不等式的性质(2)

不等关系与不等式(理科)一、考点梳理1．两个实数大小关系的比较两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b.另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；ab ＜1⇔a ＜b.2．不等式的性质(1)对称性：如果a>b ，那么b<a. (2)传递性：如果a>b ，b>c ，那么a>c. (3)可加性：如果a>b ，那么a ＋c>b ＋c.(4)可乘性：如果a>b ，c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b ，c>d ，那么a ＋c>b ＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)可乘方性：如果a>b>0，那么a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．(8)可开方性：如果a>b>0∈N ，n ≥2)． 3．不等式的一些常用性质 (1)倒数性质： ①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b .②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b .③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd.④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a .(2)有关分数的性质 若a ＞b ＞0，m ＞0，则 ①真分数的性质：b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)； ②假分数的性质：a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m (b －m ＞0)． 二、例题解析 考向一 比较大小【例1】►已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．【训练1】 已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )． A ．M<N B ．M>N C ．M ＝N D ．不确定考向二 不等式性质的简单应用【例2】►(1)(2012·上海十三校联考)若1a <1b <0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a<b ，③a＋b<ab ，④a 3>b 3，则不正确的不等式的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)设a ，b 是实数，则“0＜ab ＜1”是“b ＜1a ”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【训练2】 已知三个不等式：①ab ＞0；②bc ＞ad ；③c a ＞db .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3考向三 不等式性质的综合应用【例3】►已知函数f(x)＝ax 2＋bx ，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．【训练3】 若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．三、课后练习1．(2011·浙江)若a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“a<1b 或b>1a ”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2013·保定模拟)已知a>b ，则下列不等式成立的是( )． A ．a 2－b 2≥0 B ．ac>bc C ．|a|>|b|D ．2a >2b3．(2012·晋城模拟)已知下列四个条件：①b>0>a ，②0>a>b ，③a>0>b ，④a>b>0，能推出1a <1b 成立的有( )． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2010江苏12）设实数x,y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是_____▲____5.(2010辽宁文15)．已知－1＜x+y ＜4且2＜x －y ＜3，则z=2x －3y 的取值范围是6．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________．7．(13分)已知f(x)＝ax 2－c 且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．8．(2012·泉州一模)已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调减函数，α，β，γ∈R，且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，则f(α)＋f(β)＋f(γ)与0的关系是________．9．(2011·安徽)(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy；(2)设1＜a≤b≤c，证明log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c.基本不等式及应用（理科）一、知识归纳： 1．基本不等式：①重要不等式：如果R b a ∈,，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立；②基本不等式0,0>>b a ，ab ba ≥+2，当且仅当b a =时，等号成立； 变形：ab b a 2≥+，ab b a ≥+2)2(，2≥+abb a两个正数的算术平均不小于它们的几何平均，即2a b+≥③三个正数的算术-几何平均不等式：如果,,a b c R +∈，则3a b c ++≥当b a ==c 时，等号成立；推广到一般情形：对于n 个正数12,,,n a a a 它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即12n a a a n+++≥ 12n a a a === 时，等号成立2．最值问题： 已知y x ,是正数，①如果积xy 是定值P ，则当y x =时，和y x +有最小值P 2； ②如果和y x +是定值S ，则当y x =时，积xy 有最大值241S . 利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。

二、学习要点：1．掌握基本不等式的结构特点，利用基本不等式可以求涉及和、积结构的代数式的最值，难点在于定值的确定。

2．基本不等式的应用在于“定和求积、定积求和”。

必要时可以通过变形（拆补）、运算（指、对数等）构造定值。

3．只有在满足“一正、二定、三等”条件下，才能取到最值。

4．基本不等式的主要应用有：求最值、证明不等式、解决实际问题。

三．考纲要求：均值不等式是高考的热点，主要考查命题的判定，及求最值等问题。

四、例题分析：例1．已知0<x ，则xx 432++的最大值是_______.例2．已知0,0>>y x ，且082=-+xy y x ，求（1）xy 的最小值；（2）y x +的最小值。

例3．求下列函数的最小值（1）)1(11072->+++=x x x x y（2）已知0,0>>y x ，且,1243=+y x 求y x lg lg +的最大值及相应的x ，y 的值。

