余杭区2006学年“假日杯”初数竞赛试卷

余杭区2006年“假日杯”初中数学竞赛试卷（2006年11月25日 上午9∶00—10∶30）题次 一 二 三总分 1～8 9～14 15 16 17 18 得分一、选择题 （共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1. 以下三个结论：①两个无理数的和一定是无理数；②两个无理数的和有可能是有理数；③两个无理数的和一定是实数，其中正确的结论是（ ） (A) ①和② (B) ①和③ (C) ②和③ (D) 只有③ 2． 如图所示，直线//a b ，则∠A 等于（ ）(A) 20º (B) 21º(C) 22º (D) 23º3. 从长度是2cm 、2cm 、4cm 、4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ） (A)41 (B) 31 (C) 21 (D) 1 4． 一个几何体的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的俯视图不可能．．．是（ ）5． 如图，已知每个小方格的边长为1，A ，B ，C 三点都在小方格的顶点上，则点C 到AB 所在直线的距离等于（ ）(A)810 (B)108 (C) 10 (D)8BAC(第5题)得 分 评卷人 b a AB C44º21º (第2题) (A) (B) (C)(D) (第4题) 主视图 左视图(1)(2) (3)(第6题)6． 设“●，▲，■”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“?”处应放“■”的个数为（ ）(A) 5(B) 4(C) 3(D) 27． 如图是一个立方体的表面展开图，已知立方体相对两个面上的数值相同，则“★”面上的数为（ ） (A) 4 (B) 3 (C) 2(D) 18. 已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）(A) 6 (B) 7(C) 8 (D) 9二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9． 将一条两边沿互相平行的纸带按如图折叠．若∠1＝64º，则∠2的度数是 ．10．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，△BPC 是等边三角形，则△CDP 的面积是 _______；△BPD 的面积是 ．21(第9题)CABDP(第10题)得 分评卷人(第8题)1 2x -yx +yy -2xy -x ★ (第7题)11．某地夏天连续九天的最高气温统计如下表：最高气温(ºC) 34 35 36 37 天 数1242则这组数据的中位数和众数分别是 ．12．已知一组数据共有100个，其中有15个数在这组数据的中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是 ． 13．已知一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数是x ，方差是2S ，那么另一组数据2x 1– 1，2x 2 – 1，2x 3– 1，…，2x n – 1的平均数是 ，方差是 ． 14．定义一种对正整数n 的“F 运算”：① 当n 为奇数时，结果为53+n ；② 当n为偶数时，结果为k n 2（其中k 是使k n2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取26=n ，则：若n =449，则第449次“F 运算”的结果是 ．三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15. 如图，在△ABC 中，AC ＝1，BC ＝2，∠ACB ＝60º，将△ABC 折叠，使点B 和点C 重合，折痕为DE ．请说明△AEC ≌△DEC 的理由．26 F ② 13 F ① 44 F ② 11… 第1次 第2次 第3次 BACDE(第15题)得 分评卷人16．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22， 20=62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．(1) 36和2 012这两个数都是神秘数吗？为什么？(2) 设两个连续偶数为2k +2和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是8的倍数吗？为什么？(3) 两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？得 分评卷人17．边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1∶2的两部分，求所有这些等腰三角形中，面积小于8且周长最大的三角形的三边长．得分评卷人18．在矩形ABCD 中，AD ＝4，点P 在AD 上，且AP ∶PD =a ∶b ．(1) 求△PCD 的面积S 1与梯形ABCP 的面积S 2的比值21S S（用含a ，b 的代数式表示）； (2) 将线段PC 绕点P 逆时针旋转90º至PE ，求△APE的面积S （用含a ，b 的代数式表示）．得 分 评卷人BACDP E(第18题)S 2S 1S。

2006年全国初中数学联赛第一试一、选择题1．已知四边形ABCD 为任意凸四边形，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点用S 、p 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；S 1、p 1，分别表示四边形EFGH 的面积和周长．设111,p p k S S k ==．则下面关于1k k 、的说法中，正确的是( B )． (A) 1k k 、均为常值 (B)k 为常值，1k 不为常值(C)k 不为常值，1k 为常值(D)1k k 、均不为常值 2．已知m 为实数，且ααcos sin 、是关于x 的方程0132=+-mx x 的两根．则+⋅α4sin α4cos 的值为( C )． (A)92 (B)31 (C)97 (D)13．关于x 的方程a x x =-|1|2仅有两个不同的实根．则实数a 的取值范围是( D )． (A)a ＞0 (B)a≥4 (C)2＜a ＜4 (D)0＜a ＜44．设.,02,0222a bc c ab a b >=+->则实数c b a 、、的大小关系是( A )．(A)a c b >> (B)b a c >> (C)c b a >> (D)c a b >>5．b a 、为有理数，且满足等式324163++⨯=+b a ,则b a +的值为( B )． (A)2 (B)4 (C)6 (D)86．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，…．则这列数中的第158个数为( C )．(A)2000(B)2004 (C)2008 (D)2012二、填空题 7．函数2008||20062+-=x x y 的图像与x 轴交点的横坐标之和等于 0 ．8．在等腰ABC Rt ∆中，AC ＝BC ＝1，M 是BC 的中点，CE⊥AM 于点E ，交AB 于点F ，则S △MBF ＝112。

余杭区2010学年“假日杯”初中科学竞赛试卷（七年级部分）余杭区2010学年“假日杯”初中科学竞赛试卷一、选择题(本题有25小题，每小题3分，共75分．每小题只有1个选项正确) 1.如图是显微镜下观察洋葱表皮细胞装片过程中的两个视野，从视野甲转到视野乙的操作顺序正确的是 A.移动装片，转动粗准焦螺旋 B.转动转换器，转动细准焦螺旋C.移动装片，转动转换器，转动细准焦螺旋D.调节光圈，转动转换器，转动粗准焦螺旋 2.如图所示，木板B放在粗糙的水平面上，木块A放在B的上面，A的右端通过一不可伸长的轻绳固定在直立墙壁上，用水平力F向左拉动B，使B以速度v做匀速运动，这时绳水平，张力为T，下面说法正确的是A．T=F B．木块A受到的是静摩擦力，大小等于T C．木板B受到一个静摩擦力，一个滑动摩擦力，合力大小等于 F D．若木板B以2v的速度匀速运动，则拉力仍为 F 3.我们生活中的很多现象，往往蕴涵了科学知识。

下列现象中，与地球自转有关的是A．正午时，学校操场上旗杆的影子总是指向北方，且在不同季节长短不同B．学校在冬季和夏季采用不同的作息时间，夏季起床时间要比冬季早C．小明爸爸凌晨2点半从床上爬起来观看南非世界杯足球赛现场直播D．杭州处于北温带，四季分明，春暖、夏热、秋凉、冬冷 4.作为2008年北京奥运会标志性场馆之一的“水立方”，其建筑设计充分体现了“绿色奥运”的理念，如图所示。

下列对其屋顶设计的解释不正确的是． A.屋顶上设计临时悬挂的隔噪网，能减弱降雨时雨滴声造成的噪音 B.屋顶上设立多个自然排风机，能让室内的热量尽快散发出去C.屋顶上采用透光性良好的特殊膜，能确保场馆白天尽可能采用自然光照明D.游泳池消耗的水大部分能从屋顶收集并反复使用，这是利用水的升华和液化形成的水循环 5.黑白照片进行暗室加工时，所用温度计的液注是蓝色的，而不是红色的，说法中不正确． 1 的是A．暗室内是红灯，因而物体看来都是红的。

