余杭区2008年“假日杯”初中数学竞赛试卷

≤∑100k =1a 2k +1∑100k =1(a 2k +2a k +1a k +2)2=1×∑100k =1(a2k+2a k +1a k +2)2=∑100k =1(a4k+4a 2k a k +1a k +2+4a 2k +1a 2k +2)≤∑100k =1[a 4k +2a 2k (a 2k +1+a 2k +2)+4a 2k +1a 2k +2]=∑100k =1(a 4k+6a 2k a 2k +1+2a 2k a 2k +2).又∑100k =1(a 4k +2a 2k a 2k +1+2a 2k a 2k +2)≤∑100k =1a 2k2,∑100k =1a2ka 2k +1≤∑50i =1a22i -1∑50j =1a22j,故　(3S )2≤∑100k =1a2k2+4∑50i =1a22i -1∑50j =1a22j≤1+∑50i =1a 22i -1+∑50j =1a 22j2=2.从而,S ≤23≈014714<0148=1225.7.本届I M O 第6题.2008年全国初中数学联赛(江西卷) 说明:2008年全国初中数学联赛于4月13日举行,因当日与江西省其他考试的时间重叠,经与联赛组委会商议,联赛江西省赛区竞赛改于4月19日举行,并由江西另行命制一份试题.第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.从分数组12,14,16,18,110,112中删去两个分数,使剩下的数之和为1.则删去的两个数是( ).(A )14与18(B )14与110(C )18与110(D )18与1122.化简32+51+5的结果是( ).(A )12　(B )54　(C )38　(D )1+573.555的末尾三位数字是( ).(A )125(B )375(C )625(D )875.4.若实数x 、y 、z 满足方程组:xy x +2y =1,①yz y +2z=2,②zx z +2x=3,③则( ).(A )x +2y +3z =0(B )7x +5y +2z =0(C )9x +6y +3z =0(D )10x +7y +z=05.将正三角形每条边四等分,然后过这图1些分点作平行于其他两边的直线.则以图1中线段为边的菱形个数为( ).(A )15(B )18(C )21(D )246.某人将2008看成了一个填数游戏式:28.于是,他在每个框中各填写了一个两位数ab 与cd ,结果发现,所得到的六位数2abcd 8恰是一个完全立方数.则ab +cd =( ).(A )40(B )50(C )60(D )70二、填空题(每小题7分,共28分)1.设x +x 2+1y +y 2+4=9.则x y 2+4+yx 2+1= .图22.如图2,在边长为1的正△ABC 中,由两条含120°圆心角的弓形AOB 、AOC 及边BC 所围成的(火炬形)阴影部分的面积是 .3.一本书共有61页,顺次编号为1,2,…,61.某人在将这些数相加时,有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了(形如ab 的两位数被当成了两位数ba ),结果得到的总和是2008.那么,书上这两个两位数页码之和的最大值是 .4.不超过5+36的最大整数是 .第二试一、(20分)设a 为整数,使得关于x 的方程ax 2-(a +5)x +a +7=0至少有一个有理根.试求方程所有可能的有理根.二、(25分)如图3,在四边形ABCD 中,图3E 、F 分别是边AB 、CD 的中点,P 为对角线AC 延长线上的任意一点,PF 交AD 于点M ,PE 交BC 于点N ,EF 交MN 于点K .求证:K是线段MN 的中点.三、(25分)120人参加数学竞赛,试题共有5道大题.已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对.如果至少做对3题便可获奖,问:这次竞赛至少有几人获奖?参考答案第一试 一、1.C.由14+112=13,而12+13+16=1,故删去18与110后,可使剩下的数之和为1.2.A.32+5=38(2+5)8=12316+85　=123(1+5)3=1+52]32+51+5=12.3.A.注意到555=5×554.因为52被8除余1,所以,554被8除余1.故555被8除余5.而在125、375、625、875四个数中,只有125被8除余5.4.D.由式①、③得y =x x -2,z =6xx -3.故x ≠0.代入式②解得x =2710.所以,y =277,z =-54.检验知此组解满足原方程组.于是,10x +7y +z =0.5.C.图1中只有边长为1或2的两种菱形,每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线,原正三角形内部每条长为1的线段,恰是一个边长为1的菱形的对角线;这种线段有18条,对应着18个边长为1的菱形;原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线,三条中位线对应着3个边长为2的菱形.共得21个菱形.6.D.设2abcd 8=(xy )3.据末位数字特征得y =2,进而确定xy .因603=216000,703=343000,所以, 60<xy<70.故只有xy=62.而623=238328,则ab=38,cd=32,ab+cd=70.二、1.77 18.据条件式有xy+y x2+1+x y2+4+(x2+1)(y2+4)=9.①令x y2+4+y x2+1=z.则式①化为z+xy+(x2+1)(y2+4)=9,即　9-z=xy+(x2+1)(y2+4).平方得81-18z+z2=x2y2+(x2+1)(y2+4)+2xy(x2+1)(y2+4).②又z2=(x y2+4+y x2+1)2=x2(y2+4)+y2(x2+1)+2xy(x2+1)(y2+4),代入式②得81-18z=4.所以,z=7718.2.312.图4如图4,联结OA、OB、OC.线段OA将阴影的上方部分剖分成两个弓形,将这两个弓形分别按顺时针及逆时针方向绕点O旋转120°后,阴影部分便合并成△OBC,它的面积等于△ABC面积的13,即等于312.3.68.注意到1+2+…+61=1891,2008-1891=117.由于形如ab的页码被当成ba后,加得的和数将相差9|a-b|,因为a、b只能在1,2,…,9中取值,|a-b|≤8,所以,9|a-b|≤72.由于117=72+45=63+54,设弄错的两数是ab和cd.若9|a-b|=72,9|c-d|=45,则只有ab=19,而cd可以取16,27,38,49,此时,ab+ cd的最大值是68;若9|a-b|=63,9|c-d|=54,则ab可以取18,29,而cd可以取17,28,39,此时, ab+cd的最大值也是68.4.3903.注意到(5+3)6=(8+215)3.令8+215=a,8-215=b.得a+b=16,ab=4.知a、b是方程x2-16x+4=0的两个根,则有a2=16a-4,b2=16b-4;a3=16a2-4a,b3=16b2-4b.故a3+b3=16(a2+b2)-4(a+b)=16[16(a+b)-8]-4(a+b)=252(a+b)-128=3904.而0<b<1,故3903<a3<3904.因此,不超过(5+3)6的最大整数是3903.第二试一、当a=0时,方程的有理根为x=75.以下考虑a≠0的情况.此时,原方程为一元二次方程,由判别式(a+5)2-4a(a+7)≥0,即　3a2+18a-25≤0.解得-9-1563≤a≤-9+1563.整数a只能在其中的非零整数1,-1, -2,-3,-4,-5,-6,-7中取值.由方程得x=a+5±52-3(a+3)22a.①当a=1时,由式①得x=2和4;当a=-1时,方程无有理根;当a=-2时,由式①得x=1和-52;当a =-3时,方程无有理根;当a =-4时,由式①得x =-1和34;当a =-5时,方程无有理根;当a =-6时,由式①得x =12和-13;当a =-7时,由式①得x =0和27.因此,相对于不同的a 值,方程共有11个有理根.二、证法1:如图3,EF 截△PMN ,则N K K M ・MF FP ・PEEN =1.①BC 截△P A E ,则E B BA ・AC CP ・PNN E=1.故PN N E =2CPAC.所以,PE EN =2CP +AC AC .②AD 截△PCF ,则FD DC ・C A A P ・PM MF =1,PM MF =2A P AC.所以,FP MF =2A P -ACAC.③因为A P =AC +CP ,所以,2CP +AC =2A P -AC .由式②、③得PE EN =FP MF ,即MF FP ・PEEN=1.由式①得N K =K M ,即K 是线段MN 的中点.图5证法2:如图5,在PF 上取点G ,使GF =FM ,CG ∥DM ,又取C A 的中点L ,联结GC 、G N 、L E 、L F .则L E 、L F分别为△ABC 、△ACD 的中位线,有L F ∥AD ,L E ∥CB .得∠GCN =∠F L E ,CG L F =PC P L =CNL E.故△CNG △L EF ,NG ∥EF .于是,FK 是△MNG 的中位线.所以,K 是MN 的中点.三、将这120人分别编号为P 1,P 2,…,P 120,并视为数轴上的120个点.用A k (k =1,2,3,4,5)表示这120人之中未答对第k 题的人所成的组,|A k |为该组的人数.则|A 1|=24,|A 2|=37,|A 3|=46,|A 4|=54,|A 5|=85.将以上五个组分别赋予五种颜色,如果某人未做对第k (k =1,2,3,4,5)题,则将表示该人的点染第k 色.问题转化为:求出至少染有三色的点最多有几个.由|A 1|+|A 2|+|A 3|+|A 4|+|A 5|=246,知至少染有三色的点不多于2463=82个.一方面,将点P 1,P 2,…,P 85这85个点染第5色,因85>82,而为使染有三色的点数尽可能多,需在上述85个点中将尽可能多的点再加染另两色,由于|A 1|+|A 2|+|A 3|+|A 4|=161,故加染另两色的点不会多于1612=80个,即染有三色的点不多于80个.另一方面,可以具体构造一种染法,使得有80个点染有三种颜色.例如,如图6,将点P 1,P 2,…,P 85这85个点染第5色;点P 1,P 2,…,P 44以及点P 79、P 80这46个点染第3色;点P 45,P 46,…,P 81这37个点染第2色;点P 1,P 2,…,P 24这24个点染第1色;点P 25,P 26…,P 78这54个点染第4色.于是,至少染有三种颜色的点最多有80个.因此,染色数不多于两种的点至少有40个,即至少有40人获奖(他们每人至多答错两题,而至少答对三题,例如,P 81,P 82,…,P 120这40个人).图6(陶平生　提供)。

