北师大版八年级数学下第一章三角形的证明第二节直角三角形第2课时(任思安)

第2课时直角三角形全等的判定1．掌握并利用“HL”定理解决实际问题．2．能用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形．3．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力，培养学生思维的灵活性与开放性．重点直角三角形“HL”判定定理的理解及运用．难点证明“HL”定理的思路的探究和分析．一、复习导入1．前面我们学习了判断两个三角形全等的方法，你还记得有哪几种吗？2．通过以上方法我们可以看出判断两个三角形全等，已知条件中至少有一条边对应相等．如果在两个三角形中已知两边对应相等时，附加一个什么条件可以说这两个三角形全等？3．如果附加的条件是其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形还全等吗？你能画图举例说明吗？师：如果其中一边所对的角是直角，那么这两个三角形全等吗？让我们带着这个问题来继续学习直角三角形．二、探究新知1．猜想师：如果在两个直角三角形中，已知斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等吗？处理方式：引导学生思考讨论，教师点拨．学生意见会不统一，有的认为全等，有的认为不一定全等．2．探究课件出示教材第18页“做一做”．已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形．已知：如图，线段a，c(a<c)，直角α.求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c.画图过程展示：(1)作∠MCN＝∠α＝90°；(2)在射线CM截取CB＝a；(3)以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A；(4)连接AB，得到Rt△ABC.思考：通过刚才的画图，你有什么发现？3．总结师：你们所画的三角形都有哪些已知的相等量？你能得出什么结论？板书：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等．4．证明师：你能证明这个命题是真命题吗？处理方式：学生先在小组内交流，然后独立写出已知、求证，并证明．完成后教师用多媒体展示学生的证明过程，并及时地评价，同时规范解题过程．证明过程展示：已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′.证明：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理)．同理，B′C′2＝A′B′2－A′C′2(勾股定理)．∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′ (SSS)．师：通过以上证明，我们可以得出命题“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”是一个真命题．我们把这一定理简述为“斜边、直角边”或“HL”．三、举例分析例(课件出示教材第20页例题)处理方式：引导学生分析，并能用数学语言清楚地表达自己的想法，教师对学生的回答进行点评，示范解题过程．分析：本题主要利用“斜边、直角边”定理解决实际问题．依据已知条件，只需证明Rt△ABC≌Rt△DEF，再利用直角三角形的性质即可得出∠B和∠F的大小关系．解：根据题意，可知∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．∴∠B＝∠DEF.∵∠DEF＋∠F＝90°，∴∠B＋∠F＝90°.四、练习巩固1．如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来．2．如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形．五、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？六、课外作业1．教材第20页“随堂练习”第1、2题．2．教材第21页习题1.6第1～5题．本节课讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅使学生进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了他们演绎推理的能力。