余杭区2005学年“假日杯”初中数学竞赛试卷(竞赛时间90分钟，满分120分)一、选择题 (本题有8小题，每小题5分，共40分) 1. 下列式子中，成立的是（ ）(A)b a b a +=+22 (B)ba ba =(C) ab b a -=-22 (D) a a--=-12. 已知坐标平面内点A (m ，n )在第四象限，那么点B (n ，m )在（ ）(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 3． 设23-=a ，32-=b ，25-=c ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）(A) a b c >> (B) a c b >> (C) c b a >> (D) b c a >>4． 已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a =2n 2+2n +1，b =2n 2+2n ，c =2n +1，其中n ＞0，那么这个三角形是（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 锐角或钝角三角形 5． 已知023=-+-y x x ，那么x +y 的值为（ ）(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 96. 多边形每一个内角都等于150º，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线共有（ ）(A) 11条 (B) 10条 (C) 9条 (D) 8条7. 小李同学设计了一个图案，图案是以斜边长为12cm 的等腰直角三角形的各边为直径作半圆（如图所示），则图中阴影部分的面积为（ ）(A) 36πcm 2 (B) 72πcm 2(C) 36cm 2 (D) 72cm 28. 直角三角形中，两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则（ ）(A)222111h b a =+ (B) 222111h c a =+ (C) 222111h c b =+ (D) 22221111h c b a =++二、填空题 (本题有6小题，每小题5分，共30分) 9. 当00521=x时，21122-+-xx x 的值为 _______．10．观察右面图形我们可以发现：第1个图中有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，按照这种规律，第6个图形共有________个正方形．11. 一个正m 边形恰好被m 个正n 边形围住(无重叠、无间隙，如当m ＝4，n ＝8时如图所示)，若m ＝10，则n ＝ ．12. 某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示．例如：北偏东30º方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，∙∙针时指向北偏东30º的时刻是1∶00，那么这个地点就用代码010045来表示．按这种表示方式，南偏东40º方向78千米的位置，可用代码表示为 ．13．如下图所示，在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______．14．已知a －b =b －c =53，a 2＋b 2＋c 2=1，则ab ＋bc ＋ca 的值等于 ．三、解答题 (本大题有5个小题，每小题10分，共50分)15．一根70cm 长的木棒能放进长、宽、高分别是50cm 、40cm 、30cm 的木箱中吗？为什么？16. 图甲中有6个几何图形（分别用①、②、…、⑥编号），选其中2个或3个拼成如图乙所示的图形（拼图时应该是无重叠且无间隙的）．要求尽可能多地设计出不同的拼图方案（请在备用图中画出设计方案，并在图中标出所选用每个几何图形的编号）．（注：完成两个设计得满分，多于两个设计可加分） 解：17．在平面直角坐标系内，已知点A (2，1)，O 为坐标原点．请你在坐标轴上确定点P ，使得△AOP 成为等腰三角形．在给出的坐标系中把所有这样的点P 都找出来，画上实心点(大致位置画准确)，并在旁边标上P 1，P 2，…，P k (有k 个就标到P k 为止，不必写出画法，也不必写出每个点P 的具体坐标)．18. 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，BC ＝4，CD ＝2，DA ＝3．计算梯形ABCD的面积S ．19.△ACD中，∠ACD＝120º：(1) 根据题意画图：把△ACD绕顶点C逆时针旋转60º得到△BCE，AD交于EC于N，BE交AC于M，连接MN；(2) MN与BD具有怎样的位置关系？请说明理由．以下空白为草稿纸。

