . （3）由已知的图象变换过程可得：g (x )=2sin(x +2π3)，因为0≤x ≤7π6，所以2π3≤x +2π3≤11π6，所以当x +2π3=3π2，得x =5π6时，g (x )取得最小值g (5π6)=−2，当x +2π3=2π3时，即x =0g (x )取得最大值g (0)= 18．解：（1）∵2(1)n n S na n n =--①，∴11(1)2(1)n n S n a n n ++=+-+②； ②-①得，11(1)4n n n a n a na n ++=+--，∴14n n a a +-=， 3分又∵等比数列{}n b ，5352T T b =+， ∴535452T T b b b -=⇒=，1q =，∴11a =， ∴数列{}n a 是1为首项，4为公差的等差数列，∴14(1)43n a n n =+-=-； 6分（2）由（1）可得111111()(43)(41)44341n n a a n n n n +==--+-+， ∴11111111(1)(1)45594341441n M n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=--++， 10分 n M 在*n N ∈时单调递增，∴111(1)454n M -≤<，即1154n M ≤<． 12分19．解析：（1）2袋食品都为废品的情况为①2袋食品的三道工序都不合格 ．②有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有两道工序不合格． ③两袋都有两道工序不合格 ， 所以2袋食品都为废品的概率为 ． （2），，．.20． 【解析】（1）设点的坐标分别为，则故，可得，所以，故，所以椭圆的方程为．211111()4353600P =⨯⨯=12213111211141()60435435435200P C =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=233111211149()435435435400P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=123136P P P P =++=ξ0,1,2,3=3241(0)(1)(1)(1)43560P ξ==-⨯-⨯-=3111211143(1)43543543520P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=12431432113(2)43543543530P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=3242(3)4355P ξ==⨯⨯=1232030560E ξ∴=⨯+⨯+⨯=（2）设的坐标分别为，则， 又，可得，即，又圆的圆心为半径为，故圆的方程为， 即，也就是， 令，可得或2，故圆必过定点和．21．.【解析】（1）当1a =-时，()()222ln 2f x x x x x =--+，定义域()0,+∞，()()()22ln 22f x x x x x '=-+--，()13f '∴=-，又()11f =，()f x 在()()1,1f 处的切线方程340x y +-=；（2）（ⅰ）令()()20g x f x x =--=，则()222ln 22x x x ax x -⋅++=+，即()12ln x xa x--=，令()()12ln x x h x x--=， 则()2221122ln 12ln x x xh x x x x x ---'=--+=， 令()12ln t x x x =--，()221x t x x x+'=--=-，()0t x '< ，()t x 在()0,+∞上是减函数，又()()110t h '== ，所以当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<， 所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 11h x h ∴==， 所以当函数()g x 有且仅有一个零点时1a =；（ⅱ）当1a =，()()222ln g x x x x x x =-+-，若2e x e -<<，()g x m ≤，只需证明()max g x m ≤， ()()()132ln g x x x '=-⋅+，令()0g x '=，得1x =或32x e -=，又2e x e -<< ，∴函数()g x 在322,e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在32,1e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e 上单调递增又33322122g e e e ---⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()223g e e e =-，()333322213222222g e e e e e e e g e ----⎛⎫⎛⎫=-+<<<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()32g e g e -⎛⎫< ⎪⎝⎭，()()2max 23g x g e e e ∴==-，223m e e ∴≥-.22．解析：（1）直线l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2−2ρcos θ−4ρsin θ+1=0；（2）θ=α，代入ρ2−2ρcos θ−4ρsin θ+1=0，得ρ2−2ρcos α−4ρsin α+1=0， 显然ρ1>0,ρ2>0,1|OA |+1|OB |=ρ1+ρ2ρ1ρ2=2cos α+4sin α=2 5cos(α−φ)≤2 5，所以1|OA |+1|OB |的最大值为2 5. .23．（I ）当1a=时，()1f x >化为12110x x +--->，当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<。

2015年高三数学理科模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数221z i i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( )A.22B. 2C. 3D. 2 2．设a ∈R ，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与直线2:20l x y a +-=平行”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3．设函数()2xf x =，则下列结论中正确的是( ) A. (1)(2)(2)f f f -<<- B. (2)(1)(2)f f f -<-<C. (2)(2)(1)f f f <-<-D. (1)(2)(2)f f f -<-<4．设等差数列{n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-(m ∈N *,且2m ≥)，则必定有( )A. 0m S >，且10m S +<B. 0m S <，且10m S +>C. 0m S >，且10m S +>D. 0m S <，且10m S +<5．已知实数x ∈[1，9]，执行如图所示的流程图， 则输出的x 不小于55的概率为( ) A.14B.23C.28D.386．某几何体的立体图如图所示，该几何体的三视图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为13,则实数a 的值为( )A. 14B.14或23C.23D.23或348．设双曲线22143x y-=的左,右焦点分别为12,F F,过1F的直线l交双曲线左支于,A B两点,则22BF AF+的最小值为( )A.192B. 11C. 12D. 169．已知集合{}(,)(1)(1)A x y x x y y r=-+-≤，集合{}222(,)B x y x y r=+≤，若BA⊂，则实数r可以取的一个值是( )A. 21+ B. 3 C. 2 D.212+10．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x xf xf x x⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x=-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 711．设等差数列{}na满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin1sin()a a a a a aa a-+-=+，公差(1,0)d∈-.若当且仅当9n=时，数列{}n a的前n项和n S取得最大值，则首项1a的取值范围是( )A.74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.43,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知椭圆，过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，交y轴于P点．设，则λ1+λ2等于（）A．B．C．D．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．从3,2,1,0中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是(用数字回答)．14．若整数．．,x y满足不等式组70y xx yx-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2x y+的最大值为15．已知正三棱锥P﹣ABC中，E、F分别是AC，PC的中点，若EF⊥BF，AB=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．16．设P（x，y）为函数y=x2﹣1图象上一动点，记，则当m最小时，点P的坐标为．三．解答题。

2015届高三模拟试题 数学（理）试题本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1.设n S 是等差数列{a n }的前n 项和，5283()S a a =+，则53a a 的值为( ) A.16 B. 13 C. 35 D. 562、如果)(x f '是二次函数, 且)(x f '的图象开口向上,顶点坐标为（1,3）, 那么曲线)(x f y =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是 （ ）A ．]3,0(πB ．)2,3[ππC ．]32,2(ππ D ．),3[ππ3、在ABC △中，3==BC AB ，︒=∠30ABC ，AD 是边BC 上的高，则AC AD ⋅的值等于（ ）A ．0B ．49C ．4D ．49-4、已知数列为等比数列，且.64,495==a a ,则=（ ）A ．8B .16±C ．16D ．8±5、已知等比数列{}n a 的公比2=q ，且462,,48a a 成等差数列，则{}n a 的前8项和为（ ） A. 127B. 255C. 511D. 10236、已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,2A ϕ><）的部分图象如右图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ）A.向右平移π6个长度单位 B.向右平移π12个长度单位C.向左平移π6个长度单位 D.向左平移π12个长度单位 7、函数0.5()2|log |1xf x x =-的零点个数为（ ） A. 1B.2C. 3D.48若AB 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ）A B C D ．()1,+∞ 9、在△ABC 所在平面上有三点P 、Q 、R ，满足，→→→→=++AB PC PB PA→→→→→→→→=++=++CA RC RB RA BC QC QB QA ，，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:5 10、已知函数1()(*)n f x x n N +=∈的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为（ ）A ．－1B ． 1－log 20132012C ．-log 20132012D ．111、定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是 （ ）A ．)22,0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66,0( 12、已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，若方程()(0)f x m m =>，在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++＝（ ）A ．－12B ．－8C ．－4D ．42014届高三模拟试题 数学（理）试题第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13、由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是14、在等比数列{}n a 中，若,81510987=+++a a a a 8998-=⋅a a ，则=+++109871111a a a a 。

2015届山东省济宁市鱼台县第一中学高三第三次模拟考试数学（理）试题本试卷分第І卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号，并将条形码粘贴在答题卡指定的位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卡面清洁，不折叠、不破损。

第 I 卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U=R,集合A={x|-2≤x<0},B={x|2x-1<41},则C R （A∩B）=（ ） A ．（-∞,-2）∪[-1,+∞] B ．（-∞,-2]∪（-1,+∞）C ．（-∞,+∞）D ．（-2,+∞）2．已知i 是虚数单位，则ii 13+=A ．i 2-B ．i 2C ．i -D ．i3．已知命题01,:;25sin ,:2>+∈∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使R ，.01,:;25sin ,:2>++∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使01,:;5sin ,:2>++∀=∈∃x x R q x R x p 都有命题使，.01,:;25sin ,2>+∈=∈x R q x R x 都有命题使给出下列结论： ①命题“q p ∧”是真命题 ②命题“q p ⌝∧”是假命题③命题“q p ∨⌝”是真命题 ④命题“q p ⌝∨⌝”是假命题其中正确的是 A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③4．等差数列}{n a 的前n 项和为n S （n ＝1,2,3，…），若当首项1a 和公差d 变化时，1185a a a ++是一个定值，则下列选项中为定值的是A ．17SB ．16SC ．15SD ．14S5．设随机变量X 服从正态分布)8,6(N ,若)52()2(-<=+>a X P a X P 则=aA ．6B ．5C ．4D ．36．下列哪个函数的图像只需平移变换即可得到()sin cos f x x x =+的函数图像A ．1()2sin 2f x x =+B ．2()sin f x x =C ．3()2(sin cos )f x x x =+D ．4()2cos (sin cos )222x x xf x =+7．已知若干个正方体小木块堆放在一起形成的组合体的三视图如图所示，则所需小木块最少有多少个A ．7个B ．8 个C ．9个D ．10个8．已知实数1[∈x ，]10，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为A ．31B ．94C ．52D ．103 9．已知实数y x ,满足⎩⎨⎧≤++≤++1|||22||12|y y x y x ，则y x Z -=2的最小值是A ．3B ．3-C ．5D ．5-10．如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为A ．4B ．7C ．332 D ．311．定义在R 上的函数()(2)()1,[0,1],()4xf x f x f x x f x +=+∈=满足且时，(1,2)x ∈ 时，(1)()f f x x=，令4)(2)(--=x x f x g ]2,6[-∈x 则 函 数)(x g 的零点个数为 A ．9B ．8C ．7D ．612．在四面体ABCD 中，已知060=∠=∠=∠CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球半径为 A ．23B ．3C ．23D ．3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分, 共20分。

2015年高考数学模拟金卷（三）（说明：本套试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1. 已知集合P={x1≤2x0），- （x0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则 ? 的取值范围为（）A. [3-2 ，+∞）B. [3+2 ，+∞）C. - ，+∞D. ，+∞10. （理）已知点Pn（xn，yn）（n=1，2，3，…）在双曲线 - =1的右支上，F1，F2为双曲线的左、右焦点，且满足P1F2⊥F1F2，Pn+1F2=PnF1，则数列{xn}的通项公式为（）A. 4n-2B. 4n-1C.D.（文）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈[-1，1]时， f（x）=1-x2，函数g（x）=lgx（x>0），- （x0）焦点F恰好是双曲线 - =1的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为________.15. （理）用[a]表示不大于a的最大整数. 令集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和m∈N？鄢，定义f（m，k）= m ，集合A={m m∈N？鄢，k∈P}，并将集合A中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列{an}. 试比较f（1，3）与a9的大小____________（用不等号连接）. （文）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.16. （本小题满分13分）已知向量m=（ sin2x+2，cosx），n=（1，2cosx），设函数f（x）=m?n.（1）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值.17. （本小题满分13分）（理）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）. 下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品. 用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）.（文）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分. 用xn表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选取2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率.18. （本小题满分13分）（理）一个四棱锥的直观图和三视图如图3和图4所示，E为侧棱PD的中点.（1）指出几何体的主要特征（高及底的形状）；（2）求证：PB∥平面AEC；（3）若F为侧棱PA上的一点，且=λ，则λ为何值时，PA⊥平面BDF？并求此时直线EC与平面BDF所成角的正弦值.（文）如图5，在五面体ABCDEF中，AD∥BE∥CF，且AD⊥平面ABC，H为CF的中点，G为AB上的一点，AG=λAB（00）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为4 ，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.（文）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一些次品，根据经验知道，次品数P（万件）与日产量x（万件）之间满足关系：P= x2，1≤x0）.（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）讨论函数f（x）在区间（1，e2）上零点的个数（e为自然对数的底数）.（文）同理科第19题.21. （本小题满分14分）（理）已知等比数列{an}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{bn}满足2n2-（t+bn）n+ bn=0（t∈R，n∈N*）.（1）求数列{an}的通项公式；（2）试确定t的值，使得数列{bn}为等差数列；（3）当{bn}为等差数列时，对任意正整数k，在ak与ak+1之间插入b k个2，得到一个新数列{cn}. 设T n是数列{cn}的前n项和，试求满足Tm=2cm+1的所有正整数m的值.（文）形如a bc d的式子叫做二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算a bc d?xy=ax+bycx+dy. 该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵a bc d的作用下变换成点（ax+by，cx+dy）.（1）设点M（-2，1）在0 11 0的作用下变换成点M′，求点M′的坐标；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，点A（Sn，n）在0 11 0的作用下变换成的点A′在函数f（x）=x2+x的图象上，求an 的表达式；（3）在（2）的条件下，设bn为数列1- 的前n项的积，是否存在实数a使得不等式？摇bn希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价。