2 直角三角形第2课时【教学目标】知识技能目标1.掌握证明直角三角形全等的“HL”判定定理,进一步理解证明的必要性.2.利用“HL”定理解决实际问题.过程性目标进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力.情感态度目标在探究性学习中培养刻苦钻研、实事求是的态度,勇于探索创新的精神,增强学生的自主性和合作精神.【重点难点】重点:掌握判定直角三角形全等的条件;并能运用直角三角形全等解决一些简单的实际问题.难点:证明“HL”定理的思路的探究和分析.【教学过程】一、创设情境1.判断两个三角形全等的方法有哪几种?2.已知一条边和斜边,求作一个直角三角形.想一想,怎么画?同学们相互交流.设计意图:通过动手实践培养学生观察、比较、交流的能力,得到猜想.由此发现判定直角三角形全等的一种特有方法.教师顺水推舟,询问能否证明:“在两个直角三角形中,直角所对的边(即斜边)和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.”,从而引入新课.二、探究归纳(1)证明“HL”定理.已知:在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,AB=A′B′,BC=B′C′.求证:Rt△ABC≌Rt△A′B′C′证明:在Rt△ABC中,AC2=AB2-BC2(勾股定理).又∵在Rt△A′B′C′中,A′C′2=A′B′2-B′C′2 (勾股定理).AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′.∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SSS).定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示.例1:(课本P20例)设计意图:通过利用“HL”定理来解决实际问题,使学生体会数学结论在实际中的应用.要求学生不仅能用数学语言清楚地表达出自己的想法,还能将解题过程规范地书写出来.例2:判断下列命题的真假,并说明理由.(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等.(2)斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等.(3)两条直角边分别相等的两个直角三角形全等.(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.设计意图:通过本组练习,训练证明直角三角形全等的多种方法.三、交流反思本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.而当一边的对角是直角时,这两个三角形是全等的,从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理,并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题,不仅进一步掌握了推理证明的方法,而且发展了同学们演绎推理的能力.同学们这一节课的表现,很值得继续发扬光大.四、检测反馈1.在△ABC中,∠C=90°,AD为角平分线,BC=32,BD∶DC=9∶ 7,则点D到AB的距离为( )A.18 cmB.16 cmC.14 cmD.12 cm2.在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等,则点P应是△ABC的哪三条线交点.( )A.高B.角平分线C.中线D.边的垂直平分线3.已知,如图,在△ABC中,AB=AC,AD是角平分线,BE=CF,则下列说法正确的有几个( )①AD平分∠EDF;②△EBD≌△FCD;③BD=CD;④AD⊥BC.A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图,在△ABC和△ABD中,∠C=∠D=90°,若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD,则需要加条件________或________; 若利用“HL”证明△ABC≌△ABD,则需要加条件________或________.5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=6 cm,则△DEB的周长为________ cm.五、课后作业P21 习题1.6 第3,4,5题六、板书设计证明“HL”定理…………例题板书…………七、教学反思本节HL定理的证明学生掌握得比较好,定理的应用方面灵活性较强,给教师和学生发挥的余地较大,所以学生积极性非常高,作为教师要充分利用好这个资源,可以达到一题多解,举一反三的效果.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

第一章三角形的证明2．直角三角形（二）一、学情分析学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前，已经掌握了一般三角形全等的判定方法，在本章的前一阶段的学习过程中接触到了证明三角形全等的推论，在本节课要掌握这个定理的证明以及利用这个定理解决相关问题还是一个较高的要求。

二、教学任务分析本节课是三角形全等的最后一部分内容，也是很重要的一部分内容，凸显直角三角形的特殊性质。

在探索证明直角三角形全等判定定理“HL”的同时，进一步巩固命题的相关知识也是本节课的任务之一。

因此本节课的教学目标定位为：1．知识目标：①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性②利用“HL’’定理解决实际问题2．能力目标：①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习提问；第二环节：引入新课；第三环节：例题讲解；第四环节：练一练；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业。

1：复习提问1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。

想一想，怎么画？同学们相互交流。

3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。

教师顺水推舟，询问能否证明：“在两个直角三角形中，直角所对的边即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．”，从而引入新课。

2：引入新课(1).任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90 °, B′C′=BC ,A ′B′= AB ,把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？（2）．“HL”定理．由师生共析完成已知：在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′证明：在Rt △ABC 中，AC=AB 2一BC 2(勾股定理)．又∵在Rt △ A' B' C'中，A' C' =A'C'=A'B'2一B'C'2 (勾股定理)．AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．∴Rt △ABC ≌Rt △A'B'C' (SSS)．教师用多媒体演示：定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．练一练：判断下列命题的真假，并说明理由：判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ）（3）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（4）两直角边对应相等； （ ）（5）一条直角边和斜边对应相等．3：例题讲解：例1:如图，AC ⊥BC ， BD ⊥AD ,AC ﹦BD . 求证：BC ﹦AD例2：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度A 'B'C 'C B ADF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．4：随堂练习：如图，AB=CD, BF⊥A C,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE5：课时小结本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力．同学们这一节课的表现，很值得继续发扬广大．6：课后作业习题1．6第3、4、5题四、教学反思本节HL定理的证明学生掌握得比较好，定理的应用方面尤其是“议一议”中的该题灵活性较强，给教师和学生发挥的余地较大，该题是一个开放题，结论和方法并不惟一，所以学生积极性非常高，作为教师要充分利用好这个资源，可以达到一题多解，举一反三的效果。

