第十七章 多元函数微分学
一、证明题
1. 证明函数
⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.
2. 证明函数
⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222
在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微.
3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续.
4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有
x y
1y x arctg ++≈x+y. 5. 试证:
(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;
(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.
6.设Z=()
22y x f y -,其中f 为可微函数,验证 x 1x
Z ∂∂+y 1y Z ∂∂=2y Z . 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明:
x Z ∂∂ sec x + y Z ∂∂secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换
x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ
之下.()2x f +()2
y f 是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ).
则必有()2x f +()2y f =()2u g +()2
v
g .(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数,
F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),
试求:F x (0,0)与F g (0,0)
10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式
F(tx,ty,tZ)=t k (x,y,z)(t>0)
则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是:
()z ,y ,x x F x +()z ,y ,x yF y +()z ,y ,x ZF x =KF(x,y,z).
并证明:Z=xy y x xy 222
-+为二次齐次函数.
11..设f(x,y,z)具有性质f ()
Z t ,y t ,tx m k =f t n (x,y,z)(t>0) 证明:
(1) f(x,y,z)=⎪⎭⎫ ⎝⎛m k n x Z ,x y ,
1f x ; (2) ()z ,y ,x x f x +()z ,y ,x kyf y +()z ,y ,x m zf z =nf(x,y,z).
12.设由行列式表示的函数
D(t)=()()()
()()()
()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n 2n 22211n 1211⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
其中()t a ij (i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明
()dt t dD =∑=n 1k ()()()
()()()()()()
t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n k n k 21k 1n 1211⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅''⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 13.证明:
(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);
(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数);
(3) grsdu v=u grad v+v grsd u;
(4) grad f(u)=f '(u)grad u.
14.设f(x,y)可微,L 1与L 2是R 2上的一组线性无关向量,试证明;若()0,≡y x f i λ(i=1,2)则f(x,y)≡常数.
15.通过对F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理,证明对某∈θ (0,1),有
43=6cos 3cos 3πθπθπ6
sin 3sin 6πθπθπ-. 16.证明:函数 u=()t a 4b x 22
e t a 21
--π(a,b 为常数)
满足热传导方程:t
u ∂∂=222x u a ∂∂ 17.证明:函数u=()()22b y a x ln -+-(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程:22x u ∂∂+22y
u ∂∂=0. 18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程: 22x u ∂∂+22y
u ∂∂=0.则函数V=f(22y x x +,22y x y +)也满足此方程. 19.设函数u=()()y x φ+ϕ,证明:
⋅∂∂x u y x u 2∂∂∂=⋅∂∂y u 2
2x u ∂∂. 20.设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0) 的某领域内存在,f yx 在点(x 0,y 0)连续,证明f xy (x 0,y 0)也存在,且f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0),
21.设f x ,f y 在点(x 0,y 0)的某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微,则有
f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0)
二、计算题
1.求下列函数的偏导数:
(1) Z=x 2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=22y x 1
+;