2008年初二数学竞赛试题答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线． 3．可以用计算器一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1．设x =x 的值为 （ ） A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．零 2．已知312=-yx ，则x y xy xy y x 3652-+--的值 （ ）A ．71 B ． 71- C ． 72 D ． 72- 3．方程（1)132=--+x x x 的所有整数解的个数是 （ ）A ．２B .３C .４D .５ 4.若直线b ax y +=与直线2521+=x y 关于x 轴对称，则b a +的值是 （ ） A ．－３ B .－２ C .２ D .３5．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个，现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是 （ ） A .１４ B .１６ C . １８ D .２０6. 如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是 ( )主视图 左视图 俯视图 A.7个 B.8个 C.9个 D.10个7．在凸四边形ABCD 中，∠C=1200, ∠B=∠D=900,AB=6,BC=23,则AD= （ ） A. 23 B.6 C. 43 D.638.设n(n ≥2)个正整数1a ，2a ，…，n a ，任意改变它们的顺序后，记作1b ，2b ，…，n b ，若P=(1a -1b )(2a -2b )(33b a -)…(n a 一n b )，则 ( ) A ． P 一定是奇数． B ．P 一定是偶数．C ．当n 是偶数时，P 是奇数．D ．当n 是奇数时，P 是偶数二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知20082006,20082007,20082008a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ca ++---的值 ．10．将５个整数从大到小排列，中位数是４，如果这个样本中的唯一众数是７，则这５个整数的和的最大值是 ． 11．在图8中每个小方格内填入一个数，使每一行、每一列都有1、 2、3、4、5，那么，右上角的小方格内填入x 的数应是 .12．在△ABC 中，AB ＝15cm ，AC ＝13cm ，BC 边上高A D ＝12cm ，则三角形ABC 的面积为 ．132353145x13．如图,有一种动画程序，屏幕上方正方形区域ABCD表示黑色物体甲,其中A ( 1,1 ) B ( 2,1 ) C ( 2,2 )D ( 1,2 )，用信号枪沿直线b x y +=3发射信号,当信号遇到区域甲时,甲由黑变白,则当b 的取值范围为 ______时，甲能由黑变白．14．如果正整数n 有以下性质：n 的八分之一是平方数，n 的九分之一是立方数，n 的二十五分之一是五次方数，那么n 就称为“希望数”，则最小的希望数是 .三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15．已知四个实数,,,a b c d ，且,a b c d ≠≠.若四个关系式：24a ac +=，2224,8,8b bc c ac d ad +=+=+= 同时成立，（1）求c a +的值； （2）分别求d c b a ,,,的值.每辆车乘坐28名人，出发开出一段时间后，发现有一学生迟到没上车.现决定开一辆空车去接他，接回后为赶时间就把这辆空车开走，让所有的人员重新分配，则刚好平均分乘余下的汽车，已知每辆车的载客量不能多于32人，那么原有几辆汽车，这批春游的学生共有多少人?图1FEDC BA图2FEABCD 17．在△ABC 中，∠C=90︒，D 是AB 的中点，E 、F 分别在BC 、AC 上，且∠EDF=90︒.(1)如图1，若E 是BC 的中点，,EF 与AF 、BE 有怎样的数量关系？并说明理由；（2）如图2，当F 在AC 上运动时，点E 在BC 上随之运动，问在运动过程中，EF 与AF 、BE 有怎样的数量关系？并说明理由.18．已知直线)1(142k y ≠--+=k k k x（1）说明无论k 取不等于1并求出此定点的坐标；（2）若点B(5,0) , 点P 在y 轴上，点A 为（1）中确定的定点，要使△PAB 为等腰三角形，求直线PA 的解析式．2008年初二数学数学竞赛试题参考答案及评分建议二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 3 10.23 11. 1 12.84cm 2或24 cm 2（答对一个得2分） 13. -５≤b ≤－１ 14. 215·320·512三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15．(12分)解：（1）由)(2ac a ++)(2ac c +=4+8=12，得12)(2=+c a ，∴ 32±=+c a . …… 4分（2）由)(2ac a +(-)2bc b +=4－4=0，-+)(2ac c )(2ad d +=8－8=0得 0))((=++-c b a b a ，)((d c -0)=++d c a ∵b a ≠，d c ≠,∴0=++c b a ,0=++d c a . ∴)(c a d b +-==. …… 2分 又)(2ac a +－)(2ac c +=4－8=－4， 得，4))((-=+-c a c a . …… 2分 当32=+c a 时，332-=-c a ， 解得334=a ，332=c ， 32-==d b . …… 2分当32-=+c a ，332=-c a ， 解得334,332-=-=c a ， 32==d b . …… 2分16．(12分)解：设原有k 辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐n 个人，显然k ≥2，GFEABC Dn ≤32．易知旅客人数等于128+k ，当一辆空车开走以后，这批春游的学生的人数可以表示为)1(-k n ，由此列出方程)1(128-=+k n k . …… 2分所以 12928129)1(221128-+=-+-=-+=k k k k k n . …… 4分 因为n 为正整数数，所以129-k 必为正整数，但由于29是质数，因数只有1和29两个，且k ≥2，所以11=-k ，或291=-k . …… 2分如果11=-k ，则2=k ，57=n ，不满足n ≤32的条件. 如果291=-k ，则30=k ，29=n ，符合题意. …… 2分 所以旅客人数等于)1(-k n ＝29×29＝841（人）. …… 2分 答：原有车辆30辆，这批春游的学生共有841人.17．(12分)解：（1）EF 2= AF 2+BE 2. …… 1分 ∵E D ,分别是AB,BC 的中点， ∴DE ∥AC ，且DE=21AC . ∵∠C=90︒,∠EDF=90︒, ∴ 四边形CFDE 是矩形， ∴DE=CF=AF,DF=CE=BE. …… 3分又∵∠EDF=90︒，∴EF 2=DF 2+DE 2=AF 2+BE 2. …… 1分 (2) EF 2= AF 2+BE 2. …… 1分延长FD 至G,使得DG=DF,连结BG,EG. 则△AFD ≌△BGD. …… 2分 ∴BG=AF=CF, DF=DG , ∠GBD=∠A . ∵∠EDF=90︒, ∴EF=EG. …… 1分 又∠GBD=∠A ， ∴BG ∥AC,∴∠GBE=∠C=900, …… 1分 ∴EG 2=BE 2+BG 2=BE 2+AF 2∴ EF 2=AF 2+BE 2. …… 2分18．(14分)解：（1）由题意知1≠k ，若取,1-=k 得62=+-y x ①， 若取,2=k 得02=-y x ②. 解①②得⎩⎨⎧==42y x . 所以，不论k 取任何实数此直线都经过一定点，其坐标为（2，4）. …… 5分 （2）分三种情况讨论：① 设P 1(0,m 1) ,满足P 1B=P 1A, 由勾股定理得， 2222)4(25m m -+=+，解得85-=m ，即P 1（0，85-），符合题意， 直线P 1A 的解析式： 851637-=x y . …… 2分② 设P 2(0,m 2)，满足P 2B=AB, 易求得AB=5, 所以点P 2（0，0）， 直线P 2A 的解析式： x y 2=. …… 2分 ③设P 3(0,m 3)，满足P 1A=AB, 由勾股定理得，2225)4(2=-+m ,解得214±=m ，即P 3（0，)214+，P 4（0，)214-，直线P 3A 的解析式：214221++-=x y ， …… 2分 直线P 3A 的解析式：214221-+=x y . …… 2分 综上所述，直线PA 的解析式为：851637-=x y ，或x y 2=，或214221++-=x y ，或214221-+=x y . …… 1分。

