高二数学两条直线所成的角

任意两条直线的夹角题目
两条直线的夹角可以从几何学和数学角度进行讨论。

从几何学
角度来看，两条直线的夹角可以分为以下几种情况：
1. 直线相交，当两条直线相交时，它们所形成的夹角称为相邻
补角，其大小为180度减去它们的补角的度数之和。

例如，如果直
线AB和直线CD相交，那么它们所形成的夹角的度数为180度减去
∠ABC和∠BCD的度数之和。

2. 平行直线，当两条直线平行时，它们之间的夹角为零度，或
者可以认为是180度，具体取决于所处的情境。

从数学角度来看，两条直线的夹角可以通过直线的斜率来计算。

当两条直线的斜率分别为m1和m2时，它们的夹角θ可以通过以下
公式计算得出，tan(θ) = |(m2 m1) / (1 + m1 m2)|。

这个公式
可以用来计算两条直线之间的夹角，不论它们是相交还是平行。

总的来说，两条直线的夹角可以从几何学和数学角度进行讨论，涉及到相交情况和平行情况的计算方法。

希望这个回答能够全面回
答你的问题。

拓展三：空间向量中动点的设法立体几何是高考必考的核心问题之—，每年都会考查一道大题，主要考查点线面位置关系的判定、体积问题、空间角、动点问题.其中最复杂的是将动点加入到要考查的问题中，立体几何中的动点问题因其能够较好地考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力而受到命题者青睐.求解此类动点问题采用向量法（坐标法）来求解可以避开复杂的中间分析过程，将待求目标表示成变量的函数模型，借助函数求值域的方法求出最值.知识点1 空间向量可解决的立体几何问题用表示直线的方向向量，用表示平面的法向量 1、判定（证明）类（1）线面平行：（2）线面垂直：（3）面面平行： （4）面面垂直： 2、计算类：,a b ,a b ,m n ,αβa b a b ⇔∥∥a b a b ⊥⇔⊥m n αβ⇔∥∥m n αβ⊥⇔⊥利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,m n ，则①两直线,l m 所成的角为θ(02πθ<≤),；①直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),；①二面角l αβ--的大小为θ(0θπ≤≤),|||cos ||||n |m n m θ⋅=或（视平面角与法向量夹角关系而定）①点到平面距离：设为平面外一点，为平面上任意一点，则到平面的距离为，即在法向量上投影的绝对值.知识点2 空间向量动点的设法在立体几何解答题中常常涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧：1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标，再想办法利用条件求出坐标2、解题关键：减少变量数量——可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标 （2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标 规律：维度=所用变量个数 3、如何减少变量：cos cos ,a b a b a bθ⋅==cos ,sin a m a m a mθ⋅==cos cos ,m n m n m nθ⋅==cos cos ,m n m n m nθ⋅=-=-A αP αA αA AP n d nα-⋅=AP n (),,x y z (),,x y z（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理——若使得 (设问法λ) 例：已知，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示，方法如下：——三点中取两点构成两个向量因为在上，所以 ——共线定理的应用（关键），即——仅用一个变量表示（2）平面上的点：平面向量基本定理——若不共线，则平面上任意一个向量，均存在，使得：例：已知，则平面上的某点坐标可用两个变量表示，方法如下：，故，即考点一 动点的设法（一）动点在,,x y z 轴上若点在x 轴上可设点为)0,0,(t ，若点在y 轴上可设点为)0,,0(t ，若点在z 轴上可设点为),0,0(t ，注意,a b R λ⇒∃∈∥a b λ=()()1,3,4,0,2,1A P AP (),,M x y z ()()1,3,4,1,1,3AM x y z AP =---=---M AP AM AP AM AP λ⇒=∥11334343x x y y z z λλλλλλ-=-=-⎧⎧⎪⎪∴-=-⇒=-⎨⎨⎪⎪-=-=-⎩⎩()1,3,43M λλλ---λ,a b c ,R λβ∈c a b λβ=+()()()1,3,4,0,2,1,2,4,0A P Q APQ (),,M x y z ()()()1,3,4,1,1,3,2,2,1AM x y z AP PQ =---=---=-AM AP PQλβ=+121232324343x x y y z z λβλβλβλβλβλβ-=-+=-+⎧⎧⎪⎪∴-=-+⇒=-+⎨⎨⎪⎪-=--=--⎩⎩根据具体题目给出t 的范围。

