2021年数学高考仿真模拟试题 (2)模拟练习题

2021年山东省高考数学仿真模拟试卷（二）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|2x 2−7x −4≤0}，B ={x||x|<3}，则A ∩B =( )A. (−2,3)B. (−2,3]C. (−12,2)D. [−12,3)2. 设复数z 满足z(√3−i)=(1+i)2，则|z|=( )A. 12B. √22C. 1D. √323. 关于命题，下列判断正确的是( )A. 命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题B. 命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C. 命题“∀x ∈R ，x 4∈R ”的否定为“∃x 0∈R ，x 04∉R ” D. 命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”4. 已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2<0成立，则a 的取值范围是( )A. a ∈(0,1)B. a ∈[34,1)C. a ∈(0,13]D. a ∈[34,2)5. 函数f(x)=√2sinx −1的奇偶性为( )A. 奇函数B. 既是奇函数也是偶函数C. 偶函数D. 非奇非偶函数6. 已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则( ) A. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y ≤0mx −y ≤0x +y ≤1，其中m <−1，若目标函数y =yx−m 的最大值为2，则m 的值为( )A. −32B. −2C. 12或2D. −32或−28. 2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B 、C 三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有( )A. 630种B. 600种C. 540种D. 480种二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x n,y n)，则下列说法中正确的是()A. 由样本数据得到的回归方程ŷ=b̂x+â必过样本中心(x−,y−)B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C. 用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D. 若变量y和x之间的相关系数为r=−0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系10.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法正确的是()A. 该截角四面体的表面积为7√3a2B. 该截角四面体的体积为23√212a3C. 该截角四面体的外接球表面积为112πa2D. 该截角四面体中，二面角A−BC−D的余弦值为1311.已知等比数列{a n}的公比q=−23，等差数列{b n}的首项b1=12，若a9>b9且a10> b10，则以下结论正确的有()A. a9⋅a10<0B. a9>a10C. b10>0D. b9>b1012.在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2=2y的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则()A. y1y2=14B. 以AB为直径的圆与直线y=−12相切C. |OA|+|OB|的最小值2√2D. 经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.二项式(2√x −x2)6的展开式中，常数项为______ ．14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2=2a2，则cos A的最小值为______ ．15. 过圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)外一点(2,0)引直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，当△AOB的面积取最大值时，直线l 的斜率等于±√33，则r 的值为______ ．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分） 16. 设函数f(x)=x 2+1x，g(x)=x e x ，则函数g(x)=xe x (x >0)的最大值为 (1) ；若对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，则正数k 的取值范围是 (2) ．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足√3c =b(sinA +√3cosA)．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若a +c =2，求b 的取值范围．18. 已知各项均为正数的等差数列{a n }满足a 1=1，a n+12=a n 2+2(a n+1+a n ).(1)求{a n }的通项公式；(2)记b n =a +a ，求数列{b n }的前n 项和S n ．19. 某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y 的频数分布表．y的分组[−0.4,−0.2)[−0.2,0)[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)企业数3024401610(1)估计这些企业中产值负增长的企业比例(用百分数表示)．(2)估计这120个企业产值增长率的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)．(3)以表中y的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查.若采访的企业的增长率y∈[−0.4,−0.2)，则采访价值为1；采访的企业的增长率y∈[−0.2,0)，则采访价值为2；采访的企业的增长率y∈[0,0.6)，则采访价值为3.设选取的两个企业的采访价值之和为X，求X的分布列及数学期望．20.如图所示，四棱锥S−ABCD的底面ABCD为梯形，平面SCD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=∠SCD=90°，CD=1．AB=AD=12(1)求证：平面SBD⊥平面SBC；(2)若二面角A−SB−C的余弦值为−3√20，求SC的长20度．21. 已知圆F 1：(x +1)2+y 2=r 2与圆F 2：(x −1)2+y 2=(4−r)2(1≤r ≤3)的公共点的轨迹为曲线E ． (1)求E 的方程；(2)设点A 为圆O ：x 2+y 2=127上任意点，且圆O 在点A 处的切线与E 交于P ，Q两点.试问：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22. 已知函数f(x)=lnx x．(1)若直线y =kx −1是曲线y =f(x)的切线，求实数k 的值； (2)若对任意x ∈(0,+∞)，不等式f(x)≤ax −1−lna x成立，求实数a 的取值集合．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为集合A ={x|2x 2−7x −4≤0}={x|(2x +1)(x −4)≤}={x|−12≤x ≤4}，又B ={x||x|<3}={x|−3<x <3}， 所以A ∩B ={x|−12≤x <3}. 故选：D ．先分别求出集合A 和集合B ，然后利用集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由z(√3−i)=(1+i)2=2i ， 得z =3−i=√3+i)(3−i)(3+i)=−12+√32i ， ∴|z|=12)(√32)=1．故选：C ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】解：命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词，是全称命题，所以A 不正确； 命题“有一个素数不是奇数”是存在量词命题，所以B 不正确；命题“∀x ∈R ，x 4∈R ”的否定为“∃x 0∈R ，x 04∉R ”，满足命题的否定形式，所以C正确；命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，所以D 不正确； 故选：C ．利用量词判断AB 的正误；命题的否定判断CD 的正误．本题考查命题的真假的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．4.【答案】C【解析】解：∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13， ∴a 的取值范围是(0,13]． 故选：C ．根据条件可知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，解出a 的范围即可．本题考查了减函数的定义，指数函数、一次函数和分段函数的单调性，考查了计算和推理能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，f(x)=√2sinx −1，必有2sinx ≥1，即sinx ≥12， 则有2kπ+π6≤x ≤2kπ+5π6，k ∈Z ，即函数f(x)的定义域为[2kπ+π6,2kπ+5π6]，k ∈Z ，定义域不关于原点对称，则f(x)为非奇非偶函数， 故选：D ．根据题意，求出函数的定义域，分析可得其定义域不关于原点对称，结合函数奇偶性的定义分析可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数定义域的分析，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以点P 为△ABC 的重心， 延长PA 交BC 于点M ，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =B ⃗⃗ C −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23B ⃗⃗ A −13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．利用已知条件确定点P 为△ABC 的重心，然后利用重心的几何性质以及平面向量基本定理求解即可．本题考查了平面向量基本定理的应用，解题的关键是确定点P 为三角形的重心，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：由约束条件{x −y ≤0mx −y ≤0x +y ≤1，其中m <−1作出可行域如图，联立{x +y =1mx −y =0，解得A(11+m ,m1+m )，由图可知，要使目标函数y =yx−m 的最大值为2， 即可行域内的动点与定点P(m,0)连线斜率的最大值为2， 则P 在直线x =11+m 的左边，此时k PA =m 1+m 11+m−m =m 1−m−m 2=2，解得m =12(舍)或m =−2． 故选：B ．由约束条件作出可行域，再由yx−m 的几何意义，即可行域内的动点与定点P(m,0)连线斜率列式求解．本题考查简单的线性规划，考查数学转化思想与数形结合的解题思想，是中档题．8.【答案】C【解析】解：把6名工作人员分为1，1，4三组，则不同的安排方式共有：C 61C 51C 44A 22⋅A 33=90种，把6名工作人员分为2，2，2三组，不同的安排方式共有：C 62C 42C 22A 33⋅A 33=90种，把6名工作人员分为1，2，3三组，不同的安排方式共有：C 61C 52C 33⋅A 33=360种，综上，不同的安排方式共有90+90+360=540种， 故选：C ．把6名工作人员分别分为(1,1，4)，(2,2，2)，(1,2，3)三种情况讨论，然后分别计算即可求解．本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了分类讨论思想以及学生的运算能力，属于基础题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A ，由样本数据得到的回归方程y ̂=b ̂x +a ̂必过样本中心(x −,y −)，故选项A 正确；对于B ，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故选项B 正确；对于C ，用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好，故选项C 错误；对于D ，若变量y 和x 之间的相关系数为r =−0.9362，r 的绝对值接近于1，则变量y 和x 之间具有线性相关关系，故选项D 正确． 故选：ABD ．利用回归分析中的基本概念和原理对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了回归分析的基本知识的理解，涉及了回归方程、残差平方和、相关指数的理解和应用，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：题中截角四面体由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成，故S =4×√34a 2+4×6×√34a 2=7√3a 2，故选项A 正确；因为棱长为a 的正四面体的高ℎ=√63a ，所以V =13⋅√34⋅(3a)2⋅√63⋅(3a)−4⋅13⋅√34a 2⋅√63a =23√212a 3，故选项B 正确‘因为截角四面体上下底面距离为√6a −√63a =2√63a ， 所以√R 2−O′C 2+√R 2−O′H 2=2√63a ， 所以√R 2−a 23=2√63a −√R 2−a 2，即R 2−a 23=83a 2+R 2−a 2−4√63a ⋅√R 2−a 2，所以R 2=118a 2，故S =4πR 2=112πa 2，故选项C 正确；二面角A −BC −D 的余弦值应该为负值，故选项D 错误． 故选：ABC ．确定截角四面体是由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积、体积、外接球的表面积，即可判断选项A ，B ，C ，然后由二面角的余弦值的正负判断选项D ．本题以命题真假的判断为载体考查了空间几何体的表面积和体积的求解，解题的关键是分析出截角四面体的结构特征，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：数列{a n }是公比q 为−23的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列，则a 9=a 1(−23)8，a 10=a 1(−23)9，∴a 9⋅a 10=a 12(−23)17<0，故A 正确；∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10>b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9>b 9且a 10>b 10，则a 1(−23)8>12+8d ，a 1(−23)9>12+9d ， 可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d <0， 即有a 9>b 9>b 10，故D 正确． 故选：AD ．设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D正确．本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及单调性的判断，考查运算能力和推理能力，是中档题．12.【答案】ABD【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(0,12)，显然过焦点F的直线的斜率显然存在，设直线l的方程为：y=kx+12，联立{y=kx+12x2=2y，整理可得：x2−2kx−1=0，可得x1+x2=2k，x1x2=−1，所以y1+y2=k(x1+x2)+1=2k2+1，y1y2=x12x224=14；所以A正确；以AB为直径的圆的圆心坐标为：(x1+x22,y1+y22)，即(k,k2+12)，半径|AB|2=y1+y2+12=k2+1，所以圆心到直线y=−12的距离为：k2+12+12=k2+1等于半径，所以圆与直线相切，所以B正确；当直线AB与x轴平行时，|OA|=|OB|=√52，|OA|+|OB|=√5<2√2，所以|OA|+|OB|的最小值不是2√2，故C不正确；直线OA的方程为：y=y1x1x=x12x，与x=x2的交点坐标为：(x2,x1x22)，因为x1x22=12，所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点在定直线y=−12上，故D正确；故选：ABD．由抛物线的方程可得焦点，设直线l的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得A正确；可得AB的中点的坐标，及弦长|AB|的值，进而求出圆心到直线y=−12的距离恰好等于半径，可得与直线相切；当直线AB与x轴平行时可得|OA|=|OB|的值，可得|OA|+|OB|的最小值不为2√2，判断C不正确，设过B的直线与直线OA的直线的交点的纵坐标为定值，可得D正确．本题考查直线与抛物线的综合，命题真假的判断，属于中档题．13.【答案】60【解析】解：展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(√x )6−r⋅(−x2)r=C6r⋅26−2r⋅(−1)r x3r−62，令3r−62=0，解得r=2，所以展开式的常数项为C62⋅22⋅(−1)2=60，故答案为：60．先求出通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．14.【答案】12【解析】解：∵b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时取等号，∴12bc ≥1b2+c2，且b2+c2=2a2，∴根据余弦定理，有cosA=b2+c2−a22bc ≥2a2−a2b2+c2=a22a2=12，当且仅当b=c=a时等号成立，∴cosA的最小值为12．故答案为：12．根据条件，利用不等式b2+c2≥2bc和余弦定理，即可求出cos A的最小值．本题考查了余弦定理和重要不等式，考查了计算能力，属于中档题．15.【答案】√2【解析】解：S△AOB=12|OA||OB|sin∠AOB=12r2sin∠AOB，当∠AOB=90°时，△AOB面积最大，此时圆心O到直线AB的距离d=√22r，设直线AB的方程为y=k(x−2)，k2=13，则d=√k2+1=√22r，∴4k2k2+1=12r2，将k2=13代入，解得r=√2．故答案为：√2．利用三角形面积公式可知，当∠AOB=90°时，△AOB面积取得最大值，再利用点到直线的距离公式求得结果．本题考查直线与圆的位置关系，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】1e[12e −1,+∞)【解析】解：g(x)=xe x 的导数为g′(x)=1−x e x，则0<x <1时，g′(x)>0，g(x)递增；x >1时，g′(x)<0，g(x)递减， 可得g(x)在x =1处取得极大值，且为最大值1e ；又x >0时，f(x)=x +1x ≥2√x ⋅1x =2，当且仅当x =1时取得最小值2，由对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，可得1ek ≤2k+1，由k >0，可得k ≥12e−1， 故答案为：1e ；[12e−1,+∞)．求得g(x)的导数，可得单调区间和极值、最值，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，可得1k g(x)max ≤1k+1f(x)min ，结合基本不等式可得所求范围． 本题考查函数的导数的运用：求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理知，b sinB =csinC ，∵√3c =b(sinA +√3cosA)， ∴√3sinC =sinB(sinA +√3cosA)，又sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ， ∴√3sinAcosB =sinBsinA ， ∵sinA ≠0，∴tanB =√3， ∵B ∈(0,π)，∴B =π3．(Ⅱ)由余弦定理知，b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =(a +c)2−2ac −2ac ⋅cos π3=(a +c)2−3ac ， ∵a +c =2，∴b2=4−3ac，即ac=4−b23，而ac≤(a+c)24=1，当且仅当a=c=1时，等号成立，∴4−b23≤1，解得b≥1，又b<a+c=2，∴1≤b<2，故b的取值范围为[1,2)．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求出tan B的值，从而得解；(Ⅱ)由余弦定理可推出b2=4−3ac，再利用基本不等式可得ac≤1，然后结合b<a+c，得解．本题主要考查解三角形，还涉及基本不等式，熟练掌握正弦定理、余弦定理与两角和的正弦公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)各项均为正数的等差数列{a n}满足a1=1，a n+12=a n2+2(a n+1+a n)，整理得(a n+1+a n)(a n+1−a n)=2(a n+1−a n)，由于a n+1+a n≠0，所以a n+1−a n=2(常数)，故数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列．所以a n=2n−1．(2)b n=√a+a =√2n−1+√2n+1=√2n+1−√2n−12，所以S n=12×(√3−1+√5−√3+...+√2n+1−√2n−1)=12(√2n+1−1)．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；(2)利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)产值负增长的企业频率为：30+24120=0.45=45%，用样本频率分布估计总体分布得这些企业中产值负增长的企业比例为45%．(2)企业产值增长率的平均数y−=1120(−0.3×30−0.1×24+0.1×40+0.3×16+0.5×10)=0.02；(3)企业的增长率y∈[−0.4,−0.2)的概率为30120=14，企业的增长率y∈[−0.2,0)的概率为24120=15，企业的增长率y∈[0,0.6)的概率为40+16+10120=1120，由题意可得X的可能取值为2，3，4，5，6，则P(X=2)=14×14=116，P(X=3)=2×14×15=110，P(X=4)=15×15+2×14×1120=63200，P(X=5)=2×15×1120=1150，P(X=6)=1120×1120=121400，所以X的分布列为：X 2 3 4 5 6P116110632001150121400故E(X)=2×116+3×110+4×63200+5×1150+6×121400=235．【解析】(1)根据频数分布表计算即可；(2)根据平均值的计算公式代入数据计算即可；(3)先求出各个对应的概率，然后求出X的可能取值，由此求出对应的概率，进而可以求解．本题考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望、考查了学生的计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：由题意，在底面梯形ABCD中，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=1，CD=2，∴BD=BC=√2，∵CD=2，∴BD2+BC2=CD2，∴BD⊥BC，∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD=CD，且SC⊥CD，SC⊂平面SCD，∴SC⊥平面ABCD，∵BD⊂平面SBD，∴平面SBD⊥平面SBC．(2)由(1)知SC⊥平面ABCD，以C 为坐标坐标原点，CD 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内垂直于CD 的直线为y 轴， CS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(2,1，0)，B(1,1，0)，D(2,0，0)， 设SC =ℎ(ℎ>0)，∴S(0,0，ℎ)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,ℎ)，BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,ℎ)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 由(1)得BD ⊥平面SBC ，∴平面SBC 的一个法向量为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设平面ABS 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0n ⃗ ⋅BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −y +ℎz =0，令z =1，得n⃗ =(0,h ，1)， ∴cos <n ⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√2⋅√1+ℎ2=−3√2020，解得ℎ=3，∴SC =3．【解析】(1)根据条件得到BD ⊥BC ，由面面垂直的性质得到SC ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的判定定理，即可证明平面SBD ⊥平面SBC ；(2)由SC ⊥平面ABCD ，以C 为坐标坐标原点，CD 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内垂直于CD 的直线为y 轴，CS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用和向量法能求出结果．本题考查面面垂直的证明，二面角和线段长的求法，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．21.【答案】解：(1)设公共点为P ，则PF 1=r ，PF 2=4−r ，所以PF 1+PF 2=4>F 1F 2，故公共点P 的轨迹为椭圆， 则2a =4，所以a =2，又c =1，所以b 2=3， 所以曲线E 的方程为x 24+y 23=1；(2)当直线PQ 的斜率不存在时，直线PQ 的方程为x =±√127，代入椭圆x 24+y 23=1，y =±√127，所以OP ⊥OQ ；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y =kx +m ， 因为直线PQ 与圆O 相切，所以√k 2+1=r ，解得m 2=127(k 2+1)，将直线PQ 的方程代入椭圆x 24+y 23=1中，可得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0， 所以x 1+x 2=−8km4k 2+3,x 1x 2=4m 2−124k 2+3，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(k 2+1)(4m 2−12)4k 2+3−8k 2m 24k 2+3+m 2 =7m 2−12(k 2+1)4k 2+3，将m 2=127(k 2+1)代入上式，化简可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故OP ⊥OQ ， 综上所述，恒有OP ⊥OQ ，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=−127．【解析】(1)设公共点为P ，求出PF 1=r ，PF 2=4−r ，利用椭圆的定义，即可得到点P 的轨迹为椭圆，然后再求解椭圆的标准方程即可；(2)当直线PQ 的斜率不存在时，可得OP ⊥OQ ；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程与椭圆的方程联立，得到韦达定理，然后利用直线与圆相切得到m 与k 的关系，利用向量的作标表示证明OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而可求得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．本题考查了动点轨迹方程的求解，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵f(x)=lnx x(x >0)，∴f′(x)=1x⋅x−lnx x 2=1−lnx x 2，设切点为(x 0,lnx 0x 0)，则k =f′(x 0)=1−lnx 0x 02，代入直线y =kx −1得：lnx 0x 0=1−lnx 0x 02x 0−1，即lnx 0=1−lnx 0−x 0，∴2lnx 0+x 0−1=0， 令ℎ(x)=2lnx +x −1，有ℎ(1)=0，∴ℎ′(x)=2x +1>0，∴ℎ(x)在(0,+∞)单调递增， ∴方程2lnx +x −1=0有唯一解x 0=1， ∴k =1−lnx 0x 02=1−ln112=1；(2)∵lnx x≤ax −1−lna x，x >0，∴ax 2−x −lnx −lna ≥0恒成立， 设F(x)=ax 2−x −lnx −lna ，则F′(x)=2ax 2−x−1x，令G(x)=2ax 2−x −1，∵a >0，△=1+8a >0，∴G(x)=0有2个不相等实根x1，x2，则x1x2=−12a<0，不妨设x1<0<x2，当x∈(0,x2)，G(x)<0，当x∈(x2,+∞)，G(x)>0，∴F(x)在(0,x2)单调递减，在(x2,+∞)单调递增，∴F(x)min=F(x2)=ax22−x2−ln(ax2)，由G(x2)=2ax22−x2−1=0得到ax2=x2+12x2，∴F(x2)=x2+12−x2−ln x2+12x2=1−x22−ln1+x22x2≥0，令H(x)=1−x2−ln1+x2x=1−x2+ln2x−ln(x+1)，则H′(x)=−12+22x−1x+1=−(x−1)(x+2)2x(x+1)，∴当x∈(0,1)时，H′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，H′(x)<0，则H(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，∴H(x)≤H(1)=0，∵F(x2)=H(x2)≥0，∴F(x2)=0，则x2=1，故a=1，∴实数a的取值集合是{1}．【解析】(1)求出函数的导数，设出切点，代入切线方程，求出切点横坐标，求出k的值即可；(2)问题转化为ax2−x−lnx−lna≥0恒成立，设F(x)=ax2−x−lnx−lna，根据函数的单调性求出F(x)的最小值，确定a的值即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是难题．。