2006年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知四边形ABCD 为任意凸四边形，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点用S 、p 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；S1、p1，分别表示四边形EFGH 的面积和周长．设111,p p k S S k ==．则下面关于1k k 、的说法中，正确的是（ ）A ．1k k 、均为常值．B ．k 为常值，1k 不为常值． C.k 不为常值，1k 为常值． D.1k k 、均不为常值．2．已知m 为实数，且ααcos sin 、是关于x 的方程0132=+-mx x 的两根．则4sin α+α4cos 的值为（ ） A.92． B.31 ． C.97 ． D.1．3．关于x 的方程a x x =-|1|2仅有两个不同的实根．则实数a 的取值范围是（ ）A.a ＞0．B.a≥4．C.2＜a ＜4．D.0＜a ＜4． 4．设.,02,0222a bc c ab a b >=+->则实数c b a 、、的大小关系是 ( )A.a c b >> ．B.b a c >> ．C.c b a >> ．D.c a b >> ．5．b a 、为有理数，且满足等式324163++⨯=+b a ,则b a +的值为 ( )A.2．B.4．C.6．D.8．6．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，…．则这列数中的第158个数为 ( )A ．2000．B ．2004．C ．2008．D ．2012．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．函数2008||20062+-=x x y 的图像与x 轴交点的横坐标之和等于 ． 8．在等腰ABC Rt ∆中，AC ＝BC ＝1，M 是BC 的中点，CE ⊥AM 于点E ，交AB 于点F ，则S △MBF ＝ ．9．使16)8(422+-++x x 取最小值的实数x 的值为 ．10．在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点坐标分别为O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC 内部(边界及顶点除外)一格点P 满足PO C PAB PBC PO A S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅.就称格点P 为“好点”．则正方形OABC 内部好点的个数为 ．注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知关于x 的一元二次方程0)994()32(222=++++++b a x b a x 无相异两实根．则满足条件的有序正整数组)(b a ，有多少组?二、（本题满分25分）如图，D 为等腰△ABC 底边BC 的中点，E 、F 分别为AC 及其延长线上的点．已知∠EDF ＝90°．ED ＝DF ＝1，AD ＝5．求线段BC 的长．三、（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，点O 、O1分别为△CEF 、△ABE 的外心．求证： (1)O 、E 、O1三点共线；(2).21ABC OBD ∠=∠ ．第二试（B ）一、（本题满分20分）题目与（A ）卷第一题相同．二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同．三、（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，点O 、O1分别为△CEF 、△ABE 的外心．(1)求证：O 、E 、01三点共线；(2)若,70o ABC =∠求OBD ∠的度数．第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（A ）卷第二题相同．二、（本题满分25分）题目与（B ）卷第三题相同．三、（本题满分25分）设p 为正整数，且2≥p ．在平面直角坐标系中，点),0(p A 和点)0,(p B 的连线段通过1-p 个格点,),1,1(1 -p C )1,1(,).,(1---p C i p i C p i ．证明： (1)若p 为质数，则在原点O(0，0)与点),(i p i C i-的连线段)1,,2,1(.-=p i OC i 上除端点外无其他格点；(2)若在原点O(0，0)与点),(i p i C i -的连线段)1,,2,1(-=p i OC i 上除端点外无其他格点，则p 为质数． 2007年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为（ ） A ．1. B ．31. C ．31-. D ．21. 2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx +-的值，将所得的结果相加，其和等于（ ） A ．－1. B ．1. C ．0. D ．2007.3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形. B ．锐角三角形. C ．钝角三角形. D ）直角三角形.4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）A ．30°.B ．45°.C ．60°.D ．75°.5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F ，则ABC DEF S S △△:的值为（ ）A ．91.B ．92.C ．94.D ．32. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是（ ）A ．101.B ．51.C ．103.D ．52. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1. 设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333___ ． 2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a = ． 3. 已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为 ．4． 若64100+a 和64201+a 均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是 ．第二试（A ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME .三、 （本题满分25分）已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.第二试（B ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy 56=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值. A B C D EF M N P第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数x a y 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点. 2008年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（ ） A. 5. B.7. C .9. D.11.2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（ ）A.185.B.4.C.215.D.245. 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）A.15.B.310.C.25.D.12. 4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（ ）A.BM CN >.B.BM CN =.C.BM CN <.D.BM 和CN 的大小关系不确定.5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（ ）A.39()8.B.49()8.C.59()8.D.98. 6． 已知实数,x y 满足22(2008)(2008)2008x x y y ----=，则223233x y x y -+-2007-的值为（ ）A.2008-.B.2008.C.1-.D.1.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．设51a -=，则5432322a a a a a a a +---+=-.2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且5AM =，135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 .第二试（A ）一、（本题满分20分） 已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ 恒成立.当乘积ab取最小值时，求,a b 的值.二、（本题满分25分） 如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.三、（本题满分25分）设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+，求a ，b 的值.第二试（B ）一、（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ，不等式220ay xy bx -+≥恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）题目与（A ）卷第三题相同. 第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 为质数，,b c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ ,求()a b c +的值. 2009年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.设1a =，则32312612a a a +--=（ ）A.24.B. 25.C. 10. D. 12.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（ ）A.103．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为（ ）A.1.B. 2.C. 3.D. 4.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ ） A.314. B. 37. C. 12. D. 47. 5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin ∠CBE ＝（ ）23. C. 13. 6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（ ） A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.2． 设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=_ ____. 4．已知,a b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有_____对. 第二试（A ）一、（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、DCB ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.二、（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .三、（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++=14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=.第二试（B ）一、（本题满分20分）题目与（A ）卷第一题相同.二、（本题满分25分） 已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.三、（本题满分25分）题目与（A ）卷第三题相同. 第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（A ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（B ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++=14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=.2010年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为（ ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.N A B3．若b a ,是两个正数，且,0111=+-+-ab b a 则（ ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bxc +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB （ ）A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，12320092010a a a a a +++++=（ ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PAPC ＝5，则PB ＝_____．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放______个球.第二试（A ）一、（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二、（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.三、（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . N（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.第二试（B ）一、（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）题目与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．2012年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知，，，那么的大小关系是（）A. B. C. D.2．方程的整数解的组数为（）A．3. B．4. C．5. D．6.3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A． B． C． D．4．已知实数满足，则的最小值为（）A．. B．0. C．1. D．.5．若方程的两个不相等的实数根满足，则实数的所有可能的值之和为（）A．0. B．. C．. D．.6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足.这样的四位数共有（）A．36个. B．40个. C．44个. D．48个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数满足，则．2．使得是完全平方数的整数的个数为．3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则＝．4．已知实数满足，，，则＝．第二试（A）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.二、（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明：.三、（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M，若AM//BC，求抛物线的解析式.第二试（B）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.二、（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：∠BAE＝∠ACB.三、（本题满分25分）题目与（A）卷第三题相同.第二试（C）一、（本题满分20分）题目与（B）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（B）卷第二题相同.三、（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P ，与轴的正半轴交于A 、B（）两点，与轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.2011年四川初中数学联赛初赛试题一、选择题:（本题满分42分，每小题7分） 1．如果a ，b ，c 是三个任意的数，那么2b a +，2c b +，2ac +这三个数一定（ ） A.都是整数. B.都不是整数. C.至多有两个整数. D.至少有一个整数. 2.关于x 的方程m x x =+-1||22恰好有3个不同的实数根，则实数m 的值等于（ ） A.1-. B.0. C.1. D.2.3.ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于D ，若BD AB BC +=，︒=∠30C ，则B ∠的度数等于（ ）A. 45.B. 60.C. 75.D. 90.4.在1，2，3，…，100这100个数之间添上（99个）“+”号或“－”号，使算式的代数和为4150，则“－”号至少可添的个数是（ ）A.4.B.5.C.6.D.7.5.点P 是矩形ABCD 内部的一点，满足6=PA ，8=PB ，10=PC ，则PD 等于（ ） A.25. B.35. C.26. D.28.6.设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足c by ax =+，a cx bz =+，b az cy =+，则以a 、b 、c 为边长的三角形一定是（ ）A.锐角三角形.B.直角三角形.C.钝角三角形.D.形状不等确定. 二、填空题:（本题满分28分，每小题7分） 1.已知131+=a ，131-=b ，则baa b +的值为 . 2.如图，矩形ABCD 中，8=AB ，6=AD ，将BDC ∆沿BD 对折为BDE ∆，再将点B 对折与点A 重合，则折痕MN 的长度为 .3.若方程0132=+-x x 的两根也是方程024=+-q px x 的根，则()11q p +的个位数字是 ．4.在正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，满足︒=∠20BAP ，︒=∠45PAQ ，则AQP ∠的度数为 .三、（本题满分20分）已知抛物线()02a c bx ax y ++=与直线()412k x k y --=．无论k 取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点，求抛物线的解析式.DM CBNE A四、（本题满分25分）如图，ABC ∆与ADE ∆都是等腰直角三角形，其中 90=∠=∠DAE BAC ，点M 是线段BE 的中点，求证：DC AM ⊥．五、（本题满分25分）已知a 为实数，若关于x 的方程0143||214442=-+-+a x x x x 有实数解，求实数a 的取值范围.2011年四川初中数学联赛决赛试题一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有（ ） A ．42条. B ．54条. C ．66条. D ．78条.2．