图1圆梦2015·高三数学（理）仿真模拟二一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{2,0,1,4}A =，{04,R}=<≤∈B x x x ，C AB =．则集合C 可表示为A ．{2,0,1,4}B ． {1,2,3,4}C ．{1,2,4}D ． {04,R}x x x <≤∈2.复数z 满足(1i)1z -=（其中i 为虚数单位），则z =A ．11i 22- B ．11i 22+ C ．11i 22-+ D ．11i 22--3．下列函数中，为奇函数的是A ．122x x y =+B ．{},0,1y x x =∈C ．sin y x x =⋅D ．1,00,01,0x y x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩4．“1ω=”是“ 函数()cos f x x ω=在区间[]0,π上单调递减”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．执行如图1所示的程序框图，则输出的a 的值为 （注：“2a =”，即为“2a ←”或为“:2a =”．） A ．2 B ．13C ．12- D ．3-6．412x x -(的展开式中常数项为A ．12B ．12-C ．32D ．32-7．如图2，在矩形OABC 内：记抛物线21y x =+与直线1y x =+ 围成的区域为M （图中阴影部分）．随机往矩形OABC 内投一点P ，则点P 落在区域M 内的概率是 A ．118 B ．112C ．16 D ．1311+8.在平面直角坐标系中，定义两点11(,)P x y 与22(,)Q x y 之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-．给出下列命题：（1）若(1,2)P ，(sin ,2cos )()Q R ααα∈，则(,)d P Q的最大值为3 （2）若,P Q 是圆221x y +=上的任意两点，则(,)d P Q的最大值为 (3) 若(1,3)P ，点Q 为直线2y x =上的动点，则(,)d P Q 的最小值为12． 其中为真命题的是 A ．（1）（2）（3） B ．（1）（2） C ．（1）(3) D ． (2)(3)二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．函数f x ()的定义域为 ．10．某几何体的三视图如图3所示，其正视图是边长为2的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几何体的体积是 ．11.已知双曲线2222:1x y C a b -=与椭圆22194x y +=有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则双曲线C 的方程为 ．12. 设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量2,x y m =-()a ，1,1=-()b ．若// a b ，则实数m 的最大值为 ．13.在数列{}n a 中，已知24a =， 315a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a = ． （二）选做题：第14、15题为选做题，只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线1C 的参数方程为,x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ-=-．则曲线1C 与曲线2C 的交点个数为________个．图415．（几何证明选讲选做题）如图4，已知AB 是⊙O 的直径，TA是⊙O 的切线，过A 作弦//AC BT ，若4AC =，AT =，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像经过点π(,1)12． （1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若222a b c ab +-=，且π()2122A f +=．求sin B ． 17.（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图5（1））：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定 义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2．（1）试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图（如图5(2)）．（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购 达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．图5(1) (2)18．（本小题满分14分）如图6所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ， BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==．（1）求证：//AF 平面CDE ； （2）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值； （3）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *++=+∈． （1）求1a ，2a 的值； （2）求n a ； （3）设1n nn b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．AD BC FE图620.（本小题满分14分）如图7，直线:(0)l y x b b =+>，抛物线2:2(0)C y px p =>，已知点(2,2)P 在抛物线C 上，且抛物线C 上的点到直线l 的距离的最小（1）求直线l 及抛物线C 的方程；（2）过点(2,1)Q 的任一直线（不经过点P ）与抛物线C 交于A 、B 两点，直线AB 与直线l 相交于点M ，记直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ， 3k ．问：是否存在实数λ，使得123k k k λ+=？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数2901xf x a ax =>+()() ．（1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．图7yM PBQxAOl参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBDADCBA二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．{2}x x ≥；10．83；11．2214y x -=；12．6；13．123n n -⋅-；14．1；15．．三、解答题：本大题共6小题，共80分．16．（本小题满分12分） （1）由题意可得π()112f =，即πsin()16ϕ+=．……………………………2分 0πϕ<<，ππ7π666ϕ∴<+<， ππ62ϕ∴+=， π3ϕ∴=．……………5分 （2）222a b c ab +-=， 2221cos 22a b c C ab +-∴==，………………………7分sin C ∴==．………………………………8分 由（1）知π()sin(2)3f x x =+，π(+)sin()cos 2122A f A A π∴=+==()0,A π∈，sin 2A ∴==，……………………10分 又sin sin(π())sin()B A C A C =-+=+，1sin sin cos cos sin 22224B AC A C ∴=+=+=．…………12分 17．（本小题满分12分）（1）根据题意，有39151860,182.39153x y y x +++++=⎧⎪⎨=⎪+++⎩+解得9,6.x y =⎧⎨=⎩………………2分0.15p ∴=，0.10q =．补全频率分布直方图如图所示．………………4分（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有210=45⨯人，“非网购达人”有310=65⨯人．……………6分 故ξ的可能取值为0，1，2，3；03463101(0)6C C P C ξ=== ， 12463101(1)2C C P C ξ===，21463103(2)10C C P C ξ===，30463101(3)30C C P C ξ===．……………10分所以ξ的分布列为：01236210305E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………12分18．（本小题满分14分）（解法一）（1）取CE 中点为G ，连接DG 、FG ，//BF CG 且BF CG =，∴四边形BFGC 为平行四边形，则//BC FG 且BC FG =． ……………2分四边形ABCD 为矩形， //BC AD ∴且BC AD =，//FG AD ∴且FG AD =，∴四边形AFGD 为平行四边形，则//AF DG ．DG ⊂平面CDE ，AF ⊄平面CDE ， //AF ∴平面CDE ．…………………………4分（2）过点E 作CB 的平行线交BF 的延长线于P ，连接FP ，EP ，AP ，////EP BC AD ， ∴A ，P ，E ，D 四点共面．四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，∴EP CD ⊥，EP CE ⊥， 又CD CE C =，EP ∴⊥平面CDE ，∴EP DE ⊥，又平面ADE平面BCEF EP =，∴DEC ∠为平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的平面角．……………7分4DC CE ==，∴cos CE DEC DE ∠==．即平面ADE 与平面BCEF 9分 （3）过点F 作FH AP ⊥于H ，连接EH ，根据（2）知A ，P ，E ，D 四点共面，////EP BC AD ，∴BC BF ⊥，BC AB ⊥， 又AB BF B =， BC ∴⊥平面ABP ，∴BC FH ⊥，则FH EP ⊥．又FH AP ⊥， FH ∴⊥平面ADE ．∴直线EF 与平面ADE 所成角为HEF ∠．……11分4DC CE ==，2BC BF ==，∴0sin 45FH FP ==EF =HE ，∴cos HE HEF EF ∠===．即直线EF 与平面ADE 14分 （解法二）（1）四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，∴BC CE ⊥，BC CD ⊥，又平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD 平面BCEF BC =，DC ∴⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：(2,0,4)A ，(2,0,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,4)D ，(0,4,0)E ，(2,2,0)F ， 则(0,2,4)AF =-，(2,0,0)CB =．………………………2分BC CD ⊥，BC CE ⊥， CB ∴为平面CDE 的一个法向量．又0220(4)00AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=，//AF ∴平面CDE ． ……………4分（2）设平面ADE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则110,0.AD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩(2,0,0)AD =-，(0,4,4)DE =-，∴11120440x y z -=⎧⎨-=⎩，取11z =，得1(0,1,1)n =． ……6分DC ⊥平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为(0,0,4)CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，则11cos 4CD n CD n α⋅===⨯⋅． 因此，平面ADE 与平面BCEF ……………9分 （3）根据（2）知平面ADE 一个法向量为1(0,1,1)n =，(2,2,0)EF =-，1111cos ,222EF n EF n EF n ⋅∴<>===-⋅， ……………………12分设直线EF 与平面ADE 所成角为θ，则1cos sin ,EF n θ=<>=因此，直线EF 与平面ADE ． ……………14分 19．（本小题满分14分）（1）当=1n 时，有2114(11)(+1=1+2a a ⨯+）（），解得1=8a ．当=2n 时，有21224(21)(1)(22)a a a ⨯+++=+，解得2=27a ．………………2分（2）（法一）当2n ≥时，有2(2)4(1)1nn n a S n ++=+, ……………①211(1)4(1)n n n a S n--++=． …………………② ①—②得：221(2)(1)41n n n n a n a a n n -++=-+，即：331(1)=n n a n a n-+．……………5分 ∴1223333===1(1)(1)3n n n a a a a n n n --==+-…．∴ 3=(1)n a n +(2)n ≥． ……………8分 另解：33333121333121(1)42(1)(1)3n n n n n a a a n n a a n a a a n n ---+=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+-． 又当=1n 时，有1=8a ， ∴3=(1)n a n +．………………………8分（法二）根据1=8a ，2=27a ，猜想：3=(1)n a n +． ……………………………3分用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当1n =时，有318(11)a ==+，猜想成立． （Ⅱ）假设当n k =时，猜想也成立，即：3=(1)k a k +．那么当1n k =+时，有2114(11)(1)(12)k k k S k a +++++=++，即：211(12)4(1)11k k k a S k +++++=++，………………………①又 2(2)4(1)1kk k a S k ++=+， …………………………②①-②得：22223111(3)(2)(3)(2)(1)4=2121k k k k k a k a k a k k a k k k k ++++++++=--++++，解得33+1(2)(11)k a k k =+=++．∴当1n k =+时，猜想也成立．因此，由数学归纳法证得3=(1)n a n +成立．………………………………8分 （3）211111=(1(11n n n b a n n n n n +=<=-+++))， …………………………10分 ∴1231=n n n T b b b b b -+++++…2222211111=234(1)n n ++++++…211111<22323(1)(1)n n n n +++++⨯⨯-+ (11111)1111=()()()()4233411n n n n +-+-++-+--+ (1113)=4214n +-<+．…………14分 20．（本小题满分14分） （1）（法一）点(2,2)P 在抛物线C 上， 1p ∴=． …………………2分设与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线l '方程为y x m =+，由2,2,y x m y x =+⎧⎨=⎩ 得22(22)0x m x m +-+=， 22(22)448m m m ∆=--=-，∴由0∆=，得12m =，则直线l '方程为12y x =+．两直线l 、l '间的距离即为抛物线C 上的点到直线l 的最短距离，∴4=，解得2b =或1b =-（舍去）．∴直线l 的方程为2y x =+，抛物线C 的方程为22y x =． ………………6分（法二）点(2,2)P 在抛物线C 上， 1p ∴=，抛物线C 的方程为22y x =．…2分设2(,))2t M t t R ∈（为抛物线C 上的任意一点，点M 到直线l 的距离为d =根据图象，有202t t b -+>，21)21]d t b ∴=-+-，t R ∈，d ∴4=，解得2b =． 因此，直线l 的方程为2y x =+，抛物线C 的方程为22y x =．……………6分 （2）直线AB 的斜率存在，∴设直线AB 的方程为1(2)y k x -=-，即21y kx k =-+，由221,2,y kx k y x =-+⎧⎨=⎩ 得22420ky y k --+=， 设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ，则122y y k +=，1224k y y k-=， 11121112222222y y k y x y --===-+-，2222k y =+， ……………………9分 121212121222+82()82242242222()4324y y k k k k k y y y y y y k k⋅+++∴+=+===-++++++⋅+.……10分 由21,2,y kx k y x =-+⎧⎨=+⎩ 得211M k x k +=-，411M k y k -=-，∴341221121321k k k k k k --+-==+--， ………13分 1232k k k ∴+=．因此，存在实数λ，使得123k k k λ+=成立，且2λ=．……14分21．（本小题满分14分）（1）2222229[1(1)2]9(1)()(1)(1)ax x ax ax f x ax ax⋅+-⋅-'==++，………………………………2分令()0f x '=，解得x =（负值舍去），由122<<，解得144a <<．（ⅰ）当104a <≤时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≥，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为18(2)41f a =+．………………………3分（ⅱ）当4a ≥时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≤，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为118()24f a =+．…………………4分（ⅲ）当144a <<时，在12x a <<时，()0f x '>，在2x a<<时，()0f x '<，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为=2f a a（）5分 （2）设切点为(,())t f t ，则()1,()2.f t f t t a '=-⎧⎨=-+⎩…………………………………6分由()1f t '=-，有2229[1]1(1)at at -=-+，化简得2427100a t at -+=， 即22at =或25at =， ……………………………① 由()2f t t a =-+，有2921ta t at=-+，……………②由①、②解得2a =或4a =． ………………………9分（3）当2a =时，29()12xf x x =+，由（2）的结论直线4y x =-为曲线()y f x =的切线，(2)2f =，∴点(2,(2))f 在直线4y x =-上，根据图像分析，曲线()y f x =在直线4y x =-下方． ……………10分 下面给出证明：当1[,2]2x ∈时，()4f x x ≤-．3222928104()(4)41212x x x x f x x x x x -+---=-+=++2221(2)12x x x --=+（），∴当1[,2]2x ∈时，()(4)0f x x --≤，即()4f x x ≤-．………………12分∴12141214()()()414()f x f x f x x x x +++≤⨯-+++，121414x x x +++=， 1214()()()561442f x f x f x ∴+++≤-=．∴要使不等式1214()()()f x f x f x λ+++≤恒成立，必须42λ≥．…………13分又当12141x x x ====时，满足条件121414x x x +++=，且1214()()()42f x f x f x +++=，因此，λ的最小值为42．………………14分。