第一章 三角形的证明 直角三角形(2)教学设计【课题】 第一章 三角形的证明 直角三角形（2）【教材】 义务教育教科书北师大版八年级下册教学目标1．探索直角三角形全等的判定方法，通过尺规作图获得判断直角三角形全等特殊判定方法（“斜边、直角边”或“HL”定理），并能证明“HL ”定理。

2.会运用“HL”定理解决与直角三角形有关的问题。

教学重点、难点1．教学重点直角三角形“HL ”全等判定定理。

2．教学难点证明“HL ”定理的思路的探究和分析教学方法探究式教学与讲练结合法教学过程一．回顾与思考1．判断三角形全等的方法：SSS 、 SAS 、 ASA 、 AAS2．如图，Rt ABC 中，直角边 、 ，斜边 。

3．如图，AB ⊥BE 于B ，DE ⊥BE 于E ，（1）若∠A=∠D ，AB=DE ，则△ABC 与△（2）若∠A=∠D ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （ ）（3）若AB=DE ，BC=EF ，则△ABC 与 △DEF （ ）（4）若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF 则△ABC 与△DEF （ ）二．创设情境，引入新课1．思考：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定全等吗？如图：由图⑴和图 C ⑴ C ⑵ ⑶A B C⑵可知，这两个三角形全等；由图⑴和图⑶可知，这两个三角形不全等；因此，两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等（SSA）2.如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.提问：你能帮他想个方法吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角(AAS)方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA)或(AAS)问题：（分小组讨论）（1）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？（2）工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.为什么呢？三．做一做（合作探究）动手做一做：已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C=∠α，CB=a，AB=c acαA 'B'C 'C B A结论总结：通过尺规作图引导学生获得判断直角三角形全等特殊判定方法：斜边、直角边（HL ） 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

1.2直角三角形 （第 2课时）【学习目标】课标要求：1进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

2、能够证明直角三角形全等的“HL ”判定定理既解决实际问题。

目标达成：1明确“HL ” 定理的证明2会用所学公理及定理证明两个直角三角形全等学习流程：【课前展示】1、三角形全等的判别方法有：（基本事实） 、 、 ，定理 ；2、如图，BE 和CF 是△ABC 的高，它们相交于点O ，且BE=CD ，则图中有 对全等三角形，其中能根据“HL ”来判定三角形全等的有 对．3．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC ＝EF ），左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝___________度．4．使两个直角三角形全等的条件是（ ）A ．一个锐角对应相等B ．两个锐角对应相等C ．一条边对应相等D 。

一直角边和斜边对应相等思考:“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是 。

它是真命题吗？【创境激趣】想一想：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一边所对的角是A B C ED （第2题） OE C直角呢？请证明你的结论。

【自学导航】1、见教材23--24页全等直角三角形的判定（HL）应用2 、议一议：3、练习题【合作探究】1、HL的证明2、23页做一做1、已知：如上图，AD、BC交于点O，且OB=OA．∠ACB=∠BDA=90°,求证：△ACB≌△BDA．证明：在Rt△ACO和Rt△BDO中∵A O=BO，∠ACB=∠BDA=90°∠AOC=∠△BOD(对顶角相等)，∴△ACO≌△BDO(AAS)．∴AC=BD．又∵AB=AB，∴△ACB≌△BDA(HL定理)．【强化训练】1、一、填空题1.如下图，Rt△ABC和R t△DEF，∠C=∠F=90°（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.（5）若AC=DF，CB=F E，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.DC A OB2.如右图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________.3.已知：如图（1），AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△__________≌△__________（HL）.（1）（2）（3）4.已知：如图（2），BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=__________.5.已知：如图（3），AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=（__________）°.二证明题1.如下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：CD=CB.2如下图，已知∠ABC=∠AD C=90°，E是AC上一点，AB=AD，求证：EB=ED.【归纳总结】1、本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力．同学们这一节课的表现，很值得继续发扬广大．【板书设计】全等直角三角形的判定（HL）应用2 、议一议：例解【教学反思】。