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为 （ ） )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.【答】B .解 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 故选B . 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为 （ ） )(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245. 【答】D . 解 因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知,,,B C E F 四点共圆，于是△AEF ∽△ABC ，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=. 故选D . 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 【答】C . 解 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个. 所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C .4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上，则 （ ）)(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.【答】B .解 ∵12ABC ∠=︒，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒，∴BM BC =. 又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13224)=︒-︒+︒12ABC =︒=∠，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==.故选B .5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为 （ ）)(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98. 【答】 B .解 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅，其中k 为自然数，且0k n ≤≤. 要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：98()()1010i n i a -⋅⋅，1198()()1010i n i a +--⋅⋅， 2298()()1010i n i a +--⋅⋅，3398()()1010i n i a +--⋅⋅，4498()()1010i n i a +--⋅⋅，其中i 为不超过n 的自然数. 所以r 的最小值为44498()()91010()988()()1010i n i i n ia a +---⋅⋅=⋅⋅. 故选B . 6． 已知实数,x y满足(2008x y =，则223233x y x y -+-2007-的值为 （ ）)(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-. )(D 1.【答】D .解 ∵(2008x y =，∴x y -==y x -==由以上两式可得x y =. 所以2(2008x =，解得22008x =，所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=.故选D .二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．设12a -=，则5432322a a a a a a a+---+=-2-.解 ∵221a a ===-，∴21a a +=， ∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a a a a a a a+---++--++=-⋅- 33332221211(1)(11)2(1)1a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----.2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且AM =135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为52解 设正方形ABCD 的中心为O ，连AO ，则AO BD ⊥，2AO OB ==,2MO ===, ∴MB MO OB =-=又135ABM NDA ∠=∠=︒， 13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB ∠=∠，所以△ADN ∽△MBA ，故AD DNMB BA =，从而12AD DN BA MB =⋅==. 根据对称性可知，四边形AMCN 的面积115222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯=△. 3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=12解 根据题意，,m n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，所以m n a +=-，mn b =. ∵1m n +≤，∴1m n m n +≤+≤，1m n m n -≤+≤. ∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m n b +≤=≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-，故14b ≥-，等号当且仅当12m n =-=时取得； 22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得. 所以14p =，14q =-，于是12p q +=. 4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 1 .解 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位； 24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1.第二试 （A ）一．（本题满分20分） 已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式 (1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ （1）恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解 整理不等式（1）并将221a b +=代入，得 2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）在不等式（2）中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥.易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3） 消去b ，得42161610a a -+=，所以224a -=或224a +=. 又因为0a ≥，所以a =a =， 于是方程组（3）的解为4,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,44a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14，此时,a b 的值有两组，分别为a b ==a b ==二．（本题满分25分） 如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.解 （1）连,,,OA OB OC AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上.（2）设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以△BDO ∽△ABC ，所以BD BO AB AC=，即2r a l y =，故2al r y =.所以22223222()4422a l a aS S a S r y y y y ==⋅=⋅≥，即2r ≥其中等号当a y =时成立，这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r 三．（本题满分25分）设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ （1）求a ，b 的值.解 （1）式即2634511()509509a b a b ++=，设634511,509509a b a b m n ++==，则 509650943511m a n a b --== （2） 故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= （3）由（1）式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解. ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解. ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去. 综合可知251a =.此时方程（3）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（2）式，得5093625173b ⨯-⨯==. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ，不等式 220ay xy bx -+≥ （1）恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解 由1,0x y xy +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤.在（1）式中，令0,1x y ==，得0a ≥；令1,0x y ==，得0b ≥.将1y x =-代入（1）式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3） 消去b ，得42161610a a -+=，所以2a =2a =0a ≥，所以a =或4a =. 于是方程组（3）的解为,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以满足条件的,a b 的值有两组，分别为44a b ==44a b == 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设a 为质数，,b c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ (1)(2) 求()a b c +的值.解 （1）式即266341022511()509509a b c a b c +-+-=， 设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==，则 5096509423511m a n a b c ---== （3） 故351160n m a -+=，又2n m =，所以 2351160m m a -+= （4）由（1）式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，于是22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解. ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去.综合可知251a =，此时方程（4）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（3）式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-. 代入（2）式得(27)2b b --=，所以5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.。