如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ．若∠CAE＝15°，则∠BOE ＝（ ） A ．30°. B ．45°. C ．60°. D ．75°. 3．设方程()()0x a x b x ---=的两根是c ，d ，则方程()()0x c x d x --+=的根分别是（ ）A ．a ，b.B ．－a ，－b.C ．c ，d.D ．－c ，－d. 4．若不等式2133x x a -+-≤有解，则实数a 的最小值是（ ）A ．1.B ．2.C ．4.D ．6.5．若一个三角形的任意两条边都不相等，则称它为“不规则三角形”．用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，“不规则三角形”的个数是（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．36.6．不定方程2225x y -=的正整数解（x ，y ）的组数是（ ） A ．0组. B ．2组. C ．4组. D ．无穷多组． 二、填空题:（本大题满分28分，每小题7分）1．二次函数22y x ax =-+的图象关于直线x=1对称，则y 的最小值是__________． 2．已知1a ，则20122011201022a a a +-的值为_____________．3．已知△ABC 中，AB，BC ＝6，CAM 是BC 的中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D ，则线段BD 的长度是_______________．4．一次棋赛，有n 个女选手和9n 个男选手参赛，每位选手都与其余10n －1个选手各对局一次．计分方式为：胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后统计发现，所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍．则n 的所有可能值是__________． 三、（本题满分20分）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程22(31)210x a x a +-+-=的两个实数根，使得1212(3)(3)80x x x x --=-成立．求实数a 的所有可能值．DM CBEAO EDCBA四、（本题满分25分）抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点M （x 1，0），N （x 2，0），且经过点A （0，1），其中0<x 1<x 2．过点A 的直线l 与x 轴交于点C ，与抛物线交于点B （异于点A ），满足△CAN 是等腰直角三角形， 且S △BMN =52S △AMN ．求该抛物线的解析式． 五、（本题满分25分）如图，AD 、AH 分别是△ABC （其中AB>AC）的角平分线、高线，M 是AD 的中点．△MDH 的外接圆交CM 于E ．求证：∠AEB ＝90°．2012年四川初中数学联赛初赛试题一、选择题:（本题满分42分，每小题7分） 1．已知关于x 的方程3x+a=0的根比关于x 的方程5x －a=0的根大2，那么a 的值为（ ）A ．415-. B.415. C.41-. D.45. 2．设a a 312=+，b b 312=+且a ≠b ，则代数式2211ba +的值为（ ）A.5.B.7.C.9.D.11.3．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOD=30°，半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 得距离为8cm.如果⊙P 以1cm/秒的速度沿由A 到B 的方向移动，那么⊙P 与直线CD 相切所需的时间为（ ）秒A.6.B.8.C.10.D.6或10. 4．已知7=a,70=b,则9.4等于（ ）A.10b a +. B.10a b -. C.a b . D.10ab.5．已知0221≠+=+b ab a ，则b a 为（ ）A.－1.B.1.C.2.D.4.6．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD,AC 交BD 于O,MON ∥AB,且MON 分别交AD 、BC 于M 、N ，则CDMNAB MN +等于（ A.1. B. 2. C.3. D.4.二、 填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．有一列数，按1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,1,2，…的规律排列，那么从左往右数，第2012个位置上的数是 .EHMDCBA2．若函数y=kx与函数y=2x的图象交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为 .3．如图，在平面上将△ABC绕点B旋转到△A′BC′的位置时，AA′∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC′= .4．如图，大圆O的直径AB=12cm，分别以OA，OB为直径作圆1O和圆2O，并在圆O与圆1O和圆2O的空隙间作两个等圆圆3O和圆4O，这些圆相互内切或外切，则四边形1423OO O O的面积为 cm2.三、（本题满分20分）如图，一次函数y=－2x+8的图象与两坐标轴分别交于P、Q两点，在线段PQ上有一点A，过A点分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为B、C.(1)若矩形ABOC的面积为4，求A点坐标；(2)若点A在线段PQ上移动，求矩形ABOC面积的最大值.四、（本题满分25分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB,过D作AC的垂线交△ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N，求证：MN为△ABC外接圆的直径.五、（本题满分25分）已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++azxyazxyzxyzyx2的所有各组解（x,y,z）都是由正实数组成的，其中a是参数.试求a的取值范围.一、2012年四川初中数学联赛决赛试题一、选择题：(每小题7分，共42分)1．若－3＜x＜－1，则化简2|1|x-+得( )A．1－x. B．－3＋x. C．3－x. D．3＋x.2．若抛物线y＝x2－4x＋m的顶点在x轴上，则m的值是( )A．0. B．1. C．2. D．4.3．菱形ABCD的边长为1，面积为79，则AC＋BD的值是( )A．43. B．169. C．83. D．329.4．在凸四边形ABCD中，AB＝2AD，BC＝1，∠ABC＝∠BCD＝60°，∠ADC＝90°，则AB的长度是( )A．. B．.C．2. D．3.5．一个活动小组，如果有5个13岁的成员退出，或者有5个17岁的人员加入(两种情况不同时发生)，其成员的平均年龄都增加1岁，则这个活动小组原有成员的人数是( ) A ．10. B ．12. C ．14. D ．16.6．一个正整数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”．比如：1、11、121都是回文数，而110则不是回文数，将所有“回文数”从小到大排成一列：1、2、…、9、11、22、…，则第2012个“回文数”是( )A ．1011101.B ．1013101.C ．1021201.D ．1030301. 二、填空题：(每小题7分，共28分)1．设1x 、2x 是方程x2－2x －m ＝0的两根，且122x x +＝0，则m 的值是＿＿＿＿＿． 2．在△ABC 中，∠ACB ＝45°，D 是AB 边上异于A 、B 两点的任意一点，△ABC 、△ADC 和△BDC 的外接圆圆心分别为O 、1O 、2O ，则∠12O OO 的度数等于＿＿＿＿．3．已知a ，b 为正实数，m 为正整数，且满足14,48,a b ab m +≤⎧⎨≥+⎩则m 的值是＿＿＿＿＿．4．在一次球类比赛中有8个队参赛，每两队要进行一场比赛，胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．一个队要确保进入前四名(即积分至少要超过其他四个队)，则他的积分最少是＿＿＿＿＿＿．三、（本题满分20分）已知抛物线2y x =与直线(2)(21)y k x k =+--．(1)求证：无论k 为什么实数，该抛物线与直线恒有两个不同的交点；(2)设该抛物线与直线的两个不同的交点分别为A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，若1x ，2x 均为整数，求实数k 的值．四、（本题满分25分）如图，已知⊙A 与⊙B 相交于C 、D 两点，延长AC 交⊙B 于E ，延长BC 交⊙A 于F ．求证：C 是△DEF 的内心．五、（本题满分25分）将10，11，12，…，98，99这90个正整数写在黑板上，擦去其中的n 个数，可使黑板上剩下的所有数的乘积的个位数是1，求n 的最小值．二、 2013年四川初中数学联赛初赛试题一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知10x ，则2x ，x ，1x的大小关系是（ ）A ．21x xx B ．21x x x C ．21x x x D ．21x x x2．如图，正方形ABCD ，点P 是对角线AC 上一点，连接BP ， 过P 作PQ ⊥BP ，PQ 交CD 于Q ，若AP ＝CQ ＝2，则正方形ABCD 的面积为A ．642B ．16C ．1282D ．323．若实数a ，b 满足2220ba b ，则a 的取值范围是（ ） A ． a ≤－1 B ：a ≥－1 C ：a ≤1 D ：a ≥14．如图，在四边形ABCD 中，∠B=135°，∠C=120°，，BC=33，CD=6，则AD 边的长为（）A ．B ．C ．D ．5．方程1137x y 的正整数解(,)x y 的组数是（ ） A ．0B ．1C ．3D ．5 6．已知实数,,x y z 满足1x y z y z z x x y ，则222x y z y z z x x y 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．1D ．2二、填空题：（本题满分28分,每小题7分）1．x 是正整数，○x 表示x 的正约数个数，则③×④÷⑥等于 ． 2．草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70头牛在24天内可以吃完这片青草，30头牛在60天内可以吃完这片青草，则20头牛吃完这片青草需要的天数是 ． 3．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、DC 的中点，AM=4，AN=3，且角MAN=60°，则AB 的长是 ．4、小明将1，2，3，…，n 这n 个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输入(1)n 个数，且平均值为30.75，假设这(1)n 个数输入无误，则漏输入的一个数是 ． 三、（本题满分20分） 解方程2|21|20x x ．四、（本题满分25分）如图，圆内接四边形ABCD 中，CB CD ，求证：CA 2－CB 2＝AB ×AD ； 五、（本题满分25分） 已知二次函数2yaxbx c 和一次函数ybx ，其中a 、b 、c 满足a b c ，0a b c ．(a 、b 、c ∈R )．（1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A 、B ；（2）过（1）中的两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为A 1、B 1．求线段A1B 1的长的取值范围．2006年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．B 2．C 3．D 4．A 5． B 6．C二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7．0 8．1129．8310．197第二试(A)一、（本题满分20分）解：由题可得二、（本题满分25分）三、（本题满分25分）解：第二试（B）一、（本题满分20分）题目与（A）卷第一题相同二、（本题满分20分）题目与（A）卷第二题相同三、（本题满分25分）解：第二试（C）一、（本题满分20分）题目与（A）卷第二题相同二、（本题满分20分）题目与（B）卷第三题相同三、（本题满分25分）解：2007年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.B2.C3.D4.C5.A6.B（解析：1.由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选B. 注：本题也可用特殊值法来判断.2． 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n n n 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选C.3. 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选D.4. 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选C.5． A.分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=.易证△DEF ∽△MNP ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=.所以:DEF S △19ABC S =△.故选A. 6．设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ；当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y .因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选B.） 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1.1 2. 10034016- 3.4 4.7 （解析：1.∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a . 又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ，∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a . 2.由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以 =--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+， 则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++， )2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a ＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 3.延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE .4．设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .）第二试 （A ）一、（本题满分20分）解：因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt + （5分） 由题意，32mt t n +≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥（10分） 由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m （15分） 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2m n m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m （20分） 二、（本题满分25分） 证明:设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ， ∴△PNE ∽△PBC ，∴PCPE PB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅.(5分)又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PF PE PB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅.(10分)∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPC PN PM =(15分) 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC(20分)∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED. A B C D E FM N P∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.(25分)三、（本题满分25分）解：观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++-x a x x （5分）因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （1） 的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.（10分）设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .（15分）显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a ⎩⎨⎧==.26,12k a （20分） 当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-.当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-.（25分） 第二试 （B ）一、（本题满分20分）解：因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ；一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22.（5分）所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）（10分）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m （15分） 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2m n m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m ⎩⎨⎧==.1,6n m （20分） 二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分） 解：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x56=，即056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）（5分）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.（10分）而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .（15分）显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a （20分）当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数。