市 2015 届高三年级第三次模拟考试数学2015.05注意事项：1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题 ~第 14 题）、解答题（第15 题 ~第 20 题）两部分．本试卷满分为160 分，考试时间为120 分钟．2．答题前，请务必将自己的、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格．考试结束后，交回答题纸．参考公式样本数据 x1， x2，， x n的方差 s2＝1 n －－ 1 nn ∑ (x i－ x )2，其中 x ＝n∑ x i．i ＝ 1 i ＝ 1锥体的体积公式：1h 为锥体的高．V＝ Sh，其中 S 为锥体的底面积，3一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共70 分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．2i－ 1，其中 i 为虚数单位，则z 的模为▲．1．已知复数 z＝1－i2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9 点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数0 1 2 3 4 ≥ 5 概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则该营业窗口上午9 点钟时，至少有 2 人排队的概率是▲．x＋y≤ 2，3．若变量 x， y 满足约束条件 x≥1，则 z＝2x＋ y 的最大值是▲．y≥ 0，4．右图是一个算法流程图，则输出k 的值是▲．5．如图是甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是▲．开始k← 1S←40k←k＋ 1S←S－ 2k乙S≤ 0甲N 7 8Y输出 k 9 7 8 8 93 1 0 9 6 9 结束（第 4 题图）（第 5 题图）6．记不等式 x2＋ x－ 6＜ 0 的解集为集合A，函数 y＝ lg(x－ a)的定义域为集合 B．若“ x∈ A”是“ x∈ B”的充分条件，则实数 a 的取值围为▲．27．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C： x2－y ＝ 1 的右焦点 F 作 x 轴的垂线 l，则 l 与双曲线 C3的两条渐近线所围成的三角形的面积是▲．8．已知正六棱锥P－ ABCDEF 的底面边长为2，侧棱长为 4，则此六棱锥的体积为▲．9．在△ ABC 中，ABC＝ 120 ， BA＝2， BC＝ 3，D ， E 是线段 AC 的三等分点，则 BD · BE 的值为▲．10．记等差数列 { a } 的前 n 项和为 S ．若 S－1 ＝8，S ＝ 0，S1＝－ 10，则正整数 k＝▲．n n k k k＋11．若将函数 f(x)＝∣ sin( x－6) ∣( ＞0)的图象向左平移9个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数的最小值是▲．4x ＋y的最大值为▲．12．已知 x，y 为正实数，则4x＋y x＋ y13．在平面直角坐标系xOy 中，圆 C 的方程为 (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 9，直线 l：y＝ kx＋ 3 与圆 C 相交于 A，B 两点， M 为弦 AB 上一动点，以 M 为圆心， 2 为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值围为▲．14．已知 a， t 为正实数，函数f(x)＝ x2－ 2x＋a，且对任意的x∈ [0， t] ，都有 f(x)∈ [ － a， a]．若对每一个正实数 a，记 t 的最大值为 g(a)，则函数 g(a)的值域为▲．二、解答题：本大题共 6 小题，共计90 分．请在答题纸指定区域作答，解答时应写出文字说明、证．．．．．．．明过程或演算步骤．15．（本小题满分14 分）在△ ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为a， b，c．已知 acosC＋ ccosA＝ 2bcosA．（1）求角 A 的值；（2）求 sinB＋ sinC 的取值围．16．（本小题满分14 分）在四棱锥 P－ABCD 中， BC∥ AD ， PA⊥ PD ， AD＝ 2BC， AB＝ PB， E 为 PA 的中点．（ 1）求证：BE∥平面 PCD ；P（ 2）求证：平面 PAB⊥平面 PCD．EA DB C（第 16 题图）17．（本小题满分14 分）如图，摩天轮的半径 OA 为 50m，它的最低点 A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为 240m 的景观带 MN ，它与摩天轮在同一竖直平面，且AM ＝ 60m．点 P 从最低点 A 处按逆时针方向转动到最高点 B 处，记AOP＝，∈ (0，π)．（ 1）当2＝3时，求点 P 距地面的高度PQ；（ 2）试确定的值，使得MPN 取得最大值．BPOA Q M N（第 17 题图）18．（本小题满分16 分）在平面直角坐标系xOy 中，设中心在坐标原点的椭圆 C 的左、右焦点分别为F1、 F 2，右准线l： x＝m＋ 1 与 x 轴的交点为B， BF 2＝m．（1）已知点 ( 6， 1)在椭圆 C 上，数 m 的值；2（2）已知定点 A(－ 2， 0)．①若椭圆 C 上存在点T，使得TA＝2，求椭圆 C 的离心率的取值围；TF 1②当 m＝1 时，记 M 为椭圆 C 上的动点，直线AM ， BM 分别与椭圆 C 交于另一点P，Q，→→→→若 AM ＝λAP ， BM＝BQ ，求证：λ＋为定值．yM lPQBAF1 OF2 x（第 18 题图）19． (本小题满分16 分 )已知函数f(x)＝ x2－ x＋ t， t≥ 0， g(x)＝ lnx．（ 1）令 h( x)＝ f(x)＋ g(x)，求证： h(x)是增函数；（ 2）直线 l 与函数f(x)， g(x)的图象都相切．对于确定的正实数t，讨论直线l 的条数，并说明理由．20．（本小题满分16 分）已知数列 { a n} 的各项均为正数，其前n 项的和为S n，且对任意的m，n∈ N* ，都有 (S m＋n＋ S1)2＝ 4a2m a2n．（1）求a2的值； a1（2）求证： { a n} 为等比数列；（ 3）已知数列 { c n } ， { d n } 满足 |c n |＝ |d n|＝ a n， p(p≥ 3)是给定的正整数，数列{ c n} ， { d n} 的前 p 项的和分别为T p，R p，且 T p＝R p，求证：对任意正整数k(1≤ k≤ p)， c k＝ d k．市 2015 届高三年级第三次模拟考试数学附加题2015.05 注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟．3．答题前，考生务必将自己的、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目．．．的答案空格．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在 A 、 B、 C、 D 四小题中只要选做 2 题，每小题10 分，共计卷纸指定20 分．请在答．．．．．区域作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．A ．选修 4— 1：几何证明选讲如图， AB，AC 是⊙ O 的切线， ADE 是⊙ O 的割线，求证：BE· CD ＝ BD · CE．BEDA OC（第 21A 题图）B．选修 4－ 2：矩阵与变换已知矩阵 A ＝a1，直线l：x－y＋4＝0在矩阵A对应的变换作用下变为1 a直线 l ： x－ y＋ 2a＝ 0．（ 1）数 a 的值；（2）求 A2．C．选修 4－ 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，设圆 C：＝ 4 cos 与直线 l：＝( ∈ R)交于 A，B 两点，求以 AB 为直径的圆4的极坐标方程．D．选修 4－ 5：不等式选讲1已知实数x， y 满足 x＞ y，求证： 2x＋x2－2xy＋y2≥ 2y＋ 3．【必做题】第22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答卷纸指定区域作答．解答应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）如图，四棱锥P－ ABCD 中， PA 平面 ABCD ， AD ∥ BC，AB AD ， BC＝2 3，AB＝1， BD ＝PAP3＝2．（1）求异面直线 BD 与 PC 所成角的余弦值；（2）求二面角 A－PD－ C 的余弦值．ADB C23．（本小题满分10 分）已知集合 A 是集合 P n＝ {1 ，2，3，，n} ( n≥3，n∈ N *) 的子集，且 A 中恰有 3 个元素，同时这3 个元素的和是 3 的倍数．记符合上述条件的集合 A 的个数为f(n)．（1）求 f(3)， f(4) ；（2）求 f(n)（用含 n 的式子表示）．市 2015 届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准2015.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共 70 分．1． 52． 0.743． 4 4． 6 5．甲 6． (－∞，－ 3] 7． 4 38． 129． 11 10． 9911．312． 413． [－ 3，＋∞ )14． (0， 1)∪{2}234二、解答题：本大题共6 小题，共 90 分．15． 解：（ 1）因为 acosC ＋ ccosA ＝ 2bcosA ，所以 sinAcosC ＋ sinCcosA ＝2sinBcosA ，即 sin(A ＋ C)＝2sinBcosA ．因为 A ＋ B ＋C ＝ π，所以 sin(A ＋ C)＝ sinB ．从而 sinB ＝2sinBcosA ．4 分因为 sinB ≠0，所以 cosA ＝ 1．2π7 分因为 0＜ A ＜ π，所以 A ＝ ．32π2π 2π（2） sinB ＋ sinC ＝ sinB ＋ sin( 3 －B)＝ sinB ＋ sin 3 cosB －cos 3 sinB3 sinB ＋ 3π 11 分＝ 2 cosB ＝ 3sin( B ＋ )． 2 6因为 0＜ B ＜ 2π π π 5π，所以 ＜B ＋ ＜ ．3 6 6 6所以 sinB ＋sinC 的取值围为 (3， 3]．14 分216．明：（ 1）取 PD 的中点 F ，接 EF ， CF．因 E PA 的中点，所以1 EF∥ AD ，EF ＝ AD ．2 1因 BC∥ AD， BC＝ AD ，2所以 EF∥ BC，EF＝BC ．所以四形 BCFE 平行四形．所以 BE∥ CF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分PE FA DB C（第 16 题图）因 BE 平面 PCD， CF 平面 PCD，所以 BE∥平面 PCD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2）因 AB ＝ PB，EPA 的中点，所以 PA⊥BE．因 BE∥ CF ，所以 PA⊥ CF．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分因 PA⊥PD ，PD 平面 PCD ，CF 平面 PCD，PD∩CF＝F，所以 PA⊥平面 PCD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分因 PA 平面 PAB，所以平面 PAB 平面 PCD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分17．解：（ 1）由意，得 PQ＝ 50－ 50cos ．从而，当＝2 2＝75．3， PQ＝ 50－50cos 3即点 P 距地面的高度 75m．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）（方法一）由意，得 AQ＝ 50sin ，从而 MQ ＝ 60－ 50sin ， NQ＝ 300－ 50sin ．又 PQ＝ 50－50cos ，所以 tan NPQ＝NQ＝ 6－ sin，tan MQ ＝ 6－ 5sin．PQ 1－ cos MPQ ＝PQ 5－5cos⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯从而 tan MPN ＝ tan( NPQ－ MPQ)6－ sin－6－ 5sin＝ tan NPQ－ tan MPQ ＝ 1－cos 5－ 5cos 1＋ tan NPQ tan MPQ 6－ sin 6－ 5sin1＋1－ cos ×5－ 5cos12(1－ cos )．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＝18sin － 5cos23－令 g( )＝12(1－ cos )，∈ (0，π)，23－18sin －5cos6分9分g ( )＝ 12× 18(sin＋ cos － 1)∈(0 ，π)．(23－ 18sin － 5cos )2，由 g ( )＝ 0，得 sin＋ cos － 1＝ 0，解得＝ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分 当 ∈ (0， ) ， g () ＞0， g() 增函数；当∈ ( ， ) ， g ( )＜ 0，g() 减函数，22所以，当＝ ， g()有极大 ，也 最大 ．2因 0＜MPQ ＜ NPQ ＜ 2，所以 0＜ MPN ＜2， 从而当 g( )＝ tanMPN 取得最大 ，MPN 取得最大 ．即当 ＝2 ，MPN 取得最大 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分（方法二） 以点 A 坐 原点， AM x 建立平面直角坐 系，O 的方程 x 2＋ (y －50)2＝502，即 x 2＋ y 2－ 100y ＝ 0，点 M(60，0)， N(300， 0)．点 P 的坐(x 0， y 0)，所以 Q (x 0 ， 0)，且 x 02＋ y 0 2－ 100y 0＝ 0．NQ 300－x 0MQ 60－ x从而 tan NPQ ＝ PQ ＝， tan MPQ ＝PQ ＝y 0y 0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分从而 tan MPN ＝ tan( NPQ － MPQ)300－ x 060－ x 0＝ tanNPQ － tan MPQy 0 － y 0＝300－ x 060－x 01＋ tan NPQ tan MPQ1＋y 0 × y24y 0＝10y 0－ 36x 0＋ 1800．由 意知， x 0＝ 50sin ， y 0＝ 50－50cos ，所以 tan 12(1 － cos )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分MPN ＝＝．23－18sin －5cos（下同方法一）2218． 解：（ 1） C 的方程x2＋ y2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)．aba 2a 2＝ m ＋ 1，＝ m ＋ 1，解得 b 2＝ m ，由 意，得 c(m ＋ 1)－c ＝m ，c ＝ 1．所以 方程x 2＋y 2＝ 1．m ＋ 1 m因 C 点 (6， 1)，所以 3 ＋1＝1，2 2(m＋ 1) m1解得 m＝ 2 或 m＝－2 (舍去）．所以 m＝ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）① 点 T(x， y)．由TA＝2，得 (x＋ 2)2＋ y2＝ 2[( x＋ 1)2＋y2 ]，即 x2＋y2＝ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分TF 1x2＋ y2＝ 2，由 x2＋ y2＝1，得 y2＝ m2－ m．m＋ 1 m因此 0≤ m2－ m≤ m，解得 1≤ m≤ 2．所以 C 的离心率 e＝ 1 ∈ [ 3， 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分m＋ 1 3 2 ] ．②（方法一）M(x0， y0)，P(x1，y1) ，Q(x2， y2)．AM ＝ (x0＋ 2， y0)， AP ＝ (x1＋2， y1)．由AM＝ AP ，得x0＋ 2＝ (x1＋ 2)，0 1y ＝y ．从而x0＝ x1＋ 2( －1)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分0 1y ＝y ．因 x02 ＋ y02＝ 1，所以[x1＋ 2( －1)]2 ＋ ( y1)2＝ 1．2 2x12即2(2＋y12)＋2 (－1)x1＋2(－1)2－1＝0．因x212＋y12＝1，代入得 2 (－1)x1＋32－4＋1＝0．由意知，≠1，故 x1＝－3－1，所以 x0 －3．