例4．某村计划建造一个室内面积为8002m 的矩形蔬菜温室。

在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。

当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。

最大种植面积是多少五、练习1．设R b a ∈,，且3=+b a ，则b a 22+的最小值是A ．6B ．24C ．22D ．62 2．下列结论正确的是 A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B ．21,0≥+>xx x 时当C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 3．下列函数中最小值是4的是 A ．x x y 4+= B ．xx y sin 4sin += C ．x x y -++=1122 D ．0,31122≠+++=x x x y4．若y x ,是正实数， 则)41)((yx y x ++的最小值为 A ．6 B ． 9 C ． 12 D ． 15 5．若正数b a 、满足3++=b a ab ，则b a +的取值范围是 A ．),9[+∞ Ｂ．),6[+∞ C ．]9,0( D ．)6,0(6（2010重庆） 已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则y x 2+的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．29 D ．211 7（2010四川文11）．设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．若关于x 的方程043)4(9=+⋅++xxa 有解，则实数a 的取值范围是 A ．),0[]8,(+∞⋃--∞ B ．]4,(--∞ C ．]4,8(- D ．]8,(--∞ （二）、填空题：9．点),(n m 在直线1=+y x 位于第一象限内的图象上运动，则n m 22log log +的最大值是____________. 10．函数)1)(511(log 3>+-+=x x x y 的最小值是_____________.11. (2010安徽文15)．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 .(写出所有正确命题的编号)． ①ab≤1； ②2≤+b a ； ③a 2+b 2≥2； ④a 3+b 3≥3； ⑤211≥+ba ．12．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：（1）仓库面积S 的最大允许值是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？一元二次不等式的解法（理科）重点：一元二次不等式的解法 难点：不等式的等价变形 考纲要求：1． 会从实际问题中抽象出二元一次不等式组模型2． 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程的联系。