2021届高三高考数学模拟测试卷（二）【含答案】第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 是虚数单位，如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数a 的值为( )A ．B ．－C ．3D ．－3 【答案】C 【解析】 因为，由实部与虚部是互为相反数得，解得，故选C.考点：复数的概念与运算.2．已知集合2{|20},{|lg(1)}A x x x x y x =-<==-，则A B =A ．(0,)+∞B ．(1,2)C ．(2,)+∞D ．(,0)-∞【答案】A 【解析】{02}A x x =<<,{1}B x x =>,{0}A B x x ⋃=>,选A.3．已知0.3log 6a =，2log 6b =，则（） A ．22b a ab b a ->>+ B ．22b a b a ab ->+> C ．22b a b a ab +>-> D ．22ab b a b a >->+【答案】B 【解析】 【分析】首先得到0a <，0b >即0ab <，根据对数的运算法则可得121a b +<，即21b a ab+<，进而可得2b a ab +>，通过作差比较可得22b a b a ->+，综合可得结果.【详解】因为0.3log 60a =<，2log 60b =>，所以0ab <， 因为66612log 0.32log 2log 1.2a b +=+⨯=6log 61<=，即21b a ab+<， 又0ab <，所以2b a ab +>，又(2)(2)40b a b a a --+=->， 所以22b a b a ->+，所以22b a b a ab ->+>，故选B ． 【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质比较大小，判断出ab 的符号以及根据对数的运算的性质得到21b aab+<是解题的关键，属于中档题. 4．下列四个命题中错误的是（ ） A ．回归直线过样本点的中心(),x yB ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在回归直线方程ˆ0.20.8yx =+k ，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位D ．若()()122,0,2,0F F -，124PF PF a a+=+，（常数0a >），则点P 的轨迹是椭圆 【答案】D 【解析】A. 回归直线过样本点的中心(),x y ，正确；B. 两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1，正确；C. 在回归直线方程ˆ0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量ˆy平均增加0.2个单位，正确；D. 若12124(2,0),(2,0),(0)F F PF PF a a a-+=+>，则点P 的轨迹是椭圆，因为当2a =时，12PF PF +=4，P 的轨迹是线段12F F ，故错误，所以选D.5．函数()()21()1x x e f x x e -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()f x 的奇偶性和在0x >时函数值的特点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 因为()()21()1x xe f x x e -=+是偶函数，所以排除A ，C ，当0x >时，()0f x >恒成立，所以排除D.故选:B. 【点睛】本题考查函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想以及推理论证能力.6．若mn 、表示空间中两条不重合的直线，αβ、表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//,m n n α⊂，则//m αB ．若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m nC ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥D ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥【答案】C 【解析】 【分析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断或举反例判断． 【详解】对于A ，若n ⊂平面α，显然结论错误，故A 错误；对于B ，若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n 或m ，n 异面，故B 错误；对于C ，若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β，根据面面垂直的判定定理进行判定，故C 正确； 对于D ，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ，n 位置关系不能确定，故D 错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了空间线面位置关系的性质与判断，属于中档题．7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的13是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为（ ） A ．46 B ．12C ．11D ．2【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为等差数列的问题，通过()3451213a a a a a ++=+和5120S =，求解出1a 即可. 【详解】设每个人所得面包数，自少而多分别为：12345,,,,a a a a a 且成等差数列 由题意可知：()3451213a a a a a ++=+，5120S = 设公差为d ，可知：()111139235451202a d a d a d ⎧+=+⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩1126a d =⎧⇒⎨=⎩ 所以最少的一份面包数为12 本题正确选项：B 【点睛】本题考查利用等差数列求解基本项的问题，关键在于将文字描述的内容转化为等差数列中的关系式，利用通项公式和求和公式求解出基本项. 8．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为4π，且()13f π=，则()f x 的一个对称中心坐标是 A ．2(,0)3π- B ．(,0)3π-C ．2(,0)3π D ．5(,0)3π 【答案】A 【解析】试题分析：由的最小正周期为，得．因为()13f π=，所以12()232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，由，得，故．令1()23x k k Z ππ+=∈，得22()3x k k Z ππ=-∈，故()f x 的对称中心为，当时，()f x 的对称中心为，故选A ．考点：三角函数的图像与性质．9．在ABC ∆中，D 为BC 中点，O 为AD 中点，过O 作一直线分别交AB 、AC 于M 、N 两点，若,AM xAB AN y AC ==（0xy ≠），则11x y+=( ) A ．3 B ．2C ．4D ．14【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，得1111(),()4444MO x AB AC ON AB y AC =-+==-+-，利用共线向量的条件得出111()()04416x y --+=，化简即可得到11x y +的值，即可求解.【详解】在ABC ∆中，D 为BC 的中点，O 为AD 的中点， 若,AM xAB AN y AC ==，所以11()44MO AO AM x AB AC =-=-+， 11()()44ON AN AO y AB AC AB y AC =-=+=-+-，因为//MO ON ，所以111()()04416x y --+=， 即1()04x y xy +-=，整理得114x y +=，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算性质，以及向量的共线定理和三角形的重心的性质的应用，其中解答中熟记向量的线性运算，以及向量的共线定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为S ，且222S (a b)c =+-，a 3?=，则tanC 等于( ) A ．34B ．43C ．34-D ．43-【答案】D 【解析】()22222222cos 2S b c a b c a bc bc A bc =+-=+-+=+ ，而1sin 2S bc A =，所以sin 2cos 2A A =+ ，又根据22sin cos 1A A +=，即()2222cos 2cos 15cos 8cos 30A A A A ++=⇒++= ，解得cos 1A =- (舍)或3cos 5A =- ，4sin 5A = ，解得4tan 3A =- ，故选D.11．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ﹣ABCD 为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝AD ，E 为棱PA 的中点，则异面直线AB 与CE 所成角的正弦值为（ ）A ．22B ．53C 5D 3 【答案】B 【解析】 【分析】由异面直线所成角的定义及求法，得到ECD ∠为所求，连接ED ，由CDE ∆为直角三角形，即可求解． 【详解】在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，可得ECD ∠即为异面直线AB 与CE 所成角，连接ED ，则CDE ∆为直角三角形， 不妨设2AB a =，则5,3DE a EC a ==，所以5sin 3DE ECD EC ∠==, 故选：B ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的作法及求法，其中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．设奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()f x 的图像是连续不间断，,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，若()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是（ ）A ．,23ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 设g （x ）()f x cosx=，通过研究导函数及函数()f x 的奇偶性，可判断g （x ）在x ∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数且单调递减，利用性质解得不等式即可． 【详解】 令()()cos f x g x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x+''=.因为,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，∴当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，则()()cos f x g x x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.又()f x 是定义域在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数，∴()()()()()cos cos f x f x g x g x x x--==-=--，则()()cosxf xg x =也是,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数并且单调递减.又()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于()3cos cos 3f f m m ππ⎛⎫⎪⎝⎭<， 即()3g m g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴3m π>，又22m ππ-<<，∴32m ππ<<.故选：D 【点睛】本题考查了运用导数判断函数的单调性及应用，考查了函数奇偶性的应用，考查了构造法的技巧，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

参考公式：台体的体积公式V=其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高锥体的体积公式其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高球的表面积公式S=4πR2球的体积公式其中R表示球的半径2021年高三数学下学期仿真测试试题（二）理注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

柱体的体积公式其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．设全集，集合和，则（）A．或B．C．D．2、设a∈R，则“a=－”是“直线l1: ax+2y－1=0与直线l2: x+a(a+1)y+4=0垂直”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nB. m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nC. m⊥α， n⊂β，m⊥n，则α⊥βD.m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β4、某几何体的三视图（单位：）如右图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( )A. B.C. D._ M _1 A B 1BAO 1 M1Ny x11 第8题5、已知,则（ ）A ．B ．C ．D ．6、等比数列{}的前n 项和为，若2132112364(...),27,n n S a a a a a a a -=+++==则（ ） A ．27B ．81C ．243 D.7297、在平面直角坐标系中，不等式为常数表示的平面区域的面积为8，则 的最小值为 （ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，A 、B 分别是双曲线两渐近线上的点，A 、B 在y 轴上的射影分别为A 1、B 1，M 、N 分别 是A 1A 、B 1B 、的中点，若AB 中点在双曲线上，且 则双曲线的离心率的取值范围为( )A. B. C. D.非选择题部分 (共110分)注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

∴CD⊥平面
ABD，∴CD
是三棱锥
C
­
ABD
的高，∴VC
­
ABD＝13×12×2×2×sin
60°×2＝2 3， 3
故选 A.
8．答案：C
解析：由射线测厚技术原理公式得I20＝I0e－7.6×0.8μ，∴12＝e－6.08μ，－ln 2＝－6.08μ，μ≈0.114，
故选 C.
9．答案：C
解析：从题图(1)可以看出，该品牌汽车在 1 月份所对应的条形图最高，即销售量最多，
商品销售 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 y10
额 y/万元
且已知 错误!i＝380.0
(1)求第 10 年的年收入 x10. (2)若该城市居民年收入 x 与该种商品的销售额 y 之间满足线性回归方程y^＝363x＋^a，
254 (ⅰ)求该种商品第 10 年的销售额 y10； (ⅱ)若该城市居民年收入为 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是多少？(精确到 0.01) 附：①在线性回归方程y^＝b^x＋^a中，b^＝错误!，^a＝－y －b^－x ；
(1)求轨迹Γ的方程； (2)过点 F 作互相垂直的直线 AB 与 CD，其中直线 AB 与轨迹Γ交于点 A，B，直线 CD 与轨迹Γ交于点 C，D，设点 M，N 分别是 AB 和 CD 的中点，求△FMN 的面积的最小值．
-5-
21．(12 分)[2020·安徽省示范高中名校高三联考]函数 f(x)＝aex＋x2－ln x(e 为自然对数的底数，a 为常 数)，曲线 f(x)在 x＝1 处的切线方程为(e＋1)x－y＝0.
于 8 月份，所以该公司 7 月份汽车的总销售量比 8 月份少，所以选项 C 是错误的；从题图(1)

2021年高三数学模拟测试试题（二）文欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

)1．设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(1,4) B ．(3,4) C ．(1,3) D ．(1,2)∪(3,4)2．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i 3．执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为( )A ．30B ．54C ．55D ．914．将函数y ＝sin(x －π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝sin(12x－π6) D ．y ＝sin(12x －π2)5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16 B .13 C.23 D ．1 6.“lg x ，lg y ，lg z 成等差数列”是“y 2＝xz ”成立的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．已知正方形ABCD 的边长为2，H 是边DA 的中点．在正方 形ABCD 内部随机取一点P ，则满足|PH |<2的概率为( ) A.π8 B .π8＋14 C.π4 D.π4＋148．在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，角B 所对的边长b ＝2，则△ABC 的面积为( ) A ．4 B ．1 C . 3 D ．2 9．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤3，x ＋2y －2≥0，所表示的平面区域为S ，若A 、B 为区域S 内的两个动点，则|AB |的最大值为( )A ．13 B.2 5 C ．3 D. 510．过已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的左焦点F 1作⊙O 2：x 2＋y 2＝4的两条切线，记切点为A ，B ，双曲线的左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的离心率为( ) A.12B. 2C. 3 D ．2 11. 已知函数f (x )＝|2x－1|，当a ＜b ＜c 时，f (a )＞f (c )＞f (b )，那么正确的结论是( )A ．2a＞2bB ．2a＞2cC ．2－a＜2c D ．2a ＋2c＜212．1已知正三棱锥P －ABC ，点P 、A 、B 、C 都在半径为3的球面上，若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为( ) A. 2 B. 3 C.33 D.233二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．)13．已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，且λb －a 与a 垂直，则实数λ＝________. 14. 设函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，若y ＝f (x )的图象在点P (1，f (1))处的切线方程为x－y ＋2＝0，则f (1)＋f ′(1)＝_______________.15．已知抛物线x 2＝4y 上的动点P 在x 轴上的射影为点M ，点A (3,2)，则|PA |＋|PM |的最小值为________．16．设x 、y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为___________.三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)已知正项数列{a n}满足4S n＝(a n＋1)2.(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 设b n＝1a n a n＋1，求数列{b n}的前n项和T n.18．(本小题满分12分)解放军某部在实兵演练对抗比赛中，红、蓝两个小组均派6人参加实弹射击，其所得成绩的茎叶图如图所示.(1) 根据射击数据，计算红、蓝两个小组射击成绩的均值与方差，并说明红军还是蓝军的成绩相对比较稳定；(2) 若从蓝军6名士兵中随机抽取两人，求所抽取的两人的成绩之差不超过2的概率．19. (本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC＝2AB＝2，且BC1⊥A1C.(1) 求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2) 设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使DE∥平面ABC1；若存在，求三棱锥E－ABC1的体积．20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，过定点C(2,0)作直线与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，如图，设动点A(x1，y1)、B(x2，y2)．(1) 求证：y1y2为定值；(2) 若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求△ADB面积的最小值．21．(本小题满分12分)．函数f(x)＝2ax－x2＋ln x，a为常数．(1) 当a＝12时，求f(x)的最大值；(2) 若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．请考生在第22,23,24题中任选一题做答。

2021年全国高考数学仿真模拟试卷（理科）（全国Ⅱ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·全国·模拟题)若集合M={x|y=1√1−x}，N={x|x2−x<0}，则M∪N=()A. {x|x<1}B. {x|x>0}C. {x|0<x<1}D. {x|x≥1}2.(2021·全国·模拟题)若复数z满足(1+i)z=2−i(i为虚数单位)，则z的实部为()A. 1B. −3C. 12D. −323.(2021·山东省·其他类型)某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为()A. 6.25%B. 7.5%C. 10.25%D. 31.25%4.(2021·全国·模拟题)下列双曲线的渐近线方程为y=±2x的是()A. x24−y2=1 B. x2−y24=1 C. y22−x2=1 D. y2−x22=15.(2020·河北省衡水市·月考试卷)已知a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,t)，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则t为()A. ±1B. 1C. −1D. 06.(2021·全国·模拟题)已知某函数的部分图象大致如图所示，则下列函数中最合适的函数是()A. y =sin(e x +e −x )B. y =sin(e x −e −x )C. y =cos(e x −e −x )D. y =cos(e x +e −x )7. (2021·全国·模拟题)若实数x ，y 满足不等式组{x −y +2≥0x −5y +10≤0x +y −8≤0，且ax +y +1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. [−45,+∞)B. (−∞,−45)C. (−54,−1)D. (1,54)8. (2021·全国·模拟题)若执行如图所示的程序框图，则输出a 的值为( )A. 20B. 25C. 30D. 359. (2021·全国·模拟题)若a =5log 232，b =(15)log 323，c =(√5)log 232，则( )A. c >a >bB. b >a >cC. a >c >bD. a >b >c10. (2021·福建省福州市·期中考试)若△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asinC =√3ccosA ，则A =( )A. π3B. π6C. 2π3D. 5π611. (2021·全国·模拟题)已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，经过点F 的直线l 的倾斜角为45°，且直线l 交该椭圆于A ，B 两点，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该椭圆的离心率为( )A. √33B. √22C. √23D. √3212. (2019·山东省济南市·期末考试)如图，四棱锥P −ABCD的底面ABCD 为平行四边形，CE =2EP ，若三棱锥P −EBD的体积为V1，三棱锥P−ABD的体积为V2，则V1的值为()V2A. 12B. 13C. 14D. 16二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·全国·模拟题)函数y=1的图象在x=4处切线的斜率为______ ．2√x(x∈[0,2π])实数根的个数为______ ．14.(2021·全国·模拟题)方程sinx=1+cos2x315.(2021·全国·模拟题)如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，则直线BC1与直线D1E所成角的正切值是______ ．16.(2021·全国·模拟题)已知数列1，x，1，x，x，1，x，x，x，1，x，x，x，x，1，x，…，其中在第n个1与第n+1个1之间插入n个x，若该数列的前2018项的和为5928，则x=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2021·全国·模拟题)某校的1000名高三学生参加四门学科选拔性考试，每门学科试卷共有10道题，每题10分.规定：学科选拔性考试，每门错x(0≤x≤1,x∈N)题成绩记为A，错x(2≤x≤4,x∈N)题成绩记为B，错x(5≤x≤7,x∈N)题成绩记为C，错x(8≤x≤10,x∈N)题成绩记为D；在录取时，A记为90分，B记为80分，C记为60分，D记为50分.设某校的1000名高三学生参加某一门学科选拔性考试成绩统计如表：答错012345678910题数频数109010015015020010010050500(1)若以四门学科中任一门选拔性考试成绩估计考生的平均成绩，求学生选拔性考试的平均成绩；(2)若以四门学科中任一门学科选拔性考试成绩为参考数据，求“某一个学生录取时选拔性考试成绩为330分”的概率．18.(2021·全国·模拟题)已知在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，且a3=5，S7=49．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=2a n+a n，数列{b n}的前n项和为T n，且T n≥1000，求n的取值范围．19.(2021·全国·模拟题)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中点，E在棱BB1上，点F在棱CC1上，且点E，F均不是棱的端点，AB=AC，BB1⊥平面AEF，且四边形AA1B1B与四边形AA1C1C的面积相等．(1)求证：四边形BEFC是矩形；(2)若AE=EF=2，BE=√3，求平面ABC与平面AEF所成角的正弦值．320.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=13x3−a(x2−x+1)．(1)若a=−2，求函数f(x)的单调区间；(2)求证：对任意的a∈R，f(x)只有一个零点．21.(2021·全国·模拟题)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=−1，过其焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为M，坐标原点为O，且直线OM的斜率为√22．(1)求实数p的值；(2)求直线l的方程．22.(2021·全国·模拟题)已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+√2costy=√2sint(t为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρcosθ−ρsinθ−4=0．(1)求曲线C1的普通方程以及曲线C2的直角坐标方程；(2)判断曲线C1与曲线C2公共点的个数，并说明理由．23.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=|2x−2|−|x−2|．(1)求不等式f(x)<0的解集；(2)若存在x∈R，使得f(x)<a成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【知识点】并集及其运算【解析】解：∵M={x|x<1}，N={x|0<x<1}，∴M∪N={x|x<1}．故选：A．可求出集合M，N，然后进行并集的运算即可．本题考查了集合的描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【知识点】复数的四则运算【解析】解：因为(1+i)z=2−i，所以z=2−i1+i =(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=12−32i，所以z的实部为12．故选：C．利用复数的除法运算法则求出复数z的代数形式，即可得到答案．本题考查了复数的除法运算法则的运用，复数基本概念的理解和应用，属于基础题．3.【答案】A【知识点】折线图、频率分布直方图【解析】【分析】本题考查折线图、条形图等基础知识，是基础题．由折线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为250+450+100=800(万元)，共中水费支出250(万元)，由此能求出去年的水费开支占总开支的百分比．【解答】解：由折线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为：250+450+100=800(万元)，共中水费支出250(万元)，∴去年的水费开支占总开支的百分比为：250800×20%=6.25%．故选：A．4.【答案】B【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：x24−y2=1的渐近线方程为：y=±12x，所以A不正确；x2−y24=1的渐近线方程为：y=±2x，所以B正确；y22−x2=1的渐近线方程为：y=±√2x，所以C不正确；y2−x22=1的渐近线方程为：y=±√22x，所以D不正确．故选：B．求出双曲线的渐近线方程，判断选项的正误即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．5.【答案】C【知识点】平面向量的坐标运算、向量的模、向量的数量积【解析】解：根据题意，a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,t)，则a⃗+b⃗ =(3,2+t)，a⃗−b⃗ =(−1,2−t)，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则有9+(2+t)2=1+(2−t)2，解可得：t=−1；故选：C．根据题意，由向量的坐标计算公式可得a⃗+b⃗ =(3,2+t)，a⃗−b⃗ =(−1,2−t)，又由向量模的计算公式可得9+(2+t)2=1+(2−t)2，解可得t的值，即可得答案．本题考查向量的坐标计算，涉及向量模的计算，属于基础题．6.【答案】D【知识点】函数图象的作法【解析】解：根据题意，函数的图象关于y轴对称且−1<f(0)<0，据此依次分析选项：对于A，y=sin(e x+e−x)，有f(0)=sin2>0，A错误；对于B ，y =sin(e x −e −x )，有f(0)=sin0=0，B 错误； 对于C ，y =cos(e x −e −x )，有f(0)=cos0=1，C 错误；对于D ，y =cos(e x +e −x )，有f(−x)=cos(e x +e −x )=f(x)，为偶函数，有f(0)=cos2，有−1<f(0)<0，D 正确； 故选：D ．根据题意，可得函数的图象关于y 轴对称且−1<f(0)<0，据此依次分析选项，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的判断以及函数值的计算，属于基础题．7.【答案】A【知识点】简单的线性规划 【解析】解：作出不等式组{x −y +2≥0x −5y +10≤0x +y −8≤0表示的平面区域如图所示， ∵ax +y +1≥0，∴ax ≥−y −1．讨论：当x =0时，y =2，此时ax ≥−y −1对任意a ∈R 成立； 当x >0时，a ≥−y−1x，即−a ≤y+1x，y+1x的几何意义为可行域内的动点与定点P(0,−1)连线的斜率，联立{x +y −8=0x −5y +10=0，解得A(5,3)，∵k PA =3−(−1)5−0=45，∴(y+1x)min =45，则−a ≤45，得a ≥−45．综上，所求实数a 的取值范围是[−45,+∞). 故选：A ．画出不等式满足的平面区域，由ax +y +1≥0恒成立，可得−a ≤y+1x恒成立，求出y+1x的最小值，则答案可求．本题考查了简单线性规划，考查化归与转化、数形结合思想，是中档题．8.【答案】B【知识点】程序框图【解析】解：根据程序框图分析可知：a=20，b=80，s≠100；a=21，b=79，s≠100；a=22，b=78，s≠100；a=23，b=77，s≠100；a=24，b=76，s≠100；a=25，b=75，s=100，此时满足判断框内的条件，退出循环，输出a的值为25．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】D【知识点】对数函数及其性质【解析】解：∵b=(15)log323=5log332，c=(√5)log232=5log432，∵lg 3 2lg2>lg32lg3>lg32lg4，即log232>log332>log432，∴a>b>c，故选：D．利用指数幂的运算先化简为同底数，再根据换底公式和指数函数的单调性即可求解．本题考查对数的运算法则，换底公式的应用，指数函数的单调性，属于中档题．10.【答案】A【知识点】正弦定理【解析】解：∵asinC=√3ccosA，又∵由正弦定理可得，asinA =csinC，∴sinAsinC=√3sinCcosA，∴tanA=√3，又∵0<A <π， ∴A =π3，故选：A ．解：根据已知条件，以及正弦定理，可得tanA =√3，结合A 的取值范围，即可求解． 本题主要考查了正弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于基础题．11.【答案】C【知识点】椭圆的性质及几何意义【解析】解：由题意知，F(c,0)，直线AB 的方程为y =x −c ，其中c 为椭圆C 的半焦距，联立{y =x −c b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2，得(a 2+b 2)x 2−2a 2cx +a 2c 2−a 2b 2=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2a 2c a 2+b2，x 1x 2=a 2(c 2−b 2)a 2+b 2，∵AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(c −x 1,−y 1)=2(x 2−c,y 2)，即2x 2+x 1=3c ， ∴x 1=a 2c−3b 2c a 2+b 2，x 2=a 2c+3b 2c a 2+b 2，∴x 1⋅x 2=a 2c−3b 2c a 2+b 2⋅a 2c+3b 2c a 2+b 2=a 2(c 2−b 2)a 2+b 2，化简得a 4c 2−9(a 2−c 2)2c 2=a 2(2c 2−a 2)(2a 2−c 2)， ∵e =ca，∴e 2−9(1−e 2)2e 2=(2e 2−1)(2−e 2)，令t =e 2>1，可将上式整理为9t 3−20t 2+13t −2=0，即(t −1)2(9t −2)=0， 解得t =1或29， ∴e 2=29，即e =√23，∴所求椭圆的离心率为√23．故选：C ．将直线AB 的方程与椭圆的方程联立，借助韦达定理，结合平面向量的坐标运算，可得到关于离心率e 的方程，解之即可．本题考查椭圆的几何性质，离心率的求法，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．12.【答案】B【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积【解析】解：设四棱锥P−ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，则V2=V P−ABD=13×12Sℎ=16Sℎ，∵CE=2EP，∴PE=13PC，∴V1=V P−EBD=V E−PBD=13V C−PBD=13V P−BCD=13×16Sℎ=118Sℎ．∴V1V2=118Sℎ16Sℎ=13．故选：B．设四棱锥P−ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，由棱锥体积公式求得三棱锥P−ABD的体积，再由CE=2EP，借助于等体积法求得三棱锥P−EBD的体积，则答案可求．本题考查利用等体积法求多面体的体积，考查计算能力，是中档题．13.【答案】−132【知识点】导数的几何意义【解析】解：函数y=12√x ，可得y′=−14x−32，所以函数y=12√x 的图象在x=4处切线的斜率为：f′(4)=−14×4−32=−132．故答案为：−132．求出函数的导数，然后求解切线的斜率即可．本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，是基础题．14.【答案】2【知识点】函数的零点与方程根的关系、正弦、余弦函数的图象与性质【解析】解：∵sinx=1+cos2x3，∴sinx=2cos2x3，得2sin2x+3sinx−2=0，∴sinx=−2(舍)或sinx=12，又∵x∈[0,2π]，∴x=π6或x=5π6．∴方程sinx=1+cos2x3(x∈[0,2π])实数根的个数为2．故答案为：2．利用二倍角公式变形，化为关于sin x的方程求解．本题考查函数零点与方程根的关系，考查三角方程的解法，是基础题．15.【答案】√24【知识点】异面直线所成角【解析】解：分别延长D1E、C1B，延长线交于点M，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则MC1=2√2，由正方体的结构特征可知，D1C1⊥平面BB1C1C，则D1C1⊥MC1，∴tan∠D1MC1=12√2=√24．故答案为：√24．由已知求得MC1，再求解直角三角形得答案．本题考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】3【知识点】数列求和方法【解析】解：当n≥2时，前n个1之间共有n+[1+2+3+...+n−1]=n(n+1)2(项)，当n=63时，有2016项，所以在第63个1后面的第二个x就是第2018项，所以前2018项中含有63个1，其余的都均为x，故该数列前2018项的和为63×1+(2018−63)x=5928，解得x=3．故答案为：3．直接利用数据的规律和数列的求和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的求和，规律性数据的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)根据题设知，学生选拔性考试的平均成绩成绩为：90×10+90100+80×100+150+1501000+60×200+100+1001000+50×50+50+01000=70(分)．(2)根据题意得P(A)=10+901000=110，P(B)=100+150+1501000=25， P(C)=200+100+1001000=25， P(D)=50+50+01000=110，∴某一个学生录取时，选拔性考试成绩为330分，则该生四门学科成绩为一门90分， 另三门均为80分或一门60分，另三门均为90分，∴“某一个学生录取时选拔性考试成绩为330分”的概率为：P =C 41×(110)×(25)3+C 43×(110)3×(25)=17625．【知识点】众数、中位数、平均数、基本事件【解析】(1)由考试成绩统计表能求出学生选拔性考试的平均成绩成绩．(2)分别求出P(A)=110，P(B)=25，P(C)=25，P(D)=110，某一个学生录取时，选拔性考试成绩为330分，则该生四门学科成绩为一门90分，另三门均为80分或一门60分，另三门均为90分，由此能求出“某一个学生录取时选拔性考试成绩为330分”的概率． 本小题主要考查平均数、古典概率等基础知识，考查运算求解、数据处理能力，体现基础性、创新性、应用性，导向对发展数学运算、数据分析等核心素养的关注，是基础题． 18.【答案】解：(1)在等差数列{a n }中设首项为a 1，公差为d ，S n 为其前n 项和，且a 3=5，S 7=49． 故{a 1+2d =57a 1+7×62d =49，整理得{a 1=1d =2，故a n =2n −1．(2)由(1)得：b n =22n−1+2n −1，所以T n =21+1+23+3+...+22n−1+2n −1=(21+23+...+22n−1)+(1+3+5+...+2n −1)=2×(4n −1)4−1+n 2=22n+1−23+n 2，由于T n ≥1000， 所以22n+1−23+n 2≥1000，所以n ≥6，所以n 的取值范围为：n ≥6，n ∈N +．【知识点】数列求和方法、等差数列的求和【解析】(1)直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式；(2)利用分组法的应用求出数列的和，进一步利用不等式的应用求出n 的取值范围． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题型．19.【答案】(1)证明：在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BB 1//CC 1，BB 1⊥平面AEF ， 所以CC 1⊥平面AEF ， 则∠AEB =∠AFC =90°，又因为平行四边形AA 1B 1B 与平行四边形AA 1C 1C 的面积相等，BB 1=CC 1， 所以AE =AF ，又因为AB =AC ，所以△AEB≌△AFC ， 则EB =FC ，故四边形BEFC 为平行四边形，又因为BB 1⊥平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，则BB 1⊥EF ， 所以四边形BEFC 是矩形； (2)解：取EF 的中点G ，连结AG ， 由(1)可知，AE =AF ，则AG ⊥EF ， 因为BB 1⊥平面AEF ，BB 1⊂平面BB 1C 1C ，则平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ，又平面AEF ∩平面BB 1C 1C =EF ， 所以AG ⊥平面BB 1C 1C ，以G 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则平面AEF 的一个法向量为n⃗ =(0,0,1)， 因为AE =EF =2，G 为EF 的中点，AG ⊥EF ， 所以AG =√3，故A(0,√3,0)，又BE =√33，所以B(−1,0,√33),C(1,0,√33)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3,√33)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,√33)， 设平面ABC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x −√3y +√33z =0x −√3y +√33z =0，令y =1，则x =0，z =3， 故m⃗⃗⃗ =(0,1,3)， 所以|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=1×√10=√10 则平面ABC 与平面AEF 所成角的正弦值为√1−(√10)2=√1010．【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(1)利用线面平行的性质可得CC 1⊥平面AEF ，可证明△AEB≌△AFC ，得到EB =FC ，即四边形BEFC 为平行四边形，通过线面垂直的性质，进一步证明四边形BEFC 是矩形；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面ABC 的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可． 本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的性质定理的应用以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20.【答案】解：(1)当a =−2时，f(x)=13x 3+2(x 2−x +1)，则f′(x)=x 2+4x −2，令f′(x)>0，解得x <−2−√6或x >−2+√6，令f′(x)<0，解得−2−√6<x <−2+√6，∴f(x)的单调增区间为(−∞,−2−√6),(−2+√6,+∞)，单调减区间为(−2−√6,−2+√6)；(2)证明：令f(x)=13x 3−a(x 2−x +1)=0，则x 3x 2−x+1−3a =0， 设k(x)=x 3x 2−x+1−3a ，则k′(x)=x 2(x 2−2x+3)(x 2−x+1)2=x 2[(x−1)2+2](x 2−x+1)2≥0，∴k(x)单调递增， ∴k(x)至多有一个零点，又f(3a +1)=6a 2+2a +13>0,f(3a −1)=−13<0， ∴对任意的a ∈R ，f(x)只有一个零点【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】(1)将a =−2代入，求导，判断导函数与0的关系即可求得单调区间； (2)令f(x)=0，可构造函数k(x)=x 3x 2−x+1−3a ，对k(x)求导后可判断其在R 上单调递增，再结合零点存在性定理得证．本题考查里利用导数研究函数的单调性及零点问题，涉及了零点存在性定理的运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)据题意，得−p2=−1,p =2．(2)据题设知，抛物线的焦点为F(1,0)． 据题意设直线l 的方程为x =my +1，联立直线方程与抛物线方程可得：y 2−4my −4=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4m ， 所以x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2， 所以线段AB 的中点M 坐标为(2m 2+1,2m)． 又因为O 为坐标原点，直线OM 的斜率为√22，所以2m1+2m 2=√22， 解得m =√22，所以所求直线l 的方程为x =√22y +1，即√2x −y −√2=0．【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】(1)由题意得到关于p 的方程，解方程可得p 的值；(2)设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理得到关于m 的方程，解方程即可确定直线方程．本题主要考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =1+√2costy =√2sint(t 为参数)，转换为直角坐标方程为：(x −1)2+y 2=2；曲线C 2的极坐标方程为2ρcosθ−ρsinθ−4=0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转化为直角坐标方程为2x −y −4=0．(2)利用圆心(1,0)到直线2x −y −4=0的距离d =√(−1)2+22=2√55<√2，所以直线与圆相交，故圆与直线有两个交点．【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用点到直线的距离公式的应用和直线与圆的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)∵f(x)<0，∴|2x−2|−|x−2|<0，∴|2x−2|<|x−2|，∴(2x−2)2<(x−2)2，∴3x2−4x<0|∴0<x<4，3).所求不等式的解集为(0,43(2)f(x)=|2x−2|−|x−2|，当x≤1时，f(x)=2(1−x)−(2−x)=−x，当1<x≤2时，f(x)=2(x−1)−(2−x)=3x−4，当x>2时，f(x)=2(x−1)−(x−2)=x，即f(x)min=−1，∵存在x∈R，使得f(x)<a成立，∴a>−1，∴实数a的取值范围(−1,+∞)．【知识点】不等式的恒成立问题、不等式和绝对值不等式【解析】(1)由题意可知f(x)<0，即|2x−2|−|x−2|<0，可得|2x−2|<|x−2|，对两边平方，即可求解．(2)对绝对值不等式分类讨论，结合含参方程的解法，即可求解．本题考查了绝对值不等式的求值，以及含参方程恒成立问题，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．。