２００８年全国初中数学竞赛浙江初赛试卷作者：来源：《数学金刊·初中版》2008年第06期一、选择题（每小题6分，共30分）1．已知x＋y＝x-1＋y-1≠0，则xy的值为（）A. －1B. 0C. 1D. 22．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100 m接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（）A. B. C. D.3．如图1，两个反比例函数y＝和y＝（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（）A. k1＋k2B. k1－k2C. k1·k2D.4．在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数y＝－x2＋6x－的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（）A. 5B. 6C. 7D. 85．如图2，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，则⊙O的半径是（）A. 3B. 4C. 4D. 2二、填空题（每小题6分，共24分）6．△ABC中，∠A和∠B均为锐角，AC＝6，BC＝3，且sinA＝，则cosB的值为_________．7．如图3，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，E是AD延长线上一点，若DE＝AB＝3 cm，CE＝4 cm，则AD的长是_________．8. 已知△ABC为钝角三角形，其最大边AC上有一点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线l，使直线l截△ABC所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l可作的条数是_________．9．如图4，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB＝4 cm，BC＝6 cm，AE＝CG＝3 cm，BF＝DH＝4 cm，四边形AEPH的面积为5 cm2，则四边形PFCG的面积为_________cm2．三、解答题（本题3小题，共46分）10．（15分）小王、小李两同学玩“石头、剪刀、布”的划拳游戏．游戏规则为：胜一次得3分，平一次得1分，负一次得0分，一共进行7次游戏，游戏结束时，得分高者为胜．（1）若游戏结束后，小王得分为10分，则小王7次游戏比赛的结果是几胜几平几负？（2）若小王前3次游戏比赛的结果是一胜一平一负，则他在后面4次比赛中，要取得怎样的比赛结果，才能保证胜小李？11．（15分）在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b＋2（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于|OA|＋|OB|＋3．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．12．（16分）如图5，AB，AC，AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且AB＝AC＝AE．请你说明以下各式成立的理由：（1）∠CAD＝2∠DBE；（2）AD2－AB2＝BD·DC．参考答案见P60。