2 ＝2同理可得 x0＝－＋3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分2因此－3＝－＋ 3，2 2所以＋＝6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分（方法二）M(x0， y0)， P(x1， y1)，Q(x2， y2)．直 AM 的方程 y＝y0 (x＋ 2)．x ＋ 2将 y＝y0(x＋2) 代入x2 1 2 2 2＋ y2＝ 1，得( (x0＋ 2)2＋ y0 )x2＋4y0 x＋ 4y0－ (x0＋2) 2＝ 0(*) ．0 2 2x ＋ 2因 x 02 2 2＝ 0．2＋ y 02＝ 1，所以（ * ）可化 (2x 0＋ 3)x 2＋ 4y 0x － 3x 0－ 4x 020＋ 4． 因 x 013x 0＋4x 0，所以 x 13xx＝－2x 0 ＋3＝－2x 0＋ 3同理 x 2 ＝ 3x 0－4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分2x 0－3→→因 AM ＝ AP ， BM ＝BQ ，所以 ＋ ＝ x 0＋ 2＋x 0 － 2＝x 0＋ 2＋x 0－ 2x 1＋ 2 x 1 － 2 － 3x 0＋ 4＋ 2 3x 0－ 4－ 22x ＋ 32x － 3＝(x 0＋ 2)(2x 0＋ 3)＋ (x 0 －2)(2 x 0－ 3)＝ 6．－x 0＋ 2x 0＋2即 λ＋ 定 6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分19． 解：（ 1）由 h(x)＝ f(x)＋ g(x)＝ x 2－ x ＋ t ＋ lnx ，得 h' (x)＝ 2x － 1＋ 1， x ＞ 0．x1 ≥2 12，所以 h' (x)＞ 0，因 2x ＋2x ·＝ 2xx从而函数 h(x)是增函数．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分（ 2） 直 l 分 切 f(x)， g( x)的 象于点 (x 1， x 12－ x 1＋ t) ， (x 2， lnx 2)，由 f'(x)＝ 2x － 1，得 l 的方程 y － (x 12 －x 1 ＋t)＝ (2x 1－ 1)(x － x 1)，即 y ＝ (2x 1－ 1)x －x 1 2＋ t ．由 g'(x) ＝1，得 l 的方程y － lnx 2＝ 1 (x － x 2)，即 y ＝ 1 ·x ＋ lnx 2 －1．xx 2 x 2 2x 1－ 1＝ 1， 所以x 2 (*) － x 12＋t ＝ lnx 2－ 1．消去 x 1 得 ln x 2＋ (1＋ x 2)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分4x 2 － (t ＋ 1)＝ 0 (**) ．2令 F(x)＝ lnx ＋ (1＋ x)2 － (t ＋1)， F' (x)＝ 1－ 1＋ x 2x 2－ x － 1 (2x ＋1)( x －1)， x ＞ 0． 2 2x 3 ＝ 3＝ 34x x 2x 2x由 F' (x)＝ 0，解得 x ＝ 1．当 0＜x ＜ 1 ， F' (x)＜ 0，当 x ＞ 1 ， F' ( x)＞ 0，所以 F(x)在 (0，1) 上 减，在 (1，＋∞ )上 增，从而 F(x)min ＝ F(1) ＝－ t ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分当 t ＝ 0 ，方程 (**) 只有唯一正数解，从而方程 (*) 有唯一一 解，即存在唯一一条 足 意的直 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分当 t ＞ 0， F(1)＜ 0，由于 F(e t ＋1 )＞ ln(e t ＋ 1)－ (t ＋ 1)＝ 0，故方程 (**) 在 (1，＋∞ )上存在唯一解；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分令 k(x)＝ lnx ＋ 1－ 1(x ≤ 1)，由于 k' (x)＝ 1－ 12＝x －2 1≤0，故 k (x)在 (0， 1]上 减，xx xx故当 0＜ x ＜ 1 ， k (x)＞ k (1)＝ 0，即 lnx ＞ 1－1，x 从而 lnx ＋ (1 ＋x)21－ 1 22－ (t ＋ 1)＞ (2x 2 ) － t ．4x所以 F(1 )＞ ( t ＋ 1)2－ t ＝ t ＋ 1＞ 0，又 0＜ 1＜ 1， 2( t ＋ 1)2 4 2( t ＋ 1) 故方程 (**) 在 (0， 1)上存在唯一解．所以当 t ＞ 0 ，方程 (**) 有两个不同的正数解，方程 (*) 有两 解．即存在两条 足 意的直 ．上，当 t ＝ 0 ，与两个函数 象同 相切的直 的条数1； 当 t ＞ 0 ，与两个函数 象同 相切的直 的条数2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分m ＋n12＝4a 2n 2m 2 1 2＝4a 22 21 2＝ 4a 2220． 解：（ 1）由 (S＋ S ) a ，得(S ＋S) ，即 (a ＋ 2a ) ．因 a 1＞ 0， a 2＞ 0，所以 a 2＋ 2a 1＝ a 2，即a 2＝ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分a 1明： （2）（方法一） 令 m ＝ 1， n ＝2，得 (S 312＝ 4a 2 4 ，即 (2a 1 23 2＝ 4a 2 4，＋ S ) a ＋ a ＋ a ) a 令 m ＝ n ＝2，得 S 4＋ S 1＝ 2a 4，即 2a 1＋ a 2＋ a 3＝a 4．所以 a 4 ＝4a 2＝ 8a 1．又因a 2＝ 2，所以 a 31．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分＝ 4aa 1由 (S m ＋ n ＋ S 1)2＝ 4a 2n a 2m ，得 (S n ＋1＋ S 1)2＝ 4a 2n a 2， (S n ＋ 2＋S 1)2＝ 4a 2n a 4．两式相除，得 (S ＋ S ) ＝ a 4，所以 S ＋ S ＝a 4＝2． n ＋ 2 1 2 a 2 n ＋2 1a 2 n ＋11 2 n ＋11(S ＋ S ) S ＋ S即 S n ＋2 ＋S 1＝ 2(S n ＋ 1＋ S 1)，从而 S n ＋3＋ S 1＝ 2(S n ＋2 ＋S 1)．所以 a n ＋3＝ 2a n ＋ 2，故当 n ≥ 3 ， { a n } 是公比 2 的等比数列．又因 a 3 ＝2a 2＝ 4a 1，从而 a n ＝ a 1· 2 n －1， n ∈ N* ．然， a n1n －1足 ，＝a · 2因此 { a n } 是首 a 1，公比2 的等比数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分（方法二） 在 (S＋n ＋ S 1)2＝ 4a2n a 2m 中，m令 m ＝ n ，得 S 2n ＋ S 1＝ 2a 2n ．① 令 m ＝ n ＋ 1，得 S 2n ＋ 1＋ S 1＝ 2 a 2n a 2n ＋ 2 ，②在①中，用 n ＋1 代 n 得， S 2n ＋2＋ S 1＝ 2a 2n ＋2．③ ②－①，得 a 2n ＋ 1 ＝ 2 a 2n a 2n ＋2 － 2a 2n ＝ 2 a 2n ( a 2n ＋ 2－ a 2n )， ④ ③－②，得 a 2n ＋ 2＝ 2a 2n ＋2－ 2 a 2n a 2n ＋2 ＝2 a 2n ＋2( a 2n ＋2－ a 2n )， ⑤ 由④⑤得 a 2n ＋ 1 a 2n 2 n ＋ 2．⑥＝ a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分⑥代入④，得a 2n ＋1 ＝2a 2n ；⑥代入⑤得a 2n ＋ 2＝ 2a 2 n ＋ 1，所以 a 2n＋2＝ a 2n ＋1＝ 2．又 a 2＝ 2，2n ＋ 1a 2na 1a从而 a · 2 n － 1， n ∈ N* ．n ＝ a 1然， a 2 n －1 足 ，n ＝a 1·因此 { a n } 是首 a 1，公比 2的等比数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分（3）由（ 2）知， a n ＝ a 1·2 n －1．因 |c p p 1 p －1，所以 c p p p p|＝ |d |＝ a · 2＝ d 或 c ＝－ d ． 若 c p ＝－ d p ，不妨 c p ＞ 0，d p ＜0，T p ≥ a 1· 2p －1－ (a 1· 2p － 2＋ a 1 ·2p －3＋⋯＋ a 1)＝a 1· 2p －1 － a 1 · (2p －1－ 1)＝ a 1＞ 0． R p ≤－ a 1 ·2p － 1＋ (a 1· 2p － 2＋ a 1· 2p － 3＋⋯＋ a 1)＝－ a 1· 2p －1＋ a 1· (2p －1－ 1)＝－ a 1＜ 0．与 T p ＝R p 矛盾，所以c p ＝d p ．从而 T p －1＝ R p － 1．由上 明，同理可得c p －1＝d p － 1．如此下去，可得 c p － 2＝d p － 2， c p － 3＝d p － 3．⋯， c 1 ＝d 1．即 任意正整数 k(1 ≤k ≤ p)， c k ＝d k ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分市 2015 届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2015.05 21．【做】在 A 、B 、C、 D 四小中只能做 2 ，每小 10 分，共 20 分．A ．修 4— 1：几何明明：因 AB 是⊙ O 的切，所以 ABD ＝ AEB．又因BAD ＝ EAB，所以△ BAD ∽△ EAB．所以BD＝AB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分BE AECD AC同理，CE＝AE.．因 AB， AC 是⊙ O 的切，所以AB＝ AC．因此BD＝CD，即 BE· CD＝ BD·CE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分BE CEB．修 4— 2：矩与解：（ 1）直l 上一点 M 0(x0， y0) 在矩 A 的作用下l 上点 M(x， y)，x a 1 x ax ＋ y ，0 0 0y 1 a y0 0＋ ay 0x所以 x＝ ax0＋ y0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分y＝ x0＋ ay0．代入 l 方程得 (ax0＋y0)－ (x0＋ ay0)＋ 2a＝0，即 (a－ 1)x0－ (a－ 1)y0＋ 2a＝ 0．因 (x0， y0)足 x0－ y0＋ 4＝ 0，所以2a＝ 4，解得 a＝ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分a－ 1（2）由 A＝ 2 1，得A2＝ 2 1 2 1 ＝ 54 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分1 2 1 2 1 2 4 5C．修 4— 4：坐系与参数方程解：以极点坐原点，极x 的正半，建立直角坐系，由意，得C 的直角坐方程x2＋y2－4x＝ 0，直 l 的直角坐方程y＝ x．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分由x2＋ y2－ 4x＝0，x＝ 0，或x＝2，y＝x，解得y＝ 0，y＝ 2．所以 A(0， 0)， B(2， 2)．从而以 AB 直径的的直角坐方程( x－ 1) 2＋ (y－ 1)2＝ 2，即 x2＋ y2＝ 2x＋ 2y．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分将其化极坐方程：2－ 2 (cos ＋ sin )＝0，即＝ 2(cos ＋sin )．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分D．修 4— 5：不等式明：因 x＞ y，所以 x－ y＞ 0，从而1左＝ (x－ y)＋ (x－ y)＋(x－y)2＋2y3 1 ＋2y≥ 3( x－y) (x－y)(x－ y)2＝ 2y＋ 3＝右．即原不等式成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分【必做】第 22 、第23 ，每10 分，共 20 分．22．解：（ 1）因 PA 平面 ABCD ， AB 平面 ABCD ，AD 平面 ABCD ，所以 PA AB，PA AD ．又 AD AB，故分以 AB， AD， AP 所在直 x ， y ， z 建立空直角坐系．根据条件得 AD ＝ 3．z所以 B(1， 0，0)，D (0，3， 0)， C(1，23，0)，P(0，0，2)．3从而 BD＝(－1，3， 0)， PC ＝ (1， 23，－ 2)．3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分异面直 BD ， PC 所成角，PAD yB Cxcos→→BD PC＝ |cos＜ BD ， PC ＞ |＝ | |∣BD∣ ∣PC∣2 3＝ |(－ 1， 3， 0)·(1， 3 ，－2)|＝ 57．19382×3即异面直 BD 与 PC 所成角的余弦57． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分38（2）因 AB 平面 PAD ，所以平面 PAD 的一个法向量AB ＝(1，0， 0)．平面 PCD 的一个法向量n ＝ (x ， y ， z)，由 n PC ， n PD ， PC ＝ (1，2 3，－ 2)， PD ＝(0 ，3，－ 2)，32 2 3x ＝ 3z ， 得 x ＋ 3 y － 2z ＝0， 解得2 33y － 2z ＝ 0，y ＝ 3 z ．不妨取 z ＝3， 得 n ＝ (2， 2 3， 3)． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分二面角 A －PD － C 的大小，cos ＝ cos ＜ AB ， n ＞＝AB·n＝(1， 0，0)·(2， 2 3， 3)＝ 2．∣ AB ∣×∣ n ∣1× 55即二面角 A －PD － C 的余弦 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分523． 解：（ 1）f(3)＝ 1， f(4)＝ 2；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分n（ 2） A 0＝ { m ∣ m ＝ 3p ，p ∈ N* ， p ≤ 3} ，n ＋ 1A 1＝ { m ∣ m ＝ 3p －1， p ∈ N* ， p ≤3} ，n ＋ 2A 2＝ { m ∣ m ＝ 3p －2， p ∈ N* ， p ≤3 } ，它 所含元素的个数分 ∣A 0∣，∣ A 1∣，∣ A 2∣．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分①当 n ＝ 3k ， ∣ A 0∣＝∣ A 1∣＝∣ A 2∣＝ k ．1k ＝ 1， 2 ， f(n)＝ (C k )3＝ k 3；k ≥ 33 13 3， f(n)＝ 3C k ＋(C k )3＝ k 3－ k 2＋ k ．22从而 f(n)＝ 111 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分18 n3－n 2＋ n ， n ＝ 3k ，k ∈ N* ．63②当 n ＝ 3k － 1 ， ∣ A 0∣＝ k － 1，∣ A 1∣＝∣ A 2∣＝ k ．k ＝ 2， f(n)＝ f(5) ＝2× 2× 1＝ 4；k ＝ 3 ， f(n)＝ f(8) ＝1＋ 1＋ 3× 3× 2＝20；k ＞ 33 311 2 3 32 5 ， f(n)＝ C k－1＋2C k ＋ C k －1(C k ) ＝ k － 3k＋ k － 1；22从而 f(n)＝ 131 2 1 4 ， n ＝ 3k － 1， k ∈N* ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分18 n －n＋ n －639③当 n ＝ 3k － 2 ，∣ A 0∣＝ k － 1，∣ A 1∣＝ k － 1，∣ A 2∣＝ k ．k ＝ 2 ， f(n)＝ f(4) ＝2× 1× 1＝ 2；k ＝ 3 ， f(n)＝ f(7) ＝1＋ 3× 2× 2＝ 13；3 31213 3 9 2k ＞ 3 ， f(n)＝ 2C k －1 ＋ C k ＋ (C k －1)C k ＝k－ k ＋ 5k － 2；22从而 f(n)＝ 1 3 1 2 1 2 ， n ＝ 3k － 2， k ∈N* ．18 n － 6 n ＋ n －3 91 3 12 118 n － n ＋ n ， n ＝ 3k ，k ∈ N* ，63所以 f(n)＝1 3 12 14， n ＝ 3k － 1， k ∈ N* ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分18 n － n ＋ n －6 3 91 n 3－1n 2＋ 1n － 2， n ＝ 3k － 2， k ∈ N* ．18639。