2005年余杭区“假日杯”高二数学竞赛试卷（答案）（时间120分钟，满分100分）一、选择题 （每小题4分，共32分）1．“实数c b a ==”是“不等式333c b a ++≥abc 3取等号”的 （ A ）（A ）充分而不必要的条件 （B ）充分且必要的条件（C ）必要而不充分的条件 （D ）既不充分又不必要的条件 2．已知)2,0(πα∈，则αααcos sin +与1的大小关系是 （ A ） （A ）αααcos sin +>1 (B) αααcos sin +<1(C) αααcos sin +=1 (D) 大小与α的取值有关 3．设0>>b a ，那么)(12b a b a -+的最小值是 （ C ） （A ）2 （B ）3 （C ） 4 （D ） 54．οο40sin 110tan +的值是 （ C ） （A ）2 （B ）2 （C ）3 （D ）233 5．若点A （3，5）关于直线kx y l =:的对称点在x 轴上，则k 的值是 （ D ）（A ）251±- （B ）3± （C ）4301±- （D ）5343±- 6．设c b a ,,是三个非零向量，且与不共线，若关于x 方程2=++x x 有两个实根21,x x ，则 （ B ）（A ）21x x > （B ）21x x = （C ）21x x < （D ）大小关系不能确定7．点集合{(x , y )| lg(x 3＋31y 3＋91)=lg x ＋lg y }中, 元素的个数为 （ B ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）多于2个 8．函数2sin )(234++++=dx cx x b ax x f 满足9)1(,7)1(=-=f f 且124)2()2(=-+f f ，则)2()2(-+f f 等于 （ D ）（A ）34 （B ）36 （C ） 38 （D ）40二、填空题 （每小题5分，共30分）9．两条直线2x 2－5xy ＋y 2=0的夹角为 arctan 317 ； 10．已知数列{}n a 中，22,111-+==-n a a a n n (n ≥2)，则通项=n a n n -2 ；11．设函数1343)1()(2232+++-=+x x x x x f x x f ，则 1563)(2+-+-=x x x x f ； 12．若]1,(--∞∈x ，不等式0124)(2>++-x x m m 恒成立，则实数m 的取值范围是 （—2 ，3） ；13．已知实数y x ,满足221=+-xy y x ，则=+++2211|1|y x xy 31 ； 14．已知,都是非零向量，且3+与57-垂直，4-与27-垂直，则向量,的夹角是 60ο；三、解答题 （本题有4小题，第1题8分，后3题每题10分，共38分）15．设不等式)1(122->-x m x 对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围．解：令12)1()1(12)(22-+-=---=x m x x m x m f ，它是一条直线（由|m |≤2知它实质是一条线段）且使|m |≤2的一切实数都有)1(122->-x m x 成立，…… 3分 所以有 ⎩⎨⎧>->0)2(0)2(F f ，即⎩⎨⎧<-+>--0322012222x x x x ，解得 213217+<<-x …… 7分 故x 的取值范围是{x|213217+<<-x }. ………………………………… 8分16．某建筑工地有84根大小相同的圆柱型水管,把这些水管堆放成等腰梯形,相邻两层水管数只相差一根,最底层的水管根数至多是最上层水管根数的2倍,在不考虑占地面积、堆放高度与地面承重等因素时,试问一共可以堆放多少层?解：依题意知，每一层水管的根数构成等差数列}{n a ，记最底层的水管根数为1a ，则公差1-=d ，由题意得：84)1(2)1(1=-⋅-+n n na (1) )]1()1([211-⨯-+≤n a a (2)1,a n ++∈∈N N由(1)式得 )1(16821-+=n n na (3)由(2)式得 )1(21-≥n a ， 则)1(421-≥n n na (4)(3)式代入(4)式得 168)1(4)1(-≥-+n n n n ……………………………………… 4分 解得 87≤≤-n ， 又2≥n82≤≤∴n …………………………………………………………… 6分 当2=n 时,解得142.5a =(不合题意,舍去), 当3=n 时,解得291=a (合题意), 当4=n 时,解得5.221=a (不合题意,舍去), 当5=n 时,解得8.181=a (不合题意,舍去), 当6=n 时,解得5.161=a (不合题意,舍去), 当7=n 时,解得151=a (合题意), 当8=n 时,解得141=a (合题意). ………………………………………………………10分 答:可堆放3层、7层或8层．17．设x , y , z >0, 且x 2＋y 2＋z 2=1, 试求S =yzx x yz z xy ++的最小值． 解： S 2=(y zx x yz z xy ++)2=222222222yx z x z y z y x +++2(x 2+y 2+z 2), …………………… 4分 2(222222222yx z x z y z y x ++)≥2(x 2+y 2+z 2)=2, …………………………………… 8分 ∴ S 2≥3, S ≥3, ∴ S 的最小值为3 ……………………………………… 10分18．已知),2(|2|lg )1()(2R a a a x a x x f ∈-≠++++=（1）若)(x f 能表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 的和，求)(x g 和)(x h 的解析式；（2）若)(x f 和)(x g 在区间])1(,(2+-∞a 上都是减函数，求a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，比较61)1(和f 的大小． 解：（1）设)()()(x h xg x f += ①，其中)(x g 是奇函数，)(xh 是偶函数， 则有 )()()()()(x h x g x h x g x f +-=+-=- ②联立①，②可得x a x g )1()(+=，|2|lg )(2++=a x x h （直接给出这两个函数也给分）…2分（2）函数x a x g )1()(+= 当且仅当 01<+a ，即1-<a 时才是减函数， ∴1-<a 又4)1(|2|lg )21(|2|lg )1()(222+-++++=++++=a a a x a x a x x f ∴)(x f 的递减区间是 )21,(+--∞a …………………………………………4分 由已知得21)1(2+-≤+a a ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+-≤+-<21)1(12a a a 解得123-<≤-a ∴a 取值范围是)1,23[--…………………………………………………………6分（3）)123(|2|lg 2|2|lg )1(1)1(-<≤-+++=++++=a a a a a f |2|lg )1(++a a 和在)1,23[--上为增函数……………………………………8分 ∴21lg 21|2)23(|lg )223()1(+=+-++-≥f 61101lg 312181lg 3121=⋅+>⋅+= ∴61)1(>f 即61)1(大于f . ………………………………………………10分。