余杭区2008年“假日杯”初中数学竞赛试卷（2008年11月22日 上午9∶00—10∶30）说明：试卷满分120分，不能使用计算器．一、选择题 （共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分） 1.已知分式2212x x x -+-的值是0，则x 的值是（ ） (A) 1 (B) -1 (C) 1或-1 (D) -2或-1 2.如图，已知点D ，E ，F 和点A ，B ，C 分别在同一直线上，1256∠=∠=︒，57D ∠=︒，则A ∠的度数（ ）(A) 是56° (B) 是57°(C) 是67° (D) 无法确定其大小3.在共有16人参加的“我爱家乡”演讲比赛中，若想知道自己是否能进入前8名(可以并列名次进入前8名)，则只需了解自己的成绩以及全部成绩的 ( ) (A) 平均数 (B) 众数 (C) 中位数 (D) 方差4.甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击20次，3人的测试成绩如下表：则甲、乙、丙3名运动员测试成绩最稳定的是（ ） (A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 3人成绩稳定情况相同 5. 满足“两数的和与这两数的积相等”这一条件的有理数有（ ）(A) 1对 (B) 2对 (C) 4对 (D) 无穷多对6. 由若干个相同的小立方块搭成的几何体其主视图和左视图如图所示，则所搭小立方块的个数不可能是（ ）(A) 4块 (B) 6块 (C) 7块 (D) 8块A B C D E F (第2题)21 (第6题)主视图 左视图7. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，点D 为BC 中点，DE ⊥AC 于点E ，点F 为AC 中点，则EF 等于（ ）(A) 45(B) 710(C)35(D) 128. 23，33和43分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和．83也能按此规律进行“分裂”，则83“分裂”出的奇数中最大的是（ ） (A) 67 (B) 69(C) 71 (D) 73二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 抛掷两枚均匀的硬币，硬币落地后，朝上一面恰好出现一正一反的概率是 ．10. 一个几何体的三视图(不完整)如图所示，请将此三视图补画完整．11. 汶川大地震牵动每个人的心，一方有难，八方支援．在余杭区有5位外地打工者也捐款献爱心．已知5人平均捐款560元（每人捐款数额均为百元的整数倍），捐款数额最少的也捐了200元，最多的（只有1人）捐了800元，其中一人捐600元，600元恰好是5人捐款数额的中位数，那么其余两人的捐款数额分别是 ．12. 如图，AB ∥DE ， FC ⊥CD 于点C ，∠ABC =107°，∠CDE =130°，点G 在BC 的延长线上，则∠FCG 的度数是 ． 13. 如图，分别以直角三角形的三边长为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆．记大圆的面积是1S ，两个小圆 的面积和是2S ，则1S 和2S 两者之间的大小关系 是 ．(第10题)(第12题) AB CD E F G 23 353379 1143 1315 1719(第8题) (第7题)C(第13题)14. 已知等腰三角形一腰上的高把它分成两个面积相等的三角形，如果该腰上的高是，那么这个等腰三角形的面积是．三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和1415. 已知四个数据：10、x、8、12，若这组数据的众数和平均数的差的绝对值是1.5，求这组数据的中位数．（不能只有结论，要有适当的解题过程）16. 如图，在长方形ABCD 中，AB =5cm ，在边CD 上适当选定一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在边BC 上一点F 处，若△ABF 的面积是30cm 2，求DE ．E AB CD (第16题) F17. 如图，△ABC 中，点D 在BC 上，记△ABD 的面积为1S ，△ACD 的面积为2S ，若12::S S AB AC ，则AD 是△ABC 的角平分线．请说明理由．ABCD (第17题)18. 下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案用4根小木棒搭成1个小正方形，拼搭第2个图案用7根小木棒搭成2个小正方形，……．依此规律拼搭，求：(1) 前2 008个图案中小正方形的总个数；(2) 前n个图案中，小木棒的总根数．第3个第4个第1个第2个(第18题)余杭区2008年“假日杯”初中数学竞赛参考答案和评分标准一、选择题 （共8小题，每小题5分，满分40分） 1. 答案：B解：原式(1)(1)(1)(2)x x x x -+=-+，1x ≠且2x ≠-，所以当1x =-时，分式的值为0．2. 答案：D解：由1256∠=∠=︒，可以推出D B ∥EC ，但无法确定D F 和AC 的位置关系，因此也无法确定A ∠的度数． 3. 答案：C解：因为可以并列名次进入前8名，因此自己的成绩不小于中位数就进入前8名，小于中位数则进不了前8名． 4. 答案：A解：三人20次射击的平均成绩均为8.5环，经计算，甲、乙、丙三名运动员20次射击环数的方差依次为1.05、1.45、1.25，所以甲运动员测试成绩最稳定． 5. 答案：D解：设这两个有理数为x 和y ，则x y xy +=．当1x ≠时，1xy x =-．只要取不等于1的有理数x ，另一个有理数取1xx -，则必满足x y xy +=．所以满足条件的有理数有无穷多对． 6. 答案：D解：符合其主视图和左视图的几何体的小立方块个数可以是4块、5块、6块和7块，但不可能是8块． 7. 答案：B解：连结AD ，DE ，则AD ⊥BC ，DC =3，AD =4，1522DF AC ==．∵ △ADC 的面积为162AD DC ⋅=，其面积又可表示为1522AC DE DE ⋅=． ∴ 125DE =． ∴EF=710=．8. 答案：C解：23“分裂”出的奇数中最大的是22+1=5，33“分裂”出的奇数中最大的是32+2=11，43“分裂”出的奇数中最大的是42+3=19，按此规律，83“分裂”出的奇数中最大的是82+7=71．(第7题)C二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 答案：12解：朝上一面发生的结果总数有4种，即（正，正）、（反，反）（正，反）、（反，正），所以朝上一面恰好出现一正一反的概率是2142=． 10. 答案：如图所示． 11. 答案：600元，600元或700元，500元解：由题设可知，其余两人共捐款1 200元，因为600元是中位数，所以这两人中有一人的捐款数不小于600元，但最多是700元．因此其余两人的捐款数额分别是600元，600元或700元，500元．12. 答案：33°解：过点C 作CH ∥AB ，∠GCD =107°-∠HCD =107°-(180°-130°)=57°， 所以∠FCG =90°-57°=33°． 13. 答案：12S S =解：设大圆的半径是R ，则21S R π=；设两个小圆的半径分别是1r 和2r ，则22212()S r r π=+．由勾股定理，知22212(2)(2)(2)R r r =+，得22212R r r =+．所以12S S =．14.答案：解：所分成的两个三角形是全等的直角三角形，所以原等腰三角形又是等边三角形，设三角形一边长为x，则2221()(22x x +=，4x =，所以三角形的面积是142⨯⨯=三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15．(12分)解：(1) 假设10x =，则众数是10，平均数是10，众数和平均数的差的绝对值是0，不合题意； ……4分 (2) 假设8x =，则众数是8，平均数是9.5，众数和平均数的差的绝对值是1.5，此时中位数是9； ……4分 (3) 假设12x =，则众数是12，平均数是10.5，众数和平均数的差的绝对值是1.5，此时中位数是11． ……4分 综上所述，这组数据的中位数是9或11．（注：只有正确结论对一个给3分）(第10题) H (第12题)AB CD E F G16．(12分)解：∵ △ABF 的面积是`30cm 2，即15302BF ⋅⋅=，12BF =．∴13AF =． ……4分∵ △AFE ≌△ADE ，∴ AF =AD ． 又∵ AD =BC ，∴ AF =BC ．∴ 13121FC BC BF =-=-=． ……4分在Rt △EFC 中，222EF FC CE =+，即2221(5)DE DE =+-． 所以 2.6DE =（cm ）． ……4分17．(12分)解：过D 作DE ⊥AB 于点E ，过D 作DF ⊥AC 于点F ，……4分则112S AB DE =⋅，212S AC DF =⋅． ∵ 12::S S AB AC =， 得AB DE ABAC DF AC⋅=⋅． ∴ DE DF =． ……4分 ∴ AD 是△ABC 的角平分线． ……4分18．(14分)解：(1) 前2 008个图案中，小正方形的总个数为： 1+2+3+…+2 008=2 017 036（个）； ……4分(2) 第1个图案中小木棒的根数为(311)⨯+根， 第2个图案中小木棒的根数为(321)⨯+根， 第3个图案中小木棒的根数为(331)⨯+根，… …第n 个图案中小木棒的根数为(31)n ⨯+根， 所以前n 个图案中，小木棒的总根数为： (311)(321)(331)(31)n ⨯++⨯++⨯+++⨯+……4分3(123)n n =+++++3(1)2n n n =++ ……４分 1(53)2n n =+（根）．……2分2008年11月EABCD (第16题)FＥABCD(第17题)Ｆ。

2008年余杭区“假日杯”小学数学竞赛试题（60分钟）班级 姓名一、填空题：（每题5分，共35分）1、一只挂钟的分针长20厘米，经过45分钟后，这根分针尖端所走过的路程是（ ）厘米，这根分针所扫过的面积是（ ）平方厘米。

2、将一根细绳对折10次，然后拦腰剪断，则这根细线被剪成了（ ）段。

3、把一个圆剪拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是6.28厘米，拼成的长方形的周长是（ ）厘米，这个圆的面积是（ ）平方厘米。