绝密★启用并使用完毕前高三复习阶段性诊断考试试题理科综合本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共16页。

满分300分。

考试用时150分钟。

答题前务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在试卷和答题卡规定的位置。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（必做，共107分）注意事项：1．第I卷共20题。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分。

以下数据可供答题时参考：相对原子质量：H 1 O 16 Al 27 S 32 Fe 56 Cu 641．耐盐植物细胞的液泡膜上有一种载体蛋白，能将Na＋逆浓度梯度运入液泡内，从而降低了Na＋对细胞质中酶活性的影响。

下列相关叙述错误的是A．Na＋进入液泡的方式为主动运输B．该载体的作用导致细胞液的渗透压下降C．该载体的作用体现了液泡膜的选择透过性D. 该机制的形成是长期自然选择的结果2．研究表明，癌症已成为导致人类死亡的重要因素之一。

下列相关叙述错误的是A．人体细胞中存在与细胞癌变有关的基因B．细胞癌变过程中发生了基因的变化C．吸烟和环境污染是诱发肺癌的重要因素D．癌细胞膜上糖蛋白增加，细胞容易转移3．下列有关生物学实验的叙述，错误的是A．探究淀粉酶对淀粉和蔗糖作用的专一性时，可用斐林试剂进行鉴定B．分离叶绿体中色素时应加入二氧化硅，使研磨更充分C．检测酵母菌培养过程中是否产生CO2，可判断其呼吸方式D．紫色洋葱鳞片叶外表皮细胞质壁分离过程中，原生质层颜色无变化4．下列关于生物变异的说法，正确的是A．核移植使伞藻的形态结构发生重建，是核内基因重组与表达的结果B．低氧会导致人体内正常红细胞变为镰刀形，属于不可遗传的变异C．S型肺炎双球菌的DNA使R型细菌发生转化，是基因突变的结果D．突变是生物变异的根本来源，能使种群的基因频率发生定向改变5．哺乳动物体内，精原细胞分裂产生精细胞，该过程A．表明生物膜具有选择透过性和流动性B．细胞内有还原氢和氧气的产生与利用C．核仁、核膜出现周期性的消失和重建D．受某脂质的调控并存在基因的复制与表达6．下图为某草场生态系统的部分能量流动示意图，图中Q表示牧草在一年内固定的太阳能总量，Q1、Q2、Q3分别表示流入昆虫、牲畜、鼠体内的能量。