3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二) 1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量则l1⊥l2⇔________，cos θ＝________________.2．求两直线所成的角应注意的问题：在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝v1·v2|v1||v2|.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取________作为两直线的夹角．探究点一两条直线垂直问题怎样利用向量证明两直线垂直？例1 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，点M、N分别是棱BB′与对角线CA′的中点．求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C.跟踪1在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE ＝BF，求证：A1F⊥C1E.例2 已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA ＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．跟踪2长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．探究点三探索性问题例3已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M为底面BC边的中点，N为侧棱CC1上的点．(1)当CNCC1为何值时，MN⊥AB1；(2)在棱A1C1上是否存在点D，使MD∥平面A1B1BA，若存在，求出D的位置；若不存在，说明理由跟踪3 如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .问当CD CC 1的值等于多少时，A 1C ⊥BD 且 A 1C ⊥BC 1?【达标检测】1. 若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则 ( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1、l 2相交但不垂直D ．不能确定2．设l 1的方向向量a ＝(1,3，－2)，l 2的方向向量b ＝(－4,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．52C ．12D ．33. 在正四面体ABCD 中，点E 为BC 中点， 点F 为AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为( )A. 13B. 12C. 23D. 634.如图所示，三棱柱OAB —O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值．【课堂小结】用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量．共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二)一、基础过关1．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均错 2.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 ( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A3．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°4．已知A (3,0，－1)、B (0，－2，－6)、C (2,4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不对5．A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) A.3010 B.12 C.3015 D.1510 6．在△ABC 中，已知AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.二、能力提升7．设ABCD 、ABEF 都是边长为1的正方形，F A ⊥平面ABCD ，则异面直线AC 与BF 所成的角为________．8．已知空间三点A (0,0,1)，B (－1,1,1)，C (1,2，－3)，若直线AB 上一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为________．9．已知两点A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，则AB 连线与xOz 平面的交点坐标是____________．10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，证明OA 1⊥AM .11.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．12.直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．三、探究与拓展13．已知△ABC，∠C＝90°，SA⊥面ABC，且AC＝2，BC＝13，SB＝29，求异面直线CS与AB所成角的余弦值．。

高二数学两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角 人教版一. 本周教学内容：两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角［知识点］11212.若直线、的斜率为、l l k kl l k k b b 121212//⇔=≠且l l k k 12121⊥⇔=-·（证明过程：略）201111.若：l A x B y C ++=l A x B y C 22220：++=()l l A A B B C C A B C 121212122220//⇔=≠≠·· ()l l A A B B B B 1212121200⊥⇔+=≠·30.若：（直线系）l Ax By C ++=与平行：l Ax By C ++=10与垂直：l Bx Ay C -+=2041122.到角：若的斜率为，的斜率为l k l kαα为到的角，则l l k k k k 1221121tan =-+ ββ为到的角，则l l k k k k 2112121tan =-+ 512.夹角：设与的夹角为l l αtan α=-+k k k k 12121 6. 两条直线的交点若的方程为：l A x B y C 11110++=若的方程为：l A x B y C 22220++=则方程组有唯一解A x B y C A x B y C 11122200++=++=⎧⎨⎩⇔ l l 12和有交点，坐标为方程组的解。

【典型例题】例1. 求过点（，）且与直线平行的直线方程。

A x y 142350-++=分析：法一：求出直线的斜率，再用直线的点斜式方程求解。

法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，求出b 即可。

解：法一：已知直线的斜率是，因为所求直线与已知直线平行，所以它的斜-23 率也是。

-23 ()根据点斜式，得所求直线的方程是，即y x x y +=--++=423123100 法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，直线过点A （1，-4）()∴⨯+⨯-+==有，解之得2134010b b故所求直线的方程是2x ＋3y ＋10＝0。

高二数学必修一复习知识点笔记1.高二数学必修一复习知识点笔记篇一空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为0。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b 平行的直线a,b，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

（2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。

②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

2.高二数学必修一复习知识点笔记篇二数列(1)数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).②了解数列是自变量为正整数的一类函数.(2)等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式.③能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.3.高二数学必修一复习知识点笔记篇三函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.4.高二数学必修一复习知识点笔记篇四向量的计算1.加法交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。