4、要想用天平称出1——280克所有整数克的重量，如果只能在一边放砝码，至少用（ ）个砝码，如果允许两边放砝码，至少用（ ）个砝码。

5、把一个英语单词HELLO 的字母写错了，则可能出现的错误共有（ ）种。

6、把若干个自然数1，2,3,4，……乘到一起如果已知乘积的末尾恰好有13个0，那么最后出现的自然数最小应该是（ ）。

7、数学竞赛题共有15道，规定每做对一题得8分，每做错一题倒扣4分，不做不得分也不扣分。

小华各题均做得72分。

他做对了（ ）道题。

二、计算题：（每题5分，共20分）①1993×19941994—1994×19931993 ②+22+24+26……+258260③+⨯+⨯+⨯151411413113121……+⨯+⨯+⨯201911918118171三、解答题：（每题10分，共40分）1、如图，将圆桶中的水倒入一个直径是40厘米，高为55厘米的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角是45度，要使容器中的水面和圆桶相接触，则容器中水的深度至少应该多少厘米？2.一个三位数的各个数字和是17，其中十位数字比个位数字大1，如果把这个三位数的百位数字和个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大198.求原数。

3.师徒两人加工同样多的零件。

当师傅完成21时，徒弟完成了120个。

当师傅完成任务时，徒弟完成了54，这批零件共有多少个？4.两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了两根蜡烛看书，若干分钟后，电来了，小芳将两只蜡烛同时熄灭。

鸣玉中学校2008年上期八年级数学竞赛试题（本试卷共6页，满分150分，考试时间：120分钟）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母 代号填写在下表相应题号下的方格内1. 若a 为实数，则化简2a 的结果是A . －aB . aC . ±aD . |a | 2．如果1)1(2++-x m x 是完全平方式，则m 的值为A ．－1B ．1C ．1或－1D . 1或－3 3. 如图1，点A 、B 、C 顺次在直线l 上，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点.若想求出MN 的长度，那么只需条件A ．AB ＝12 B ．BC ＝4 C ．AM ＝5D . CN ＝24．在平面直角坐标系y o x 内，已知A (3，－3)，点P 是y 轴上一点，则使△AOP 为等腰三角形的点P 共有A ．2个B ．3个C ．4个D . 5个5．已知关于x 的方程01)2(=-+x b a 无解，那么b a 的值是A ．负数B ．正数C ．非负数D ．非正数 6．一次函数)1(-=x k y 的图像经过点M (－1，－2)，则其图像与y 轴的交点是 A ．（0，－1） B ．（1，0） C ．（0，0） D ．（0，1）图1N MCB l7．如图2，在线段AE 同侧作两个等边三角形△ABC 和△CDE (∠ACE ＜120°)，点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则△CPM 是A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．非等腰三角形8．某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋.已知该队伍有20名同学，统计表如下表.由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到.下列说法中正确的是A ．这组数据的中位数是40，众数是39B ．这组数据的中位数与众数一定相等C ．这组数据的平均数P 满足39＜P ＜40D ．以上说法都不对9． 已知△ABC 的三个内角的比是m ∶(m ＋1) ∶(m ＋2)，其中是m 大于1的正整数，那么△ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形10. 某商店有5袋面粉，各袋重量在25～30公斤之间，店里有一磅秤，但只有能称50～70公斤重量的秤砣，现要确定各袋面粉的重量，至少要称A ．4次B ．5次C ．6次D . 7次二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分45分）11．如果不等式组⎩⎨⎧<->-001a x x 无解，则a 的取值范围是____________．12．已知1=-b a ，122-=-b a ，则=-20082008b a_________．13．分解因式：=+++++2)6)(3)(2)(1(x x x x x . 14．小丁、小明、小倩在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序.他们约定用“剪子、布、锤子”的方式确定.那么在一个回合中三个人都出“布”的概率是_________．15．已知a 、b 为实数，且1=b a ，1≠a ，设11+++=b b a a M ，1111+++=b a N ，则N M -的值等于________．图2 ABCDPM16. 已知511=+y x ，则y xy x y xy x +++-2252= .17. 一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图、左视图如图6所示，要摆成这样的图形，至少需用______块小正方体18. 若在凸n (n 为大于3的自然数)边形的内角中，最多有M 个锐角，最少有m 个锐角，则M= ； m= .19.计算机将信息转换成二进制数来处理.二进制是“逢二进一”，如二进制数(1101)2转换成十进制数是1³23＋1³22＋0³21＋1³20=13，那么二进制数212005)111111( 个转换成十进制数是 ___________.三、解答题(本大题满分45分，每小题15分)20. 某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？图6主视图左视图21. 如图7，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分∠BAF 交BC 边于点E ．（1）求证： AF ＝DF ＋BE ．（2）设DF ＝x （0≤x ≤1），△ADF 与△ABE 的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S . 若不存在，请说明理由．图7ABC DEF22、⑴如果a 是小于20的质数，且a 1可化为一个循环小数，那么a 的取值有哪几个？ ⑵如果a 是小于20的合数，且a 1可化为一个循环小数，那么a 的取值有哪几个？参考答案一、1. D 2. D 3. A 4. C 5. D 6. A 7. C 8. C 9.A 10. B二、11. a ≤1 12. －1 13. 14.271 15. 0 16. 75 17. 5218.3 ; 0 19. 22005－1 解答提示：1．∵ 当a ＜0时，2a ＝|a |＝－a . 故选D ． 2．21±=+m ，解得1=m 或3-=m . 故选D ．3.()AB BC AC BC AC NC MC MN 21212121=-=-=-=，∴只要已知AB 即可.故选A ． 4. 分别以点A 、O 、P 三点为等腰三角形的顶点三种情况考虑．5. 关于x 的方程01)2(=-+x b a 无解，则02=+b a . ∴有0==b a 或者a 、b 异号，故选D ．6. ∵一次函数)1(-=x k y 的图像经过点M (－1，－2)，则有()211-=--k ，解得1=k .所以函数解析式为1-=x y .令0=x 代入得1-=y .故其图像与y 轴的交点是(0，－1).故选A ．7.易得△ACD ≌△BCE .所以△BCE 可以看成是△ACD 绕着点C 顺时针旋转60°而得到的.又M 为线段AD 中点，P 为线段BE 中点，故CP 就是CM 绕着点C 顺时针旋转60°而得.所以CP ＝CM 且，∠PCM ＝60°，故△CPM 是等边三角形，选C ．8.（1）由中位数及众数的意义以及表格可知当这组数据的中位数是40时，众数必然是40，所以A 错误.（2）当39码与40码的人数都是5时，中位数与众数不等，所以B 错误.（3）假设剩余10人全部穿39码鞋，可得平均数为39.35；假设剩余10人全部穿40码鞋，可得平均数为39.85.可以判断C 正确.（或者设穿39码鞋的有x 人，且由0≤x ≤10也可得解） 故选C ．9. ∵ 62121OC OD 21OCAD ==⋅=⋅=k y x S A A 正方形，∴ 62121OF OE 21B B OCAD ==⋅=⋅=k y x S 长方形 ，故选B ． 10.拿出任意三袋，假设它们的重量分别为x 千克、y 千克、z 千克，两两一称，记录下相应的重量，若分别等于a 千克、b 千克、c 千克，则有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+c x z b z y ay x 容易求出x 、y 、z ；另外两袋分别与已知重量的其中一袋一起称，即可求出其重量.所以需要称5次，故选B ．11．解不等式组⎩⎨⎧<->-01a x x 得⎩⎨⎧<>a x x 1，因为原不等式组无解，所以必有a ≤1．12．∵ ()()122-=-+=-b a b a b a ，又1=-b a ，则1-=+b a∴ ⎩⎨⎧=--=+11b a b a ，解得⎩⎨⎧-==1b a . 故()1102008200820082008-=--=-b a ．13. 设菱形ABCD 的边长为x ，则AB ＝BC ＝x ，又EC ＝2，所以BE ＝x －2，因为AE ⊥BC 于E ，所以在Rt △ABE 中， cosB x x 2-=，又cosB 54=，于是542=-x x ，解得x ＝10，即AB ＝10．所以易求BE ＝8，AE ＝6，当EP ⊥AB 时，PE 取得最小值． 故由三角形面积公式有：21AB ²PE ＝21BE ²AE ，求得PE 的最小值为4.8 ．14．用树状图列出一个回合中三个人所出手势的各种结果．上面只画出树状图的一部分（列出9种结果），把图中小丁的“剪”改为“布”重复上述画法，可再列出9种结果，最后改为“锤”同样也列出9种结果，所以共有27种结果，故求得P （布，布，布）＝27115．∵1=b a ，1≠a ，∴ =+++=+++=+++=)1()1(11a b b b a a b a b b b a a a b b a a M N b a =+++1111． ∴ N M -＝0．17.小正方体个数最少情况如图所示（图中数字表示该位置小正方体的个数）所以最少为5块．三、19．因为100³0.9＝90＜94.5＜100，300³0.9＝270＜282.8，所以有两种情况：设小美第二次购物的原价为x 元，则（x －300）³0.8＋300³0.9＝282.8解得，x ＝316 情况1： 小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元 则小丽应付（316＋94.5－300）³0.8＋300³0.9＝358.4（元）情况2： 小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元； 则第一次购物原价为：94.5÷0.9＝105（元）所以小丽应付（316＋105－300）³0.8＋300³0.9＝362.8（元）．20．（1）证明： 如图，延长CB 至点G ，使得BG ＝DF ，连结AG . 因为ABCD 是正方形，所以在Rt △ADF 和Rt △ABG 中，AD ＝AB ，∠ADF ＝∠ABG ＝90°，DF ＝BG ． ∴ Rt △ADF ≌Rt △ABG （SAS ），∴AF ＝AG ，∠DAF ＝∠BAG . 又 ∵ AE 是∠BAF 的平分线俯视图 2 1 2剪 剪 剪 布 锤布 剪 布 锤 锤 剪 布 锤 小丁 小明 小倩 A B CE P∴∠EAF ＝∠BAE ， ∴ ∠DAF ＋∠EAF ＝∠BAG ＋∠BAE 即∠EAD ＝∠GAE ．∵ AD ∥BC ，∴∠GEA ＝∠EAD ，∴∠GEA ＝∠GAE ，∴ AG ＝GE . 即AG ＝BG ＋BE .∴ AF ＝DF ＋BE ，得证．（2）AB BE AD DF S S S ABE ADF ⋅+⋅=+=∆∆2121∵ AD ＝AB ＝1， ∴ )(21BE DF S +=由（1）知，AF ＝DF ＋BE ， 所以AF S 21=．在Rt △ADF 中，AD ＝1，DF ＝x ， ∴12+=x AF ，∴1212+=x S ．由上式可知，当x 2达到最大值时，S 最大.而0≤x ≤1，所以，当x ＝1时，S 最大值为2211212=+x ．22、⑴小于20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19 （2分） 除了2和5以外，其余各数的倒数均可化为循环小数， （4分） 所以a 可以取：3，5，7，11，13，17，19。