2015届高三模拟考试 数学试题（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．集合{3,2}a A =，{,}B a b =，若{2}A B ⋂=，则A B ⋃=（ ）A ．{1,2,3}B ．{0,1,3}C ．{0,1,2,3}D ．{1,2,3,4}2.设i 是虚数单位，复数=++iii 123（ ） A. 1 B. 1- C. i D. i - 3. 已知33)6cos(-=-πx ,则=-+)3cos(cos πx x ( )A ．332-B ．332±C ．1-D ．1±4.函数9()3x xa f x -=的图像关于原点对称，()lg(101)xg x bx =++是偶函数，则=+b a A.1 B. 1- C. 21-D. 215.某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中的ˆ4b =-，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为A ．51个B ．50个C ．49个D ．48个6.下列说法正确．．的是 A ．命题“x ∀∈R ，0x e >”的否定是“x ∃∈R ，0x e >” B ．命题 “已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题C ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”⇔“max min 2)()2(ax x x ≥+在[]1,2x ∈上恒成立”D ．命题“若1a =-，则函数()221f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题7.已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤，则当1y ≥时，1yx + 的取值范围是 （ ）A ．BCD 8．设函数()ln(1)f x x x =+-（ ） A.c a b << B.a b c << C.c b a << D.b c a <<9. 在ABC △中，3AB BC ==，60ABC ∠=︒，AD 是边BC 上的高，则AD AC ∙的值等于（ ）A ．94-B ．94 C ．274D ．910．如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为1V ，俯视图绕底边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为2V ,则12:V V =（ ）A ．B ．C ．D ．11.若曲线f (x ，y )＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f (x ，y )＝0的“自公切线”．下列方程：①x 2－y 2＝1；②y ＝x 2－|x |；③y ＝3sin x ＋4cos x ；④|x |＋1＝4－y 2对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④12.已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时， ()'()0f x f x x +>，则函数1()()g x f x x=+的零点个数为 （ ）A.1B.2C.0D.0或2 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．14.设,x y 满足约束条件22002x x y e y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，则(,)M x y 所在平面区域的面积为___________.15.若正数,a b 满足111a b +=，则1411a b +--的最小值为________. 16．已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，若点2F 关于直线x a by =的对称点M 也在双曲线上，则该双曲线的离心率为________. 三、解答题（共70分）17. 在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、sin cC=， （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若6=a ，求b c +的取值范围.18.（12分）某站针对2014年中国好声音歌手C B A ,,三人进行上网投票，结果如下（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n 人，其中有6人支持A ，求n 的值.（2）若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个总体，从7人中任意抽取3人，用随机变量X 表示抽取出3人中支持B 的人数，写出X 的分布列并计算)(),(X D X E . 19．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为菱形，∠BCD= 120°（I ）求证：AB ⊥PC ：（Ⅱ）求二面角B 一PC —D 的余弦值．20.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n na S n n N *+=++∈且2514,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的前三项．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意的*n N ∈，3()362n T k n +≥-恒成立，求实数k 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知圆22:(1)20C x y ++=点B （l ，0）．点A 是圆C 上的动点，线段AB 的垂直平分线与线段AC 交于点P ． （I ）求动点P 的轨迹C 1的方程；（Ⅱ）设1(0,)5M ，N 为抛物线22:C y x =上的一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交曲线C l 于P ，Q 两点，求△MPQ 面积的最大值．22.（本小题满分12分）.已知函数x x x f ln )(=，xe ax x x g )3()(2-+-=（a 为实数）．(Ⅰ) 当a=5时，求函数)(x g y =在1=x 处的切线方程； (Ⅱ) 求)(x f 在区间[t ，t+2]（t >0）上的最小值；(Ⅲ) 若存在两不等实根]1[，21，e ex x ∈，使方程)(2)(x f e x g x=成立，求实数a 的取值范围．24.已知函数()2f x x a x =++-,（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集;（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.数学答案（理科）1.【答案解析】A 解析：由{2}A B⋂=，得2a =2，所以1a =,2b =.即{3,2}A =，{1,2}B =，因此{1,2,3}A B ⋃=2.【答案】【解析】A 解析：复数=++i ii 123()()()()211111i i i i i i i i --+=-+-=+-．4.【答案】【解析】D 解析：∵9()3x xaf x -=关于原点对称，∴函数()f x 是奇函数， ∴()001f a =\=，，∵()lg(101)xg x bx =++是偶函数，∴()()g x g x -=对任意的x 都成立，∴()()lg 101lg 101xxbx bx -+-=++，∴()101lg lg 101210x xxbx +=++， ∴2x bx -=对一切x 恒成立，∴12b =-，∴12a b +=，故选：D 5.【答案】C 解析：由题意知17.5,39xy ==，代入回归直线方程得109,a =109154-⨯49=，故选.C7.14PE k =.设:(1)PD y k x =+1=得123,04kk ==.结合图形可知，1344k ≤≤即13414y x ≤≤+.选A.8.【解析】 试题分析：已知()ln(1)f x x x =+-，得 当x>0 所以()ln(1)f x x x =+-在（0，+∞）上单调递减，，即a b c <<，故选B.9.【答案】C 解析：分别以BC ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示平面直角坐标系；根据已知条件可求以下几点坐标：A ⎛ ⎝，D ()0,0，C 3,02⎛⎫⎪⎝⎭；∴0,AD u u u r ⎛= ⎝，3,2AC u u ur ⎛= ⎝；∴274AD AC u u u r u u u r ⋅=．故选C ． 【思路点拨】根据已知条件可以分别以BC ，DA 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，而根据已知的边长及角的值可求出向量AD u u u r ，AC u u ur 的坐标，根据数量积的坐标运算即可求出AD AC u u u r u u u r ⋅．10.【答案】【解析】D 解析：三视图复原的几何体如图， 它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是，该几何体的外接球的体积V 1=343π=，V 2=21221133ππ⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，∴V 1：V 22:3π=，故选D ．.【思路点拨】判断三视图复原的几何体的形状，底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，结合数据求出外接球的半径，由此求出结果．12.【答案】C13【答案】40解析：令1x =则有12a +=，得1a =，所以二项式为5112x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以其常数项为2332552240C C -⨯+⨯=所以答案为40.14【答案】22e -【解析】试题分析：画出22002x x y e y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩对应的平面区域，如图所示.(,)M x y 所在平面区域的面积为22202001|21122x x AOB e dx S e e e e ∆-=-⨯⨯=--=-⎰. 15.4,1618.【答案解析】（1）40（2）2049【思路点拨】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n 的方程，解方程可得n 值． （2）X=0，1，2，求出相应的概率，可得X 的分布列并计算E （X ），D （X ）．19. （I ）证明：取AB 的中点O ，连接,PO CO AC ，APB QV 为等腰三角形 PO AB ∴⊥………………………2分又Q 四边形ABCD 是菱形，120BCD ∠=︒ACB ∴V 是等边三角形 CO AB ∴⊥…………………………4分又CO PO O =I AB PCO ∴⊥平面，又PC PCO ⊂平面∴AB PC ⊥ ……………………………………6分20.解：(Ⅱ)11(1)3(13)331132n n n n b q T q +---===--， 1333()3622n k n +-∴+≥-对*n N ∈恒成立， 243nn k -∴≥对*n N ∈恒成立，----9分，21（Ⅰ）由已知可得，点P满足2PB PC AC BC+==>=所以，动点P 的轨迹1C是一个椭圆，其中2a =，22c = 动点P 的轨迹1C 的方程为22154x y +=.（Ⅱ）设2(,)N t t ，则PQ 的方程为：222()2y t t x t y tx t -=-⇒=-，联立方程组2222154y tx t x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得：2234(420)205200t x t x t +-+-=，……6分有243122412280(420)020*********t t t x x t t x x t ⎧⎪∆=+->⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，点M到PQ 的高为h =由1||2MPQ S PQ h ∆=代入化简得：即MPQS ∆=≤=；当且仅当210t=时，MPQ S ∆22【解析】(I)43y ex e=- (II) 当et 1≥时min()()ln f x f t t t == 10t e<<min 11()()f x f e e ==-(III) 342a e e <≤++解析：(Ⅰ)当5a =时2()(53)xg x x x e =-+-⋅,(1)g e =.2()(32)x g x x x e '=-++⋅，故切线的斜率为(1)4g e '=.所以切线方程为:4(1)y e e x -=-,即43y ex e =-.(Ⅱ)()ln 1f x x '=+,①当et1≥时,在区间(,2)t t +上()f x 为增函数,所以min ()()ln f x f t t t == ②当10t e <<时,在区间1(,)t e 上()f x 为减函数,在区间1(,)e e上()f x 为增函数, 所以min 11()()f x f ee==- (Ⅲ) 由()2()x g x e f x =，可得：223ln x x x ax =-+-，32ln a x x x=++, 令32()ln h x x x x =++, 22)1)(3(321)(x x x x xx h -+=-+=' .1132()h e e e=+-,14()h =,32()h e e e =++ .12420()()h e h e e e-=-+<. ∴实数a 的取值范围为342a e e<≤++. 24【答案解析】（1）{x 1x 4x ≤≥或}（2）-30a ≤≤（1）当3a=-时，()3323f x x x ≥⇔-+-≥2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩ 1x ⇔≤或4x ≥（2）原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立30a ⇔-≤≤【思路点拨】利用零点分段求出解集，求出最值求出参数a 。

2015届新课标高考模拟试卷（三）（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1.已知集合A={ x ｜lgx ≤0｝，B= {x ｜｜x+1｜>1｝，则A ∩B = A.（-2，1） B.（一co ，一2〕U ［1，＋co ） C. (0，1］ D.（一co ，-2) U (0，1] 2．复数iiz 2134++=的虚部为 A ．2- B ．2 C ．1- D ．13. 已知实数x ，y 满足约束条件，若y ≥kx ﹣3恒成立，则实数k 的数值范围是（ ）A ． [﹣，0]B ．[0，]C ．（﹣∞，0]∪[，+∞）D ．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）4．已知α是第三象限的角，且tan α=2，则sin （α+4π）= A ．31010-B ．31010C ．1010-D ．10105．在二项式8(2x)-的展开式中不含．．4x 的所有项的系数和为A ．1-B ．0C ．1D ．26. 下列所给的四个图象为某同学离开家的距离y 与所用时间t 的函数关系给出下列三个事件：(1)该同学离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业再去上学； (2)该同学骑着车一路以匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(3)该同学出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速． 其中事件（1）(2)(3)与所给图象分别吻合最好的是A.④①②B.③①②C.②①④D.③②①7．执行如图所示的算法，若输出的结果y≥2，则输入的x 满足 A ．x≤一l 或x≥4 B ．x≤-l C ．-1≤x≤4 D ．x≥4 8．函数()sin()f x x ωϕ=+（0,||2πωϕ><）的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像A ．关于点(,0)12π对称 B ．关于点5(,0)12π对称C ．关于直线512x π=对称 D ．关于直线12x π=对称 9.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的体积是（单位：m 3).A. 4＋26B. 4＋6 C 、23 D 、4310．直线l 与双曲线C ：22221(0,)x y a b a b-=>>交于A 、B 两点，M 是线段AB 的中 点，若l 与OM （O 是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为 A ．2B ．3C ．2D ． 311．设抛物线2y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，线段MF 的延长线与直线14x =-交于点N ，则1||||MF NF 1+的值为 A ．14B ．12C ．2D ．412.定义域为R 的函数f (x)满足f(1)＝l, 且 f (x)的导函数'()f x >12，则满足2f(x) <x ＋1的x 的集合为 A 、{x ｜－1<x<1} B. {x ｜x<1} C. {x ｜x<－1或x ＞1} D. {x ｜x ＞1} 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．函数y=1102x-的定义域为 。

2015年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}06|2<-+∈=x x R x M ，{}2|1||≤-∈=x R x N . 则N M = A ．(-3，-2] B ． B ． C ． D ． 7．执行如图所示的程序框图,则输出的结果为A ．2B ．1C ．21D ．1- 8．变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1）， （11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5） 变量U 与V 相对应的一组数据为（10，5）， （11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则 A ．210r r << B ． 210r r <<C ． 210r r <<D ．21r r =9．在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别是c b a ，，.若223sin 2sin ,2B C a b bc =-=,则角A 等于 A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 10. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为（单位：m 2）A.π）（2411+ B. π）（2412+ C.π）（2413+ D. π）（2414+ 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，设A ，B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB的斜率为7，则双曲线的离心率为A. 4B. 2C.D.12．已知函数,cos sin 3sin )(2R x x x x f ∈⋅+=αωωω，又　,21)(-=αf 21)(=βf .若βα-的最小值为43π，则正数ω的值为 A.21 B. 31 C. 41D. 51二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量=（1），=（0，-1），=（k.若2-与共线，则k=______________. 14．若曲线）（R 1∈+=ααx y 在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 15．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数．当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为________________.16．如图，在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝3，PB ＝2，PC ＝1.设M 是底面ABC 内的一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m 、n 、 p 分别是三棱锥M —PAB 、三棱锥M —PBC 、三棱锥M —PCA 的 体积．若),,21()(y x M f =，且81≥+yax 恒成立，则正实数a 的最小值为________．三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项13,0a d =≠公差,其前n 项和为n S ,且1413,,a a a 分别是等比数列{}n b 的第2项,第3项,第4项.(I)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (II)证明1211113.34n S S S ≤++⋅⋅⋅+< 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为32的菱形， 且∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝2 6，M ，N 分 别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2) 过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值．19．（本小题满分12分）甲、乙、丙三位同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将成为该校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三位同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三位同学能通过笔试的概率分别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.5,0.6,0.75.(1)求甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试的概率;(2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望)(X E .20．（本小题满分12分）已知椭圆）（012222>>=+b a by a x 的一个焦点与抛物线x y 342=的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形．(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m,0)，使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数2ln )(x x a x f += (a 为实常数) .(1)当4-=a 时,求函数)(x f 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值; (2)当[]e x ,1∈时,讨论方程()0=x f 根的个数.(3)若0>a ,且对任意的[]12,1,x x e ∈,都有()()212111x x x f x f -≤-,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CE CB =（1）证明：E D ∠=∠;（2）设AD 不是圆O 的直径，AD 的中点为M ， 且MC MB =，证明：△ADE 为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴。