高考数学模拟考试卷（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合1{|22}2x M x =<，2{|10}N x Z x =∈-，则(M N = )A ．{1}-B ．{|11}x x -C ．{|11}x x -<D ．{1-，0，1}2．（5分）在复平面内，复数5(34iz i i=-为虚数单位），则z 对应的点的坐标为( ) A ．(3,4)B ．(4,3)-C ．4(5，3)5-D ．4(5-，3)5-3．（5分）已知函数sin ()(1)()xf x x x a =+-为奇函数，则(a = )A ．1-B ．12 C ．12-D ．14．（5分）某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），图1为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，图2为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为ˆ 1.1630.75yx =-，以下结论中正确的为( )A ．15名志愿者身高的极差大于臂展的极差B ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米C ．身高为190厘米的人臂展一定为189.65厘米D ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系5．（5分）已知l 表示一条直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A ．若l α⊥，//l β，则αβ⊥ B ．若//l α，//l β，则//αβC ．若l α⊂，αβ⊥，则l β⊥D ．若l α⊂，//l β，则//αβ6．（5分）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，6a ，53a ，7a 成等差数列，若{}n a 中存在两项m a ，n a ，使得14a 为其等比中项，则14m n+的最小值为( ) A ．4B ．9C ．23D ．327．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S n a =，11a =，则(n S = ) A ．21n n +B ．222(1)n n +C ．221n n -D ．221n n -8．（5分）已知抛物线24y x =，过其焦点F 作抛物线相互垂直的两条弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为M 、N ，则直线MN 与x 轴交点的坐标是( )A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(4,0)D ．不能确定二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三模拟测试（二）数学试题参考公式：锥体的体积公式，其中S为锥体的底面积，和h为锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1.设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1， 3，5}，N={3，4，5}，则集合(∁UM)∩N= A. {4} B. {2，3，4，5} C. {1， 3，4，5} D.Φ2.若复数z1=3+i，z2=2－i，则在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在下列函数中，是奇函数的有几个①f(x)=sin(π－x)；②；③f(x)=x3－x；④f(x)=2x+2-x.A.1个B.2个C.3个D.4个4.为了解地震灾区高三学生的身体发育状况，抽查了该地区100名年龄为17岁～18岁的男生体重(kg)，得到如图频率分布直方图. 根据右图可知体重在[56.5，64.5)的学生人数有A.20人B.30人C.40人D.50人5.在xx年开展的全国第六次人口普查中发现，某市市民月收入ξ (单位：元)服从正态分布N(3000，σ2)，且P(ξ<1000)=0.1962，则P(3000≤ξ≤5000)=A.0.8038B.0.3038C.0.6076D.0.39246.展开式中的常数项为A.－1320B.1320C.－220D.2207.设m、n是两条直线，α、β是两个不同平面，下列命题正确的是A.若m⊥α，n β，m⊥n，则α⊥βB.若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n第4题图C.若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥βD.若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n8.对于直角坐标系内任意两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，定义运算P1P2= (x1，y1) (x2，y2)=(x1x2－y1y2，x1y2+x2y1)，若M是与原点O相异的点，且M (1，1)=N，则∠M0N＝A. 1350 B. 450 C.900 D. 600第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，其中14～15是选做题，考生只能选做一题，二题全答的，只计算前一题得分，共30分．把答案填在答题卡上．．．．．．．．．．（一）必做题(9～13题)9.计算.10.若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为.11.设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为.12.将4本不同的书全部发给3名同学，每名同学至少有一本书的概率是.13.设f0(x)=cosx，f1(x)= f0＇(x)，f2(x)= f1＇(x)，…，f n+1(x)= f n＇(x)，n∈N*，则f2011 (x)= .(二)选做题：(14 ~ 15题，考生只能从中选做一题．．．．．．．．．．)14.(坐标系与参数方程选讲选做题) 圆C：(θ为参数)的圆心到直线l：(t为参数)的距离为.15.(几何证明选讲选做题)如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC=4，PB=8，则CD___________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．16.(本小题满分12分)已知函数.(Ⅰ)若，，求函数f(x)的值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期和值域.17.(本小题满分12分)在第十六届广州亚运会上，某项目的比赛规则为：由两人(记为甲和乙)进行比赛，每局胜者得1分，负者得0分(无平局)，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为p(p>0.5)，且各局胜负相互独立. 已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为. (Ⅰ)求实数p的值；(Ⅱ)如图为统计比赛的局数n和甲、乙的总得分数S、T的程序框图. 其中如果甲获胜，输入a=1，b=0则输入a=0，b=1.写什么条件；(Ⅲ)设ζ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ζ的D C分布列和数学期望Eζ.18.(本小题满分14分)如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1， AB=2，点E 在棱AB 上移动，设AE=x(0<x<2). (Ⅰ)证明：A 1D ⊥ D 1E ；(Ⅱ) 当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； (Ⅲ)x 为何值时，二面角D 1-EC=D=的大小为450.19.(本小题满分14分)设函数f(x)=x 2e x-1+ax 3+bx 2(其中e 是自然对数的底数)，已知x=－2和x=1为函数f(x)的极值点.(Ⅰ)求实数a 和b 的值； (Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性； (Ⅲ)是否存在实数M ，使方程f(x)=M 有个不同的实数根? 若存在，求出实数M 的取值范围；若不存在，请说明理由.D CB A 1 E A B 120.(本小题满分14分)已知等差数列{a n}中，a1=－1，前12项和S12=186．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}满足，记数列{b n}的前n项和为T n，若不等式T n<m对所有n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．21.(本小题满分14分)椭圆中心是原点O，它的短轴长为，右焦点F(c，0) (c>0)，它的长轴长为2a(a>c>0)，直线l：与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．(Ⅰ)求椭圆的方程和离心率；(Ⅱ)若，求直线PQ的方程；(Ⅲ)设(λ>1)，过点P且平行于直线的直线与椭圆相交于另一点M，证明：．参考答案及评分标准9、6；10、4；11、2；12、；13、sinx；14、2；15、.三、解答题：（80＇）16. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵，，∴，……2分又……3分，……4分∴. ……6分(Ⅱ) ，……8分∴，……10分∵x∈R，∴，……11分所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[－2，2]．……12分17. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束. 有. ……2分 解得或. ……3分 ∵，∴. ……4分(Ⅱ)程序框图中的第一个条件框应填M=2，第二个应填n=6. ……8分 注意：答案不唯一． 如：第一个条件框填M>1，第二个条件框填n>5，或者第一、 第二条件互换，都可以.(Ⅲ)依题意知，ζ的所有可能值为2，4，6． ……9分 由已知 ，13132220P(ξ=4)=C p (1p)+C (1p)p =81-- . …… 11分故. 18. (本小题满分14分)解法一:(Ⅰ) 证明：∵AE ⊥平面AA 1DD 1， A 1D ⊂平面AA 1DD 1， ∴A 1D ⊥AE ， ……1分AA 1DD 1为正方形，∴A 1D ⊥AD 1， ……2分又A 1D ∩AE=A ，∴A 1D ⊥平面AD 1E ， ……3分 ∴A 1D ⊥D 1E. ……4分 (Ⅱ) 设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，，， 故，而， ……6分∴ ， ……8分即 ，从而，所以点E 到面ACD 1的距离为. ……9分 (Ⅲ) 过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H ，则D 1H ⊥CE ，∴∠DHD 1为二面角D 1-EC-D 的平面角，∴∠DHD 1=450. ……11分 ∵D 1D=1，∴DH=1，又DC=2，∴∠DCH=300， ……12分 ∴∠ECB=600，又BC=1，在Rt △EBC 中，得， ……13分 ∴，∴时，二面角D 1-EC-D 的大小为450. ……14分解法二：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，E(1，x ，0)，A (1，0，0)，C(0，2，0)， ……2分 (Ⅰ) ，，因为，所以， ……6分(Ⅱ)由E 为AB 的中点，有E(1，1，0)，从而， ，设平面ACD 1的法向量为，则，也即，得，从而， ……8分所以点E 到平面ACD 1的距离为 ……10分(Ⅲ) 显然是平面AECD 的一个法向量.设平面D 1EC 的法向量为，D C B A 1E A B 1 C 1D 1∴，，，由，令b=1，∴c=2，a=2－x，∴……12分依题意11|n DD|π2cos===4|n||DD|⋅⇒⨯.∴（不合题意，舍去），.∴时，二面角D1-EC-D的大小为450. ……14分19. (本小题满分14分)解:(Ⅰ)∵f′ (x)=(x2+2x)e x-1+3ax2+2bx，……1分又x=－2和x=1为函数f(x)的极值点.∴f′ (－2)= f′ (1)=0，……2分即，解得，……3分所以，，b=－1. ……4分(Ⅱ) ∵，b=－1，∴f′ (x)=(x2+2x)e x-1－x2－2x=(x2+2x)(e x-1－1)，……5分令f′ (x)=0，解得x1=－2，x2=0，x3=1，……6分∵当x∈(－∞，－2)∪(0，1)时，f′ (x)<0，当x∈(－2，0)∪(1，+∞)时，f′ (x)>0，……8分∴f(x)在区间(－2，0)和(1，+∞)上是单调递增的，在区间(－∞，－2)和(0，1)上是单调递减的. ……9分(Ⅲ)由(Ⅰ)得，由(Ⅱ)得函数的极大值为f(x)极大值= f(0)=0，……10分函数的极小值为，和……11分又，……12分f(－3)= (－3)2e-4+9－9=9e-4>0，f(3)= 32e2－9－9=9(e2－2)>0，……13分通过上面的分析可知，当时方程f(x)=M恰有4个不等的实数根．所以存在实数M，使方程f(x)=M有4个根，其M取值范围为. ……14分20. (本小题满分14分)解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d，∵ a1=－1，S12=186，∴，……2分即186=－12+66d. ……4分∴d=3. ……5分所以数列{a n}的通项公式a n=－1+(n－1)×3=3n－4. ……7分(Ⅱ)∵，a n=3n－4，∴. ……8分∵当n≥2时，，……9分∴数列{b n}是等比数列，首项，公比. ……10分∴. ∵，∴，∴. 所以. ……12分又不等式T n<m对n∈N*恒成立，∴而单调递增，且当n无限增大时，的值无限趋近1，……13分所以m的取值范围为. ……14分21. (本小题满分14分)(Ⅰ)解：由题意，可知椭圆的方程为. ……1分由已知得……2分解得，c=2，……3分所以椭圆的方程为，离心率. ……5分(Ⅱ)解：由（1）可得A(3，0)．设直线PQ 的方程为y=k(x －3).联立方程组，得(3k 2+1)x 2－18k 2x+27k 2－6=0， ……6分 依题意△=12(2－3k 2)>0，得. ……7分 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则， ① ． ② ……8分由直线PQ 的方程得为y 1=k(x 1－3)，y 2=k(x 2－3)，于是， y 1y 2=k 2(x 1－3) (x 2－3)= k 2[x 1x 2－3(x 1+ x 2)+9]. ③∵，∴x 1x 2+y 1y 2=0． ④ ……9分 由①②③④得5k 2=1，从而．所以直线PQ 的方程为或． ……10分 (Ⅲ)证明：∵P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， A(3，0)， ∴，．由已知得方程组121222112222x 3=λ(x 3)y =λyx y +=162x y +=162--⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，注意λ>1，解得， ……12分 因为F(2，0)， M(x 1，－y 1)，故1121FM =(x 2,y )=(λ(x 3)+1,y )----.……13分而，所以. ……14分23222 5AB6 媶35277 89CD 觍29473 7321 猡21436 53BC 厼40104 9CA8 鲨y25985 6581 斁40551 9E67 鹧39380 99D4 駔25901 652D 攭<~23306 5B0A 嬊。

2021年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（文科）（二）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{y|y＝x2+1}，B＝{x|3﹣x＞0}，则A∩B＝（）A．[1，+∞）B．（3，+∞）C．[1，3）D．[1，3]2．设z＝（1+i）（3i﹣1），则＝（）A．4+2i B．﹣4+2i C．4﹣2i D．﹣4﹣2i3．已知a＝，b＝log2，c＝log310，则（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b4．某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中B层人数是（）A．12B．24C．32D．365．若等差数列{a n}的前21项和S21＝63，则a6+a15﹣a10＝（）A．2B．3C．4D．56．“m＞2”是“∀x＞0，x+≥5﹣m”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼•春官•大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、土、丝、匏、竹”任取“两音”，则“两音”同为吹奏乐器的概率为（）A．B．C．D．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．10B．5C．﹣1D．﹣89．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求ln1.01，我们先求得y＝lnx在x＝1处的切线方程为y＝x ﹣1，再把x＝1.01代入切线方程，即得ln1.01≈0.01，类比上述方式，则≈（）A．1.00025B．1.00005C．1.0025D．1.000510．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜）的图象关于直线x＝对称，且对任意x∈R，都有f（x）≥f（），则当ω取最小值时，下列结论正确的是（）A．函数f（x）图象的一个对称中心为点（﹣，1）B．函数f（x）图象的一条对称轴方程为x＝C．将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）＝﹣2sin2x+1的图象D．函数f（x）在[，]上单调递减11．过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交双曲线于点P，F2为双曲线的右焦点，已知以M（2，1）为中点的弦交双曲线的右支于A，B两点，当∠F1PF2＝60°时，直线AB的方程为（）A．2x﹣y﹣3＝0B．4x+y﹣9＝0C．x﹣4y+2＝0D．4x﹣y﹣7＝0 12．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，过点D1，E，F作该正方体的截面α，α与DA的延长线交于点K，与DC的延长线交于点L，则三棱锥D1﹣DKL外接球的表面积为（）A．32πB．20πC．22πD．18π二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