知识导学1. 一元一次不等式ax>b (1)当a>0时，解为a b x >；(2)当a ＜0时，解为abx <；(3)当a ＝0，b ≥0时无解；当a ＝0，b ＜0时，解为R ．2. 一元二次不等式：a ．一元二次不等式的解法Ⅰ 将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)． Ⅱ 计算相应的判别式．Ⅲ 当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．Ⅳ 利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． b ．三个“二次”间的关系3.分式不等式：先整理成)()(x g x f ＞0或)()(x g x f ≥0的形式，转化为整式不等式求解，即： )()(x g x f ＞0⇔f(x)·g(x)＞0；)(x g ≥0⇔0)x (g )x (f 0)x (g 0)x (f ＞或⋅⎩⎨⎧≠=一、经典例题导讲【例1】解下列关于x 的不等式： (1)－x 2＋8x －3>0； (2)x 2－(3＋a)x ＋3a>0.【训练1】1. 求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R)的解集． 2. 220x x +-<（2013年广东高考）[例2] 一元二次不等式恒成立问题 已知函数f(x)＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f(x)＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f(x)＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．【训练2】 1. 如果kx 2+2kx －(k+2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是＿＿＿.A. －1≤k ≤0B. －1≤k<0C. －1<k ≤0D. －1<k<02. 已知f(x)＝x 2－2ax ＋2(a ∈R)，当x ∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围．二、知识点训练：1、(2012·南通二模)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2＋3x ，x<0，则不等式f(x)<f(4)的解集为( )．A ．{x|x ≥4}B ．{x|x<4}C ．{x|－3<x<0}D ．{x|x<－3}2、不等式(x －1)02≥+x 的解为………………………………………………（ ）(A)x ≥1 (B)x>1 (C) x ≥1或者x=－2 (D) x ≥－2且x ≠13、（2006安徽文）不等式112x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．()0,∞-⋃(2,)+∞4、不等式组⎩⎨⎧<-+>-+0820222x x x x 的解集为 .5、在实数集内，关于x 的一元二次不等式)0(02≠<++a c bx ax 的解集是空集，则…( ) (A)04,02>-<ac b a 且 (B)04,02≤-<ac b a 且 (C) 04,02≤->ac b a 且 (D) 0402>->ac b a 且 6、（2007湖南理）不等式201x x -+≤的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞-- ，，B ．[12]-，C ．(1)[2)-∞-+∞ ，，D ．(12]-，7、(2010大纲全国Ⅱ理5)．不等式0162>---x x x 的解集为（ ）A ．{}32>-<x x x 或B ．{}312<<-<x x x 或 C ．{}312><<-x x x 或 D ．{}3112<<<<-x x x 或8、 (2008江西文)不等式224122x x +-≤的解集为 _________ ． 9、不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集为{x|212->-<x x 或}，那么不等式ax 2－bx ＋c>0的解集为 .10、不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{}3121<<-x x ，则a= ；b= .11、若a<0,则关于x的不等式05422>--a ax x 的解集是 ；12、已知不等式06,03222<-+<--x x A x x 不等式的解集为的解集是B ，不等式02<++b ax x 的解集是=+b a B A 那么, ；13、不等式R x x a x a ∈<--+-对04)2(2)2(2恒成立，则a 的取值范围是 ；14、在实数集上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)，若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．15、已知函数)(x f y =、y=)(x g 的图象如图，则)(x f ·)(x g >0 的解集为 ；绝对值不等式的解法（理科）重点：绝对值不等式的解法 难点：不等式的等价变形 知识导学1. 绝对值三角不等式定理1 如果a,b 是实数，则a b a b +≤+，当且仅当ab ≥0时，等号成立.定理1 如果a,b,c 是实数，则a c a b b c -≤-+-，当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时，等号成立. 2. 绝对值不等式的解法a. 绝对值的几何意义：一般地，如果a>0,那么x a <表示数轴上到原点距离小于a 的点的集合，x a >表示数轴上到原点距离大于a 的点的集合，因而x a a x a <⇔-<<； x a x a x a >⇔<->或进而，如果a>0x b a b a x b a -<⇔-<<+； x b a x b ax b a->⇔<->+或 b. Ⅰ ax b c ax b c +≤+≥和型不等式的解法Ⅱ x a x b c x a x b c -+-≥-+-≤和型不等式的解法 一、经典例题导讲[例1] 解下列不等式（1）不等式312x -≤（2）不等式|5||3|10x x -++≥； （3）不等式|2x-1|+|2x+1|≤6； （4）不等式130x x +--≥；[训练1] 1.(2012湖南)不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.2.(2012陕西) 若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 ．[例2]含绝对值不等式的综合运用（2012江苏）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <[训练2]1. 对于实数x ，y ，若11≤-x ，12≤-y ，则12+-y x 的最大值为 .的解集是______.2. 已知f(x) = ax + xb，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围..337)3(316≤≤f二、知识点训练：1. (2010江西)不等式22x x x x-->的解集是（ ） A ．(0,2) B ．(,0)-∞ C ．(2,)+∞ D ．(,0)(0,)-∞+∞ 2．(2010陕西文)不等式21x -<3的解集为 ．3．(2010陕西理)不等式323≥--+x x 的解集为 ．4. 关于x 的不等式a x x <++-|2||1|解集为空集，则实数a 的取值范围是………（ ）（A ）(3,＋∞) （B ）[3,＋∞) （C ）(－∞,3] （D ）(－∞,3) 5. 命题:1A x -＜3，命题:(2)()B x x a ++＜0，若A 是B 的充分不必要条件，则a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿A.(4,)+∞B.[)4,+∞C.(,4)-∞-D.(],4-∞- 6.已知集合{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t⎧⎫=∈++-≤=∈=+∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=________.7．(2011陕西卷)（不等式选做题）若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是8（2010新课标） 设函数142)(+-=x x f（Ⅰ）画出函数()y f x =的图像；（Ⅱ）若不等式()f x ≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．9(2012全国卷) 已知函数()2f x x a x =++-（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集； （2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围10．（2010福建理）已知函数f (x )=x a -．①若不等式f (x )≤3的解集为｛x －1≤x ≤5｝，求实数a 的值；②在①的条件下，若f (x )+f (5x +)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．11．(2011辽宁) 已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|. （I ）证明：-3≤f （x ）≤3；（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集.。