2015年高三年级模拟考试数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数11izi+=-,则z的虚部为A．1B．1-C．i D．i-2．已知全集U R=,若集合{33}M x x=-<<，1{210}xN x+=-≥，则()UM N=ðA．[3,)+∞B．(1,3)-C．[1,3)-D．(3,)+∞3．现有某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有150件、120件、180件、150件．为了调查产品的情况，需从这600件产品中抽取一个容量为100的样本，若采用分层抽样，设甲产品中应抽取产品件数为x，设此次抽样中，某件产品A被抽到的概率为y，则x，y的值分别为.A25，14.B20，16.C25，1600.D25，164．已知等差数列{}n a的公差0d≠，且312a a=，则1324a aa a++的值为A．56B．45C．34D．235．执行如图1所示的程序框图，若100k=，则输出的结果为A．170 B．126 C．62 D．426．钝角三角形ABC的面积是1，2AB=，BC=AC=A．2 B C．10 D．7．若某几何体的三视图(单位：cm)如图2所示，则该几何体的体积为A．63cm B．123cm C．183cm D．363cm8．设,x y满足约束条件240330x yx y+-≥⎧⎨+-≥⎩，若(,)a y x m=+，(,)b y x m=-，且a b⊥，则正实数m的最小值为A B C D．1659．在ABC∆中，点D满足34BD BC=，点E是线段AD上的一个动点，若AE AB ACλμ=+，则22(1)tλμ=-+的最小值是A B C．910D．41810．已知椭圆:C22221x ya b+=（0a b>>）的左右顶点分别为A，B，左右焦点分别为1F，2F，点O为坐标原点，线段OB的中垂线与椭圆在第一象限的交点为P，设直线PA，PB，1PF，2PF的斜率分别为1k，2k，3k，4k，若1214k k⋅=-，则34k k⋅=A B．83-C．38-D．4-二、填空题：本大题共6小题，考生作答5个小题．每小题5分，共25分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，直线(sin cos)1ρθθ+=被圆2sinρθ=与所截得的弦长为．12．（几何证明选讲选做题）如图3，⊙O是ABC∆的外接圆，AB AC=，延长BC到点D，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若40D∠=︒,则ABE∠的大小为．13．（不等式选讲选做题）若两个正实数yx,满足211x y+=，且222x y a a+>-恒成立，则实数a的取值范围是．（二）必做题（14—16题）14．设1cos[0,1]2()1(1,]xxf xx exπ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪ ∈⎪⎩（其中e为自然对数的底数），则()y f x=的图象与直线0y=，x e=所围成图形的面积为．图1AB C DE图3俯视图15．设集合{0,1,2,3,4,5}A =，若A 的某个子集中任意2个元素之差的绝对值不等于1，则称此子集为A 的“分离子集”，那么从集合A 中任取3个元素构成子集B ，则B 为“分离子集”的概率为 ______________． 16．若a 是()sin cos f x x x x =-在(0,2)x π∈的一个零点，则下列结论中正确的有 ．①3(,)2a ππ∈； ②sin (0,2),cos x x a xπ∀∈≤； ③(0,),cos cos x x a x a π∀∈-<-； ④(0,2),sin sin x a x x a π∃∈<．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数)0,0(cos sin 2)(>>+=m x m x x f ωωω的最小值为2-，且图像上相邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求ω和m 的值； （Ⅱ）若6()25f θ=，3(,)44ππθ∈，求)8(πθ+f 的值．18．（本小题满分12分）某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为13，12；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为12，13，且两人租车的时间都不超过4小时． （Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．19．（本小题满分12分）在如图4所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，平面AEC ⊥平面ABCD ，90ACB ∠=︒，EF ∥BC ，BC EF 21=，2==BC AC ， EC AE =．（Ⅰ）求证：CF AF =；（Ⅱ）当二面角D EC A --的平面角的余弦值为33时，求三棱锥A EFC -的体积．20．（本小题满分13分）已知()f x 的图像过点(1,1)，且对任意x R ∈，都有(1)()3f x f x +=+，数列{}n a 满足11a =-，13()n n n n a f a n +⎧=⎨⎩为正奇数为正偶数 ．（Ⅰ）求()f n 关于*()n n N ∈的表达式和数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设3n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．21．（本小题满分13分）已知椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左右顶点是双曲线2C ：2213x y -=的顶点，且椭圆1C 的上顶点到双曲线2C（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与1C 相交于1M ，2M 两点，与2C 相交于1Q ，2Q 两点，且125OQ OQ ⋅=-，求12M M 的取值范围．22．（本小题满分13分）已知函数()ln f x x x =．（其中 2.71828e =为自然对数的底数）（Ⅰ）若方程()0f x a -=在区间21[,)e +∞上有2个不同的实根，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）设21()()g x f x x e =-，证明：1()eg x e->极小值；（III ）若11(,)P x y ，22(,)Q x y 是函数()f x 的图象上不同的两点，且函数()f x 的图象在P ，Q 处切线交点的横坐标为s ，直线PQ 在y 轴上的截距为t ，记M =12x x s t ⋅+⋅，请探索M 的值是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．ABDCEF2015年高三年级模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

高中数学高考模拟试卷（理科）2015.10（本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数111-++-=iiz ，在复平面内z 所对应的点在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是 （A（B ）（C（D ） 833.下列命题错误的是（A ）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” （B ）若命题2:,10p x R x x ∃∈++=，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≠ （C ）若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题（D ） “2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件4.如图，该程序运行后输出的结果为（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）165.设γβα,,为两两不重合的平面，,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γβγα⊥⊥,，则βα//；②若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//； ③若βα//，α⊂l ，则β//l ；④若γαγγββα//,,,l n m l === ，则n m //. 其中真命题的个数为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4俯视图6.已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若12852=++a a a ，则9S 等于（A ）18 （B ）36 （C ）72 （D ）无法确定 7. P 是ABC ∆所在平面内一点，若+=λ，其中R ∈λ，则P 点一定在（A ）ABC ∆内部 （B ）AC 边所在直线上 （C ）AB 边所在直线上 （D ）BC 边所在直线上8. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（A ） （B ） （C ）2 （D 9. 定义行列式运算12212121b a b a b b a a -=，将函数xx x f cos 1sin 3)(=的图象向左平移)0(>t t 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t 的最小值为 （A ）6π （B ）3π （C ）65π （D ）32π10. 设方程|)lg(|3x x-=的两个根为21,x x ，则（A ） 021<x x （B ）021=x x （C ） 121>x x （D ） 1021<<x x 11. 王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算.（A ）300秒 （B ）400秒 （C ）500秒 （D ）600秒12. 两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是（A ）40 （B ）48 （C ）60 （D ）68第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于a 的概率为 .14.若等比数列}{n a 的首项为32，且⎰+=4 1 4)21(dx x a ，则公比q 等于 .15. 已知)(x f 为奇函数，且当x >0时, 0)('>x f ，0)3(=f ，则不等式0)(<x xf 的解集为____________.16. 数列 ，，，，，，，，，，1423324113223112211，则98是该数列的第 项. 三．解答题：本大题共6小题，共74分. 17. （本小题满分12分）已知角C B A 、、是ABC ∆的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2cos),cos(1B A B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos ,85B A ,且89=⋅.（Ⅰ）求B A tan tan ⋅的值； （Ⅱ）求222sin cb a Cab -+的最大值.18. （本小题满分12分）正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A -DC -B （如图（2））. 在图形（2）中：（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E -DF -C 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使DE AP ⊥?证明你的结论.19. （本小题满分12分）张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为21. （Ⅰ）求张明进入下一轮的概率；（Ⅱ）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.20.（本小题满分12分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a . （Ⅰ）求21,a a 的值； （Ⅱ）已知))((21*N n t a b n n n ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．21. （本小题满分12分）已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有13||||21：：=. （Ⅰ）求椭圆离心率；（Ⅱ）设F AF B F 222111λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.22. （本小题满分14分）已知0>a ，）1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线. （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值；（Ⅲ）证明对任意的n a =)(*N n ∈，函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 单调递减区间的长度的取值范围.（区间],[21x x 的长度=12x x -）高中数学高考模拟试卷（理科）参考答案一．选择题： BCCCB BBACD BB1.解析：B. 21(1)1111(1)(1)i i z i i i i -+--=-=-=-++-，故选B.2. 解析：C.该几何体为正四棱锥，底面边长为22=1223V =⨯⨯=. 3. 解析：C .由“且”命题的真假性知，p 、q 中至少有一个为假命题，则p q ∧为假，故选项C 错误. 4. 解析：D.每次循环对应的b a ,的值依次为11,1,2,112a b b a ====+=；22,24,213a b a ====+=；43,4,216,314a b b a =====+=. 5. 解析：B.根据面面平行的判定可知①是假命题；②是假命题； ③是真命题；④是真命题.6. 解析：B. 2585312a a a a ++==，∴54a =,19592993622a a aS +=⨯=⨯=. 7. 解析：B. CB PA PB CB BP PA λλ=+⇒+= CP PA λ⇒=,∴C 、P 、A 三点共线.8. 解析：A. 抛物线212y x =-的准线方程为3x =，双曲线22193x y -=的渐近线为y x =，如图，它们相交得OAB ∆，则(3,A B ,∴132OAB S ∆=⨯=.9. 解析：C. 1sin ()sin sin )2cos xf x x x x x x==-=-2cos()6x π=+.函数()f x 向左平移65π后为55()2cos()2cos()2cos 666f x x x x ππππ+=++=+=-，所以5()2c o s6f x x π+=-为偶函数. 10. 解析：D. 如图，易知231x x =，3120x x x <<<，∴1201x x <<.11. 解析：B. 设王先生每月拨打长途x 秒，拨打本地电话5x 秒，根据题意应满足50.3650.60120.060.076060x x x x ⋅⋅++≤+，解得400x ≥. 12. 解析：B. 只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达.若奥迪车上没有小孩，则有2344C C +=10种；若有一个小孩，则有11232444()C C C C ++=28种；若有两个小孩，则有1244C C +=10种.故不同的乘车方法种数为10+28+10=48种. 二．填空题13.6π；14.3；15. {|033x 0}x x <<-<<或；16.128. 13. 解析：6π.易知，在正方体内到点A 的距离小于a 的点分布在以A 为球心，以a 为半径的球的18部分内.故所求概率即为体积之比3341386a P a ππ⋅==.14. 解析：3. 42224 14(12)()44(11)181a x dx x x =+=+=+-+=⎰；123a =，341a a q =⋅得公比3q =.15. 解析：{|033x 0}x x <<-<<或.根据题意，函数()f x 的图象如图，可得0)(<x xf 的解集为{|033x 0}x x <<-<<或.16. 解析：128.分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，…，为16的有15项.而98是分子、分母之和为17的第8项.故共有1511581282+⨯+=项. 三．解答题17. （本题小满分12分）已知角C B A 、、是ABC ∆的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2cos),cos(1B A B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos ,85B A n ,且89=⋅.（Ⅰ）求B A tan tan ⋅的值；（Ⅱ）求222sin c b a Cab -+的最大值. 解：（Ⅰ）由(1cos(),cos )2A B m A B -=-+ ,5(,cos )82A Bn -= ，且98m n ⋅= ， 即259[1cos()]cos 828A B A B --++=.---------------------------------------------------------------------------2分 ∴4cos()5cos()A B A B -=+,-------------------------------------------------------------------------------------4分即cos cos 9sin sin A B A B =,∴1tan tan 9A B =.--------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由余弦定理得222sin sin 1tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+-，-------------------------------------------------8分而∵tan tan 9tan()(tan tan )1tan tan 8A B A B A B A B ++==+-9384≥⨯=, 即tan()A B +有最小值34.-----------------------------------------------------------------------------------------10分又tan tan()C A B =-+,∴tan C 有最大值34-（当且仅当1tan tan 3A B ==时取等号），所以222sin ab C a b c +-的最大值为38-.-------------------------------------------------------------------------------12分18. （本题小满分12分）正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A -DC -B （如图（2））. 在图形（2）中：（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E -DF -C 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使DE AP ⊥?证明你的结论.解法一：（Ⅰ）如图（2）：在ABC ∆中，由EF 分别是AC 、BC 的中点，得EF//AB ，又⊄AB 平面DEF ，⊂EF 平面DEF . ∴//AB 平面DEF.-----------------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）CD BD CD AD ⊥⊥,，∴ADB ∠是二面角A -CD -B 的平面角.-------------------------------------------------------------------------------------4分∴BD AD ⊥，∴⊥AD 平面BCD .取CD 的中点M ，则EM //AD ，∴EM ⊥平面BCD .过M 作MN ⊥DF 于点N ，连结EN ，则EN ⊥DF ，MNE ∠是二面角E -DF -C 的平面角.----------------------------------------------------6分在EMN Rt ∆中，EM =1，MN =23，∴721cos =∠MNE .----------------------------------8分（Ⅲ）在线段BC 上取点P ，使BP =BC 31，过P 作PQ ⊥CD 于点Q ，∴⊥PQ 平面ACD .-----------------11分∵，33231==DC DQ ∴ADQ Rt ∆中，33tan =∠DAQ .在等边ADE ∆中， ,30 =∠DAQ ∴DE AP DE AQ ⊥⊥,.------------------------------------------------------12分解法二：（Ⅱ）以点D 为坐标原点，以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,3,1(),1,3,0(),0,32,0(002(),2,0,0(F E C B A ），，，------------------------------------------4分平面CDF 的法向量)2,0,0(=.设平面EDF 的法向量为n=（x ,y ,z ）.则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0DE n DF ，即⎩⎨⎧=+=+0303z y y x ，取)3,3,3(-=------------------------------------------6分721||||cos =⋅>=⋅<n DA .二面角E -DF -C 的平面角的余弦值为721.------------------------------------8分 （Ⅲ）在平面坐标系x D y 中，直线BC 的方程为323+-=x y ，设)0,332,(x x P -，则)2,332,(--=x x .--------------------------------------------------------------------------------------------------------10分∵x DE AP 31340=⇒=⇒=⋅⇒⊥. ∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE .---------------------------------------------------------------12分.19. （本题小满分12分）张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为21. （Ⅰ）求张明进入下一轮的概率；（Ⅱ）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.解法一：（Ⅰ）张明答4道题进入下一轮的概率为161)21(4=；----------------------------------------------------1分 答5道题进入下一轮的概率为812121)21(334=⋅⋅C ；--------------------------------------------------------------------2分答6道题进入下一轮的概率为32521)21()21(2335=⋅⋅C ；--------------------------------------------------------------3分答7道题进入下一轮的概率为32521)21()21(3336=⋅⋅C ；-------------------------------------------------------------5分张明进入下一轮的概率为1155116832322P =+++=.---------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为4，5，6，7.当ξ=4时可能答对4道题进入下一轮，也可能打错4道题被淘汰.81)21()21()4(44=+==ξP ； 类似有4121)21()21(21)21()21()5(334334=⋅⋅+⋅⋅==C C P ξ；)6(=ξP =+⋅⋅21)21()21(2335C 16521)21()21(2335=⋅⋅C ； )7(=ξP =+⋅⋅21)21()21(3336C 16521)21()21(3336=⋅⋅C .----------------------------------------------10分 于是ξ的分布列为161671664584=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ---------------------------------------------------------------------12分解法二：（Ⅱ）设张明进入下一轮的概率为1P ，被淘汰的概率为2P ，则121=+P P ，又因为张明答对每一道题的概率都为21，答错的概率也都为21.所以张明答对4题进入下一轮与答错4题被淘汰的概率是相等的.即21P P =. 所以张明进入下一轮的概率为21.--------------------------------------------------------------------------------------6分20.（本小题满分12分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a . （Ⅰ）求21,a a 的值； （Ⅱ）已知))((21*N n t a b n n n ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．解法一：（Ⅰ）由)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，得33222127a a =++=29a ⇒=.2212219a a =++=12a ⇒=.--------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）*11221(,2)(1)2(1)2nnn n n n a a n N n a a --=++∈≥⇒+=++*(,2)n N n ∈≥1111122n n nn a a --++⇒=+*(,2)n N n ∈≥---------------------------------------------------------5分 1111122n n n n a a --++⇒-=*(,2)n N n ∈≥，令*1(1)()2n n nb a n N =+∈，则数列}{n b 成等差数列，所以1t =. ---------------------------------------------------------------------------------------------7分（Ⅲ））}{n b 成等差数列，1(1)n b b n d =+-321(1)22n n +=+-=.121(1)22n n n n b a +=+=； 得1(21)21n n a n -=+⋅-*()n N ∈.--------------------------------------------------------------8分n S =21315272(21)2n n n -⋅+⋅+⋅+++⋅- -----------①2n S =23325272(21)22n n n ⋅+⋅+⋅+++⋅- --------------------② ① - ② 得213222222(21)2n n n S n n --=+⋅+⋅++⋅-+⋅+233222(21)2nnn n =++++-+⋅+ 14(12)3(21)212n n n n --=+-+⋅+- =(21)21nn n -+⋅+-.所以(21)21n n S n n =-⋅-+*()n N ∈-------------------------------------------------------------12分.解法二：（Ⅱ）))((21*N n t a b n n n ∈+=且数列}{n b 成等差数列，所以有1()n n b b +-*()n N ∈为常数. 11111()()22n n n n n n b b a t a t +++-=+-+*()n N ∈1111(221)()22n n n n n a t a t ++=+++-+*()n N ∈111112222n n n n n n t ta a ++=++--*()n N ∈ 1112n t+-=+*()n N ∈，要使1()n n b b +-*()n N ∈为常数.需1t =.---------------------------------7分21. （本题小满分12分）已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有13||||21：：=.（Ⅰ）求椭圆离心率；（Ⅱ）设F AF B F AF 222111λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.解：（Ⅰ）当AC 垂直于x 轴时，a b 22||=，13||||21：：=，∴ab 213||=∴a a b 242=，∴222b a =，∴22c b =，故22=e .-----------------------------------------3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为22222b y x =+，焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -.①当弦AC 、AB 的斜率都存在时，设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ，则AC 所在的直线方程为)(00b x bx y y --=， 代入椭圆方程得0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b .∴02222023bx b y b y y --=，--------------------------------------------------------------5分F AF 222λ=，bx b y y 020223-=-=λ.--------------------------------------------------7分 同理bx b 0123+=λ，∴621=+λλ------------------------------------------------------9分 ②当AC 垂直于x 轴时，则bbb 23,112+==λλ，这时621=+λλ； 当AB 垂直于x 轴时，则5,121==λλ，这时621=+λλ.综上可知21λλ+是定值 6.---------------------------------------------------------------12分22. （本题小满分14分）已知0>a ，）1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线. （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值；（Ⅲ）证明对任意的n a =)(*N n ∈，函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 单调递减区间的长度的取值范围.（区间],[21x x 的长度=12x x -）解：（Ⅰ）1)0(),1ln(12)(2=+++-=f x x ax x f ,11)22(21122)(2'+--+=++-=x x a ax x ax x f , 1)0('=f ，切点)1,0(P ，l 斜率为1-.∴切线l 的方程：1+-=x y ------------------------------------------------------３分（Ⅱ）切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点等价于方程1)1ln(122+-=+++-x x x ax 有且只有一个实数解.令)1ln()(2++-=x x ax x h ，则0)(=x h 有且只有一个实数解.---------------------------4分 ∵0)0(=h ，∴0)(=x h 有一解0=x .------------------------------------------------------5分1)]121([21)12(21112)(2'+--=+-+=++-=x a x ax x x a ax x ax x h --------------------------------６分 ①)(),1(01)(,212'x h x x x x h a ->≥+==在),1(+∞-上单调递增， ∴0=x 是方程0)(=x h 的唯一解；------------------------------------------------------7分 ②0)(,210'=<<x h a ，0121,021>-==ax x∴0)11ln(11)1(,0)0()121(2>++-⨯==<-a a aa a h h a h ， ∴方程0)(=x h 在),121(+∞-a上还有一解.故方程0)(=x h 的解不唯一；--------------------8分③当0)(,21'=>x h a ，)0,1(121,021-∈-==ax x∴0)0()121(=>-h ah ，而当1->x 且x 趋向-1时，)1ln(,12++<-x a x ax 趋向∞-，)(x h 趋向∞-. ∴方程0)(=x h 在)1211(--a，上还有一解.故方程0)(=x h 的解不唯一.综上，当l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点时，21=a .-------------------------10分（Ⅲ）11)22(2)(2'+--+=x x a ax x f ；∵,1->x ∴0)('<x f 等价于01)22(2)(2<--+=x a ax x k .∵0)1(48)22(22>+=+-=∆a a a ，对称轴12121422->+-=--=aa a x ，011202(2)1(>=---=-a a k ，∴0)(=x k 有解21,x x ，其中211x x <<-.∴当),(21x x x ∈时，0)('<x f .所以)(x f y =的减区间为],[21x x22122121211214)222(4)(aa a a x x x x x x +=⨯+--=-+=---------------------------12分 当)(*N n n a ∈=时，区间长度21211n x x +=-21112=+≤ ∴减区间长度12x x -的取值范围为)2,1(--------------------------------------------------14分。