2021年全国决胜高考数学仿真试卷（理科）（二）（全国Ⅱ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. (2021·浙江省台州市·模拟题)设集合A ={x|−2<x <2}，B ={−1,0，1，2}，则A ∩B =( )A. {x|−2<x <2}B. {x|−1≤x ≤1}C. {−1,0，1}D. {0,1}2. (2021·江西省上饶市·模拟题)已知复数z 满足z(2+i)=|3+4i|(其中i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( )A. 1+2iB. 1−2iC. 2+iD. 2−i3. (2021·江西省南昌市·模拟题)已知等比数列{a n }中，a 1+a 4=2，a 2+a 5=4，则数列{a n }的前6项和S 6=( )A. 12B. 14C. 16D. 184. (2021·江西省上饶市·模拟题)已知sin(α+π6)=13，cosβ=√23，则cos(π3−α)+cos2β=( )A. 29B. −29C. 79D. −795. (2021·江苏省南通市·单元测试)2020年3月，中共中央国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，提出“把劳动教育纳入人才培养全过程，贯通大中小学各学段，贯穿家庭、学校、社会各方面，与德育、智育、体育、美育相融合，紧密结合经济社会发展变化和学生生活实际，积极探索具有中国特色的劳动教育模式”.贵州省某学校结合自身实际，推出了《职业认知》《家政课程》《田地教育》《手工制作》《种植技术》五门劳动课程，要求学生从中任选两门进行学习，经考核合格后方能获得相应学分.已知甲、乙两人都选了《职业认知》，则另外一门课程不相同的概率为( )A. 15B. 45C. 14D. 346. (2021·湖南省益阳市·模拟题)如图所示，边长为2的正△ABC ，以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径在点A 的另一侧作半圆弧BC ⏜，点P 在圆弧上运动，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( )A. [2,3√3]B. [4,3√3]C. [2,4]D. [2,5]7. (2021·黑龙江省大庆市·模拟题)函数f(x)=e |x|−12sin2x 的部分图象大致是( )A.B.C.D.8. (2021·全国·模拟题)中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2高为2√3的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )A. 16B. 16√3C. 18√3D. 219. (2021·全国·模拟题)已知直线l ：x +y +m =0，圆C ：x 2+y 2−4x =0，若在直线l 上存在一点P ，使得过点P 作圆的切线PA ，PB(点A ，B 为切点)，满足∠APB =60°，则m 的取值范围为( )A. [−2,2]B. [−2√2,2√2]C. [−1,1]D. [−4√2−2,4√2−2]10. (2021·湖北省襄阳市·模拟题)在钝角△ABC 中，a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，点G 是△ABC 的重心，若AG ⊥BG ，则cos C 的取值范围是( )A. (0,√63)B. [45,√63)C. (√63,1)D. [45,1)11. (2021·内蒙古自治区呼伦贝尔市·模拟题)已知函数f(x)=log 2(−x 2−mx +16)在[−2,2]上单调递减，则m 的取值范围是( )A. [4,+∞)B. (−6,6)C. (−6,4]D. [4,6)12. (2021·河南省新乡市·模拟题)已知抛物线M ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，过点F且斜率为512的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点(点A 在第二象限)，则|AF||BF|=( )A. 513B. 413C. 59D. 49二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·江西省萍乡市·模拟题)在△ABC 中，5a =8c ，B =60°，其内切圆半径为√3，则其外接圆半径为______ ．14. (2021·江西省南昌市·模拟题)某学科视导团有三名男专家和两名女专家，安排到五所学校进行教学视导，这五所学校中省级重点中学有三所，省级建设重点中学有两所，要求每所学校各派一位专家，两类学校都要有男专家，则不同的分派方案有______ 种(结果用数字作答)．15. (2021·安徽省·期中考试)“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜(如图)，其反射面的形状为球冠(球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠表面积S =2πRℎ，其中R 为球的半径，h 球冠的高)，设球冠底的半径为r ，周长为C ，球冠的面积为S ，则rR 的值为______ (结果用S 、C 表示)． 16. (2021·全国·模拟题)若P 是双曲线x 216−y 281=1上任一点，F 1，F 2是它的左、右焦点，且|PF 1|=9，则|PF 2|= ______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17. (2021·陕西省汉中市·模拟题)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5=9，S 5=25．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n =a n +(12)n ，求数列{b n }的前n 和T n ．18.(2021·江西省九江市·模拟题)如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为矩形，CD=2，PD=AD=√2，E为DC的中点．(Ⅰ)求证：AE⊥平面PBD；(Ⅱ)求二面角C−PB−E的余弦值．19.(2021·河北省张家口市·模拟题)某中学的学习兴趣小组随机调查了该校110名学生的到校形式，整理后得到如下的2×2列联表：父母接送独自到校总计男204060女302050合计5060110(1)根据列联表的数据判断，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为到校形式与性别有关系？(2)若以上述样本的频率作为概率，在该校中随机抽取6人，用X表示6人中“独自到校”的人数，求X的数学期望和方差．附表：P(K2≥k)0.1000.050.0250.0100.001 k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828．附：K2=n(ad− bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.(2020·湖北省宜昌市·单元测试)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，点A在椭圆E上且位于第一象限，直线AF1与y轴的交点为C，△ACF2的周长为4．(1)求椭圆E的标准方程；(2)是否存在直线AF2与椭圆的另一个交点为B，使得3S△ACF2=5S△BCF2，若存在，求出AF2的方程，若不存在，说明理由．21.(2021·江西省南昌市·模拟题)已知f(x)=|x−a+1|+|x+b−1|的最小值是c.(其中a，b都是0到1之间的正数)(Ⅰ)求a+b+c的值；(Ⅱ)证明：a2+2ab+4bc+2ac≤4．答案和解析1.【答案】C【知识点】交集及其运算【解析】解：∵A={x|−2<x<2}，B={−1,0，1，2}，∴A∩B={−1,0，1}．故选：C．进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【知识点】复数的模、复数的四则运算【解析】解：∵z(2+i)=|3+4i|，∴z=|3+4i|2+i =√32+422+i=52+i=5(2−i)(2+i)(2−i)=2−i，∴z−=2+i，故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3.【答案】B【知识点】等比数列的求和【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a1+a4=2，a2+a5=4，则a2+a5a1+a4=q=2，则有a1+a4=a1+a1q3=a1(1+q3)=2，解可得a1=29，则S6=a1(1−q6)1−q=14，故选：B．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的性质可得a2+a5a1+a4=q=2，进而求出a1=29，结合等比数列的前n项和公式计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的求和，属于基础题．4.【答案】B【知识点】两角和与差的三角函数公式【解析】解：∵cosβ=√23，∴cos2β=2cos 2β−1=2×(√23)2−1=−59，∵sin(α+π6)=13，∴cos(π3−α)=cos[π2−(α+π6)]=sin(α+π6)=13， ∴cos(π3−α)+cos2β=13−59=−29．故选：B ．先利用二倍角公式求得cos2β的值，而π3−α=π2−(α+π6)，再由诱导公式可得cos(π3−α)的值，从而得解．本题考查二倍角公式和诱导公式的应用，考查学生的运算求解能力，属于基础题．5.【答案】D【知识点】古典概型的计算与应用【解析】解：贵州省某学校结合自身实际，推出了《职业认知》《家政课程》《田地教育》《手工制作》《种植技术》五门劳动课程，要求学生从中任选两门进行学习，经考核合格后方能获得相应学分． 甲、乙两人都选了《职业认知》， 基本事件总数n =4×4=16，其中另外一门课程不相同包含的基本事件个数m =4×3=12， ∴甲、乙两人都选了《职业认知》，另外一门课程不相同的概率为： P =m n=1216=34． 故选：D ．基本事件总数n =4×4=16，其中另外一门课程不相同包含的基本事件个数m =4×3=12，由此能求出甲、乙两人都选了《职业认知》，另外一门课程不相同的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】D【知识点】向量的数量积【解析】解：由题可知，当点P 在点C 处时，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小， 此时AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB||AE|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π3=2×2×12=2，过圆心O 作OP//AB 交圆弧于点P ，连接AP ，此时AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 最大， 过O 作OG ⊥AB 于G ，PF ⊥AB 的延长线于F ， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB||AF|=|AB|(|AG|+|GF|) =2×(32+1)=5，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[2,5]．故选：D ．由数量积的几何意义知，当P 在点C 处时，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小，当P 在过圆心O 作AB 的平行线与圆弧的交点时，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 最大，然后求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围． 本题考查利用几何意义求数量积的取值范围问题，考查数形结合思想，逻辑推理能力，是一道中档题．7.【答案】A【知识点】函数图象的作法【解析】解：f(−x)=−f(x)，即f(x)是奇函数，排除D ， 当x =π2时，f(x)=0，排除B ，由f(x)=0得sin2x =0，则2x =kπ，k ∈Z ， 即x =kπ2，k ∈Z ，则右侧前两个零点为π2，π． 当x =π4时，sin2x =1，e π4−12>e 14>1，排除C ， 故选：A ．判断函数的奇偶性和对称性，利用函数零点，函数取值范围进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性，函数取值范围的对应性，利用排除法是解决本题的关键，是中档题．8.【答案】D【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积【解析】解：由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等，∵正六棱台的上下底面边长分别为1和2，则S1=6×12×1×1×√32=3√32，S2=6×12×2×2×√32=6√3，故V=13(S1+√S1S2+S2)ℎ=13×(3√32+6√32+6√3)×2√3=21．故选：D．由已知求出正六棱台的上下底面面积，再由棱台体积公式求解．本题考查棱台体积的求法，考查祖暅原理的应用，是基础的计算题．9.【答案】D【知识点】圆的切线方程【解析】解：根据题意，圆C化为：(x−2)2+y2=4，圆心为(2,0)，半径r=2，过点P作圆C的两条切线，切点为A，B，连接PC，若∠APB=60°，则∠APC=30°，如图所示：又由CA⊥PA，则|PC|=2|CA|=2r=4，若直线l：x+y+m=0上存在点P，满足∠APB=60°，则有C到直线l的距离d=√1+1≤4，解得：−4√2−2≤m≤4√2−2，即m的取值范围是[−4√2−2.4√2−2]．故选：D．求出圆C圆心和半径，作出草图分析可得PC的值，结合点到直线的距离公式可得C到直线l的距离d≤PC，从而解得m的取值范围．本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了圆的切线性质应用问题，是基础题．10.【答案】C【知识点】正余弦定理在解三角形计算中的综合应用【解析】解：如图所示：，连接CG，并延长交AB于D，由G是三角形的重心，得D是AB的中点，∵AG⊥BG，∴DG=12AB=12c，由重心的性质得CD=3DG，即CD=32AB=32c，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅cos∠ADC，BC2=BD2+CD2−2BD⋅CD⋅cos∠BDC，∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，∴AC2+BC2=a2+b2=2AD2+2CD2=5c2，则cosC=a2+b2−c22ab =25(ab+ba)，∵∠AGD>∠ACD，∠BGD>∠BCD，∴90°=∠AGB>∠ACB，∴∠ACB为锐角，∵△ABC是钝角三角形，∴∠BAC或∠ABC为钝角，∴b2+c2<a2或a2+c2<b2，将a2+b2=5c2代入得：ba ∈(√62,+∞)∪(−∞,√63)，∴√63<cosC<1．故选：C．根据余弦定理求出cosC=a2+b2−c22ab =25(ab+ba)，根据三角形是钝角三角形求出ba∈(√6 2,+∞)∪(−∞,√63)，利用对号函数的性质求出cos C的范围即可．本题考查了余弦定理的应用，考查三角形的重心以及直角三角形的性质，是一道中档题．11.【答案】D【知识点】复合函数的单调性【解析】解：∵函数f(x)=log 2(−x 2−mx +16)在[−2,2]上单调递减， ∴f(x)在[−2,2]上单调递减，且大于零，故有 {−m2≤−2−4−2m +16>0，求得 4≤m <6， 故选：D ．由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质可得 {−m2≤−2−4−2m +16>0，由此求得m 的范围．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．12.【答案】D【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】解：如图，直线CD 为抛物线M 的准线，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，AE ⊥BD ． 设|BE|=5x ，则|AB|=13x ，|BE|=|BD|−|AC|=|BF|−|AF|=5x ，|AB|=|AF|+|BF|=13x ，解得|AF|=4x ，|BF|=9X ，故|AF||BF|=4x9x =49．故选：D ．画出图形，设出|BE|=5x ，则|AB|=13x ，利用相似比，求解即可． 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．13.【答案】7√33【知识点】正弦定理【解析】解：因为5a =8c ，B =60°，其内切圆半径为√3， 所以12(a +b +c)×√3=12ac ×√32，所以138a +b =5a 216，① 又cosB =a 2+c 2−b 22ac，可得a 2=64b 249，由a >0，b >0，可得a =8b 7，②，所以由①②解得b=7，设其外接圆半径为R，则由2R=bsinB=7√32，解得外接圆半径R=7√33．故答案为：7√33．由已知利用三角形的面积公式可得138a+b=5a216，又利用余弦定理可求得a=8b7，联立方程可求得b的值，进而根据正弦定理即可求解外接圆半径R的值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于中档题．14.【答案】108【知识点】排列、组合的综合应用【解析】解：根据题意，将5人安排到五所学校进行教学视导，有A55=120种分派方案，若3名男专家都安排在省级重点中学，有A22A33=12种分派方案，则两类学校都要有男专家的分配方案有120−12=108种，故答案为：108．根据题意，用间接法分析：先计算没有限制条件的安排方法，排除其中“3名男专家都安排在省级重点中学”的情况，即可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意间接法的使用，属于基础题．15.【答案】C√4πS−C22πS【知识点】球的表面积和体积【解析】解：如图，由(R−ℎ)2+r2=R2，可得ℎ=R−√R2−r2，由已知可得，S=2πRℎ=2πR(R−√R2−r2)①，C=2πr，得C2=4π2r2②，①②两式对应相除得SC2=2πR(R−√R2−r2)4π2r2，可得2πSC2=Rr[Rr−√(Rr)2−1]，设m=Rr ，得2πSC2=m[m−√m2−1]，整理得，m√m2−1=m2−2πSC2，即m=2πSC√4πS−C2，∴rR=C√4πS−C22πS．故答案为：C√4πS−C22πS．由题意画出图形，得到h与R、r的关系，代入球冠面积公式，再写出圆的周长公式，两式联立即可求得rR 的值．本题考查球冠表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】17【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：由双曲线的方程可得a =4，b =9，所以c =√97， 因为|PF 1|=9<a +c ，所以P 在双曲线的左支上，所以由双曲线的定义可得|PF 2|=2a +|PF 1|=2×4+9=17， 故答案为：17．由双曲线的方程可得a ，b 的值，进而求出c 的值，由焦点到另一支的最小距离为a +c 可得P 在左支上，再由双曲线的定义可得|PF 2|的值．本题考查双曲线的性质及点在曲线上的情况的判断方法，属于基础题．17.【答案】解：设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5=9，S 5=25．则由题意得{a 1+4d =95a 1+5×42d =25，解得{a 1=1d =2，故a n =2n −1．(2)由(1)知{a n }的前n 项和为S n =n(1+2n−1)2=n 2．又数列{(12)n }的前n 项和为：12×(1−12n )1−12=1−(12)n ．故 T n =n 2+1−(12)n ．【知识点】数列求和方法【解析】(1)根据等差数列的通项公式结合已知条件即可求解； (2)结合(1)求出b n ，再用分组法求T n ．本题考查等比数列的通项公式与前n 项和、等差数列的性质、分组法的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数学运算、逻辑推理核心素养． 18.【答案】(Ⅰ)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥AE ，因为四边形ABCD 为矩形，CD =2，AD =√2，E 为DC 的中点． 所以tan∠EAD =DEAD=1√2=√22，tan∠CDB =BC CD=√22， 于是∠DAE =∠CDB ，因为∠DAE +∠DEA =90°，所以∠EDF +∠DEF =90°，所以AE ⊥BD ，因为PD ∩BD =D ，PD 、BD ⊂平面PBD ，所以AE ⊥平面PBD ； (Ⅱ)解：建立如图所示的空间直角坐标系，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,2，−√2)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−√2)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−√2)， 设平面PBE 和平面PBC 的法向量分别为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，n ⃗ =(u,v ，w)， {PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =√2x +2y −√2z =0PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =y −√2z =0，令y =√2，m ⃗⃗⃗ =(−1,√2,1)， {PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√2u +2v −√2w =0PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2v −√2w =0，令v =1，n⃗ =(0,1，√2)， 因为二面角C −PB −E 为锐角，所以二面角C −PB −E 的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√22⋅√3=√63．【知识点】线面垂直的判定、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(Ⅰ)根据直线与平面垂直的判定定理证明；(Ⅱ)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)K 2=35245≈7.822>6.635，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为到校形式与性别有关系； (2)X 可能取0，1，2，3，4，5，6，若以上述样本的频率作为概率，在该校中随机抽取1人为“独自到校”的概率为611，在该校中随机抽取6人，可视为6次独立重复试验， 所以X ～B(6,611)， 故E (X)=6×611=3611， D(X)=6×611×(1−611)=180121．【知识点】独立性检验【解析】(1)根据求出K 2，进行比较判断； (2)转化为独立重复试验，可得出结果．本题考查独立性检验，分层抽样，概率，属于中等题．20.【答案】解：(1)因为△ACF 2的周长为4，所以4=|AC|+|CF 2|+|AF 2|=|AC|+|CF 1|+|AF 2|=|AF 1|+|AF 2|=2a ，解得a =2， 设椭圆的半焦距为c ，所以e =ca =12，可得c =1，b =√a 2−c 2=√3， 所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1：(2)假设存在直线AF 2与椭圆的另一个交点为B ，使得3S △ACF 2=5S △BCF 2， 由题意可得S △ACF 2S△BCF 2=12|CF 2|⋅|AF 2|⋅sin∠AF 2C 12|CF 2|⋅|BF 2|⋅sin∠BF 2C =|AF 2||BF 2|=53，所以AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =53F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为F 2(1,0)，所以(1−x 1,−y 1)=53(x 2−1,y 2)， 所以y 1=−53y 2，①设直线AB ：x =my +1，联立椭圆方程3x 2+4y 2=12， 可得(4+3m 2)y 2+6my −9=0，可得 y 1+y 2=−6m4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2，②， 由①②可得m =±√33，因为点A 在第一象限，所以m =−√33，所以存在直线AF 2的方程为x =−√33y +1，即y =−√3x +√3．【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的概念及标准方程【解析】(1)由三角形的周长的定义和椭圆的定义，可得a ，再由椭圆的离心率公式可得c ，再由a ，b ，c 的关系可得b ，进而得到椭圆方程；(2)假设存在直线AF 2与椭圆的另一个交点为B ，使得3S △ACF 2=5S △BCF 2，运用三角形的面积公式，化简可得AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =53F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由向量的坐标运算可得y 1=−53y 2，设直线AB ：x =my +1，联立椭圆方程，运用韦达定理，解方程可得m ，进而得到所求直线方程．本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=|x −a +1|+|x +b −1|≥|x −a +1−(x +b −1)|=|a +b −2|，因为a ，b ∈(0,1)，所以f(x)≥2−a −b ，当a −1≤x ≤1−b 时，取到最小值2−a −b ，所以c =2−a −b ，即a +b +c =2；(Ⅱ)证明：因为a +b +c =2，所以(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =4， 因为b 2+c 2≥2bc ，所以a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥a 2+2bc +2ab +2bc +2ac ，即a 2+2ab +4bc +2ac ≤4(当且仅当b =c 时取等号)．【知识点】证明不等式的基本方法、不等式和绝对值不等式【解析】(Ⅰ)由绝对值不等式的性质，可得最小值，进而得到所求值； (Ⅱ)由三个数的完全平方公式，结合基本不等式，即可得证．本题考查绝对值不等式的性质和基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