2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题（2006年3月12日 上午9：00—11：00）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．要使方程组⎩⎨⎧=+=+23223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ）（A ）334<<a （B ）34<a （C ）3>a （D ）343<>a a 或2．一块含有︒30AB ＝8cm,里面空心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm,那么DEF ∆的周长是（ ）(A)5cm (B)6cm (C) cm )(36- (D) cm )(33+3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是( )(A)2322-+-=)x (y (B) 2322++-=)x (y(C) 2122---=)x (y (D) 2322++-=)x (y5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( )(A)32 (B) 31 (C) 21 (D) 61 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点。

如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D 。

依这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能分为两停到的顶点是( )(A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F.7．一元二次方程)a (c bx ax 002≠=++中，若b ,a 都是偶数，C 是奇数，则这个方程( )(A)有整数根 (B)没有整数根 (C)没有有理数根 (D)没有实数根8．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由54⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是( )(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64二、填空题：(共有6个小题，每小题5分，满分30分)9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm,4cm ，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm.10．将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时)，或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是11．ABC ∆中，c ,b ,a 分别是C ,B ,A ∠∠∠的对边，已知232310-=+==C ,b ,a ，则C sin c B sin b +的值是等于 。

余杭区“假日杯”数学竞赛辅导资料（9）1．设x，y为实数，5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为（ C ）A.1B.2C.3D.5解：∵5x2+4y2﹣8xy+2x+4=（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）+3=4（x﹣y）2+（x+1）2+3，又∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．故选C．2．已知|a+b|+|a﹣b|﹣2b=0，在数轴上给出关于a，b的四种位置关系如图所示，则可能成立的有（B）A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种解：根据绝对值的几何意义：由第一个图可得：|a+b|+|a﹣b|﹣2b=a+b+b﹣a﹣2b=0，成立；由第二个图可得：|a+b|+|a﹣b|﹣2b=a+b+a﹣b﹣2b=2a﹣2b≠0，不成立；由第三个图可得：|a+b|+|a﹣b|﹣2b=a+b+b﹣a﹣2b=0，成立；由第四个图可得：|a+b|+|a﹣b|﹣2b=a+b+a﹣b﹣2b=2a﹣2b≠0，不成立；所以可能成立的有2种．故选B．4．下表是5个城市的国际标准时间（单位：时），那么北京时间2006年6月17日上午9时应是（ A ）A. 伦敦时间2006年6月17日凌晨1时B. 纽约时间2006年6月17日晚上22时C. 多伦多时间2006年6月16日晚上20时D. 汉城时间2006年6月17日上午8时解：A中，9﹣8=1，即伦敦时间2006年6月17日凌晨1时，正确；B中，9﹣（8+5）=﹣4．即纽约时间2006年6月16日晚上8时；C中，9﹣（8+4）=﹣3，即多伦多时间2006年6月16日晚上9时；D中，9+1=10，即汉城时间2006年6月17日上午10时．∴故选A．5．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则AF ：CF=（ C ）A ．2：1B ．3：2C ．5：3D ．7：5 解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成， ∴△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠EDF=45°， 由三角形外角性质得：∠CDF+45°=∠BED+45°， ∴∠BED=∠CDF， 设CD=a ，CF=x ，∵D 为BC 的中点，∴CA=CB=2a，∴DF=FA=2a﹣x ，∴在Rt△CDF 中，由勾股定理得，CF 2+CD 2=DF 2，即x 2+a 2=（2a ﹣x ）2， 解得x=a ，即CF=a ，AF=2a ﹣a=a ，∴AF：CF=5：3．故选C ．6.设2a:3=4b:5,a,b ≠0,则223332222332224()()2424824a b a b a b a b a b a b a b a b a ba b a b ++------÷-++++-等于( B ) A.163 B.323C.89D.89-7.如图,在等腰Rt △ABC 的斜边AB 上取两点M 、N 使∠MCN=45°， 记AM=m ，MN=n ，BN=x ，则以线段x 、m 、n 为边长的三角形的形状是（ B ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随x 、m 、n 的变化而改变8. 铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为4cm ，10cm ，且有一内角为60°；铁板乙形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长12cm ．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.5cm 的圆洞中穿过，结果是（ B ）A. 甲板能穿过，乙板不能穿过B. 甲板不能穿过，乙板能穿过C. 甲、乙两板都能穿过D. 甲、乙两板都不能穿过 解：如图，AD=4cm ，BC=10cm ，∠C=60°． ①作DE ⊥BC 于E ，则BE=4，EC=6， 由∠C=60°知CD=2EC=12，故DE==，由DE ＞8.5，BC ＞8.5，故这两个方向都不能穿过圆洞． ②作BF ⊥CD 于F，有CF=BC=5， 得BF==5＞8.5，故沿CD 方向不可以通过圆洞．综上所述，甲板不能穿过一个直径为8.5cm 的圆洞；乙钢板零件：∵甲形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长为12cm ； ∴可求出可通过的最短长度即一腰的高线，设AD=x ， 则有sin45°=，解得x=6＜8.5，∴乙钢板零件能通过圆形入口． 故选：B ．9．已知a2﹣a=0，则的值是．10．已知，则= ．11．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是74 ．解：0+2=2 2+2=4 4+2=6，所以第四个正方形左下角的数为，6+2=80+4=4 2+4=6 4+4=8，所以第四个正方形右上角的数为，6+4=10．8=2×4﹣0 22=4×6﹣2 44=6×8﹣4 所以m=8×10﹣6=74．故答案为：74．12．如图，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，则∠DFE为度数为75°．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=90°，∵△ADE是等边三角形，∴AD=AE，∠EAD=60°，∴AB=AE．∠EAB=90°+60°=150°，∴∠AEB=∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15°，∴∠EFD=∠EAD+∠AEF=60°+15°=75°，故答案为：75°．13．如图，在△ABC中，中线CM与高线CD三等分∠ACB，则∠B等于30°．解：根据题意得：CD⊥AB，AM=MB，∠ACD=∠MCD=∠BCM．∵∠ACD=∠MCD，CD=CD，∠CDA=∠CDM=90°，∴△ACD≌△MCD．∴AD=DM=AM=BM．过点M作MN⊥BC于点N，∵∠DCM=∠NCM，CD⊥AB，∴DM=NM．∴NM=MB，∴在Rt△MNB中，∠B=30°．故答案为：30°．14．两条直角边长分别是整数a，b（其中b＜2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为31 ．解：∵两条直角边长分别是整数a，b（其中b＜2011），斜边长是b+1，∴a2=（b+1）2﹣b2=2b+1．∴a2为奇数，∵b是整数，b＜2011，∴a2是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即32，52， (632)∴a可以为3，5，…，63，∴满足条件的直角三角形的个数为31．故答案为：31．15．如图，△ABC中，已知AB=AC，△DEF是△ABC的内接正三角形，α=∠BDF，β=∠CED，γ=∠AFE，则用β、γ表示α的关系式是α=．解：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠A+2∠B=180°①，∵△DEF是等边三角形，α=∠BDF，β=∠CED，γ=∠AFE，∴∠1=120°﹣β，∠2=120°﹣γ，在△AEF中，∠A+∠1+γ=180°，即∠A+120°﹣β+γ=180°②，在△BDF中，∠B+α+∠2=180°，即∠B+α+120°﹣γ=180°③，①②③联立，解得α=．故答案为：α=．16．如图，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画 3 个．解：如图：①AC为直角边时，符合等腰直角三角形有2个，一个是以∠BAC为直角，一个是以∠ACB为直角；②AC为斜边时，符合等腰直角三角形有1个．∴这样的三角形最多能画3个，故答案为：3．1718．如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC 方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：（1）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．（2）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．解：（1）当点Q到达点C时，PQ与AB垂直，即△BPQ为直角三角形．理由是：∵AB=AC=BC=6cm，∴当点Q到达点C时，BP=3cm，∴点P为AB的中点．∴QP⊥BA（等边三角形三线合一的性质）．（2）假设在点P与点Q的运动过程中，△BPQ能成为等边三角形，∴BP=PQ=BQ，∴6-t=2t，解得t=2．∴当t=2时，△BPQ是个等边三角形．19.从甲站到乙站共有800千米，开始400千米是平路，接着300千米是上坡路，余下的是下坡路，已知火车在上坡路、平路、下坡路上的速度的比是3：4：5，（1）若火车在平路上的速度是80千米/小时，那么它从甲站到乙站所用的时间比从乙站到甲站所用的时间多多少小时？（2）若要求火车来回所用的时间相同，那么火车从甲站到乙站在平路上的速度与乙站到甲站在平路上的速度的比是多少？解：（1）甲乙两地之间的距离是800千米，开始400千米是平路，接着300千米是上坡路，所以下坡路是100千米，火车在平路上的速度是80千米/小时，所以火车在上坡路上的速度是60千米/小时，在下坡路上的速度是100千米/小时，所以,从甲地到乙地用的时间为，从乙地到甲地用的时间为，同样，设火车从乙地到甲地在平路上的速度是4V2千米/小时，则它在上坡路上的速度是3V2千米/小时，在下坡路上的速度是5V2千米/小时，所以火车从乙地到甲地用的时间是，20.如图,在等腰直角△ABC中, ∠BAC=90°,AD=AE,AF⊥BE交BC于点F,过F作FG⊥CD交BE延长线于G，求证：BG=AF+FG．证明：过CP∥AB，AF的延长线于P，易证△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD，∵∠BAP+∠ABE=90°，∠ACD+∠FMC=90°∴∠BAP=∠FMC，又∵AB∥PC，∴∠BAP=∠P∴∠FMC=∠P．∵AF⊥BE，∠BAC=90°，∵∠BAE=∠ACP=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°，∵AF⊥BE，∴∠PAC+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠PAC，∵AB=AC，∴△ABE≌△CAP，∴BE=AP．∵CP∥AB，∠ACP=90°，∠ACB=45°，∴∠MCF=∠PCF=45°，∵∠FMC＝∠P∠MCF＝∠PCFCF＝CF，∴△MCF≌△PCF，∴MF=PF，∠P=∠FMC，又∵∠FMC=∠GME，∴∠GEM=∠GME，∴GE=GM，则BG=BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG=AF+FG．。