高三数学(理)2015．5本试卷共5页，分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟．第I 卷(选择题 共50分)注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的． 1.i 是虚数单位，复数221ii-=+ A.2B. 2-C.2iD. 2i -2.已知集合(){}{}22ln ,90A x y x x B x xA B ==-=-≤⋂=，则A. [][]3013-⋃，，B. [](]3013-⋃，，C. ()01，D. []33-，3.若,,,a b c 均为实数，且0ab <，则下列不等式正确的是A. a b a b +>-B. a b a b +>-C. a c a b b c -≤-+-D. a b a b -<-4.设01a a >≠且.则“函数()()log 0a f x x =+∞是，上的增函数”是“函数()()1x g x a a =-⋅”是R 上的减函数的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5.一个几何体的三视图如图所示，其中左视图为直角三角形，则该几何体的体积为 A. 162B.423 C.823D.16236.运行如图所示的程序框图，若输出的S 是254，则①处应为 A. 5n ≤ B. 6n ≤ C. 7n ≤ D. 8n ≤7.已知函数()()2sin 16f x x x R πω⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为x π=，其中ω为常数，且()1,2ω∈，则函数()f x 的最小正周期为 A.35π B.65π C.95π D.125π8.当0a >时，函数()()22x f x x ax e =+的图象大致是9.已知抛物线21:2C y x =的焦点F 是双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>的一个顶点，两条曲线的一个交点为M ，若32MF =，则双曲线2C 的离心率是 A.2B.17 C.26D.33 10.已知函数()f x 和()g x 是两个定义在区间M 上的函数，若对任意的x M ∈，存在常数0x M ∈，使得()()()()()()0000,f x f x g x g x f x g x ≥≥≤，且，则称函数()f x 和()g x 在区间M 上是“相似函数”.若()()()322log 138f x x b g x x x =-+=-+与在5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“相似函数”，则函数()f x 在区间5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为 A.4 B.5C.6D.92第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：将第II 卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知()()2,22a b a b a b a b ==+⋅-=-，则与的夹角为_________.12.已知圆C 的圆心是直线10x y x -+=与轴的交点，且圆C 与圆()()22238x y -+-=相外切，则圆C 的方程为__________.13.已知,x y 满足约束条件002040x y x y x y <⎧⎪>⎪⎨+-≤⎪⎪-+≥⎩，若目标函数()0z x my m =+≠取得最大值时最优解有无数个，则m 的值为___________.14.有2位女生，3位男生站成一排合影，要求女生甲不在队伍两端，3位男生中有且仅有2位相邻，则不同的排队方法共有__________种.15.已知函数()f x 对任意x R ∈满足()()()11f x f x f x +=-，且是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()21f x x =-+，若方程()f x a x =至少有4个相异实根，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为,,,a b c 向量2sin,cos 2A m A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，212sin ,,4A n m n ⎛=-⊥ ⎝且.（I ）求角A 的余弦值； （II）若a =ABC ∆的面积最大值.17. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，M,N 分别为PB,CD 的中点，二面角P CD A --的大小为60°，AC=AD=2，CD=PN=2,PC=PD.（I ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（II ）求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.18. （本小题满分12分）2015年中国男子国家足球队再度征战世界杯亚洲区预选赛，中国队与卡塔尔、马尔代夫、不丹、中国香港同处一组.比赛采取主客场积分制，既任意两队分别在自己的国家或地区（主场）和对方的国家或地区（客场）各比赛一场，规定每场胜者得3分，负者得0分，战平各得1分，按积分多少排名.卡塔尔队是中国队最主要的竞争对手，假设中国队与卡塔尔队在对阵其他三队的主客场比赛中都全部获胜；中国队在对阵卡塔尔队主场战胜的概率为12，战平的概率为13，在客场胜、平、负的概率均为13，各场比赛结果相互独立. （I ）求中国队在主场不败的情况下积分大于卡塔尔队积分的概率；（II ）求比赛结束时中国队积分X 的分布列与数学期望.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 与{}n b 满足：(){}1232log .n n n a a a a b n N a *+++⋅⋅⋅+=∈若为等差数列，且1322,64a b b ==. （I ）求n n a b 与； （II ）设(){}212n a n n n c a n c -=++⋅，数列的前n 项和为n T ，求n T 并比较1310n n T n +与的大小()*n N∈.20. （本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为6，点O为坐标原点，椭圆C 与曲线y x =的交点分别为A,B （A 在第四象限），且32OB AB ⋅=u u u r u u u r .（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）定义：以原点O 22221x y a b+=的“伴随圆”.若直线l 交椭圆C 于M,N 两点，交其“伴随圆”于P,Q 两点，且以MN 为直径的圆过原点O.证明：PQ 为定值. 21. （本小题满分14分）已知函数()()()()()ln ,f x x x ax a R g x f x '=-∈=.（I ）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线310x y --=平行，求实数a 的值； （II ）若0a >，求函数()g x 在[]1,e 上的最大值； （III ）若函数()()212F x g x x =+两个极值点1212,x x x x <，且，求证：()()211f x f x <-<.。