数学仿真模拟卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 满足z (1＋2i)＝i ，则复数z 在复平面内对应点所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限A [由z (1＋2i)＝i ，得z ＝i 1＋2i ＝i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝25＋15i ，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫25，15，在第一象限．故选A ．] 2．已知集合M ＝{x |x 2－2x ＜0}，N ＝{－2，－1，0，1，2}，则M ∩N ＝( ) A ．∅ B ．{1}C ．{0，1}D ．{－1，0，1}B [∵M ＝{x |0＜x ＜2}，N ＝{－2，－1，0，1，2}， ∴M ∩N ＝{1}．故选B ．]3．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1，V 2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S 1，S 2，则“V 1，V 2相等”是“S 1，S 2总相等”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B [由祖暅原理知，若S 1，S 2总相等，则V 1，V 2相等成立，即必要性成立，若V 1，V 2相等，则只需要底面积和高相等即可，则S 1，S 2不一定相等，即充分性不成立， 即“V 1，V 2相等”是“S 1，S 2总相等”的必要不充分条件，故选B ．]4．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，直线l ：ax －y ＋4＝0.若直线l 上存在点M ，以M 为圆心且半径为1的圆与圆C 有公共点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)B ．[－3，3]C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．[－3，3]C [圆C ：x 2＋y 2＝1的圆心为(0，0)，半径为1，要使直线l ：ax －y ＋4＝0上存在点M ，使得以M 为圆心且半径为1的圆与圆C 有公共点，则圆心(0，0)到直线ax －y ＋4＝0的距离d ＝|4|a 2＋1≤2，解得a ≤－3或a ≥ 3.∴a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)． 故选C ．]5．当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝－log a x 的图象是( )A B C DD [由于a ＞1，所以y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x为R 上的递减函数，且过(0，1)； y ＝－log a x 为(0，＋∞)上的单调递减函数，且过(1，0)， 故选D ．]6．已知f (x )＝x ·2|x |，a ＝f (log 35)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫log 312，c ＝f (ln 3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞bD[根据题意，f (x )＝x ·2|x |＝⎩⎨⎧x ·2x ，x ≥0，x ·⎝⎛⎭⎫12x，x ＜0，当x ＜0时，f (x )＝x ·⎝⎛⎭⎫12x＜0，又由log 312＝－log 32＜0，则b ＜0， 当x ≥0时，f (x )＝x ·2x ，其导数f ′(x )＝2x ＋x ·2x ln 2＞0，则f (x )在[0，＋∞)上为增函数，其f (0)＝0，则当x ＞0时，f (x )＞0；又由0＜log 35＜1＜ln 3，则0＜a ＜c ，综合可得：c ＞a ＞b ；故选D ．]7．已知函数f (x )＝2sin ωx 和g (x )＝2cos ωx (ω＞0)图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点，为了得到y ＝g (x )的图象，只需把y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向左平移π2个单位C ．向右平移1个单位D ．向右平移π2个单位A [令f (x )＝2sin ωx 和g (x )＝2cos ωx 相等可得sin ωx ＝cos ωx ⇒tan ωx ＝1⇒ωx ＝k π＋π4，k ∈Z ； ∴可设连续三个交点的横坐标分别为：π4ω，5π4ω，9π4ω；对应交点坐标为：A ⎝⎛⎭⎫π4ω，1，B ⎝⎛⎭⎫5π4ω，－1，C ⎝⎛⎭⎫9π4ω，1； ∵任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点； ∴B 到AC 的距离等于AC 的一半；即2＝12×⎝⎛⎭⎫9π4ω－π4ω⇒ω＝π2；∴f (x )＝2sin ωx ＝2sin 12 πx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－12πx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫12πx －π2＝2cos π2(x －1)； ∴需把y ＝f (x )的图象向左平移1个单位得到g (x )＝2cos ωx ＝2cos 12πx 的图象；故选A ．]8．如图，在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2017＋a 2018＋a 2019＋a 2020＝( )A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020C [由直角坐标系可知，A (1，1)，B (－1，2)，C (2，3)，D (－2，4)，E (3，5)，F (－3，6)，即a 1＝1，a 2＝1，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝2，a 6＝3，a 7＝－2，a 8＝4，…，由此可知，数列中偶数项是从1开始逐渐递增的，且都等于其项数除以2，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第一个数为其组数，每组的第一个数和第三个数是互为相反数，因为2020÷4＝505，则a2019＝－505，所以a2017＝505，a2018＝1009，a2020＝1010，则a2017＋a2018＋a2019＋a2020＝2019，故选C．]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，测量了他们的体重(单位：千克)．健身之前他们的体重情况如三维饼图(1)所示，经过半年的健身后，他们的体重情况如三维饼图(2)所示，对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是()(1)(2)A．他们健身后，体重在区间[90，100)内的人数不变B．他们健身后，体重在区间[100，110)内的人数减少了2个C．他们健身后，体重在区间[110，120)内的肥胖者体重都有减轻D．他们健身后，这20位肥胖者的体重的中位数位于区间[90，100)ACD[图(1)中体重在区间[90，100)，[100，110)，[110，120)内的人数分别为8，10，2；图(2)中体重在区间[80，90)，[90，100)，[100，110)内的人数分别为6，8，6；故选ACD．] 10．为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览，高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，若只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是()A．该班选择去甲景点游览B．乙景点的得票数可能会超过9C．丙景点的得票数不会比甲景点高D．三个景点的得票数可能会相等AC[由题意可知：若只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，则选择乙的为27－18＝9人，则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择乙的一定小于等于9人，选项B 错误；若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，则选择丙的为27－19＝8人， 则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择丙的一定小于等于8人， 故选择甲的一定大于等于27－9－8＝10人，选项D 错误；故选AC ．]11．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )＞m ＞1，则下列成立的有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1m ＞1－mm B ．f ⎝⎛⎭⎫1m ＜－1 C ．f ⎝⎛⎭⎫1m －1＞1m －1D ．f ⎝⎛⎭⎫1m －1＜0AC [根据题意，设g (x )＝f (x )－mx ，则其导数g ′(x )＝f ′(x )－m ， 又由f ′(x )＞m ＞1，则g (x )在区间R 上为增函数， 对于A ，又由m ＞1，则0＜1m＜1，g ⎝⎛⎭⎫1m ＞g (0)， 即f ⎝⎛⎭⎫1m －1m ×m ＞f (0)，即f ⎝⎛⎭⎫1m －1＞－1，变形可得：f ⎝⎛⎭⎫1m ＞0，B 错误； 又由m ＞1，则1－m m ＜0，必有f ⎝⎛⎭⎫1m ＞1－m m，A 正确；对于C ，由于m ＞1，则1m －1＞0，则有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －1＞g (0)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －1－mm －1＞f (0)＝－1，变形可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －1＞m m －1－1＝1m －1，故C 正确，D 错误； 故选AC ．]12．已知双曲线x 2n －y 2n ＝1(n ∈N *)，不与x 轴垂直的直线l 与双曲线右支交于点B ，C (B在x 轴上方，C 在x 轴下方)，与双曲线渐近线交于点A ，D (A 在x 轴上方)，O 为坐标原点，下列选项中正确的为( )A ．|AC |＝|BD |恒成立B ．若S △BOC ＝13S △AOD ，则|AB |＝|BC |＝|CD |C ．△AOD 面积的最小值为1D ．对每一个确定的n ，若|AB |＝|BC |＝|CD |，则△AOD 的面积为定值 ABD [设l ：y ＝kx ＋b ，代入x 2－y 2＝n ，得(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－n ＝0，①显然k ≠±1，Δ＝4b 2k 2＋4(1－k 2)(b 2＋n )＞0，即b 2＋n (1－k 2)＞0， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两个根， 有x 1＋x 2＝2kb 1－k 2，x 1x 2＝－(b 2＋n )1－k 2，设A (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b y ＝x ，得x 3＝b1－k ；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋by ＝－x，得x 4＝－b 1＋k ；∴x 3＋x 4＝2kb1－k 2，即AD 和BC 的中点重合，则|AC |＝|BD |恒成立，故A 正确． 设AD 和BC 的中点重合为P ，∴|AB |＝|CD |，又S △BOC ＝13S △AOD ，∴|BC |＝13|AD |，则|AB |＝|BC |＝|CD |，故B 正确．设直线l 方程为x ＝ty ＋m ，t ∈(－1，0)∪(0，1)，m ＞1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y ＝x 得y 3＝m 1－t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m y ＝－x 得y 4＝－m1＋t ，|OA |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 1－t ，|OD |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 1＋t ，∠AOD ＝90°，S △ACD ＝12|OA ||OD |＝m 21－t2＞m 2＞1，故C 错误．∵|AB |＝|BC |＝|CD |，∴|BC |＝13|AD |，得1＋k 2|x 1－x 2|＝131＋k 2|x 3－x 4|，即b 2＝9n8(k 2－1)＞0，∴n ＞0，k 2＞1，|OA |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 1－k ，|OD |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 1＋k ，∠AOD ＝90°， ∴S △AOD ＝12|OA |·|OD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 21－k 2＝9n8是定值，故D 正确．故选ABD ．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量m ＝(a ，－1)，n ＝(－1，3)，若m ⊥n ，则a ＝__________. －3 [因为向量m ＝(a ，－1)，n ＝(－1，3)，且m ⊥n ， 所以m·n ＝－a －3＝0， 解得a ＝－3.]14.⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6展开式中常数项为__________． 15 [由T r ＋1＝C r 6·(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r ·C r 6·x 12－3r . 取12－3r ＝0，得r ＝4.∴⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6展开式中常数项为(－1)4·C 46＝15.] 15．直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (1，0)，且与C 交于M ，N 两点，则p ＝________，|MF |9－1|NF |的最小值是____________．(本题第一空2分，第二空3分)2 －13 [因为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (1，0)，所以p ＝2， ∴抛物线C 的方程为：y 2＝4x ，设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设直线l 的方程为：x ＝my ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1y 2＝4x，消去x 得：y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，∴x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－4m 2＋4m 2＋1＝1， |MF |9－1|NF |＝x 1＋19－1x 2＋1＝x 1＋19－11x 1＋1＝x 1＋19＋11＋x 1－1≥2x 1＋19·11＋x 1－1＝－13，当且仅当x 1＋19＝11＋x 1，即x 1＋1＝3 时，等号成立， ∴|MF |9－1|NF |的最小值是－13.] 16．若点M 在平面α外，过点M 作面α的垂线，则称垂足N 为点M 在平面α内的正投影，记为N ＝f α(M )．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，记平面AB 1C 1D 为β，平面ABCD 为γ，点P 是棱CC 1上一动点(与C ，C 1不重合)，Q 1＝f γ[f β(P )]，Q 2＝f β[f γ(P )]．给出下列三个结论：①线段PQ 2长度的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，22；②存在点P 使得PQ 1∥平面β； ③存在点P 使得PQ 1⊥PQ 2. 其中正确结论的序号是________．①② [过P 作PE ⊥C 1D ，垂足为E ，过E 作EM ∥CC 1，交CD 于M ；连接CD 1，交C 1D 于O ，如图所示：∵AD ⊥平面CDD 1C 1，PE ⊂平面CDD 1C 1，∴PE ⊥AD ，又PE ⊥C 1D ，AD ，C 1D ⊂平面AB 1C 1D ，AD ∩C 1D ＝D ，∴PE ⊥平面AB 1C 1D ， ∵EM ∥CC 1，CC 1⊥平面ABCD ，∴EM ⊥平面ABCD ，∴M ＝f γ[f β(P )]， ∴M 即为Q 1；∵四边形CDD 1C 1为正方形，∴CD 1⊥C 1D ，∵AD ⊥平面CDD 1C 1，CD 1⊂平面CDD 1C 1，∴CD 1⊥AD ，又AD ，C 1D ⊂平面AB 1C 1D ，AD ∩C 1D ＝D ，∴CO ⊥平面AB 1C 1D ， ∴O ＝f β[f γ(P )]，∴O 即为Q 2.以C 为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，设CP ＝a (0＜a ＜1)，则P (0，0，a )，C (0，0，0)，Q 2⎝⎛⎭⎫12，0，12，Q 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2，0，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫1－a2，0，1＋a 2，对于①，|PQ 2|＝14＋⎝⎛⎭⎫a －122，∵a ∈(0，1)，∴⎝⎛⎭⎫a －122＋14∈⎣⎡⎭⎫14，12， ∴|PQ 2|∈⎣⎡⎭⎫12，22，①正确；对于②，∵CQ 2⊥平面β，∴平面β的一个法向量CQ 2→＝⎝⎛⎭⎫12，0，12， 又PQ 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2，0，－a ，令PQ 1→·CQ 2→＝0，即14－14a －12a ＝0， 解得a ＝13∈(0，1)，∴存在点P ，使得PQ 1∥平面β，②正确；对于③，PQ 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2，0，－a ，PQ 2→＝⎝⎛⎭⎫12，0，12－a ， 令PQ 1→·PQ 2→＝1－a 4－12a ＋a 2＝a 2－34a ＋14＝0，方程无解，∴不存在点P ，使得PQ 1⊥PQ 2，③错误．故答案为：①②.]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c cos A ＋a cos C ＝a .(1)求ab的值；(2)若a ＝1，c ＝3，求△ABC 的面积．[解] (1)由正弦定理，c cos A ＋a cos C ＝a 可化为： sin C cos A ＋cos C sin A ＝sin A ， 也就是sin(A ＋C )＝sin A ．由三角形内角和定理得sin (A ＋C )＝sin (π－B )＝sin B ． 即sin B ＝sin A ． 由正弦定理可得b ＝a ，故ab ＝1.(2)由a ＝1可知b ＝1.而c ＝3， 由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.又0＜C ＜π，于是C ＝2π3.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×1×sin 2π3＝34.18．(本小题满分12分)在①a 2＋a 3＝a 5－b 1，②a 2·a 3＝2a 7，③S 3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n }的公差d ＞0，前n 项和为S n ，若________，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＝nb n －b n ＋1. (1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． [解] 若选①：(1)∵a n b n ＋1＝nb n －b n ＋1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1－b 2，∵b 1＝1，b 2＝13，∴a 1＝2.又∵a 2＋a 3＝a 5－b 1，∴d ＝3， ∴a n ＝3n －1；(2)由(1)知：(3n －1)b n ＋1＝nb n －b n ＋1，即3nb n ＋1＝nb n ， ∴b n ＋1＝13b n .又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1，T n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n1－13＝32(1－3－n )． 若选②：(1)∵a n b n ＋1＝nb n －b n ＋1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1－b 2，∵b 1＝1，b 2＝13，∴a 1＝2.又∵a 2·a 3＝2a 7，∴(2＋d )(2＋2d )＝2(2＋6d )， ∵d ＞0，∴d ＝3， ∴a n ＝3n －1；(2)由(1)知：(3n －1)b n ＋1＝nb n －b n ＋1，即3nb n ＋1＝nb n ， ∴b n ＋1＝13b n .又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1，T n＝1－⎝⎛⎭⎫13n1－13＝32(1－3－n )． 若选③：(1)∵a n b n ＋1＝nb n －b n ＋1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1－b 2，∵b 1＝1，b 2＝13，∴a 1＝2.又∵S 3＝15，∴d ＝3， ∴a n ＝3n －1；(2)由(1)知：(3n －1)b n ＋1＝nb n －b n ＋1，即3nb n ＋1＝nb n ，∴b n ＋1＝13b n .又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1，T n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n1－13＝32(1－3n)． 19．(本小题满分12分)如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝1，∠ABC ＝60°.(1)求证：平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围．[解] (1)证明：等腰梯形ABCD ，AD ＝AB ＝1， 由∠ABC ＝60°，∠BAD ＝120°， BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos 120°＝3，BC ＝1＋12＋12＝2，所以BC 2＝CD 2＋BD 2，BD ⊥DC ，由平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD ＝BD ， 所以CD ⊥平面BDEF ， 又CD ⊂平面CDE ，所以平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)根据题意，以D 为原点，以DB ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设EM ＝m ∈[0，3]，则B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (0，0，0)，M (m ，0，3)， BM →＝(m －3，0，3)，DB →＝(3，0，0)，BC →＝(－3，1，0)， 设平面BMC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·BC →＝－3x ＋y ＝0n ·BM →＝(m －3)x ＋3z ＝0，令x ＝3，y ＝3，z ＝3－m ， 故n ＝(3，3，3－m )， 设BD 与平面BCM 的夹角为θ，所以sin θ＝|cos 〈n ，BD →〉|＝3(m －3)2＋12，m ∈[0，3]，所以当m ＝0时取最小值55，m ＝3取最大值12， 故BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围为⎣⎡⎦⎤55，12.20．(本小题满分12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |.(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程． [解] (1)由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ，其中c ＝a 2－b 2.不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b 2a ；C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故|AB |＝2b 2a，|CD |＝4c .由|CD |＝43|AB |得4c ＝8b 23a ，即3×ca ＝2－2⎝⎛⎭⎫c a 2. 解得c a ＝－2(舍去)，c a ＝12.所以C 1的离心率为12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 23c2＝1.设M (x 0，y 0)，则x 204c 2＋y 203c 2＝1，y 20＝4cx 0，故x 204c 2＋4x 03c＝1.①由于C 2的准线为x ＝－c ，所以|MF |＝x 0＋c ，而|MF |＝5，故x 0＝5－c ，代入①得(5－c )24c 2＋4(5－c )3c＝1，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝－1(舍去)，c ＝3. 所以C 1的标准方程为x 236＋y 227＝1，C 2的标准方程为y 2＝12x .21．(本小题满分12分) 每年的3月12日是植树节，某公司为了动员职工积极参加植树造林活动，在植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满30棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满50棵获得一次乙箱内摸奖机会，每箱内各有10个球(这些球除颜色外完全相同)，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a 个红球，b 个黄球，5个黑球，乙箱内有4个红球和6个黄球，每次摸一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金．(1)经统计，每人的植树棵数X 服从正态分布N (35，25)，若其中有200位植树者参与了抽奖，请估计植树的棵数X 在区间(30，35]内并中奖的人数(结果四舍五入取整数)；附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 5. (2)若a ＝2，某位植树者获得两次甲箱内摸奖机会，求中奖金额Y (单位：元)的分布列； (3)某人植树100棵，有两种摸奖方法， 方法一：三次甲箱内摸奖机会； 方法二：两次乙箱内摸奖机会．请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大． [解] (1)依题意得，μ＝35，σ2＝25，得σ＝5，植树的棵数X 在区间(30，35]内，有一次甲箱内摸奖机会，中奖率为1－510＝0.5，植树棵数X 在区间(30，35]内人数约为200×12P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝200×0.68272≈68人，故中奖的人数约为68×0.5＝34人．(2)中奖金额Y 的可能取值为0，50，100，150，200. P (Y ＝0)＝0.5×0.5＝0.25； P (Y ＝50)＝2×0.3×0.5＝0.3；P (Y ＝100)＝2×0.5×0.2＋0.3×0.3＝0.29； P (Y ＝150)＝2×0.2×0.3＝0.12； P (Y ＝200)＝0.2×0.2＝0.04. 故Y 的分布列为(3)方法一：∵a ＋b ＝5，∴甲箱摸一次所得奖金的期望为E 1＝100×a 10＋50×b10＝10a ＋5b ＝25＋5a ， ∴方法一所得奖金的期望值为3E 1＝75＋15a ；方法二：乙箱摸一次所得奖金的期望为E 2＝100×0.4＋50×0.6＝70，∴方法二所得奖金的期望值为2E 2＝2×70＝140， ∵a 的值可能为1，2，3，4， ∴3E 1＝75＋15a ≤135＜140，∴这位植树者选方法二所得奖金的期望值较大．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x ＋b )(e 2x －a )(b ＞0)在点⎝⎛⎭⎫－12，f ⎝⎛⎭⎫－12处的切线方程为(e －1)x ＋e y ＋e －12＝0.(1)求a ，b ；(2)函数f (x )图象与x 轴负半轴的交点为P ，且在点P 处的切线方程为y ＝h (x )，函数F (x )＝f (x )－h (x )，x ∈R ，求F (x )的最小值；(3)关于x 的方程f (x )＝m 有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，证明：x 2－x 1≤1＋2m 2－m e1－e .[解] (1)将x ＝－12代入切线方程(e －1)x ＋e y ＋e －12＝0中，得y ＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝0，又f ⎝⎛⎭⎫－12＝⎝⎛⎭⎫b －12⎝⎛⎭⎫1e －a ＝0，解得b ＝12或a ＝1e ， 又f ′(x )＝e 2x (2x ＋2b ＋1)－a ，所以f ′⎝⎛⎭⎫－12＝2b e －a ＝－e －1e ＝－1＋1e ， 若a ＝1e ，则b ＝2－e 2(舍去)；所以b ＝12，则a ＝1.(2)由 (1)可知，a ＝1，b ＝12，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋12(e 2x －1)， 令f (x )＝0，有x ＝－12或x ＝0，故曲线y ＝f (x )与x 轴负半轴的唯一交点P 为⎝⎛⎭⎫－12，0， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎫－12，0处的切线方程为y ＝h (x )， 则h (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫－12⎝⎛⎭⎫x ＋12， 因为F (x )＝f (x )－h (x )，所以F (x )＝f (x )－f ′⎝⎛⎭⎫－12⎝⎛⎭⎫x ＋12， 所以F ′(x )＝f ′(x )－f ′⎝⎛⎭⎫－12＝2e 2x (x ＋1)－1e，F ′⎝⎛⎭⎫－12＝0.若x ≤－1，F ′(x )＜0.若x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12，x ＋1∈⎝⎛⎭⎫0，12，e 2x ∈⎝⎛⎭⎫1e 2，1e ， 所以2(x ＋1)e 2x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，F ′(x )＜0. 若x ∈⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，x ＋1∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞，e 2x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，2(x ＋1)e 2x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，F ′(x )＞0，所以y ＝F ′(x )在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增， ∴F ′(x )＞F ′⎝⎛⎭⎫－12＝0， ∴函数y ＝F (x )在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增． 所以F (x )min ＝F ⎝⎛⎭⎫－12＝0. (3)证明：h (x )＝⎝⎛⎭⎫1e －1⎝⎛⎭⎫x ＋12，设h (x )＝m 的根为x 1′，则x 1′＝－12＋m e 1－e ， 又y ＝h (x )单调递减，由(2)知f (x )≥h (x )恒成立． 又m ＝h (x 1′)＝f (x 1)≥h (x 1)，所以x 1′≤x 1， 设曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝t (x )， 则t (x )＝x ，令T (x )＝f (x )－t (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋12(e 2x －1)－x ，T ′(x )＝2(x ＋1)e 2x －2， 当x ≤－1时，T ′(x )＝2(x ＋1)e 2x －2≤－2＜0， 当x ＞－1时，T ″(x )＝2(2x ＋3)e 2x ＞0，故函数y ＝T ′(x )在(－1，＋∞)上单调递增，又T ′(0)＝0，所以当x ∈(－∞，0)时，T ′(x )＜0，当x ∈(0，＋∞)时，T ′(x )＞0，所以函数y ＝T (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以T (x )≥T (0)＝0，即f (x )≥t (x )， 设t (x )＝m 的根为x 2′，则x 2′＝m ，又函数y ＝t (x )单调递增，故m ＝t (x ′2)＝f (x 2)≥t (x 2)，故x ′2≥x 2.又x ′1≤x 1，所以x 2－x 1≤x ′2－x ′1＝m －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋m e 1－e ＝1＋2m 2－m e1－e.。