2006年八年级数理竞赛试题数学部分一、选择题（每题3分，共15分）1、若|x-8y|+（4y-1）2=0，则（x+2y ）3值为（ ）A 、641B 、116425C 、1585 D 、27 2、今有煤m 吨，现在每天需烧掉a 吨，如果每天能节约b 吨，可比原来多烧（ ）天 A 、b a m --a m B 、b a m - C 、-a m D 、a m -b a m - 3、已知∠AOB=40。

，∠BOC=60。

，那么射线OB （ ）A 、在∠AOC 内，B 、在∠AOC 外 C 、在∠AOC 内或∠AOC 外D 、与∠AOC 一边垂直4、已知|x|=5，（y-2）2=16，则xy=（ ）A 、30或—30B 、30或—10C 、30或—30，10或—10D 、10或—105、一次函数y=kx+3，当x 减少2时，y 的值增加6，则k 的值为（ ）A 、—3B 、23C 、3D 、-23二、阅读理解并填空（每空1分，共10分）九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册中，有以下几段文字：“对于坐标平面内任意一点M ，都有唯一的一对有序实数（x ，y ）和它对应；对于任意一对有序实数（x ，y ），在坐标平面内都有唯一的一点M 和它对应，也就是说，坐标平面内的 点与有序实数对是一一对应的。

”“一般地，对于一个函数，如果把自变量x 与函数y 的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在坐标平面内指出相应的点，这些点所组成的图象。

”“实际上，所有一次函数的图象都是一条直线。

”“因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线，就可以了。

”由此可知：满足函数关系式的有序实数对所对应的点，一定在这个函数的图象上；反之，函数图象上的点的坐标，一定满足这个函数的关系式。

另外，已知直线上两点坐标，便可求出这条直线所对应的一次函数的表达式。

（1）已知点A （m ，1）在直线y=2x-1上，求m 的方法是______________________________________________________________________,所以m=_______;已知点B(-2,n)在直线y=2x-1上,所以n=___________.(2)已知某一次函数的图象经过点P(0,5)和Q(—7，—9)，求这个一次函数的表达式时一般先_________________________,,再有已知条件可得_____________________________,解得______________.所以满足已知条件的一次函数的表达式为_____________________,这个一次函数的图象与两坐标的交点坐标为_________________,再平面直角坐标系中,描出这两个点,并画出这个函数的图象.像解决问题(2)这样_______________________________的方法,叫做待定系数法.三、运用创新题1、初中学生的视力状况已受到全社会的广泛关注。