2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛模拟试题（本卷满分120分，考试时间120分钟，允许使用科学计算器。

）一、选择题（共8小题，每小题5分，计40分。

每小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且只有一个正确，请将它前面的代号填入题后的括号内，多选、少选、不选皆不得分。

）1．关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根为2和3，则方程ax 2－bx －c=0的根为（ ） A . －2，－3 B. －6，1 C.2，－3 D. －1，6 2．已知动点P 在边长为2的正方形ABCD 的边上沿着A －B －C －D 匀速运动，x 表示点P 由A 点出发所经过的路程，y 表示△APD 的面积，则y 和x 之间函数关系的图像大致为 （ ）A B C D3．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若所得的和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。

那么，所有的三位数中，“奇和数”有多少个？ （ ） A.200 B.120 C.160 D.100 4．设a 、b 、c 均为正数，若ac bc b a b a c +<+<+，则a 、b 、c 三个数的大小关系是 （ ）A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a5．三角形的三内角A 、B 、C 的对边长分别是a 、 b 、 c(a 、 b 、 c 都是素数)，且满足a ＋b ＋c ＝16，又设∠A 是最小内角。

则cosA 的值是（ ） A .71 B .72 C.4947D.条件不足，无法计算 6．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割．在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉．如果某女士身高为1.60m ，躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为 （ ） Ａ．2.5cm Ｂ．5.1cm Ｃ．7.5cm Ｄ．8.2cm 7．如图2，一个边长分别为3cm 、4cm 、5cm 的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD 、DC 上，那么这个正方形的面积是（ ）。

余杭区2008年“假日杯”中小学网络应用能力竞赛试题小学组学校姓名得分注意事项：1、全卷共100分，考试时间为60分钟。

2、利用因特网完成题目。

3、答案直接做在本文档中，凡由答题者输入的文字一律以红色加粗显示，完成后请将文档排版，总页数控制在4页以内（2分）。

4、试卷做完后，将本文档改名为：“学校名称＋队名.doc”，例如：“××中心小学一队”。

并上传到本组的专用FTP内，同时删除其余所有文件。

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●一、填空题：（20分）1、2008年3月24日北京奥运会的圣火在希腊奥林匹亚点燃后，担当第一火炬手的是亚历山大·尼克拉泽斯（中文全名），而首位传递奥林匹克圣火的中国人是罗雪娟。

2、参加第十一届全国人民代表大会的浙江代表人数为90名，参加政协第十一届全国委员会的委员中中国民主同盟会员人数有65名。

3、余杭教育网网站的备案证编号是浙ICP备05053615号。

4、2008年3月29日晚“铁榔头”郎平带队美国女排战胜浙江开元女排，比分为3比2，第四局美国女排与浙江开元女排的比分是23：25。

5、2007年中国篮球运动员易建联被密尔沃基雄鹿选中进入NBA打球，至2008年3月31日在49场比赛中首发，第26场首发是雄鹿与夏洛特山猫队（哪支球队）的比赛，在该场比赛中共得分29分。