2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）第二模拟注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．（2020·河南高三月考）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()2,1-，则21zi=-（ ） A ．3i +B ．3i -C ．3i -+D ．3i --2．（2020·江西省丰城中学高三期中（理））已知集合{|ln(1)}A x y x ==-，{}2|20B x x x =--≤，则A B =（ ）A ．{|1}x x ≥-B ．{|12}x x <≤C ．{|12}x x <<D ．{|12}x x <<3．（2020·石家庄市第十九中学高一期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L .E .J .Brouwer )，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）A ．()2x f x x =+B ．2()3g x x x =-+C ．21,1()2,1xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．1()2g x x x=+ 4．（2020·湖南武陵区·常德市一中高三月考）为得到函数6sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数6cos 2y x =的图象（ ）A ．向右平行移动6π个单位 B ．向左平行移动6π个单位 C ．向右平行移动512π个单位 D ．向左平行移动512π个单位 5．（2020·全国高三月考）点P 在平面上以速度3),(2v =-作匀速直线运动，若4秒后点P 的坐标为()5,16-，则点P 的初始坐标为（ ） A ．()3,13B ．()3,4C ．()7,19-D ．()13,28-6．（2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考（理））函数()sin xf x e x =在区间[]π,π-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2020·广东榕城区·揭阳三中高二期中）已知数列{}n a 中，11a =，123n n a a +=+，则10a =（ ） A ．2045B ．1021C ．1027D ．20518．（2020·全国高三专题练习（理））已知函数3()log (91)x f x x =-++，则使得()2311log 10f x x -++<成立的x 的取值范围是（ ）A ．20,2⎛ ⎝⎭B ．()(),01,-∞⋃+∞C ．0,1D ．(),1-∞二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．（2020·东海县第二中学高二月考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ）A ．60a >B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 10．（2020·全国高一课时练习）（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ）A ．22sin 2sin 1y x =+B ．22sin 2sin 1y x =--C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-11．（2020·江苏如皋市·高二期中）在直角梯形ABCD 中，2ABC BCD π∠=∠=，1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中点，现将ADE 沿AE 折起，得到一个四棱锥D ABCE -，则下列命题正确的有（ ） A ．在ADE 沿AE 折起的过程中，四棱锥D ABCE -体积的最大值为13B ．在ADE 沿AE 折起的过程中，异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π C ．在ADE 沿AE 折起的过程中，二面角A EC D --的大小为45︒D ．在四棱锥D ABCE -中，当D 在EC 上的射影恰好为EC 的中点F 时，DB 与平面ABCE 所成的角的正切为15512．（2020·全国高三专题练习）已知函数()xf x e =，()1ln 22x g x =+的图象与直线y m =分别交于A 、B 两点，则（ ） A ．AB 的最小值为2ln2+B ．m ∃使得曲线()f x 在A 处的切线平行于曲线()g x 在B 处的切线C ．函数()()f x g x m -+至少存在一个零点D ．m ∃使得曲线()f x 在点A 处的切线也是曲线()g x 的切线 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（2020·河南高三月考）已知向量()1,2a =，(),1b t =-，若a b ⊥，则+=a b ______.14．（2020·上海黄浦区·格致中学高三期中）若9m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为84，则m =_________.15．（2020·河南焦作·高三一模（理））游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为14，停在不同区域的概率为34，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为X ，若开始时指针停在红色区域，则()E X =______.16．（2020·全国）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A ，B 距离之比为常数(0λλ＞且1)λ≠的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AB AD AA ＝＝＝，点E 在棱AB 上，2BE AE ＝，动点P 满足3BP PE ＝．若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为________；若点P 在长方体1111ABCD A B C D -内部运动，F 为棱11C D 的中点，M 为CP 的中点，则三棱锥1M B CF -的体积的最小值为___________．四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（2020·全国高三月考）甲､乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知____________，（1）判断123,,S S S 的关系并给出证明.（2）若133a a -=，设12n n n b a =，{}n b 的前n 项和为n T ，证明43n T <.甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是132,,S S S 成等差数列.如果甲､乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.18．（2020·河南高三月考）在①()3cos sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin 3sin 2A Cb A a +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，BD 为AC 边上的高，若23b =，______，求BD 的最大值.19．（2020·小店区·山西大附中高二月考）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E,F 分别是BC,PC 的中点．（1）证明：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，AB =2，EH 与平面PAD 6PA 的值． （3）在（2）的前提下，求二面角E AF C --的余弦值．20．（2020·南京航空航天大学附属高级中学高三期中）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次，若掷得点数不大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖.已知抽奖箱中装有2个红球与m (m ≥2，m ∈N *)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同). （1）若m =4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值.21．（2020·河南高二月考（理））已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>过点13M ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点A 是椭圆C 与x 轴正半轴的交点，点M ，N 在椭圆C 上且不同于点A ，若直线AM 、AN 的斜率分别是AM k 、AN k ，且6AM AN k k ⋅=，试判断直线MN 是否过定点，若过定点，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由.22．（2020·河南高三月考）已知函数()()ln 2f x a x x a a R =++∈ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若04e a <<，求证：()xe f x x x<+.2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）第二模拟注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．【答案】A 【详解】因为在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()2,1-， 所以2z i =-，则()()()()21223222311112i i z ii i i i i i -+-+=⨯=⨯=⨯=+---+. 故选：A . 2．【答案】B 【详解】由题得{|1}A x x =>，{}|12B x x =-≤≤，所以A B ={|12}x x <≤.故选：B 3．【答案】C 【详解】。

绝密★启用前仿真模拟卷02数 学本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．（2021·江苏高三月考）已知集合{}22M x y x x ==-，(){}22log 1N x y x ==-，则集合MN =A ．{}02x x ≤≤ B ．{01x x ≤<或}12x <≤ C ．{}12x x <≤D ．{}02x x <<2．（2021·湖南永州市·高三二模）若复数z 对应的点是()1,1-，则11z =+ A ．iB ．i -C ．-1D ．13．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc （,,,a b cd N +∈），则b da c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道 2.71828e =⋅⋅⋅，若令2714105e <<，则第一次用“调日法”后得4115是e 的更为精确的过剩近似值，即27411015e <<，若每次都取最简分数，那么第二次用“调日法”后可得e 的近似分数为 A ．6825B ．4115C ．2710D ．1454．（2021·全国高三开学考试）对任意实数,,a b c ，在以下命题中，正确的个数有 ①若22ac bc <，则a b <； ②若a b >，则1ab>； ③若2211a b >，则a b <； ④若10>>>a b ，则()log 0a a b -> A ．1B ．2C ．3D ．05．（2021·河南驻马店市·高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为F ，点P 是椭圆C 上的一个动点，||PF 31，且存在点P ，使得OPF △（点O 为坐标原点）为正三角形，则椭圆C 的焦距为 A ．2B ．2C ．23D ．46．（2021·四川高三月考）已知直线1y x =-与抛物线()2:20C y px p =>交于,M N 两点，且抛物线C 上存在点P ，使得23OM ON OP +=(O 为坐标原点)，则抛物线C 的焦点坐标为 A ．()4,0B ．()2,0C ．()1,0D ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭7．（2021·浙江高三月考）已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，点M ，N 分别为线段AB '，AC 上的动点，点T 在平面BCC B ''内，则MT NT +的最小值是 A 2B 23C ．62D ．18．（2021·浙江绍兴市·高三期末）设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意*n ∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数．若{}{}22020n a n tn =-+是间隔递增数列，且最小间隔数是3，则实数t 的取值范围是 A ．45t ≤<B ．5t <C ．56t ≤<D ．5t >二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（2020·江苏南京市·高三月考）下列说法正确的是 A ．若1~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()2E X =，则6n =B ．设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()21,(0)N σσ>，则(1)0.5P ξ>=10．（2021·广东韶关市·高三一模）设a ，b 为正数，若直线10ax by -+=被圆224210x y x y ++-+=截得弦长为4，则A ．1a b +=B ．21a b +=C ．18ab ≤D ．29a bab+≥ 11．（2021·江苏泰州市·高三期末）已知()20122221nn n n n n n x x T T x T x T x ++=+++⋯+，*n ∈N ，其中in T 为()21nx x ++展开式中i x 项系数，0,1,2,,2i n =⋅⋅⋅，则下列说法正确的有A ．1477i iT T -=，0,1,2,,14i =⋅⋅⋅ B ．233778T T T +=C ．14671023i i i i T===∑∑D ．77T 是07T ，17T ，27T ，…，147T 是最大值12．（2021·江苏高三月考）已知函数()ln mf x x m x=-+在区间()1,e 内有唯一零点，则m 的可能取值为 A ．21ee -+ B ．11e + C ．11e e -+ D ．21e+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021·安徽高三一模）设f (x )是定义在R 上周期为2的函数，当x ∈(-1，1]时，22,10(),01x x m x f x x x ⎧++-<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，其中m ∈R ．若f (116)=f (32)，则m 的值是___________．14．（2021·广东梅州市·高三一模）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________．15．（2021·陕西榆林市·高三二模）关于函数()4sin 6f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有如下四个命题： ①()f x 的最小正周期为2； ②()f x 的图象关于点7,06⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③若()()f a x f a x -=+，则a 的最小值为23； ④()f x 的图象与曲线12506y x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭共有4个交点． 其中所有真命题的序号是__________．16．（2021·绵阳南山中学实验学校高三开学考试）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数．()[]f x x x =-，若()f x 的图象上恰好存在一个点与()2(1)(20)g x a x x +--≤≤=的图象上某点关于y 轴对称，则实数a 的取值范围为___________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（2021·江苏连云港市·高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 12+=A C a c ，且2b =． （1）证明：4+≥a c ；（2）若ABC 的周长为232+S ．18．（12分）（2021·湖南永州市·高三二模）给定三个条件：①2a ，4a ，8a 成等比数列，②425S a =，③1(1)n n n a na ++=，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36S =，___________． （1）求数列{}n a 的通项； （2）若21n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和n K ，求证：34n K <．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（12分）（2021·安徽高三一模）为了调查某地区全体高中生的身高信息(单位：cm)，从该地区随机抽取高中学生100人，其中男生60人，女生40人．调查得到样本数据x i (i =1，2，···60)和y j (j =1，2，···40)，x i 和y j 分别表示第i 个男生和第j 个女生的身高．经计算得601ii x=∑=10500，6021ii x =∑=1838400，401j j y =∑=6600，4021j j y =∑=1090200．（1）请根据以上信息，估算出该地区高中学生身高的平均数z 和方差s 2；（2）根据以往经验，可以认为该地区高中学生身高X 服从正态分布N (μ，σ2)，用z 作为μ的估计值，用s 2作为σ2的估计值．若从该地区高中学生中随机抽取4人，记ξ表示抽取的4人中身高在(171，184.4)的人数，求ξ的数学期望．附：①数据t 1，t 2，…t n 的方差22222111()()m i i i s t t t nt n n ==-=-∑，②若随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ-σ<X <μ+σ)=0．6827；P (μ-2σ<X <μ+2σ)=0．9545；P (μ-3σ<X <μ+3σ)=0．9973；45≈6.7．20．（12分）（2021·辽宁高三月考）如图，圆O 的半径为4，AB 、CD 是圆O 的两条互相垂直的直径，P 为OA 的中点，//EF CD ．将此图形沿着EF 折起，在翻折过程中，点A 对应的点为1A ．（1）证明：1A B CD ⊥； （2）当123A PB π∠=时，求二面角1A BC P --的正弦值． 21．（12分）（2021·江苏常州市·高三开学考试）已知等轴双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)经过点5，12)． （1）求双曲线C 的标准方程； （2）已知点B (0，1)．①过原点且斜率为k 的直线与双曲线C 交于E ，F 两点，求∠EBF 最小时k 的值； ②点A 是C 上一定点，过点B 的动直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，AP AQ k k +为定值λ，求点A 的坐标及实数λ的值．22．（12分）（2021·安徽高三一模）已知函数f (x )=2e x +a ln(x +1)-2． （1）当a =-2时，讨论f (x )的单调性；（2）当x ∈[0，π]时，f (x )≥sinx 恒成立，求a 的取值范围．。

广东省普通高中2021届高考数学仿真试卷(2)一、单选题（本大题共15小题，共90.0分） 1.已知函数，则( )A. 0B. 1C. 2D. 32.已知集合A ={x|(x +3)(x −1)<0}，B ={x|x >−12}，则A ∩B =( )A. {x|−12<x <1} B. {x|x >−3} C. {x|−3<x <−12}D. {x|x >−12}3.已知函数f(x)=asinx −bcosx(a,b 为常数，a ≠0，x ∈R)在x =π4处取得最小值，则函数y =f(5π4−x)( )A. 是偶函数且它的图象关于点(π,0)对称B. 是奇函数且它的图象关于点(π,0)对称C. 是偶函数且它的图象关于点(3π2,0)对称 D. 是奇函数且它的图象关于点(3π2,0)对称4.若在区间[−√2,2]上随机取一个数k ，则“直线 y =kx +√3与圆 x 2+y 2=2相交”的概率为( )A. 3−2√24B. 3−2√2C. 2−√2D. 2−√235.已知数fx 为奇函数且当x >0时，f( )=x 2+1x f(−1)=( )A. −2B. 0C. 1D. 26.在△ABC 中，己知∠BAC =90°，AB =6，若D 点在斜边BC 上，CD =2DB ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. 48B. 24C. 12D. 67.如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列不等式不成立的是( )A. ab >acB. c (b −a)>0C. ab <ab 2D. ac(a −c)<08.已知，则( )A.B.C.D.9.在不等式组{x −y ≤02x +y ≥0y ≤a确定的平面区域中，若z =x +2y 的最大值为6，则a 的值为( )A. −2B. 2C. −6D. 610. 在等比数列{a n }中，若a 2=243，a 6=3，则a 4等于( )A. 123B. 27C. 3D. ±2711. 已知集合M ={x||x −1|≥2}，N ={x|x 2−4x ≥0}，则M ∩N( )A. {x|x ≤0或x ≥3}B. {x|x ≤0或x ≥4}C. {x|x ≤−1或x ≥3}D. {x|x ≤−1或x ≥4}12. 在△ABC 中，若A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a =2，B =π6，c =2√3，则b =( )A. 4B. 2C. 16−4√3D. 1013. 在区间(0,1)内随机抽取两个数x 和y ，恰好满足y ≥2x 的概率是( )A. 34B. 23C. 12D. 1414. 已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，其公比q ≠1且b i >0(i =1,2，…，n)，若a 1=b 1，a 11=b 11，则( )A. a 6>b 6B. a 6=b 6C. a 6<b 6D. a 6<b 6或a 6>b 615. 已知A(2,4)，B(1,1)，C(4,2).给出平面区域为三角形ABC 的内部及其边界，若使目标函数z =ax +y(a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 值等于( )A. 13 B. 6 C. 3 D. 1二、单空题（本大题共4小题，共24.0分） 16. “a =1”是“函数f(x)=在其定义域上为奇函数”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)17.已知直线y=ax−2和y=(a+2)x+1互相垂直，则实数a等于______．18.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为k：5：3，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A种型号产品共抽取了24件，则C种型号产品抽取的件数为______．19.某同学对函数f(x)=xsinx进行研究后，得出以下结论：①函数y=f(x)的图象是轴对称图形；②对任意实数x，|f(x)|≤|x|均成立；③函数y=f(x)的图象与直线y=z有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④当常数k满足|k|>1时，函数y=f(x)的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．其中所有正确结论的序号是______ ．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）20.把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有2i−1个正整数，设a ij(i,j∈N∗)表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右第j个数．(Ⅰ)若a ij=2013，求i和j的值；(Ⅱ)记A n=a11+a22+a33+⋯+a nn(n∈N∗)，求证：当n≥4时，A n>n2+C n3．21.已知ABCD−A1B1C1D1是直四棱拄，其底面是边长为m的菱形，∠BAD=60°，对角面BDD1B1是矩形，G，H分别是CD1，B1C的中点．(1)求证AD1//平面BDGH．(2)若平面ACD1⊥平面ACB1，AA1=2，求m．22.如图，某单位准备绿化一块直径AB=a的半圆形空地，△ABC以外地方种草，△ABC的内接正方形PQMN为一水池，其余的地方种花，设∠BAC=θ，△ABC的面积为S1，正方形PQMN的面积为S2．(Ⅰ)试用a，θ表示S1、S2；(Ⅱ)当a固定θ变化时，求θ为何值时，S1取得最小值？最小值是多少？S2【答案与解析】1.答案：D.解析：试题分析：由题意．考点：分段函数、指数函数、对数函数的运算．2.答案：A解析：解：∵集合A={x|(x+3)(x−1)<0}={x|−3<x<1}，B={x|x>−12}，∴A∩B={x|−1<x<1}.故选：A．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：由已知结合余弦函数的性质可知f(π4)=√22(a−b)=−√a2+b2<0，从而可求a，b的关系，代入化简后根据余弦函数的性质可求本题主要考查了余弦函数的定义及性质的简单应用，属于基础试题．解：∵f(x)=asinx−bcosx在x=π4处取得最小值，∴f(π4)=√22(a−b)=−√a2+b2<0∴a=−b且a<b，∴b>0，a<0，则f(5π4−x)=a[sin(5π4−x)+cos(5π4−x)]=√2asin(3π2−x)=−√2acosx根据偶函数的定义可知是偶函数，且图象关于(π,0)对称故选：A．4.答案：C解析：解：在区间[−√2,2]上随机取一个数k，则−√2≤k≤2，对应的区间长度为2−(−√2)=2+√2；若直线y=kx+√3与圆x2+y2=2相交，则圆心(0,0)到直线kx −y +√3=0的距离为 d =√3√k 2+1<√2，解得k <−√22或k >√22；此时−√2≤k <−√22或√22<k ≤2，对应的区间长度为(√2−√22)+(2−√22)=2，根据几何概型的概率可知所求的概率为P =2+√2=2−√2． 故选：C ．根据直线与圆相交，圆心到直线的距离d <r 求得k 的取值范围， 再根据几何概型的概率公式求出对应的区间长度比即可． 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．5.答案：A解析：解：∵函f(为奇函数，x >0f(x)=x2+1x ， ∴f(−)=−f =−， 故选．利用函的性质，f(−)=−，即可求答案． 本考查奇函数的性质，考函数的值属于基础．6.答案：B解析：解：∵CD =2DB ，∴BD =13BC ，即BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵∠BAC =90°，∴AB ⊥AC ，即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×62=24． 故选B ．根据CD =2DB ，得到BD =13BC ，即BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后利用平面向量的关系，利用数量积的定义进行求值即可．本题主要考查数量积的应用，利用数量积的定义确定向量长度和夹角是夹角本题的关键．7.答案：C解析：解：∵c <b <a ，且ac <0，∴a >0，c <0，b −c >0，b −a <0，a −c >0， ∴ab −ac =a(b −c)>0，∴ab >ac ，即A 成立； c(b −a)>0，即B 成立；ab <ab 2不成立，比如b =0时，即C 不成立； ac(a −c)<0成立，即D 成立． 故选：C ．根据条件即可得出a >0，c <0，b −c >0，b −a <0，a −c >0，从而可判断选项A ，B ，D 都成立，从而不成立的只能选C ．本题考查了不等式的性质，举反例说明不等式不成立的方法，考查了计算能力，属于基础题．8.答案：D解析：试题分析：．考点：1.倍角公式；2.诱导公式．9.答案：B解析：解：由约束条件{x −y ≤02x +y ≥0y ≤a作出可行域如图，联立{y =ay =x ，得A(a,a)， 化z =x +2y ，得y =−12x +z2．由图可知，当直线y =−12x +z2过A(a,a)时z 有最大值， ∴z =a +2a =3a =6，即a =2． 故选：B ．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数求得a 的值． 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10.答案：B解析：解：∵在等比数列{a n }中，若a 2=243，a 6=3， ∴a 4=a 2q 2=√a 2a 6=√243×3=27． 故选：B ．由等比数列通项公式得a 4=a 2q 2=√a 2a 6，由此能求出结果．本题考查等比数列的第4项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.答案：D解析：解：由已知，M ={x||x −1|≥2}={x|x ≥3或x ≤−1}，N ={x|x 2−4x ≥0}={x|x ≥4，或x ≤0}，∴M ∩N ={x|≤−1或x ≥4}首先化简两个集合，然后进行集合交集的运算．本题考查了集合的化简与运算，集合进行交集运算时，要结合数轴解答．12.答案：B解析：解：∵a =2，B =π6，c =2√3，∴由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB =4+12−2×2×2√3cos π6=4， 解之得b =2． 故选：B ．由已知及余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 即可得解． 本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．13.答案：D解析：解：在区间(0,1)上随机取两个数x ，y ，满足{0<x <10<y <1，对应区域OABC的面积为1，满足y≥2x，对应区域为△OAD如图，其中D(12,1)，则对应的面积的面积S=12×1×12=14，∴所求的概率为P=14．故选：D．该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是准确求出区域的面积，利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．属于中档题．14.答案：A解析：解：由题意可得四个正数满足a1=b1，a11=b11，由等差数列和等比数列的性质可得a1+a11=2a6，b1b11=b62，由基本不等式可得2a6=a1+a11=b1+b11≥2√b1b11=2b6，又公比q≠1，故b1≠b11，上式取不到等号，∴2a6>2b6，即a6>b6．故选：A．由基本不等式可得2a6=a1+a11=b1+b11≥2√b1b11=2b6，由等号取不到可得答案．本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及基本不等式的应用，属基础题．15.答案：D解析：解：由z=ax+y(a>0)得y=−ax+z(a>0)直线y=−ax+z(a>0)是斜率为−a，y轴上的截距为z的直线，从题图可以看出，当−a等于直线AC的斜率时，目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，线段AC上的所有点都是最优解．则−a=k AC=4−22−4=−1，∴a=1，故选：D．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．16.答案：充分不必要解析：试题分析：根据题意，条件是“a=1”，结论是“函数f(x)=在其定义域上为奇函数”，a=1时，则可知f(x)+f(−x)=0，则可知f(x)在其定义域上为奇函数。