2006年全国九年级义务教育初中中考数学联赛决赛试卷一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.已知四边形ABCD 为任意凸四边形,E ,F ,G ,H 分别是边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,用S ,P 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；1S ,1P 分别表示四边形EFGH 的面积和周长,设1S K S =,11PK P =,则下面关于K ,1K 的说法正确的是( ) A.K ,1K 均为常值B.K 为常值,1K 不为常值C.K 不为常值,1K 为常值D.K ,1K 均不为常值 【解析】 B .如图,易知14AEH ABD S S =△△,14CFG CBD S S =△△,故14AEH CFG S S S +=△△.同理,14BEF DHG S S S +=△△.故112S S =,即K 2=为常值.又易知1P AC BD =+,特别的,若取邻边长分别为1、2的矩形,则1K =；再取邻边长分别为1、3的矩形,则1K ==故1K 不是常值.GHFEDCBA2.已知m 为实数,且sin α,cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根,则44sin cos αα+的值为( )A.29B.13C.79 D,1 【解析】 C .由根与系数的关系知1sin cos 3αα=,则有()()2244227sin cos sin cos 2sin cos 9αααααα+=+-⋅=.3.关于x 的方程21x a x =-仅有两个不同的实根,则实数a 的取值范围是( ) A.0a > B.4a ≥C.24a <<D.04a <<【解析】 D .当0a <时,无解；当0a =时,0x =,不合题意；当0a >时,方程化为21x a x =±-,整理得20x ax a -+=或20x ax a +-=.这两个方程的判别式分别为214a a =-△和224a a =+△.∵20>△,原方程仅有两个不同实根,所以2140a a =-<△,从而04a <<.4.设0b >,2220a ab c -+=,2bc a >,则实数a ,b ,c 的大小关系是( ) A.b c a >> B.c a b >> C.a b c >> D.b a c <<【解析】 A .由2bc a >及0b >,知0c >.由222ab a c =+及0b >,知0a >.由2220a ab c -+=,知()2220b c a b -=-≥,从而b c ≥.若b c =,由2220a ab c -+=知a b =,从而a b c ==与2bc a >矛盾,故b c >. 由22b bc a >>,知b a >；又由22222a c ab a +->,知c a >.5.设a ,b 为有理数,且满足等式a +则a b +的值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】 B .3==,所以3a +=+即()(310a b -+-. 由a 、b 为有理数,则3a =,1b =,即4a b +=.6.将满足条件“至少出现一个数字0,且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数:20,40,60,80,100,104,……,则这列数中的第158个数为( ). A.2000 B.2004 C.2008 D.2012 【解析】 C .在正整数中,是4的倍数的特征为末两位数字是4的倍数,其中包含数字0的7种情形:00,04,08,20,40,60,80和包括数字0的18种情形.显然,满足条件的两位数仅有4个；满足条件的三位数共有9763⨯=个；满足条件千千位数字为1的四位数共有71018188⨯+⨯=个.因为46388155++=,则从小到大的第155个满足条件的数为1980.下面满足条件的数依次为2000,2004,2008.故这列数中的第158个数为2008.二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.函数220062008y x x =-+的图象与x 轴交点的横坐标之和等于 . 【解析】 0.原方程可转化为求方程2200620080x x -+=的所有实根之和.若实数0x 为方程的根,则其相反数0x -也为该方程的根,所以,方程的所有实根之和为0,即与x 轴交点的横坐标之和为0.2.在等腰Rt ABC △中,1AC BC ==,M 是BC 的中点,CE AM ⊥于E 交AB 于F ,则MBF S =△ .【解析】 112.如图,作BG BC ⊥交CF 的延长线于点G ,易证Rt Rt ACM CBG △≌△.故BG CM =,12CBG ACM ABC S S S =-△△△.由易证BFM BFG △≌△,故BGF BMF CMF S S S ==△△△.从而1113612MBF CBG ABC S S S ===△△△.MGF ECBA3.x 取值为 .【解析】 83.在直角坐标系xOy 中,设()0,2A -,()8,4B ,(),0P x ,有PAPB则10PA PB AB +=≥.当且仅当A 、P 、B 三点共线时,上式等号成立.因此,当且仅当A 、P 、B 三点共线时,原式取最小值.此时,易知BCP AOP △∽△,有2CP BCPO AO==.从而,1833OP OC ==.故原式取最小值时,83x =.4.在平面直角坐标系中,正方形OABC 的顶点坐标分别为()00O ，、()1000A ，、()100100B ，、()0100D ，.若正方形OABC 内部(边界及顶点除外)一格点P 满足:POA PBC PAB POC S S S S ⋅=⋅△△△△,就称格点P 为“好点”,则正方形OABC 内部“好点”的个数为 .(注:所谓“格点”是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.) 【解析】 如图,过点P 分别作PD 、PE 、PF 、PG 垂直于点OA 、AB 、BC 、OC 于点D 、E 、F 、G .易知100PF PD +=,100PE PG +=.由POA PBC PAB POC S S S S ⋅=⋅△△△△,知PD PF PE PG ⋅=⋅,即()()100100PD PD PG PG -=-.化简为()()1000PD PG PD PG -+-=,故PD PG =或100PD PG +=,即PD PG =或PG PF =. 于是P 为对角线OB 上的点或P 为对角线AC 上的点.因此,当且仅当P 为对角线OB 或对角线AC 内部的格点时,点P 为好点.易知OB 内部有99个好点,AC 内部也有99个好点,又知对角线OB 与AC 的交点也为好点,于是满足条件的好点个数为99991197+-=个.三、解答题(本题共三小题,第1题20分,第2、3题各25分)1.如图,D 为等腰ABC △底边BC 的中点,E 、F 分别为AC 及其延长线上的点.又已知90EDF ∠=o ,1ED DF ==,5AD =.求线段BC 的长.DEC FBA【解析】 如图,过点E 作EG AD ⊥于点G ,过点F 作FH AD ⊥于点H ,则EDG DFH ∠=∠.故Rt Rt EDG DFH △≌△.设EG x =,DG y =,则DH x =,FH y =,且221x y +=.又Rt Rt AEG AFH △∽△,则EG AGFH AH=.即55x y y x -=+. 化简为()225x y y x +=-. 由上述两式解得35x =,45y =. 又因为Rt Rt AEG ACD △∽△,则CD EGAD AG=. 故35554755EG CD AD AG =⋅=⨯=-.所以,1027BC CD ==.FEDC B A2.在平行四边形ABCD 中,A ∠的平分线分别与BC 及DC 的延长线交于E 、F ,点O 、1O 分别为CEF △、ABE △的外心.⑴ 求证:O 、E 、1O 三点共线； ⑵ 求证:若70ABC ∠=o ,求OBD ∠的度数.【解析】 ⑴如图,连结OE 、OF 、1O A 、1O E .因为四边形ABCD 为平行四边形,所以ABE ECF ∠=∠.又因为点O 、1O 分别为CEF △、ABE △的外心,所以OE OF =,11O A O E =,122EOF ECF ABE AO E ∠=∠=∠=∠. 于是有1OEF O EA △∽△.故1OEF AEO ∠=∠,所以O 、E 、1O 三点共线.⑵连接OD 、OC .因为四边形ABCD 为平行四边形,所以,CEF DAE BAF CFE ∠=∠=∠=∠. 故CE CF =.又因为点O 为CEF △的外心,所以OE OF OC ==. 则OCE OCF △≌△,有OEC OFC OCF ∠=∠=∠.故OEB OCD ∠=∠.又BAE EAD AEB ∠=∠=∠,则EB AB DC ==. 因此OCD OEB △≌△.所以,ODC OBE ∠=∠,OD OB =,ODC OBC ∠=∠,OBD ODB ∠=∠,OBD OBC CBD ∠=∠+∠ODC BDA =∠+∠ADC BDO =∠-∠ABC OBD =∠-∠.故12OBD ABC ∠=∠.DO 1O FEDCBA3.设p 为正整数,且2p ≥.在平面直角坐标系中,连结点()0A p ，和点()0B p ，的线段通过1p -个格点()111C p -，,…,()i C i p i -，,…,()111p C p --，. 证明:⑴ 若p 为索数,则在原点()00O ，与点()i C i p i -，的连线段()11i OC i p =-L ，，上除端点外无其它格点；⑵ 若在原点()00O ，与点()1i C i p -，的连线段()11i OC i p =-L ，，上除端点外无其它格点,则p 为索数.【解析】 ⑴用(),P a b 表示OAB △内的格点,a 、b 为正整数.假设结论不成立,则点P 位于某条线段1OC 内部(如图9).过点P 作PE OB ⊥于点E ,过点i C 作i C F OB ⊥于点F .由i OEP OFC △∽△,知b p ia i-=,其中11i p -≤≤. 易知1a i <≤,1b p i <-≤. 由b p ia i-=知()a b i ap +=,从而|i ap . 因为p 为质数,且11i p <-≤,则i 与p 互质.从而|i a ,故i a ≤,这与a i <矛盾. 所以,假设不成立,从而原结论成立. ⑵假设结论不成立,即p 为合数.故p xy =,其中x 、y ∈N ,且2,1x y p -≤≤.因为OAB △内部的格点的横、纵坐标之和可以是从2到1p -之间的任何整数,故必存在一格点(),P a b ,满足a b x +=,于是()a b y xy p +==,即ay by p +=.因此点(),ay by 必是()11,1C p -,()22,2C p -,…,()11,1p C p --中的一个点,设为(),i C i p i -.从而有ya i =,by p i =-,故b p ia i-=. 所以,点(),P a b 在线段i OC 内部,即在线段i OC 上除端点外还有其他格点,这与已知矛盾. 故原结论成立.。