四、（1）请你写出杭州地铁1号线路所行驶的路线及路过的地方？（8分）1号线的走向看，总长52.4公里的地铁1号线是一条“Y”状半环形骨干线，其两条支线以九堡为支点，分别到达临平和下沙。

1号线到九堡以后，向西到火车东站，再沿天城路、文晖路向西到武林广场一带，然后沿延安路往南到西湖大道，经城站火车站后，向东南过江后往南至西兴镇，终点至湘湖旅游度假区。

这一路将经过濮家新村、机神新村、艮山流水苑、和平小区、朝晖二区、朝晖一区、武林街道、天水街道、定安苑、源茂里、长明寺巷、近江小区。

bECDB2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分） 1．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是( )（A ）7.5秒 （B ）6秒（C ）5秒 （D ）4秒 解：答案：【D 】设高速列车和普通列车的车速分别为x 米/秒和y 米/秒，则100520(/)x y m s -=÷=，所以坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是：80÷20=4(秒)2．将一张边长分别为a ，b )(b a >的矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕的长为( )（A （B（C （D 解：答案：【A 】CPE CBA ∆∆2PE CP CP PE AB AB BC BC a⇒=⇒==2EF PE ⇒==3．如图，设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白 两个甲壳虫同时从A 点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB →BB 1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n n 与第2+条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：答案：【C 】 黑甲壳虫爬行的路径为：111111111......AA A D D C C C CB BA AA A D →→→→→→→→ 白甲壳虫爬行的路径为：111111111......AB BB B C C D D A A A AB BB →→→→→→→→(第3题)ABCD A 1B 1C 1D 1黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径，因2008=334×6+4，所以当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止时，黑甲壳虫停在点C ，白甲壳虫停在点D 1，因此1CD =4．设m ，n 是正整数，满足m ＋n ＞mn ，给出以下四个结论：① m ，n 都不等于1； ② m ，n 都不等于2；③ m ，n 都大于1；④ m ，n 至少有一个等于1．其中正确的结论是（ ） （A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④ 解：答案：【D 】 由m n mn +>，得(1)(1)1m n --<，因m ，n 是正整数，所以(1)(1)0m n --=， 即11m n ==或5．小明按如图所示设计树形图，设计规则如下：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成120°的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法，在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作到第10层．则树形图第10层的最高 点到水平线的距离为（ ） （A ）11024 （B ）17041024（C ）17051024（D ）2 解：答案：【C 】设第n 层的最高点到水平线的距离记为：(1,2,,10)n a n =由题意，得224412132435411111;();();();();2222a a a a a a a a a ==+=+=+=+66106576109111();();;();222a a a a a a =+=+=+把这10条式子左右相加，得2468101010111111170512[()()()()()]()2222221024a =+⨯++++-=6．有10条不同的直线n n b x k y +=（n = 1，2，3，…，10），其中369k k k ==，47100b b b ===，则这10条直线的交点个数最多有（ ）（A ）45个 （B ）40个 （C ）39个 （D ）31个 解：答案：【B 】如图，满足已知条件的6条直线至多有10这6条直线最多有6个交点，再增加一条直线与前7交点，……一直增加到第10条直线与前9条直线最多有9个 交点，所以这10条直线的交点个数最多有：10+6+7+8+9=40(个二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．在平行四边形ABCD 的边AB 和AD 上分别取点E 和F ， 使13AE AB =，14AF AD =，连结EF 交对角线AC 于G ，则AC的值是 ． 水平线第一层 第二层 第三层 第四层（第5题）x ，y ，zz y x ++11，x z y ++11,yx z ++11 （第10题）M解：答案：17如图，1//33AE AF AB CD DM AE DM FD ⇒==⇒=113367AG AE AE AE AG GC CM CD DM AEAE AC ∴====⇒=++ 8的圆过一个半径为2的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 ． 解：答案：2连结OO 1， AB ，则有OO 1⊥AB 于点P ，在1Rt APO Rt APO ∆∆和中，222222222111112)AP AO OP O A O P O P O P O P =-=-⇒-=-⇒即点O 1在AB 上与点P 重合，易知AB 是圆O 1的直径，三角形ABO 是直角三角形. 所以222111=(22)2242S ππ⨯⨯-⨯⨯-⨯=阴影 9．已知y =26x mx +-，当1≤m ≤3时，y ＜0恒成立，那么实数x 的取值范围是． 解：答案：332x -<<由26<0x mx +-，22mmx +-<<=解得-当1≤m ≤3时，1=3 22m +-则 -的最大值为-； 所以，当1≤m ≤3时，y ＜0恒成立，即260x mx +-<恒成立时， x 的取值范围是3x -<<. 10．如图是一个数的转换器，每次输入3个不为零的数，经转换器转换后输出3个新数，规律如下：当输入数分别为x ，y ，z 时，对应输出的新数依次为z y x ++11，x z y ++11，yx z ++11．例如，输入 1，2，3，则输出56，34，23. 那么当输出的新数为31，41，51时，输入的3个数依次为 ．（第8题）解：答案：1111 1132，， 2221112=333()1113=4()3(0)425()26111=5x y z kx k x y z xy xz x y z xy k xy yz x y z yz k y k k y z x yz xz x y z xz k z k z x y ++=⎧⎧+=⎪⎪+⎪+=++=⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪+⇒+=++−−−−→=⇒=>⎨⎨⎨⎨+⎪⎪⎪⎪+=++=⎩⎩⎪⎪=+⎪⎪⎩+⎩令1111,,1132k x y z x y z ⇒=++=++=++⇒=== 11．10张卡片上分别写有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相邻两张卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换．若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至多经过 次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列． 解：答案：45记2n ≥张卡片至多经过n a 次操作后，能将它们按从小到大顺序排列，则232431091;2;3;............9.a a a a a a a ==+=+=+ 所以10123.....945a =++++=12．设整数a 使得关于x 的一元二次方程255261430x ax a -+-=的两个根都是整数，则a 的值是 ．解：答案：18. 由题意，得222255202860(552)156()a a a k k N ∆=-+=-+=∈即22(552)156[(552)][(552)]782262ka k a k a --=⇒+-⨯--=⨯=⨯因为[(552)][(552)]ka k a +---和具有相同的奇偶性且[(552)][(552)]2k a k a k +---=≥+0故(552)=78(552)=26(552)=2(552)=6(552)=2(552)=6(552)=78(552)=26k a k a k a k a k a k a k a k a +-+-+-+-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨--------⎩⎩⎩⎩或或或 解得，只有=40=18k a ，符合题意。