2021年河南省高考数学仿真模拟试卷（理科）（二）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−2x≤0}，B={x|1<x≤3}，则A∪B=()A. (1,2]B. [0,3]C. [0,2]D. (0,3)2.满足z(2+i)=2−i(i为虚数单位)的复数z在复平面内对应的点所在象限为()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在△ABC中，BC=√17，AC=3，cosA=1，则△ABC的面积为()3A. 4√2B. 2C. 4D. 924.生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型K(n)=λlnn来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位：天)之+1，在物种入侵初期，基于现有数据得出Q=9，T=80.据此，累计繁殖数间的对应关系，且Q=Tλ量比现有数据增加3倍所需要的时间约为()(ln2≈0.69,ln3≈1.10)A. 6.9天B. 11.0天C. 13.8天D. 22.0天5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱与最短棱所在直线夹角的余弦值为()A. √8210B. 2√25C. √210D. 3√2106.家庭开支是指一般生活开支的人均细分.如图所示的是2017年和2020年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图，其中房贷每年的还款数额相同．根据以上信息，判断下列结论中正确的是()A. 小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍B. 小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的2倍C. 小王一家2020年用于饮食的支出费用相比2017年明显增加D. 小王一家2020年用于娱乐的费用比2017年增加了7%7.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|b⃗ |=√2|a⃗|，且(a⃗−b⃗ )⊥(3a⃗+2b⃗ )，则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. 45°B. 135°C. 60°D. 120°8.三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm，外径长3cm，筒高4cm，中部为棱长是3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为()A. (27−7π4)cm3 B. (24+π4)cm3 C. (36−9π4)cm3 D. (18+7π4)cm39.把函数y=2sin2x的图象向左平移π3个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数f(x)的图象，则()A. f(x)=2sin(2x+π3)+1 B. f(x)的最小正周期为2πC. f(x)的图象关于直线x=π6对称 D. f(x)在[π6,5π12]上单调递减10.已知(2−x)2021=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a2021(x+1)2021，则|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a2021|=()A. 24042B. 1C. 22021D. 011. 若函数f(x)=xe x −lnx −x −a 存在零点，则a 的取值范围为( )A. (0,1)B. [1,+∞)C. [1e ,e)D. (1e ,1]12. 已知斜率为k 的直线l 过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的准线上一点M(−1,−1)满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|AB|=( )A. 3√2B. 4√2C. 5D. 6二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若tanα=12，则2sin 2α+sinαcosα= ______ ． 14. 已知双曲线C 1：x 24−y 2b 2=1(b >0)的右焦点为F ，其一条渐近线的方程为√5x −2y =0，点P 为双曲线C 1与圆C 2：(x +3)2+y 2=r 2(r >0)的一个交点，若|PF|=4，则双曲线C 1的离心率为______ ；r = ______ ．15. 已知函数f(x)的定义域为R ，对任意x ∈R ，f(x +2)=3f(x)恒成立，且当x ∈(0,2]时，f(x)=2x ，则f(7)= ______ ．16. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是古代中国劳动人民的智慧结晶.它是由一块正方形、一块平行四边形和五块等腰直角三角形组成的，可拼成1600种以上的图形.如图所示的是一个用七巧板拼成的大正方形飞镖靶盘(靶盘各块上标有分值)，现向靶盘随机投镖两次，每次都没脱靶(不考虑区域边界)，则两次投中分值之和为2的概率为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和S n 满足a n+1=S n +1(n ∈N ∗).(1)求S n ； (2)记b n =S n+1−S n S n S n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. 2021年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利.为了巩固拓展脱贫攻坚成果，不断提高群众的幸福感，某县继续推进山羊养殖项目.为了建设相应的配套项目，该县主管部门对该县近年来山羊养殖业的规模进行了跟踪调查，得到了该县每年售卖山羊数量y(单位：万只)与相应年份代码x 的数据如表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x123456售卖山羊y(万只) 11 13 16 15 20 21(1)由表可知y 与x 有较强的线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；(2)已知该县养殖的山羊品种只有甲、乙两种，且甲品种山羊与乙品种山羊的数量之比为2：3，甲品种山羊达到售卖标准后的出售价为2500元/只，乙品种山羊达到售卖标准后的出售价为2700元/只.为了解养殖山羊所需要的时间，该县主管部门随机抽取了甲品种山羊和乙品种山羊备100只进行调查，得到要达到售卖标准所需的养殖时间如表： 养殖时间(月数) 6 7 8 9 甲品种山羊(只) 20 35 35 10 乙品种山羊(只)10304020以上述样本统计的养殖山羊所需时间情况估计全县养殖山羊所需时间(即以各养殖时间的频率作为各养殖时间的概率)，且每月每只山羊的养殖成本为300元，结合(1)中所求回归方程，试求2022年该县养殖山羊所获利润的期望(假设山羊达到售卖标准后全部及时卖完).(利润=卖山羊的收入−山羊的养殖成本)参考公式及数据：回归直线方程为y ̂=b ̂x −+a ̂，其中b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nx −⋅y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y ̂−b ̂x −．19. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =BC =1，∠ACB =120°，AA 1=A 1B =2，∠A 1AC =60°．(1)证明：平面ABC ⊥平面A 1ACC 1；(2)若CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求二面角P −A 1B −A 的余弦值．20. 已知椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，椭圆上的点离右焦点F 的最短距离为1．(1)求椭圆E 的方程．(2)直线l(斜率不为0)经过F 点，与椭圆E 交于A ，B 两点问x 轴上是否存在一定点P ，使得|PA||PB|=|AF||BF|？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=2a(lnx −x)+12x 2．(1)若a =12，求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若f(x)的两个极值点为x 1，x 2，且x 2>e 2x 1，不等式f(x 1)−f(x 2)>b(x 12−x 22)恒成立，求实数b的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1−ty =−1+2t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=12sin 2θ+3． (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)已知点P(1,−1)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求1|PA|+1|PB|．23. 已知函数f(x)=|x −2t|−|x +t|(t >0)．(1)当t =1时，求不等式f(x)≥1的解集；(2若t 2≥f(x)对任意的x ∈R 恒成立，M =t +t+8t−1，求M 的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，又B={x|1<x≤3}，所以A∪B={x|0≤x≤3}．故选：B．先利用一元二次不等式的解法求出集合A，然后由集合并集的定义求解即可．本题考查集合的并集，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：z(2+i)=2−i，∴z=2−i2+i =(2−i)2(2+i)(2−i)=3−4i4=34−i，复数z在复平面内对应的点的坐标为：(34,−1)，位于第四象限．故选：D．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】A【解析】解：因为BC=√17，AC=3，cosA=13，由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcosA，所以AB2−2AB−8=0，所以AB=4，又因为cosA=13，所以sinA=2√23，所以S△ABC=12AB⋅AC⋅sinA=12×4×3×2√23=4√2．故选：A．由已知利用余弦定理可得AB2−2AB−8=0，解方程可得AB的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin A 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题考查余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】C+1，Q=9，T=80，【解析】解：因为Q=Tλ+1，解得λ=10，所以9=80λ设初始时间为K1，初始累计繁殖数量为n，累计繁殖数量增加3倍后的时间为K2，则K2−K1=λln(4n)−λlnn=λln4=20ln2≈13.8天．故选：C．根据题目条件求出λ的值，设初始时间为K1，初始累计繁殖数量为n，累计繁殖数量增加3倍后的时间为K2，则K2−K1=λln4，从而求出结果．本题考查函数的实际应用，考查信息提取能力及运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：根据三视图和几何体的直观图之间的转换：该几何体是三棱锥，将该三棱锥放入长方体中，如图，由三视图可知长方体的长、宽、高分别为3，4，5．计算可得最长棱PB=5√2，最短棱AB=3．因为AB⊥PA，所以最长棱与最短棱所在直线夹角的余弦值为3√2．10故选：D．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出直线的夹角；本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，线线夹角的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为小王家房贷每年的还款数额相同，设为a，则2017年总收入为53a，2020年总收入为52a．因为小王家2020年的家庭收入比2017年增加了56a，即增加了50%，所以A错误．因为小王家2017年和2020年用于其他方面的支出费用分别为110a和310a，所以B错误．因为小王家2017年和2020年用于饮食的费用分别为512a和58a，明显增加，所以C正确．因为小王家2017年和2020年的总收人不一样，所以D错误．故选：C．设每年的还款数为a，则2017年总收入为53a，2020年总收入为52a，利用统计图表中的数据信息，对四个选项进行逐一分析判断即可．本题考查了统计图，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，考查数据处理能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，因为(a⃗−b⃗ )⊥(3a⃗+2b⃗ )，|b⃗ |=√2|a⃗|，所以(a⃗−b⃗ )⋅(3a⃗+2b⃗ )=3a⃗2−a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=−a⃗⋅b⃗ −a⃗2=0，变形可得a⃗⋅b⃗ =−a⃗2．则cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=2|a⃗ |⋅√2|a⃗ |=−√22．又由θ∈[0°,180°]，所以θ=135°．故选：B．根据题意，设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，由数量积的计算公式可得(a⃗−b⃗ )⋅(3a⃗+2b⃗ )=3a⃗2−a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=−a⃗⋅b⃗ −a⃗2=0，变形可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由图可知，组合体的体积：V =π×4×[(32)2−12]+3×3×3−π×3×(32)2=(27−7π4)cm 3．故选：A ．利用正方体和圆柱的体积公式，能求出组合体的体积．本题考查简单空间几何体的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与运算求解能力等数学核心素养，是中档题．9.【答案】D【解析】解：将函数y =2sin2x 的图象向左平移π3个单位长度得到y =2sin2(x +π3)=2sin(2x +2π3)的图象，再问上平移1个单位长度可得到f(x)=2sin(2x +2π3)+1的图象，故A ，B 错误．令2x +2π3=π2+kπ，k ∈Z ，得x =−π12+kπ2，k ∈Z ，当k =0时，x =−π12；当k =1时，x =512π，故C 错误．令π2+2kπ≤2x +2π3≤3π2+2kπ，k ∈Z ．求得−π12+kπ≤x ≤5π12+kπ，k ∈Z ，所以，f(x)在[π6,5π12]上单调递减，故D 正确， 故选：D ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论． 本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：因为(2−x)2021=[3−(x +1)]2021=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+⋯+a 2021(x +1)2021， 的展开式中，a 0，a 2，a 4，⋯，a 2020都大于零， 而a 1，a 3，a 5，⋯，a 2021都小于零，所以，|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a2021|=(a0+a2+a4⋯+a2020)−(a1+a3+a5+⋯+a2021).令x=−2，则a0−a1+a2−a3+a4−a5+⋯+a2020−a2021=42021=24042．所以，|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a2021|=24042，故选：A．由题意把二项式变形，再令x=−2，可得结果．本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：f′(x)=e x+xe x−1x −1=(x+1)(e x−1x)．因为x>0，所以x+1>0．令g(x)=e x−1x，因为g(x)在(0,+∞)上单调递增，g(12)=√e−2<0，g(1)=e−1>0，所以∃x0∈(0,+∞)，使得g(x0)=0，即e x0−1x=0，可得x0+lnx0=0．当x∈(0,x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0．所以f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(x0)=x0e x0−lnx0−x0−a=1−a．要使f(x)存在零点，只需f(x)min≤0，即a≥1，故a的取值范围是[1,+∞)．故选：B．对f(x)求导，利用导数可求出f(x)的单调性与最值，结合题意可求得a的取值范围．本题考查导数在函数中的应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由题意知，抛物线C的准线为x=−1，即p2=1，得p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x，其焦点为F(1,0)．因为直线l过抛物线的焦点F(1,0)，所以直线l的方程为y=k(x−1)．因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以M 在以AB 为直径的圆上．设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立方程组{y 12=4x 1,y 22=4x 2,两式相减可得y 1−y 2x 1−x 2=4y 1+y 2=k ．设AB 的中点为Q(x 0,y 0)，则y 0=2k .因为点Q(x 0,y 0)在直线l 上， 所以x 0=2k 2+1，所以点Q(2k 2+1,2k )是以AB 为直径的圆的圆心． 由抛物线的定义知，圆Q 的半径r =AB 2=x 1+x 2+22=2x 0+22=2k 2+2，因为|QM|2=(2k 2+2)2+(2k +1)2=r 2，所以(2k 2+2)2+(2k +1)2=(2k 2+2)2，解得k =−2， 所以弦长|AB|=2r =2(2k 2+2)=2(24+2)=5． 故选：C ．求出抛物线C 的方程为y 2=4x ，其焦点为F(1,0).直线l 的方程为y =k(x −1).利用MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，说明M 在以AB 为直径的圆上．设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用平方差法求出斜率，设AB 的中点为Q(x 0,y 0)，推出y 0=2k .通过点Q(x 0,y 0)在直线l 上，结合点Q(2k 2+1,2k )是以AB 为直径的圆的圆心．转化求解直线的斜率，求解弦长即可．本题考查抛物线的性质，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力，是中档偏难题目．13.【答案】45【解析】解：因为tanα=12， 所以2sin 2α+sinαcosα=2sin 2α+sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tan 2α+tanαtan 2α+1=45．故答案为：45．由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．本题考查同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】32 8【解析】解：设F′为双曲线C 1：x 24−y 2b 2=1的左焦点，因为a =2，一条渐近线的方程为√5x −2y =0.所以b =√5，故离心率√1+(b a)2=32．圆C 2的圆心为双曲线C 1的左焦点，连接PF′．因为|PF 2|=4，所以P 在双曲线的右支上由|PF′|−|PF|=2a =4， 得r =|PF′|=8． 故答案为：32；8．利用双曲线的渐近线方程，求解b ，得到双曲线方程，求解离心率，判断P 的位置，结合双曲线的定义，转化求解圆的半径即可．本题考查双曲线的离心率及圆的方程，考查化归与转化的数学思想，是中档题．15.【答案】54【解析】解：因为f(x +2)=3f(x)， 所以f(7)=3f(5)=32f(3)=33f(1)=54． 故答案为：54．由已知函数解析式，把x =7代入进行转化可求． 本题考査函数的性质，考查运算求解能力．16.【答案】564【解析】解：由图可知：P(−1)=14，P(−2)=18，P(−3)=18， P(0)=14，P(1)=18，P(2)=116，P(3)=116，所以两次投中分值之和为2的概率为： P =116×14×2+116×14×2+18×18=564．故答案为：564．由图得到P(−1)=14，P(−2)=18，P(−3)=18，P(0)=14，P(1)=18，P(2)=116，P(3)=116，利用相互独立事件概率乘法公式能求出两次投中分值之和为2的概率．本题考查事件的概率，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．17.【答案】解：(1)当n ≥2时，a n =S n−1+1，又a n+1=S n +1，所以a n+1−a n =S n −S n−1=a n ，即a n+1=2a n (n ≥2)，在a n+1=S n +1中，令n =1，可得a 2=a 1+1.因为a 1=1，所以a 2=2a 1=2， 故{a n }是首项为l ，公比为2的等比数列， 其通项公式为a n =2n−1， 所以S n =a n+1−1=2n −1． (2)因为b n =S n+1−S n S n S n+1=1S n −1S n+1=12n −1−12n+1−1，所以T n =(1−13)+(13−17)+⋯+(12n −1−12n+1−1)=1−12n+1−1．【解析】(1)由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求； (2)求得b n =12n −1−12n+1−1，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解．(1)因为x −=1+2+3+4+5+66=3.5，y −=11+13+16+15+20+216=16，所以b ̂=−2.5×(−5)+(−1.5)×(−3)+(−0.5)×0+0.5×(−1)+1.5×4+2.5×5(−2.5)2+(−1.5)2+(−0.5)2+0.52+1.52+2.52=3517.5=2，可得a ̂=16−2×3.5=9．所以y 与x 之间的线性回归方程为y ̂=2x +9； (2)由(1)可知，当x =8时，可得y ̂=25，其中甲品种山羊有25×25=10万只，乙品种山羊有25×35=15万只．由频率估计概率，可得甲品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个月和9个月的概率分别为0.2，0.35，0.35和0.1，所以甲品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望为6×0.2+7×0.35+8×0.35+9×0.1=7.35(月)． 由频率估计概率，可得乙品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个月和9个月的概率分别为0.1，0.3，0.4和0.2，所以乙品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望为6×0.1+7×0.3+8×0.4+9×0.2=7.7(月)． 养殖每只甲品种山羊利润的期望为2500−7.35×300=2500−2205=295(元)，养殖每只乙品种山羊利润的期望为2700−7.7×300=2700−2310=390(元)， 故2022年该县售卖的山羊所获利润的期望为10×295+15×390=8800(万元)．【解析】(1)由题中的数据，先求出样本中心，然后求出回归系数，即可得到y 与x 之间的线性回归方程； (2)求出甲品种和乙品种山羊需要养殖时间的期望，再分别求出每只甲品种山羊利润的期望和每只乙品种山羊利润的期望，即可得到答案．本题考查了线性回归方程的求解和应用，数学期望的求解，解题的关键是掌握线性回归方程必过样本中心，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：连接A 1C .在△A 1AC 中，A 1A =2，AC =1，∠A 1AC =60°，由余弦定理得A 1C =√3，所以A 1C 2+AC 2=A 1A 2，所以A 1C ⊥AC ． 同理A 1C ⊥BC.又因为BC ∩AC =C ， 所以A 1C ⊥平面ABC ． 因为A 1C ⊂平面A 1ACC 1， 所以平面ABC ⊥平面A 1ACC 1．(2)解：以C 为坐标原点，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，则A(1,0,0),B(−12,√32,0),C(0,0,0),A 1(0,0,√3)，P(−13,0,√33)， AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√3),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,√32,0),A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√32,−√3),A 1⃗⃗⃗⃗ P ⃗ =(−13,0,−2√33)． 设平面A 1AB 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1)，则{m ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 1+√3z 1=0m ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x 1+√32y 1=0， 令z 1=1，得m =(√3,3,1)．设平面PA 1B 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2)，则{n ⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x 2+√32y 2−√3z 2=0n ⋅A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13x 2−2√33z 2=0，令z 2=1，得n =(−2√3,0,1)．所以cos <m,n >=m⋅n|m||n|=−6+1√13×√13=−513． 因为二面角P −A 1B −A 为锐角， 所以二面角P −A 1B −A 的余弦值为513．【解析】(1)只须证明平面A 1ACC 1内直线A 1C 垂直于平面ABC 即可；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值． 本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为e =c a =12，所以a =2c ，因为椭圆上的点离右焦点F 的最短距离为a −c =1， 所以a =2，c =1，b =√3， 所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)当P 与F 重合时，显然符合题意；当P 与F 不重合时，设直线l 的方程为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(t,0)， 联立方程组{x =my +1,3x 2+4y 2=12,得(3m 2+4)y 2+6my −9=0， 则y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4． 因为|PA||PB|=|AF||BF|，所以PF 为∠APB 的角平分线，所以k PA +k PB =y 1x 1−t +y2x 2−t =0，即y 1(x 2−t)+y 2(x 1−t)=0，整理得，2my 1y 2+(1−t)(y 1+y 2)=0， 即2m ⋅(−93m 2+4)+(1−t)(−6m3m 2+4)=0， 解得t =4，故存在P(1,0)，P(4,0)满足题意．【解析】(1)依题意可得a =2，c =1，b =√3，进而得到椭圆方程；(2)当P 与F 重合时，显然符合题意；当P 与F 不重合时，设直线l 的方程为x =my +1，将其与椭圆方程联立，求出两根之和及两根之积，而由题意可知PF 为∠APB 的角平分线，由此可得k PA +k PB =0，建立方程，解出即可得出结论．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的存在性问题，考查推理能力及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)当a =12时，f(x)=lnx −x +12x 2，f′(x)=1x −1+x =x 2−x+1x．因为f′(1)=1，f(1)=−12，所以所求切线方程为y =x −32，即2x −2y −3=0． (2)因为f′(x)=x 2−2ax+2ax，所以x 1，x 2是方程x 2−2ax +2a =0的两个正根．令g(x)=x 2−2ax +2a ，则{△=4a 2−8a >0,a >0,g(0)=2a >0,，解得a >2．因为x 1+x 2=x 1x 2=2a ，所以f(x 2)−f(x 1)=(2alnx 2−2ax 2+12x 22)−(2alnx 1−2ax 1+12x 12)=x 1x 2ln x 2x 1−12(x 22−x 12)． 由f(x 1)−f(x 2)>b(x 12−x 22)，可得f(x 2)−f(x 1)−b(x 22−x 12)=x 1x 2ln x 2x 1−(12+b)(x 22−x 12)<0． 因为x 1x 2>0，所以ln x 2x 1−(12+b)(x 2x 1−x 1x 2)<0，即(12+b)(x 2x 1−x 1x 2)−ln x2x 1>0恒成立．令t =x 2x 1，因为x 2>e 2x 1，所以t >e 2，则(12+b)(t −1t )−lnt >0，整理得12+b >lnt t−1t=tlntt 2−1．令ℎ(t)=tlntt 2−1，t >e 2，则ℎ′(t)=(lnt+1)(t 2−1)−2t 2lnt(t 2−1)2=(t 2−1)−(t 2+1)lnt(t 2−1)2<0．所以ℎ(t)在(e 2,+∞)上单调递减，所以ℎ(t)<ℎ(e 2)=2e 2e 4−1．由b +12≥2e 2e 4−1，解得b ≥2e 2e 4−1−12=−e 4+4e 2+12(e 4−1)，故b 的取值范围是[−e 4+4e 2+12(e 4−1),+∞)．【解析】(1)当a =12时，f(x)=lnx −x +12x 2，f′(x)=1x −1+x =x 2−x+1x.计算f′(1)=1，f(1)，利用点斜式即可得出方程． (2)由f′(x)=x 2−2ax+2ax，可得x 1，x 2是方程x 2−2ax +2a =0的两个正根．令g(x)=x 2−2ax +2a ，可得{△=4a 2−8a >0,a >0,g(0)=2a >0,，x 1+x 2=x 1x 2=2a ，通过作差，整理化简，利用导数研究函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：(l)由{x =1−t,y =−1+2t,转换为直角坐标方程为：2x +y −1=0，即直线l 的普通方程为2x +y −1=0． 由ρ2=12sin 2θ+3，得ρ2sin 2θ+3ρ2=12．因为y =ρsinθ，x 2+y 2=ρ2，3x 2+4y 2=12，故曲线C 的直角坐标方程为x 24+y 23=1．(2)直线l 的参数方程为{x =1−t,y =−1+2t (t 为参数)，化为标准形式{x =1−√55t,y =−1+2√55t (t 为参数)， 代入3x 2+4y 2=12，得19t 2−22√5t −25=0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=22√519，t 1t 2=−2519<0．可知t 1，t 2异号， 所以1|PA|+1|PB|=|PA|+|PB||PA||PB|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|． 因为|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=12√3019，所以1|PA|+1|PB|=12√3025．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当t =1时，f(x)=|x −2|−|x +1|．当x <−1时，−x +2+x +1=3≥1恒成立，所以x <−1；当−1≤x ≤2时，由−x +2−x −1≥1，得x ≤0，所以−1≤x ≤0； 当x >2时，x −2−x −1=−3≥1不成立． 所以不等式f(x)≥1的解集为(−∞,0]．(2)因为t 2≥f(x)对任意的x ∈R 恒成立，所以t 2≥f(x)max ．因为f(x)=|x −2t|−|x +t|≤|x −2t −x −t|=3|t|，所以t 2≥3|t|． 因为t >0，所以t ≥3．M =t +t+8t−1=t −1+9t−1+2≥2√9+2=8， 当且仅当t −1=9t−1，即t =4时取等号．所以M 的最小值为8．【解析】(1)对x分类讨论去绝对值，解不等式即可得解；(2)利用绝对值三角不等式求得f(x)的最大值，结合已知求得t的取值范围，再利用基本不等式即可求得M 的最小值．本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立问题以及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．。

2021普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿真模拟数学试题(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{－2，0，1，2}，B＝{y|y＝－x－1}，则A∩B＝( )A．{1，2} B.{－2，0}C．{－2，0，1} D．{－2}2．已知a＋5i＝－2＋b i(a，b∈R)，则复数z＝a＋b i5＋2i＝( )A．1 B.－iC．i D．－2＋5i3．函数f(x)＝sin xln（x2＋1）的大致图象是( )4．已知(a＋2x)7的展开式中的常数项为－1，则x2的系数为( )A．560 B.－560C．280 D．－2805．已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝( )A．6 B.8C．9 D．106．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝a2＋2a3，S2是S1与mS3的等比中项，则m＝( )A．1 B.9 7C．67D．127．设函数f(x)＝x ln x的导函数为f′(x)，若对任意的x∈[1，＋∞)，不等式f′(x)≤a＋e x恒成立，则实数a的最小值为( )A．1－1e B.2－1eC．1－e D．2－e8．过点M(a，0)作双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的平行线，交双曲线的另一条渐近线于点N，O为坐标原点，若锐角三角形OMN的面积为212(a2＋b2)，则该双曲线的离心率为( )A．3 B.3或6 2C．62D． 3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某家庭2019年的总支出是2018年的总支出的1.5倍，下图分别给出了该家庭2018年、2019年的各项支出占该家庭这一年总支出的比例情况，则下列结论中正确的是( )①日常生活②房贷还款③旅游④教育⑤保险⑥其他①日常生活②房贷还款③旅游④教育⑤保险⑥其他A．2019年日常生活支出减少B．2019年保险支出比2018年保险支出增加了一倍以上C．2019年其他支出比2018年其他支出增加了两倍以上D．2018年和2019年，每年的日常生活支出和房贷还款支出的和均占该年总支出的一半以上10．直线2x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交的必要不充分条件是( )A．m2≤1 B.m≥－3C．m2＋m－12＜0 D．3m＞111．在三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝CD＝DA＝1，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N分别是棱BC，CD的中点，则下列结论正确的是( )A．AC⊥BDB．MN∥平面ABDC．三棱锥A－CMN的体积的最大值为2 12D．AD与BC一定不垂直12．已知函数f(x)＝2x2－a|x|，则下列结论中正确的是( )A．函数f(x)的图象关于原点对称B．当a＝－1时，函数f(x)的值域为[4，＋∞)C．若方程f(x)＝14没有实数根，则a＜－1D．若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则a≥0题号123456789101112答案13．(一题多解)已知平面单位向量i，j互相垂直，且平面向量a＝－2i＋j，b＝mi－3j，c＝4i＋mj，若(2a＋b)∥c，则实数m＝________．14．有一匀速转动的圆盘，其中有一个固定的小目标M，甲、乙两人站在距离圆盘外的2米处，将小圆环向圆盘中心抛掷，他们抛掷的圆环能套上小目标M的概率分别为14与15，现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次，则小目标M被套上的概率为________．15．如图，圆锥的高为3，表面积为3π，D为PB的中点，AB是圆锥底面圆的直径，O为AB的中点，弧AC 与弧BC 的长度之比为2∶1，则异面直线PA 与CD 所成角的正弦值为________．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝30，c ＝20，若b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，则sin(2C －B )＝________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知D 是△ABC 的边AC 上的一点，△ABD 的面积是△BCD 的面积的3倍，∠ABD ＝2∠CBD ＝2θ.(1)若∠ABC ＝π2，求sin Asin C 的值；(2)若BC ＝2，AB ＝3，求AC 的长．18．(本小题满分12分)给出以下三个条件： (1)S n ＋1＝4S n ＋2；(2)3S n ＝22n ＋1＋λ(λ∈R)；(3)3S n ＝a n ＋1－2.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且满足________，记b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，c n ＝n 2＋nb n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .19．(本小题满分12分)如图，已知在斜平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB 1⊥A 1D 1，A 1B ＝AB ＝BB 1＝4，AD ＝2，A 1C ＝2 5.(1)(一题多解)求证：平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ； (2)求二面角A ­CA 1­B 的余弦值．20．(本小题满分12分)2019年12月9日，记者走进浙江缙云北山村，调研“中国淘宝村”的真实模样，作为最早追赶电商大潮的中国村庄，地处浙中南偏远山区的北山村，是电商改变乡村、改变农民命运的生动印刻．互联网的通达，让这个曾经的空心村在高峰时期生长出400多家网店，网罗住500多位村民，销售额达两亿元．一网店经销缙云土面，在一个月内，每售出1 t缙云土面可获利800元，未售出的缙云土面，每1 t亏损500元．根据以往的销售统计，得到一个月内五地市场对缙云土面的需求量的频率分布直方图，如图所示．该网店为下一个月购进了100 t缙云土面，用x(单位：t，70≤x≤120)表示下一个月五地市场对缙云土面的需求量，y(单位：元)表示下一个月该网店经销缙云土面的利润．(1)将y表示为x的函数；(2)根据直方图估计利润y不少于67 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，将需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值时的概率(例如：若需求量x∈[80，90)，则取x＝85，且x＝85的概率等于需求量落入[80，90)的频率)，求该网店下一个月利润y的分布列和期望．21．(本小题满分12分)已知椭圆G：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，椭圆短轴的端点B1，B2与椭圆的左、右焦点F1，F2构成边长为2的菱形，MN是经过椭圆右焦点F2(1，0)的椭圆的一条弦，点P是椭圆上一点，且OP⊥MN(O为坐标原点)．(1)求椭圆G的标准方程；(2)求|MN|·|OP|2的最小值．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝12x2ln x，函数f(x)的导函数为f′(x)，h(x)＝f′(x)－12x－mx2(m∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数h(x)存在单调递增区间，求m的取值范围；(3)若函数h′(x)存在两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，求证：e x1x22＞1.2021普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿真模拟训练(二)数学试题参考答案1．解析：选B.因为y ＝－x －1≤0，所以B ＝{y |y ≤0}．因为A ＝{－2，0，1，2}，所以A ∩B ＝{－2，0}．故选B.2．解析：选C.由a ＋5i ＝－2＋b i(a ，b ∈R)及复数相等的定义可得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝ 5.所以z ＝a ＋b i 5＋2i ＝－2＋5i 5＋2i ＝（－2＋5i ）（5－2i ）（5＋2i ）（5－2i ）＝9i9＝i ，故选C.3．解析：选B.由题意知函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．因为f (－x )＝sin （－x ）ln[（－x ）2＋1]＝－sin xln （x 2＋1）＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，所以C 不正确；又f (k π)＝0(k∈Z ，k ≠0)，所以A 不正确；当x ∈(0，π)时，f (x )＞0，故D 不正确．故选B.4．解析：选B.由题意可知(a ＋2x )7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r7⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 12r a 7－r ＝C r 72r a 7－rx r2.因为展开式中的常数项为－1，所以令r ＝0，得C 0720a 7＝－1，所以a ＝－1.令r ＝4，得x 2的系数为C 47×24×(－1)7－4＝－560.5．解析：选D.分别过点A ，B ，P 向抛物线的准线x ＝－3作垂线，设垂足分别为A 1，B 1，P 1.由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得|P 1P |＝12(|A 1A |＋|B 1B |)＝12(|AF |＋|BF |)＝2－(－3)＝5，所以|AF |＋|BF |＝10，故选D.6．解析：选B.设数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝a 2＋2a 3，得a 1＝a 1q ＋2a 1q 2，易知a 1≠0，所以2q 2＋q －1＝0，解得q ＝－1或q ＝12.当q ＝－1时，S 2＝0，这与S 2是S 1与mS 3的等比中项矛盾；当q＝12时，S 1＝a 1，S 2＝32a 1，mS 3＝74a 1m ，由S 2是S 1与mS 3的等比中项，得S 22＝S 1·mS 3，即94a 21＝m ·74a 21，所以m＝97.故选B.7．解析：选C.f(x)＝x ln x，则f′(x)＝ln x＋1.对任意的x∈[1，＋∞)，f′(x)≤a＋e x恒成立，即a≥ln x＋1－e x对任意的x∈[1，＋∞)恒成立．设g(x)＝ln x＋1－e x(x≥1)，则g′(x)＝1x－e x＜0，因而g(x)在[1，＋∞)上单调递减，g(x)≤ln 1＋1－e＝1－e，所以实数a的最小值为1－ e.8．解析：选D.不妨设点N在第一象限，如图，由题意知∠1＝∠2＝∠3，所以△OMN是以∠ONM为顶角的等腰三角形．因为△OMN是锐角三角形，所以∠1＞45°，即有ba＞1，进而e2＝1＋b2a2＞2.由y＝bax与y＝－ba (x－a)，得y N＝b2，所以12×a×b2＝212(a2＋b2)，即9a2(c2－a2)＝2c4，所以2e4－9e2＋9＝0，得e2＝32(舍)或e2＝3，所以e＝ 3.9．解析：选BD.设2018年的总支出为x，则2019年的总支出为1.5x，2018年日常生活支出为0.35x，2019年日常生活支出为0.34×1.5x＝0.51x，故2019年日常生活支出增加，A错误；2018年保险支出为0.05x，2019年保险支出为0.07×1.5x＝0.105x，B正确；2018年其他支出为0.05x，2019年其他支出为0.09×1.5x＝0.135x，(0.135x－0.05x)÷0.05x＝1.7，故C错误；由题图可知，D正确．10．解析：选BC.若直线2x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交，则|2×1－2＋m|22＋（－1）2＜1，解得－5＜m＜ 5.A项中，由m2≤1，得－1≤m≤1，因为{m|－1≤m≤1}⊆{m|－5＜m＜5}，所以m2≤1不是－5＜m＜5的必要不充分条件；B项中，因为{m|m≥－3}⊇{m|－5＜m＜5}，所以m≥－3是－5＜m＜5的必要不充分条件；C项中，由m2＋m－12＜0，得－4＜m＜3，因为{m|－4＜m＜3}⊇{m|－5＜m＜5}，所以m2＋m－12＜0是－5＜m＜5的必要不充分条件；D项中，由3m ＞1，得0＜m＜3，所以3m＞1不是－5＜m＜5的必要不充分条件．11．解析：选ABD.设AC的中点为O，连接OB，OD，则AC⊥OB，AC⊥OD，又OB∩OD＝O，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC ⊥BD ，故A 正确；因为M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，所以MN ∥BD ，且MN ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ，故B 正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，V A －CMN 最大，最大值V A －CMN ＝V N －ACM ＝13×14×24＝248，故C 错误；若AD 与BC 垂直，因为AB ⊥BC ，AD ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC ⊥BD ，又BD ⊥AC ，BC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD ⊥OB ，因为OB ＝OD ，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故D 正确．12．解析：选BD.由题意知，函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且f (－x )＝2（－x ）2－a|－x |＝f (x )，因此函数f (x )是偶函数，其图象不关于原点对称，故A 选项错误；当a ＝－1时，f (x )＝2x 2＋1|x |，而x 2＋1|x |＝|x |＋1|x |≥2，所以f (x )＝2x 2＋1|x |≥4，即函数f (x )的值域为[4，＋∞)，B 选项正确；由f (x )＝14，得x 2－a |x |＝－2，得x 2＋2|x |－a ＝0.要使原方程没有实数根，应使方程x 2＋2|x |－a ＝0没有实数根．令|x |＝t (t ＞0)，则方程t 2＋2t －a ＝0应没有正实数根，于是需Δ＜0或⎩⎨⎧Δ≥0，－2≤0，－a ≥0，即4＋4a＜0或⎩⎨⎧4＋4a ≥0，－2≤0，－a ≥0，解得a ＜－1或－1≤a ≤0，综上，a ≤0，故C 选项错误；要使函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，需g (x )＝x 2－a |x |在(0，＋∞)上单调递增，需φ(x )＝x 2－a x ＝x －ax 在(0，＋∞)上单调递增，需φ′(x )＝1＋a x2≥0在(0，＋∞)上恒成立，得a ≥0，故D 选项正确．13．解析：方法一：因为a ＝－2i ＋j ，b ＝mi －3j ，所以2a ＋b ＝(m －4)i －j .因为(2a ＋b )∥c ，所以(2a ＋b )＝λc ，所以(m －4)i －j ＝4λi ＋m λj ，所以⎩⎨⎧m －4＝4λ，－1＝m λ，所以m ＝2.方法二：不妨令i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，则a ＝(－2，1)，b ＝(m ，－3)，c ＝(4，m )，所以2a ＋b ＝(m －4，－1)．因为(2a ＋b )∥c ，所以m (m －4)＝－4，所以m ＝2.答案：214．解析：小目标M 被套上包括甲抛掷的套上了、乙抛掷的没有套上；乙抛掷的套上了、甲抛掷的没有套上；甲、乙抛掷的都套上了．所以小目标M 被套上的概率P ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×15＋14×15＝25.答案：2515.解析：如图，连接OD ，OC ，BC ，OP ，设圆锥的底面半径为r ，由题意得，πr 2＋12×2πr ×3＋r 2＝3π，得r ＝1，则OC ＝1，PA ＝2.因为点O ，D 分别为AB ，PB 的中点，所以OD ∥PA ，且OD ＝12PA＝1，所以∠ODC 为异面直线PA 与CD 所成的角(或其补角)．过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，连接HC ，易得DH ⊥HC ，DH ＝12PO ＝32.由弧AC 与弧BC 的长度之比为2∶1，得△OCB 为等边三角形，则CH ⊥OB .又OC ＝OB ＝1，所以CH ＝32，则CD ＝62，在△ODC 中，由余弦定理，得cos ∠ODC ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622－12×1×62＝64，所以异面直线PA 与CD 所成角的正弦值为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫642＝104.答案：10416．解析：在△ABC 中，由正弦定理csin C ＝b sin B ，得b sin C ＝c sin B ．又b ·sin C ＝20cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，所以c sin B ＝c cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，所以sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，所以tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝202＋302－2×20×30×cosπ3＝700，所以b ＝107，由b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得sin C ＝217.因为a ＞c ，所以cos C ＝277，所以sin(2C －B )＝sin 2C cos B －cos 2C sin B ＝2sin C cos C cos π3－(cos 2C －sin 2C )sin π3＝2×217×277×12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2772－⎝ ⎛⎭⎪⎫2172×32＝3314. 答案：331417．解：(1)因为∠ABC ＝π2，∠ABD ＝2∠CBD ＝2θ，所以θ＝π6. 所以12AB ·BD sin π3＝3×12BC ·BD sin π6，所以BC AB ＝sin A sin C ＝33. (2)因为12AB ·BD sin 2θ＝3×12BC ·BD sin θ，即2AB cos θ＝3BC ，所以cos θ＝22， 所以θ＝π4，∠ABC ＝3θ＝3π4，AC 2＝9＋2－2×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝17，所以AC ＝17.18．解：方案一：选(1)，已知S n ＋1＝4S n ＋2 ①， 当n ≥2时，S n ＝4S n －1＋2 ②，①－②得，a n ＋1＝4(S n －S n －1)＝4a n ，即a n ＋1＝4a n ， 当n ＝1时，S 2＝4S 1＋2，即2＋a 2＝4×2＋2， 所以a 2＝8，满足a 2＝4a 1，故{a n }是以2为首项、4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1.b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，c n ＝n 2＋n b n b n ＋1＝n （n ＋1）n 2（n ＋1）2＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.方案二：选(2)，已知3S n ＝22n ＋1＋λ ③， 当n ≥2时，3S n －1＝22n －1＋λ ④， ③－④得，3a n ＝22n ＋1－22n －1＝3·22n －1， 即a n ＝22n －1，当n ＝1时，a 1＝2满足a n ＝22n －1， 下同方案一．方案三：选(3)，已知3S n ＝a n ＋1－2 ⑤， 当n ≥2时，3S n －1＝a n －2 ⑥， ⑤－⑥得，3a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝4a n ，当n ＝1时，3a 1＝a 2－a 1，而a 1＝2，得a 2＝8，满足a 2＝4a 1， 故{a n }是以2为首项、4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1. 下同方案一．19．解：(1)证明：方法一：由题意知BC ∥A 1D 1， 因为AB 1⊥A 1D 1，所以AB 1⊥BC .在△A 1BC 中，A 1B ＝4，BC ＝AD ＝2，A 1C ＝25， 所以A 1B 2＋BC 2＝A 1C 2，所以BC ⊥A 1B .又A 1B ，AB 1是平行四边形ABB 1A 1的两条对角线， 所以BC ⊥平面ABB 1A 1.因为BC ⊂平面A 1BC ，所以平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1. 方法二：由题意知BC ∥A 1D 1， 因为AB 1⊥A 1D 1，所以AB 1⊥BC . 在平行四边形ABB 1A 1中，BB 1＝AB ， 所以四边形ABB 1A 1为菱形， 所以AB 1⊥A 1B .因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ， 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC . (2)由(1)知BC ⊥平面ABB 1A 1，因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面ABB 1A 1， 所以平面ABCD ⊥平面CDD 1C 1.在斜平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，由AB ＝BB 1＝4得四边形ABB 1A 1为菱形， 所以四边形CDD 1C 1为菱形．连接BD ，设AC ，BD 交于点E ，取DC 的中点O ，连接D 1O ，OE ，易证得D 1O ⊥平面ABCD ，故以OE ，OC ，OD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则C (0，2，0)，B (2，2，0)，A (2，－2，0)，A 1(2，0，23)，所以A 1C →＝(－2，2，－23)，AC →＝(－2，4，0)，BC →＝(－2，0，0)． 设平面AA 1C 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 1＋2y 1－23z 1＝0，－2x 1＋4y 1＝0，令x 1＝2，得y 1＝1，z 1＝－33，所以平面AA 1C 的一个法向量为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－33.设平面BA 1C 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2－23z 2＝0，－2x 2＝0，令z 2＝1，得y 2＝3，所以平面BA 1C 的一个法向量为n ＝(0，3，1)．cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝3－3322＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－332×02＋（3）2＋12＝14. 由图可知二面角A ­CA 1­B 为锐二面角，故二面角A ­CA 1­B 的余弦值为14.20．解：(1)依题意知，当x ∈[70，100)时，y ＝800x －500(100－x )＝1 300x －50 000； 当x ∈[100，120]时，y ＝800×100＝80 000. 所以y ＝⎩⎨⎧1 300x －50 000，70≤x ＜100，80 000，100≤x ≤120.(2)由1 300x －50 000≥67 000，得x ≥90，所以90≤x ≤120.由直方图知需求量x ∈[90，120]的频率为(0.030＋0.025＋0.015)×10＝0.7， 所以利润y 不少于67 000元的概率为0.7. (3)依题意可得该网店下一个月利润y 的分布列为所以利润y 的期望E (y ＋80 000×0.4＝70 900. 21．解：(1)因为椭圆短轴的端点B 1，B 2与左、右焦点F 1，F 2构成边长为2的菱形，所以a ＝2， 又椭圆的右焦点F 2(1，0)，所以c ＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆G 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当MN ⊥x 轴时，|MN |＝2b 2a＝3，|OP |＝a ＝2，此时|MN |·|OP |2＝12.②当MN 不垂直于x 轴且斜率不为0时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线MN 的方程与椭圆G 的方程联立，得⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －1），化简并整理得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12（1＋k 2）4k 2＋3.因为OP ⊥MN ，所以直线OP 的方程为y ＝－1kx ，将直线OP 的方程与椭圆G 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－1k x ，得x 2P ＝12k 23k 2＋4，y 2P＝123k 2＋4， 所以|OP |2＝x 2P ＋y 2P ＝12（1＋k 2）3k 2＋4，所以|MN |·|OP |2＝12（1＋k 2）4k 2＋3×12（1＋k 2）3k 2＋4＝144（1＋k 2）2（4k 2＋3）（3k 2＋4）＝144⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋k 2＋3⎝⎛⎭⎪⎫4－11＋k 2.令11＋k 2＝t ，因为k ∈R 且k ≠0，所以0＜t ＜1， |MN |·|OP |2＝144（t ＋3）（4－t ）＝144－t 2＋t ＋12＝144－⎝⎛⎭⎪⎫t －122＋494， 所以当t ＝12时，|MN |·|OP |2取得最小值，且(|MN |·|OP |2)min ＝57649.③当MN 的斜率为0时，|MN |＝4，此时|OP |2＝b 2＝3， 所以|MN |·|OP |2＝12.由①②③可知，(|MN |·|OP |2)min ＝57649.22．解：(1)易知函数f (x )＝12x 2ln x 的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x ln x ＋12x .令f ′(x )＞0，得x ＞e －12，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜e －12，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫e －12，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，e －12.(2)依题意得，h (x )＝x ln x －mx 2，若函数h (x )存在单调递增区间，则h ′(x )＝ln x ＋1－2mx ＞0在(0，＋∞)上有解，即存在x ＞0，使2m ＜ln x ＋1x.令φ(x )＝ln x ＋1x，则φ′(x )＝－ln xx 2，当x ＞1时，φ′(x )＜0，当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，所以φ(x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减， 所以φ(x )max ＝φ(1)＝1，所以2m ＜1，所以m ＜12.故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12.(3)证明：因为函数h ′(x )存在两个不同的零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，所以h ′(x )＝ln x ＋1－2mx ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且0<x 1＜x 2， 所以ln x 1＋1－2mx 1＝0，ln x 2＋1－2mx 2＝0，所以ln x 1＋2ln x 2＝2m (x 1＋2x 2)－3，ln x 1－ln x 2＝2m (x 1－x 2)， 所以ln x 1＋2ln x 2＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋2x 2)－3.要证e x 1x 22＞1，只需证ln x 1＋2ln x 2＞－1， 即证ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋2x 2)＞2(0＜x 1＜x 2)，即证ln x 1x 2＜2（x 1－x 2）x 1＋2x 2，即证ln x 1x 2＜2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋2，令t ＝x 1x 2，因为0＜x 1＜x 2，所以0＜t ＜1，即证ln t ＜2（t －1）t ＋2在(0，1)上恒成立．令g (t )＝ln t －2（t －1）t ＋2(t ∈(0，1))，则g ′(t )＝1t －6（t ＋2）2＝（t －1）2＋3t （t ＋2）2＞0在(0，1)上恒成立．所以g (t )＝ln t －2（t －1）t ＋2在(0，1)上单调递增，所以g (t )＜g (1)＝0－0＝0， 所以ln t ＜2（t －1）t ＋2在(0，1)上恒成立．故e x 1x 22＞1得证．。